Ознаки подільності чисел- це правила, що дозволяють не виробляючи поділу порівняно швидко з'ясувати, чи ділиться це число на заданий без залишку.
Деякі з ознак подільності досить прості, деякі складніше. На цій сторінці Ви знайдете як ознаки подільності простих чисел, Таких як, наприклад, 2, 3, 5, 7, 11, так і ознаки подільності складених чисел, таких, як 6 або 12.
Сподіваюся, дана інформація буде Вам корисною.
Приємного навчання!

Ознака подільності на 2

Це один з найпростіших ознак подільності. Звучить він так: якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, то воно парне (ділиться без залишку на 2), а якщо запис числа закінчується непарною цифрою, то це число непарній.
Іншими словами, якщо остання цифра числа дорівнює 2 , 4 , 6 , 8 або 0 - число ділиться на 2, якщо немає, то не ділиться
Наприклад, числа: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 діляться на 2, тому що вони парні.
А числа: 23 5 , 137 , 2303
на 2 не діляться, тому що вони непарні.

Ознака подільності на 3

У цієї ознаки подільності зовсім інші правила: якщо сума цифр числа ділиться на 3, то і число ділиться на 3; якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то і число не ділиться на 3.
А значить, щоб зрозуміти, чи ділиться число на 3, треба лише скласти між собою цифри, з яких воно складається.
Виглядає це так: 3987 і 141 діляться на 3, тому що в першому випадку 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - ділиться без остака на 3), а в другому 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - теж ділиться без остака на 3).
А ось числа: 235 і 566 на 3 не діляться, тому як 2 + 3 + 5 \u003d 10 і 5 + 6 + 6 \u003d 17 (А ми знаємо, що ні 10 ні 17 не діляться на 3 без залишку).

Ознака подільності на 4

Ця ознака подільності буде складніше. Якщо останні 2 цифри числа утворюють число, що ділиться на 4 або це 00, то і число ділиться на 4, в іншому випадку дане число не ділиться на 4 без залишку.
Наприклад: 1 00 і 3 64 діляться на 4, тому що в першому випадку число закінчується на 00 , А в другому на 64 , Яке в свою чергу ділиться на 4 без залишку (64: 4 \u003d 16)
числа 3 57 і 8 86 не діляться на 4, тому що ні 57 ні 86 на 4 не діляться, а значить не відповідають цією ознакою подільності.

Ознака подільності на 5

І знову перед нами досить простий ознака подільності: якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, то це число ділиться без залишку на 5. Якщо ж запис числа закінчується інший цифрою, то число без залишку на 5 не ділиться.
Це означає, що будь-які числа, що закінчуються цифрами 0 і 5 , Наприклад тисячі двісті тридцять п'ять 5 і 43 0 , Підпадають під правило і діляться на 5.
А, наприклад, 1549 3 і 56 4 не закінчував на цифру 5 або 0, а значить вони не можуть ділитися на 5 без залишку.

Ознака подільності на 6

Перед нами складене число 6, яке є твором чисел 2 і 3. Тому ознака подільності на 6 теж є складовим: для того, щоб число ділилося на 6, воно повинно відповідати двом ознаками подільності одночасно: ознакою подільності на 2 і ознакою подільності на 3. при цьому зверніть увагу, що таке складене число як 4 має індивідуальний ознака подільності, адже воно є творів числа 2 на саме себе. Але повернемося до ознаки подільності на 6.
Числа 138 і 474 парні і відповідають ознакам подільності на 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 і 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), а значить вони діляться на 6. Зате 123 і 447 хоч і діляться на 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 і 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), але вони непарні, а значить не відповідають ознакою подільності на 2, а отже і не відповідають ознакою подільності на 6.

Ознака подільності на 7

Ця ознака подільності складніший: число ділиться на 7, якщо результат віднімання подвоєною останньої цифри з числа десятків цього числа ділиться на 7 або дорівнює 0.
Звучить досить заплутано, але на практиці просто. Дивіться самі: число 95 9 ділиться на 7, тому що 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 ділиться на 7 без залишку). Причому якщо з отриманим під час перетворень числом виникли складності (через його розміру складно зрозуміти, ділиться воно на 7 чи ні, то дану процедуру можна продовжувати стільки раз, скільки Ви вважаєте за потрібне).
наприклад, 45 5 і 4580 1 мають ознаки подільності на 7. У першому випадку все досить просто: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. У другому випадку ми вчинимо так: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Нам складно зрозуміти, чи ділиться 457 8 на 7, тому повторимо процес: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. І знову скористаємося ознакою подільності, так як перед нами поки що тризначне число 44 1. Отже, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, тобто 42 ділиться на 7 без залишку, а значить і 45801 ділиться на 7.
А ось числа 11 1 і 34 5 не діляться на 7, тому що 11 -2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 не ділиться без залишку на 7) і 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 не ділиться без залишку на 7).

Ознака подільності на 8

Ознака подільності на 8 звучить так: якщо останні 3 цифри утворюють число, що ділиться на 8, або це 000, то заданий число ділиться на 8.
числа 1 000 або 1 088 діляться на 8: перше закінчується на 000 , У другого 88 : 8 \u003d 11 (ділиться на 8 без залишку).
А ось числа 1 100 або 4 757 не діляться на 8, так як числа 100 і 757 не діляться без залишку на 8.

