Урок: Цилиндър. Най-простите сечения на цилиндър Нарича се цилиндър аксиално сечение квадрат

Цилиндърът е симетрична пространствена фигура, чиито свойства се разглеждат в гимназията в хода на стереометрията. За да се опише, се използват линейни характеристики като височина и радиус на основата. В тази статия ще разгледаме въпроси относно това какво е аксиалното сечение на цилиндъра и как да изчислим неговите параметри чрез основните линейни характеристики на фигурата.

Геометрична фигура

Първо, нека дефинираме фигурата, която ще бъде обсъдена в статията. Цилиндърът е повърхност, образувана от успоредно движение на сегмент с фиксирана дължина по определена крива. Основното условие за това движение е сегментът да не принадлежи към равнината на кривата.

Фигурата по-долу показва цилиндър, чиято крива (водач) е елипса.

Тук отсечка с дължина h е неговата образуваща и височина.

Вижда се, че цилиндърът се състои от две еднакви основи (в случая елипси), които лежат в успоредни равнини, и странична повърхност. Последният принадлежи на всички точки от образуващите прави.

Преди да преминем към разглеждане на аксиалното сечение на цилиндрите, ще ви кажем какви видове тези фигури има.

Ако образуващата линия е перпендикулярна на основите на фигурата, тогава говорим за прав цилиндър. В противен случай цилиндърът ще бъде наклонен. Ако свържете централните точки на две основи, получената права линия се нарича оста на фигурата. Фигурата по-долу показва разликата между прави и наклонени цилиндри.

Вижда се, че при права фигура дължината на образуващия сегмент съвпада със стойността на височината h. За наклонен цилиндър височината, т.е. разстоянието между основите, винаги е по-малко от дължината на линията на генератора.

Аксиално сечение на прав цилиндър

Аксиална е всяка секция на цилиндъра, която съдържа неговата ос. Това определение означава, че аксиалното сечение винаги ще бъде успоредно на образуващата.

В прав цилиндър оста минава през центъра на окръжността и е перпендикулярна на нейната равнина. Това означава, че разглежданият кръг ще се пресича по диаметъра си. Фигурата показва половин цилиндър, който е резултат от пресичането на фигурата с равнина, минаваща през оста.

Не е трудно да се разбере, че аксиалното сечение на прав кръгъл цилиндър е правоъгълник. Неговите страни са диаметърът d на основата и височината h на фигурата.

Нека напишем формулите за площта на аксиалното напречно сечение на цилиндъра и дължината h d на неговия диагонал:

Правоъгълникът има два диагонала, но и двата са равни един на друг. Ако радиусът на основата е известен, тогава не е трудно да пренапишете тези формули през него, като се има предвид, че е половината от диаметъра.

Аксиално сечение на наклонен цилиндър

Картината по-горе показва наклонен цилиндър, направен от хартия. Ако направите аксиалното му сечение, вече няма да получите правоъгълник, а успоредник. Страните му са известни количества. Единият от тях, както в случая на напречното сечение на прав цилиндър, е равен на диаметъра d на основата, другият е дължината на образуващия сегмент. Нека го обозначим с b.

За да се определят недвусмислено параметрите на успоредник, не е достатъчно да се знаят дължините на неговите страни. Необходим е друг ъгъл между тях. Да приемем, че острият ъгъл между водача и основата е α. Това също ще бъде ъгълът между страните на успоредника. Тогава формулата за площта на аксиалното напречно сечение на наклонен цилиндър може да бъде написана, както следва:

Диагоналите на аксиалното сечение на наклонен цилиндър са малко по-трудни за изчисляване. Паралелограмът има два диагонала с различна дължина. Представяме изрази без извеждане, които ни позволяват да изчислим диагоналите на успоредник, като използваме известни страни и острия ъгъл между тях:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Тук l 1 и l 2 са дължините съответно на малкия и големия диагонал. Тези формули могат да бъдат получени независимо, ако разглеждаме всеки диагонал като вектор чрез въвеждане на правоъгълна координатна система в равнината.

