Намерете векторна дължина известни координати на точките. Намиране на дължината на векторните координати

Намерете дължината на вектора според координатите си (в правоъгълната координатна система), според координатите на началото и края на вектора и косинус теоремата (2 вектор и ъгъла между тях).

Вектор - Това е насочената линия.Дължината на този сегмент определя числовата стойност на вектора и се наричавекторна дължина или векторна модула.

1. Изчисляване на дължината на вектора от координатите му

Ако векторните координати са дадени в плоска (двуизмерна) правоъгълна координатна система, т.е. Известен X и Y, след това дължината на вектора може да бъде намерена по формулата

В случай на вектор в пространството се добавя трета координация

В изразяването на MS Excel \u003d Root (summkv (B8: B9)) Позволява ви да изчислите векторния модул (предполага се, че координаторите на вектора се въвеждат в клетките. B8: B9., Вижте примерния файл).

Функцията SummKV () връща сумата на квадратите на аргументите, т.е. В този случай формулата е еквивалентна \u003d B8 * B8 + B9 * B9.

Примерният файл също изчислява дължината на вектора в пространството.

Алтернативната формула е израз \u003d Root (sumpacy (B8: B9; B8: B9)).

2. Намиране на дължината на вектора чрез координатите на точките

Ако вектор задайте координатите на точките на своето начало и край, тогава формулата ще бъде друга \u003d Root (summkvson (C28: C29; B28: B29))

Формулата предполага, че координатите на точките на принципите и края са въведени в диапазоните C28: C29. и B28: B29. съответно.

Функция Summkvson () вобещава сумата на квадратите на разликите в съответните стойности в два масиви.

Всъщност, във формулата, се изчисляват координатите на вектора (разлики в съответните точки на точките), тогава се изчислява сумата на техните квадрати.

3. Намиране на дължината на вектора на косинусовата теорема

Ако искате да намерите дължината на вектора на косинус теоремата, обикновено се прилагат 2 версии (техните модули и ъгъл между тях).

Намерете векторна дължина с помощта на формулата \u003d Root (summkv (B43: C43) -2 * B43 * C43 * COS (B45))

В клетки B43: B43. съдържа дължините на векторите А и В, и в клетката B45. - Ъгълът между тях в радиани (във фракциите на броя PI ()).

Ако ъгълът е даден в градуси, тогава формулата ще бъде малко по-различна \u003d Корен (B43 * B43 + C43 * C43-2 * B43 * C43 * COS (B46 * PI () / 180))

Забележка: За яснота в клетката със стойността на ъгъл в градуси, можете да приложите, вижте например статия

Преди всичко е необходимо да разглобите много концепцията за вектор. За да се въведе дефиницията на геометричния вектор припомня какъв е сегментът. Въвеждаме следното определение.

Определение 1.

Да наричаме част от права линия, която има две граници под формата на точки.

Нарязания може да има 2 посоки. За да определите посоката, ще наречем една от границите на сегмента от него, а другата граница е нейният край. Посоката е посочена от началото до края на сегмента.

Определение 2.

Вектор или насочен сегмент ще се нарече такъв сегмент, за който е известен, кой от границите на сегмента се счита за началото и който го завършва.

Означаване: две букви: $ 4 $ - (където $ a $ е неговото начало, а $ b $ е негов край).

Една малка буква: $ Съобщение (а) $ (фиг. 1).

Ние въвеждаме сега, директно, концепцията за дължини на дължината.

Определение 3.

Векторът на вектора $ 400 $ ще се нарича дължина на сегмента от $ a $.

Означаване: $ | Образование (A) | $

Концепцията за дължината на вектора е свързана, например с такава концепция като равенство на два вектора.

Определение 4.

Два вектора ще бъдат наречени равни, ако отговарят на две условия: 1. те са покрити; 1. Дължината им са равни (фиг. 2).

За да се определят векторите да въведат координатната система и да определят координатите за вектора в въведената система. Както знаем, всеки вектор може да бъде разложен във формата $ 4 (c) \u003d m overline (i) + n overline (j) $, където $ m и $ n $ е валидни номера, и $ \\ t (I) $ и $ soundline (J) $ - единични вектори на оста на $ OX $ и $ OY $, съответно.

Определение 5.

Коефициентите на разпадане на $ 2 levelline (c) \u003d m \\ t Математически:

$ Изключително (c) \u003d (m, n) $

Как да намерим дължината на вектора?