Ознака подільності на 9

Ця ознака подільності схожий з ознакою подільності на 3: якщо сума цифр числа ділиться на 9, то і число ділиться на 9; якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то і число не ділиться на 9.
Наприклад: 3987 і 144 діляться на 9, тому що в першому випадку 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - ділиться без остака на 9), а в другому 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - теж ділиться без остака на 9).
А ось числа: 235 і 141 на 9 не діляться, тому як 2 + 3 + 5 \u003d 10 і 1 + 4 + 1 \u003d 6 (А ми знаємо, що ні 10 ні 6 не діляться на 9 без залишку).

Ознаки подільності на 10, 100, 1000 і інші розрядні одиниці

Дані ознаки подільності я об'єднав тому, що їх можна описати однаково: число ділиться на розрядну одиницю, якщо кількість нулів на кінці числа більше або дорівнює кількості нулів у заданій розрядної одиниці.
Іншими словами, наприклад, ми маємо такі цифри: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . з них все діляться на 1 0 ; 46400 і 867 000 діляться ще і на 1 00 ; і лише одне з них - 867 000 ділиться на 1 000 .
Будь-які числа, у яких кількість нулів на кінці менше ніж у розрядної одиниці, не діляться на цю розрядну одиницю, наприклад 600 30 і 7 93 не діляться 1 00 .

Ознака подільності на 11

Для того, щоб з'ясувати, чи ділиться число на 11, треба отримати різниця між сумою парних і непарних цифр цього числа. Якщо дана різниця дорівнює 0 або ділиться на 11 без залишку, то і саме число ділиться на 11 без залишку.
Щоб було зрозуміліше, пропоную розглянути приклади: 2 35 4 ділиться на 11, тому що ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 теж ділиться на 11, так як ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
А ось 1 1 1 або 4 35 4 не діляться на 11, так як в першому випадку у нас виходить (1 + 1) - 1 \u003d 1, а в другому ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Ознака подільності на 12

Число 12 є складовим. Його ознакою подільності є відповідність ознаками подільності на 3 і на 4 одночасно.
Наприклад 300 і 636 відповідають і ознаками подільності на 4 (останні 2 цифри це нулі або діляться на 4) і ознаками подільності на 3 (сума цифр і першого і втрорих числа діляться на 3), а занчіт, вони діляться на 12 без залишку.
А ось 200 або 630 не діляться на 12, тому що в першому випадку число відповідає лише ознакою подільності на 4, а в другому - лише ознакою подільності на 3. але не обома ознаками одночасно.

Ознака подільності на 13

Ознакою подільності на 13 є те, що якщо число десятків числа, складене з помноженим на 4 одиницями цього числа, буде кратно 13 або дорівнює 0, то і саме число ділиться на 13.
Візьмемо для прикладу 70 2. Отже, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 ділиться без залишку на 13), значить і 70 2 ділиться на 13 без залишку. Ще приклад - число 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Число 130 ділиться на 13 без залишку, а значить заданий число відповідає ознакою подільності на 13.
Якщо ж взяти числа 12 5 або 21 2, то отримуємо 12 + 4 * 5 \u003d 32 і 21 + 4 * 2 \u003d 29 відповідно, і ні 32 ні 29 не діляться на 13 без залишку, а значить і задані числа не діляться без залишку на 13.

подільність чисел

Як видно з перерахованого вище, можна припустити, що до будь-якого з натуральних чисел можна підібрати свій індивідуальний ознака подільності або ж "складовою" ознака, якщо число кратно кільком різним числам. Але як показує практика, в основному чим більше число, тим складніше його ознака. Можливо, час, витрачений на перевірку ознаки подільності, може виявитися так само або більше ніж сам розподіл. Тому ми і використовуємо зазвичай найпростіші з ознак подільності.

У цій статті ми розберемо розподіл цілих чисел із залишком. Почнемо з загального принципу поділу цілих чисел із залишком, сформулюємо і доведемо теорему про подільність цілих чисел із залишком, простежимо зв'язку між діленим, дільником, неповним приватним і залишком. Далі озвучимо правила, за якими проводиться розподіл цілих чисел із залишком, і розглянемо застосування цих правил при вирішенні прикладів. Після цього навчимося виконувати перевірку результату ділення цілих чисел із залишком.

Навігація по сторінці.

Загальне уявлення про розподіл цілих чисел із залишком

Розподіл цілих чисел із залишком ми будемо розглядати як узагальнення ділення із залишком натуральних чисел. Це обумовлено тим, що натуральні числа є складовою частиною цілих чисел.

Почнемо з термінів і позначень, які використовуються при описі.

За аналогією з розподілом натуральних чисел із залишком будемо вважати, що результатом ділення із залишком двох цілих чисел a і b (b не дорівнює нулю) є два цілих числа c і \u200b\u200bd. Числа a і b називаються діленим і дільником відповідно, число d - залишком від ділення a на b, а ціле число c називається неповним приватним (або просто приватним, Якщо залишок дорівнює нулю).

Домовимося вважати, що залишок є ціле невід'ємне число, і його величина не перевищує b, тобто, (подібні ланцюжки нерівностей ми зустрічали, коли говорили про порівняння трьох і більшої кількості цілих чисел).

Якщо число c є неповним приватним, а число d - залишком від ділення цілого числа a на ціле число b, то цей факт ми будемо коротко записувати як рівність виду a: b \u003d c (ост. D).

Відзначимо, що при розподілі цілого числа a на ціле число b залишок може бути рівним нулю. У цьому випадку говорять, що a ділиться на b без залишку (або остачі). Таким чином, розподіл цілих чисел без залишку є окремим випадком ділення цілих чисел із залишком.

