Кутове переміщення, кутова швидкість, кутове прискорення, зв'язок. Кінематика обертального руху твердого тіла Що таке вектор кута повороту
З лінійними величинами.
Кутове переміщення- Векторна величина, що характеризує зміна кутової координати в процесі її руху.
Кутова швидкість- Векторна фізична величина, Що характеризує швидкість обертання тіла Вектор кутової швидкості за величиною дорівнює кутуповороту тіла в одиницю часу:
а спрямований по осі обертання згідно з правилом свердла, тобто, в той бік, в який би вкручувався свердлик з правим різьбленням, якби обертався в ту ж сторону.
Одиниця виміру кутової швидкості, прийнята в системах СІ та СГС) - радіани за секунду. (Примітка: радіан, як і будь-які одиниці виміру кута, – фізично безрозмірний, тому фізична розмірність кутової швидкості – просто). У техніці також використовуються оберти за секунду, набагато рідше - градуси за секунду, гради за секунду. Мабуть, найчастіше в техніці використовують оберти за хвилину - це з тих часів, коли частоту обертання тихохідних парових машин визначали, просто «вручну» підраховуючи кількість обертів за одиницю часу.
Вектор (миттєвої) швидкості будь-якої точки (абсолютно) твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю визначається формулою:
де - радіус-вектор до цієї точки з початку координат, розташованого на осі обертання тіла, а квадратними дужками позначено векторний добуток. Лінійну швидкість (збігається з модулем вектора швидкості) точки на певній відстані (радіусі) r від осі обертання можна вважати так: v = rω. Якщо замість радіанів застосовувати інші одиниці кутів, то двох останніх формулах з'явиться множник, не рівний одиниці.
У разі плоского обертання, тобто коли всі вектори швидкостей точок тіла лежать (завжди) в одній площині (площині обертання), кутова швидкість тіла завжди перпендикулярна цій площині, і по суті - якщо площина обертання свідомо відома - може бути замінена скаляром - проекцією на вісь, ортогональну площину обертання. У цьому випадку кінематика обертання сильно спрощується, однак у загальному випадку кутова швидкість може змінювати згодом напрямок у тривимірному просторі, і така спрощена картина не працює.
Похідна кутова швидкість за часом є кутове прискорення.
Рух із постійним вектором кутової швидкості називається рівномірним обертальним рухом (у цьому випадку кутове прискорення дорівнює нулю).
Кутова швидкість (розглянута як вільний вектор) однакова у всіх інерційних системах відліку, однак у різних інерційних системах відліку може відрізнятися вісь або центр обертання одного і того ж конкретного тіла в один і той же момент часу (тобто буде різною «точка докладання» кутовий швидкості).
У разі руху однієї єдиної точки в тривимірному просторі можна написати вираз для кутової швидкості цієї точки щодо обраного початку координат:
Де – радіус-вектор точки (з початку координат), – швидкість цієї точки. - Векторний твір, - скалярний твір векторів. Однак ця формула не визначає кутову швидкість однозначно (у випадку єдиної точки можна підібрати й інші вектори, що підходять за визначенням, інакше - довільно - вибравши напрямок осі обертання), а для загального випадку (коли тіло включає більше однієї матеріальної точки) - ця формула не вірна для кутової швидкості всього тіла (оскільки дає різні кожної точки, а при обертанні абсолютно твердого тіла за визначенням кутова швидкість його обертання - єдиний вектор). При всьому цьому, у двовимірному випадку (у разі плоского обертання) ця формула цілком достатня, однозначна і коректна, тому що в цьому окремому випадку напрям осі обертання свідомо однозначно визначено.
У разі рівномірного обертального руху(тобто рухи з постійним вектором кутової швидкості) декартові координати точок тіла, що обертається, так здійснюють гармонійні коливання з кутовою (циклічною) частотою, що дорівнює модулю вектора кутової швидкості.
При вимірі кутової швидкості в оборотах в секунду (про/с) модуль кутової швидкості рівномірного обертального руху збігається з частотою обертання f, виміряної в герцах (Гц)
(Тобто в таких одиницях).
У разі використання звичайної фізичної одиниці кутової швидкості - радіанів на секунду - модуль кутової швидкості пов'язаний із частотою обертання так:
Нарешті, при використанні градусів за секунду зв'язок із частотою обертання буде:
Кутове прискорення- псевдовекторна фізична величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла.
При обертанні тіла навколо нерухомої осі, кутове прискорення по модулю дорівнює:
Вектор кутового прискорення α спрямований уздовж осі обертання (убік при прискореному обертанні та протилежно - при уповільненому).
