Збірник тестів з геометрії на тему "Тіла обертання" (11 клас). Збірник тестів з геометрії на тему "Тіла обертання" (11 клас) У кулі проведено два взаємно перпендикулярні перерізи

3.1. Радіус основи конуса дорівнює R, що утворює нахилену до площини основи під кутом  . У конусі через вершину під кутом  до його висоти проведено площину. Знайдіть площу отриманого перерізу.

3.2. Площі основ усіченого конуса дорівнюють 81  см 2 та 225  см 2 , що утворює, відноситься до висоти як 5: 4. Знайдіть площу осьового перерізу.

3.3. Діагоналі осьового перерізу зрізаного конуса взаємно перпендикулярні. Площа осьового перерізу дорівнює 324 см 2 . Знайдіть площі основ конуса, знаючи, що радіус однієї основи на 2 см більший за іншу.

3.4. Дана трапеція ABCD, у якої AD= 15 см, BC= 9 см, AB = CD= 5 см. Трапеція обертається навколо осі, що проходить через вершину Aта перпендикулярно AD. Знайдіть площу поверхні отриманого тіла обертання.

3.5. Пряма відсікає від сторін прямокутного трикутника, кут між якими 60, відрізки, довжини яких становлять четверту частину довжини гіпотенузи, рахуючи від вершини цього кута. Знайдіть відношення площі трикутника до площі поверхні тіла, одержаного при обертанні цього трикутника навколо прямої.

3.6. Конус лежить на площині і котиться нею, обертаючись навколо своєї нерухомої вершини. Висота конуса дорівнює h, що утворює – b. Знайдіть площу поверхні, що описується висотою конуса.

3.7. Два конуси мають загальну основу. У загальному осьовому перерізі утворює одного з конусів перпендикулярна протилежній утворює іншого. Обсяг одного з них вдвічі менший за обсяг іншого. Знайдіть кут між утворюючим більшим конусом і площиною основ конусів.

3.8. Трикутник АВС, у якого АВ= 13 см, НД= 20 см, АС= 21 см, обертається навколо осі, що проходить через вершину Аперпендикулярно АС. Знайдіть об'єм отриманого тіла обертання.

3.9. Паралелограм обертається навколо осі, що проходить через вершину гострого кута перпендикулярно до більшої діагоналі. Знайдіть об'єм тіла обертання, якщо сторони паралелограма та його велика діагональ дорівнюють відповідно 15 см, 37 см та 44 см.

3.10. Утворена зрізаного конуса, рівна l, нахилена до площини основи під кутом . Відношення площ основ конуса дорівнює 4. Знайдіть об'єм зрізаного конуса.

12.6. Куля

Куля та сфера

Сферою називається безліч всіх точок простору, рівновіддалених від цієї точки.

Ця точка називається центром сфери. Відрізок, що сполучає центр сфери з будь-якою її точкою, називається радіусом сфери. Хордой називається відрізок, що з'єднує дві точки сфери. Діаметром називається хорда, що проходить через центр сфери (рис. 12.40).

Кулькою називається геометричне тіло, обмежене сферою. Центр, радіус, хорда та діаметр сфери називаються відповідно центром ,радіусом ,хордий і діаметром кулі (рис. 12.40).

Кулю можна розглядати як тіло, отримане при обертанні півкола навколо осі, що містить діаметр півкола.

Сферою також називається поверхня кулі.

Площина, що має зі сферою єдину загальну точку, називається дотичною. площиною до сфери (кулі). Загальна точка називається точкою торкання сфери (кулі) та площини.

Теорема . Для того, щоб площина була дотичною до сфери (кулі), необхідно і достатньо, щоб ця площина була перпендикулярна до радіусу сфери (кулі), проведеного в точку торкання.

Для кулі вірні формули:

де S- Площа поверхні кулі (площа сфери); R- Радіус кулі; V- Об'єм кулі.

Кульовий сегмент та сферичний сегмент

Кульовим сегментом називається частина кулі, що відсікається від нього площиною. Коло, що вийшло в перерізі, називається основою сегмента. Відрізок, що з'єднує центр основи сегмента з точкою поверхні кулі, перпендикулярний до основи, називається заввишки кульового сегмента (рис. 12.41). Поверхня сферичної частини кульового сегмента називається сферичним сегментом .

Для кульового сегмента вірні формули:

де S- Площа сферичної частини кульового сегмента (площа сферичного сегмента); R- Радіус кулі; h- Висота сегмента; S повний- Площа повної поверхні кульового сегмента; r– радіус основи кульового сегмента; V- Обсяг кульового сегмента.