Також варто сказати, що при розподілі нуля на деякий ціле число ми завжди маємо справу з розподілом на всі сто, так як в цьому випадку приватне дорівнюватиме нулю (дивіться розділ теорії розподіл нуля на ціле число), і залишок також буде дорівнює нулю.

З термінологією і позначеннями визначилися, тепер розберемося зі змістом ділення цілих чисел із залишком.

Поділу цілого негативного числа a на ціле позитивне число b теж можна надати сенс. Для цього розглянемо ціле негативне число як борг. Уявімо таку ситуацію. Борг, який становить предметів, повинні погасити b людина, внісши однаковий внесок. Абсолютна величина неповного приватного c в цьому випадку буде визначати величину боргу кожного з цих людей, а залишок d покаже, яка кількість предметів залишиться після сплати боргу. Наведемо приклад. Припустимо 2 людини повинні 7 яблук. Якщо вважати, що кожен з них повинен по 4 яблука, то після сплати боргу у них залишиться 1 яблуко. Цієї ситуації відповідає рівність (-7): 2 \u003d -4 (ост. 1).

Поділу з залишком довільного цілого числа a на ціле від'ємне число ми не будемо надавати ніякого сенсу, але залишимо за ним право на існування.

Теорема про подільність цілих чисел із залишком

Коли ми говорили про розподіл натуральних чисел із залишком, то з'ясували, що ділене a, дільник b, неповна частка c і \u200b\u200bзалишок d пов'язані між собою рівністю a \u003d b · c + d. Для цілих чисел a, b, c і d характерна така ж зв'язок. Цей зв'язок стверджується наступної теоремою про подільність із залишком.

Теорема.

Будь-яке ціле число a можливо уявити єдиним чином через ціле і відмінне від нуля число b у вигляді a \u003d b · q + r, де q і r - деякі цілі числа, причому.

Доведення.

Спочатку доведемо можливість подання a \u003d b · q + r.

Якщо цілі числа a і b такі, що a ділиться на b без остачі, то за визначенням існує таке ціле число q, що a \u003d b · q. У цьому випадку має місце рівність a \u003d b · q + r при r \u003d 0.

Тепер будемо вважати, що b - ціле позитивне число. Виберемо ціле число q таким чином, щоб твір b · q не перевищувало числа a, а твір b · (q + 1) було вже більше, ніж a. Тобто, візьмемо q таким, щоб виконувалися нерівності b · q

Залишилося довести можливість подання a \u003d b · q + r для негативних b.

Так як модуль числа b в цьому випадку є позитивним числом, то для має місце уявлення, де q 1 - деяке ціле число, а r - ціле число, яке задовольняє умовам. Тоді, прийнявши q \u003d -q 1, отримуємо потрібну нам уявлення a \u003d b · q + r для негативних b.

Переходимо до доведення єдиності.

Припустимо, що крім вистави a \u003d b · q + r, q і r - цілі числа і, існує ще одне подання a \u003d b · q 1 + r 1, де q 1 і r 1 - деякі цілі числа, причому q 1 ≠ q і.

Після вирахування з лівої і правої частини першої рівності відповідно лівої і правої частини другого рівності, отримуємо 0 \u003d b · (q-q 1) + r-r 1, яке рівносильне рівності r-r 1 \u003d b · (q 1 -q) . Тоді має бути справедливо і рівність виду , А в силу властивостей модуля числа - і рівність .

З умов і можна зробити висновок, що. Так як q і q 1 - цілі і q ≠ q 1, то, звідки робимо висновок, що . З отриманих нерівностей і випливає, що рівність виду неможливо при нашому припущенні. Тому, не існує іншої думки числа a, крім a \u003d b · q + r.

Зв'язки між діленим, дільником, неповним приватним і залишком

Рівність a \u003d b · c + d дозволяє знаходити невідоме ділене a, якщо відомі дільник b, неповна частка c і \u200b\u200bзалишок d. Розглянемо приклад.

Приклад.

Чому дорівнює ділене, якщо при його розподілі на ціле число -21 вийшло неповну частку 5 і залишок 12?

Рішення.

Нам потрібно обчислити ділене a, коли відомий дільник b \u003d -21, неповна частка c \u003d 5 і залишок d \u003d 12. Звернувшись до рівності a \u003d b · c + d, отримуємо a \u003d (- 21) · 5 + 12. Дотримуючись, спочатку проводимо множення цілих чисел -21 і 5 за правилом множення цілих чисел з різними знаками, після чого виконуємо додавання цілих чисел з різними знаками: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93.

відповідь:

−93 .

Зв'язки між діленим, дільником, неповним приватним і залишком також виражаються рівностями виду b \u003d (a-d): c, c \u003d (a-d): b і d \u003d a-b · c. Ці рівності дозволяють обчислювати дільник, неповну частку і залишок відповідно. Нам часто доводиться знаходити залишок від ділення цілого числа a на ціле число b, коли відомі ділене, дільник і неповну частку, використовуючи формулу d \u003d a-b · c. Щоб в подальшому не виникало питань, розберемо приклад обчислення залишку.

Приклад.

Знайдіть залишок від ділення цілого числа -19 на ціле число 3, якщо відомо, що неповна частка дорівнює -7.

Рішення.

