Центрошвидке прискорення автомобіля при русі. Центрошвидке прискорення при русі по колу: поняття та формули

При вивченні руху у фізиці важливу роль відіграє поняття траєкторії. Саме вона багато в чому визначає тип переміщення об'єктів і, як наслідок, вид формул, за допомогою яких описують це переміщення. Однією з найпоширеніших траєкторій руху є коло. У цій статті розглянемо, що таке прискорення доцентрове при русі по колу.

Поняття про повне прискорення

Перш ніж характеризувати під час руху по колу доцентрове прискорення розглянемо поняття повного прискорення. Під ним вважають фізичну величинуяка одночасно описує зміну значення абсолютного і вектора швидкості. У математичному вигляді це визначення виглядає так:

Прискорення є повною похідною швидкістю за часом.

Як відомо, швидкість тіла в кожній точці траєкторії спрямована по дотичній. Цей факт дозволяє подати її у вигляді добутку модуля v на одиничний дотичний вектор u, тобто:

Тоді повне прискорення можна обчислити так:

a = d(v * u) / dt = dv / dt * u + v * du / dt

Величина a являє собою векторну суму двох доданків. Перший доданок спрямований по дотичній (як швидкість тіла) і називається тангенціальним прискоренням. Воно визначає швидкість зміни модуля швидкості. Другий доданок - це нормальне прискорення. Розглянемо його докладніше в статті.

Отриманий вираз для нормальної компоненти прискорення an¯ запишемо у явному вигляді:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Тут dl - пройдений тілом уздовж траєкторії шлях за час dt, re - одиничний вектор, спрямований до центру кривизни траєкторії, r - радіус це кривизни. Отримана формула призводить до кількох важливих особливостей компонента an¯ повного прискорення:

• Величина an¯ росте як квадрат швидкості і зменшується пропорційно радіусу, що відрізняє її від тангенціальної компоненти. Остання не дорівнює нулю лише у разі зміни модуля швидкості.
• Нормальне прискорення спрямоване завжди до центру кривизни, тому воно називається доцентровим.

Таким чином, головною умовою існування ненульової величини є кривизна траєкторії. Якщо такої кривизни немає (прямолінійне переміщення), то an¯ = 0, оскільки r->∞.

Прискорення доцентрове при русі по колу

Коло - геометрична лінія, всі точки якої знаходяться на одній відстані від певної точки. Остання називається центром кола, а згадана відстань - це її радіус. Якщо швидкість тіла під час обертання не змінюється за модулем, то говорять про рівнозмінний рух по колу. Прискорення доцентрове в цьому випадку легко розрахувати за однією з двох формул нижче:

Де ω - кутова швидкість, що вимірюється в радіанах в секунду (рад/с). Друга рівність отримана завдяки формулі зв'язку між кутовою та лінійною швидкостями:

Сили доцентрова та відцентрова

При рівномірному русітіла по колу прискорення доцентрове виникає за рахунок дії відповідної доцентрової сили. Її вектор завжди спрямований до центру кола.

Природа цієї сили може бути найрізноманітнішою. Наприклад, коли людина розкручує прив'язаний до мотузки камінь, то у своїй траєкторії його утримує сила натягу мотузки. Іншим прикладом дії доцентрової сили є гравітаційна взаємодія між Сонцем і планетами. Саме воно змушує рухатися круговими орбітами всі планети і астероїди. Відцентрова сила не здатна змінити кінетичну енергію тіла, оскільки спрямована вона до його швидкості перпендикулярно.

Кожна людина могла звернути увагу на те, що під час повороту автомобіля, наприклад, ліворуч, пасажирів притискає до правого краю салону транспортного засобу. Цей процес є результатом дії відцентрової сили обертального руху. Насправді ця сила є несправжньою, оскільки обумовлена ​​інерційними властивостями тіла та його прагненням рухатися прямою траєкторією.

Відцентрова і доцентрова сили рівні один одному за величиною і протилежні за напрямом. Якби цього не було, кругова траєкторія руху тіла порушилася б. Якщо врахувати другий закон Ньютона, то можна стверджувати, що при обертальному русі цінробіжне прискорення дорівнює доцентровому.