Кульовий шар та сферичний пояс

Кульовим шаром називається частина кулі, укладена між двома паралельними січними площинами. Кола, що вийшли у перерізі, називаються підставами шару. Відстань між січними площинами називається заввишки шару (рис. 12.42). Поверхня сферичної частини шарового шару називається сферичним поясом .

Куля, кульовий сегмент і шаровий шар можна розглядати як геометричні тіла обертання. При обертанні півкола навколо осі, що містить діаметр півкола, виходить куля, відповідно при обертанні частин кола виходять частини кулі: кульовий сегмент і шаровий шар.

Для шарового шару вірні формули:

де S 1 , S 2 – площі основ; R 1 , R 2 – радіуси основ; S– площа сферичної частини шарового шару (площа сферичного поясу); R- Радіус кулі; h- Висота; S повний- Площа повної поверхні; V- Обсяг кульового шару.

Кульовий сектор

Кульовим сектором називається геометричне тіло, отримане при обертанні кругового сектора (з кутом менше 90) навколо осі, що містить один із бічних радіусів. Доповнення такого тіла до кулі також називається кульовим сектором . Таким чином, кульовий сектор складається з кульового сегмента і конуса, або кульового сегмента без конуса (рис. 12.43 а, б).

Для кульового сектора вірні формули:

де S- Площа поверхні кульового сектора; R- Радіус кулі; r– радіус основи сегмента; h- Висота кульового сегмента; V- Обсяг кульового сектора.

приклад 1.Радіус кулі розділили на три рівні частини. Через точки поділу провели два перерізи, перпендикулярні до радіусу. Знайти площу сферичного пояса, якщо радіус кулі дорівнює 15 см.

Рішення. Зробимо рисунок (рис. 12.44).

Для того щоб обчислити площу сферичного пояса, треба знати радіус кулі та висоту. Радіус кулі відомий, а висоту знайдемо, знаючи, що радіус розділений на три рівні частини:

Тоді площа

приклад 2. Куля перетнута двома паралельними площинами, що проходять перпендикулярно діаметру і по різні боки від центру кулі. Площі сферичних сегментів дорівнюють 42  см 2 та 70  см 2 . Знайти радіус кулі, якщо відстань між площинами дорівнює 6 див.

Рішення. Розглянемо два сферичні сегменти з площами:

де R –радіус кулі (сфери), h, H – висоти сегментів. Отримаємо рівняння:
і
Маємо два рівняння із трьома невідомими. Складемо ще одне рівняння. Діаметр кулі дорівнює
Вирішимо систему:

З двох перших рівнянь системи виражаємо:

підставляємо у третє рівняння системи:
Вирішуємо отримане рівняння:
отримуємо

За умовою завдання підходить значення

приклад 3. Перетин кулі площиною, перпендикулярною його діаметру, ділить діаметр щодо 1: 2. У скільки разів площа перерізу менша за площу поверхні кулі?

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 12.45).

Розглянемо діаметральний переріз кулі: AD- Діаметр, O- Центр, OE= R- Радіус кулі, BE- радіус перерізу, перпендикулярного діаметру кулі,

Висловимо BE через R:

З  OBE висловимо BEчерез R:

Площа перерізу
площа поверхні кулі
Отримуємо ставлення

Отже, S 1 менше S 2 у 4,5 рази.

Кульовим шаромназивається частина кулі, укладена між двома паралельними січними площинами. Кола, що вийшли у перерізі, називаються підставами шару. Відстань між січними площинами називається заввишки шару (рис. 42). Поверхня сферичної частини шарового шару називається сферичним поясом .

Куля, кульовий сегмент і шаровий шар можна розглядати як геометричні тіла обертання. При обертанні півкола навколо осі, що містить діаметр півкола виходить куля, відповідно при обертанні частин кола виходять частини кулі: кульовий сегмент і шаровий шар.

Для шарового шару вірні формули:

де R- Радіус кулі;

R 1 , R 2– радіуси основ;

h- Висота;

S 1 , S 2- Площі підстав;

S– площа сферичної частини шарового шару (площа сферичного поясу);

S повний- Площа повної поверхні;

V- Обсяг кульового шару.

Кульовий сектор

Кульовим секторомназивається геометричне тіло, отримане при обертанні кругового сектора (з кутом менше) навколо осі, що містить один з бічних радіусів. Доповнення такого тіла до кулі також називається кульовим сектором . Таким чином, кульовий сектор складається з кульового сегмента і конуса або з кульового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).

Мал. 43а. Мал. 43б.

Для кульового сектора вірні формули:

де R- Радіус кулі;

r– радіус основи сегмента;

h- Висота кульового сегмента;

S- Площа поверхні кульового сектора;

V- Обсяг кульового сектора.