При обертанні навколо нерухомої точки вектор кутового прискорення визначається як перша похідна від вектора кутової швидкості за часом, тобто
і направлений по дотичній до годограф вектора у відповідній його точці.
Існує зв'язок між тангенціальним та кутовим прискореннями:
де R - радіус кривизни траєкторії точки на даний момент часу. Отже, кутове прискорення одно другий похідної від кута повороту за часом або першої похідної від кутової швидкості часу. Кутове прискорення вимірюється в рад/сек2.
Кутова швидкість та кутове прискорення
Розглянемо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі. Тоді окремі точки цього тіла описуватимуть кола різних радіусів, центри яких лежать на осі обертання. Нехай деяка точка рухається по колу радіусу R(Рис. 6). Її положення через проміжок часу D tзадаємо кутом D . Елементарні (нескінченно малі) повороти можна розглядати як вектори (вони позначаються або ) . Модуль вектора дорівнює куту повороту, яке напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта, головка якого обертається у бік руху точки по колу, тобто. підкоряється правилу правого гвинта(Рис.6). Вектори, напрями яких пов'язуються з напрямком обертання, називаються псевдовекторамиабо аксіальних векторів.Ці вектори не мають певних точок застосування: вони можуть відкладатися з будь-якої точки осі обертання.
Кутовою швидкістюназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кута повороту тіла за часом:
Вектор спрямований вздовж осі обертання за правилом гвинта, тобто. як і вектор (рис.7). Розмірність кутової швидкості dim w =T - 1 , а її одиниця - радіан за секунду (рад/с).
Лінійна швидкість точки (див. рис. 6)
У векторному вигляді формулу для лінійної швидкості можна написати як векторний добуток:
При цьому модуль векторного твору, за визначенням, дорівнює , а напрямок збігається з напрямком поступального руху правого гвинта при його обертанні R.
Якщо ( = const, то обертання рівномірне і його можна характеризувати періодом обертання T - часом, протягом якого точка робить один повний оборот, тобто. повертається на кут 2p. Оскільки проміжок часу D t= Tвідповідає = 2p, то = 2p/ T, звідки
Число повних оборотів, що здійснюються тілом при рівномірному його русі по колу, в одиницю часу називається частотою обертання:
Кутовим прискоренням називається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:
При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення спрямований вздовж осі обертання у бік елементарного вектора збільшення кутової швидкості. При прискореному русі вектор сонаправлен вектору (рис.8), при уповільненому - протиспрямований йому (рис.9).
Тангенційна складова прискорення
Нормальна складова прискорення
Таким чином, зв'язок між лінійними (довжина шляху s, пройденого точкою по дузі кола радіусу R, лінійна швидкість v,тангенціальне прискорення , нормальне прискорення ) та кутовими величинами (кут повороту j, кутова швидкість w, кутове прискорення e) виражається такими формулами:
У разі рівнозмінного руху точки по колу (e=const)
де w 0 - Початкова кутова швидкість.
Закони Ньютона.
Перший закон Ньютона. Маса. Сила
Динаміка є основним розділом механіки, в її основі лежать три закони Ньютона, сформульовані ним у 1687 р. Закони Ньютона відіграють виняткову роль у механіці та є (як і всі фізичні закони) узагальненням результатів величезного людського досвіду. Їх розглядають як систему взаємопов'язаних законіві дослідну перевірку піддають не кожен окремий закон, а всю систему в цілому.
Перший закон Ньютона: будь-яка матеріальна точка(тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки вплив з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан. Прагнення тіла зберігати стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху називається інертністю. Тому перший закон Ньютона називають також законом інерції.
Механічне рух щодо, та її характер залежить від системи отсчета. Перший закон Ньютона виконується не у будь-якій системі відліку, а ті системи, стосовно яких він виконується, називаються інерційними системами відліку. Інерційною системою відліку є така система відліку, щодо якої матеріальна точка, вільна від зовнішніх впливів,або спочиває, або рухається рівномірно і прямолінійно. Перший закон Ньютона затверджує існування інерційних систем відліку.
Досвідченим шляхом встановлено, що інерційною можна вважати геліоцентричну (зоряну) систему відліку (початок координат знаходиться в центрі Сонця, а осі здійснені у напрямку певних зірок). Система відліку, пов'язана із Землею, строго кажучи, неінерційна, проте ефекти, зумовлені її неінерціальністю (Земля обертається навколо власної осі та навколо Сонця), при вирішенні багатьох завдань дуже малі, і в цих випадках її можна вважати інерційною.