Асламазов Л.Г. Рух колом // Квант. – 1972. – № 9. – С. 51-57.

За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант»

Для опису руху по колу поряд із лінійною швидкістю вводять поняття кутової швидкості. Якщо точка під час руху по колу за час Δ tописує дугу, кутова міра якої Δφ, то кутова швидкість .

Кутова швидкість ω пов'язана з лінійною швидкістю υ співвідношенням υ = ω· r, де r- радіус кола, яким рухається точка (рис. 1). Поняття кутової швидкості особливо зручне для опису обертання твердого тіланавколо осі. Хоча лінійні швидкості у точок, що знаходяться на різній відстані від осі, будуть неоднаковими, їх кутові швидкості дорівнюють, і можна говорити про кутову швидкість обертання тіла в цілому.

Завдання 1. Диск радіусу rкотиться без прослизання горизонтальною площиною. Швидкість центру диска стала і дорівнює υ п. З якою кутовою швидкістю при цьому обертається диск?

Кожна точка диска бере участь у двох рухах - у поступальному русі зі швидкістю υ п разом з центром диска і в обертовому русі навколо центру з деякою кутовою швидкістю?

Для знаходження ω скористаємося відсутністю прослизання, тобто тим, що в кожний момент часу швидкість точки диска, що стикається з площиною, дорівнює нулю. Це означає, що для точки А(рис. 2) швидкість поступального руху υ п дорівнює за величиною та протилежна за напрямом лінійної швидкості обертального руху υ вр = ω· r. Звідси одразу отримуємо.

Завдання 2.Знайти швидкість точок У, Зі Dтого ж диска (рис. 3).

Розглянемо спочатку крапку У. Лінійна швидкість її обертального руху спрямована вертикально вгору та дорівнює , Тобто за величиною дорівнює швидкості поступального руху, яка, однак, спрямована горизонтально. Складаючи векторно ці дві швидкості, знаходимо, що результуюча швидкість υ Bза величиною дорівнює і утворює кут 45 з горизонтом. У точки Зшвидкості обертального та поступального руху спрямовані в один бік. Результуюча швидкість Cдорівнює 2υ п і спрямована горизонтально. Аналогічно перебуває і швидкість точки D(Див. рис. 3).

Навіть у тому випадку, коли швидкість точки, що рухається по колу, не змінюється за величиною, точка має деяке прискорення, оскільки змінюється напрямок вектора швидкості. Це прискорення називається доцентровим. Воно спрямоване до центру кола і дорівнює ( R- радіус кола, ω і υ - кутова та лінійна швидкості точки).

Якщо ж швидкість точки, що рухається по колу, змінюється не тільки за напрямом, а й за величиною, то поряд з доцентровим прискоренням існує і так зване тангенціальнеприскорення. Воно спрямоване по дотичній до кола і дорівнює відношенню (? - зміна величини швидкості за час? t).

Завдання 3.Знайти прискорення крапок А, У, Зі Dдиска радіусу r, що котиться без прослизання горизонтальною площиною. Швидкість центру диска постійна та дорівнює υ п (рис. 3).

У системі координат, пов'язаної з центром диска, диск обертається з кутовою швидкістю ω, а площина рухається поступово зі швидкістю п. Прослизання між диском і площиною відсутня, отже, . Швидкість поступального руху υ п не змінюється, тому кутова швидкість обертання диска постійна і точки диска мають лише доцентрове прискорення , спрямоване до центру диска. Оскільки система координат рухається без прискорення (з постійною швидкістю п), то в нерухомій системі координат прискорення точок диска будуть тими ж.

Перейдемо тепер до завдань на динаміку обертального руху. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли рух по колу відбувається з постійною швидкістю. Так як прискорення тіла при цьому спрямоване до центру, то і векторна сума всіх сил, прикладених до тіла, повинна бути спрямована до центру, і за II законом Ньютона.

Слід пам'ятати, що у праву частину цього рівняння входять лише реальні сили, що діють це тіло з боку інших тіл. ніякий доцентрової силипри русі по колу немає. Цим терміном користуються просто для позначення рівнодіючої сил, прикладених до тіла, що рухається по колу. Що стосується відцентрової сили, вона виникає тільки при описі руху по колу в неінерціальній (вертається) системі координат. Ми користуватися тут поняттям відцентрової та відцентрової сили взагалі не будемо.