приклад 1.Радіус кулі розділили на три рівні частини. Через точки поділу провели два перерізи перпендикулярні до радіусу. Знайти площу сферичного пояса, якщо радіус кулі дорівнює 15см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 44).

Для того, щоб обчислити площу сферичного пояса, треба знати радіус кулі та висоту. Радіус кулі відомий, а висоту знайдемо, знаючи, що радіус розділений на три рівні частини:

Тоді площа

Відповідь:

приклад 2.Куля перетнута двома паралельними площинами, що проходять перпендикулярно діаметру і по різні боки від центру кулі. Площі сферичних сегментів дорівнюють 42p см 2 і 70p см 2 . Знайти радіус кулі, якщо відстань між площинами 6 див.

Рішення.Розглянемо два сферичні сегменти з площами: де R –радіус кулі (сфери), h, H –висоти сегментів. Отримаємо рівняння: і маємо два рівняння із трьома невідомими. Складемо ще одне рівняння. Діаметр кулі дорівнює Вирішивши систему, знайдемо радіус кулі.

Û Þ Û

За умовою завдання підходить значення

Відповідь: 7 див.

приклад 3.Перетин кулі площиною, перпендикулярної його діаметру, ділить діаметр щодо 1:2. У скільки разів площа перерізу менша за площу поверхні кулі?

Рішення. Зробимо рисунок (рис. 45).

Розглянемо діаметральний переріз кулі: AD- Діаметр, O- Центр, OE=R- Радіус кулі, BE- радіус перерізу перпендикулярного діаметру кулі,

Висловимо BEчерез R:

З DOBEвисловимо BEчерез R:

Площа перерізу площа поверхні кулі Отримуємо відношення. Значить, S 1менше S 2у 4,5 рази.

Відповідь:у 4,5 рази.

приклад 4.У кулі, радіус якої 13 см, проведено два взаємно перпендикулярні перерізи на відстані 4 см і 12 см від центру. Знайти довжину їхньої загальної хорди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 46).

Перерізи перпендикулярні, т.к. OO 2– відстань та OO 1 –відстань. Таким чином, і , OC– діагональ прямокутника OO 2 CO 1і дорівнює

а) Проведено два паралельні перерізи кулі. Доведіть, що центр кулі лежить на прямій, що проходить через центри цих перерізів.
б) У кулі радіуса R проведено переріз радіуса r. Чому дорівнює відстань між ним та паралельним йому великим колом?
в) У кулі радіуса 3 проведено два перерізи радіусами 1 і 2, площини яких паралельні. Обчисліть відстань між ними,
г) Складіть задачі, обернені до завдань б) і в).

а) Дано два кола в одній кулі, кола яких лежать на сфері та мають єдину загальну точку. Доведіть, що пряме перетинання площин, у яких лежать ці кола, має з кулею єдину загальну точку,
б) На сфері проведено два кола, що мають єдину загальну точку. Доведіть, що центр сфери, центри обох кіл і їх загальна точка лежать в одній площині,
в) На сфері радіусу R провели два перерізи одного радіусу r, що мають одну загальну точку. Їхні площини утворюють кут порівн. Встановіть зв'язок між R, r, φ.

ІІІ. 3. У кулі радіуса R два перерізи радіусу r перетинаються під кутом φ. Їхнім перетином є хорда довжиною d. Встановіть зв'язок між R, r, d, φ.

ІІІ. 4. У цю сферу вписано:

а) циліндр;
б) конус;
в) усічений конус.

Їхні розміри відомі. Як знайти відстані від центру сфери до основ та бічних поверхонь циліндра, конуса та усіченого конуса?

ІІІ. 5. Чотири рівні кулі радіуса R розташовані так, що кожен стосується трьох інших. Три з цих куль лежать на горизонтальній площині, а четверта куля лежить над ними. Яка висота цієї споруди? Як визначити радіус кулі, описаної біля цієї споруди.

ІІІ. 6. Три циліндри розташовані так, що кожні два мають єдину загальну точку. Ця загальна точка знаходиться всередині утворює кожного з циліндрів. Осі циліндрів взаємно перпендикулярні, одна з них вертикальна. Радіус кожного циліндра дорівнює R. Знайдіть радіус кулі, яка, падаючи вертикально, пройде через зазор, утворений циліндрами.

ІІІ. 7. У кулі радіуса R знаходиться циліндр з найбільшим за площею осьовим перетином. Які розміри цього циліндра?

ІІІ. 8. Розгляньте всілякі циліндри з діагоналлю осьового перерізу, що дорівнює d. Обчисліть радіус найбільшої кулі, що міститься в такому циліндрі, і радіус найменшої кулі, що містить такий циліндр.

ІІІ. 9. У циліндрі, у якого висота дорівнює діаметру основи і дорівнює d, треба розмістити дві однакові кулі. Який їхній найбільший радіус?