З досвіду відомо, що при однакових впливах різні тіла неоднаково змінюють швидкість свого руху, тобто, іншими словами, набувають різних прискорень. Прискорення залежить як від величини впливу, а й від властивостей самого тіла (від його маси).
Масатіла - фізична величина, що є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні ( інертна маса) та гравітаційні ( гравітаційна маса) властивості. Нині вважатимуться доведеним, що інертна і гравітаційна маси рівні одна одній (з точністю, щонайменше 10 –12 їх значення).
Щоб описувати впливи, що згадуються у першому законі Ньютона, вводять поняття сили. Під дією сил тіла або змінюють швидкість руху, тобто набувають прискорення (динамічний прояв сил), або деформуються, тобто змінюють свою форму та розміри (статичний прояв сил). У кожний момент часу сила характеризується числовим значенням, напрямом у просторі та точкою програми. Отже, сила- це векторна величина, яка є мірою механічного впливуна тіло з боку інших тіл або полів, в результаті якого тіло набуває прискорення або змінює свою форму та розміри.
Другий закон Ньютона
Другий закон Ньютона - основний закон динаміки поступального руху -відповідає питанням, як змінюється механічне рух матеріальної точки (тіла) під впливом прикладених до неї сил.
Якщо розглянути дію різних сил на одне і те ж тіло, то виявляється, що прискорення, яке набуває тіло, завжди прямо пропорційно доданих сил, що діє:
а ~ F (т = const). (6.1)
При дії однієї і тієї ж сили на тіла з різними масами їх прискорення виявляються різними, а саме
а ~ 1 /т (F= const). (6.2)
Використовуючи вирази (6.1) та (6.2) та враховуючи, що сила та прискорення-величини векторні, можемо записати
а = kF/m. (6.3)
Співвідношення (6.3) виражає другий закон Ньютона: прискорення, придбане матеріальної точкою (тілом), що пропорційно викликає його силі, збігається з нею за напрямом і обернено пропорційно масі матеріальної точки (тіла).
У СІ коефіцієнт пропорційності k= 1. Тоді
(6.4)
Враховуючи, що маса матеріальної точки (тіла) у класичної механікиє величина стала, у виразі (6.4) її можна внести під знак похідної:
Векторна величина
чисельно рівна добутку маси матеріальної точки на її швидкість і має напрямок швидкості, називається імпульсом (кількістю руху)цієї матеріальної точки.
Підставляючи (6.6) у (6.5), отримаємо
Цей вираз - більш загальне формулювання другого закону Ньютона: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює силі, що діє на неї. Вираз (6.7) називається рівнянням руху матеріальної точки.
Одиниця сили у СІ - Ньютон(Н): 1 Н - сила, яка масі 1 кг повідомляє прискорення 1 м/с 2 у напрямку дії сили:
1 Н = 1 кг×м/с 2.
Другий закон Ньютона справедливий лише в інерційних системах відліку. Перший закон Ньютона можна одержати з другого. Справді, у разі рівності нулю рівнодіючої сил (за відсутності на тіло з боку інших тіл) прискорення (див. (6.3)) також дорівнює нулю. Проте перший закон Ньютонарозглядається як самостійний закон(а не як наслідок другого закону), оскільки саме він затверджує існування інерційних систем відліку, в яких тільки виконується рівняння (6.7).
У механіці велике значеннямає принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку діє одночасно кілька сил, то кожна з цих сил повідомляє матеріальну точку прискорення згідно з другим законом Ньютона, ніби інших сил не було. Відповідно до цього принципу, сили та прискорення можна розкладати на складові, використання яких призводить до суттєвого спрощення вирішення завдань. Наприклад, на рис. 10 діюча сила F= m a розкладена на два компоненти: тангенціальну силу F t (направлена по дотичній до траєкторії) і нормальну силу F n(Спрямована по нормалі до центру кривизни). Використовуючи вирази і , а також , можна записати:
Якщо на матеріальну точку діє одночасно кілька сил, то згідно з принципом незалежності дії сил під F у другому законі Ньютона розуміють результуючу силу.
Третій закон Ньютона
Взаємодія між матеріальними точками (тілами) визначається третім законом Ньютона: будь-яка дія матеріальних точок (тіл) один на одного носить характер взаємодії; сили, з якими діють одна на одну матеріальні точки, завжди рівні за модулем, протилежно спрямовані і діють вздовж прямої, що з'єднує ці точки:
F 12 = - F 21, (7.1)
де F 12 - сила, що діє першу матеріальну точку з боку другий;
F 21 – сила, що діє на другу матеріальну точку з боку першої. Ці сили додані до різнимматеріальним точкам (тілам), завжди діють парамиі є силами однієї природи.