Завдання 4. Визначити найменший радіус заокруглення дороги, яке автомобіль може пройти при швидкості υ = 70 км/год та коефіцієнті тертя шин об дорогу k =0,3.

Р = m·g, сила реакції дороги Nі сила тертя Fтp між шинами автомобіля та дорогою. Сили Рі Nспрямовані вертикально та рівні за величиною: P = N. Сила тертя, що перешкоджає прослизання («занесення») автомобіля, спрямована до центру повороту і повідомляє доцентрове прискорення: . Максимальне значення сили тертя Fтр max = k· N = k· m·g, Тому мінімальне значення радіуса кола, за якою ще можливий рух зі швидкістю υ, визначається з рівняння . Звідси (м).

Сила реакції дороги Nпід час руху автомобіля по колу не проходить через центр ваги автомобіля. Це пов'язано з тим, що її момент щодо центру тяжіння повинен компенсувати момент сили тертя, що прагне перекинути автомобіль. Величина сили тертя тим більше, ніж більше швидкістьавтомобіля. При деякому значенні швидкості момент сили тертя перевищить момент сили реакції і автомобіль перекинеться.

Завдання 5. При якій швидкості автомобіль, що рухається дугою кола радіуса R= 130 м, може перекинутися? Центр ваги автомобіля знаходиться на висоті h= 1 м над дорогою, ширина сліду автомобіля l= 1,5 м (рис. 4).

У момент перекидання автомобіля як сила реакції дороги N, так і сила тертя Fтp додані до «зовнішнього» колеса. Під час руху автомобіля по колу зі швидкістю υ на нього діє сила тертя. Ця сила створює момент щодо центру тяжіння автомобіля. Максимальний момент сили реакції дороги N = m·gщодо центру тяжіння дорівнює (у момент перекидання сила реакції проходить через зовнішнє колесо). Прирівнюючи ці моменти, знайдемо рівняння для максимальної швидкості, при якій автомобіль ще не перекинеться:

Звідки ≈ 30 м/с ≈ 110 км/год.

Щоб автомобіль міг рухатися з такою швидкістю, необхідний коефіцієнт тертя (див. попереднє завдання).

Аналогічна ситуація виникає при повороті мотоцикла чи велосипеда. Сила тертя, що створює доцентрове прискорення, має момент щодо центру тяжкості, що прагне перекинути мотоцикл. Тому для компенсації цього моменту моментом сили реакції дороги мотоцикліст нахиляється у бік повороту (рис. 5).

Завдання 6. Мотоцикліст їде горизонтальною дорогою зі швидкістю υ = 70 км/год, роблячи поворот радіусом R= 100 м. На який кут α до горизонту він повинен при цьому нахилитися, щоби не впасти?

Сила тертя між мотоциклом і дорогою, оскільки вона повідомляє мотоциклісту доцентрове прискорення. Сила реакції дороги N = m·g. Умова рівності моментів сили тертя та сили реакції щодо центру тяжіння дає рівняння: Fтp · l· Sin α = N· l· cos α, де l- відстань ОАвід центру важкості до сліду мотоцикла (див. рис. 5).

Підставляючи сюди значення Fтp і N, знаходимо що або . Зазначимо, що рівнодіюча сил Nі Fтp при цьому вугіллі нахилу мотоцикла проходить через центр тяжіння, що забезпечує рівність нулю сумарного моменту сил Nі Fтp.

Для того, щоб збільшити швидкість руху по заокругленню дороги, ділянку дороги на повороті роблять похилою. При цьому у створенні доцентрового прискорення, крім сили тертя, бере участь і сила реакції дороги.

Завдання 7. З якою максимальною швидкістю може рухатися автомобіль по похилому треку з кутом нахилу α при радіусі закруглення Rі коефіцієнт тертя шин про дорогу k?

На автомобіль діють сила тяжіння m·g, сила реакції N, спрямована перпендикулярно площині треку, та сила тертя Fтp, спрямована вздовж треку (рис. 6).

