Перетворення раціональних виразів. Перетворення раціональних виразів, види перетворень, приклади Як зрозуміти перетворення раціональних виразів

Стаття розповідає про перетворення раціональних виразів. Розглянемо види раціональних виразів, їх перетворення, угруповання, винесення за дужки загального множника. Навчимося представляти дробові раціональні вирази у вигляді раціональних дробів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Визначення та приклади раціональних виразів

Визначення 1

Вирази, складені з чисел, змінних, дужок, ступенів з діями складання, віднімання, множення, поділу з наявністю риси дробу, називають раціональними виразами.

Для прикладу маємо, що 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Тобто це такі вирази, які не мають поділу на вирази зі змінними. Вивчення раціональних виразів починається з 8 класу, де їх називають дробовими раціональними виразами. Особливу увагу приділяють дробам у чисельнику, які перетворюють за допомогою правил перетворення.

Це дозволяє переходити до перетворення раціональних дробів довільного вигляду. Такий вираз може бути розглянуто як вираз із наявністю раціональних дробів та цілих виразів зі знаками дій.

Основні види перетворень раціональних виразів

Раціональні висловлювання використовуються для того, щоб виконувати тотожні перетворення, угруповання, приведення подібних, виконання інших дій з числами. Мета таких виразів – це спрощення.

Приклад 1

Перетворити раціональний вираз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Рішення

Видно, що такий раціональний вираз - це різниця 3 · x x · y - 1 і 2 · x x · y - 1 . Зауважуємо, що знаменник у них ідентичний. Це означає, що приведення подібних доданків набуде вигляду

3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1

Відповідь: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Приклад 2

Виконати перетворення 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Рішення

Спочатку виконуємо дії в дужках 3 · x − x = 2 · x. Даний вираз представляємо у вигляді 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Ми приходимо до виразу, який містить дії з одним щаблем, тобто має додавання та віднімання.

Позбавляються від дужок за допомогою застосування властивості поділу. Тоді отримуємо, що 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .

Групуємо числові множники зі змінною x , після цього можна виконувати дії зі ступенями. Отримуємо, що

2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4

Відповідь: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .

Приклад 3

Перетворити вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Рішення

Спочатку перетворюємо чисельник і знаменник. Тоді отримуємо вираз виду (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2, причому дії в дужках роблять в першу чергу. У чисельнику виконуються дії та групуються множники. Після чого отримуємо вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Перетворимо на чисельнику формулу різниці квадратів, тоді отримуємо, що

x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2

Відповідь: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Подання у вигляді раціонального дробу

Алгебраїчна дріб найчастіше піддається спрощенню при вирішенні. Кожне раціональне призводить до цього різними способами. Необхідно виконати всі необхідні дії з багаточленами для того, щоб раціональний вираз у результаті зміг дати раціональний дріб.

Приклад 4

Подати у вигляді раціонального дробу a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .

Рішення

Даний вираз можна подати у вигляді a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Множення виконується насамперед за правилами.

Слід почати з множення, тоді матимемо, що

a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 ( a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a

Проводимо уявлення отриманого результату з вихідним. Отримаємо, що

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Тепер виконуємо віднімання:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9

Після чого очевидно, що вихідний вираз набуде вигляду 16 a 2 - 9 .

Відповідь: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Приклад 5

Уявити x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x у вигляді раціонального дробу.

Рішення

Задане вираз записується як дріб, у чисельнику якої є x x + 1 + 1 , а знаменнику 2 · x - 1 1 + x . Необхідно зробити перетворення x x + 1 + 1 . Для цього потрібно виконати складання дробу та числа. Отримуємо, що x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1

Слід, що x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x

Дріб, що вийшов, може бути записана як 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .

Після поділу прийдемо до раціонального дробу виду

2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 ​​· x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1

Можна вирішити це інакше.

Замість поділу на 2 · x - 1 1 + x множимо на зворотну їй 1 + x 2 · x - 1 . Застосуємо розподільну властивість і отримуємо, що

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1

Відповідь: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Урок та презентація на тему: "Перетворення раціональних виразів. Приклади вирішення завдань"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Муравіна Г.К. Посібник до підручника Макарічева Ю.М.

Поняття про раціональний вираз

Поняття "раціональне вираження" схоже з поняттям "раціональний дріб". Вираз також подається у вигляді дробу. Тільки в чисельники у нас - не числа, а різноманітних виразів. Найчастіше цього багаточлени. Алгебраїчна дріб - дробовий вираз, що складається з чисел та змінних.

