Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Як знайти максимум або мінімум квадратичної функції Знайдіть найменше та найбільше цілі значення функції

Нехай функція у =f(х)безперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого та найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або у внутрішній точці відрізка [ a, b], або межі відрізка.

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку [ a, b] необхідно:

1)знайти критичні точки функції в інтервалі ( a, b);

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x=аі х = b;

4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше та найменше.

приклад.Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку.

Знаходимо критичні точки:

Ці точки лежать усередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

у точці x= 3 і в точці x= 0.

Дослідження функції на опуклість та точку перегину.

Функція y = f (x) називається опуклою вгоруна проміжку (a, b) , якщо її графік лежить під дотичною, проведеною в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою)якщо її графік лежить над дотичною.

Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю чи навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм дослідження на опуклість та точку перегину:

1. Знайди критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю чи немає.

2. Завдати критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної кожному проміжку; якщо , то функція опукла вгору, якщо функція опукла вниз.

3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка абсцесу точки перегину. Знайти її ординату.

Асимптоти графіка функції. Дослідження функції асимптоти.

Визначення.Асимптотою графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Існують три види асимптоту: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Визначення.Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)якщо хоча б одна з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто

де - точка розриву функції, тобтоне належить області визначення.

приклад.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – точка розриву.

Визначення.Пряма у =Aназивається горизонтальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , якщо

приклад.

x
y

Визначення.Пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилою асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , де

Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків.

Алгоритм дослідження функціїу = f(х) :

1. Знайти область визначення функції D (y).

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).

3. Дослідити на парність та непарність функції( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти інтервали опуклості (увігнутості) та точки перегину графіка функції.

8. З проведених досліджень побудувати графік функції.

приклад.Дослідити функцію та побудувати її графік.

1) D (y) =

x= 4 ‒ точка розриву.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка перетину з oy.

При y = 0,

3) y(‒ x)= функція загального виду (ні парна, ні непарна).

4) Досліджуємо на асимптоти.

а) вертикальні

б) горизонтальні

в) знайдемо похилі асимптоти де

‒рівняння похилої асимптоти

5) У цьому рівнянні не потрібно знайти інтервали монотонності функції.

6)

Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)і (10; +∞). Отримані результати зручно подати у вигляді наступної таблиці:

				немає екстр.

З таблиці видно, що точка х= ‒2‒точка максимуму, в точці х= 4 - немає екстремуму, х= 10 ‒точка мінімуму.

Підставимо значення (‒ 3) до рівняння:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Максимум цієї функції дорівнює

(‒ 2; ‒ 4) ‒ екстремум максимальний.

Мінімум цієї функції дорівнює

(10; 20) – екстремум мінімальний.

7) досліджуємо на опуклість та точку перегину графіка функції

Нехай функція $z=f(x,y)$ визначена і безперервна у певній обмеженій замкнутій області $D$. Нехай у цій галузі задана функція має кінцеві приватні похідні першого порядку (крім, можливо, кінцевої кількості точок). Щоб знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних у цій замкнутій області потрібно виконати три кроки простого алгоритму.

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значень функції $z=f(x,y)$ у замкнутій області $D$.

1. Знайти критичні точки функції $ z = f (x, y) $, що належать області $ D $. Обчислити значення функції у критичних точках.
2. Дослідити поведінку функції $z=f(x,y)$ на межі області $D$, знайшовши точки можливого найбільшого та найменшого значень. Обчислити значення функції отриманих точках.
3. Зі значень функції, отриманих у попередніх двох пунктах, вибрати найбільше та найменше.

Що таке критичні точки? показати\сховати

Під критичними точкамимають на увазі такі точки, в яких обидві приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю (тобто $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ і $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) чи хоча б одна приватна похідна немає.

Часто точки, у яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, називають стаціонарними точками. Таким чином, стаціонарні точки є підмножина критичних точок.

Приклад №1

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+2xy-y^2-4x$ у замкнутій області, обмеженій лініями $x=3$, $y=0$ та $y=x+1$.