ІІІ. 10. Два рівні конуси мають загальну вершину. Їхні бічні поверхні перетинаються по двох утворюючих. Доведіть, що площина, що проходить через ці утворювальні, перпендикулярна до площини, що містить осі конусів.

ІІІ.11. Два рівні конуси мають паралельні осі. Чи мають вони загальну опорну площину, що проходить через утворюють їх поверхонь?

ІІІ.12. Доведіть, що коло є лінією перетину (якщо така існує):

а) бічних поверхонь конуса та циліндра, осі яких лежать на одній прямій);
б) бічних поверхонь двох конусів, осі яких лежать на одній прямій.

ІІІ.13. Центр сфери лежить у вершині конуса. Радіус сфери менше утворює бічної поверхні конуса. Доведіть, що сфера перетинає бічну поверхню конуса по колу.

а) На реальній сфері намальовано коло. Як визначити її радіус?
б) Як обчислити радіус реальної сфери (кулі)?

Застосовуємо комп'ютер

ІІІ.15. Дано пряму р і відрізок АВ на прямій, паралельній прямій р. Знайдіть на прямій р таку точку X, щоб кут АХВ був найбільшим.

ІІІ.16. Серед усіх рівнобедрених трикутників ABC, описаних біля даного кола, що стосується основи АС, знайдіть трикутник найменшої площі.

ІІІ.17. Чи знайдеться на заданій прямій точка, з якої два рівні круги видно під рівними кутами?

ІІІ.18. Впишіть у дане коло прямокутник найбільшої площі.

ІІІ.19. Дано коло з центром О. У ньому проведена хорда АВ, відмінна від діаметра, і радіус ОС, перпендикулярний цій хорді. Нехай D - точка перетину цього радіусу і цієї хорди. Точка X рухається більшою дугою кола. З неї проводяться дві хорди: ХК, що проходить через точку D, та ХС. Нехай L - точка перетину хорд ХС та АВ. Який із відрізків довший: KD чи LC?

Підсумки глави III

У § 16-19 доведено лише три теореми:

теорема 17 про перетин кулі з площиною (п. 16.2),
теорема 18 про торкання сфери та площини (п. 16.3) та
теорема 19 про переріз конуса (п. 19.1).

У розділі III розпочато обговорення важливого питання симетрії просторових постатей.

У § 20 вивчені складніші, ніж у курсі основної школи, питання геометрії кола.

1. Прямі a та b паралельні, а прямі a та з перетинаються. Яке взаємне розташування b і с? (зроблено)
2. Через три точки, що лежать на трьох ребрах куба, що схрещуються, проведена площина. Знайдіть суму внутрішніх кутів багатокутника, що вийшов у перерізі. (Зроблено)
3. Усі бічні ребра піраміди рівні 13. Радіус кола, вписаного в основу піраміди, дорівнює 5, а радіус кола, описаного біля основи піраміди, дорівнює 12. Знайдіть висоту піраміди. дано вказівку
4. Всі двогранні кути при ребрах основи чотирикутної піраміди рівні 45. Радіус кола, вписаного в основу піраміди, дорівнює 8, а радіус кола, описаного біля основи піраміди, дорівнює 52. Знайдіть висоту піраміди. (зроблено)
5. Площини трьох бічних граней трикутної піраміди утворюють з площиною її основи кут 60. Радіус кола, вписаного в основу піраміди, дорівнює 8, а радіус кола, описаного біля основи піраміди, дорівнює 52. Знайдіть висоту піраміди. (Зроблено)
6. Відстань між центрами двох сфер радіусів 4 і 7 дорівнює 2. Опишіть безліч загальних точок цих сфер. (зроблено)
7. Дві утворюючі конуси взаємно перпендикулярні. Чи може кут у розгортці конуса дорівнювати 252.(зроблено)
8. ABCD – осьовий переріз циліндра. B та С – точки верхньої основи, а A та D – нижньої. Крапка До ділить дугу AD щодо AK:KD=1:2. Знайдіть величину кута AKC. (зроблено)
9. Перетин, що проходить через середину бічного ребра піраміди і паралельне підставі, розбило піраміду на два тіла, об'єм одного з яких на 6 м 3 менше, ніж іншого. Знайдіть обсяг піраміди. (зроблено)
10. MABC – тетраедр. Скільки існує різних площин, від яких всі вершини цього тетраедра віддалені на ту саму відстань?
11. За якого значення x довжина вектора з координатами (1-x;4+x;x) найменша? (зроблено)
12. Яку частину обсягу паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 займає обсяг тетраедра A1C1BD? (зроблено)
13. Чи можуть дві площини несусідних бічних граней чотирикутної піраміди перпендикулярні до площини основи?
14. Відстань від кінців діаметра кулі до площини, що стосується її, дорівнюють 3 і 7 см. Знайдіть радіус кулі. (зроблено)

У 8-му тільки зміг намалювати малюнок і згадати, що кут ACB дорівнює куту BAC як навхрест лежачі. Далі я не знаю, що робити.

