Функционална проверка за четен и нечетен паритет. Четни и нечетни функции

Четните и нечетните функции са едно от основните му свойства, а паритетът заема впечатляваща част от училищния курс по математика. Той до голяма степен определя характера на поведението на функцията и значително улеснява изграждането на съответната графика.

Нека дефинираме паритета на функцията. Най-общо казано, изследваната функция се разглежда дори ако за противоположни стойности на независимата променлива (x), разположена в нейната област, съответните стойности на y (функция) са равни.

Нека дадем по-строга дефиниция. Помислете за някаква функция f (x), която е дефинирана в домейна D. Ще бъде дори, ако за всяка точка x, разположена в домейна на дефиниция:

• -x (противоположна точка) също се намира в дадения обхват,

• f(-x) = f(x).

От горната дефиниция следва условието, необходимо за областта на дефиниране на такава функция, а именно симетрия по отношение на точката O, която е началото на координатите, тъй като ако някаква точка b се съдържа в областта на дефиниция на четна функция, тогава съответната точка - b също лежи в тази област. Следователно от гореизложеното следва заключението: четна функция има форма, която е симетрична спрямо ординатната ос (Oy).

Как да определим паритета на функция на практика?

Нека е дадено чрез формулата h(x)=11^x+11^(-x). Следвайки алгоритъма, който следва директно от дефиницията, ние първо изучаваме нейната област на дефиниция. Очевидно е дефинирано за всички стойности на аргумента, т.е. първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замените аргумента (x) с противоположната му стойност (-x).
Получаваме:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Тъй като събирането удовлетворява комутативния (преместващ) закон, очевидно е, че h(-x) = h(x) и дадената функционална зависимост е четна.

Нека проверим четността на функцията h(x)=11^x-11^(-x). Следвайки същия алгоритъм, получаваме h(-x) = 11^(-x) -11^x. Като извадим минуса, в резултат имаме
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следователно h(x) е странно.

Между другото, трябва да припомним, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези критерии, те се наричат ​​нито четни, нито нечетни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

• в резултат на добавянето на подобни функции се получава четна;
• в резултат на изваждането на такива функции се получава четна;
• дори, също дори;
• в резултат на умножаването на две такива функции се получава четна;
• в резултат на умножение на нечетни и четни функции се получава нечетна;
• в резултат на разделянето на нечетните и четните функции се получава нечетна;
• производната на такава функция е странна;
• Ако повдигнем на квадрат нечетна функция, получаваме четна.

Четността на функция може да се използва при решаване на уравнения.

За да решите уравнение като g(x) = 0, където лявата страна на уравнението е четна функция, ще бъде напълно достатъчно да намерите решението му за неотрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да се комбинират с противоположни числа. Един от тях подлежи на проверка.

Същият се използва успешно за решаване на нестандартни задачи с параметър.

Например, има ли някаква стойност за параметъра a, която би накарала уравнението 2x^6-x^4-ax^2=1 да има три корена?

Ако вземем предвид, че променливата влиза в уравнението с четни степени, тогава е ясно, че замяната на x с -x няма да промени даденото уравнение. От това следва, че ако дадено число е негов корен, то противоположното число е същото. Изводът е очевиден: корените на уравнението, различни от нула, са включени в множеството от неговите решения по „двойки“.

Ясно е, че самото число 0 не е, т.е. броят на корените на такова уравнение може да бъде само четен и, естествено, за всяка стойност на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може да бъде нечетен и за всяка стойност на параметъра. Наистина е лесно да се провери дали множеството от корени на дадено уравнение съдържа решения в "двойки". Нека проверим дали 0 е корен. Когато го заместим в уравнението, получаваме 2=2. Така освен "сдвоени" 0 е и корен, което доказва нечетното им число.

