Основни операции върху множества. Диаграми на Ойлер-Вен

Раздели: Информатика

1. Въведение

Курсът по информатика и ИКТ в основните и старшите училища обхваща важни теми като „Основи на логиката“ и „Търсене на информация в Интернет“. При решаването на определени видове задачи е удобно да се използват кръгове на Ойлер (диаграми на Ойлер-Вен).

Математически справочник. Диаграмите на Ойлер-Вен се използват предимно в теорията на множествата като схематично представяне на всички възможни пресичания на няколко множества. Като цяло те представляват всичките 2 n комбинации от n свойства. Например, при n=3, диаграмата на Ойлер-Вен обикновено се изобразява като три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

2. Представяне на логическите връзки в заявките за търсене

При изучаване на темата „Търсене на информация в Интернет“ се разглеждат примери за заявки за търсене, използващи логически връзки, подобни по значение на съюзите „и“, „или“ на руския език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако ги илюстрирате с помощта на графична диаграма - кръгове на Ойлер (диаграми на Ойлер-Вен).

3. Връзка на логическите операции с теорията на множествата

Диаграмите на Ойлер-Вен могат да се използват за визуализиране на връзката между логическите операции и теорията на множествата. За демонстрация можете да използвате слайдовете в Приложение 1.

Логическите операции се определят от техните таблици на истинност. IN Приложение 2Графичните илюстрации на логическите операции заедно с техните таблици на истинност са разгледани подробно. Нека обясним принципа на построяване на диаграма в общия случай. В диаграмата областта на кръга с името A показва истинността на твърдението A (в теорията на множествата кръг A е обозначението на всички елементи, включени в даден набор). Съответно зоната извън кръга показва „лъжливата“ стойност на съответното твърдение. За да разберете коя област на диаграмата ще покаже логическа операция, трябва да засенчите само онези области, в които стойностите на логическата операция на набори A и B са равни на „истина“.

Например стойността на импликацията е вярна в три случая (00, 01 и 11). Нека засенчваме последователно: 1) зоната извън двата пресичащи се кръга, която съответства на стойностите A=0, B=0; 2) област, свързана само с кръг B (полумесец), която съответства на стойностите A=0, B=1; 3) площта, свързана както с кръг A, така и с кръг B (пресечна точка) - съответства на стойностите A=1, B=1. Комбинацията от тези три области ще бъде графично представяне на логическата операция на импликацията.

4. Използване на кръгове на Ойлер при доказване на логически равенства (закони)

За да докажете логически равенства, можете да използвате метода на диаграмата на Ойлер-Вен. Нека докажем следното равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон на де Морган).

За визуално представяне на лявата страна на равенството, нека го направим последователно: засенчете двата кръга (приложете дизюнкция) със сив цвят, след което, за да покажете инверсията, засенчете областта извън кръговете с черен цвят:

Фиг.3 Фиг.4

За да представим визуално дясната страна на равенството, нека го направим последователно: засенчете зоната за показване на инверсията (¬A) в сиво и, по подобен начин, областта ¬B също в сиво; тогава, за да покажете връзката, трябва да вземете пресечната точка на тези сиви зони (резултатът от наслагването е представен в черно):

Фиг.5 Фиг.6 Фиг.7

Виждаме, че площите за показване на лявата и дясната част са равни. Q.E.D.

5. Задачи във формата на държавния изпит и единния държавен изпит по темата: „Търсене на информация в Интернет“

Задача № 18 от демо версията на GIA 2013.

Таблицата показва заявки към сървъра за търсене. За всяка заявка е посочен нейният код - съответната буква от A до G. Подредете кодовете на заявките отляво надясно по ред низходящброя страници, които търсачката ще намери за всяка заявка.

За всяка заявка ще изградим диаграма на Ойлер-Вен:

Отговор: VAGB.

Задача B12 от демо версията на Единния държавен изпит 2013 г.

Таблицата показва заявките и броя на намерените страници за определен сегмент от Интернет.

Колко страници (в хиляди) ще бъдат намерени за заявката? Разрушител?