Третій закон Ньютона дозволяє здійснити перехід від динаміки окремоюматеріальної точки до динаміки системиматеріальних точок. Це випливає з того, що для системи матеріальних точок взаємодія зводиться до сил парної взаємодії між матеріальними точками.
Елементарний кут повороту, кутова швидкість
Рисунок 9. Елементарний кут повороту ()
Елементарні (нескінченно малі) повороти розглядають як вектори. Модуль вектора дорівнює куту повороту, яке напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта, головка якого обертається у бік руху точки по колу, т. е. підпорядковується правилу правого гвинта.
Кутова швидкість
Вектор спрямований уздовж осі обертання за правилом правого гвинта, тобто так само, як і вектор (див. рисунок 10).
Малюнок 10.
Малюнок 11
Векторна величина, що визначається першою похідною кута повороту тіла за часом.
Зв'язок модулів лінійної та кутової швидкостей
Малюнок 12
Зв'язок векторів лінійної та кутової швидкостей
Положення даної точки задається радіусом-вектором (проводиться з лежачого на осі обертання початку координат 0). Векторний твір збігається у напрямку з вектором і має рівний модуль
Одиниця кутової швидкості - .
Псевдовектори (аксіальні вектори) - вектори, напрями яких пов'язуються із напрямком обертання (наприклад,). Ці вектори не мають певних точок застосування: вони можуть відкладатися з будь-якої точки на осі обертання.
Рівномірний рух матеріальної точки по колу
Рівномірний рух коло - рух, у якому матеріальна точка (тіло) за рівні проміжки часу проходить рівні довжиною дуги окружности.
Кутова швидкість
: (-- кут повороту).
Період обертання Т - час, протягом якого матеріальна точка робить один повний оборот по колу, тобто повертається на кут.
Оскільки проміжку часу відповідає, то.
Частота обертання - кількість повних оборотів, що здійснюються матеріальною точкою при рівномірному її русі по колу, в одиницю часу.
Малюнок 13
Характерна риса рівномірного руху по колу
Рівномірний рух по колу - окремий випадок криволінійного руху. Рух по колу із швидкістю, постійною за модулем (), є прискореним. Це пов'язано з тим, що з постійному модулі напрям швидкості постійно змінюється.
Прискорення матеріальної точки, що рівномірно рухається по колу
Тангенційна складова прискорення при рівномірному русіточки по колу дорівнює нулю.
Нормальна складова прискорення (відцентрове прискорення) спрямована по радіусу до центру кола (див. рис. 13). У будь-якій точці кола вектор нормального прискорення перпендикулярний вектору швидкості. Прискорення матеріальної точки, що рівномірно рухається по колу в будь-якій її точці, доцентрове.
Кутове прискорення. Зв'язок лінійних та кутових величин
Кутове прискорення - векторна величина, що визначається першою похідною кутової швидкості за часом.
Напрямок вектора кутового прискорення
При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення спрямований вздовж осі обертання у бік елементарного вектора збільшення кутової швидкості.
При прискореному русі вектор сонаправлен вектору, при уповільненому - протиспрямований йому. Вектор - псевдовектор.
Одиниця кутового прискорення - .
Зв'язок лінійних та кутових величин
(-- радіус кола; -- лінійна швидкість; -- тангенціальне прискорення; -- нормальне прискорення; -- кутова швидкість).
Рухи протяжного тіла, розмірами якого в умовах розглянутого завдання нехтувати не можна. Тіло вважатимемо недеформованим, тобто - абсолютно твердим.
Рух, у якому будь-якапряма, пов'язана з тілом, що рухається, залишається паралельною самій собі, називається поступальним.
Під прямою «жорстко пов'язаною з тілом» розуміється така пряма, відстань від будь-якої точки якої до будь-якої точки тіла залишається постійною при його русі.
Поступальний рух абсолютно твердого тіла можна охарактеризувати рухом будь-якої точки цього тіла, так як при поступальному русі всі точки тіла рухаються з тими самими швидкостями і прискореннями, а траєкторії їх руху конгруентні. Визначивши рух якийсь із точок твердого тіла, ми водночас визначимо рух решти його точок. Тому при описі поступального руху немає нових проблем порівняно з кінематикою матеріальної точки. Приклад поступального руху показано на рис. 2.20.