Для обчислення залишку від ділення скористаємося формулою виду d \u003d a-b · c. З умови маємо всі необхідні дані a \u003d -19, b \u003d 3, c \u003d -7. Отримуємо d \u003d a-b · c \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (різниця -19 - (- 21) ми вираховували за правилом віднімання цілого негативного числа ).

відповідь:

Розподіл із залишком цілих позитивних чисел, приклади

Як ми вже не раз відзначали, цілі позитивні числа є натуральними числа. Тому поділ із залишком цілих позитивних чисел проводиться за всіма правилами ділення із залишком натуральних чисел. Дуже важливо вміти з легкістю виконувати розподіл із залишком натуральних чисел, так як саме воно лежить в основі поділу не тільки цілих позитивних чисел, але і в основі всіх правил розподілу із залишком довільних цілих чисел.

З нашої точки зору найбільш зручно виконувати ділення стовпчиком, цей спосіб дозволяє отримати і неповну частку (або просто приватна) і залишок. Розглянемо приклад розподілу із залишком цілих позитивних чисел.

Приклад.

Виконайте ділення з залишком числа 14 671 на 54.

Рішення.

Виконаємо розподіл даних цілих позитивних чисел стовпчиком:

Неповна частка вийшло рівним 271, а залишок дорівнює 37.

відповідь:

14 671: 54 \u003d 271 (ост. 37).

Правило ділення із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади

Сформулюємо правило, що дозволяє виконувати поділ з залишком цілого позитивного числа на ціле негативне число.

Неповна частка від ділення цілого позитивного числа a на ціле негативне число b являє собою число, протилежне неповного частці від ділення a на модуль числа b, а залишок від ділення a на b дорівнює залишку від ділення на.

З цього правила випливає, що неповна частка від ділення цілого позитивного числа на ціле негативне число є цілим непозитивним числом.

Переробимо озвучене правило в алгоритм розподілу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне:

• Ділимо модуль діленого на модуль дільника, отримуємо неповну частку і залишок. (Якщо при цьому залишок вийшов рівним нулю, то вихідні числа діляться без залишку, і за правилом ділення цілих чисел з протилежними знаками шукане приватне дорівнює числу, протилежного частці від ділення модулів.)
• Записуємо число, протилежне отриманого неповного приватному, і залишок. Ці числа є відповідно шуканим приватним і залишком від ділення вихідного цілого позитивного числа на ціле негативне.

Наведемо приклад використання алгоритму розподілу цілого позитивного числа на ціле негативне.

Приклад.

Виконайте ділення з залишком цілого позитивного числа 17 на ціле негативне число -5.

Рішення.

Скористаємося алгоритмом ділення з залишком цілого позитивного числа на ціле негативне.

розділивши

Число, протилежне числу 3, - це -3. Таким чином, шукане неповне частка від ділення 17 на -5 одно -3, а залишок дорівнює 2.

відповідь:

17: (- 5) \u003d - 3 (ост. 2).

Приклад.

розділіть 45 на -15.

Рішення.

Модулі діленого і дільника рівні 45 і 15 відповідно. Число 45 ділиться на 15 без залишку, приватна при цьому дорівнює 3. Отже, ціле позитивне число 45 ділиться на ціле негативне число -15 без залишку, приватна при цьому дорівнює числу, протилежного 3, тобто, -3. Дійсно, за правилом ділення цілих чисел з різними знаками маємо.

відповідь:

45:(−15)=−3 .

Розподіл із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне, приклади

Дамо формулювання правила розподілу із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне.

Щоб отримати неповну частку c від ділення цілого негативного числа a на ціле позитивне число b потрібно взяти число, протилежне неповного частці від ділення модулів вихідних чисел і відняти від нього одиницю, після чого залишок d обчислити за формулою d \u003d a-b · c.

З даного правила розподілу із залишком слід, що неповна частка від ділення цілого негативного на ціле позитивне число є цілим негативним числом.

З озвученого правила випливає алгоритм розподілу із залишком цілого негативного числа a на ціле позитивне b:

• Знаходимо модулі діленого і дільника.
• Ділимо модуль діленого на модуль дільника, отримуємо неповну частку і залишок. (Якщо залишок дорівнює нулю, то вихідні цілі числа діляться без залишку, і шукане приватне дорівнює числу, протилежного частці від ділення модулів.)
• Записуємо число, протилежне отриманого неповного приватного і віднімаємо з нього число 1. Обчислене число є шуканим неповним приватним c від ділення вихідного цілого негативного числа на ціле позитивне.

Розберемо рішення прикладу, в якому скористаємося записаним алгоритмом ділення з залишком.

Приклад.

Знайдіть неповну частку і залишок від ділення цілого негативного числа -17 на ціле позитивне число 5.

Рішення.

Модуль діленого -17 дорівнює 17, а модуль дільника 5 дорівнює 5.

розділивши 17 на 5, отримуємо неповну частку 3 і залишок 2.

Число, протилежне 3, є -3. Віднімаємо з -3 одиницю: -3-1 \u003d -4. Отже, шукане неповну частку одно -4.

Залишилося обчислити залишок. У нашому прикладі a \u003d -17, b \u003d 5, c \u003d -4, тоді d \u003d a-b · c \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 .

Таким чином, неповна частка від ділення цілого негативного числа -17 на ціле позитивне число 5 одно -4, а залишок дорівнює 3.

відповідь:

(-17): 5 \u003d -4 (ост. 3).

Приклад.