Смята се, че всички заявки са били изпълнени почти едновременно, така че наборът от страници, съдържащ всички търсени думи, не се е променил по време на изпълнението на заявките.

Ф – брой страници (в хиляди) по заявка Фрегата;

E – брой страници (в хиляди) при поискване Разрушител;

X – брой страници (в хиляди) за заявка, която споменава ФрегатаИ Неспоменати Разрушител;

Y – брой страници (в хиляди) за заявка, която споменава РазрушителИ Неспоменати Фрегата.

Нека изградим диаграми на Ойлер-Вен за всяка заявка:

Според диаграмите имаме:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. От тук намираме Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Отговор: 2200.

6. Решаване на логически значими задачи чрез диаграмния метод на Ойлер-Вен

В класа има 36 души. Учениците от този клас посещават математически, физически и химически кръжоци, като 18 души посещават математически клуб, 14 души посещават физически, 10 души посещават химически, освен това е известно, че 2 души посещават и трите клуба, 8 души посещават и математически, и физически, 5 и математически и химически, 3 - и физически, и химически.

Колко ученици в класа не посещават кръжоци?

За да разрешите този проблем, е много удобно и интуитивно да използвате кръгове на Ойлер.

Най-големият кръг е множеството от всички ученици в класа. Вътре в кръга има три пресичащи се множества: членове на математическата ( М), физически ( Е), химически ( х) кръгове.

Позволявам MFC- много момчета, всеки от които посещава и трите клуба. MF¬X- много деца, всяко от които посещава кръжоци по математика и физика и Непосещава химикал. ¬M¬FH- много момчета, всеки от които посещава клуба по химия и не посещава клубовете по физика и математика.

Въвеждаме комплекти по подобен начин: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно е, че и трите кръга се посещават от 2 души, следователно в региона MFCДа въведем числото 2. Защото 8 човека посещават и математически, и физически кръжоци, като сред тях вече има 2-ма посещаващи и трите кръжока, след това в обл. MF¬Xда влезем 6 души (8-2). Нека по подобен начин определим броя на учениците в останалите групи:

Нека обобщим броя на хората във всички региони: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следователно 28 души от класа посещават клубове.

Това означава, че 36-28 = 8 ученици не посещават клубове.

След зимната ваканция класната ръководителка попита кое от децата е ходило на театър, кино или цирк. Оказа се, че от 36 ученици в класа двама никога не са ходили на кино. нито в театъра, нито в цирка. 25 души са ходили на кино, 11 на театър, 17 на цирк; както в киното, така и в театъра - 6; както в киното, така и в цирка - 10; а в театъра и цирка - 4.

Колко хора са били на кино, театър и цирк?

Нека x е броят на децата, които са ходили на кино, театър и цирк.

След това можете да изградите следната диаграма и да преброите броя на момчетата във всяка област:

По този начин кръговете на Ойлер (диаграми на Ойлер-Вен) намират практическо приложение при решаване на задачи във формата на Единния държавен изпит и държавен изпит и при решаване на смислени логически задачи.

Литература

1. В.Ю. Лискова, Е.А. Ракитина. Логика в компютърните науки. М.: Информатика и образование, 2006. 155 с.
2. Л.Л. Босова. Аритметични и логически основи на компютрите. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ за 8 клас: БИНОМ. Лаборатория Знание, 2012. 220 с.
4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ за 9 клас: БИНОМ. Лаборатория Знание, 2012. 244 с.
5. Уебсайт на FIPI: http://www.fipi.ru/

Ако мислите, че не знаете нищо за кръговете на Ойлер, грешите. Всъщност сигурно сте ги срещали повече от веднъж, просто не сте знаели как се казва. Къде точно? Схемите под формата на кръгове на Ойлер формират основата на много популярни интернет мемета (изображения, разпространявани онлайн по конкретна тема).

Нека да разберем заедно какви кръгове са това, защо се наричат ​​така и защо са толкова удобни за използване за решаване на много проблеми.