Проблем с прав цилиндър

Ще ви покажем как да използвате получените знания, за да решите следния проблем. Нека ни е даден кръгъл прав цилиндър. Известно е, че аксиалното напречно сечение на цилиндъра е квадратно. Каква е площта на този участък, ако цялата фигура е 100 cm 2?

За да изчислите необходимата площ, трябва да намерите или радиуса, или диаметъра на основата на цилиндъра. За целта използваме формулата за общата площ S f на фигурата:

Тъй като аксиалното сечение е квадрат, това означава, че радиусът r на основата е половината от височината h. Като вземем това предвид, можем да пренапишем равенството по-горе като:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Сега можем да изразим радиуса r, имаме:

Тъй като страната на квадратно сечение е равна на диаметъра на основата на фигурата, следната формула ще бъде валидна за изчисляване на неговата площ S:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Виждаме, че необходимата площ се определя еднозначно от повърхността на цилиндъра. Замествайки данните в равенство, стигаме до отговора: S = 21,23 cm 2.

Стереометрията е дял от геометрията, в който се изучават фигури в пространството. Основните фигури в пространството са точка, права и равнина. В стереометрията се появява нов тип относително разположение на линиите: кръстосани линии. Това е една от малкото съществени разлики между стереометрията и планиметрията, тъй като в много случаи проблемите в стереометрията се решават чрез разглеждане на различни равнини, в които са изпълнени планиметричните закони.

В природата около нас има много обекти, които са физически модели на тази фигура. Например много машинни части имат формата на цилиндър или са комбинация от тях, а величествените колони на храмове и катедрали, направени във формата на цилиндър, подчертават тяхната хармония и красота.

Гръцки − килиндрос. Древен термин. В ежедневието - свитък от папирус, валяк, валяк (глагол - усуквам, навивам).

За Евклид цилиндър се получава чрез завъртане на правоъгълник. В Cavalieri - чрез движението на генератора (с произволен водач - "цилиндър").

Целта на това есе е да се разгледа геометрично тяло – цилиндър.

За постигането на тази цел е необходимо да се разгледат следните задачи:

− дават определения за цилиндър;

− разгледайте елементите на цилиндъра;

− изучаване на свойствата на цилиндъра;

− разгледайте видовете цилиндрови секции;

− изведете формулата за площта на цилиндър;

− изведете формулата за обем на цилиндър;

− решаване на задачи с помощта на цилиндър.

1.1. Дефиниция на цилиндър

Нека разгледаме някаква права (крива, начупена или смесена) l, лежаща в някаква равнина α, и някаква права S, пресичаща тази равнина. През всички точки на дадена права l прекарваме прави, успоредни на права S; повърхността α, образувана от тези прави линии, се нарича цилиндрична повърхност. Правата l се нарича водеща на тази повърхност, линиите s 1, s 2, s 3,... са нейните образуващи.

Ако водачът е счупен, тогава такава цилиндрична повърхност се състои от множество плоски ленти, затворени между двойки успоредни прави линии, и се нарича призматична повърхност. Образуващите, минаващи през върховете на водещата начупена линия, се наричат ​​ръбове на призматичната повърхност, плоските ивици между тях са нейните лица.

Ако разрежем която и да е цилиндрична повърхнина с произволна равнина, която не е успоредна на нейните образуващи, ще получим права, която също може да се приеме като ориентир за тази повърхнина. Сред водачите се откроява този, който се получава чрез разрязване на повърхността с равнина, перпендикулярна на образуващите на повърхността. Такъв участък се нарича нормален участък, а съответната направляваща се нарича нормална направляваща.

Ако водачът е затворена (изпъкнала) линия (начупена или крива), тогава съответната повърхност се нарича затворена (изпъкнала) призматична или цилиндрична повърхност. Най-простата от цилиндричните повърхности има кръг като нормален водач. Нека разчленим затворена изпъкнала призматична повърхност с две равнини, успоредни една на друга, но не успоредни на образуващите.