Рис.2.20. Поступальний рух тіла
Приклад поступального руху показано на наступному малюнку:
Рис.2.21. Плоский рух тіла
Інший важливий окремий випадок руху твердого тіла - це рух, при якому дві точки тіла залишаються нерухомими.
Рух, у якому дві точки тіла залишаються нерухомими, називається обертанням навколо нерухомої осі.
Пряма, що з'єднує ці точки, також нерухома і називається віссю обертання.
Рис.2.22. Обертання твердого тіла
При такому русі всі точки тіла рухаються по колам, розташованим у площинах перпендикулярних осі обертання. Центри кіл лежать на осі обертання. При цьому вісь обертання може бути і поза тілом.
Відео 2.4. Поступальний та обертальний рух.
Кутова швидкість, кутове прискорення.При обертанні тіла навколо будь-якої осі всі його точки описують кола різного радіусу і, отже, мають різні переміщення, швидкості та прискорення. Тим не менш, можна описати обертальний рух усіх точок тіла однаковим чином. Для цього використовують інші (порівняно з матеріальною точкою) кінематичні характеристики руху - кут повороту, кутову швидкість, кутове прискорення.
Мал. 2.23. Вектор прискорення точки, що рухається по колу
Роль переміщення при обертальному русі грає вектор малого поворотунавколо осі обертання 00" (Рис. 2.24.). Він буде однаковий для будь-якої точки абсолютно твердого тіла(наприклад, точок 1, 2, 3 ).
Мал. 2.24. Обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі
Модуль вектора повороту дорівнює величині кута повороту причому кут вимірюється у радіанах.
Направлений вектор нескінченно малого повороту по осі обертання у бік руху правого гвинта (буравчика), що обертається в тому ж напрямку, що й тіло.
Відео 2.5. Кінцеві кутові переміщення – не вектори, тому що не складаються за правилом паралелограма. Нескінченно малі кутові переміщення – вектори.
Вектори, напрями яких пов'язані з правилом свердловин, називають аксіальними(Від англ. axis- вісь) на відміну від полярних. векторів, якими користувалися раніше. Полярними векторами є, наприклад, радіус-вектор, вектор швидкості, прискорення вектор і вектор сили. Аксіальні вектори називають також псевдовекторами, тому що вони відрізняються від істинних (полярних) векторів своєю поведінкою при операції відображення в дзеркалі (інверсії або, що те саме, переході від правої системи координат до лівої). Можна показати (це буде зроблено пізніше), що додавання векторів нескінченно малих поворотів відбувається так само як і додавання справжніх векторів, тобто за правилом паралелограма (трикутника). Тому, якщо операція відображення в дзеркалі не розглядається, то відмінність псевдовекторів від справжніх векторів ніяк не проявляє себе і поводитися з ними можна і потрібно як зі звичайними векторами.
Відношення вектора нескінченно малого повороту до часу, за який цей поворот мав місце
називається кутовий швидкістю обертання.
Основною одиницею вимірювання величини кутової швидкості є радий/с. У друкованих виданнях, з причин жодного відношення до фізики не мають, нерідко пишуть 1/сабо з 1, Що, строго кажучи, неправильно. Кут – величина безрозмірна, але одиниці його виміру різні (градуси, румби, гради…) та їх необхідно вказувати, хоча б щоб уникнути непорозумінь.
Відео 2.6. Стробоскопічний ефект та його використання для дистанційного вимірювання кутової швидкості обертання.
Кутова швидкість, як і вектор , якому вона пропорційна, є аксіальним вектором. При обертанні навколо нерухомийосі кутова швидкість не змінює свого напряму При рівномірному обертанні залишається незмінною і її величина, так що вектор . У разі достатньої сталості у часі величини кутової швидкості обертання зручно охарактеризувати його періодом Т :
Період обертання- це час, протягом якого тіло здійснює один оборот (поворот на кут 2π) навколо осі обертання.
Слова «достатньої сталості» означають, очевидно, що за період (час одного обороту) модуль кутової швидкості змінюється несуттєво.
Часто використовують також число оборотів за одиницю часу
При цьому в технічних додатках (насамперед, різного роду двигуни) як одиниця часу загальноприйнято брати не секунду, а хвилину. Тобто кутова швидкість обертання вказується в обертах за хвилину. Як легко бачити, зв'язок між (у радіанах на секунду) та (в оборотах на хвилину) наступний
Напрямок вектора кутової швидкості показано на рис. 2.25.
За аналогією з лінійним прискоренням вводиться кутове прискорення як швидкість зміни вектора кутової швидкості. Кутове прискорення є аксіальним вектором (псевдовектором).