У 13 можуть за теоремою про 3 перпендикуляри. Так?

У десятому може 4. Припускаю, тому що у тетраедра 4 грані, але логіки не бачу.

У 9-ій вийшло 8.

к.чорний ви написали так:
я міркувала так само.
Об'єм однієї такої піраміди, що відсікається, дорівнює 1/6 об'єму паралелепіпеда (1/3*половину основи*ту ж висоту)
Сл-но, об'єм частини, що відсікається 4/6 = 2/3
Тоді об'єм піраміди A1C1BD становить 1/3 об'єму пар-да

Я не можу зрозуміти чому спочатку у вас обсяги відносяться як 1/6, а потім як 1/3

ДБОУ СПО ПТ 13 імені П.О.Овчиннікова

Тести на тему «Тіла обертання»

викладач математики Макєєва Олена Сергіївна

Т Е С Т 1

Варіант 1

А1 . Площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює 12π, а висота циліндра дорівнює 3. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

А2 . Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 10 см. 2 , площа основи дорівнює 5 см 2

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А3 . Через утворюючу циліндра проведено два перерізи, з яких один осьовий з площею, що дорівнюєS. Кут між площинами перерізів дорівнює 30 про

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. Кінці відрізка АВ лежать на околицях основ циліндра. Радіус основи дорівнює 10 см, відстань між прямою АВ та віссю циліндра дорівнює 8 см, АВ=13 см. Визначте висоту циліндра.

Відповідь:

В 2 . Висота циліндра дорівнюєh, радіус основи –r. У цей циліндр похило до осі вписаний квадрат так, що всі його вершини знаходяться на околицях основ. Знайдіть бік квадрата.

Відповідь :________________________________________________________________________

З 1 . Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра складає зі стороною основи розгортки кут β. Обчисліть кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра та площиною основи.

Відповідь:________________________________________________________________________

Т Е С Т 1

Циліндр. Площа поверхні циліндра.

Варіант 2

А1. Площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює 20π, а висота циліндра дорівнює 5. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

А2 . Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 16 см. 2 , площа основи дорівнює 8 см 2 . Обчислити висоту та площу бічної поверхні циліндра.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) А3. Через утворюючу циліндра проведено два перерізи, з яких один осьовий з площею, що дорівнюєS. Кут між площинами перерізів дорівнює 45 про . Знайдіть площу другого перерізу.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. Кінці відрізка АВ лежать на околицях основ циліндра. Радіус основи дорівнює 5 см, висота циліндра дорівнює 6 см, АВ=10 см. Визначте відстань між прямою АВ та віссю циліндра.

Відповідь: ________________________________________________________________________

В 2 . Радіус основи циліндра дорівнюєr. У цей циліндр похило до осі вписано квадрат зі стороноюaтак, що всі його вершини знаходяться на околицях основ. Знайдіть висоту циліндра.

Відповідь: ________________________________________________________________________

З 1 . Кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра та площиною його основи дорівнює β. Обчисліть кут між діагоналлю розгортки його бокової поверхні та стороною основи розгортки.

Відповідь: ________________________________________________________________________

Т Е С Т 2

Прямий круговий конус

Варіант 1

А1 . Знайдіть висоту прямого кругового конуса, якщо площа його осьового перерізу дорівнює 6 см 2 , а площа основи дорівнює 8 см 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

А2. Визначте кут при вершині осьового перерізу конуса, якщо розгорткою його бічної поверхні є сектор з дугою, що дорівнює 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 30 o

А3. Довжина кола підстав усіченого конуса дорівнює 4 і 10. Висота конуса дорівнює 4. Знайдіть площу поверхні зрізаного конуса.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. Висота конуса дорівнює радіусуRйого підстави. Через вершину конуса проведена площина, що відсікає від кола основи дугу 60 o

Відповідь:

В 2. Утворююча конуса дорівнює 13 см, висота – 12 см. Цей конус перетнуто прямою, паралельною основі. Відстань її від основи дорівнює 6 см, а від висоти – 2 см. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, укладеної всередині конуса.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1 . Утворена зрізаного конуса дорівнюєLі складає з площиною основи кут α. Діагональ його осьового перерізу перпендикулярна до утворює. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 2

Прямий круговий конус

Варіант 2

А1 . Знайдіть висоту прямого кругового конуса, якщо площа його осьового перерізу дорівнює 8 см 2 , а площа основи дорівнює 12 см 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