При вирішенні багатьох завдань у молодших класах після виконання арифметичних операцій ми отримували конкретні числові значення, найчастіше дроби. Тепер після виконання операцій ми отримуватимемо алгебраїчні дроби. Діти, пам'ятайте: щоб отримати правильну відповідь, необхідно максимально спростити вираз, з яким ви працюєте. Треба отримати найменший ступінь, який можливо; однакові вирази в чисельники та знаменники варто скоротити; з виразами, які можна згорнути, треба так і вчинити. Тобто після виконання низки дій ми маємо отримати максимально простий алгебраїчний дріб.

Порядок дій із раціональними виразами

Порядок дій при виконанні операцій з раціональними виразами такий самий, як і при арифметичних операціях. Спочатку виконуються дії в дужках, потім – множення та розподіл, зведення у ступінь і нарешті – додавання та віднімання.

Довести тотожність – це означає показати, що з усіх значеннях змінних права і ліва частини рівні. Прикладів із доказом тотожностей дуже багато.

До основних способів розв'язання тотожностей ставляться.

• Перетворення лівої частини до рівності з правої.
• Перетворення правої частини до рівності з лівою.
• Перетворення лівої та правої частини окремо, допоки не вийде однаковий вираз.
• З лівої частини віднімають праву, і в результаті має вийти нуль.

Перетворення раціональних виразів. Приклади розв'язання задач

приклад 1.
Доведіть тотожність:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Рішення.
Очевидно, нам треба перетворити ліву частину.
Спочатку виконаємо дії у дужках:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Виносити спільні множники треба намагатися максимально.
2) Перетворимо вираз, на який ділимо:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Виконаємо операцію поділу:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Виконаємо операцію додавання:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Права та ліва частини збіглися. Отже, тотожність доведена.
Діти, при вирішенні цього прикладу нам знадобилося знання багатьох формул і операцій. Ми бачимо, що після перетворення велике вираження перетворилося на маленьке. При вирішенні багатьох завдань, зазвичай перетворення призводять до простих виразів.

приклад 2.
Спростіть вираз:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Рішення.
Почнемо з перших дужок.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Перетворимо другі дужки.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Виконаємо поділ.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Відповідь: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

приклад 3.
Виконайте дії:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Рішення.
Як завжди, треба починати з дужок.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +frac(2k)(k^2+2k+4)+frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Тепер виконаємо поділ.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4) ^ 2) $.

3. Скористайтеся властивістю: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Виконаємо операцію віднімання.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Як ми раніше казали, спрощувати дріб треба максимально.
Відповідь: $ frac (k) (k-4) $.

Завдання для самостійного вирішення

1. Доведіть тотожність:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b ) (9b-3b ^ 2) = b + 4 $.

2. Спростіть вираз:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Виконайте дії:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні вирази та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені до цього теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. У рамках уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, а також розберемо приклади на їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Приватні випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення раціонального вираження. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даний приклад виникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона є абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, а потім його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, і навіть кілька конкретних прикладів даних перетворень.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

Ця стаття присвячена перетворення раціональних виразів, переважно дрібно раціональних, - одному з ключових питань курсу алгебри для 8 класів. Спочатку ми нагадаємо, вирази якого виду називають раціональними. Далі зупинимося на проведенні стандартних перетворень з раціональними виразами, таких як угруповання доданків, винесення за дужки загальних множників, приведення подібних доданків тощо. Нарешті, навчимося представляти дробові раціональні вирази у вигляді раціональних дробів.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних виразів

Раціональні висловлювання є одним із видів виразів, що вивчаються на уроках алгебри в школі. Дамо визначення.

Визначення.

Вирази, складені з чисел, змінних, дужок, ступенів з цілими показниками, з'єднаних за допомогою знаків арифметичних дій +, −, · і: де розподіл може бути позначений рисою дробу, називаються раціональними висловлюваннями.

Наведемо кілька прикладів оптимальних выражений: .

Раціональні висловлювання починають цілеспрямовано вивчатися у 7 класі. Причому в 7 класі пізнаються основи роботи з так званими цілими раціональними виразамитобто з раціональними виразами, які не містять поділу на вирази зі змінними. І тому послідовно вивчаються одночлени і многочлени , і навіть принципи виконання з ними. Всі ці знання в результаті дозволяють виконувати перетворення цілих виразів.

У 8 класі переходять до вивчення раціональних виразів, що містять розподіл на вираз зі змінними, які називають дробовими раціональними виразами. При цьому особлива увага приділяється так званим раціональним дробам(їх також називають алгебраїчними дробами), тобто дробам, у чисельнику та знаменнику яких знаходяться багаточлени. Це у результаті дає можливість виконувати перетворення раціональних дробів.

