Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів розв'язання саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей чи осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.

Для певної в інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійської limit- Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо Вас цікавлять, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Нехай є межа:

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію в такий спосіб, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо потрібно визначити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до професійного студентського сервісу за швидким і докладним рішенням.



Він довгих двадцять вісім років, і двадцять вісім зим до того ж,

Зберігав у собі один секрет і був у сім'ї зразковий чоловік.
Все було начебто як завжди: дружина готувала обід.
Але раптом сталося лихо: він узяв і згадав про секрет.
Під шум і кислий запах щей, бурчання судженої з ранку,
Він згадав все до дрібниць, ніби то було вчора.
…Вона сиділа біля вікна, і м'яке чудове місячне світло
Пофарбував у бліді тони її чудовий силует.
Струменіли пасма по плечах, ковзали змійками на груди.
І він подумав з гарячого: «Одружуся з нею коли-небудь!»
Він згадав все до дрібниць: вигини ліній, м'якість губ.
І жар її простих промов, і за вікном величезний дуб.
Плетіння рук… Злиття тіл… Каскад каштанового волосся…
І те, як він її хотів до несамовитості, до сліз!
Зізнань трепетних потік, як він на вушко їх шепотів!
Смішний над вухом завиток, що від дихання тремтів...
Вона дивилася на нього вологими очима, як ніч.
Слова п'яніли, як вино: «Люблю тебе… Народи мені дочку…»
З ранку він втратив спокій: то метушився, то нудьгував.
Потім, закривши обличчя рукою, сидів на стільці й мовчав.
Дружина бурчала, як завжди. Лаяла суп, що втік.
І він зазначив, що року їй, постарілій, не личить.
Як не йде їй білий колір і пасма фарбованого волосся.
І цілих двадцять вісім років все якось було не всерйоз ...
Раптом він схопився, схопив пальто, забув про шапку та шкарпетки.
Усі двадцять вісім років – не те… Усі двадцять вісім зим – туги.
Знайшов той будинок. Біля будинку – дуб. Збіг сходами стрілою.
Угамувати б тремтіння з холодних губ, і боягузтво гидку - геть!
Напевно, вона зараз п'є чай і кутається в шаль.
І з її прекрасних очей струменить тихий смуток.
А може, почала в'язати? А може мереживо плести?
Так багато їй треба сказати! А головне сказати – вибач…
Відчинила двері… В очах – питання. Їй було знову двадцять років.
Каскад каштанового волосся… Знайомий серцю силует…
Над вухом - легкий завиток… Як багато років тому – точнісінько…
" Ви не помилились?" - Ні, не міг… Ви Аня?” Віра. Її дочка…"
"А Аня?"- "Мами більше немає ... Хто Ви?" Він повернувся назад:
«Я йшов до неї двадцять вісім років…» - Вона чекала на Вас… Двадцять п'ять…
Як запаморочилась голова… Як серце лягло в грудях!
І згадав він її слова з благанням: «Ти не йди!»
Він згорбився. Поплентався геть. Плетіння рук… Злиття тіл…
Люблю тебе... Народи мені дочку... А він справді дочку хотів.
Як дивно. Ані більше немає… Заплакав… Кинув у тишу: «Я буду багато - багато років любити тебе… Тебе одну…»

P.S. БЕРЕЖІ КОХАННЯ - вона фундамент вашого щастя...



Жінка, яка дуже часто прощає і дуже довго терпить, часто йде несподівано та назавжди!



Знай, у кожного різне «боляче»,
Знай, у кожного різне "страшно".
Не суди зі своєї дзвіниці
Невідомо скільки поверхової.

Не окреслюй поглядом кордону,
Не вигадуй мозком межі.
Що тобі в страшному сні не насниться,
Для когось – звичайна справа.

Знай, у кожного різне «треба»,
Знай, у кожного різне складно.
Втім, і подання пекла
Узагальнити та порівняти неможливо.

Знай, що правда буває інша,
А не та, що приносять на блюді.
Придивись до тих, чиї долі лякають,
Це – найсильніші люди.