Так як нас не цікавлять в даному випадку моменти сил, що діють на автомобіль, ми намалювали всі сили, додані до центру тяжіння автомобіля. Векторна сума всіх сил повинна бути спрямована до центру кола, яким рухається автомобіль, і повідомляти йому доцентрове прискорення. Тому сума проекцій сил на напрямок до центру (горизонтальний напрямок) дорівнює , тобто

Сума проекцій усіх сил на вертикальний напрямок дорівнює нулю:

N· cos α – m·g – Fт p · sin α = 0.

Підставляючи у ці рівняння максимальне можливе значення сили тертя Fтp = k·Nта виключаючи силу N, знаходимо максимальну швидкість , з якою ще можливий рух таким треком. Цей вираз завжди більший за значення , що відповідає горизонтальній дорозі.

Розібравшись із динамікою повороту, перейдемо до завдань на обертальний руху вертикальній площині.

Завдання 8. Автомобіль маси m= 1,5 т рухається зі швидкістю υ = 70 км/год дорогою, показаною малюнку 7. Ділянки дороги АВі НДможна вважати дугами кіл радіуса R= 200 м, що стосуються один одного в точці У. Визначити силу тиску автомобіля на дорогу у точках Аі З. Як змінюється сила тиску при проходженні автомобілем точки У?

У точці Ана автомобіль діють сила тяжіння Р = m·gта сила реакції дороги N A. Векторна сума цих сил має бути спрямована до центру кола, тобто вертикально вниз, і створювати доцентрове прискорення: , звідки (Н). Сила тиску автомобіля на дорогу дорівнює за величиною та протилежна за напрямом силою реакції. У точці Звекторна сума сил спрямована вертикально вгору: (Н). Таким чином, у точці Асила тиску менше сили тяжіння, а в точці З- Більше.

У точці Уавтомобіль переходить з опуклої ділянки дороги на увігнуту (або навпаки). При русі опуклою ділянкою проекція сили тяжіння на напрям до центру повинна перевищувати силу реакції дороги N B 1 , причому . При русі увігнутою ділянкою дороги, навпаки, сила реакції дороги N У 2 перевищує проекцію сили тяжіння: .

З цих рівнянь отримуємо, що при проходженні точки Усила тиску автомобіля на дорогу змінюється стрибком на величину ≈ 6·10 3 Н. Зрозуміло, такі ударні навантаження діють руйнівно як автомобіль, і на дорогу. Тому дороги та мости завжди намагаються робити так, щоб їхня кривизна змінювалася плавно.

При русі автомобіля по колу з постійною швидкістю сума проекцій усіх сил на напрямок, що стосується кола, повинна дорівнювати нулю. У нашому випадку дотична складова сили тяжіння врівноважується силою тертя між колесами автомобіля та дорогою.

Величина сили тертя регулюється обертальним моментом, що прикладається до колес з боку двигуна. Цей момент прагне викликати прослизання коліс щодо дороги. Тому виникає сила тертя, що перешкоджає прослизання і пропорційна прикладеному моменту. Максимальне значення сили тертя дорівнює k·N, де k- коефіцієнт тертя між шинами автомобіля та дорогою, N- Сила тиску на дорогу. При русі автомобіля вниз сила тертя грає роль гальмуючої сили, а при русі вгору, навпаки, роль сили тяги.

Завдання 9. Автомобіль масою m= 0,5 т, що рухається зі швидкістю υ = 200 км/год, здійснює «мертву петлю» радіусу R= 100 м (рис. 8). Визначити силу тиску автомобіля на дорогу у верхній точці петлі А; у точці Урадіус-вектор якої становить кут α = 30º з вертикаллю; у точці З, В якій швидкість автомобіля спрямована вертикально. Чи можливий рух автомобіля по петлі з такою постійною швидкістю при коефіцієнті тертя шин про дорогу k = 0,5?

У верхній точці петлі сила тяжіння та сила реакції дороги N Aспрямовані вертикально донизу. Сума цих сил створює доцентрове прискорення: . Тому н.

Сила тиску автомобіля на дорогу дорівнює за величиною та протилежна за напрямом силою N А.

У точці Удоцентрове прискорення створюється сумою сили реакції та проекції сили тяжіння на напрям до центру: . Звідси н.

Легко бачити, що NB > N A; із збільшенням кута α сила реакції дороги збільшується.

