Koordinatlar ile koordinat düzlemi. Koordinat düzlemleri ve grafikler
Matematik oldukça karmaşık bir bilimdir. Onu incelemek, sadece örnekleri ve problemleri çözmekle kalmayıp, aynı zamanda çeşitli figürlerle ve hatta uçaklarla da çalışmak zorundadır. Matematikte en çok kullanılanlardan biri düzlemdeki koordinat sistemidir. Çocuklara bir yıldan fazla bir süredir onunla nasıl doğru çalışılacağı öğretildi. Bu nedenle, ne olduğunu ve onunla nasıl doğru çalışılacağını bilmek önemlidir.
Bu sistemin ne olduğunu, onunla hangi eylemleri gerçekleştirebileceğinizi ve ayrıca ana özelliklerini ve özelliklerini öğrenelim.
kavram tanımı
Koordinat düzlemi, üzerinde belirli bir koordinat sisteminin tanımlandığı bir düzlemdir. Böyle bir düzlem, dik açıyla kesişen iki düz çizgi ile tanımlanır. Bu çizgilerin kesişme noktası koordinatların başlangıç noktasıdır. Koordinat düzlemindeki her nokta, koordinat adı verilen bir çift sayı ile verilir.
Bir okul matematik dersinde, öğrenciler bir koordinat sistemiyle oldukça yakından çalışmak zorundadırlar - üzerinde şekiller ve noktalar oluşturmak, belirli bir koordinatın hangi düzleme ait olduğunu belirlemek ve ayrıca bir noktanın koordinatlarını belirlemek ve bunları yazmak veya adlandırmak. Bu nedenle, koordinatların tüm özellikleri hakkında daha ayrıntılı konuşalım. Ama önce yaratılışın tarihine değinelim, ardından koordinat düzleminde nasıl çalışacağımızdan bahsedelim.
Geçmiş referansı
Koordinat sistemi oluşturma hakkındaki fikirler Ptolemy zamanlarındaydı. O zaman bile, gökbilimciler ve matematikçiler, bir noktanın konumunu bir düzlemde nasıl ayarlayacaklarını nasıl öğreneceklerini düşünüyorlardı. Ne yazık ki o zamanlar bildiğimiz bir koordinat sistemi yoktu ve bilim adamları başka sistemleri kullanmak zorunda kaldılar.
Başlangıçta enlem ve boylam belirterek noktalar belirlerler. Uzun bir süre, şu veya bu bilgiyi haritalamanın en çok kullanılan yollarından biriydi. Ancak 1637'de Rene Descartes, daha sonra "Kartezyen" olarak adlandırılan kendi koordinat sistemini yarattı.
Zaten XVII yüzyılın sonunda. "koordinat düzlemi" kavramı matematik dünyasında yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bu sistemin yaratılmasından bu yana birkaç yüzyıl geçmesine rağmen, matematikte ve hatta hayatta hala yaygın olarak kullanılmaktadır.
Koordinat düzlemi örnekleri
Teoriden bahsetmeden önce, hayal edebilmeniz için koordinat düzleminin bazı açıklayıcı örneklerini vereceğiz. Koordinat sistemi öncelikle satrançta kullanılır. Tahtada, her karenin kendi koordinatları vardır - bir harf koordinatı, ikinci - dijital. Onun yardımıyla, belirli bir parçanın tahtadaki konumunu belirleyebilirsiniz.
En çarpıcı ikinci örnek ise sevilen oyun "Battleship". Oynarken, bir koordinatı nasıl adlandırdığınızı, örneğin B3'ü, böylece tam olarak nereye nişan aldığınızı gösterdiğinizi unutmayın. Aynı zamanda gemileri yerleştirirken koordinat düzleminde noktalar belirlersiniz.
Bu koordinat sistemi sadece matematikte, mantık oyunlarında değil, askerlik, astronomi, fizik ve diğer birçok bilimde de yaygın olarak kullanılmaktadır.
koordinat eksenleri
Daha önce belirtildiği gibi, koordinat sisteminde iki eksen ayırt edilir. Oldukça önemli oldukları için onlardan biraz bahsedelim.
İlk eksen - apsis - yataydır. olarak gösterilir ( Öküz). İkinci eksen, referans noktasından dikey olarak geçen ve ( Oy). Koordinat sistemini oluşturan bu iki eksen, düzlemi dörde böler. Orijin, bu iki eksenin kesişme noktasında bulunur ve değeri alır. 0 . Ancak düzlem, dik olarak kesişen ve bir referans noktasına sahip iki eksenden oluşuyorsa, bu bir koordinat düzlemidir.