В секциите получаваме изпъкнали многоъгълници. Сега частта от призматичната повърхност, затворена между равнините α и α" и двете многоъгълни плочи, образувани в тези равнини, ограничават тяло, наречено призматично тяло - призма.

Цилиндрично тяло - цилиндърът се дефинира подобно на призмата:
Цилиндърът е тяло, ограничено отстрани от затворена (изпъкнала) цилиндрична повърхност, а от краищата от две плоски успоредни основи. Двете основи на цилиндъра са равни и всички съставни части на цилиндъра също са равни, т.е. сегменти от образуващите на цилиндрична повърхнина между равнините на основите.

Цилиндърът (по-точно кръгъл цилиндър) е геометрично тяло, което се състои от две окръжности, които не лежат в една равнина и са комбинирани чрез паралелна транслация, и всички сегменти, свързващи съответните точки на тези окръжности (фиг. 1) .

Окръжностите се наричат ​​основи на цилиндъра, а отсечките, свързващи съответните точки от обиколките на окръжностите, се наричат ​​образуващи на цилиндъра.

Тъй като паралелното преместване е движение, основите на цилиндъра са равни.

Тъй като по време на паралелна транслация равнината се трансформира в успоредна равнина (или в себе си), тогава основите на цилиндъра лежат в успоредни равнини.

Тъй като по време на паралелна транслация точките се изместват по успоредни (или съвпадащи) прави на същото разстояние, тогава генераторите на цилиндъра са успоредни и равни.

Повърхността на цилиндъра се състои от основа и странична повърхност. Страничната повърхност е съставена от образуващи.

Цилиндърът се нарича прав, ако неговите генератори са перпендикулярни на равнините на основите.

Правият цилиндър може да се представи нагледно като геометрично тяло, което описва правоъгълник, когато се върти около страната му като ос (фиг. 2).

Ориз. 2 − Прав цилиндър

По-нататък ще разгледаме само правия цилиндър, като за краткост ще го наречем просто цилиндър.

Радиусът на цилиндър е радиусът на неговата основа. Височината на цилиндъра е разстоянието между равнините на неговите основи. Оста на цилиндъра е права линия, минаваща през центровете на основите. Той е успореден на генераторите.

Цилиндърът се нарича равностранен, ако височината му е равна на диаметъра на основата.

Ако основите на цилиндъра са плоски (и следователно равнините, които ги съдържат, са успоредни), тогава се казва, че цилиндърът стои върху равнина. Ако основите на цилиндър, стоящ върху равнина, са перпендикулярни на генератора, тогава цилиндърът се нарича прав.

По-специално, ако основата на цилиндър, стоящ върху равнина, е кръг, тогава говорим за кръгъл (кръгъл) цилиндър; ако е елипса, значи е елипсовидна.

1. 3. Сечения на цилиндъра

Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на оста му, е правоъгълник (фиг. 3, а). Двете му страни са образуващите на цилиндъра, а другите две са успоредни хорди на основите.

а) б)

V) G)

Ориз. 3 – Секции на цилиндъра

По-специално, правоъгълникът е аксиалното сечение. Това е сечение на цилиндър с равнина, минаваща през неговата ос (фиг. 3, b).

Напречното сечение на цилиндър с равнина, успоредна на основата, е кръг (Фигура 3, c).

Напречното сечение на цилиндър с равнина, която не е успоредна на основата, а оста му е овал (фиг. 3d).

Теорема 1. Равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра, пресича неговата странична повърхност по окръжност, равна на обиколката на основата.

Доказателство. Нека β е равнина, успоредна на равнината на основата на цилиндъра. Паралелно преместване в посока на оста на цилиндъра, съчетаващо равнината β с равнината на основата на цилиндъра, комбинира сечението на страничната повърхност с равнина β с обиколката на основата. Теоремата е доказана.

Страничната повърхност на цилиндъра.

Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема за границата, към която се стреми площта на страничната повърхност на правилна призма, вписана в цилиндъра, когато броят на страните на основата на тази призма се увеличава неограничено.