А2 . Визначте кут при вершині осьового перерізу конуса, якщо розгорткою його бічної поверхні є сектор з дугою, що дорівнює 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 60 o

А3 . Довжина кола підстав усіченого конуса дорівнює 4 і 28. Висота конуса дорівнює 5. Знайдіть площу поверхні зрізаного конуса.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. Висота конуса дорівнює радіусуRйого підстави. Через вершину конуса проведена площина, що відсікає від кола основи дугу 90 o . Визначте площу перерізу.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

В 2. Утворююча конуса дорівнює 17 см, висота – 8 см. Цей конус перетнутий прямою, паралельною основі. Відстань її від основи дорівнює 4 см, а від висоти – 6 см. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, укладеної всередині конуса.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1 . Утворена зрізаного конуса складає з площиною нижньої основи кут α. Діагональ його осьового перерізу перпендикулярна до утворює конуса. Сума довжин кіл дорівнює 2 πm. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

Т ЕС Т 3

Варіант 1

А1 . Точки А та В лежать на сфері радіусуR. Знайдіть відстань від центру сфери до прямої АВ, якщо АВ = m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

А2. Знайдіть координати центру С та радіусаRсфери, заданої рівнянням

¤ 1) C (-3; 2; 0), R= 2) C (3; -2; 0), R = 5 3) C (-3; 2; 0), R = 5 4) C (3; -2; 0), R =

А3. Напишіть рівняння сфери з центром у точці С (4; -1; 3), що проходить через точку А(-2; 3;1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Вершини прямокутного трикутника з катетами 25 та 5лежать у сфері. Знайдіть радіус сфери, якщо відстань від центру до площини трикутника дорівнює 8.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

B 2 aрівняння

задає сферу.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1. Два взаємно перпендикулярні перерізи кулі мають загальну хорду довжиною 12. Відомо, що площі цих перерізів 100π та 64π . Знайдіть радіус кулі.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

Т ЕС Т 3

Сфера та куля. Рівняння сфери.

Варіант 2

А1. Точки А та В лежать на сфері радіусуR. Відстань від центру сфери до прямої АВ дорівнюєa. Знайдіть довжину відрізка АВ.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

А2 . Знайдіть координати центру С та радіусаRсфери, заданої рівнянням

¤ 1) C (-4; 0; 3), R= 2) C (4; 0; -3), R = 7 3) C (-4; 0; 3), R = 7 4) C (4; 0; -3), R =

А3. Напишіть рівняння сфери з центром у точці С (-3; 1; -2), що проходить через точку А(3; 4; -1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Вершини прямокутного трикутника з катетами 15 лежать у сфері. Знайдіть радіус сфери, якщо відстань від центру до площини трикутника дорівнює 5.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

B 2 . Визначте за яких значень параметраaрівняння

задає сферу.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1. Два взаємно перпендикулярні перерізи кулі мають загальну хорду довжиною 12. Відомо, що площі цих перерізів 256π та 100π . Знайдіть радіус кулі.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 4

Варіант 1

А1. Лінія перетину сфери та площини, віддаленої від центру на 8, має довжину 12 π. Знайдіть площу поверхні сфери.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

А2. Сфера радіусуRстосується граней двогранного кута, величина якого дорівнюєα . Визначте відстань від центру сфери до ребра двогранного кута.

¤ 1) ¤ 2) Rtg ¤ 3) ¤ 4) Rctg

А3. Знайдіть довжину хорди сфери , що належить осі абсцис.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

В 1. Перетин кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають площі 144π та 25π . Обчисліть площу поверхні кулі, якщо відстань між паралельними площинами дорівнює 17.

В 2.

Відповідь

З 1.

Відповідь:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 4

Взаємне розташування сфери та площини, сфери та прямої.

Варіант 2

А1. Перетин куліплощиною, віддаленої від його центру на 15 має площу 64 π. Знайдіть площу поверхні кулі.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

А2. Сфера стосується граней двогранного кута, величина якого дорівнюєα . Відстань від центру сфери до ребра двогранного кута дорівнюєl. Визначте радіус сфери.

¤ 1) l tg ¤ 2) l sin ¤ 3) l cos ¤ 4) l ctg

А3. Знайдіть довжину хорди сфери , належить осі ординат..

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

В 1. Перетин кулі двома паралельними площинами, які лежать по одну сторону від центру кулі, мають площу 576π та 100π . Обчисліть площу поверхні кулі, якщо відстань між паралельними площинами дорівнює 14.