Ayrıca eksenlerin her birinin kendi yönüne sahip olduğunu unutmayın. Genellikle, bir koordinat sistemi oluştururken, eksenin yönünü bir ok şeklinde belirtmek gelenekseldir. Ayrıca koordinat düzlemi oluşturulurken eksenlerin her biri işaretlenir.
çeyrek
Şimdi koordinat düzleminin çeyrekleri gibi bir kavram hakkında birkaç söz söyleyelim. Düzlem iki eksenle dörde bölünmüştür. Uçakların numaralandırılması saat yönünün tersine iken, her birinin kendi numarası vardır.
Mahallelerin her birinin kendine has özellikleri vardır. Yani, ilk çeyrekte apsis ve ordinat pozitif, ikinci çeyrekte apsis negatif, ordinat pozitif, üçüncüde hem apsis hem de ordinat negatif, dördüncüde apsis pozitif ve ordinat negatiftir.
Bu özellikleri hatırlayarak belirli bir noktanın hangi çeyreğe ait olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Ayrıca Kartezyen sistemi kullanarak hesaplamalar yapmak zorunda kalırsanız bu bilgiler işinize yarayabilir.
Koordinat düzlemi ile çalışma
Bir uçak kavramını ele alıp çeyreklerinden bahsettiğimizde, bu sistemle çalışmak gibi bir probleme geçebilir ve ayrıca üzerine noktaların, rakamların koordinatlarının nasıl konulacağından bahsedebiliriz. Koordinat düzleminde bu, ilk bakışta göründüğü kadar zor değildir.
Her şeyden önce, sistemin kendisi inşa edilir, tüm önemli tanımlamalar ona uygulanır. Sonra doğrudan noktalar veya rakamlarla çalışma var. Bu durumda, şekiller oluştururken bile, önce düzleme noktalar uygulanır ve daha sonra şekiller zaten çizilir.
Bir uçak inşa etme kuralları
Kağıt üzerinde şekilleri ve noktaları işaretlemeye karar verirseniz, bir koordinat düzlemine ihtiyacınız olacaktır. Noktaların koordinatları üzerine çizilir. Bir koordinat düzlemi oluşturmak için sadece bir cetvele ve bir kaleme veya kurşun kaleme ihtiyacınız var. İlk önce yatay apsis, ardından dikey - ordinat çizilir. Eksenlerin dik açılarda kesiştiğini hatırlamak önemlidir.
Bir sonraki zorunlu madde işaretlemedir. Birimler-segmanlar her iki yönde de her eksende işaretlenir ve imzalanır. Bu, daha sonra uçakla maksimum rahatlıkla çalışabilmeniz için yapılır.
Bir noktayı işaretleme
Şimdi koordinat düzleminde noktaların koordinatlarının nasıl çizileceğinden bahsedelim. Düzlemde çeşitli şekilleri başarılı bir şekilde yerleştirmek ve hatta denklemleri işaretlemek için bilmeniz gereken temel bilgiler budur.
Noktaları oluştururken, koordinatlarının nasıl doğru bir şekilde kaydedildiğini hatırlamalıyız. Bu nedenle, genellikle bir nokta belirlenirken, parantez içinde iki sayı yazılır. İlk basamak, apsis ekseni boyunca noktanın koordinatını, ikincisi - ordinat ekseni boyunca gösterir.
Nokta bu şekilde inşa edilmelidir. Önce eksende işaretle Öküz verilen noktayı, ardından eksende bir noktayı işaretleyin Oy. Ardından, bu tanımlamalardan hayali çizgiler çizin ve kesişme yerlerini bulun - bu verilen nokta olacaktır.
Tek yapmanız gereken işaretlemek ve imzalamak. Gördüğünüz gibi, her şey oldukça basit ve özel beceriler gerektirmiyor.
Şekil Yerleştirme
Şimdi koordinat düzleminde rakamların inşası gibi bir soruya geçelim. Koordinat düzleminde herhangi bir figürü inşa etmek için, üzerine nasıl nokta yerleştirileceğini bilmelisiniz. Bunu nasıl yapacağınızı biliyorsanız, o zaman bir rakamı uçağa yerleştirmek o kadar zor değil.
Her şeyden önce, şeklin noktalarının koordinatlarına ihtiyacınız olacak. Koordinat sistemimize seçtiklerinizi üzerlerine uygulayacağız.Bir dikdörtgen, üçgen ve daire çizelim.
Bir dikdörtgenle başlayalım. Uygulaması oldukça kolaydır. İlk olarak, düzleme dikdörtgenin köşelerini gösteren dört nokta uygulanır. Daha sonra tüm noktalar sırayla birbirine bağlanır.