Кутове прискорення - аксіальний вектор, що визначається як похідна за часом від кутової швидкості
При обертанні навколо нерухомої осі, більш загальному випадку при обертанні навколо осі, яка залишається паралельною самій собі, вектор кутової швидкості також спрямований паралельно осі обертання. У разі зростання величини кутової швидкості || кутове прискорення збігається з нею за напрямом, при спаданні - спрямоване у протилежний бік. Підкреслимо, що це лише окремий випадок незмінності напрямку осі обертання, у загальному випадку (обертання навколо точки) вісь обертання сама повертається і тоді сказане вище неправильно.
Зв'язок кутових та лінійних швидкостей та прискорень.Кожна з точок тіла, що обертається, рухається з певною лінійною швидкістю , спрямованою по дотичній до відповідного кола (див. рис. 19). Нехай матеріальна точка обертається навколо осі 00" по колу радіусом R. За малий проміжок часу вона пройде шлях, що відповідає куту повороту. Тоді
Переходячи до межі , отримаємо вираз для модуля лінійної швидкості точки тіла, що обертається.
Нагадаємо, тут R- Відстань від розглянутої точки тіла до осі обертання.
Мал. 2.26.
Оскільки нормальне прискорення одно
то з урахуванням співвідношення для кутової та лінійної швидкості отримуємо
Нормальне прискорення точок твердого тіла, що обертається, часто називають доцентровим прискоренням.
Диференціюючи за часом вираз для , знаходимо
де - тангенціальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом R.
Таким чином, як тангенціальне, так і нормальне прискорення ростуть лінійно зі зростанням радіусу. R- Відстань від осі обертання. Повне прискорення також лінійно залежить від R :
приклад.Знайдемо лінійну швидкість і доцентрове прискорення точок, що лежать на земної поверхніна екваторі та на широті Москви (= 56°). Ми знаємо період обертання Землі навколо власної осі Т = 24 години = 24х60х60 = 86400 с. Звідси знаходиться кутова швидкість обертання
Середній радіус Землі
Відстань до осі обертання на широті дорівнює
Звідси знаходимо лінійну швидкість
та доцентрове прискорення
На екваторі = 0, cos = 1, отже,
На широті Москви cos = cos 56 ° = 0,559і отримуємо:
Ми бачимо, що вплив обертання Землі не такий великий: ставлення доцентрового прискорення на екваторі до прискорення вільного падіння одно
Проте, як побачимо надалі, ефекти обертання Землі цілком спостерігаються.
Зв'язок між векторами лінійної та кутової швидкості.Отримані вище співвідношення між кутовою та лінійною швидкістю записані для модулів векторів та . Щоб записати ці співвідношення у векторному вигляді використовуємо поняття векторного твору.
Нехай 0z- Вісь обертання абсолютно твердого тіла (рис. 2.28).
Мал. 2.28. Зв'язок між векторами лінійної та кутової швидкості
Крапка Аобертається по колу радіусом R. R- Відстань від осі обертання до розглянутої точки тіла. Приймемо крапку 0 за початок координат. Тоді
і тому що
то за визначенням векторного твору, для всіх точок тіла
Тут - радіус-вектор точки тіла, що починається в точці О, що лежить у довільному фіксованому місці, обов'язково на осі обертання
Але з іншого боку
Перше доданок дорівнює нулю, оскільки векторний добуток колінеарних векторів дорівнює нулю. Отже,
де вектор Rперпендикулярний осі обертання і спрямований від неї, а його модуль дорівнює радіусу кола, по якому рухається матеріальна точка і починається цей вектор у центрі цього кола.
Мал. 2.29. До визначення миттєвої осі обертання
Нормальне (відцентрове) прискорення також можна записати у векторній формі:
причому знак "-" показує, що воно спрямоване до осі обертання. Диференціюючи співвідношення для лінійної та кутової швидкості за часом, знаходимо для повного прискорення вираз
Перший доданок направлений по дотичній до траєкторії точки на тілі, що обертається, і його модуль дорівнює , оскільки
Порівнюючи з виразом для тангенціального прискорення, приходимо до висновку, що це вектор тангенціального прискорення
Отже, другий доданок є нормальним прискоренням цієї ж точки:
Справді, воно спрямоване вздовж радіусу Rдо осі обертання та його модуль дорівнює
Тому це співвідношення для нормального прискорення є іншою формою запису раніше отриманої формули.