Наслідуватимемо вище, але для початку розберемося з кресленням заданої області, яку позначимо буквою $ D $. Нам задані рівняння трьох прямих, які цю область обмежують. Пряма $x=3$ проходить через точку $(3;0)$ паралельно осі ординат (осі Oy). Пряма $y=0$ - це рівняння осі абсцис (осі Ox). Ну, а для побудови прямої $ y = x + 1 $ знайдемо дві точки, через які і проведемо цю пряму. Можна, звичайно, замість $x$ підставити парочку довільних значень. Наприклад, підставляючи $x=10$, отримаємо: $y=x+1=10+1=11$. Ми знайшли точку $(10;11)$, що лежить на прямій $y=x+1$. Однак краще знайдемо ті точки, в яких пряма $ y = x + 1 $ перетинається з лініями $ x = 3 $ і $ y = 0 $. Чому це краще? Тому що ми одним пострілом укладемо пару зайців: отримаємо дві точки для побудови прямої $ y = x + 1 $ і заразом з'ясуємо, в яких точках ця пряма перетинає інші лінії, що обмежують задану область. Пряма $y=x+1$ перетинає пряму $x=3$ у точці $(3;4)$, а пряму $y=0$ - у точці $(-1;0)$. Щоб не захаращувати хід рішення допоміжними поясненнями, то питання про отримання цих двох точок винесу до примітки.

Як було отримано точки $(3;4)$ і $(-1;0)$? показати\сховати

Почнемо з точки перетину прямих $y=x+1$ та $x=3$. Координати точки, що шукається, належать і першій, і другій прямій, тому для знаходження невідомих координат потрібно вирішити систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Рішення такої системи тривіальне: підставляючи $x=3$ у перше рівняння матимемо: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $x=3$.

Тепер знайдемо точку перетину прямих $ y = x + 1 $ і $ y = 0 $. Знову складемо і вирішимо систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Підставляючи $y=0$ у перше рівняння, отримаємо: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $y=0$ (осі абсцис).

Все готове для побудови креслення, який матиме такий вигляд:

Питання примітки здається очевидним, адже все видно на малюнку. Однак варто пам'ятати, що малюнок не може бути доказом. Малюнок – лише ілюстрація для наочності.

Наша область була задана за допомогою прямих рівнянь, які її обмежують. Очевидно, що ці прямі визначають трикутник, чи не так? Чи не зовсім очевидно? А може, нам задана інша область, обмежена тими самими прямими:

Звісно, ​​за умови сказано, що область замкнута, тому показаний малюнок неправильний. Але щоб уникати подібних двозначностей, області краще задавати нерівності. Нас цікавить частина площини, розташована під прямою $y=x+1$? Ок, отже, $y ≤ x+1$. Наша область повинна розташовуватись над прямою $y=0$? Відмінно, означає $ y ≥ 0 $. До речі, дві останні нерівності легко поєднуються в одну: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Ці нерівності і задають область $ D $, причому задають її однозначно, не допускаючи жодних двозначностей. Але як це допоможе нам у тому питанні, що вказано на початку примітки? Ще як допоможе:) Нам потрібно перевірити, чи належить точка $M_1(1;1)$ області $D$. Підставимо $x=1$ і $y=1$ у систему нерівностей, які цю область визначають. Якщо обидві нерівності будуть виконані, то точка лежить усередині області. Якщо хоча б одна з нерівностей буде не виконана, то точка області не належить. Отже:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Обидві нерівності справедливі. Крапка $M_1(1;1)$ належить області $D$.

Тепер настала черга досліджувати поведінку функції межі області, тобто. переходимо до. Почнемо із прямої $y=0$.

Пряма $y=0$ (вісь абсцис) обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставимо $y=0$ у задану функцію $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Отриману в результаті підстановки функцію однієї змінної $x$ позначимо як $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Тепер для функції $f_1(x)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \;x=2. $$

Значення $x=2$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$, тому до списку точок додамо ще $M_2(2;0)$. З іншого боку, обчислимо значення функції $z$ кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. у точках $M_3(-1;0)$ і $M_4(3;0)$. До речі, якби точка $M_2$ не належала розглянутому відрізку, то, очевидно, значення функції $z$ у ній обчислювати був потреби.