Bir üçgen çizmek farklı değil. Tek şey, üç köşeye sahip olmasıdır; bu, uçağa, köşelerini gösteren üç noktanın uygulandığı anlamına gelir.
Çemberle ilgili olarak, burada iki noktanın koordinatlarını bilmelisiniz. İlk nokta dairenin merkezi, ikincisi yarıçapı gösteren noktadır. Bu iki nokta bir düzlemde çizilir. Daha sonra bir pusula alınır, iki nokta arasındaki mesafe ölçülür. Pusulanın noktası, merkezi gösteren bir noktaya yerleştirilir ve bir daire tanımlanır.
Gördüğünüz gibi, burada da karmaşık bir şey yok, asıl mesele her zaman bir cetvel ve bir pusulanın el altında olmasıdır.
Artık şekil koordinatlarını nasıl çizeceğinizi biliyorsunuz. Koordinat düzleminde, ilk bakışta göründüğü gibi bunu yapmak o kadar zor değil.
sonuçlar
Bu nedenle, her öğrencinin uğraşması gereken matematik için en ilginç ve temel kavramlardan birini sizinle birlikte düşündük.
Koordinat düzleminin iki eksenin kesişmesiyle oluşan düzlem olduğunu öğrendik. Yardımı ile noktaların koordinatlarını ayarlayabilir, üzerine şekiller koyabilirsiniz. Uçak, her biri kendi özelliklerine sahip olan mahallelere ayrılmıştır.
Koordinat düzlemi ile çalışırken geliştirilmesi gereken temel beceri, üzerinde verilen noktaları doğru bir şekilde çizebilme yeteneğidir. Bunu yapmak için, eksenlerin doğru konumunu, çeyreklerin özelliklerini ve ayrıca noktaların koordinatlarının ayarlandığı kuralları bilmelisiniz.
Sağladığımız bilgilerin erişilebilir ve anlaşılır olduğunu ve ayrıca sizin için yararlı olduğunu ve bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olduğunu umuyoruz.
Bu video dersinin konusu: Koordinat uçağı.
Dersin amaç ve hedefleri:
ile tanıştı düzlemde dikdörtgen koordinat sistemi
- koordinat düzleminde özgürce gezinmeyi öğrenin
- verilen koordinatlara göre noktalar oluşturun
- koordinat düzleminde işaretlenmiş bir noktanın koordinatlarını belirleyin
- koordinatları kulaktan iyi algılayın
- geometrik yapıları doğru ve doğru bir şekilde gerçekleştirin
- yaratıcı yeteneklerin gelişimi
- Konuya ilgiyi artırmak
Dönem " koordinatlar"Latince kelimesinden türetilmiştir -" sipariş "
Bir noktanın bir düzlem üzerindeki konumunu belirtmek için iki dik X ve Y doğrusu alınır.
X ekseni - apsis
Y ekseni y ekseni
O noktası - orijin
Koordinat sisteminin verildiği düzleme denir. koordinat uçağı.
Koordinat düzlemindeki her M noktası bir çift sayıya karşılık gelir: apsisi ve ordinatı. Aksine, her bir sayı çifti, bu sayıların koordinatları olduğu düzlemin bir noktasına karşılık gelir.
Dikkate alınan örnekler:
- koordinatlarına göre bir nokta oluşturarak
- koordinat düzleminde bulunan bir noktanın koordinatlarını bulma
Bazı ek bilgiler:
Bir düzlemdeki bir noktanın konumunu belirleme fikri, antik çağda - öncelikle astronomlar arasında - ortaya çıktı. II. Yüzyılda. Antik Yunan astronom Claudius Ptolemy koordinat olarak enlem ve boylamı kullandı. Koordinatların kullanımının bir açıklaması 1637'de "Geometri" kitabında verildi.
Koordinatların kullanımının açıklaması, Fransız matematikçi Rene Descartes tarafından 1637'de "Geometri" kitabında verildi, bu nedenle dikdörtgen koordinat sistemine genellikle Kartezyen denir.
Sözler " apsis», « koordine etmek», « koordinatlar» ilk kez XVII'nin sonunda kullanılmaya başlandı.
Koordinat düzlemini daha iyi anlamak için bize bir coğrafi küre, bir satranç tahtası, bir tiyatro bileti verildiğini düşünelim.
Dünya yüzeyindeki bir noktanın konumunu belirlemek için enlem ve boylamları bilmeniz gerekir.
Satranç tahtasındaki bir taşın konumunu belirlemek için iki koordinatı bilmeniz gerekir, örneğin: e3.