У точці Зсила реакції Н; доцентрове прискорення в цій точці створюється тільки силою реакції, а сила тяжіння спрямована по дотичній. При русі нижньою частиною петлі сила реакції перевищуватиме і максимальне значення Н сила реакції має у точці D. Значення таким чином, є мінімальним значенням сили реакції.

Швидкість автомобіля буде постійною, якщо дотична складова сили тяжіння не перевищує максимальної сили тертя. k·Nу всіх точках петлі. Ця умова свідомо виконується, якщо мінімальне значення перевищує максимальне значення дотичної складової сили ваги. У нашому випадку це максимальне значення дорівнює m·g(воно досягається в точці З), і умова виконується при k= 0,5, = 200 км/год, R= 100 м-коду.

Таким чином, у нашому випадку рух автомобіля «мертвою петлею» з постійною швидкістю можливий.

Розглянемо тепер рух автомобіля «мертвою петлею» з вимкненим мотором. Як ми вже відзначали, зазвичай момент сили тертя протидіє моменту, прикладеному до колес з боку мотора. При русі автомобіля з вимкненим двигуном цього моменту немає, і силою тертя між колесами автомобіля і дорогою можна знехтувати.

Швидкість автомобіля вже не буде постійною - дотична складова сили тяжіння уповільнює або прискорює рух автомобіля «мертвою петлею». Центрошвидке прискорення теж змінюватиметься. Створюється воно, як завжди, рівнодіючої сили реакції дороги та проекції сили тяжіння на напрямок до центру петлі.

Завдання 10. Яку найменшу швидкість повинен мати автомобіль у нижній точці петлі D(див. рис. 8) для того, щоб зробити її з вимкненим двигуном? Чому дорівнюватиме при цьому сила тиску автомобіля на дорогу в точці У? Радіус петлі R= 100 м, маса автомобіля m= 0,5 т.

Подивимося, яку мінімальну швидкість може мати автомобіль у верхній точці петлі Ащоб продовжувати рухатися по колу?

Центрошвидке прискорення в цій точці дороги створюється сумою сили тяжкості та сили реакції дороги . Чим меншу швидкість має автомобіль, тим менша виникає сила реакції N A. При значенні ця сила перетворюється на нуль. При меншій швидкості сила тяжкості перевищить значення, необхідне створення доцентрового прискорення, і автомобіль відірветься від дороги. При швидкості сила реакції дороги перетворюється на нуль лише у верхній точці петлі. Насправді швидкість автомобіля на інших ділянках петлі буде більшою, і як легко бачити з вирішення попередньої задачі, сила реакції дороги теж буде більшою, ніж у точці А. Тому, якщо автомобіль у верхній точці петлі має швидкість, то він ніде не відірветься від петлі.

Тепер визначимо, яку швидкість повинен мати автомобіль у нижній точці петлі D, щоб у верхній точці петлі Айого швидкість. Для знаходження швидкості υ Dможна скористатися законом збереження енергії, якби автомобіль рухався лише під дією сили тяжіння. Справа в тому, що сила реакції дороги в кожен момент спрямована перпендикулярно до переміщення автомобіля, а, отже, її робота дорівнює нулю (нагадаємо, що робота Δ A = F·Δ s· cos α, де α - кут між силою Fта напрямом переміщення Δ s). Силою тертя між колесами автомобіля і дорогою під час руху з вимкненим мотором можна знехтувати. Тому сума потенційної та кінетичної енергії автомобіля при русі з вимкненим мотором не змінюється.

Прирівняємо значення енергії автомобіля у точках Аі D. При цьому відраховуватимемо висоту від рівня точки D, тобто потенційну енергію автомобіля в цій точці вважатимемо рівною нулю. Тоді отримуємо

Підставляючи сюди значення для швидкої швидкості υ D, знаходимо: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/год.

Якщо автомобіль в'їде в петлю з такою швидкістю, він зможе зробити її з вимкненим мотором.

Визначимо тепер, з якою силою при цьому автомобіль тиснутиме на дорогу в точці У. Швидкість автомобіля у точці Узнову легко знаходиться із закону збереження енергії:

Підставляючи сюди значення , знаходимо, що швидкість .

