Корінь рівняння tgx a знаходиться за такою формулою. Тригонометричні рівняння - формули, рішення, приклади

Хвильове рівняння, диференціальне рівняння з приватними похідними, що описує процес поширення збурень у деякому середовищі Тихонов А. Н. та Самарський А. А., Рівняння математичної фізики, 3 видавництва, М., 1977. – с. 155....

Класифікації гіперболічних диференціальних рівнянь у приватних похідних

Рівняння теплопровідності - диференціальне рівняння з приватними похідними параболічного типу, що описує процес розповсюдження теплоти в суцільному середовищі.

Математичні методи, які застосовуються в теорії систем масового обслуговування

Імовірності станів системи можна знайти із системи диференціальних рівнянь Колмогорова, які складені за таким правилом: У лівій частині кожного з них стоїть похідна ймовірності i-го стану.

Нестаціонарне рівняння Ріккаті

1.Загальне рівняння Ріккаті має вигляд: , (1.1) де P, Q, R-безперервні функції від xпри зміні x в інтервалі Рівняння (1.1) містить у собі як окремі випадки вже розглянуті нами рівняння: при отримуємо лінійне рівняння, при -рівняння Бернуллі...

Основи наукового дослідження та планування експериментів на транспорті

Отримаємо функціональну залежність Y = f(X) (рівняння регресії) з допомогою методу найменших квадратів (МНК). Як апроксимуючі функції використовувати лінійну (Y = a0 + a1X) і квадратичну залежності (Y = a0 + a1X + a2X2). За допомогою МНК значення a0...

Помістимо полюс полярної системи координат на початок прямокутної системи координат, полярну вісь сумісний з позитивною піввіссю абсцис (рис.3). Мал. 3 Візьмемо рівняння прямої у нормальному вигляді: (3.1) - довжина перпендикуляра...

Полярна система координат на площині

Складемо рівняння в полярних координатах кола, що проходить через полюс, з центром на полярній осі та радіусом R. З прямокутного трикутника OAA отримуємо OA = OA (рис. 4).

Поняття вибіркової теорії. Ряди розподілу. Кореляційний та регресійний аналіз

Вивчити: а) поняття парної лінійної регресії; б) складання системи нормальних рівнянь; в) властивості оцінок методом найменших квадратів; г) методику знаходження рівняння лінійної регресії. Припустимо...

Побудова розв'язків диференціальних рівнянь у вигляді статечних рядів

Як приклад застосування побудованої теорії розглянемо рівняння Бесселя: (6.1) Де. Особлива точка z = 0 є регулярною. Інших особливостей у кінцевій частині площини немає. У рівнянні (6.1) , тому визначальне рівняння має вигляд, тобто...

Розв'язання матричних рівнянь

Матричне рівняння ХА=В можна вирішити двома способами: 1. Обчислюється зворотна матриця будь-яким з відомих способів. Тоді рішення матричного рівняння матиме вигляд: 2...

Розв'язання матричних рівнянь

Для вирішення рівнянь виду АХ = ХВ, АХ + ХВ = З описані вище методи не підходять. Вони не підходять також для вирішення рівнянь, в яких хоча б один із співмножників при невідомій матриці Х є виродженою матрицею...

Розв'язання матричних рівнянь

Рівняння виду АХ=ХА вирішуються як і, як і попередньому разі, тобто поэлементно. Рішення тут зводиться до знаходження перестановної матриці. Докладніше розглянемо на прикладі. приклад. Знайдіть усі матриці...

Стаціонарне функціонування мережі масового обслуговування з ромбоподібним контуром

Зі стану може перейти до одного з наступних станів: - за рахунок надходження заявки в чергу першого вузла з інтенсивністю; - за рахунок надходження з першого вузла обробленої в ньому заявки у чергу третього вузла з інтенсивністю при...

Тригонометричні функції

Арктангенсом числа називається таке число, синус якого дорівнює а: якщо і. Усі коріння рівняння можна знаходити за формулою:...

Чисельні методи вирішення математичних завдань

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.

1. Рівняння `sin x=a`.

При `|a|>1` немає рішень.

При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.

Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Рівняння `cos x=a`

При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `|a| \leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: x = p arccos a + 2 pi n, n in Z

Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.

3. Рівняння `tg x=a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Рівняння `ctg x=a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

• за допомогою перетворити його до найпростішого;
• вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.

Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.

Алгебраїчний метод.

У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.

приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,

знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Розкладання на множники.

приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n `, ` x_1 = 2 \ pi n `.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Відповідь: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:

`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.

приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Перехід до половинного кута

приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Докладніше розглянемо на наступному прикладі:

приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.

приклад. Вирішити рівняння. frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x `.

Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.

Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.

Щоб успішно вирішувати тригонометричні рівняннязручно користуватися методом відомостідо раніше вирішених завдань. Давайте розберемося, у чому суть цього?

У будь-якій пропонованій задачі вам необхідно побачити вже вирішену задачу, а потім за допомогою послідовних рівносильних перетворень спробувати звести дану вам задачу до більш простої.

Так, при вирішенні тригонометричних рівнянь зазвичай становлять деяку кінцеву послідовність рівносильних рівнянь, останньою ланкою якої є рівняння з очевидним рішенням. Тільки важливо пам'ятати, що якщо навички розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь не сформовані, то розв'язання складніших рівнянь буде утруднене і малоефективне.

Крім того, вирішуючи тригонометричні рівняння, ніколи не варто забувати про можливість існування кількох способів розв'язання.

Приклад 1. Знайти кількість коренів рівняння cos x = -1/2 на проміжку.

Рішення:

І спосіб.Зобразимо графіки функцій y = cos x та y = -1/2 і знайдемо кількість їх загальних точок на проміжку (рис. 1).

Так як графіки функцій мають дві загальні точки на проміжку, то рівняння містить два корені на даному проміжку.

ІІ метод.За допомогою тригонометричного кола (рис. 2) з'ясуємо кількість точок, що належать до проміжку , в яких cos x = -1/2. На малюнку видно, що рівняння має два корені.

ІІІ спосіб.Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, розв'яжемо рівняння cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k - ціле число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – ціле число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – ціле число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).

Проміжку належить коріння 2π/3 і -2π/3 + 2π, k – ціле число. Таким чином, рівняння має два корені на заданому проміжку.

Відповідь: 2.

Надалі тригонометричні рівняння будуть вирішуватися одним із запропонованих способів, що у багатьох випадках не виключає застосування та інших способів.

Приклад 2. Знайти кількість розв'язків рівняння tg (x + π/4) = 1 на проміжку [-2π; 2π].

Рішення:

Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, отримаємо:

x + π/4 = arctg 1 + πk, k – ціле число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z);

x = πk, k - ціле число (k € Z);

Проміжок [-2π; 2π] належать числа -2π; -π; 0; π; 2π. Отже, рівняння має п'ять коренів на заданому проміжку.

Відповідь: 5.

Приклад 3. Знайти кількість коренів рівняння cos 2 x + sin x · cos x = 1 на проміжку [-π; π].

Рішення:

Так як 1 = sin 2 x + cos 2 x (основне тригонометричне тотожність), то вихідне рівняння набуває вигляду:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x · cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Добуток дорівнює нулю, а отже хоча б один із множників повинен дорівнювати нулю, тому:

sin x = 0 або sin x - cos x = 0.

Оскільки значення змінної, у яких cos x = 0, є корінням другого рівняння (синус і косинус однієї й тієї числа не можуть одночасно бути рівними нулю), то розділимо обидві частини другого рівняння на cos x:

sin x = 0 або sin x / cos x - 1 = 0.

У другому рівнянні скористаємося тим, що tg x = sin x / cos x тоді:

sin x = 0 або tg x = 1. За допомогою формул маємо:

x = πk або x = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z).

З першої серії коренів проміжку [-π; π] належать числа -π; 0; π. З другої серії: (π/4 – π) та π/4.

Таким чином, п'ять коренів вихідного рівняння належать до проміжку [-π; π].

Відповідь: 5.

Приклад 4. Знайти суму коренів рівняння tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на проміжку [-π; 1,1π].

Рішення:

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 і зробимо заміну.

Нехай tg x + stgx = a. Обидві частини рівності зведемо у квадрат:

(tg x + stg x) 2 = a 2 . Розкриємо дужки:

tg 2 x + 2tg x · stgx + stg 2 x = a 2 .

Так як tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 а значить

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 - 2.

Тепер вихідне рівняння має вигляд:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. За допомогою теореми Вієта отримуємо, що a = -1 або a = -2.

Зробимо зворотну заміну, маємо:

tg x + сtgx = -1 або tg x + сtgx = -2. Вирішимо отримані рівняння.

tg x + 1/tgx = -1 або tg x + 1/tgx = -2.

За якістю двох взаємно зворотних чисел визначаємо, що перше рівняння немає коренів, та якщо з другого рівняння маємо:

tg x = -1, тобто. x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-π; 1,1π] належить коріння: -π/4; -π/4 + π. Їхня сума:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Відповідь: π/2.