Отже, обчислимо значення функції $z$ у точках $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можна, звичайно, підставляти координати даних точок у вихідний вираз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Наприклад, для точки $M_2$ отримаємо:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Однак обчислення можна трохи спростити. І тому варто згадати, що у відрізку $M_3M_4$ маємо $z(x,y)=f_1(x)$. Розпишу це докладно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0) = f_1 (-1) = (-1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \ \ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Зрозуміло, що в докладних записах зазвичай немає потреби, і всі обчислення в подальшому будемо записувати коротше:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Тепер звернемося до прямої $x=3$. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $0 ≤ y ≤ 4$. Підставимо $x=3$ у задану функцію $z$. В результаті такої підстановки ми отримаємо функцію $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2cdot 3cdot y-y^2-4cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Для функції $f_2(y)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $0 ≤ y ≤ 4$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Значення $y=3$ належить відрізку $0 ≤ y ≤ 4$, тому до знайдених раніше точок додамо ще $M_5(3;3)$. З іншого боку, необхідно обчислити значення функції $z$ у точках кінцях відрізка $0 ≤ y ≤ 4$, тобто. у точках $M_4(3;0)$ і $M_6(3;4)$. У точці $M_4(3;0)$ ми вже обчислювали значення $z$. Обчислимо значення функції $z$ у точках $M_5$ та $M_6$. Нагадаю, що на відрізку $M_4M_6$ маємо $z(x,y)=f_2(y)$, тому:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

І, нарешті, розглянемо останню межу області $D$, тобто. пряму $ y = x + 1 $. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставляючи $y=x+1$ у функцію $z$, матимемо:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Знов ми отримали функцію однієї змінної $x$. І знову потрібно знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну функції $f_(3)(x)$ і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Значення $x=1$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Якщо $x=1$, то $y=x+1=2$. Додамо до списку точок ще й $M_7(1;2)$ і з'ясуємо, чому значення функції $z$ в цій точці. Крапки кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. точки $M_3(-1;0)$ і $M_6(3;4)$, було розглянуто раніше, значення функції у яких ми вже знаходили.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Другий крок рішення закінчено. Ми отримали сім значень:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Звернемося до . Вибираючи найбільше та найменше значення з тих чисел, що були отримані у третьому пункті, матимемо:

$ $ z_ (min) = -4; \; z_(max)=6.$$

Завдання вирішене, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Приклад №2

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+y^2-12x+16y$ в області $x^2+y^2 ≤ 25$.

Спочатку збудуємо креслення. Рівняння $x^2+y^2=25$ (це гранична лінія заданої області) визначає коло з центром на початку координат (тобто в точці $(0;0)$) і радіусом 5. Нерівності $x^2 +y^2 ≤ 25$ задовольняють усі точки всередині та на згаданому колі.

Діятимемо по . Знайдемо приватні похідні та з'ясуємо критичні точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Точок, у яких знайдені приватні похідні немає, немає. З'ясуємо, у яких точках обидві похідні одночасно рівні нулю, тобто. знайдемо стаціонарні точки.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\&y=-8.\end(aligned) \right.$$

Ми отримали стаціонарну точку $(6;-8)$. Проте знайдена точка не належить до області $D$. Це легко показати, навіть не вдаючись до допомоги малюнку. Перевіримо, чи виконується нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$, яка визначає нашу область $D$. Якщо $x=6$, $y=-8$, то $x^2+y^2=36+64=100$, тобто. нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$ не виконано. Висновок: точка $(6;-8)$ не належить області $D$.