- (Math.) Функция y \u003d f (x) се извиква дори ако не се променя, когато независимата променлива променя само знака, т.е. ако f (x) \u003d f (x). Ако f (x) = f (x), тогава функцията f (x) се нарича нечетна. Например y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Функция, която удовлетворява равенството f (x) = f (x). Вижте Четни и нечетни функции ... Велика съветска енциклопедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Специални функции, въведени от френския математик Е. Матийо през 1868 г. при решаване на задачи за трептене на елиптична мембрана. М. ф. също се използват при изследване на разпространението на електромагнитни вълни в елиптичен цилиндър ... Велика съветска енциклопедия

Заявката "грех" се пренасочва тук; вижте и други значения. Заявката "sec" се пренасочва тук; вижте и други значения. „Sine“ пренасочва тук; вижте и други значения ... Wikipedia

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели:

• да формира концепцията за четни и нечетни функции, да научи способността да определя и използва тези свойства при изучаването на функции, чертане;
• да развива творческата активност на учениците, логическото мислене, способността за сравняване, обобщаване;
• да се култивира усърдие, математическа култура; развийте комуникативни умения .

Оборудване: мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, раздавателни материали.

Форми на работа: фронтална и групова с елементи на търсеща и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра клас 9 А. Г. Мордкович. Учебник.
2. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Задачна книга.
3. Алгебра 9 клас. Задачи за обучение и развитие на учениците. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашните

№ 10.17 (Проблемна книга 9 клас А.Г. Мордкович).

а) при = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 за х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава с х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. принаем = - 3, принаиб не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвахте ли алгоритъма за изследване на функции?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която ви беше зададена на слайда.

Попълнете таблицата
	Домейн	Функционални нули	Интервали на постоянство		Координати на точките на пресичане на графиката с Oy
		x = -5, х = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализиране на знанията

– Дадени са функции.
– Посочете домейна на дефиниция за всяка функция.
– Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргументи: 1 и – 1; 2 и - 2.
– За кои от дадените функции в областта на дефиниция са равенствата f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (въведете получените данни в таблица) Слайд

		f(1) и f(– 1)	f(2) и f(– 2)	диаграми	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		и не е дефиниран.

4. Нов материал

- Докато вършим тази работа, момчета, разкрихме още едно свойство на функцията, непознато за вас, но не по-малко важно от останалите - това е четността и нечетността на функцията. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим как да определяме четните и нечетните функции, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и чертането.
И така, нека намерим определенията в учебника и прочетем (стр. 110) . пързалка

Деф. 1 функция при = f (х), дефинирана върху множеството X, се нарича дори, ако за някаква стойност хЄ X в ход равенство f (–x) = f (x). Дай примери.

Деф. 2 функция y = f(x), дефинирана върху множеството X се нарича странно, ако за някаква стойност хЄ X е изпълнено равенството f(–х)= –f(х). Дай примери.

Къде срещнахме термините "четно" и "нечетно"?
Коя от тези функции ще бъде четна, според вас? Защо? Кои са странни? Защо?
За всяка функция на формата при= x n, Където не цяло число, може да се твърди, че функцията е нечетна за не нечетно и функцията е четно за н- дори.
– Преглед на функции при= и при = 2х– 3 не е нито четно, нито нечетно, т.к равенствата не са спазени f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изследването на въпроса дали една функция е четна или нечетна се нарича изследване на функция за паритет. пързалка

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията при x и - x, като по този начин се приема, че функцията също е дефинирана при стойността х, и при - х.

Определение 3. Ако числово множество, заедно с всеки от своите елементи x, съдържа и противоположния елемент -x, тогава множеството хсе нарича симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са несиметрични.

- Четните функции имат ли област на дефиниция - симетрично множество? Странните?
- Ако D( f) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията при = f(х) е четен или нечетен, тогава неговият домейн на дефиниция е D( f) е симетрично множество. Но вярно ли е обратното, ако областта на дадена функция е симетрично множество, тогава тя е четна или нечетна?
- Така че наличието на симетрично множество от областта на дефиниране е необходимо условие, но не и достатъчно.
– И така, как можем да изследваме функцията за паритет? Нека се опитаме да напишем алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за изследване на функция за паритет

1. Определете дали областта на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, тогава преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за f(–х).

