Стойността на производната в точката x0 според графиката. Намерете стойността на производната на функцията в точката x0

Пример 1

справка: Следните начини за обозначаване на функция са еквивалентни: В някои задачи е удобно функцията да се обозначи като "igrokom", а в някои като "ff от x".

Първо намираме производната:

Пример 2

Изчислете производната на функция в точка

, , пълно функционално изследванеи т.н.

Пример 3

Изчислете производната на функция в точка. Първо, нека намерим производната:

Е, това е съвсем друг въпрос. Нека изчислим стойността на производната в точката:

В случай, че не разбирате как е намерена производната, върнете се към първите два урока по темата. Ако имате затруднения (неразбиране) с арктангенса и неговите значения, задължително изучаване на учебния материал Графики и свойства на елементарни функции- последният параграф. Защото все още има достатъчно арктангенси за студентската възраст.

Пример 4

Изчислете производната на функция в точка.

Уравнение на допирателна към графика на функция

За да консолидирате предишния раздел, разгледайте проблема с намирането на допирателната към функционална графикав този момент. Срещахме тази задача в училище и тя се среща и в курса по висша математика.

Нека разгледаме най-простия пример за "демо".

Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката с абсцисата. Веднага ще дам готово графично решение на проблема (на практика това не е необходимо в повечето случаи):

Строго определение на допирателната е дадено от дефиниция на производната на функция, но засега ще овладеем техническата част на въпроса. Със сигурност почти всеки интуитивно разбира какво е допирателна. Ако обясните "на пръсти", тогава допирателната към графиката на функцията е правкоето се отнася до графиката на функцията в единственияточка. В този случай всички близки точки на правата линия са разположени възможно най-близо до графиката на функцията.

Приложено към нашия случай: at, допирателната (стандартна нотация) докосва графиката на функцията в една точка.

И нашата задача е да намерим уравнението на правата.

Производна на функция в точка

Как да намерим производната на функция в точка? Две очевидни точки от това задание следват от формулировката:

1) Необходимо е да се намери производната.

2) Необходимо е да се изчисли стойността на производната в дадена точка.

Пример 1

Изчислете производната на функция в точка

Помощ: Следните начини за обозначаване на функция са еквивалентни:


В някои задачи е удобно функцията да се обозначи като "igrokom", а в някои като "ff от x".

Първо намираме производната:

Надявам се, че мнозина вече са свикнали да намират такива производни устно.

На втората стъпка изчисляваме стойността на производната в точката:

Малък пример за загряване за независимо решение:

Пример 2

Изчислете производната на функция в точка

Пълно решение и отговор в края на урока.

Необходимостта от намиране на производната в точка възниква при следните проблеми: изграждане на допирателна към графиката на функция (следващ параграф), изследване на екстремалната функция , инфлексия на графична функция , пълно функционално изследване и т.н.

Но въпросната задача се намира в тестове и сама по себе си. И като правило в такива случаи функцията е доста сложна. В тази връзка разгледайте още два примера.

Пример 3

Изчислете производната на функция в точката.
Първо, нека намерим производната:

Производната по принцип е намерена и изискваната стойност може да бъде заместена. Но аз наистина не искам да го правя. Изразът е много дълъг, а стойността на "x" е дробна. Затова се опитваме да опростим нашата производна колкото е възможно повече. В този случай нека се опитаме да доведем последните три члена до общ знаменател: в точката.

Това е пример за решение "направи си сам".

Как да намерим стойността на производната на функцията F (x) в точката Xo? Как да решим това като цяло?

Ако формулата е дадена, тогава намерете производната и заместете X-нула вместо X. Изчисли
Ако говорим за b-8 USE, графика, тогава трябва да намерите тангенса на ъгъла (остър или тъп), който образува допирателна с оста X (използвайки мисловната конструкция на правоъгълен триъгълник и определяне тангенс на ъгъла)

Тимур Адилходжаев

Първо, трябва да вземете решение за знака. Ако точката x0 е в долната част на координатната равнина, тогава знакът в отговора ще бъде минус, а ако е по-висок, тогава +.
Второ, трябва да знаете какво е tanges в правоъгълен правоъгълник. И това е съотношението на противоположната страна (крака) към съседната страна (също крака). Обикновено има черни петна върху картината. От тези знаци правите правоъгълен триъгълник и намирате tangs.