Скориставшись розв'язанням попередньої задачі, по заданій швидкості знаходимо силу тиску в точці B:

Аналогічно можна знайти силу тиску в будь-якій точці «мертвої петлі».

Вправи

1. Знайти кутову швидкість штучного супутникаЗемлі, що обертається круговою орбітою з періодом звернення Т= 88 хв. Знайти лінійну швидкість руху цього супутника, якщо відомо, що його орбіта розташована з відривом R= 200 км від Землі.

2. Диск радіусу Rвміщений між двома паралельними рейками. Рейки рухаються зі швидкостями 1 і 2 . Визначити кутову швидкість обертання диска та швидкість його центру. Прослизання відсутнє.

3. Диск котиться горизонтальною поверхнею без прослизання. Показати, що кінці векторів швидкостей точок вертикального діаметра знаходяться на одній прямій.

4. Літак рухається по колу з постійною горизонтальною швидкістю = 700 км/год. Визначити радіус Rцього кола, якщо корпус літака нахилений на кут α = 5°.

5. Вантаж маси m= 100 г, підвішений на нитки довжини l= 1 м, рівномірно обертається по колу у горизонтальній площині. Знайти період обігу вантажу, якщо його обертання нитка відхилена по вертикалі на кут α = 30°. Визначити також натяг нитки.

6. Автомобіль рухається зі швидкістю υ = 80 км/год по внутрішній поверхні вертикального циліндра радіусу R= 10 м за горизонтальним колом. При якому мінімальному коефіцієнті тертя між шинами автомобіля та поверхнею циліндра це можливо?

7. Вантаж масою mпідвішений на нерозтяжній нитці, максимально можливе натяг якої дорівнює 1,5 m·g. На який максимальний кут можна відхилити нитку від вертикалі, щоб при подальшому русі вантажу нитка не обірвалася? Чому дорівнюватиме при цьому натяг нитки в той момент, коли нитка складе кут α/2 з вертикаллю?

Відповіді

I. Кутова швидкість штучного супутника Землі ≈ 0,071 рад/с. Лінійна швидкість супутника υ = ω· R. де R- Радіус орбіти. Підставляючи сюди R = R 3 + h, де R 3 ≈ 6400 км, знаходимо υ ≈ 467 км/с.

2. Тут можливі два випадки (рис. 1). Якщо кутова швидкість диска ω, а швидкість його центру υ, швидкості точок, що стикаються з рейками, будуть відповідно рівні

у разі a) υ 1 = υ + ω· R, υ 2 = υ - ω · R;

у разі б) υ 1 = υ + ω· R, υ 2 = ω · R – υ.

(Ми прийняли для визначеності, що 1> 2). Вирішуючи ці системи, знаходимо:

а)

б)

3. Швидкість будь-якої точки М, що лежить на відрізку ОВ(див. рис. 2), знаходиться за формулою υ M = υ + ω· rM, де r M- Відстань від точки Мдо центру диска Про. Для будь-якої точки N, що належить відрізку ОА, маємо: υ N = υ – ω· rN, де r N- Відстань від точки Nдо центру. Позначимо через відстань від будь-якої точки діаметра ВАдо точки Адотику диска з площиною. Тоді очевидно, що r M = ρ – Rі r N = R – ρ = –(ρ – R). де R- Радіус диска. Тому швидкість будь-якої точки на діаметрі ВАзнаходиться за формулою: ρ = υ + ω · (ρ - R). Так як диск котиться без прослизання, то і для швидкості ρ отримуємо ρ = ω · ρ. Звідси випливає, що кінці векторів швидкостей знаходяться на прямій, що виходить із точки Ата нахиленою до діаметру ВАпід кутом, пропорційним кутовій швидкості обертання диска?

Доведене твердження дозволяє зробити висновок, що складний рух точок, що знаходяться на діаметрі ВА, можна в кожний момент розглядати як просте обертання навколо нерухомої точки Аз кутовою швидкістю ω, що дорівнює кутовий швидкості обертання навколо центру диска. Справді, кожен момент швидкості цих точок спрямовані перпендикулярно діаметру ВА, а за величиною рівні добутку на відстань до точки А.