Набуті навички дозволяють перейти до перетворення раціональних виразів довільного вигляду. Це пояснюється тим, що будь-який раціональний вираз можна розглядати як вираз, складений з раціональних дробів та цілих виразів, сполучених знаками арифметичних дій. А працювати з цілими виразами та алгебраїчними дробами ми вже вміємо.

Основні види перетворень раціональних виразів

З раціональними висловлюваннями можна проводити будь-які з основних тотожних перетворень, чи то угруповання доданків чи множників, приведення подібних доданків, виконання дій з числами і т.п. Зазвичай метою виконання цих перетворень є спрощення раціонального вираження.

приклад.

.

Рішення.

Зрозуміло, що даний раціональний вираз є різницею двох виразів і , причому дані вирази є подібними, так як мають однакову буквену частину. Таким чином, ми можемо виконати приведення подібних доданків:

Відповідь:

.

Зрозуміло, що з проведенні перетворень з раціональними висловлюваннями, як, втім, і будь-якими іншими висловлюваннями, слід залишатися у межах прийнятого порядку виконання дій .

приклад.

Виконайте перетворення раціонального виразу.

Рішення.

Ми знаємо, що спочатку виконуються дії у дужках. Тому в першу чергу перетворимо вираз у дужках: 3 x-x = 2 x .

Тепер можна підставити отриманий результат вихідне раціональне выражение: . Так ми дійшли виразу, що містить дії одного ступеня – додавання і множення.

Позбавимося дужок наприкінці висловлювання, застосувавши властивість поділу на твір: .

Нарешті, ми можемо згрупувати числові множники та множники зі змінною x, після чого виконати відповідні дії з числами та застосувати : .

У цьому перетворення раціонального висловлювання завершено, й у результаті отримали одночлен.

Відповідь:

приклад.

Перетворіть раціональний вираз .

Рішення.

Спочатку перетворимо чисельник і знаменник. Такий порядок перетворення дробів пояснюється тим, що риса дробу за своєю суттю є інше позначення поділу, і вихідний раціональний вираз по суті є окремим видом. , А дії в дужках виконуються насамперед.

Отже, в чисельнику виконуємо дії з багаточленами, спочатку множення, потім - віднімання, а в знаменнику згрупуємо числові множники, і обчислимо їх добуток: .

Ще представимо чисельник і знаменник отриманого дробу як твори: раптом можливе скорочення алгебраїчної дробу . Для цього в чисельнику скористаємося формулою різниці квадратів, а у знаменнику винесемо двійку за дужки, маємо .

Відповідь:

.

Отже, початкове знайомство з перетворенням раціональних виразів вважатимуться таким, що відбулося. Переходимо, так би мовити, до найсолодшого.

Подання у вигляді раціонального дробу

Найчастіше кінцевою метою перетворення висловів є спрощення їхнього виду. У цьому світлі найпростішим видом, до якого можна перетворити дробово раціональне вираз, є раціональна (алгебраїчна) дріб, і в окремому випадку багаточлен, одночлен або число.

А чи будь-який раціональний вираз можна представити у вигляді раціонального дробу? Відповідь ствердна. Пояснимо, чому це так.

Як ми вже сказали, будь-який раціональний вираз можна розглядати як багаточлени та раціональні дроби, з'єднані знаками плюс, мінус, помножити та розділити. Усі відповідні дії з багаточленами дають багаточлен або раціональний дріб. У свою чергу, будь-який многочлен можна перетворити на алгебраїчну дріб, записавши його зі знаменником 1 . А додавання, віднімання, множення та поділ раціональних дробів у результаті дають новий раціональний дріб. Отже, виконавши всі дії з багаточленами та раціональними дробами у раціональному вираженні, ми отримаємо раціональний дріб.

приклад.

Подайте у вигляді раціонального дробу вираз .

Рішення.

Вихідний раціональний вираз є різницею дробу і добутку дробів виду . Відповідно до порядку виконання дій ми спочатку маємо виконати множення, а вже потім – додавання.

Починаємо з множення алгебраїчних дробів:

Підставляємо отриманий результат вихідне раціональне выражение: .

Ми прийшли до віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

Отже, виконавши дії з раціональними дробами, що становлять вихідний раціональний вираз, ми його представили у вигляді раціонального дробу.

Відповідь:

.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Подайте раціональний вираз у вигляді раціонального дробу.