Розділіть ціле негативне число -1 404 на ціле позитивне число 26.

Рішення.

Модуль діленого дорівнює 1 404, модуль дільника дорівнює 26.

Розділимо 1 404 на 26 стовпчиком:

Так як модуль діленого розділився на модуль дільника без залишку, то вихідні цілі числа діляться без залишку, причому шукане приватне дорівнює числу, протилежного 54, тобто, -54.

відповідь:

(−1 404):26=−54 .

Правило ділення із залишком цілих негативних чисел, приклади

Сформулюємо правило ділення із залишком цілих негативних чисел.

Щоб отримати неповну частку c від ділення цілого негативного числа a на ціле негативне число b, потрібно обчислити неповне частка від ділення модулів вихідних чисел і додати до нього одиницю, після цього залишок d обчислити за формулою d \u003d a-b · c.

З цього правила випливає, що неповна частка від ділення цілих негативних чисел є цілим позитивним числом.

Перепишемо озвучене правило у вигляді алгоритму розподілу цілих негативних чисел:

• Знаходимо модулі діленого і дільника.
• Ділимо модуль діленого на модуль дільника, отримуємо неповну частку і залишок. (Якщо залишок дорівнює нулю, то вихідні цілі числа діляться без залишку, і шукане приватне дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника.)
• До отриманого неповного приватного додаємо одиницю, це число є шукане неповне частка від ділення вихідних цілих негативних чисел.
• Обчислюємо залишок по формулі d \u003d a-b · c.

Розглянемо застосування алгоритму розподілу цілих негативних чисел при вирішенні прикладу.

Приклад.

Знайдіть неповну частку і залишок від ділення цілого негативного числа -17 на ціле негативне число -5.

Рішення.

Скористаємося відповідним алгоритмом ділення з залишком.

Модуль діленого дорівнює 17, модуль дільника дорівнює 5.

розподіл 17 на 5 дає неповну частку 3 і залишок 2.

До неповного приватного 3 додаємо одиницю: 3 + 1 \u003d 4. Отже, шукане неповне частка від ділення -17 на -5 дорівнює 4.

Залишилося обчислити залишок. У цьому прикладі a \u003d -17, b \u003d -5, c \u003d 4, тоді d \u003d a-b · c \u003d -17 - (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 .

Отже, неповна частка від ділення цілого негативного числа -17 на ціле негативне число -5 дорівнює 4, а залишок дорівнює 3.

відповідь:

(-17): (- 5) \u003d 4 (ост. 3).

Перевірка результату ділення цілих чисел із залишком

Після того, як виконано поділ цілих чисел із залишком, корисно виконати перевірку отриманого результату. Перевірка проводиться в два етапи. На першому етапі перевіряється, чи є залишок d невід'ємним числом, а також перевіряється виконання умови. Якщо всі умови першого етапу перевірки виконані, то можна приступати до другого етапу перевірки, в іншому випадку можна стверджувати, що при розподілі із залишком десь була допущена помилка. На другому етапі перевіряється справедливість рівності a \u003d b · c + d. Якщо це рівність справедливо, то розподіл із залишком було проведено вірно, в іншому випадку - десь була допущена помилка.

Розглянемо рішення прикладів, в яких виконується перевірка результату ділення цілих чисел із залишком.

Приклад.

При розподілі числа -521 на -12 було отримано неповну частку 44 і залишок 7, виконайте перевірку результату.

Рішення. -2 при b \u003d -3, c \u003d 7, d \u003d 1. маємо b · c + d \u003d 3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20. Таким чином, рівність a \u003d b · c + d - невірне (в нашому прикладі a \u003d -19).

Отже, розподіл із залишком було проведено невірно.

Стаття розбирає поняття ділення цілих чисел із залишком. Доведемо теорему про подільність цілих чисел із залишком і переглянемо зв'язку між ділимими і делителями, неповними приватними і залишками. Розглянемо правила, коли проводиться розподіл цілих чисел із залишками, розглянувши докладно на прикладах. В кінці рішення слід виконати перевірку.

Загальне уявлення про розподіл цілих чисел із залишками

Розподіл цілих чисел із залишком розглядається як узагальнене розподіл із залишком натуральних чисел. Це виконується тому, що натуральні числа - це складова частина цілих.

Розподіл із залишком довільного числа говорить про те, що ціле число a ділиться на число b, відмінне від нуля. Якщо b \u003d 0, тоді не виробляють розподіл із залишком.

Також як і ділення натуральних чисел із залишком, проводиться розподіл цілих чисел a і b, при b відмінному від нуля, на c і \u200b\u200bd. В цьому випадку a і b називають діленим і дільником, а d - залишком ділення, з - ціле число або неповну частку.

Якщо вважати, що залишок - це ціле невід'ємне число, тоді його величина не більше модуля числа b. Запишемо таким чином: 0 ≤ d ≤ b. Дана ланцюжок нерівностей використовується при порівнянні 3 і більше кількості чисел.

Якщо з - неповна частка, тоді d - залишок від ділення цілого числа a на b, коротко можна зафіксувати: a: b \u003d c (ост. D).

Залишок при діленні чисел a на b можливе нульове, і хтось скаже, що a ділиться на b без остачі, тобто без залишку. Розподіл без залишку вважається окремим випадком ділення.

Якщо ділимо нуль на деяке число, отримуємо в результаті нуль. Залишок ділення також буде дорівнює нулю. Це можна простежити з теорії про поділ нуля на ціле число.