Не кажи, що я тебе не пам'ятаю.
Я пам'ятаю все, і багато разів на день
Я повторюю номер телефонний,
Але ніколи тобі не подзвоню.
Ось-ось, здавалося, серце розірветься
І на межі одиноких днів

За обрій зайшли в моїй душі.
Було кохання, було кохання, було!
І до цієї фрази нічого додати.
Згорів чарівний замок наш вщент
І попелу не залишив нам на згадку.
Я пам'ятаю все, і сад квітучий пам'ятаю,
І крізь листя - промені з усіх боків,
Ніби з білої-білої дзвіниці
У душі – ти чуєш – ллється тихий дзвін.
Любов пішла і більше не повернеться,
І щоб не завжди тужити про неї,
Твої очі, як два сумних сонця,
За обрій зайшли в моїй душі.

За щастям погоня знову невдала...
І вечір дощовий, на вулиці похмуро…
А в дитинстві ... намазала булку варенням
І справді щаслива, до одурення…

Гламур, етикет, діаманти, джакузі.
Тепер, крім щастя, у долі «All inclusive»,
А в дитинстві з соняшника насіння їла,
І щастю, здавалося, не буде межі…

Ми стали схожі на клоунів дуже…
У кожного грим, що зовні регоче.
А в дитинстві… лише сонце з небес пробивалося
І серце щасливе так усміхалося.

Людей відбираємо, як у «Попелюшці» гречку.
Усіх потрібних – у контакти… Невигідних у грубку…
А у дитинстві в нас вірило чисте небо…
Де радість запаху свіжого хліба?

І дружба тепер купується теж…
Дожилися… Живемо у світі хутра та шкіри…
А в дитинстві дворнягу від зливи рятували.
І даючи щастя, його отримували.

Ми щирість, чуйність втрачали з роками.
Межі та рамки вигадали самі…
Чи є булка і банка з вишневим варенням?
Тож будьте щасливими, до одурення!

Я дивлюся на тебе і розумію, що люблю тебе. Це кохання - хронічна хвороба останніх років. Вона приносить настільки нестерпний біль, що я кидаюся на зовсім сторонніх людей, намагаючись обдуритися ними, з ними раптом у цих обіймах знайду те знеболювальне, яке, за словами володарів зморшкуватих сердець, взагалі не існує. Я розумію, що обманююсь, але все одно продовжую обійматися-вбиватися не можу інакше, бо болить, зводить, ночами спати не дає, ось сиджу на підвіконні і, ще хвилина, несамовито закричу від тортур ілюзій. Звернутися до тебе по допомогу? Марно. Ти знаєш про моє кохання, але тобі вона ні до чого, «своїх невисловлених почуттів повний рот». Ми в одному павутинні нерозділеності, але не можемо допомогти один одному. Ти охоплюєш руками тонкі білі нитки-прути і дивишся кудись за межі реальності, сподіваючись чортзна- чию допомогу. І різниця між нами одна: моя любов до тебе майже збила мене з ніг, а твоя любов до когось - підживлює, пожвавлює тебе чеканням, хай і оманливим. Я більше не хочу дивитися на тебе, я проганяю можливість тебе із серця, але від цього ще болючіше. Ось і проходить пошепки страждати, теж сподіваючись чорт знає на чиюсь допомогу. Часу?

Ваше життя - суцільна брехня, порнуха, побутова, інтернет-залежність і стільниково-мобільне рабство. Ну хіба я не правий? Ось скажіть мені, ви коли-небудь робили щось по-справжньому незвичайним? Ніколи. І не зможете. Знаєте, чому? Тому що все це знаходиться поза вашою зоною комфорту. Ви запаковані в неї. Як у поліпропіленовий мішок. Ви шматки м'яса, затиснуті рамками побуту та роботи. Чи я не правий? Можливо я помиляюсь? Виправте мене.
Наприклад, можете подарувати свій мобільник першому зустрічному? А? Каверзне запитання. Чи можете зараз відформатувати гвинт на вашому комп'ютері? Стрімко? Обсралися? А знаєте чому ви цього не зробите? Тому що це рівноцінно самогубству. Ви без цього не існуєте.