3. Сравнете f(–х).И f(х):

• Ако f(–х).= f(х), тогава функцията е четна;
• Ако f(–х).= – f(х), тогава функцията е нечетна;
• Ако f(–х) ≠ f(х) И f(–х) ≠ –f(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Изследвайте функцията за паритет а) при= x 5 +; б) при= ; V) при= .

Решение.

а) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e функция h (x) \u003d x 5 + странно.

б) y =,

при = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.

V) f(х) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Даденото множество симетрично ли е: а) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

А); б) y \u003d x (5 - x 2). 2. Проверете функцията за паритет:

а) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички х, отговарящи на условието х? 0.
Начертайте функцията при = f(х), Ако при = f(х) е четна функция.

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички x, удовлетворяващи x? 0.
Начертайте функцията при = f(х), Ако при = f(х) е странна функция.

Слайд проверка.

6. Домашна работа: No 11.11, 11.21, 11.22;

Доказателство за геометричния смисъл на свойството паритет.

*** (Присвояване на опцията USE).

1. Нечетната функция y \u003d f (x) е дефинирана на цялата реална линия. За всяка неотрицателна стойност на променливата x стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х– 7). Намерете стойността на функцията h( х) = при х = 3.

7. Обобщаване

През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Космическият кораб ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани членове на експедицията.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете линка към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и или точно след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, тогава страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин да свържете MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете изпълним модул, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за зареждане по-горе в него и поставете изпълнимия модул по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вграждате математически формули във вашите уеб страници.

Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. По този повод има интересна статия, в която има примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.

Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), когато я увеличим, ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например, при достатъчно голямо увеличение, част от елипса изглежда като прав сегмент. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която с всяко увеличение ще се повтаря отново и отново.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, в своята статия „Фрактали и изкуство за наука“ пише: „Фракталите са геометрични форми, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще бъде увеличен до размера на цялото, ще изглежда като цялото, или точно, или може би с лека деформация.

. За да направите това, използвайте милиметрова хартия или графичен калкулатор. Изберете произволен брой числови стойности за независимата променлива x (\displaystyle x) и ги включете във функцията, за да изчислите стойностите на зависимата променлива y (\displaystyle y). Поставете намерените координати на точките в координатната равнина и след това свържете тези точки, за да изградите графика на функцията.

• Заместете положителните числови стойности x (\displaystyle x) и съответните отрицателни числови стойности във функцията. Например, дадена е функция f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Заменете следните x стойности (\displaystyle x) в него:

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо оста y. Симетрия означава огледалния образ на графиката спрямо оста y. Ако частта от графиката отдясно на оста y (положителни стойности на независимата променлива) съвпада с частта от графиката отляво на оста y (отрицателни стойности на независимата променлива), графиката е симетрична спрямо оста y. Ако функцията е симетрична спрямо оста y, функцията е четна.

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо началото. Началото е точката с координати (0,0). Симетрия относно произхода означава, че положителна y стойност (\displaystyle y) (когато x е положителна (\displaystyle x) ) съответства на отрицателна y стойност (\displaystyle y) (когато x е отрицателна (\displaystyle x) ) и обратно. Нечетните функции имат симетрия по отношение на произхода.

Проверете дали графиката на функцията има някаква симетрия. Последният тип функция е функция, чиято графика няма симетрия, т.е. няма огледален образ както спрямо оста y, така и спрямо началото. Например, дадена функция.

• Заменете някои положителни и съответстващи отрицателни x стойности (\displaystyle x) във функцията:
• Според получените резултати няма симетрия. Стойностите на y (\displaystyle y) за противоположните стойности на x (\displaystyle x) не съвпадат и не са противоположни. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна.
• Обърнете внимание, че функцията f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) може да бъде написана по следния начин: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Записана в тази форма, функцията изглежда четна, защото има четен показател. Но този пример доказва, че формата на функция не може да бъде бързо определена, ако независимата променлива е оградена в скоби. В този случай трябва да отворите скобите и да анализирате получените показатели.