За да се изведе формулата за изчисляване на дължината на произволен вектор според неговите координати, разгледайте следната задача:

Пример 1.

Той е даден: Vector $ 4 $, като координира $ (x, y) $. Намерете: дължината на този вектор.

Ние въвеждаме $ Xoy $ координатна система в самолета. От началото на въведената координатна система ще отлагам $ 2 (OA) \u003d Overline (A) $. Ние изграждаме проекцията $ OA_1 $ и $ OA_2 конструиран вектор на оста на $ OX $ и $ oy $, съответно (фиг. 3).

Векторът от $ 4 (OA) $ ще бъде радиус вектор за точка $ a $, следователно, ще има координати $ (x, y) $, това означава

$ \u003d x $, $ [oa_2] \u003d y $

Сега можем лесно да намерим желаната дължина, използвайки теоремата Pythagora, получаваме

$ | Оживен (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | Оцветете (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | Оживен (α) | \u003d sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Отговор: $ \\ t (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Изход:За да намерите дължината на вектора, който има своите координати, е необходимо да се намери коренът на площада на сумата на тези координати.

Примерна задача

Пример 2.

Намерете разстоянието между точки $ x $ и $ y $, които имат следните координати: $ (- 1.5) $ и $ (7.3) $, съответно.

Всякакви две точки могат лесно да бъдат свързани с концепцията за вектор. Обмислете, например, Vector $ revline (xy) $. Както вече знаем, координатите на този вектор могат да бъдат намерени, приспадане на координатите на крайната точка ($ я $) съответните координати на началната точка ($ x $). Получаваме това

Определение 1.

Да наричаме част от права линия, която има две граници под формата на точки.

Определение 2.

Означаване: две букви: $ 4 $ - (където $ a $ е неговото начало, а $ b $ е негов край).

Една малка буква: $ Съобщение (а) $ (фиг. 1).

Ние въвеждаме сега, директно, концепцията за дължини на дължината.

Определение 3.

Векторът на вектора $ 400 $ ще се нарича дължина на сегмента от $ a $.

Означаване: $ | Образование (A) | $

Концепцията за дължината на вектора е свързана, например с такава концепция като равенство на два вектора.

Определение 4.

Определение 5.

Коефициентите на разпадане на $ 2 levelline (c) \u003d m \\ t Математически:

$ Изключително (c) \u003d (m, n) $

Как да намерим дължината на вектора?

Пример 1.

Той е даден: Vector $ 4 $, като координира $ (x, y) $. Намерете: дължината на този вектор.

Векторът от $ 4 (OA) $ ще бъде радиус вектор за точка $ a $, следователно, ще има координати $ (x, y) $, това означава

$ \u003d x $, $ [oa_2] \u003d y $

Сега можем лесно да намерим желаната дължина, използвайки теоремата Pythagora, получаваме

$ | Оживен (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | Оцветете (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | Оживен (α) | \u003d sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Отговор: $ \\ t (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Примерна задача

Пример 2.

Намерете разстоянието между точки $ x $ и $ y $, които имат следните координати: $ (- 1.5) $ и $ (7.3) $, съответно.

Стандартна дефиниция: "Векторът е насочен сегмент." Обикновено това е ограничено до знанието на завършилите за векторите. Кой се нуждае от някои "насочени сегменти"?

И всъщност, какви са векторите и защо те?
Прогноза за времето. "Вятърът е северозападна, скоростта от 18 метра в секунда." Съгласен съм, посоката на вятъра е от значение (където се движи от) и модулът (т.е. абсолютната стойност) на скоростта му.

Стойностите, които нямат указания, се наричат \u200b\u200bскалар. Маса, работа, електрическият заряд не е насочен навсякъде. Те се характеризират само числено значение - "Колко килограма" или "колко джаум".

Физически количества, които имат не само абсолютна стойност, но и посоката се нарича вектор.

Скорост, сила, ускорение - вектори. За тях е важно "колко" и най-важното "къде". Например, ускорението на свободното падане е насочено към повърхността на земята, а стойността му е 9.8 m / s 2. Импулс, сила на електрическо поле, индукция магнитно поле - също векторни стойности.