Oditoryumdaki koltuklar iki koordinatla belirlenir: sıra ve koltuk.
Ek görev.
Video dersini çalıştıktan sonra, materyali pekiştirmek için bir kutuya bir kalem ve bir kağıt parçası almanızı, bir koordinat düzlemi çizmenizi ve verilen koordinatlara göre şekiller oluşturmanızı öneririm:
Mantar
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
küçük fare 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Kuyruk: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Göz: (- 1; 5).
Kuğu
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Gaga: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Kanat: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Göz: (0; 7).
Deve
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Göz: (- 6; 7).
Fil
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Gözler: (2; 4), (6; 4).
Atış
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Göz: (- 2; 7).
Bir düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi, X'X ve Y'Y olmak üzere birbirine dik iki koordinat ekseninden oluşur. Koordinat eksenleri, koordinatların orijini olarak adlandırılan O noktasında kesişir, her eksende pozitif bir yön seçilir.Eksenlerin pozitif yönü (sağ el koordinat sisteminde) X'X ekseni olduğunda saat yönünün tersine 90 ° döndürülür, pozitif yönü Y'Y ekseninin pozitif yönü ile çakışır. X'X ve Y'Y koordinat eksenleri tarafından oluşturulan dört açıya (I, II, III, IV) koordinat açıları denir (bkz. Şekil 1).
A noktasının düzlemdeki konumu iki koordinat x ve y tarafından belirlenir. x koordinatı, OB segmentinin uzunluğuna eşittir, y koordinatı, seçilen birimlerdeki OC segmentinin uzunluğudur. OB ve OC segmentleri, sırasıyla Y'Y ve X'X eksenlerine paralel A noktasından çizilen çizgilerle tanımlanır. x koordinatına A noktasının apsisi denir, y koordinatına A noktasının ordinatı denir. Bunu şöyle yazarlar: A (x, y).
A noktası I koordinat açısında bulunuyorsa, A noktası pozitif apsise ve ordinata sahiptir. A noktası II koordinat açısında bulunuyorsa, A noktasının negatif bir apsisi ve bir pozitif ordinatı vardır. A noktası III koordinat açısındaysa, A noktası negatif apsise ve ordinata sahiptir. A noktası IV koordinat açısında bulunuyorsa, A noktasının pozitif bir apsisi ve bir negatif ordinatı vardır.
Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi birbirine dik üç koordinat ekseni OX, OY ve OZ tarafından oluşturulur. Koordinat eksenleri orijin olarak adlandırılan O noktasında kesişir, her eksende oklarla gösterilen pozitif yön seçilir ve eksenlerdeki segmentlerin ölçü birimi seçilir. Ölçü birimleri tüm eksenler için aynıdır. OX - apsis ekseni, OY - koordinat ekseni, OZ - uygulama ekseni. Eksenlerin pozitif yönü, OX ekseni saat yönünün tersine 90° döndürüldüğünde, pozitif yönü OY ekseninin pozitif yönü ile çakışacak şekilde seçilir, eğer bu dönüş OZ ekseninin pozitif yönünün yanından gözlenirse . Böyle bir koordinat sistemine sağ denir. Sağ elin baş parmağı X yönü, işaret parmağı Y yönü ve orta parmak Z yönü olarak alınırsa sağ koordinat sistemi oluşur. Sol elin benzer parmakları sol koordinat sistemini oluşturur. Sağ ve sol koordinat sistemleri, karşılık gelen eksenlerin çakışması için birleştirilemez (bkz. Şekil 2).
A noktasının uzaydaki konumu x, y ve z olmak üzere üç koordinat tarafından belirlenir. x koordinatı OB parçasının uzunluğuna eşittir, y koordinatı OC parçasının uzunluğuna eşittir, z koordinatı seçilen birimlerde OD parçasının uzunluğudur. OB, OC ve OD segmentleri, sırasıyla YOZ, XOZ ve XOY düzlemlerine paralel A noktasından çizilen düzlemlerle tanımlanır. x koordinatına A noktasının apsisi denir, y koordinatına A noktasının ordinatı denir, z koordinatına A noktasının uygulaması denir. Bunu şöyle yazarlar: A (a, b, c).
Hortlar
Dikdörtgen bir koordinat sistemi (herhangi bir boyutta), koordinat eksenleriyle birlikte yönlendirilen bir dizi ort tarafından da tanımlanır. Ortların sayısı koordinat sisteminin boyutuna eşittir ve hepsi birbirine diktir.