Приклад 5. Знайти середнє арифметичне коріння рівняння sin 3x + sin x = sin 2x на проміжку [-π; 0,5 π].

Рішення:

Скористаємося формулою sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тоді

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x і рівняння набуває вигляду

2sin 2x · cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Винесемо загальний множник sin 2x за дужки

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Розв'яжемо отримане рівняння:

sin 2x = 0 або 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 або cos x = 1/2;

2x = πk або x = ±π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).

Таким чином, маємо коріння

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-π; 0,5π] належить коріння -π; -π/2; 0; π/2 (з першої серії коріння); π/3 (з другої серії); -π/3 (з третьої серії). Їхнє середнє арифметичне дорівнює:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Відповідь: -π/6.

Приклад 6. Знайти кількість коренів рівняння sin x + cos x = 0 на проміжку [-1,25π; 2π].

Рішення:

Це рівняння є однорідним рівнянням першого ступеня. Розділимо обидві його частини на cosx (значення змінної, при яких cos x = 0, не є корінням даного рівняння, оскільки синус і косинус одного й того ж числа не можуть одночасно дорівнювати нулю). Вихідне рівняння має вигляд:

x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).

Проміжку [-1,25π; 2π] належить коріння -π/4; (-π/4 + π); та (-π/4 + 2π).

Таким чином, заданому проміжку належать три корені рівняння.

Відповідь: 3.

Навчіться робити найголовніше – чітко представляти план розв'язання задачі, і тоді будь-яке тригонометричне рівняння буде вам під силу.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

>> Арктангенс та арккотангенс. Розв'язання рівнянь tgx = а, ctgx = a

§ 19. Арктангенс та арккотангенс. Розв'язання рівнянь tgx = а, ctgx = a

У прикладі 2 §16 ми не змогли розв'язати три рівняння:

Два з них ми вже вирішили – перше у § 17 і друге у § 18, для цього нам довелося запровадити поняття арккосинусута арксинусу. Розглянемо третє рівняння x = 2.
Графіки функцій у=tg х і у=2 мають нескінченно багато загальних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд - абсцис точки перетину прямої у = 2 з головною гілкою тангенсоіди (рис. 90). Для числа х1 математики вигадали позначення агсtg 2 (читається «арктангенс двох»). Тоді все коріння рівняння х=2 можна описати формулою х=агсtg 2 + пк.
Що ж таке агсtg 2? Це - число, тангенсякого дорівнює 2 і яке належить інтервалу
Розглянемо тепер рівняння tg x = -2.
Графіки функцій мають нескінченно багато загальних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд абсцис точки перетину прямої у = -2 з головною гілкою тангенсоїди. Для числа х 2 математики вигадали позначення агсtg(-2). Тоді все коріння рівняння х = -2 можна описати формулою

Що ж таке агсtg(-2)? Це число, тангенс якого дорівнює -2 і яке належить інтервалу. Зверніть увагу (рис. 90): х 2 = -х 2 . Це означає, що агсtg(-2) = - агсtg2.
Сформулюємо визначення арктангенсу у вигляді.

Визначення 1.агсtg а (арктангенс а) - це таке число з інтервалу, тангенс якого дорівнює а. Отже,

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про рішення рівняннях = а: рівняння х = а має рішення

Вище ми відзначили, що агсtg(-2) = -агсtg 2. Взагалі, для будь-якого значення справедлива формула

приклад 1.Обчислити:

приклад 2.Розв'язати рівняння:

А) Складемо формулу рішень:

Обчислити значення арктангенса у разі ми можемо, тому запис рішень рівняння залишимо отриманому вигляді.
Відповідь:
приклад 3.Вирішити нерівності:
Нерівність виду можна вирішувати графічно, дотримуючись наступних планів
1) побудувати тангенсоіду у = tg х і пряму у = а;
2) виділити для головної гілки тангейсоїди проміжок осі х, на якому виконується задана нерівність;
3) враховуючи періодичність функції у = tg х, записати відповідь у загальному вигляді.
Застосуємо цей план вирішення заданих нерівностей.

: а) Побудуємо графіки функцій у = tgх і у = 1. На головній галузі тангенсоїди вони перетинаються в точці

Виділимо проміжок осі х, на якому головна гілка тангенсоїди розташована нижче за пряму у = 1, - це інтервал
Враховуючи періодичність функції у = tgх, робимо висновок, що задана нерівність виконується на будь-якому інтервалі виду:

Об'єднання всіх таких інтервалів і є загальним рішенням заданої нерівності.
Відповідь можна записати і по-іншому:

б) Побудуємо графіки функцій у = tg х та у = -2. На головній галузі тангенсоїди (рис. 92) вони перетинаються в точці х = агсtg(-2).