Теорема 2. Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата му и височината (S side.c = 2πRH, където R е радиусът на основата на цилиндъра, H е височината на цилиндъра).

а) б)
Ориз. 4 − Площ на страничната повърхност на цилиндъра

Доказателство.

Нека P n и H са съответно периметърът на основата и височината на правилна n-ъгълна призма, вписана в цилиндъра (фиг. 4, а). Тогава площта на страничната повърхност на тази призма е S страна.c − P n H. Да приемем, че броят на страните на многоъгълника, вписан в основата, нараства неограничено (фиг. 4, b). Тогава периметърът P n клони към обиколката C = 2πR, където R е радиусът на основата на цилиндъра, а височината H не се променя. По този начин площта на страничната повърхност на призмата клони към границата на 2πRH, т.е. площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на S страна.c = 2πRH. Теоремата е доказана.

Общата повърхност на цилиндъра.

Общата повърхност на цилиндъра е сумата от площите на страничната повърхност и двете основи. Площта на всяка основа на цилиндъра е равна на πR 2, следователно площта на общата повърхност на цилиндъра S общо се изчислява по формулата S страна.c = 2πRH+ 2πR 2.

Ориз. 5 − Обща повърхност на цилиндъра

Ако страничната повърхност на цилиндъра се разреже по протежение на генератора FT (фиг. 5, а) и се разгъне така, че всички генератори да са в една и съща равнина, тогава в резултат получаваме правоъгълник FTT1F1, който се нарича развитие на страничната повърхност на цилиндъра. Страната FF1 на правоъгълника е развитието на окръжността на основата на цилиндъра, следователно FF1=2πR, а неговата страна FT е равна на образуващата на цилиндъра, т.е. FT = H (фиг. 5, b). По този начин площта FT∙FF1=2πRH на развитието на цилиндъра е равна на площта на неговата странична повърхност.

1.5. Обем на цилиндъра

Ако геометричното тяло е просто, т.е. може да бъде разделено на краен брой триъгълни пирамиди, тогава неговият обем е равен на сумата от обемите на тези пирамиди. За произволно тяло обемът се определя по следния начин.

Дадено тяло има обем V, ако има прости тела, които го съдържат, и прости тела, съдържащи се в него, с обеми, които са толкова малко различни от V, колкото желаете.

Нека приложим това определение за намиране на обема на цилиндър с радиус на основата R и височина H.

При извеждането на формулата за площта на кръг са конструирани два n-ъгълника (единият съдържа кръга, другият се съдържа в кръга), така че техните области, с неограничено увеличение на n, се доближават до площта на кръгът без ограничение. Нека построим такива многоъгълници за кръга в основата на цилиндъра. Нека P е многоъгълник, съдържащ окръжност, а P" е многоъгълник, съдържащ се в окръжност (фиг. 6).

Ориз. 7 − Цилиндър с описана и вписана в него призма

Нека построим две прави призми с основи P и P" и височина H, равна на височината на цилиндъра. Първата призма съдържа цилиндър, а втората призма се съдържа в цилиндър. Тъй като при неограничено увеличение на n, площите на основите на призмите неограничено се доближават до площта на основата на цилиндъра S, тогава техните обеми се приближават неограничено до SH.Според определението обемът на цилиндър

V = SH = πR 2 H.

И така, обемът на цилиндъра е равен на произведението на площта на основата и височината.

Задача 1.

Аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат с площ Q.

Намерете площта на основата на цилиндъра.

Дадено е: цилиндър, квадрат - аксиално сечение на цилиндъра, S квадрат = Q.

Намерете: S главен цилиндър

Страната на квадрата е . Той е равен на диаметъра на основата. Следователно площта на основата е .

Отговор: S главен цилиндър. =

Задача 2.

В цилиндър е вписана правилна шестоъгълна призма. Намерете ъгъла между диагонала на страничната му страна и оста на цилиндъра, ако радиусът на основата е равен на височината на цилиндъра.