Отже, всередині області $D$ немає критичних точок. Переходимо далі, до . Нам слід дослідити поведінку функції межі заданої області, тобто. на колі $x^2+y^2=25$. Можна, звичайно, висловити $y$ через $x$, а потім підставити отриманий вираз у нашу функцію $z$. З рівняння кола отримаємо: $y=\sqrt(25-x^2)$ або $y=-sqrt(25-x^2)$. Підставляючи, наприклад, $y=\sqrt(25-x^2)$ в задану функцію, матимемо:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Подальше рішення буде повністю ідентичне дослідженню поведінки функції на межі області у попередньому прикладі №1. Однак мені здається розумнішим у цій ситуації застосувати метод Лагранжа. Нас цікавитиме лише перша частина цього методу. Після застосування першої частини методу Лагранжа ми отримаємо точки, в яких досліджуємо функцію $z$ на предмет мінімального та максимального значень.

Складаємо функцію Лагранжа:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Знаходимо приватні похідні функції Лагранжа та складаємо відповідну систему рівнянь:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aligned) & 2x-12+2 \ lambda x = 0; \ \ & 2y + 16 +2 \ lambda y = 0; \ \ & x ^ 2 + y ^2-25 = 0. \end (aligned) \ right. \;\; aligned) \right.$$

Для вирішення цієї системи давайте відразу вкажемо, що $ lambda neq -1 $. Чому $\lambda\neq -1$? Спробуємо підставити $\lambda=-1$ у перше рівняння:

$ $ x + (-1) \ cdot x = 6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$

Отримана суперечність $0=6$ свідчить, що значення $\lambda=-1$ неприпустимо. Висновок: $ \ lambda \ neq -1 $. Виразимо $x$ і $y$ через $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y = frac (-8) (1 + lambda). \end(aligned)

Вважаю, що тут стає очевидним, навіщо ми спеціально обговорювали умову $lambda\neq -1$. Це було зроблено, щоб безперешкодно помістити вираз $1+\lambda$ у знаменники. Тобто, щоб бути впевненим, що знаменник $1+lambda\neq 0$.

Підставимо отримані висловлювання для $x$ і $y$ на третє рівняння системи, тобто. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+lambda)^2)+frac(64)((1+lambda)^2)=25;\frac(100)((1+lambda)^2)=25 ; \; (1 + \ lambda) ^ 2 = 4. $$

З отриманої рівності випливає, що $1+lambda=2$ або $1+lambda=-2$. Звідси маємо два значення параметра $ lambda $, а саме: $ lambda_1 = 1 $, $ lambda_2 = -3 $. Відповідно, отримаємо і дві пари значень $x$ і $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=frac(-8)(1+lambda_1)=frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=frac(-8)(1+lambda_2)=frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Отже, отримали дві точки можливого умовного екстремуму, тобто. $M_1(3;-4)$ і $M_2(-3;4)$. Знайдемо значення функції $z$ у точках $M_1$ і $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \ & z_2 = z (M_2) = (-3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) + 16 \ cdot 4 = 125. \end(aligned)

На слід вибрати найбільше та найменше значення з тих, що ми отримали на першому та другому кроках. Але в даному випадку вибір невеликий :) Маємо:

$ $ z_ (min) = -75; \; z_(max)=125. $$

Відповідь: $ Z_ (min) = -75; \; z_(max) = 125 $.

Насправді часто доводиться використовувати похідну у тому, щоб обчислити найбільше і найменше значення функції. Ми виконуємо цю дію тоді, коли з'ясовуємо, як мінімізувати витрати, збільшити прибуток, розрахувати оптимальне навантаження виробництва та інших., тобто у випадках, коли необхідно визначити оптимальне значення будь-якого параметра. Щоб вирішити такі завдання правильно, треба добре розуміти, що таке найбільше та найменше значення функції.

Зазвичай ми визначаємо ці значення в рамках деякого інтервалу x , який може своєю чергою відповідати всій області визначення функції або її частини. Це може бути як відрізок [a; b ] , і відкритий інтервал (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) , нескінченний інтервал (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) чи нескінченний проміжок - ∞ ; a , (- ∞ ; a ) , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

У цьому матеріалі ми розповімо, як обчислюється найбільше та найменше значення явно заданої функції з однією змінною y=f(x) y = f(x) .

Основні визначення

Почнемо, як завжди, із формулювання основних визначень.