додаткова інформація
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сівухін Д.В. Загальний курсфізики, том 1, Механіка Вид. Наука 1979 р. – стор. 242–243 (§46, п. 7) : обговорюється досить важке розуміння питання векторному характері кутових поворотів твердого тіла;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сівухін Д.В. Загальний курс фізики, том 1, Механіка Вид. Наука 1979 р. – стор. 233–242 (§45, §46 п.п. 1–6): миттєва вісь обертання твердого тіла, складання обертань;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - журнал "Квант" - кінематика баскетбольного кидка (Р. Винокур);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - журнал «Квант» 2003 р. №6, – стор. 5–11, поле миттєвих швидкостей твердого тіла (С. Кротов);
Кути Ейлера, літакові (корабельні) кути.
Традиційно кути Ейлера вводяться в такий спосіб. Перехід з відлікового становища до актуального здійснюється трьома поворотами (рис.4.3):
1. Поворот навколо на кут прецесіїУ цьому перетворюється на становище, (в) .
2. Поворот навколо на кут нутації. При цьому, . (4.10)
4. Поворот навколо на кут власного (чистого) обертання
Для кращого розуміння на рис.4.4 зображений дзига і кути Ейлера, що описують його
Перехід з відлікового становища до актуального можна здійснити трьома поворотами (повернути самостійно!) (рис.4.5):
1. Поворот навколо на кут Рискання, при цьому
2. Поворот навколо на кут тангажу, при цьому (4.12)
3.Поворот на кут крену навколо
Вираз «можна здійснити» невипадкове; неважко зрозуміти, що можливі інші варіанти, наприклад, повороти навколо фіксованих осей
1. Поворот навколо на кут крену(ризикуючи зламати крила)
2. Поворот навколо на кут тангажу(підйом «носа») (4.13)
3. Поворот навколо на кут Рискання
Втім, тотожність (4.12) та (4.13) також необхідно довести.
Запишемо очевидну векторну формулу для вектора положення будь-якої точки (рис.4.6) у матричному вигляді. Знайдемо координати вектора щодо відлікового базису. Розкладемо вектор по актуальному базису та введемо «перенесений» вектор, координати якого у відліковому базисі дорівнюють координатам вектора в актуальному; іншими словами, - «повернутий» разом із тілом вектор (Рис.4.6).
| Мал. 4.6. |
Розкладаючи вектори по відлікового базису, отримаємо
Введемо матрицю повороту та стовпці,
Векторна формула в матричному записі має вигляд
1. Матриця повороту є ортогональною, тобто.
Доказом цього твердження є формула (4.9)
Обчислюючи визначник твору (4.15), отримаємо так як у відліковому положенні, то (ортогональні матриці з визначником, рівним (+1), називають власнеортогональними або матрицями повороту). Матриця повороту при множенні на вектори не змінює ні довжин векторів, ні кутів з-поміж них, тобто. справді їх повертає.
2. Матриця повороту має один власний (нерухомий) вектор, який задає вісь повороту. Іншими словами, слід показати, що система рівнянь, де має єдине рішення. Запишемо систему як (. Визначник цієї однорідної системи дорівнює нулю, оскільки
отже, система має ненульове рішення. Припустивши, що є два рішення, відразу прийдемо до висновку, що перпендикулярний до них також є рішенням (кути між векторами не змінюються), а це означає, що тобто. повороту немає.
| Рис.4.7 |
Матриця в ортонормованому базисі
має вигляд.
2. Диференціюючи (4.15), отримаємо або, позначивши – матриця спна (англ. to spin - крутити).Отже, матриця спина кососиметрична: . Помножуючи праворуч, отримаємо формулу Пуассона для матриці повороту:
Ми підійшли до найважчого в рамках матричного опису моменту – визначення вектора кутової швидкості.
Можна, зрозуміло, зробити стандартним (див., наприклад, способом і написати: « введемо позначення для елементів кососиметричної матриці S за формулою
Якщо скласти вектор , то результат множення матриці вектор може бути представлений у вигляді векторного твору». У наведеній цитаті – вектор кутової швидкості.
Диференціюючи (4.14), отримаємо матричний запис основної формули кінематики твердого тіла :
Матричний підхід, будучи зручним для обчислень, дуже мало підходить для аналізу та виведення співвідношень; будь-яку формулу, написану векторною і тензорною мовою, легко можна записати в матричному вигляді, а от отримати компактну і виразну формулу для опису будь-якого фізичного явищау матричному вигляді важко.