Как да намерим стойността на производната на функцията f x в точката x0?

Като цяло, за да намерите стойността на производната на която и да е функция по отношение на някаква променлива във всяка точка, трябва да разграничите дадената функция по отношение на тази променлива. Във вашия случай чрез променливата X. В получения израз вместо X поставете стойността на x в точката, за която трябва да намерите стойността на производната, т.е. във вашия случай заместете нула X и изчислете получения израз.

Е, желанието ви да разберете този въпрос, според мен, несъмнено заслужава +, което слагам с чиста съвест.

Тази формулировка на проблема за намиране на производната често се поставя за фиксиране на материала върху геометричния смисъл на производната. Предлага се графика на определена функция, напълно произволна и неуравнена, като се изисква да се намери стойността на производната (не самата производна, забележете!) в посочената точка X0. За това се построява допирателна към дадена функция и се намира точката на нейното пресичане с координатните оси. Тогава уравнението на тази допирателна права се съставя във вида y = kx + b.

В това уравнение коефициентът k и ще бъде стойността на производната. остава само да се намери стойността на коефициента b. За да направите това, намираме стойността на y при x = o, нека е равна на 3 - това е стойността на коефициента b. Заместваме стойностите на X0 и Y0 в оригиналното уравнение и намираме k - нашата стойност на производната в тази точка.

Задача B9 дава графика на функция или производна, от която искате да определите една от следните величини:

1. Стойността на производната в дадена точка x 0,
2. Високи или ниски точки (екстремни точки),
3. Интервалите на нарастване и намаляване на функцията (интервали на монотонност).

Представените в тази задача функции и производни са винаги непрекъснати, което значително опростява решението. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, тя е по силите дори на най-слабите ученици, тъй като тук не се изискват дълбоки теоретични познания.

Има прости и универсални алгоритми за намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност - всички те ще бъдат разгледани по-долу.

Прочетете внимателно условието на задача B9, за да избегнете глупави грешки: понякога се натъквате на доста дълги текстове, но няма много важни условия, които влияят на хода на решението.

Изчисляване на стойността на производната. Метод от две точки

Ако в задачата е дадена графиката на функцията f (x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0, и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:

1. Намерете две "адекватни" точки на допирателната графика: координатите им трябва да са цели числа. Нека означим тези точки с A (x 1; y 1) и B (x 2; y 2). Напишете правилно координатите - това е ключов момент в решението и всяка грешка тук води до грешен отговор.
2. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 - x 1 и приращението на функцията Δy = y 2 - y 1.
3. Накрая намираме стойността на производната D = Δy / Δx. С други думи, трябва да разделите инкремента на функцията на инкремента на аргумента - и това ще бъде отговорът.

Забележете още веднъж: точките A и B трябва да се търсят точно върху допирателната права, а не върху графиката на функцията f (x), както често се случва. Допирателната линия задължително ще съдържа поне две такива точки - в противен случай проблемът не е написан правилно.

Разгледайте точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете нарастванията:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Намерете стойността на производната: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y = f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f (x) в точката x 0.

Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете нарастванията:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = −3.

Сега намираме стойността на производната: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y = f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f (x) в точката x 0.

Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете нарастванията:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Остава да се намери стойността на производната: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

От последния пример можем да формулираме правило: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на допиране е нула. В този случай дори не е нужно да броите нищо - просто погледнете графиката.

Изчисляване на максимални и минимални точки

Понякога вместо графика на функция в задача B9 се дава графика на производната и се изисква да се намери максималната или минималната точка на функцията. В тази ситуация двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:

1. Точка x 0 се нарича максимална точка на функцията f (x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено следното неравенство: f (x 0) ≥ f (x).
2. Точка x 0 се нарича минимална точка на функцията f (x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f (x 0) ≤ f (x).