Üç boyutlu durumda, bu tür vektörler genellikle gösterilir. i j k veya e x e y e z. Bu durumda, doğru koordinat sistemi olması durumunda, vektörlerin vektör çarpımı ile aşağıdaki formüller geçerlidir:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Hikaye
René Descartes, 1637'de Metod Üzerine Söylev'inde dikdörtgen bir koordinat sistemini ilk tanıtan kişiydi. Bu nedenle, dikdörtgen koordinat sistemi de denir - Kartezyen koordinat sistemi. Geometrik nesneleri tanımlamaya yönelik koordinat yöntemi, analitik geometrinin temelini oluşturdu. Pierre Fermat da koordinat yönteminin geliştirilmesine katkıda bulundu, ancak çalışmaları ilk olarak ölümünden sonra yayınlandı. Descartes ve Fermat koordinat yöntemini yalnızca düzlemde kullandılar.
Üç boyutlu uzay için koordinat yöntemi ilk olarak 18. yüzyılda Leonhard Euler tarafından uygulandı.
Ayrıca bakınız
Bağlantılar
Wikimedia Vakfı. 2010 .
"Koordinat düzlemi" nin diğer sözlüklerde ne olduğunu görün:
kesme düzlemi- (Pn) Değerlendirilen noktada kesme kenarına teğet ve taban düzlemine dik koordinat düzlemi. […
Topografyada, dünya yüzeyindeki herhangi bir noktanın konumunu doğru bir şekilde belirleyebileceğiniz, enlem ve meridyen yönlerde dünyayı çevreleyen bir hayali çizgiler ağı. Enlemler ekvatordan ölçülür - büyük bir daire, ... ... Coğrafi Ansiklopedi
Topografyada, dünya yüzeyindeki herhangi bir noktanın konumunu doğru bir şekilde belirleyebileceğiniz, enlem ve meridyen yönlerde dünyayı çevreleyen bir hayali çizgiler ağı. Enlemler, büyük dairenin ekvatorundan ölçülür, ... ... Collier Ansiklopedisi
Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Faz diyagramı. Faz düzlemi, sistemin durumunu benzersiz bir şekilde belirleyen koordinat eksenleri boyunca herhangi iki değişkenin (faz koordinatları) çizildiği bir koordinat düzlemidir ... ... Wikipedia
ana kesme düzlemi- (Pτ) Ana düzlem ile kesme düzleminin kesişme çizgisine dik koordinat düzlemi. [GOST 25762 83] Kesim konuları Genelleştirme terimleri koordinat düzlemleri ve koordinat düzlemleri sistemleri… Teknik Çevirmenin El Kitabı
enstrümantal ana kesme düzlemi- (Pτi) Enstrümantal ana düzlem ile kesme düzleminin kesişme çizgisine dik koordinat düzlemi. [GOST 25762 83] Kesim konuları Genelleştirme terimleri koordinat düzlemleri ve koordinat düzlemleri sistemleri… Teknik Çevirmenin El Kitabı
takım kesme düzlemi- (Pni) Söz konusu noktada kesici kenara teğet ve alet taban düzlemine dik koordinat düzlemi. [GOST 25762 83] Kesim konuları Koordinat düzlemleri sistemleri için genelleştirme terimleri ve ... ... Teknik Çevirmenin El Kitabı
kinematik ana kesme düzlemi- (Pτк) Kinematik ana düzlem ile kesme düzleminin kesişme çizgisine dik koordinat düzlemi ... Teknik Çevirmenin El Kitabı
kinematik kesme düzlemi- (Pnk) İncelenen noktada kesme kenarına teğet olan ve kinematik taban düzlemine dik olan koordinat düzlemi ... Teknik Çevirmenin El Kitabı
ana uçak- (Pv) O noktadaki ana veya net kesme hareketinin hızının yönüne dik olan kesme kenarının dikkate alınan noktasından çizilen bir koordinat düzlemi. Not Aletli koordinat sisteminde yön ... ... Teknik Çevirmenin El Kitabı
Noktalar “kayıtlı” - “sakinler”, her noktanın kendi “ev numarası” - koordinatı var. Nokta bir düzlemde alınırsa, “kayıt” için sadece “ev numarasını” değil, aynı zamanda “daire numarasını” da belirtmek gerekir. Bunun nasıl yapıldığını hatırlayın.
Birbirine dik iki koordinat çizgisi çizelim ve kesişme noktalarını, O noktasının her iki çizgide de başlangıç noktası olduğunu düşünelim.Böylece, düzlemde normali dönüştüren dikdörtgen bir koordinat sistemi kurulur (Şekil 20). uçak koordine olmak. O noktasına koordinatların orijini, koordinat çizgilerine (x ekseni ve y ekseni) koordinat eksenleri ve koordinat eksenleri tarafından oluşturulan dik açılara koordinat açıları denir. Koordinat dikdörtgen köşeleri, Şekil 20'de gösterildiği gibi numaralandırılmıştır.