Виявляється, що це твердження є справедливим для будь-якої точки диска. Більше того, воно є загальним правилом. За будь-якого руху твердого тіла у кожний момент існує вісь, навколо якої тіло просто обертається - миттєва вісь обертання.

4. На літак діють сила тяжіння (див. рис. 3). Р = m·gта підйомна сила N, Спрямована перпендикулярно площині крил (оскільки літак рухається з постійною швидкістю, то сила тяги і сила лобового опору повітря врівноважують один одного). Рівнодійна сил Р

6. На автомобіль діють (рис. 5) сила тяжіння Р = m·g, сила реакції з боку циліндра Nі сила тертя Fтp. Оскільки автомобіль рухається горизонтальним колом, то сили Рі Fтp врівноважують один одного, а сила Nстворює доцентрове прискорення. Максимальне значення сили тертя пов'язане із силою реакції Nспіввідношенням: Fтp = k·N. В результаті отримуємо систему рівнянь: , з якої знаходиться мінімальне значення коефіцієнта тертя

7. Вантаж рухатиметься по колу радіусу l(Рис. 6). Центрошвидке прискорення вантажу (υ - швидкість вантажу) створюється різницею величин сили натягу нитки Тта проекції сили тяжіння m·gнапрямок нитки: . Тому , де - кут, утворений ниткою з вертикаллю. У міру того, як вантаж опускатиметься, його швидкість зростатиме, а кут β зменшуватиметься. Натяг нитки стане максимальним при вугіллі β = 0 (у той момент, коли нитка буде вертикальною): . Максимальна швидкість вантажу υ 0 знаходиться по куту α, на який відхиляють нитку із закону збереження енергії:

Використовуючи це співвідношення, для максимального значення натягу нитки отримуємо формулу: T m ax = m·g· (3 - 2 cos α). За умовою завдання T m ах = 2m·g. Прирівнюючи ці вирази, знаходимо cos = 0,5 і, отже, = 60°.

Визначимо тепер натяг нитки при . Швидкість вантажу в цей момент також знаходиться із закону збереження енергії:

Підставляючи значення 1 у формулу для сили натягу, знаходимо:

Повернемося тепер до нашого завдання - знайти прискорення, з яким тіло рухається по колу з постійною модулем швидкістю.

Прискорення, як відомо, визначається за формулою

де - Швидкість тіла в деякий початковий момент часу, а - його швидкість через проміжок часу . У нашому випадку модулі швидкостей і дорівнюють один одному.

Припустимо, що тіло рухається по колу радіусом і що у певний час воно перебуває у точці А (рис. 67).

Чому дорівнює прискорення у цій точці? Швидкість у цій точці спрямована щодо до кола в точці А. Через сік тіло виявляється в точці В, і швидкість його тепер

направлена ​​по дотичній до кола в точці В. За модулем швидкості і 10 рівні (довжини стрілок і однакові).

Ми хочемо знайти прискорення у точці А кола (миттєве прискорення). Тому точки А і В ми повинні взяти близькими один до одного, настільки близькими, щоб дуга ніби стягнулася до крапки.

З'ясуємо спочатку, як спрямоване це прискорення.

Проведемо з центру Про коло радіуси до точок А і В. Радіус кола перпендикулярний до дотичної в точці торкання, отже, радіуси і перпендикулярні векторам і Щоб дізнатися напрям вектора прискорення, потрібно знайти вектор, рівний різниці векторів та його напрямок - це і є напрям вектора прискорення. Як виробляють віднімання векторів, ми вже знаємо (див. § 6). Щоб знайти різницю вектори і розташуємо так, щоб вони виходили з однієї точки (рис. 68), і з'єднаємо їх кінці, направивши стрілку від віднімається до зменшуваного (від кінця вектора до кінця вектора Вектор і є різниця векторів Отже, уздовж вектора спрямоване прискорення). Що можна сказати про цей напрямок?

Трикутник (див. рис. 68) рівнобедрений. Кут при вершині А дорівнює кутуміж радіусами та (рис. 67), оскільки вони утворені взаємно перпендикулярними сторонами. Точки А і В розташовані близько одна до одної, тому кут дуже малий (близький до нуля). Кожен із кутів при основі трикутника близький до прямого, оскільки сума кутів трикутника дорівнює двом прямим. Це означає, що вектор

перпендикулярно до вектора швидкості. Значить, і прискорення перпендикулярно швидкості. Але швидкість спрямована дотичною до кола в точці А, а дотична перпендикулярна радіусу. Значить, і прискорення спрямоване радіусом до центру кола. Його тому називають доцентровим прискоренням.