Виділимо проміжок осі х, на якому головна гілка тангенсоїди

Розглянемо рівняння з tg х=а де а>0. Графіки функцій у = сtg х і у = а мають нескінченно багато загальних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд: х = х 1 + пк, де х 1 = агссtg а - абсцис точки перетину прямої у = а з головною гілкою тангенсоіди (рис 93). Значить, агссtga - це число, котангенс якого дорівнює а і яке належить інтервалу (0, п); у цьому інтервалі будується головна гілка графіка функції у = сtg x.

На рис. 93 представлена ​​і графічна ілюстрація розв'язання рівняння с1tg = -а. Графіки функцій у = сtg х і у = -а мають нескінченно багато загальних точок, абсциси всіх цих точок мають вигляд х = х 2 + пк, де х 2 = агссtg (-а) - абсцис точки перетину прямої у = -а з головною гілки тангенсоіди. Значить, агссtg(-а) - це число, котангенс якого дорівнює -а та яке належить інтервалу (О, п); у цьому інтервалі будується головна гілка графіка функції У = сtg x.

Визначення 2.агссtg а (арккотангенс а) - це таке число з інтервалу (0, п), котангенс якого дорівнює а.
Отже,

Тепер ми можемо зробити загальний висновок про рішення рівняння сtg х=а: рівняння ctg х = а має рішення:

Зверніть увагу (рис. 93): х 2 = п-х 1 . Це означає що

приклад 4.Обчислити:

А) Покладемо,

Виняток становить рівняння сtg х =0. Але в цьому випадку, скориставшись тим, що можна перейти до
рівняння соs x = 0. Таким чином, рівняння виду х = самостійного інтересу не представляє.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

На цьому уроці ми продовжимо вивчення арктангенсу та розв'язання рівнянь виду tg x = a для будь-якого а. На початку уроку розв'яжемо рівняння з табличним значенням і проілюструємо рішення на графіку, а потім і на колі. Далі вирішимо рівняння tgx = a у загальному вигляді і виведемо загальну формулу відповіді. Проілюструємо обчислення на графіці та колі і розглянемо різні форми відповіді. Наприкінці уроку розв'яжемо кілька завдань з ілюстрацією рішень на графіці та колі.

Тема: Тригонометричні рівняння

Урок: Арктангенс та рішення рівняння tgx=a (продовження)

1. Тема уроку, вступ

На цьому уроці ми розглянемо рішення рівняння для будь-якого дійсного

2. Розв'язання рівняння tgx=√3

Завдання 1. Розв'язати рівняння

Знайдемо рішення за допомогою графіків функцій (Рис. 1).

Розглянемо проміжок У цьому проміжку функція монотонна, отже, досягається лише за одному значенні функції.

Відповідь:

Вирішимо це ж рівняння за допомогою числового кола (рис. 2).

Відповідь:

3. Розв'язання рівняння tgx=a у загальному вигляді

Розв'яжемо рівняння в загальному вигляді (рис. 3).

На проміжку рівняння має єдине рішення

Найменший позитивний період

Проілюструємо на числовому колі (рис. 4).

4. Розв'язання задач

Завдання 2. Розв'язати рівняння

Зробимо заміну змінної

Завдання 3. Вирішити систему:

Рішення (рис. 5):

У точці значення тому рішенням системи є лише точка

Відповідь:

Завдання 4. Розв'язати рівняння

Вирішимо методом заміни змінної:

Завдання 5. Знайти число розв'язків рівняння на проміжку

Розв'яжемо задачу за допомогою графіка (рис. 6).

Рівняння має три розв'язки на заданому проміжку.

Проілюструємо на числовому колі (рис. 7), це не так наочно, як у графіці.

Відповідь: Три рішення.

5. Висновок, висновок

Ми вирішували рівняння для будь-якого дійсного, використовуючи поняття арктангенс. На наступному уроці ми познайомимося з поняттям арккотангенсу.

Список літератури

1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.

2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

3. Віленкін Н. Я., Івашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.

4. Галицький М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТНЗ (під ред. М. І. Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А. Р., Полонський Ст Б., Якір М. С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Завдання з алгебри та початків аналізу (посібник для учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.

8. Карп А. П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.

Домашнє завдання

Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Додаткові веб-ресурси

1. Математика.

2. Інтернет-портал Problems. ru .

3. Освітній портал для підготовки до іспитів.