Тепер розглянемо зміст ділення цілих чисел із залишком.

Відомо, що цілі позитивні числа - натуральні, тоді при розподіл із залишком вийде такий же сенс, як і при розподілі натуральних чисел із залишком.

При розподілі цілого негативного числа а на ціле позитивне b є сенс. Розглянемо на прикладі. Представивши ситуацію, коли маємо борг предметів в кількості a, яке необхідно погасити b людина. Для цього необхідно кожному внести однаковий внесок. Щоб визначити величину боргу для кожного, необхідно звернути увагу на величину приватного с. Залишок d говорить про те, що відома кількість предметів після розплати з боргами.

Розглянемо на прикладі з яблуками. Якщо 2 людини повинні 7 яблук. У разі, якщо порахувати, що кожен повинен повернути за 4 яблука, після повного розрахунку у них залишиться 1 яблуко. Запишемо у вигляді рівності це: (- 7): 2 \u003d - 4 (про з т. 1).

Розподіл будь-якого числа а на ціле не має сенсу, але можливо як варіант.

Теорема про подільність цілих чисел із залишком

Ми виявили, що а - це ділене, тоді b - це дільник, з - неповна частка, а d - залишок. Вони між собою пов'язані. Цей зв'язок покажемо за допомогою рівності a \u003d b · c + d. Зв'язок між ними характеризується теоремою подільності із залишком.

теорема

Будь-яке ціле число може бути представлено тільки через ціле і відмінне від нуля число b таким чином: a \u003d b · q + r, де q і r - це деякі цілі числа. Тут маємо 0 ≤ r ≤ b.

Доведемо можливість існування a \u003d b · q + r.

Доведення

Якщо існують два числа a і b, причому a ділиться на b без залишку, тоді з визначення випливає, що є число q, що буде вірно рівність a \u003d b · q. Тоді рівність можна вважати вірним: a \u003d b · q + r при r \u003d 0.

Тоді необхідно взяти q таке, щоб дане нерівністю b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Маємо, що значення виразу a - b · q більше нуля і не більше значення числа b, це означає, що r \u003d a - b · q. Отримаємо, що число а можемо представити у вигляді a \u003d b · q + r.

Тепер необхідно розглянути можливість подання a \u003d b · q + r для від'ємних значень b.

Модуль числа виходить позитивним, тоді отримаємо a \u003d b · q 1 + r, де значення q 1 - деяке ціле число, r - ціле число, яке підходить умові 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

доказ єдиності

Припустимо, що a \u003d b · q + r, q і r є цілими числами з вірним умовою 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 і r 1 є деякими числами, де q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Коли з лівої і правих частин віднімається нерівність, тоді отримуємо 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, яке рівносильне r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Так як використовується модуль, отримаємо рівність r - r 1 \u003d b · q 1 - q.

Задана умова говорить про те, що 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qі q 1- цілі, причому q ≠ q 1, Тоді q 1 - q ≥ 1. Звідси маємо, що b · q 1 - q ≥ b. Отримані нерівності r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Звідси випливає, що по-іншому число a бути представлено не може, крім як таким записом a \u003d b · q + r.

Зв'язок між діленим, дільником, неповним приватним і залишком

За допомогою рівності a \u003d b · c + d можна знаходити невідоме ділене a, коли відомий дільник b з неповним приватним c і залишком d.

приклад 1

Визначити ділене, якщо при поділ отримаємо - 21, неповна частка 5 і залишок 12.

Рішення

Необхідно обчислити ділене a при відомому делителе b \u003d - 21, неповним приватним з \u003d 5 і залишком d \u003d 12. Потрібно звернутися до рівності a \u003d b · c + d, звідси отримаємо a \u003d (- 21) · 5 + 12. При дотриманні порядку виконання дій помножимо - 21 на 5, після цього отримуємо (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

відповідь: - 93 .

Зв'язок між дільником і неповним приватним і залишком можна виразити за допомогою рівностей: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b і d \u003d a - b · c. З їх допомогою ми можемо обчислити дільник, неповну частку і залишок. Це зводиться до постійного знаходження залишку від ділення цілого цілих чисел a на b з відомим діленим, дільником і неповним приватним. Застосовується формула d \u003d a - b · c. Розглянемо рішення детально.

приклад 2

Знайти залишок від ділення цілого числа - 19 на ціле 3 при відомому неповному приватному рівному - 7.

Рішення

Щоб обчислити залишок від ділення, застосуємо формулу виду d \u003d a - b · c. За умовою є всі дані a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. Звідси отримаємо d \u003d a - b · c \u003d - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (різниця - 19 - (- 21). Даний приклад обчислений за правилом віднімання цілого негативного числа.

відповідь: 2 .

Всі цілі позитивні числа є натуральними. Звідси випливає, що розподіл виконується за всіма правилами ділення із залишком натуральних чисел. Швидкість виконання ділення з залишком натуральних чисел важлива, так як на ньому грунтується не тільки розподіл позитивних, але і правила розподілу цілих довільних.

Найзручніший спосіб розподілу - це стовпчик, так як простіше і швидше отримати неповне або просто приватна із залишком. Розглянемо рішення більш детально.

приклад 3

Провести розподіл 14671 на 54.

Рішення

Цей поділ необхідно виконувати у стовпчик:

Тобто неповну частку виходить рівним 271, а залишок - 37.