Визначення 1

Найбільше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x – це значення m a x y = f (x 0) x ∈ X , яке за будь-якого значення x x ∈ X , x ≠ x 0 робить справедливою нерівність f (x) ≤ f (x 0).

Визначення 2

Найменше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x – це значення m i n x ∈ X y = f (x 0) , яке за будь-якого значення x ∈ X , x ≠ x 0 робить справедливою нерівність f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ці визначення є досить очевидними. Ще простіше можна сказати так: найбільше значення функції - це її найбільше значення на відомому інтервалі при абсцисі x 0, а найменше - це найменше значення, що приймається на тому ж інтервалі при x 0 .

Визначення 3

Стаціонарними точками називаються такі значення аргументу функції, у яких її похідна звертається до 0 .

Для чого нам потрібно знати, що таке стаціонарні точки? Для відповіді це питання треба згадати теорему Ферма. З неї випливає, що стаціонарна точка – це така точка, в якій знаходиться екстремум функції, що диференціюється (тобто її локальний мінімум або максимум). Отже, функція прийматиме найменше або найбільше значення на певному проміжку саме в одній зі стаціонарних точок.

p align="justify"> Ще функція може приймати найбільше або найменше значення в тих точках, в яких сама функція є певною, а її першої похідної не існує.

Перше питання, яке виникає при вивченні цієї теми: чи у всіх випадках ми можемо визначити найбільше чи найменше значення функції на заданому відрізку? Ні, ми не можемо цього зробити тоді, коли межі заданого проміжку збігатимуться з межами області визначення, або якщо ми маємо справу з нескінченним інтервалом. Буває і так, що функція в заданому відрізку або на нескінченності прийматиме нескінченно малі або нескінченно великі значення. У цих випадках визначити найбільше та/або найменше значення неможливо.

Зрозумілішими ці моменти стануть після зображення на графіках:

Перший малюнок показує нам функцію, яка набуває найбільшого і найменшого значення (m a x y і m i n y) в стаціонарних точках, розташованих на відрізку [ - 6 ; 6].

Докладно розберемо випадок, зазначений на другому графіку. Змінимо значення відрізка на [1; 6] і отримаємо, що найбільше значення функції досягатиметься в точці з абсцисою у правій межі інтервалу, а найменше – у стаціонарній точці.

На третьому малюнку абсциси точок являють собою граничні точки відрізка [-3; 2]. Вони відповідають найбільшому та найменшому значенню заданої функції.

Тепер подивимось на четвертий малюнок. У ньому функція приймає m a x y (найбільше значення) і m i n y (найменше значення) у стаціонарних точках на відкритому інтервалі (-6; 6).

Якщо ми візьмемо інтервал [1; 6) то можна сказати, що найменше значення функції на ньому буде досягнуто в стаціонарній точці. Найбільшого значення нам буде невідомо. Функція могла б прийняти найбільше значення при x , що дорівнює 6 якщо б x = 6 належала інтервалу. Саме цей випадок намальовано на графіку 5 .

На графіку 6 найменше значення дана функція набуває у правій межі інтервалу (- 3 ; 2 ] , а про найбільше значення ми не можемо зробити певних висновків.

На малюнку 7 бачимо, що функція буде мати m a x y в стаціонарній точці, що має абсцису, рівну 1 . Найменшого значення функція досягне межі інтервалу з правого боку. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближатимуться до y = 3 .

Якщо ми візьмемо інтервал x ∈ 2; + ∞ , то побачимо, що задана функція не прийматиме на ньому ні найменшого, ні найбільшого значення. Якщо x прагне 2 , то значення функції прагнутимуть мінус нескінченності, оскільки пряма x = 2 – це вертикальна асимптота. Якщо ж абсцис прагне до плюс нескінченності, то значення функції асимптотично наближатимуться до y = 3 . Саме це випадок зображено малюнку 8 .

У цьому пункті ми наведемо послідовність дій, яку потрібно виконати знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на певному відрізку.