Крім того, не слід забувати, що елементи матриці є координатами (компонентами) тензора в якомусь базисі. Сам тензор залежить від вибору базису, яке компоненти залежать. Для безпомилкового запису в матричному вигляді необхідно, щоб усі вектори і тензори, що входять у вираз, були записані в одному базисі, а це не завжди зручно, оскільки різні тензори мають «простий» вигляд у різних базисах, тому потрібно перераховувати матриці за допомогою матриць переходу .
На колі визначається радіусом-вектором $ \ overrightarrow (r) $, проведеним з центру кола. Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусу кола R (рис. 1).
Рисунок 1. Радіус-вектор, переміщення, шлях і кут повороту під час руху точки по колу
При цьому рух тіла по колу можна однозначно описати за допомогою таких кінематичних характеристик як кут повороту, кутова швидкість і кутове прискорення .
За час ∆t тіло, рухаючись з точки А до точки В, здійснює переміщення $triangle r$, рівне хорді АВ, і проходить шлях, що дорівнює довжині дуги l. Радіус-вектор повертається на кут ∆$\varphi$.
Кут повороту можна характеризувати вектором кутового переміщення $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, модуль якого дорівнює куту повороту ∆$ \varphi $, а напрямок збігається з віссю обертання, причому так, що напрямок повороту відповідає правилу правого гвинта по по відношенню до напрямку вектора $d\overrightarrow((\mathbf \varphi))$.
Вектор $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ називається аксіальним вектором (або псевдо-вектором), тоді як вектор переміщення $\triangle \overrightarrow(r)$ є полярним вектором (до них також відносяться вектори швидкості та прискорення) . Вони відрізняються тим, що полярний вектор крім довжини та напрямку має точку додатка (полюс), а аксіальний вектор має тільки довжину та напрямок (вісь - латиною axis), але не має точки додатка. Вектори такого типу часто застосовують у фізиці. До них, наприклад, відносяться всі вектори, які є векторним добутком двох полярних векторів.
Скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається середньою кутовою швидкістю: t) $. У СІ одиницею кутової швидкості є радіан за секунду $(\frac (рад) (c))$.
Визначення
Кутовою швидкістю обертання називається вектор, чисельно рівний першій похідній кута повороту тіла за часом і спрямований уздовж осі обертання за правилом правого гвинта:
\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi)))(dt)\ )\]
При рівномірному русі коло кутова швидкість і модуль лінійної швидкості - величини постійні: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.
Враховуючи, що $ triangle \ varphi = frac (l) (R) $, отримуємо формулу зв'язку між лінійною і кутовою швидкістю: $ omega = frac (l) (R triangle t) = frac (v) ( R) $. Кутова швидкість також пов'язана з нормальним прискоренням: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$
При нерівномірному русіпо колу вектор кутової швидкості є векторною функцією від часу $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left(t\right)t$, де $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ - початкова кутова швидкість, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ - кутове прискорення. У разі рівнозмінного руху, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$, і $\left|\overrightarrow((\mathbf \omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.
Опишіть рух твердого тіла, що обертається, у випадках, коли кутова швидкість змінюється згідно з графіками 1 і 2, зображеними на рис.2.
Малюнок 2.
Обертання буває у двох напрямках - за годинниковою стрілкою та проти. З напрямком обертання пов'язаний псевдовектор кута повороту та кутової швидкості. Нехай позитивним вважатимемо напрямок обертання за годинниковою стрілкою.
Для руху 1 кутова швидкість зростає, але кутове прискорення $varepsilon $=d$omega $/dt (похідна) зменшується, залишаючись позитивним. Отже, цей рух є прискореним за годинниковою стрілкою з прискоренням, що зменшується за величиною.
Для руху 2 кутова швидкість зменшується, потім досягає в точці перетину з віссю абсцис нуля, а далі стає негативною і зростає модулем. Кутове прискорення негативне і зменшується за модулем. Таким чином, спочатку точка рухалася за годинниковою стрілкою повільно з кутовим прискоренням, що зменшується по модулю, зупинилася і стала обертатися прискорено з прискоренням, що зменшується по модулю.
Знайти радіус R обертового колеса, якщо відомо, що лінійна швидкість $v_1$ точки, що лежить на обіді, в 2,5 рази більша за лінійну швидкість $v_2$ точки, що лежить на відстані $r = 5 см$ ближче до осі колеса.
Малюнок 3.
$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2,5v_2$$ $$R_1 = ?$$
Точки рухаються по концентричних кіл, вектора їх кутових швидкостей рівні, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\omega $ , отже , можна записати у скалярній формі:
Відповідь: радіус колеса R = 8,3 см
Завантаження...