відповідь: 14 671: 54 \u003d 271. (Ост. 37)

Правило ділення із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади

Щоб виконати поділ з залишком позитивного числа на ціле негативне, необхідно сформулювати правило.

визначення 1

Неповна частка від ділення цілого позитивного a на ціле негативне b отримуємо число, яке протилежно неповного частці від ділення модулів чисел a на b. Тоді залишок дорівнює залишку при діленні a на b.

Звідси маємо, що неповна частка від ділення цілого полодітельного числа на ціле негативне число вважають цілим непозитивним числом.

Отримаємо алгоритм:

• ділити модуль діленого на модуль дільника, тоді отримаємо неповну частку і
• залишок;
• запишемо число протилежне отриманого.

Розглянемо на прикладі алгоритму розподілу цілого позитивного числа на ціле негативне.

приклад 4

Виконати ділення з залишком 17 на - 5.

Рішення

Застосуємо алгоритм розподілу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне. Необхідно розділити 17 на - 5 по модулю. Звідси отримаємо, що неповна частка дорівнює 3, а залишок дорівнює 2.

Отримаємо, що шукане число від ділення 17 на - 5 \u003d - 3 із залишком рівним 2.

відповідь: 17: (- 5) \u003d - 3 (ост. 2).

приклад 5

Необхідно розділити 45 на - 15.

Рішення

Необхідно розділити числа по модулю. Число 45 ділимо на 15, отримаємо приватне 3 без залишку. Значить, число 45 ділиться на 15 без залишку. У відповіді отримуємо - 3, так як поділ вироблялося по модулю.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

відповідь: 45: (− 15) = − 3 .

Формулювання правила розподілу із залишком виглядає наступним чином.

визначення 2

Для того, щоб отримати неповну частку з при розподілі цілого негативного a на позитивне b, потрібно застосувати протилежне даному числу і відняти від нього 1, тоді залишок d буде обчислюватися за формулою: d \u003d a - b · c.

Виходячи з правила можна зробити висновок, що при розподілі отримаємо ціле невід'ємне число. Для точності рішення застосовують алгоритм розподілу а на b із залишком:

• знайти модулі діленого і дільника;
• ділити по модулю;
• записати протилежне даному число і відняти 1;
• використовувати формулу для решти d \u003d a - b · c.

Розглянемо на прикладі рішення, де застосовується даний алгоритм.

приклад 6

Знайти неповну частку і залишок від ділення - 17 на 5.

Рішення

Ділимо задані числа по модулю. Отримуємо, що при розподілі приватне дорівнює 3, а залишок 2. Так як отримали 3, протилежне - 3. Необхідно відібрати 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Шукане значення полчан рівне - 4.

Щоб обчислити залишок, необхідно a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, тоді d \u003d a - b · c \u003d - 17 - 5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Значить, неповним приватним від ділення є число - 4 з залишком рівним 3.

відповідь: (- 17): 5 \u003d - 4 (ост. 3).

приклад 7

Розділити ціле негативне число - 1404 на позитивне 26.

Рішення

Необхідно провести ділення стовпчиком і по мудулю.

Ми отримали розподіл модулів чисел без залишку. Це означає, що розподіл виконується без залишку, а шукане приватне \u003d - 54.

відповідь: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Правило ділення із залишком цілих негативних чисел, приклади

Необхідно сформулювати правило ділення із залишком цілих негативних чисел.

визначення 3

Для отримання неповного приватного з від ділення цілого негативного числа a на ціле негативне b, необхідно зробити обчислення по модулю, після чого додати 1, тоді зможемо зробити обчислення за формулою d \u003d a - b · c.

Звідси випливає, що неповна частка від ділення цілих негативних чисел буде число позитивне.

Сформулюємо це правило у вигляді алгоритму:

• знайти модулі діленого і дільника;
• розділити модуль діленого на модуль дільника з отриманням неповної частки з
• залишком;
• додаток 1 до неповного приватного;
• обчислення залишку, виходячи з формули d \u003d a - b · c.

Даний алгоритм розглянемо на прикладі.

приклад 8

Знайти неповну частку і залишок при діленні - 17 на - 5.

Рішення

Для правильності рішення застосуємо алгоритм для розподілу із залишком. Для початку роздягли числа по модулю. Звідси отримаємо, що неповну частку \u003d 3, а залишок дорівнює 2. За правилом необхідно скласти неповну частку і 1. Отримаємо, що 3 + 1 \u003d 4. Звідси отримаємо, що неповна частка від ділення заданих чисел дорівнює 4.

Для обчислення залишку ми застосуємо формулу. За умовою маємо, що a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, тоді, використовуючи формулу, отримаємо d \u003d a - b · c \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Шуканий відповідь, тобто залишок, дорівнює 3, а неповну частку дорівнює 4.

відповідь: (- 17): (- 5) \u003d 4 (ост. 3).

Перевірка результату ділення цілих чисел із залишком

Після виконання ділення чисел із залишком необхідно виконувати перевірку. Дана перевірка має на увазі 2 етапи. Спочатку йде перевірка залишку d на неотрицательность, виконання умови 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Розглянемо на прикладах.

приклад 9

Вироблено поділ - 521 на - 12. Приватне одно 44, залишок 7. Виконати перевірку.

Рішення

Так як залишок - це число позитивне, то його величина є меншою, ніж модуль дільника. Дільник дорівнює - 12, значить, його модуль дорівнює 12. Можна переходити до наступного пункту перевірки.