За да намерите максималните и минималните точки на графиката на производната, е достатъчно да изпълните следните стъпки:

1. Преначертайте графиката на производната, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, ненужните данни само пречат на решението. Следователно маркираме нулите на производната върху координатната ос - това е всичко.
2. Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за някаква точка x 0 е известно, че f '(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f' (x 0) ≥ 0 или f '(x 0) ≤ 0. Знакът на производната може лесно се определя от първоначалния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f '(x) ≥ 0. И обратно, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f' (x ) ≤ 0.
3. Проверете отново нулите и знаците на производната. Когато знакът се промени от минус на плюс, има минимална точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Преброяването винаги се извършва отляво надясно.

Тази схема работи само за непрекъснати функции - няма други в задача B9.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на отсечката [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f (x) на този сегмент.

Нека се отървем от ненужната информация - ще оставим само границите [−5; 5] и нули на производната x = −3 и x = 2.5. Обърнете внимание и на знаците:

Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на отсечката [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f (x) на този сегмент.

Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нулите на производната x = −1.7 и x = 5. Отбележете знаците на производната на получената графика. Ние имаме:

Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на отсечката [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f (x), които принадлежат на отсечката [−4; 3].

От постановката на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от отсечката [−4; 3]. Затова изграждаме нова диаграма, върху която маркираме само границите [−4; 3] и нулите на производната вътре в него. А именно точки x = −3.5 и x = 2. Получаваме:

Тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в тази точка знакът на производната се променя от плюс на минус.

Бърза бележка за точки с нецелочислени координати. Например, в последния проблем точката се считаше за x = −3,5, но можете също да вземете x = −3,4. Ако проблемът е формулиран правилно, такива промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките "без определено местожителство" не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, този трик няма да работи с цели точки.

Намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции

В такъв проблем, като точките на максимума и минимума, се предлага да се намерят областите, в които самата функция се увеличава или намалява от графиката на производната. Първо, нека дефинираме какво се увеличава и намалява:

1. Функция f (x) се нарича нарастваща върху отсечка, ако за произволни две точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
2. Функция f (x) се нарича намаляваща на отсечка, ако за всякакви две точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Тези. колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-малка е стойността на функцията.

Нека формулираме достатъчни условия за увеличаване и намаляване:

1. За да нараства непрекъсната функция f (x) на отсечка, е достатъчно нейната производна вътре в сегмента да е положителна, т.е. f '(x) ≥ 0.
2. За да намалява непрекъсната функция f (x) на отсечка, е достатъчно нейната производна вътре в сегмента да е отрицателна, т.е. f '(x) ≤ 0.

Нека приемем тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервалите на увеличение и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на точките на екстремум:

1. Премахнете цялата ненужна информация. В първоначалния график на производната ние се интересуваме преди всичко от нулите на функцията, така че ще оставим само тях.
2. Обърнете внимание на знаците на производната на интервалите между нулите. Където f ’(x) ≥ 0, функцията се увеличава, а където f’ (x) ≤ 0, намалява. Ако проблемът има ограничения за променливата x, ние ги маркираме допълнително на новата графика.
3. Сега, когато знаем поведението на функцията и ограничението, остава да изчислим стойността, необходима в задачата.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на отсечката [−3; 7.5]. Намерете интервалите на намаляване на функцията f (x). Във вашия отговор посочете сумата от целите числа, включени в тези интервали.

Както обикновено, преначертайте графиката и маркирайте границите [−3; 7.5], както и нулите на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това маркираме знаците на производната. Ние имаме:

Тъй като производната е отрицателна на интервала (- 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на отсечката [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастване на функцията f (x). В отговора посочете дължината на най-дългия от тях.

Нека се отървем от ненужната информация. Оставете само границите [−10; 4] и нулите на производната, които този път се оказаха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отбележете знаците на производната и получете следната картина:

Интересуват ни интервалите на нарастване на функцията, т.е. такива, където f '(x) ≥ 0. На графиката има два такива интервала: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Тъй като е необходимо да се намери дължината на най-големия от интервалите, в отговора записваме стойността l 2 = 5.