Спомняте си това физически величини Означават с писма, латински или гръцки. Arrogo над писмото показва, че стойността е вектор:

Ето още един пример.
Колата се премества от в b. Крайният резултат е движението му от точка А до точка Б, която се движи на вектор .

Сега е ясно защо векторът е насочен сегмент. Забележка, краят на вектора е мястото, където стрелката. Дължина Вектор Наречена продължителност на този сегмент. Обозначава: Or

Досега сме работили със скаларни стойности, според правилата на аритметичната и елементарна алгебра. Вектори - нова концепция. Това е друг клас математически обекти. За тях собствените им правила.

След като не знаем за цифрите. Запознанството с тях започна в младши класове. Оказа се, че номерата могат да бъдат сравнени помежду си, сгъване, приспадане, умножаване и разделяне. Научихме, че има номер едно и номер нула.
Сега се запознаваме с вектори.

Понятията за "повече" и "по-малко" за вектори не съществуват - те могат да бъдат различни посоки. Можете да сравните само дължините на векторите.

Но концепцията за равенство за векторите е.
Равен Призовават се векторите със същите дължини и същата посока. Това означава, че векторът може да бъде прехвърлен успоредно със себе си навсякъде в самолета.
Единичен Наречен вектор, чиято дължина е равна на 1. Нула - вектор, дължината на която е нула, т.е. нейното начало съвпада с края.

Тя е най-удобна за работа с вектори в правоъгълна координатна система - най-важната графика на функциите. Всяка точка в координатната система съответства на две числа - координатите на X и Y, Asccissa и Oridated.
Векторът също така определя две координати:

Тук в скоби записва координатите на вектора - с x и на y.
Те са просто: координатът на вектора минус координата на неговото начало.

Ако са определени векторните координати, дължината му се намира по формулата

Добавяне на вектори

За добавянето на вектори има два начина.

един. Правило паралелограма. За да сгънете векторите и поставихме началото на двете в един момент. Ще бъдете завършени до паралелограма и от една и съща точка, която изпълняваме диагонала на паралелограмата. Това ще бъде сумата на векторите и.

Помниш ли закона за лебед, рак и щука? Те се опитаха много, но никога не се изместиха от сцената. В крайна сметка, векторната сума на силите, прикрепени към колата, беше нула.

2. Вторият начин за добавяне на вектори е триъгълник. Вземете същите вектори и. До края на първия вектор прилагам началото на втория. Сега свържете началото на първия и края на втория. Това е сумата на векторите и.

По същия начин няколко вектора могат да бъдат сгънати. Ние ги добавяме един по един, след което комбинираме началото на първия с края на последния.

Представете си, че отивате от точка А до параграф В, от ВС, от С в D, след това в E и във F. Крайният резултат от тези действия се движи от a in f.

Когато добавяте вектори и получавате:

Извадни вектори

Векторът се изпраща до противоположния вектор. Дължините на векторите са равни.

Сега е ясно какво изваждане на вектори. Разликата на векторите е сумата на вектора и вектора.

Умножаване на вектор по номер

Когато векторът се умножи номер k, векторът се получава, чиято дължина е различна от дължината. Той е покрит с вектор, ако k е по-голям и е насочен обратното, ако k е по-малко от нула.

Вектори на скаларния продукт

Векторите могат да се умножават не само в цифри, но и един върху друг.

Скаларният продукт на векторите е продукт на дължините на векторите върху косинуса на ъгъла между тях.

Забележка - премести два вектора, а скаларът се оказа, че е номерът. Например, по физика механичната работа е равна на скаларния продукт на два вектора - сили и движения:

Ако векторите са перпендикулярни, техният скаларен продукт е нула.
И тук са скаларният продукт, изразен чрез координатите на векторите и:

От формулата за скаларен продукт можете да намерите ъгъла между векторите:

Тази формула е особено удобна в стереометрията. Например, в задачата 14 Профил ЕМЕ В математиката трябва да намерите ъгъла между кръстосано движение направо или между прав и равнина. Често задачата 14 се решава няколко пъти по-бързо от класиката.

В училищна програма В математиката има само скаларен продукт на вектори.
Оказва се, че с изключение на скалар има и векторният продукт, когато векторът е в резултат на умножаване на вектори. Кой дава изпита във физиката, знае какво силата на Лоренц и силата на ампера. Формулата за намиране на тези сили включва векторно изкуство.

Вектори - полезен математически инструмент. В това ще видите за първата година.