За умовою маємо, що a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Звідси обчислимо b · c + d, де b · c + d \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Звідси випливає, що рівність вірне. Перевірка пройдена.

приклад 10

Виконати перевірку ділення (- 17): 5 \u003d - 3 (ост. - 2). Чи вірно рівність?

Рішення

Сенс першого етапу полягає в тому, що необхідно перевірити розподіл цілих чисел із залишком. Звідси видно, що дія вироблено невірно, так як дана сальдо конечне - 2. Залишок не є негативним числом.

Маємо, що друга умова виконане, але недостатнє для даного випадку.

відповідь: немає.

приклад 11

Число - 19 розділили на - 3. Неповна частка дорівнює 7, а залишок 1. Перевірити, чи правильно виконано дане обчислення.

Рішення

Дан сальдо конечне 1. Він позитивний. За величиною менше модуля дільника, значить, перший етап виконується. Перейдемо до другого етапу.

Обчислимо значення виразу b · c + d. За умовою маємо, що b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, значить, підставивши числові значення, отримаємо b · c + d \u003d - 3 · 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Слід, що a \u003d b · c + d рівність не виконується, так як в умові дано а \u003d - 19.

Звідси випливає висновок, що розподіл вироблено з помилкою.

відповідь: немає.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Розглянемо простий приклад:
15:5=3
У цьому прикладі натуральне число 15 ми поділили остачіна 3, без залишку.

Іноді натуральне число повністю поділити не можна без остачі. Наприклад, розглянемо задачу:
У шафі лежало 16 іграшок. У групі було п'ятеро дітей. Кожна дитина взяв однакову кількість іграшок. Скільки іграшок у кожної дитини?

Рішення:
Поділимо число 16 на 5 стовпчиком отримаємо:

Ми знаємо, що 16 на 5 не ділитися. Найближче менше число, яке ділитися на 5 це 15 і 1 в залишку. Число 15 ми можемо розписати як 5⋅3. В результаті (16 - ділене, 5 - дільник, 3 - неповна частка, 1 - залишок). отримали формулу ділення із залишком,по якій можна зробити перевірку рішення.

a= b⋅ c+ d
a - ділене,
b - дільник,
c - неповна частка,
d - залишок.

Відповідь: кожна дитина візьме по 3 іграшки і одна іграшка залишиться.

Залишок від ділення

Залишок завжди повинен бути менше дільника.

Якщо при діленні залишок дорівнює нулю, то це означає, що ділене ділитися остачі або без залишку на дільник.

Якщо при діленні залишок більше дільника, це означає, що знайдене число не найбільше. Існує число більше, яке поділить ділене і залишок буде менше дільника.

Питання по темі "Розподіл із залишком":
Залишок може бути більше дільника?
Відповідь: ні.

Залишок може бути дорівнює делителю?
Відповідь: ні.

Як знайти ділене за неповним приватному, делителю і залишку?
Відповідь: значення неповного приватного, дільника і залишку підставляємо в формулу і знаходимо ділене. Формула:
a \u003d b⋅c + d

Приклад №1:
Виконайте ділення з залишком і зробіть перевірку: а) 258: 7 б) +1873: 8

Рішення:
а) Ділимо стовпчиком:

258 - ділене,
7 - дільник,
36 - неповна частка,
6 - залишок. Залишок менше дільника 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

б) Ділимо стовпчиком:

1873 - ділене,
8 - дільник,
234 - неповна частка,
1 - залишок. Залишок менше дільника 1<8.

Підставами в формулу і перевіримо чи правильно ми вирішили приклад:
8⋅234+1=1872+1=1873

Приклад №2:
Які залишки виходять при розподілі натуральних чисел: а) 3 б) 8?

відповідь:
а) Залишок менше дільника, отже, менше 3. В нашому випадку залишок може бути дорівнює 0, 1 або 2.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 8. У нашому випадку залишок може бути дорівнює 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 або 7.

Приклад №3:
Який найбільший залишок може вийти при розподілі натуральних чисел: а) 9 б) 15?

відповідь:
а) Залишок менше дільника, отже, менше 9. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближчим число до дільнику. Це число 8.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 15. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближчим число до дільнику. Це число 14.

Приклад №4:
Знайдіть ділене: а) а: 6 \u003d 3 (ост.4) б) з: 24 \u003d 4 (ост.11)

Рішення:
а) Вирішимо за допомогою формули:
a \u003d b⋅c + d
(A - ділене, b - дільник, c - неповна частка, d - залишок.)
а: 6 \u003d 3 (ост.4)
(A - ділене, 6 - дільник, 3 - неповна частка, 4 - залишок.) Підставами цифри в формулу:
а \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Відповідь: а \u003d 22

б) Вирішимо за допомогою формули:
a \u003d b⋅c + d
(A - ділене, b - дільник, c - неповна частка, d - залишок.)
з: 24 \u003d 4 (ост.11)
(З - ділене, 24 - дільник, 4 - неповна частка, 11 - залишок.) Підставами цифри в формулу:
з \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Відповідь: з \u003d 107

завдання:

Дріт 4м. потрібно розрізати на шматки по 13 см. Скільки таких шматків вийде?

Рішення:
Спочатку треба метри перевести в сантиметри.
4м. \u003d 400см.
Можна поділити стовпчиком або в розумі отримаємо:
400: 13 \u003d 30 (ост.10)
перевіримо:
13⋅30+10=390+10=400

Відповідь: 30 шматків вийти і 10 см. Дроту залишиться.