Şimdi de dikdörtgen bir koordinat sistemini gösteren ve M noktasını işaretleyen Şekil 21'e dönelim. Üzerinden y eksenine paralel bir doğru çizelim. Doğru, x eksenini bir noktada kesiyor, bu noktanın bir koordinatı var - x ekseninde. Şekil 21'de gösterilen nokta için bu koordinat -1.5'tir, M noktasının apsisi denir. Daha sonra, x eksenine paralel M noktasından düz bir çizgi çiziyoruz. Doğru, y eksenini bir noktada kesiyor, bu noktanın bir koordinatı var - y ekseninde.
Şekil 21'de gösterilen M noktası için bu koordinat 2'dir, M noktasının koordinatı olarak adlandırılır. Kısaca şöyle yazılır: M (-1.5; 2). Apsis ilk etapta, ordinat - ikinci olarak yazılır. Gerekirse başka bir gösterim biçimi kullanırlar: x = -1.5; y = 2.
Açıklama 1 . Pratikte, M noktasının koordinatlarını bulmak için, genellikle koordinat eksenlerine paralel ve M noktasından geçen düz çizgiler yerine, bu doğruların M noktasından koordinat eksenlerine doğru parçaları oluşturulur (Şekil 22).
Açıklama 2. Önceki bölümde, sayısal aralıklar için farklı gösterimler sunduk. Özellikle, anlaştığımız gibi, (3, 5) gösterimi, koordinat doğrusu üzerinde 3 ve 5 noktalarında sonlanan bir aralığın dikkate alındığı anlamına gelir.Bu bölümde, bir noktanın koordinatları olarak bir çift sayıyı ele alıyoruz; örneğin, (3; 5) bir noktadır koordinat uçağı apsis 3 ve ordinat 5 ile. Sembolik gösterimden neyin tehlikede olduğunu belirlemek nasıl doğrudur: nokta hakkında mı yoksa noktanın koordinatları hakkında mı? Çoğu zaman bu, metinden açıkça anlaşılmaktadır. Ya net değilse? Bir ayrıntıya dikkat edin: Aralık atamasında virgül ve koordinat atamasında noktalı virgül kullandık. Bu elbette çok önemli değil ama yine de fark; onu uygulayacağız.
Girilen terimler ve gösterimler göz önüne alındığında, yatay koordinat çizgisi apsis veya x ekseni olarak adlandırılır ve dikey koordinat çizgisi y ekseni veya y ekseni olarak adlandırılır. x, y gösterimleri genellikle düzlemde bir dikdörtgen koordinat sistemi belirtilirken kullanılır (bkz. Şekil 20) ve genellikle şunu söylerler: xOy koordinat sistemi verilir. Ancak başka tanımlamalar da vardır: örneğin, Şekil 23'te koordinat sistemi tOs verilmiştir.
Dikdörtgen koordinat sisteminde verilen M noktasının koordinatlarını bulmak için algoritma
Şekil 21'de M noktasının koordinatlarını bularak tam olarak böyle davrandık. M 1 (x; y) noktası ilk koordinat açısına aitse, x\u003e 0, y\u003e 0; M 2 (x; y) noktası ikinci koordinat açısına aitse, x< 0, у >0; M 3 (x; y) noktası üçüncü koordinat açısına aitse, x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >kuruluş birimi< 0 (рис. 24).
Fakat koordinatları bulunması gereken nokta koordinat eksenlerinden birinin üzerindeyse ne olur? A noktası x ekseni üzerinde ve B noktası y ekseni üzerinde olsun (Şek. 25). A noktasından y eksenine paralel düz bir çizgi çizmek ve bu çizginin x ekseni ile kesişme noktasını bulmak mantıklı değil, çünkü böyle bir kesişme noktası zaten var - bu A noktası, koordinatı ( apsis) 3'tür. Aynı şekilde, noktayı çizmenize gerek yoktur Ve x eksenine paralel çizgi - bu çizgi, O noktasında y eksenini koordinatla kesen x ekseninin kendisidir ( ordinat) 0. Sonuç olarak, A noktası için A (3; 0) elde ederiz. Benzer şekilde, B noktası için B(0; - 1.5) elde ederiz. Ve O noktası için O(0; 0) var.
Genel olarak, x ekseni üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (x; 0) ve y ekseni üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (0; y) vardır.