При рівномірному русі тіла по колу прискорення в будь-якій її точці перпендикулярно швидкості руху і спрямоване до центру кола.

Ця цікава особливість прискорення при русі по колу з постійною модулем швидкістю показана на малюнку 69.

Знайдемо тепер модуль доцентрового прискорення. Для цього потрібно знайти, чому дорівнює абсолютне значення величини З малюнка 68 видно, що модуль різниці векторів дорівнює довжині відрізка. Але, як знаємо (див. § 24), довжина такий дуги дорівнює Отже, Абсолютне значення прискорення дорівнює . Але кутова швидкість. Тому

Прискорення тіла, що рухається по колу, дорівнює добутку його лінійної швидкості і кутової швидкості повороту радіуса, проведеного до тіла.

Формулу для доцентрового прискорення зручніше уявити в такому вигляді, щоб до неї входила величина радіуса кола, по якому рухається тіло. Так як кутова і лінійна швидкості пов'язані співвідношенням (- радіус кола), то, підставивши цей вираз у формулу отримаємо:

Але тому формулу для доцентрового прискорення можна записати ще й так:

При рівномірному русі по колу тіло рухається з

прискоренням, яке спрямоване по радіусу до центру кола та модуль якого визначається виразом

Отже, вірно і зворотне: якщо відомо, що швидкість тіла дорівнює і прискорення тіла у всіх точках перпендикулярно вектору його швидкості і за абсолютним значенням, то можна стверджувати, що таке тіло рухається по колу, радіус якого визначається формулою

Значить, якщо нам відомі початкова швидкість тіла і абсолютне значення його доцентрового прискорення, ми можемо зобразити коло, по якому тіло буде рухатися, і знайти його положення в будь-який момент часу (початкове положення тіла має бути, звичайно, відомо). Тим самим буде вирішено основне завдання механіки.

Нагадаємо, що прискорення при рівномірному русі по колу нас цікавить тому, що всякий рух по криволінійній траєкторії є рухом по дугах кіл різних радіусів.

Тепер ми можемо сказати, що при рівномірному русі в будь-якій точці криволінійної траєкторії тіло рухається з прискоренням, спрямованим до центру того кола, частиною якого є траєкторія поблизу цієї точки. Чисельне значення прискорення залежить від швидкості тіла в цій точці і від радіусу відповідного кола. На малюнку 70 показана деяка складна траєкторія та зазначені вектори доцентрового прискорення в різних точках траєкторії.

Завдання. Літак, виходячи з піке, рухається дугою, яка в нижній своїй частині є дугою кола радіусом 500 м (рис. 71). Обчисліть прискорення літака в нижчій точці, якщо швидкість дорівнює 800 км/год, і порівняйте отримане значення з прискоренням вільного падіння.

4. Точильний круг, радіус якого дорівнює 10 см, при обертанні робить 1 оборот за 0,2 сек. Знайдіть швидкість точок, найбільш віддалених від осі обертання.

5. Автомобіль рухається заокругленням дороги радіусом 100 м зі швидкістю 54 км/год. Яка величина доцентрового прискорення автомобіля?

6. Період обігу першого корабля-супутника «Схід» навколо Землі дорівнював 90 хв. Середню висоту корабля-супутника над Землею вважатимуться рівною 320 км. Радіус Землі дорівнює 6400 км. Обчисліть швидкість корабля.

7. Якою є швидкість руху автомобіля, якщо його колеса радіусом 30 см роблять 10 оборотів в 1 сек?

8. Два шківи, ​​радіуси яких з'єднані нескінченним ременем. Період обертання шківа меншого радіусу дорівнює 0,5 сек. Яка швидкість переміщення точок ременя? Який період обертання другого шківа?

9. Місяць рухається навколо Землі на відстані 385 000 км від неї, роблячи один оборот за 27,3 діб. Обчисліть відцентрове прискорення Місяця.