Відповідь:________________________________________________________________________________

В 2. Напишіть рівняння площини, де лежать загальні точки сфер, заданих рівняннями

Відповідь:________________________________________________________________________________

З 1. Знайдіть координати точок перетину прямою, заданою рівнянням та сфери, заданої рівнянням

Відповідь:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 5

Комбінації фігур обертання.

Варіант 1

А1. Прямокутний трикутник із катетами, рівними 5 см і 12 см, обертається навколо гіпотенузи. Обчисліть площу поверхні отриманого тіла обертання.

¤ 1) см 2 ¤ 2) 82π см 2 ¤ 3) см 2 ¤ 4) 78π см 2

А2. У циліндр вписано кулю. Знайдіть відношення площі повної поверхні циліндра до площі поверхні кулі.

¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤ 3) 4:3 ¤ 4) 5:2

А3. r, висота -H

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)

B 1 . У конус вписаний циліндр, висота якого дорівнює радіусу основи конуса. Знайдіть величину кута між віссю конуса та його твірною, якщо площа повної поверхні циліндра відноситься до площі основи конуса як 3:2, а вісь циліндра збігається з віссю конуса.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1 . На площині лежать три однакові кулі радіусуR, що стосуються один одного. Зверху в ямку, утворену кулями, покладено четверту кулю того ж радіуса. Знайдіть відстань від верхньої точки четвертої кулі до площини.

Відповідь :________________________________________________________________________________

Т Е С Т 5

Комбінації фігур обертання.

Варіант 2

А1. Прямокутний трикутник із катетами, рівними 8 см і 15 см, обертається навколо гіпотенузи. Обчисліть площу поверхні отриманого тіла обертання.

¤ 1) 162π см 2 ¤ 2) см 2 ¤ 3) 164π см 2 ¤ 4) см 2

А2. У циліндр вписано кулю. Знайдіть відношення площі бічної поверхні циліндра до площі поверхні кулі.

¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤ 3) 1:1 ¤ 4) 2:3

А3. У кулю вписаний конус, радіус основи якого дорівнюєr, висота -L. Визначте площу поверхні кулі.

¤ 1) π ( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

B 1 . У конус вписаний циліндр, висота якого дорівнює радіусу основи конуса. Знайдіть величину кута між віссю конуса та його твірною, якщо площа повної поверхні циліндра відноситься до площі основи конуса як 8:9, а вісь циліндра збігається з віссю конуса.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1 . На площині лежать чотири однакові кулі радіусуRтак, що кожна з куль стосується двох сусідніх. Зверху в ямку, утворену кулями, покладено п'яту кулю того ж радіуса. Знайдіть відстань від верхньої точки п'ятої кулі до площини.

Відповідь :________________________________________________________________________________

Т Е С Т 6

Варіант 1

А1. У правильну трикутну призму вписано циліндр. Знайдіть площу його поверхні, якщо сторона основи призми дорівнює 2, А висота - 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

А2. Навколо правильної трикутної піраміди описано конус. Обчисліть площу бічної поверхні конуса, якщо сторона основи піраміди дорівнюєa, бічні ребра нахилені до основи під кутом 30 o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

А3. У правильну чотирикутну призму вписано сферу. Знайдіть відношення площі повної поверхні призми до площі сфери.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

В 1. aіb. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Відповідь:________________________________________________________________________________

В 2. У куб з ребром, рівнимa, вписана куля. Обчисліть радіус кулі, що стосується цієї кулі і трьох граней куба, що мають загальну вершину.

Відповідь:________________________________________________________________________________

З 1. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. У цей конус вписано правильну трикутну піраміду. Знайдіть відношення площ бічних поверхонь піраміди та конуса.

Відповідь:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 6

Комбінації багатогранників та тіл обертання.

Варіант 2

А1. Навколо правильної трикутної призми описано циліндр. Знайдіть площу його поверхні, якщо висота призми дорівнює 4, а висота основи призми – 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

А2. У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнюєa, бічні грані нахилені до площини основи під кутом 45 o . Обчисліть площу бічної поверхні вписаного в піраміду конуса.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

А3. Навколо куба описано сферу. Знайдіть відношення площі сфери до площі повної поверхні куба.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

В 1. Біля кулі описано правильну трикутну усічену піраміду, сторони основ якої рівніaіb. Знайдіть площу поверхні кулі.

Відповідь:________________________________________________________________________________

В 2. У куб вписаний шар. Радіус кулі, що стосується даної кулі і трьох граней куба, що мають загальну вершину, дорівнюєR. Обчисліть довжину ребра куба.

Відповідь:________________________________________________________________________________

З 1. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. У цей конус вписано правильну чотирикутну піраміду. Знайдіть відношення площ бічних поверхонь піраміди та конуса.