Böylece, koordinat düzleminde bir noktanın koordinatlarının nasıl bulunacağını tartıştık. Fakat ters problem nasıl çözülür, yani koordinatlar verildikten sonra karşılık gelen nokta nasıl oluşturulur? Bir algoritma geliştirmek için iki yardımcı ama aynı zamanda önemli argümanlar yürüteceğiz.
İlk tartışma. xOy koordinat sisteminde, y eksenine paralel ve x eksenini koordinatlı bir noktada kesen (apsis) 4 çizilsin.
(Şek. 26). Bu doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın apsisi 4'tür. Yani, M 1, M 2, M 3 noktaları için M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2) var. Başka bir deyişle, düz çizginin herhangi bir M noktasının apsisi, x \u003d 4 koşulunu sağlar. x \u003d 4 - denklem l doğrusu veya I doğrusu x = 4 denklemini sağlıyor.
Şekil 27, x = - 4 (satır I 1), x = - 1 denklemlerini sağlayan satırları gösterir.
(düz çizgi I 2) x = 3.5 (düz çizgi I 3). Ve hangi doğru, x = 0 denklemini sağlar? Tahmin ettiniz mi? y ekseni
İkinci tartışma. xOy koordinat sisteminde x eksenine paralel ve y eksenini koordinat (ordinat) 3 olan bir noktada kesen bir I doğrusu çizelim (Şek. 28). Bu doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın ordinatı 3'tür. Dolayısıyla, M 1, M 2, M 3 noktaları için: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3) var. ) . Başka bir deyişle, I çizgisinin herhangi bir M noktasının ordinatı y \u003d 3 koşulunu karşılar.
Şekil 29, y \u003d - 4 (satır l 1), y \u003d - 1 (satır I 2), y \u003d 3.5 (satır I 3) - A denklemlerini karşılayan satırları gösterir, hangi satır y \u003d 01 denklemini sağlar Tahmin etmek? x ekseni.
Konuşmanın kısalığını sağlamaya çalışan matematikçilerin, "x = 4 denklemini karşılayan düz bir çizgi" değil, "x = 4 düz bir çizgi" dediklerini unutmayın. Aynı şekilde, "y = 3'ü karşılayan doğru" değil, "y = 3 doğrusu" derler. Tam olarak aynısını yapacağız. Şimdi Şekil 21'e dönelim. Lütfen orada gösterilen M noktasının (- 1.5; 2) x \u003d -1.5 çizgisi ile y \u003d 2 çizgisinin kesişme noktası olduğunu unutmayın. , noktayı oluşturma algoritması verilen koordinatlara göre açık olacaktır.
Dikdörtgen bir koordinat sisteminde M (a; b) noktası oluşturmak için algoritma
ÖRNEK xOy koordinat sisteminde şu noktaları oluşturun: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).
Çözüm. A noktası, x = 1 ve y = 3 doğrularının kesişme noktasıdır (bkz. Şekil 30).
B noktası, x = - 2 ve y = 1 doğrularının kesişme noktasıdır (Şekil 30). C noktası x eksenine, D noktası y eksenine aittir (bkz. Şekil 30).
Bölümün sonunda, ilk kez cebirsel yerine düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminin aktif olarak kullanılmaya başladığını not ediyoruz. modeller geometrik Fransız filozof René Descartes (1596-1650). Bu nedenle bazen "Kartezyen koordinat sistemi", "Kartezyen koordinatlar" derler.
Sınıfa göre tam bir konu listesi, çevrimiçi matematikte okul müfredatına göre bir takvim planı, kamera görüntüsü matematikte 7. sınıf indir
A. V. Pogorelov, 7-11. sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı
ders içeriği ders özeti destek çerçeve ders sunum hızlandırıcı yöntemler etkileşimli teknolojiler Uygulama görevler ve alıştırmalar kendi kendine muayene çalıştayları, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler grafikler, tablolar, mizah şemaları, fıkralar, şakalar, çizgi roman benzetmeleri, sözler, bulmacalar, alıntılar Eklentiler özetler makaleler meraklı hile sayfaları için çipler ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiders kitabındaki hataları düzeltme ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi derste yenilik unsurlarının eskimiş bilgiyi yenileriyle değiştirmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler tartışma programının metodolojik önerileri yıl için takvim planı Entegre Derslerkoordinat düzlemi nedir?
Latince'den tercüme edilen "koordinatlar" terimi, "sıralı" kelimesi anlamına gelir.
Bir düzlemdeki bir noktanın konumunu belirlememiz gerektiğini varsayalım. Bunu yapmak için, koordinat eksenleri olarak adlandırılan, X'in apsis ekseni, Y'nin ordinat ekseni ve orijin O noktası olacak 2 dik çizgi alıyoruz. Koordinat eksenleri kullanılarak oluşturulan dik açılara koordinat denir. açılar.