Дадени са: цилиндър, правилна шестоъгълна призма, вписана в цилиндъра, радиус на основата = височина на цилиндъра.

Намерете: ъгъла между диагонала на страничната му повърхност и оста на цилиндъра.

Решение: Страничните стени на призмата са квадрати, тъй като страната на правилен шестоъгълник, вписан в окръжност, е равна на радиуса.

Ръбовете на призмата са успоредни на оста на цилиндъра, следователно ъгълът между диагонала на лицето и оста на цилиндъра е равен на ъгъла между диагонала и страничния ръб. И този ъгъл е 45°, тъй като лицата са квадрати.

Отговор: ъгълът между диагонала на страничната му страна и оста на цилиндъра = 45°.

Задача 3.

Височината на цилиндъра е 6 cm, радиусът на основата е 5 cm.

Намерете площта на сечение, начертано успоредно на оста на цилиндъра на разстояние 4 cm от него.

Дадено: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.

Намерете: S сек.

S сек. = KM × KS,

OE = 4 см, KS = 6 см.

Триъгълник OKM - равнобедрен (OK = OM = R = 5 cm),

триъгълник OEK е правоъгълен триъгълник.

От триъгълника OEK, според Питагоровата теорема:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S сек. = 6×6 = 36 cm 2.

Целта на това есе е изпълнена, разгледано е геометрично тяло като цилиндър.

Разглеждат се следните задачи:

− дадено е определение за цилиндър;

− разглеждат се елементите на цилиндъра;

− изследвани са свойствата на цилиндъра;

− разглеждат се видовете цилиндрови сечения;

− извежда се формулата за площта на цилиндър;

− изведена е формулата за обем на цилиндър;

− решени задачи с помощта на цилиндър.

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник за 10 - 11 клас на учебните заведения, 1995 г.

2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Ръководство за учители в средното училище, 1999 г.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Е. Г. Геометрия: Учебник за 10 - 11 клас на учебните заведения, 2000 г.

4. Александров A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Геометрия: учебник за 10-11 клас в общообразователните институции, 1998 г.

5. Киселев А. П., Рибкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 клас: Учебник и проблемна книга, 2000.

1. Аксиално сечениецилиндър е сечение на цилиндъра с равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното напречно сечение на цилиндъра е правоъгълник.

2. Разрез на цилиндър с равнина, успоредна на основата.
В този случай напречното сечение е кръг, равен и успореден на основата.

Конус

Конусът е геометрично тяло, което се състои от кръг - основанияконус, точка, която не лежи в равнината на тази окръжност, − върховеконус и всички сегменти, свързващи върха на конуса с точките на основата.

Сегментите, свързващи върха на конуса с точките на основната окръжност, се наричат формиранеконус

Конусът се нарича директен, ако правата линия, свързваща върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата.

На ориз. А) прав конус, b) наклонен конус.

По-нататък ще разглеждаме само прав конус!

С- върха на конуса.

Кръг с центрове ОТНОСНО– основата на конуса.

S.A.,C.B., SC– образуване на конуси.

Височинана конус се нарича перпендикулярът, спуснат от върха му към равнината на основата.

осна конус се нарича права линия, съдържаща неговата височина ( ТАКА).

Свойства на конуса:

Образуващите на конуса са равни.

Конусът може да се разглежда като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около неговата страна.

Най-простите сечения на конус.

1. Аксиално сечениеконус е сечение на конус от равнина, минаваща през неговата ос. Аксиалното сечение на конуса е триъгълник.

2. Сечение на конус с равнина, успоредна на основата.
В този случай напречното сечение е кръг, подобен и успореден на основата.

Топката е геометрично тяло, което се състои от всички точки в пространството, разположени на разстояние не по-голямо от дадено от дадена точка.

Тази точка ( ОТНОСНО) е наречен центъртопка, а това разстояние е радиустопка.

Границата на топката се нарича сферична повърхностили сфера.

Всеки сегмент, свързващ центъра на топката с точка от сферичната повърхност, се нарича радиустопка ( O.D., ОВ, OA).

