Таблица с производни на елементарни алгебрични функции с изводи. Производни на основни елементарни функции

Представяме обобщена таблица за удобство и яснота при изучаване на темата.

Константаy = C

Степенна функция y = x p

(x p) " = p x p - 1

Експоненциална функцияy = брадва

(a x) " = a x ln a

По-специално, когатоa = eние имаме y = e x

(e x) " = e x

Логаритмична функция

(log a x) " = 1 x ln a

По-специално, когатоa = eние имаме y = log x

(ln x) " = 1 x

Тригонометрични функции

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Обратни тригонометрични функции

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Хиперболични функции

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Нека анализираме как са получени формулите от посочената таблица или, с други думи, ще докажем извеждането на производни формули за всеки тип функция.

Производна на константа

Доказателство 1

За да изведем тази формула, ние вземаме за основа дефиницията на производната на функция в точка. Използваме x 0 = x, където хприема стойността на всяко реално число или, с други думи, хе всяко число от домейна на функцията f (x) = C. Нека запишем границата на отношението на нарастването на функция към увеличението на аргумента като ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Моля, обърнете внимание, че изразът 0 ∆ x попада под знака за ограничение. Това не е несигурността „нула, разделена на нула“, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, нарастването на константна функция винаги е нула.

И така, производната на константната функция f (x) = C е равна на нула в цялата област на дефиниция.

Пример 1

Дадени са постоянните функции:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Нека опишем дадените условия. В първата функция виждаме производната на естественото число 3. В следващия пример трябва да вземете производната на А, Където А- всяко реално число. Третият пример ни дава производната на ирационалното число 4. 13 7 22, четвъртата е производната на нула (нулата е цяло число). И накрая, в петия случай имаме производната на рационалната дроб - 8 7.

Отговор:производните на дадени функции са нула за всяко реално х(по цялата зона на дефиниране)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0, f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производна на степенна функция

Нека да преминем към степенната функция и формулата за нейната производна, която има формата: (x p) " = p x p - 1, където експонентата стре всяко реално число.

Доказателство 2

Ето доказателството на формулата, когато показателят е естествено число: p = 1, 2, 3, …

Отново разчитаме на определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенна функция към увеличението на аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

За да опростим израза в числителя, използваме биномната формула на Нютон:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

По този начин:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = C p 1 · x p - . 1 + 0 + .

Така доказахме формулата за производната на степенна функция, когато показателят е естествено число.

Доказателство 3

Да се представят доказателства по делото, когато п-всяко реално число, различно от нула, използваме логаритмичната производна (тук трябва да разберем разликата от производната на логаритмична функция). За да имате по-пълно разбиране, препоръчително е да изучавате производната на логаритмична функция и допълнително да разберете производната на неявна функция и производната на сложна функция.

Нека разгледаме два случая: когато хположително и кога хотрицателен.

Така че x > 0. Тогава: x p > 0 . Нека логаритмуваме равенството y = x p при основа e и приложим свойството на логаритъма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На този етап сме получили неявно зададена функция. Нека дефинираме неговата производна:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Сега разглеждаме случая, когато х -отрицателно число.

Ако индикаторът стре четно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тогава x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ако стре нечетно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Последният преход е възможен поради факта, че ако стртогава е нечетно число p - 1или четно число, или нула (за p = 1), следователно, за отрицателно хравенството (- x) p - 1 = x p - 1 е вярно.

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция за всяко реално p.

Пример 2

Дадени функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определете техните производни.

Решение

Трансформираме някои от дадените функции в таблична форма y = x p въз основа на свойствата на степента и след това използваме формулата:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Производна на експоненциална функция

Доказателство 4

Нека изведем формулата за производна, като използваме дефиницията като основа:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Имаме несигурност. За да го разширим, нека напишем нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 като ∆ x → 0). В този случай a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последния преход е използвана формулата за преход към нова основа на логаритъм.

Нека заместим в първоначалния лимит:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Нека си спомним втората забележителна граница и тогава получаваме формулата за производната на експоненциалната функция:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Пример 3

Експоненциалните функции са дадени:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Необходимо е да се намерят техните производни.

Решение

Използваме формулата за производната на експоненциалната функция и свойствата на логаритъма:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Производна на логаритмична функция

Доказателство 5

Нека предоставим доказателство на формулата за производната на логаритмична функция за всяка хв областта на дефиницията и всички допустими стойности на основата a на логаритъма. Въз основа на определението за производна получаваме:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

От посочената верига от равенства става ясно, че преобразуванията са базирани на свойството на логаритъма. Равенството lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е вярно в съответствие с втората забележителна граница.

Пример 4

Дадени са логаритмични функции:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Необходимо е да се изчислят техните производни.

Решение

Нека приложим получената формула:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

И така, производната на естествения логаритъм е едно делено на х.

Производни на тригонометрични функции

Доказателство 6

Нека използваме някои тригонометрични формули и първата чудесна граница, за да изведем формулата за производната на тригонометрична функция.

Според дефиницията на производната на функцията синус получаваме:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формулата за разликата на синусите ще ни позволи да извършим следните действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

И накрая, използваме първото прекрасно ограничение:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

И така, производната на функцията грях хще cos x.

Ще докажем и формулата за производната на косинуса:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тези. производната на функцията cos x ще бъде – грях х.

Извеждаме формулите за производните на тангенс и котангенс въз основа на правилата за диференциране:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производни на обратни тригонометрични функции

Разделът за производната на обратни функции предоставя изчерпателна информация за доказателството на формулите за производните на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, така че няма да дублираме материала тук.

Производни на хиперболични функции

Доказателство 7

Можем да изведем формулите за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме правилото за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ако следвате дефиницията, тогава производната на функция в точка е границата на съотношението на нарастването на функцията Δ гкъм увеличението на аргумента Δ х:

Всичко изглежда ясно. Но опитайте да използвате тази формула, за да изчислите, да речем, производната на функцията f(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако правите всичко по дефиниция, тогава след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.

Като начало отбелязваме, че от цялото разнообразие от функции можем да различим така наречените елементарни функции. Това са относително прости изрази, чиито производни отдавна са изчислени и таблични. Такива функции са доста лесни за запомняне - заедно с техните производни.

Производни на елементарни функции

Елементарни функции са всички изброени по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Освен това не е никак трудно да ги запомните - затова са елементарни.

И така, производни на елементарни функции:

Име	функция	Производна
Константа	f(х) = ° С, ° С ∈ Р	0 (да, нула!)
Степен с рационален показател	f(х) = х н	н · х н − 1
синусите	f(х) = грях х	cos х
Косинус	f(х) = cos х	− грях х(минус синус)
Допирателна	f(х) = tg х	1/cos 2 х
Котангенс	f(х) = ctg х	− 1/грех 2 х
Натурален логаритъм	f(х) = дневник х	1/х
Произволен логаритъм	f(х) = дневник а х	1/(хвътре а)
Експоненциална функция	f(х) = д х	д х(Нищо не се промени)

Ако една елементарна функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:

(° С · f)’ = ° С · f ’.

По принцип константите могат да бъдат извадени от знака на производната. Например:

(2х 3)’ = 2 · ( х 3)’ = 2 3 х 2 = 6х 2 .

Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, умножават, разделят - и много повече. Така ще се появят нови функции, вече не особено елементарни, но и диференцирани по определени правила. Тези правила са обсъдени по-долу.

Производна на сбор и разлика

Нека функциите са дадени f(х) И ж(х), чиито производни са ни известни. Например можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сбора и разликата на тези функции:

(f + ж)’ = f ’ + ж ’
(f − ж)’ = f ’ − ж ’

И така, производната на сумата (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Възможно е да има повече термини. Например, ( f + ж + ч)’ = f ’ + ж ’ + ч ’.

Строго погледнато, в алгебрата няма концепция за „изваждане“. Съществува понятието „отрицателен елемент“. Следователно разликата f − жможе да се пренапише като сума f+ (−1) ж, и тогава остава само една формула - производната на сумата.

f(х) = х 2 + sin x; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.

функция f(х) е сумата от две елементарни функции, следователно:

f ’(х) = (х 2 + грях х)’ = (х 2)’ + (грех х)’ = 2х+ cos x;

Разсъждаваме по подобен начин за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):

ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).

Отговор:
f ’(х) = 2х+ cos x;
ж ’(х) = 4х · ( х 2 + 1).

Производно на продукта

Математиката е логическа наука, така че много хора вярват, че ако производната на дадена сума е равна на сумата от производните, тогава производната на произведението стачка">равно на произведението на производните. Но майната ви! Производната на продукт се изчислява по съвсем различна формула. А именно:

(f · ж) ’ = f ’ · ж + f · ж ’

Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени задачи.

Задача. Намерете производни на функции: f(х) = х 3 cos x; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .

функция f(х) е продукт на две елементарни функции, така че всичко е просто:

f ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)’ cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (-грех х) = х 2 (3 cos х − хгрях х)

функция ж(х) първият множител е малко по-сложен, но общата схема не се променя. Очевидно първият фактор на функцията ж(х) е полином и неговата производна е производната на сумата. Ние имаме:

ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)’ · д х + (х 2 + 7х− 7) ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х· (2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .

Отговор:
f ’(х) = х 2 (3 cos х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д х .

Моля, обърнете внимание, че в последната стъпка производната се факторизира. Формално това не е необходимо да се прави, но повечето производни не се изчисляват самостоятелно, а за изследване на функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, нейните знаци ще бъдат определени и т.н. За такъв случай е по-добре да имате факторизиран израз.

Ако има две функции f(х) И ж(х), и ж(х) ≠ 0 на множеството, което ни интересува, можем да дефинираме нова функция ч(х) = f(х)/ж(х). За такава функция можете също да намерите производната:

Не е слаб, нали? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? И така! Това е една от най-сложните формули - не можете да я разберете без бутилка. Затова е по-добре да го изучавате с конкретни примери.

Задача. Намерете производни на функции:

Числителят и знаменателят на всяка дроб съдържат елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:

Според традицията, нека разложим числителя на множители - това значително ще опрости отговора:

Сложната функция не е непременно дълга половин километър формула. Например, достатъчно е да вземете функцията f(х) = грях хи заменете променливата х, да речем, на х 2 + ин х. Ще се получи f(х) = грях ( х 2 + ин х) - това е сложна функция. Той също има производно, но няма да е възможно да го намерите с помощта на обсъдените по-горе правила.

Какво трябва да направя? В такива случаи замяната на променлива и формула за производна на сложна функция помага:

f ’(х) = f ’(T) · T', Ако хсе заменя с T(х).

По правило ситуацията с разбирането на тази формула е още по-тъжна, отколкото с производната на коефициента. Затова е по-добре да го обясните с конкретни примери, с подробно описание на всяка стъпка.

Задача. Намерете производни на функции: f(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2 + ин х)

Имайте предвид, че ако във функцията f(х) вместо израз 2 х+ 3 ще бъде лесно х, тогава получаваме елементарна функция f(х) = д х. Затова правим замяна: нека 2 х + 3 = T, f(х) = f(T) = д T. Търсим производната на сложна функция по формулата:

f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (д T)’ · T ’ = д T · T ’

А сега - внимание! Извършваме обратната замяна: T = 2х+ 3. Получаваме:

f ’(х) = д T · T ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3

Сега нека да разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени х 2 + ин х = T. Ние имаме:

ж ’(х) = ж ’(T) · T’ = (грех T)’ · T’ = cos T · T ’

Обратна замяна: T = х 2 + ин х. Тогава:

ж ’(х) = cos ( х 2 + ин х) · ( х 2 + ин х)’ = cos ( х 2 + ин х) · (2 х + 1/х).

Това е всичко! Както се вижда от последния израз, цялата задача е сведена до изчисляване на производната сума.

Отговор:
f ’(х) = 2 · д 2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) защото ( х 2 + ин х).

Много често в моите уроци, вместо термина „производна“, използвам думата „просто“. Например ударът на сбора е равен на сбора от ударите. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.

По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на същите тези удари съгласно правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната степен с рационален показател:

(х н)’ = н · х н − 1

Малко хора знаят това в ролята нможе и да е дробно число. Например коренът е х 0,5. Ами ако има нещо фантастично под корена? Отново резултатът ще бъде сложна функция - обичат да дават такива конструкции на контролни и изпити.

Задача. Намерете производната на функцията:

Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален показател:

f(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .

Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = T. Намираме производната по формулата:

f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Нека направим обратната замяна: T = х 2 + 8х− 7. Имаме:

f ’(х) = 0,5 · ( х 2 + 8х− 7) −0,5 · ( х 2 + 8х− 7)’ = 0,5 · (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .

И накрая, обратно към корените:

Много лесен за запомняне.

Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

Намерете производната на функцията.
Каква е производната на функцията?

Отговори: Експоненциалният и естественият логаритъм са уникално прости функции от производна гледна точка. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Това е всичко. Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

Намерете производните на функциите:

в точка;
в точка;
в точка;
в точката.

Решения:

(производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:

Производна:

Примери:

Намерете производните на функциите и;
Намерете производната на функцията в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:

За целта ще използваме едно просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише в по-прост вид. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, дадено ни е число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
И първоначалната функция е тяхната композиция: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .

Променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциране:

Константата се изважда от знака за производна:

Производна на сумата:

Производно на продукта:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
Умножаваме резултатите от първа и втора точка.

Докажете сами формули 3 и 5.

ОСНОВНИ ПРАВИЛА ЗА ДИФЕРЕНЦИАЦИЯ

Използвайки общия метод за намиране на производната с помощта на границата, можете да получите най-простите формули за диференциране. Позволявам u=u(x),v=v(x)– две диференцируеми функции на променлива х.

Докажете сами формули 1 и 2.

Доказателство за Формула 3.

Позволявам y = u(x) + v(x).За стойността на аргумента х+Δ хние имаме г(х+Δ х)=u(х+Δ х) + v(х+Δ х).

Δ г=г(х+Δ х) – y(x) = u(x+Δ х) + v(x+Δ х) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

следователно

Доказателство за формула 4.

Позволявам y=u(x)·v(x).Тогава г(х+Δ х)=u(х+Δ х)· v(х+Δ х), Ето защо

Δ г=u(х+Δ х)· v(х+Δ х) – u(х)· v(х).

Имайте предвид, че тъй като всяка от функциите uИ vдиференцируеми в точката х, тогава те са непрекъснати в тази точка, което означава u(х+Δ х)→u(x), v(х+Δ х)→v(x), при Δ х→0.

Следователно можем да пишем

Въз основа на това свойство може да се получи правило за диференциране на произведението на произволен брой функции.

нека например y=u·v·w.Тогава,

г " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v„·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v„·w+ u·v·w ".

Доказателство за формула 5.

Позволявам . Тогава

В доказателството използвахме факта, че v(x+Δ х)→v(x)при Δ х→0.

Примери.

ТЕОРЕМА ЗА ПРОИЗВОДНАТА НА КОМПЛЕКСНА ФУНКЦИЯ

Позволявам y = f(u),А u= u(х). Получаваме функцията гв зависимост от аргумента х: y = f(u(x)).Последната функция се нарича функция на функция или сложна функция.

Област на дефиниране на функция y = f(u(x))е или цялата област на дефиниция на функцията u=u(х) или тази част, в която се определят стойностите u, без да напуска домейна на дефиницията на функцията г= е(ф).

Операцията функция от функция може да се извърши не само веднъж, а произволен брой пъти.

Нека установим правило за диференциране на сложна функция.

Теорема.Ако функцията u= u(х) има в някакъв момент х 0производна и приема стойността в този момент u 0 = u(х 0), и функцията y=f(u)има в точка u 0производна г" u = f "(u 0), тогава сложна функция y = f(u(x))в посочената точка х 0също има производна, която е равна на г" x = f "(u 0)· u "(х 0), където вместо uизразът трябва да бъде заменен u= u(х).

По този начин производната на сложна функция е равна на произведението на производната на дадена функция по отношение на междинния аргумент uкъм производната на междинния аргумент по отношение на х.

Доказателство. За фиксирана стойност х 0 ще имаме u 0 =u(х 0), при 0 =f(u 0 ). За нова стойност на аргумента х 0+Δ х:

Δ u= u(х 0 + Δ х) – u(х 0), Δ г=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

защото u– диференцируеми в точка х 0, Че u– е непрекъсната в тази точка. Следователно при Δ х→0 Δ u→0. По същия начин за Δ u→0 Δ г→0.

По условие . От тази връзка, използвайки дефиницията на границата, получаваме (при Δ u→0)

където α→0 при Δ u→0 и, следователно, при Δ х→0.

Нека пренапишем това равенство като:

Δ г=г" uΔ u+α·Δ u.

Полученото равенство е валидно и за Δ u=0 за произволно α, тъй като се превръща в идентичността 0=0. В Δ u=0 ще приемем α=0. Нека разделим всички членове на полученото равенство на Δ х

По условие . Следователно, преминавайки към границата при Δ х→0, получаваме г" x = г"u·u" x. Теоремата е доказана.

И така, за да разграничим сложна функция y = f(u(x)),трябва да вземете производната на "външната" функция f, третирайки своя аргумент просто като променлива и умножавайки по производната на "вътрешната" функция по отношение на независимата променлива.

Ако функцията y=f(x)могат да бъдат представени във формата y=f(u), u=u(v), v=v(x),тогава намирането на производната y " x се извършва чрез последователно прилагане на предишната теорема.

Според доказаното правило имаме г" x = г„ u u"x. Прилагайки същата теорема за u"x получаваме, т.е.

г" x = г" х u" v v" x = f"ф( u)· u" v ( v)· v" х ( х).

Примери.

ПОНЯТИЕ ЗА ОБРАТНА ФУНКЦИЯ

Да започнем с един пример. Помислете за функцията y= x 3. Ще разгледаме равенството г= х 3като относително уравнение х. Това е уравнението за всяка стойност приопределя една единствена стойност х: . Геометрично това означава, че всяка права линия е успоредна на оста волпресича графиката на функция y= x 3само в една точка. Следователно можем да разгледаме хкато функция на г. Функция се нарича обратна на функция y= x 3.

Преди да преминем към общия случай, въвеждаме определения.

функция y = f(x)Наречен повишаване нана определен сегмент, ако по-голямата стойност на аргумента хот този сегмент отговаря на по-голяма стойност на функцията, т.е. Ако х 2 >х 1, тогава f(x 2 ) > f(x 1 ).

Функцията се извиква по подобен начин намаляващи, ако по-малка стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията, т.е. Ако х 2 < х 1, тогава f(x 2 ) > f(x 1 ).

И така, нека ни бъде дадена нарастваща или намаляваща функция y=f(x), дефиниран на някакъв интервал [ а; b]. За категоричност ще разгледаме нарастваща функция (за намаляваща всичко е подобно).

Разгледайте две различни стойности х 1 и х 2. Позволявам г 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). От определението за нарастваща функция следва, че ако х 1 <х 2, тогава при 1 <при 2. Следователно две различни стойности х 1 и х 2 съответства на две различни стойности на функцията при 1 и при 2. Обратното също е вярно, т.е. Ако при 1 <при 2, то от определението за нарастваща функция следва, че х 1 <х 2. Тези. отново две различни стойности при 1 и при 2 съответства на две различни стойности х 1 и х 2. Така между стойностите хи съответните им стойности густановява се кореспонденция едно към едно, т.е. уравнението y=f(x)за всеки г(взето от диапазона на функцията y=f(x))определя една единствена стойност х, и можем да кажем това хима някаква аргументна функция г: x= g(y).

Тази функция се нарича обратенза функция y=f(x). Очевидно функцията y=f(x)е обратната на функцията x=g(y).

Обърнете внимание, че обратната функция x=g(y)намира се чрез решаване на уравнението y=f(x)относително х.

Пример.Нека функцията е дадена г= e x. Тази функция нараства при –∞< х <+∞. Она имеет обратную функцию х= дневник г. Област на обратна функция 0< г < + ∞.

Нека да направим няколко коментара.

Бележка 1.Ако нарастваща (или намаляваща) функция y=f(x)е непрекъснат на интервала [ а; b], и f(a)=c, f(b)=d, тогава обратната функция е дефинирана и непрекъсната на интервала [ ° С; д].

Бележка 2.Ако функцията y=f(x)не нараства, нито намалява на определен интервал, тогава може да има няколко обратни функции.

Пример.функция y=x2определена при –∞<х<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤х<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <х≤ 0 функция – намалява и нейната обратна.

Бележка 3.Ако функциите y=f(x)И x=g(y)са взаимно обратни, тогава те изразяват същата връзка между променливите хИ г. Следователно графиката и на двете е една и съща крива. Но ако означим аргумента на обратната функция отново с х, а функцията през ги ги начертаем в една и съща координатна система, ще получим две различни графики. Лесно се забелязва, че графиките ще бъдат симетрични по отношение на ъглополовящата на първия координатен ъгъл.

ТЕОРЕМА ЗА ПРОИЗВОДНАТА ОБРАТНА ФУНКЦИЯ

Нека докажем теорема, която ни позволява да намерим производната на функцията y=f(x), знаейки производната на обратната функция.

Теорема.Ако за функцията y=f(x)има обратна функция x=g(y), което в даден момент при 0 има производна ж "(v 0), различна от нула, след това в съответната точка х 0=ж(х 0) функция y=f(x)има производна f "(х 0), равно на , т.е. формулата е правилна.

Доказателство. защото x=g(y)диференцируеми в точката y 0, Че x=g(y)е непрекъсната в тази точка, така че функцията y=f(x)непрекъснато в точка х 0=ж(y 0). Следователно при Δ х→0 Δ г→0.

Нека покажем това .

Позволявам . След това, по свойството на границата . Нека преминем в това равенство до границата при Δ г→0. Тогава Δ х→0 и α(Δx)→0, т.е. .

следователно

Q.E.D.

Тази формула може да бъде записана във формата.

Нека да разгледаме приложението на тази теорема с примери.

Когато извеждаме първата формула от таблицата, ще продължим от дефиницията на производната функция в точка. Да вземем къде х– всяко реално число, т.е. х– всяко число от областта на дефиниране на функцията. Нека запишем границата на съотношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента при:

Трябва да се отбележи, че под граничния знак се получава изразът, който не е неопределеността на нула, разделена на нула, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, нарастването на константна функция винаги е нула.

По този начин, производна на постоянна функцияе равно на нула в цялата област на дефиниране.

Производна на степенна функция.

Формулата за производната на степенна функция има формата , където степента стр– всяко реално число.

Нека първо докажем формулата за естествения показател, т.е p = 1, 2, 3, …

Ще използваме определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенна функция към увеличението на аргумента:

За да опростим израза в числителя, се обръщаме към биномната формула на Нютон:

следователно

Това доказва формулата за производната на степенна функция за естествен показател.

Производна на експоненциална функция.

Представяме извеждането на формулата за производна въз основа на определението:

Стигнахме до несигурност. За да го разширим, въвеждаме нова променлива и в . Тогава . При последния преход използвахме формулата за преход към нова логаритмична основа.

Нека заместим в първоначалния лимит:

Ако си припомним втората забележителна граница, стигаме до формулата за производната на експоненциалната функция:

Производна на логаритмична функция.

Нека докажем формулата за производната на логаритмична функция за всички хот домейна на дефиницията и всички валидни стойности на основата алогаритъм По дефиниция на производна имаме:

Както забелязахте, по време на доказателството трансформациите бяха извършени с помощта на свойствата на логаритъма. Равенство е вярно поради втората забележителна граница.

Производни на тригонометрични функции.

За да изведем формули за производни на тригонометрични функции, ще трябва да си припомним някои тригонометрични формули, както и първата забележителна граница.

По дефиниция на производната за функцията синус имаме .

Нека използваме формулата за разликата на синусите:

Остава да се обърнем към първата забележителна граница:

По този начин, производната на функцията грях хИма cos x.

Формулата за производната на косинуса се доказва по абсолютно същия начин.

Следователно, производната на функцията cos xИма – грях х.

Ще изведем формули за таблицата с производни за тангенс и котангенс, използвайки доказани правила за диференциране (производна на дроб).

Производни на хиперболични функции.

Правилата за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция от таблицата с производни ни позволяват да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс.

Производна на обратната функция.

За да избегнем объркване по време на представяне, нека обозначим с долен индекс аргумента на функцията, чрез която се извършва диференцирането, тоест това е производната на функцията f(x)от х.

Сега нека формулираме правило за намиране на производната на обратна функция.

Нека функциите y = f(x)И x = g(y)взаимно обратни, определени на интервалите и съответно. Ако в дадена точка има крайна ненулева производна на функцията f(x), тогава в точката има крайна производна на обратната функция g(y), и . В друга публикация .

Това правило може да бъде преформулирано за всеки хот интервала , тогава получаваме .

Нека проверим валидността на тези формули.

Нека намерим обратната функция за натурален логаритъм (Тук ге функция и х- аргумент). След като решихме това уравнение за х, получаваме (тук хе функция и г– нейният аргумент). Това е, и взаимно обратни функции.

От таблицата на производните виждаме това И .

Нека се уверим, че формулите за намиране на производните на обратната функция ни водят до същите резултати:

Както можете да видите, получихме същите резултати като в таблицата с производни.

Сега имаме знанията да доказваме формули за производните на обратни тригонометрични функции.

Нека започнем с производната на арксинуса.

. След това, използвайки формулата за производната на обратната функция, получаваме

Остава само да се извършат трансформациите.

Тъй като диапазонът на арксинуса е интервалът , Че (виж раздела за основните елементарни функции, техните свойства и графики). Затова не го обмисляме.