Відповідь:________________________________________________________________________________

Т Е С Т 7

Варіант 1

А1. Прямокутник зі сторонами, рівними 10 см та 12 см, обертається навколо більшої сторони. Знайдіть повну площу поверхні отриманого тіла обертання.

¤ 1) 460π см 2 ¤ 2) 420π см 2 ¤ 3) 440 π см 2 ¤ 4) 400π см 2

А2 a. Обчислити площу перерізу, що проходить через два утворюють конуса, кут між якими дорівнює 60 o .

¤ 1) а 2 ¤ 2) а 2 ¤ 3) а 2 ¤ 4) а 2

А3 . Визначте площу повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ дорівнюють 6 см і 10 см, висота дорівнює 3 см.

¤ 1)212π см 2 ¤ 2)224π см 2 ¤ 3)220π см 2 ¤ 4)216π см 2

А4. + + +6 x-8 y+2 z-7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128 π

А5. Сторони трикутника стосуються сфери радіуса 5 см. Визначте відстань від центру сфери до площини трикутника, якщо його сторони дорівнюють 15 см, 15 см та 24 см.

А6. У конус із кутом rвписано сферу радіусуR. Знайдіть величинуrякщо відоміRі .

¤ 1) R tg( - ¤ 2) R tg( + ¤ 3) R tg ¤ 4) R ctg

В 1 . Через утворювальну циліндра проведено дві взаємно перпендикулярні площині. Площі отриманих перерізів рівні см 2 і

Відповідь: _______________________________________________________________________________

В 2. Рівнобедрений трикутник обертається навколо своєї осі симетрії. Знайдіть сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см, а площа повної поверхні тіла обертання дорівнює 60

Відповідь: ________________________________________________________________________________

У 3 . Сфера радіусуRстосується всіх ребер правильної трикутної призми. Знайдіть довжину бокового ребра призми та відстань від центру сфери до площин бокових граней.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1 DD: DB=1:2:3. Визначте відношення радіусів перерізів (меншого до більшого), якщо пряма, що містить даний діаметр, утворює з площинами кут .

Відповідь: ________________________________________________________________________________

С2. Сфера стосується всіх ребер правильної чотирикутної піраміди. Знайдіть радіус такої сфери, якщо всі ребра піраміди дорівнюють 18 см.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

Т Е С Т 7

Узагальнення теми "Циліндр, конус, куля".

Варіант 2

А1. Прямокутник зі сторонами, рівними 8 см та 10 см, обертається навколо меншої сторони. Знайдіть повну площу поверхні отриманого тіла обертання.

¤ 1) 360π см 2 ¤ 2) 354π см 2 ¤ 3) 368 π см 2 ¤ 4) 376π см 2

А2 . Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник з гіпотенузою, що дорівнюєa. Обчислити площу перерізу, що проходить через два утворюють конуса, кут між якими дорівнює 45 o .

¤ 1) а 2 ¤ 2) а 2 ¤ 3) а 2 ¤ 4) а 2

А3 . Визначте площу повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ дорівнюють 5 см і 8 см, висота дорівнює 4 см.

¤ 1)150π см 2 ¤ 2)154π см 2 ¤ 3)158π см 2 ¤ 4)146π см 2

А4. Знайдіть площу поверхні сфери, заданої рівнянням + + -4 x+2 y+6 z-4=0

¤ 1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

А5. Сторони трикутника стосуються сфери радіуса 5 см. Визначте відстань від центру сфери до площини трикутника, якщо його сторони дорівнюють 10 см, 10 см та 12 см.

¤ 1) 1 см ¤ 2) 2 см ¤ 3) 3 см ¤ 4) 4 см

А6. У конус із кутом при вершині осьового перерізу та радіусом основиrвписано сферу радіусуR. Знайдіть величинуRякщо відомі

Відповідь: ________________________________________________________________________________

У 3 . Сфера радіусуRстосується всіх ребер правильної трикутної призми. Знайдіть довжину ребра основи призми та відстань від центру сфери до площин основ призми.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

З 1 . Дві паралельні площини перетинають діаметр сфери АВ у точках С таD, що ділять його щодо АС:СD: DB=1:3:4. Визначте відношення радіусів перерізів (меншого до більшого), якщо пряма, що містить даний діаметр, утворює з площинами кут .

Відповідь: ________________________________________________________________________________

С2. Сфера стосується всіх ребер правильної чотирикутної піраміди. Знайдіть радіус такої сфери, якщо всі ребра піраміди дорівнюють 22 см.

Відповідь: ________________________________________________________________________________

676π

4x-6y+2z+7=0

(-4 ;5;2), (; )

2704π

3x-4y+8z-12=0

(3;0;7), (1;2;3)

(2+ )R

2(2+ )R

12 см, 9 см, 9 см

11 см