Диаметър на топкатае сегмент, свързващ две точки на сферична повърхност и минаващ през центъра на топката ( AB).

Свойства на топката:

Радиусите на топката са равни;

Диаметрите на топката са равни.

Топка може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на полукръг около диаметъра му.

Най-простите секции на топка

1. Сечение на топка с равнина, минаваща през нейния център. В този случай секцията е голям кръг.

2. Сечение на топка с равнина Непреминавайки през центъра му. В този случай секцията е кръг.

аксиално сечение на зъбно колело- аксиално сечение Разрез на зъбно колело с равнина, минаваща през неговата ос. [GOST 16530 83] Теми на зъбното предаване Общи термини за повърхността и сечението на зъбно колело, понятия, свързани с зъбно колело Синоними аксиално сечение ...

аксиално сечение на стелажа- аксиално сечение Напречното сечение на спираловидна зъбна рейка в зъбна рейка и зъбно колело с равнина, перпендикулярна на нейната разделителна равнина и съдържаща оста на сдвоеното зъбно колело или успоредна на нея (3.1.3). [GOST 16531 83] Теми за зъбно предаване... ... Ръководство за технически преводач

аксиално сечение на завоя- Разрез на завой на цилиндричен червей с равнина, минаваща през оста на червея. [GOST 18498 89] Теми за червячна предавка Обобщаващи термини елементи и параметри на цилиндрична червячна бобина... Ръководство за технически преводач

Аксиално сечение на стелажа- 3.1.3. Аксиално сечение на зъбна рейка Аксиално сечение Разрез на спирална зъбна рейка в трансмисия с рейка и зъбно колело с равнина, перпендикулярна на нейната разделителна равнина и съдържаща оста на сдвоено зъбно колело или успоредна на нея (фиг. 15). Източник: GOST...

ГОСТ 16531-83 Цилиндрични зъбни предавки. Термини, определения и обозначения- Терминология GOST 16531 83: Цилиндрични зъбни предавки. Термини, определения и обозначения оригинален документ: 5.3.1. Възприемано изместване Разликата между централното разстояние на цилиндрично зъбно колело с изместване и неговата стъпка... ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Образуване на кристали от пари, течности, стопилки, от вода до твърди вещества. състояние (аморфно или друго кристално), от електролити по време на процеса на електролиза (електрокристализация), както и по време на хим. реакции. За К. нарушение на термодинамичните ... Физическа енциклопедия

БЕЛЯВСКИ Иля Григориевич- (1927 2004) руски и украински психолог, Ph.D. психол. науки (1985), проф. (1988). Завършва Киевския педагогически университет. в t im. М. Горки (1950). Работи като учител в Конотопския учителски институт (1950-1952); Житомир пед. в тези (1952 1957); Старши... Психология на общуването. енциклопедичен речник

ДЕЦА- ДЕЦА. Съдържание: I. Дефиниция на понятието. Промени в тялото по време на R. Причини за R............................................. .......... 109 II. Клинично протичане на физиологичния R. 132 Ш. Механика Р. ................. 152 IV. Поддържане на R.......................... 169 V … Голяма медицинска енциклопедия

Устройства, предназначени да формират лъчи от електрони, да ги фокусират и създават електронно-оптични. изображения на обекти (вж. ЕЛЕКТРОННА И ЙОННА ОПТИКА, ЕЛЕКТРОНЕН МИКРОСКОП). Подобни устройства, които използват йонни лъчи, се наричат... ... Физическа енциклопедия

Колектор TED на електрически локомотиви ChS2, ChS3 Тягов електродвигател (TED) ... Wikipedia

GOST 18097-93 Машини за нарязване на винтове и струговане. Основни размери. Стандарти за точност- Терминология GOST 18097 93: Машини за рязане на винтове и струговане. Основни размери. Стандарти за точност оригинален документ: 4.7 Една и съща височина на оста на въртене на шпиндела на главата и оста на отвора на перото (шпиндела) на опашката Фигура 8 Фигура 9... ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация