Y tgx е безкрайно голяма функция при. Дефиниция на безкрайно голяма последователност

Смятане на безкрайно малки и големи

Инфинитезимално смятане- изчисления, извършвани с безкрайно малки величини, при които полученият резултат се разглежда като безкрайна сума от безкрайно малки. Смятането на безкрайно малките е общо понятие за диференциално и интегрално смятане, което е в основата на съвременната висша математика. Концепцията за безкрайно малко количество е тясно свързана с концепцията за граница.

Безкрайно малък

Последователност а нНаречен безкрайно малък, Ако . Например, поредица от числа е безкрайно малка.

Функцията се извиква безкрайно малък в близост до точка х 0 ако .

Функцията се извиква безкрайно малък в безкрайност, Ако или .

Също безкрайно малка е функция, която е разликата между функция и нейната граница, тоест ако , Че f(х) − а = α( х) , .

Безкрайно голямо количество

Последователност а нНаречен безкрайно голям, Ако .

Функцията се извиква безкрайно големи в близост до точка х 0 ако .

Функцията се извиква безкрайно голям в безкрайност, Ако или .

Във всички случаи се предполага, че безкрайността вдясно от равенството има определен знак (или „плюс“, или „минус“). Това е например функцията хгрях хне е безкрайно голям при .

Свойства на безкрайно малки и безкрайно големи

Сравнение на безкрайно малки величини

Как да сравняваме безкрайно малки количества?
Съотношението на безкрайно малки количества формира така наречената несигурност.

Дефиниции

Да предположим, че имаме безкрайно малки стойности α( х) и β( х) (или, което не е важно за дефиницията, безкрайно малки последователности).

За изчисляване на такива граници е удобно да се използва правилото на L'Hopital.

Примери за сравнение

Използвайки ОТНОСНО-символизъм, получените резултати могат да бъдат записани в следната форма х 5 = о(х 3). В този случай следните записи са верни: 2х 2 + 6х = О(х) И х = О(2х 2 + 6х).

Еквивалентни стойности

Определение

Ако , тогава се наричат ​​безкрайно малките величини α и β еквивалентен ().
Очевидно е, че еквивалентните количества са частен случай на безкрайно малки количества от същия порядък на малки размери.

Когато са валидни следните отношения на еквивалентност: , , .

Теорема

Границата на частното (отношението) на две безкрайно малки количества няма да се промени, ако едно от тях (или и двете) се замени с еквивалентно количество.

Тази теорема има практическо значение при намиране на граници (виж примера).

Пример за употреба

Замяна сазн 2х еквивалентна стойност 2 х, получаваме

Исторически очерк

Концепцията за „безкрайно малко“ е била обсъждана още в древността във връзка с концепцията за неделимите атоми, но не е била включена в класическата математика. Той се възражда отново с появата на „метода на неделимите“ през 16 век - разделяне на изследваната фигура на безкрайно малки секции.

През 17 век се извършва алгебраизацията на безкрайно малкото смятане. Те започват да се определят като числени величини, които са по-малки от всяко крайно (различно от нула) количество и въпреки това не са равни на нула. Изкуството на анализа се състоеше в изготвянето на връзка, съдържаща безкрайно малки (диференциали), и след това интегрирането ѝ.

Математиците от старата школа подложиха концепцията на изпитание безкрайно малъкостра критика. Мишел Рол пише, че новото смятане е „ набор от гениални грешки"; Волтер язвително отбеляза, че смятането е изкуството да се изчисляват и точно измерват неща, чието съществуване не може да бъде доказано. Дори Хюйгенс признава, че не разбира значението на диференциалите от по-високи порядки.

Като ирония на съдбата може да се разглежда появата в средата на века на нестандартен анализ, който доказа, че първоначалната гледна точка - действителните безкрайно малки - също е последователна и може да се използва като основа за анализ.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „безкрайно голям“ в други речници:

Променливата величина Y е обратната на безкрайно малката величина X, тоест Y = 1/X... Голям енциклопедичен речник

Променливата y е обратната на безкрайно малкото x, тоест y = 1/x. * * * БЕЗКРАЙНО ГОЛЯМО БЕЗКРАЙНО ГОЛЯМО, променливо количество Y, обратно на безкрайно малкото количество X, т.е. Y = 1/X ... енциклопедичен речник

В математиката, променлива величина, която в даден процес на промяна става и остава по абсолютна стойност по-голяма от всяко предварително определено число. Проучване на B. b. количествата могат да бъдат сведени до изследване на безкрайно малки (вижте... ... Велика съветска енциклопедия

Безкрайно малки функции

Извиква се функцията %%f(x)%%. безкрайно малък(b.m.) с %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ако с тази тенденция на аргумента границата на функцията е равна на нула.

Концепцията за б.м. функцията е неразривно свързана с инструкции за промяна на нейния аргумент. Можем да говорим за б.м. функции при %%a \to a + 0%% и при %%a \to a - 0%%. Обикновено б.м. функциите се обозначават с първите букви на гръцката азбука %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Примери

1. Функцията %%f(x) = x%% е b.m. при %%x \to 0%%, тъй като неговата граница в точката %%a = 0%% е нула. Според теоремата за връзката между двустранната граница и едностранната граница тази функция е б.м. и с %%x \до +0%% и с %%x \до -0%%.
2. Функция %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. при %%x \to \infty%% (както и при %%x \to +\infty%% и при %%x \to -\infty%%).

Постоянно число, различно от нула, независимо колко малко е по абсолютна стойност, не е b.m. функция. За постоянни числа единственото изключение е нула, тъй като функцията %%f(x) \equiv 0%% има нулева граница.

Теорема

Функцията %%f(x)%% има в точката %%a \in \overline(\mathbb(R))%% от разширената числова линия крайна граница, равна на числото %%b%% ако и само ако тази функция е равна на сумата от това число %%b%% и b.m. функции %%\alpha(x)%% с %%x \to a%%, или $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Свойства на безкрайно малки функции

Съгласно правилата за преминаване към границата с %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, следват следните твърдения:

1. Сборът от крайния брой на б.м. функции за %%x \to a%% е b.m. при %%x \до a%%.
2. Произведението на произволно число b.m. функции за %%x \to a%% е b.m. при %%x \до a%%.

Продукт б.м. функции при %%x \to a%% и функция, ограничена в някакъв пунктиран квартал %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% от точка a, има b.m. при %%x \към функция %%.

Ясно е, че произведението на постоянна функция и б.м. при %%x \to a%% има b.m. функция при %%x \to a%%.

Еквивалентни безкрайно малки функции

Извикват се безкрайно малки функции %%\alpha(x), \beta(x)%% за %%x \to a%% еквивалентени напишете %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, ако

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Теорема за замяната на б.м. еквивалентни функции

Нека %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% са b.m. функции за %%x \to a%%, с %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, тогава $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ граници_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Еквивалент на б.м. функции.

Нека %%\alpha(x)%% е b.m. функция при %%x \to a%%, тогава

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Пример

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \край (масив) $$

Безкрайно големи функции

Извиква се функцията %%f(x)%%. безкрайно голям(b.b.) с %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ако с тази тенденция на аргумента функцията има безкраен лимит.

Подобно на б.м. концепция за функции b.b. функцията е неразривно свързана с инструкции за промяна на нейния аргумент. Можем да говорим за б.б. функции за %%x \to a + 0%% и %%x \to a - 0%%. Терминът „безкрайно голям” не говори за абсолютната стойност на функцията, а за характера на нейното изменение в близост до въпросната точка. Нито едно постоянно число, колкото и голямо да е по абсолютна стойност, не е безкрайно голямо.

Примери

1. Функция %%f(x) = 1/x%% - b.b. при %%x \до 0%%.
2. Функция %%f(x) = x%% - b.b. при %%x \до \infty%%.

Ако условията на дефиницията $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(масив) $$

тогава говорят за положителенили отрицателенб.б. при %%a%% функция.

Пример

Функция %%1/(x^2)%% - положително b.b. при %%x \до 0%%.

Връзката между б.б. и б.м. функции

Ако %%f(x)%% е b.b. с %%x \to a%% функция, след това %%1/f(x)%% - b.m.

при %%x \до a%%. Ако %%\alpha(x)%% - b.m. за %%x \to a%% е ненулева функция в някакъв пунктиран околност на точката %%a%%, тогава %%1/\alpha(x)%% е b.b. при %%x \до a%%.

Свойства на безкрайно големи функции

Нека представим няколко свойства на b.b. функции. Тези свойства следват пряко от дефиницията на b.b. функции и свойства на функции с крайни граници, както и от теоремата за връзката между б.б. и б.м. функции.

1. Произведението на краен брой b.b. функции за %%x \to a%% е b.b. функция при %%x \to a%%. Наистина, ако %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. функции при %%x \to a%%, след това в някакъв пунктиран квартал на точката %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, и по теоремата за връзка b.b. и б.м.функции %%1/f_k(x)%% - б.м. функция при %%x \to a%%. Оказва се, че %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m функция за %%x \to a%%, и %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. функция при %%x \to a%%.
2. Продукт b.b. функции за %%x \to a%% и функция, която в някаква пунктирана околност на точката %%a%% по абсолютна стойност е по-голяма от положителна константа, е b.b. функция при %%x \to a%%. По-специално, продуктът b.b. функция с %%x \to a%% и функция, която има крайна ненулева граница в точката %%a%% ще бъде b.b. функция при %%x \to a%%.

Сумата от функция, ограничена в някаква пунктирана околност на точката %%a%% и b.b. функции с %%x \to a%% е b.b. функция при %%x \to a%%.

Например функциите %%x - \sin x%% и %%x + \cos x%% са b.b. при %%x \до \infty%%.

3. Сборът от две б.б. функции при %%x \to a%% има несигурност. В зависимост от знака на условията естеството на промяната в такава сума може да бъде много различно.

   Пример

   Нека са дадени функциите %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. функции при %%x \to \infty%%. Тогава:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. функция при %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. функция при %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% няма ограничение при %%x \to \infty%%.

Дадена е дефиницията на безкрайно голяма редица. Разглеждат се понятията за околности на безкрайни точки. Дадена е универсална дефиниция на границата на редица, която се прилага както за крайни, така и за безкрайни граници. Разглеждат се примери за приложение на определението за безкрайно голяма последователност.

Съдържание

Вижте също: Определяне на границата на последователността

Определение

Последователност (βn) наречена безкрайно голяма последователност, ако за всяко число M, без значение колко е голямо, съществува естествено число N M, зависещо от M, така че за всички естествени числа n > N M неравенството е в сила
|β n | >М.
В този случай те пишат
.
Или при .
Казват, че клони към безкрайност, или се събира в безкрайност.

Ако, започвайки от някакво число N 0 , Че
( се сближава до плюс безкрайност).
Ако тогава
( се сближава до минус безкрайност).

Нека напишем тези дефиниции, използвайки логическите символи на съществуване и универсалност:
(1) .
(2) .
(3) .

Редици с граници (2) и (3) са специални случаи на безкрайно голяма редица (1). От тези дефиниции следва, че ако границата на последователност е равна на плюс или минус безкрайност, тогава тя също е равна на безкрайност:
.
Обратното, разбира се, не е вярно. Членовете на последователност могат да имат редуващи се знаци. В този случай границата може да бъде равна на безкрайност, но без определен знак.

Забележете също, че ако някое свойство е валидно за произволна последователност с граница, равна на безкрайност, тогава същото свойство е валидна за последователност, чиято граница е равна на плюс или минус безкрайност.

В много учебници по математика дефиницията на безкрайно голяма редица гласи, че числото M е положително: M > 0 . Това изискване обаче е ненужно. Ако се отмени, тогава не възникват противоречия. Просто малките или отрицателните стойности не ни интересуват. Интересуваме се от поведението на последователността за произволно големи положителни стойности на M. Следователно, ако възникне необходимост, тогава M може да бъде ограничено отдолу с всяко предварително определено число a, тоест можем да приемем, че M > a.

Когато дефинираме ε - околността на крайната точка, тогава изискването ε > 0 е важен. За отрицателни стойности неравенството изобщо не може да бъде изпълнено.

Окръжности на точки в безкрайност

Когато разглеждахме крайни граници, въведохме концепцията за околност на точка. Спомнете си, че околност на крайна точка е отворен интервал, съдържащ тази точка. Можем също така да въведем концепцията за околности на точки в безкрайност.

Нека M е произволно число.
Околностите на точката "безкрайност", , се нарича множество.
Околността на точката "плюс безкрайност", , се нарича множество.
В близост до точката "минус безкрайност", , се нарича множество.

Строго погледнато, околността на точката "безкрайност" е множеството
(4) ,
където М 1 и М 2 - произволни положителни числа. Ще използваме първото определение, тъй като е по-просто. Въпреки че всичко казано по-долу е вярно и при използване на дефиниция (4).

Вече можем да дадем унифицирана дефиниция на границата на последователност, която се прилага както за крайни, така и за безкрайни граници.

Универсална дефиниция на границата на последователността.
Точка a (крайна или безкрайна) е границата на редица, ако за всяка околност на тази точка съществува естествено число N, така че всички елементи на редицата с числа принадлежат на тази околност.

Така, ако съществува ограничение, тогава извън околността на точка а може да има само краен брой членове на последователността или празно множество. Това условие е необходимо и достатъчно. Доказателството за това свойство е точно същото като за крайните граници.

Свойство на съседство на конвергентна последователност
За да може точка a (крайна или в безкрайност) да бъде граница на редицата, е необходимо и достатъчно извън всяка околност на тази точка да има краен брой членове на редицата или празно множество.
доказателство

Също така понякога се въвеждат концепциите за ε - околности на точки в безкрайност.
Припомнете си, че ε-околността на крайна точка a е множеството .
Нека въведем следната нотация. Нека с ε означим околността на точка a. След това за крайната точка,
.
За точки в безкрайност:
;
;
.
Използвайки понятията за ε-околности, можем да дадем друга универсална дефиниция на границата на последователност:

Точка a (крайна или в безкрайност) е границата на редицата ако за всяко положително число ε > 0 съществува естествено число N ε, зависещо от ε, така че за всички числа n > N ε членовете x n принадлежат на ε-околността на точка a:
.

Използвайки логическите символи на съществуването и универсалността, това определение може да се напише по следния начин:
.

Примери за безкрайно големи последователности

Пример 1

.

.
Нека запишем дефиницията на безкрайно голяма редица:
(1) .
В нашия случай
.

Въвеждаме числа и , като ги свързваме с неравенства:
.
Според свойствата на неравенствата, ако и , Тогава
.
Обърнете внимание, че това неравенство е валидно за всяко n. Следователно можете да изберете така:
в ;
при .

И така, за всяко едно можем да намерим естествено число, което удовлетворява неравенството. Тогава за всички,
.
Означава, че . Тоест последователността е безкрайно голяма.

Пример 2

Използвайки дефиницията на безкрайно голяма последователност, покажете това
.

(2) .
Общият член на дадената последователност има формата:
.

Въведете числата и:
.
.

Тогава за всяко едно може да се намери естествено число, което удовлетворява неравенството, така че за всички ,
.
Означава, че .

.

Пример 3

Използвайки дефиницията на безкрайно голяма последователност, покажете това
.

Нека запишем дефиницията на границата на редица, равна на минус безкрайност:
(3) .
Общият член на дадената последователност има формата:
.

Въведете числата и:
.
От това е ясно, че ако и , тогава
.

Тъй като за всяко едно е възможно да се намери естествено число, което удовлетворява неравенството, тогава
.

Като се има предвид , като N можем да вземем всяко естествено число, което удовлетворява следното неравенство:
.

Пример 4

Използвайки дефиницията на безкрайно голяма последователност, покажете това
.

Нека запишем общия член на редицата:
.
Нека запишем дефиницията на границата на редица, равна на плюс безкрайност:
(2) .

Тъй като n е естествено число, n = 1, 2, 3, ... , Че
;
;
.

Въвеждаме числата и М, като ги свързваме с неравенства:
.
От това е ясно, че ако и , тогава
.

И така, за всяко число M можем да намерим естествено число, което удовлетворява неравенството. Тогава за всички,
.
Означава, че .

Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.

Вижте също:

Деф.:Функцията се извиква безкрайно малъкпри , ако .

В обозначението „ “ ще приемем, че х 0може да приеме като крайна стойност: х 0= Консти безкрайно: х 0= ∞.

Свойства на безкрайно малки функции:

1) Алгебричната сума на краен брой безкрайно малки функции е безкрайно малка сума от функции.

2) Произведението на краен брой безкрайно малки функции е безкрайно малка функция.

3) Произведението на ограничена функция и безкрайно малка функция е безкрайно малка функция.

4) Частното от деленето на безкрайно малка функция на функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно малка функция.

Пример: функция г = 2 + хе безкрайно малка при , защото .

Деф.:Функцията се извиква безкрайно голямпри , ако .

Свойства на безкрайно големи функции:

1) Сумата от безкрайно големи функции е безкрайно голяма функция.

2) Произведението на безкрайно голяма функция и функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно голяма функция.

3) Сумата от безкрайно голяма функция и ограничена функция е безкрайно голяма функция.

4) Коефициентът на деление на безкрайно голяма функция на функция, която има крайна граница, е безкрайно голяма функция.

Пример: функция г= е безкрайно голям при , защото .

Теорема.Връзка между безкрайно малки и безкрайно големи величини. Ако една функция е безкрайно малка при , тогава функцията е безкрайно голяма при . И обратно, ако една функция е безкрайно голяма при , тогава функцията е безкрайно малка при .

Съотношението на две безкрайно малки обикновено се означава със символа , а отношението на две безкрайно малки със символа . И двете отношения са неопределени в смисъл, че тяхната граница може да съществува или да не съществува, да е равна на определено число или да е безкрайна, в зависимост от вида на специфичните функции, включени в неопределените изрази.

В допълнение към несигурността на вида и несигурността, следните изрази са:

Разлика на безкрайно големи от един и същи знак;

Произведението на безкрайно малко от безкрайно голямо;

Експоненциална функция, чиято основа клони към 1 и експонента клони към ;

Експоненциална функция, чиято основа е безкрайно малка и чийто показател е безкрайно голям;

Експоненциална функция, чиято база и показател са безкрайно малки;

Експоненциална функция, чиято база е безкрайно голяма и чийто показател е безкрайно малък.

Говори се, че има несигурност от съответния тип. В тези случаи се извиква изчисляването на лимита разкриване на несигурност. За да се разкрие несигурност, изразът под знака за граница се преобразува във форма, която не съдържа несигурност.

При изчисляване на граници се използват свойствата на границите, както и свойствата на безкрайно малки и безкрайно големи функции.

Нека да разгледаме примери за изчисления на различни ограничения.

1) . 2) .

4) , защото произведение на безкрайно малка функция при и ограничена функция е безкрайно малка.

5) . 6) .

7) = =

. В този случай имаше несигурност на типа, която беше разкрита чрез факторизиране на полиномите и редуцирането им до общ фактор.

= .

В този случай имаше несигурност от тип , която беше разрешена чрез умножаване на числителя и знаменателя по израза, като се използва формулата и след това дробта се намали с (+1).

9)
. В този пример несигурността на типа беше разкрита чрез разделяне на числителя и знаменателя на дробта на водещата степен.

Прекрасни граници

Първата прекрасна граница : .

Доказателство.Нека разгледаме единичната окръжност (фиг. 3).

Фиг.3. Единична окръжност

Позволявам х– радианова мярка на централния ъгъл MOA(), Тогава ОА = Р= 1, МК= грях х, AT= tg х. Сравняване на площите на триъгълници OMA, OTAи сектори OMA, получаваме:

,

.

Разделете последното неравенство на sin х, получаваме:

.

Тъй като при , тогава по свойство 5) граници

Оттук и обратната стойност за , което трябваше да се докаже.

коментар:Ако функцията е безкрайно малка при , т.е. , тогава първата забележителна граница има формата:

.

Нека да разгледаме примери за изчисления на граници, използвайки първата забележителна граница.

При изчисляването на тази граница използвахме тригонометричната формула: .

.

Нека да разгледаме примери за изчисления на граници, използвайки втората забележителна граница.

2) .

3) . Има несигурност на типа. Тогава да направим замяна; при .

функция y=f(x)Наречен безкрайно малъкпри x→aили кога х→∞, ако или , т.е. безкрайно малка функция е функция, чиято граница в дадена точка е нула.

Примери.

1. Функция f(x)=(х-1) 2 е безкрайно малко при х→1, тъй като (виж фигурата).

2. Функция f(x)= tg х– безкрайно малък при х→0.

3. f(x)= log(1+ х) – безкрайно малък at х→0.

4. f(x) = 1/х– безкрайно малък при х→∞.

Нека установим следната важна връзка:

Теорема.Ако функцията y=f(x)представителен с x→aкато сбор от постоянно число bи безкрайно малка величина α(x): f (x)=b+ α(x)Че .

Обратно, ако , тогава f (x)=b+α(x), Където a(x)– безкрайно малък при x→a.

Доказателство.

1. Нека докажем първата част от твърдението. От равенството f(x)=b+α(x)Трябва |f(x) – b|=| α|. Но тъй като a(x)е безкрайно малка, то за произволно ε съществува δ – околност на точката а,пред всички хот които, стойности a(x)задоволяват отношението |α(x)|< ε. Тогава |f(x) – b|< ε. И това означава, че.

2. Ако , то за всяко ε >0 за всички хот някакво δ – околност на точка аще |f(x) – b|< ε. Но ако обозначим f(x) – b= α, Че |α(x)|< ε, което означава, че а– безкрайно малък.

Нека разгледаме основните свойства на безкрайно малките функции.

Теорема 1.Алгебричната сума на две, три и изобщо всеки краен брой безкрайно малки е безкрайно малка функция.

Доказателство. Нека дадем доказателство за два термина. Позволявам f(x)=α(x)+β(x), където и . Трябва да докажем, че за произволно произволно малко ε > 0 намерени δ> 0, така че за х, удовлетворяващо неравенството |x – a|<δ , извършено |f(x)|< ε.

И така, нека фиксираме произволно число ε > 0. Тъй като според условията на теоремата α(x)е безкрайно малка функция, тогава има такава δ 1 > 0, което е |x – a|< δ 1 имаме |α(x)|< ε / 2. По същия начин, тъй като β(x)е безкрайно малка, тогава има такова δ 2 > 0, което е |x – a|< δ 2 имаме | β(x)|< ε / 2.

Да вземем δ=min(δ 1 , δ2 } .Тогава в околностите на пункта арадиус δ всяко от неравенствата ще бъде изпълнено |α(x)|< ε / 2 и | β(x)|< ε / 2. Следователно в този квартал ще има

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

тези. |f(x)|< ε, което трябваше да се докаже.

Теорема 2.Произведение на безкрайно малка функция a(x)за ограничена функция f(x)при x→a(или кога x→∞) е безкрайно малка функция.

Доказателство. Тъй като функцията f(x)е ограничено, тогава има брой Мтака че за всички стойности хот някаква околност на точка a|f(x)|≤M.Освен това, тъй като a(x)е безкрайно малка функция при x→a, тогава за произволно ε > 0 има околност на точката а, в което неравенството ще е в сила |α(x)|< ε /М. След това в по-малкия от тези квартали, които имаме | αf|< ε /М= ε. И това означава, че аф– безкрайно малък. За случая x→∞доказателството се извършва по подобен начин.

От доказаната теорема следва:

Следствие 1.Ако и, тогава.

Следствие 2.Ако c= const, тогава .

Теорема 3.Отношение на безкрайно малка функция α(x)на функция f(x), чиято граница е различна от нула, е безкрайно малка функция.

Доказателство. Позволявам . След това 1 /f(x)има ограничена функция. Следователно дробта е продукт на безкрайно малка функция и ограничена функция, т.е. функцията е безкрайно малка.