Böylece tanıma geldik ve artık koordinat düzleminin belirli bir koordinat sistemine sahip bir düzlem olduğunu biliyoruz.
Şimdi koordinat açılarının numaralandırılmasını görelim:
Şimdi bir dikdörtgen koordinat sistemi gösterelim ve içindeki M noktasını işaretleyelim.
Daha sonra, M noktasından geçen ve Y eksenine paralel olacak bir düz çizgi çizmemiz gerekiyor, şimdi elimizde ne olduğunu görelim. Gördüğünüz gibi, düz çizgi X eksenini koordinatın -2'ye eşit olacağı noktada kesiyor. Bu koordinat M noktasının apsisidir.
Şimdi M noktasından geçen, X eksenine paralel olacak bir düz çizgi çizmemiz gerekiyor.
Bu doğrunun X eksenini koordinatı üç olan noktada kestiğini görebiliriz. Bu koordinat M noktasının koordinatı olacaktır.
Mevcut M'nin koordinatlarını kaydetmek şöyle görünecektir:
Böyle bir kayıtta, apsis her zaman ilk sıraya, ordinat ise ikinci sıraya konur. M noktasının (-2; 3) koordinatlarının örneğini düşünürsek, o zaman -2, M noktasının apsisi olarak işlev görür ve bu noktanın koordinatı 3 sayısı olacaktır.
Bundan, koordinat düzleminde, her M noktasının, apsisi ve ordinatı gibi bir çift sayıya karşılık geldiği sonucu çıkar. Tersi ifade de doğru olacaktır, yani bu tür her bir sayı çifti, bu sayıların koordinatları olduğu düzlemin bir noktasına karşılık gelir.
Egzersiz yapmak:
Hayattaki koordinat düzlemi
Sizce koordinat düzlemi bilgisi günlük yaşamda faydalı olabilir mi? Ve hiç “koordinatlarını bırak” veya “hangi koordinatları bulabilirsin” gibi bir ifade duydunuz mu? Ve bu ifadelerin ne anlama gelebileceğini düşündünüz mü?
Her şeyin çok basit ve banal olduğu ortaya çıkıyor ve bu, bir kişiyi veya belirli bir yeri bulmanın kolay olduğu şu veya bu nesnenin yeri anlamına geliyor. Her yerde bir kişinin pratik yaşamında koordinat sistemlerinin gerekli olduğu güvenle söylenebilir.
Böyle bir koordinat sistemi, ev adresi veya telefon numarası, iş yeri vb. olabilir.
Sonuçta, tren bileti alırken bile, sadece numarasını ve varış yerini değil, aynı zamanda araba ve koltuk numarasının da belirtilmesi gerektiğini bilirsiniz.
Bir sınıf arkadaşını ziyaret etmek için sadece yaşadığı evi bilmek yeterli değildir, daire numarasını da bilmeniz gerekir.
Egzersiz yapmak
1. Tiyatroda yer alabilmek için hangi bilgilere sahip olmanız gerekiyor?
2. Dünya yüzeyindeki noktaları belirlemek için hangi verilere ihtiyacınız var?
3. Sinemadaki yeri hangi koordinatlara göre belirleyebilirsiniz?
4. Bir taşın bir satranç tahtasındaki konumunu belirlemek için bilmeniz gerekenler nelerdir?
5. Deniz savaşı oynarken hangi koordinatları kullanıyorsunuz?
Geçmiş referansı
Koordinatları kullanma fikri eski zamanlarda ortaya çıktı. Başlangıçta, gökbilimciler onları gök cisimlerini ve coğrafyacıları belirlemek için - Dünya yüzeyindeki konumu ve nesneleri belirlemek için kullanmaya başladılar.
Antik Yunan gökbilimci Claudius Plotomeus'un çalışmaları sayesinde, zaten ikinci yüzyılda bilim adamları boylam ve enlem belirlemeyi öğrendi.
Matematikte neden "Kartezyen koordinat sistemi" diye bir şey olduğunu biliyor musunuz? Genel matematiksel önemi olan koordinatlar yönteminin 17. yüzyılda Fransız matematikçiler Pierre Fermat ve Rene Descartes tarafından keşfedildiği ve 1637'de Rene Descartes'ın ilk kez bir geometri kitabında tanımladığı ortaya çıktı.
Ancak "apsis", "ordinat" ve "koordinatlar" terimleri ilk olarak on yedinci yüzyılda Wilhelm Leibniz tarafından tanıtıldı.
Ev ödevi:
Yükleniyor...