1. Спочатку знайдемо область визначення функції. Перевіримо, чи входить до неї заданий за умови відрізок.
2. Тепер обчислимо точки, що містяться в даному відрізку, в яких немає першої похідної. Найчастіше їх можна зустріти у функцій, аргумент яких записаний під знаком модуля, або у статечних функцій, показник яких є дрібно раціональним числом.
3. Далі з'ясуємо, які стаціонарні точки потраплять у заданий відрізок. Для цього треба обчислити похідну функції, потім прирівняти її до 0 і вирішити рівняння, що вийшло в результаті, після чого вибрати відповідне коріння. Якщо у нас не вийде жодної стаціонарної точки або вони не потраплятимуть у заданий відрізок, ми переходимо до наступного кроку.
4. Визначимо, які значення прийматиме функція в заданих стаціонарних точках (якщо вони є), або в тих точках, в яких не існує першої похідної (якщо вони є), або обчислюємо значення для x = a і x = b.
5. 5. У нас вийшов ряд значень функції, з яких тепер потрібно вибрати найбільше і найменше. Це й будуть найбільше та найменше значення функції, які нам потрібно знайти.

Подивимося, як правильно застосувати цей алгоритм під час вирішення завдань.

Приклад 1

Умова:задана функція y = x3+4x2. Визначте її найбільше та найменше значення на відрізках [1; 4] і [-4; -1].

Рішення:

Почнемо з знаходження області визначення цієї функції. У цьому випадку їй буде багато всіх дійсних чисел, крім 0 . Іншими словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞. Обидва відрізки, задані в умові, будуть знаходитися всередині області визначення.

Тепер обчислюємо похідну функції згідно з правилом диференціювання дробу:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " · x 2 - x 3 + 4 · x 2 " x 4 = = 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Ми дізналися, що похідна функції існуватиме у всіх точках відрізків [1; 4] і [-4; -1].

Тепер треба визначити стаціонарні точки функції. Зробимо це за допомогою рівняння x 3 – 8 x 3 = 0 . У нього є тільки один дійсний корінь, що дорівнює 2 . Він буде стаціонарною точкою функції і потрапить у перший відрізок [1; 4].

Обчислимо значення функції кінцях першого відрізка й у цій точці, тобто. для x = 1, x = 2 і x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ми отримали, що найбільше значення функції m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 буде досягнуто за x = 1 , а найменше m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – за x = 2 .

Другий відрізок не включає жодної стаціонарної точки, тому нам треба обчислити значення функції тільки на кінцях заданого відрізка:

y(-1) = (-1) 3 + 4 (-1) 2 = 3

Значить, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

Відповідь:Для відрізка [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 для відрізка [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

на малюнку:

Перед тим як вивчити цей спосіб, радимо вам повторити, як правильно обчислювати односторонню межу та межу на нескінченності, а також дізнатися про основні методи їх знаходження. Щоб знайти найбільше та/або найменше значення функції на відкритому або нескінченному інтервалі, виконуємо послідовно такі дії.

1. Для початку потрібно перевірити, чи буде заданий інтервал бути підмножиною області визначення цієї функції.
2. Визначимо всі точки, які містяться в потрібному інтервалі та в яких не існує першої похідної. Зазвичай вони бувають у функцій, де аргумент укладений у знаку модуля, і у статечних функцій з дрібно раціональним показником. Якщо ж ці точки відсутні, можна переходити до наступного кроку.
3. Тепер визначимо, які стаціонарні точки потраплять до заданого проміжку. Спочатку прирівняємо похідну до 0, розв'яжемо рівняння і підберемо відповідне коріння. Якщо ми не маємо жодної стаціонарної точки або вони не потрапляють у заданий інтервал, то відразу переходимо до подальших дій. Їх визначає вигляд інтервалу.

• Якщо інтервал має вигляд [a; b) то нам треба обчислити значення функції в точці x = a і одностороння межа lim x → b - 0 f (x) .
• Якщо інтервал має вигляд (a; b], то нам треба обчислити значення функції в точці x = b і одностороння межа lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд (a; b), то нам треба обчислити односторонні межі lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд [a; + ∞) , то треба обчислити значення в точці x = a і межа плюс нескінченності lim x → + ∞ f (x) .
• Якщо інтервал виглядає як (- ∞ ; b ) , обчислюємо значення в точці x = b і межа на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x) .
• Якщо - ∞; b , то вважаємо односторонню межу lim x → b - 0 f (x) і межу на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x)
• Якщо ж - ∞; + ∞ , то вважаємо межі на мінус і плюс нескінченності lim x → + f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Наприкінці потрібно зробити висновок на основі отриманих значень функції та меж. Тут можлива безліч варіантів. Так, якщо одностороння межа дорівнює мінус нескінченності або плюс нескінченності, то відразу зрозуміло, що про найменше і найбільше значення функції сказати нічого не можна. Нижче ми розберемо один типовий приклад. Докладні описи допоможуть зрозуміти, що до чого. За потреби можна повернутися до малюнків 4 - 8 у першій частині матеріалу.

Приклад 2

Умова: дана функція y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Обчисліть її найбільше та найменше значення в інтервалах - ∞ ; - 4, - ∞; - 3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Рішення

Насамперед знаходимо область визначення функції. У знаменнику дробу стоїть квадратний тричлен, який не повинен звертатися до 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Ми отримали область визначення функції, до якої належать всі зазначені в інтервалі.

Тепер виконаємо диференціювання функції та отримаємо:

y " = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 "(x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Отже, похідні функції існують по всій області її визначення.

Перейдемо до знаходження стаціонарних точок. Похідна функції звертається до 0 при x = - 1 2 . Це стаціонарна точка, яка знаходиться в інтервалах (-3; 1] і (-3; 2).

Обчислимо значення функції при x = - 4 для проміжку (- ∞ ; - 4 ] , а також межа на мінус нескінченності:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Оскільки 3 e 1 6 - 4 > - 1 , значить, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ) = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Це не дає нам можливості однозначно визначити найменше значення функції. зробити висновок, що внизу є обмеження - 1, оскільки саме до цього значення функція наближається асимптотично до мінус нескінченності.

Особливістю другого інтервалу є те, що в ньому немає жодної стаціонарної точки та жодної суворої межі. Отже, ні найбільшого, ні найменшого значення функції ми не зможемо обчислити. Визначивши межу на мінус нескінченності та при прагненні аргументу до - 3 з лівого боку, ми отримаємо лише інтервал значень:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Значить значення функції будуть розташовані в інтервалі - 1 ; + ∞

Щоб знайти найбільше значення функції у третьому проміжку, визначимо її значення стаціонарної точці x = - 1 2 , якщо x = 1 . Також нам треба буде знати односторонню межу для того випадку, коли аргумент прагне до - 3 з правого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (-3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

У нас вийшло, що найбільше значення функція набуде в стаціонарній точці m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Що стосується найменшого значення, то його ми не можемо визначити. Все, що нам відомо , – це наявність обмеження знизу до -4.

Для інтервалу (-3; 2) візьмемо результати попереднього обчислення і ще раз підрахуємо, чому дорівнює одностороння межа при прагненні до 2 з лівого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Значить, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 а найменше значення визначити неможливо, і значення функції обмежені знизу числом - 4 .

Виходячи з того, що у нас вийшло у двох попередніх обчисленнях, ми можемо стверджувати, що на інтервалі [1; 2) найбільше значення функція прийме при x = 1, а знайти найменше неможливо.

На проміжку (2 ; + ∞) функція досягне ні найбільшого, ні найменшого значення, тобто. вона прийматиме значення з проміжку - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Обчисливши, чому дорівнює значення функції при x = 4 , з'ясуємо, що m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 і задана функція на плюс нескінченності буде асимптотично наближатися до прямої y = - 1 .

Порівняємо те, що в нас вийшло в кожному обчисленні, з графіком заданої функції. На малюнку асимптоти показано пунктиром.

Це все, що ми хотіли розповісти про знаходження найбільшого та найменшого значення функції. Ті послідовності дій, які ми привели, допоможуть зробити необхідні обчислення максимально швидко та просто. Але пам'ятайте, що часто буває корисно спочатку з'ясувати, на яких проміжках функція зменшуватиметься, а на яких зростатиме, після чого можна робити подальші висновки. Так можна більш точно визначити найбільше та найменше значення функції та обґрунтувати отримані результати.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

За допомогою цього сервісу можна знайти найбільше та найменше значення функціїоднієї змінної f(x) з оформленням рішення Word . Якщо задана функція f(x,y) , отже, необхідно знайти екстремум функції двох змінних . Також можна знайти інтервали зростання та зменшення функції.

Правила введення функцій:

Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Рівняння f" 0 (x *) = 0 - це необхідна умова екстремуму функції однієї змінної, тобто в точці x * перша похідна функції повинна звертатися в нуль. Воно виділяє стаціонарні точки x с, в яких функція не зростає і не зменшується .

Достатня умова екстремуму функції однієї змінної

Нехай f 0 (x) двічі диференційована по x , що належить множині D . Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * є точкою локального (глобального) мінімуму функції.

Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

То точка x * – локальний (глобальний) максимум.

Приклад №1. Знайти найбільше та найменше значення функції: на відрізку .
Рішення.

Критична точка одна x 1 = 2 (f'(x) = 0). Ця точка належить відрізку. (Точка x=0 перестав бути критичної, оскільки 0∉).
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка та у критичній точці.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Відповідь: f min = 5/2 при x=2; f max =9 при x=1

Приклад №2. За допомогою похідних вищих порядків знайти екстремум функції y = x-2 sin (x).
Рішення.
Знаходимо похідну функції: y'=1-2cos(x). Знайдемо критичні точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Знаходимо y’’=2sin(x), обчислюємо , отже x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки мінімуму функції; , Отже x = - π / 3 +2πk, k∈Z - точки максимуму функції.

Приклад №3. Дослідити на екстремум функцію на околицях точки x=0.
Рішення. Тут потрібно знайти екстремуми функції. Якщо екстремум x = 0, то з'ясувати його тип (мінімум або максимум). Якщо знайдених точок немає x = 0, то обчислити значення функції f(x=0).
Слід звернути увагу, що коли похідна з кожної сторони від цієї точки не змінює свого знака, не вичерпуються можливі ситуації навіть для функцій, що диференціюються: може статися, що для будь-якої малої околиці по одну зі сторін від точки x 0 або по обидва боки похідна змінює знак. У цих точках доводиться застосовувати інші методи дослідження функцій на екстремум.

Приклад №4. Розбити число 49 на два доданки, твір яких буде найбільшим.
Рішення. Позначимо x - перший доданок. Тоді (49-x) - другий доданок.
Добуток буде максимальним: x·(49-x) → max

Варіант 1. у

1. Графік функції у=f(x) зображено малюнку.

Вкажіть найбільше значення цієї функції 1

на відрізку [ a; b]. а 0 1 b х

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Функції у=f(x) задана на відрізку [ a; b]. у

На малюнку зображено графік її похідної

у=f ´(x). Дослідіть на екстремуми 1 b

функцію у=f(x). У відповіді вкажіть кількість a 0 1 х

точок мінімуму.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Знайдіть найбільше значення функції у = -2х2 +8 х -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Знайдіть найменше значення функції на відрізку .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Знайдіть найменше значення функції у=|2х+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> має мінімум у точці хо=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.у

9. Вкажіть найбільше значення функції у=f(x) ,

1 х

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

у=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Знайдіть найменше значення функції у=2sin-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Тест 14. Екстремуми. Найбільше (найменше) значення функції.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" 1. Графік функції у=f(x) зображено малюнку.

Вкажіть найменше значення цієї функції 1

на відрізку [ a; b]. а b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. у На малюнку зображено графік функції у=f(x).

Скільки точок максимуму має функція?

1

0 1 х 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. У якій точці функція у = 2х2 +24х -25набуває найменшого значення?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> на відрізку [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> має мінімум у точці хо = -2?

; 2) -6;; 4) 6.у

9. Вкажіть найменше значення функції у=f(x) ,

графік якої зображено малюнку. 1 х

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Знайдіть найбільше значення функції у=log11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Знайдіть найбільше значення функції у=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Відповіді :