Произход на термина

е геометрична диаграма, която помага да се намерят и/или да се изяснят логическите връзки между явления и понятия. Също така помага да се изобрази връзката между комплект и неговата част.

Все още не е много ясно, нали? Погледни тази снимка:

Картината показва разнообразие от всички възможни играчки. Част от играчките са конструктори - откроени са в отделен овал. Това е част от голям набор от „играчки“ и в същото време отделен комплект (в края на краищата строителният комплект може да бъде „Лего“ или примитивни строителни комплекти, направени от блокове за деца). Част от голямото разнообразие от „играчки“ може да са играчки за навиване. Те не са конструктори, затова им рисуваме отделен овал. Жълтата овална „кола за навиване“ се отнася както за комплекта „играчка“, така и е част от по-малкия комплект „играчка за навиване“. Следователно той е изобразен вътре в двата овала наведнъж.

Е, стана ли по-ясно? Ето защо кръговете на Ойлер са метод, който ясно демонстрира: по-добре е да видите веднъж, отколкото да чуете сто пъти. Неговото предимство е, че яснотата опростява разсъжденията и помага за по-бързото и лесно получаване на отговор.

Автор на метода е ученият Леонхард Ойлер (1707-1783). Той каза следното за диаграмите, кръстени на него: „кръговете са подходящи за улесняване на нашето мислене“. Ойлер се счита за немски, швейцарски и дори руски математик, механик и физик. Факт е, че той е работил дълги години в Академията на науките в Санкт Петербург и е допринесъл значително за развитието на руската наука.

Преди него немският математик и философ Готфрид Лайбниц се е ръководил от подобен принцип, когато е конструирал изводите си.

Методът на Ойлер е получил заслужено признание и популярност. И след него много учени го използваха в работата си и също го модифицираха по свой начин. Например чешкият математик Бернард Болцано използва същия метод, но с правоъгълни вериги.

Своя принос има и немският математик Ернест Шрьодер. Но основните заслуги принадлежат на англичанина Джон Вен. Той беше специалист по логика и издаде книгата „Символна логика“, в която подробно очерта своята версия на метода (използваше главно изображения на пресичане на множества).

Благодарение на приноса на Вен, методът дори се нарича диаграми на Вен или диаграми на Ойлер-Вен.

Защо са необходими кръгове на Ойлер?

Кръговете на Ойлер имат приложно предназначение, тоест с тяхна помощ на практика се решават проблеми, свързани с обединяването или пресичането на множества в математиката, логиката, управлението и др.

Ако говорим за видовете кръгове на Ойлер, можем да ги разделим на тези, които описват обединяването на някои понятия (например връзката между род и вид) - разгледахме ги с помощта на пример в началото на статията.

А също и такива, които описват пресичането на множества по някаква характеристика. Джон Вен се ръководи от този принцип в своите схеми. И именно това е в основата на много популярни мемета в интернет. Ето един пример за такива кръгове на Ойлер:

Смешно е, нали? И най-важното, всичко веднага става ясно. Можете да изразходвате много думи, обяснявайки своята гледна точка, или можете просто да нарисувате проста диаграма, която веднага ще постави всичко на мястото му.

Между другото, ако не можете да решите коя професия да изберете, опитайте да нарисувате диаграма под формата на кръгове на Ойлер. Може би рисунка като тази ще ви помогне да направите своя избор:

Тези опции, които ще бъдат в пресечната точка на трите кръга, са професията, която не само ще може да ви нахрани, но и ще ви угоди.

Решаване на задачи с помощта на кръгове на Ойлер

Нека да разгледаме някои примери за проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на кръгове на Ойлер.

Тук на този сайт - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлага интересни и прости задачи, чието решение ще изисква метода на Ойлер. Използвайки логика и математика, ще анализираме един от тях.

Проблем за любимите анимационни филми

Шестокласниците попълниха анкета за любимите си анимационни филми. Оказа се, че повечето от тях харесват „Снежанка и седемте джуджета“, „Спондж Боб“ и „Вълкът и телето“. В класа има 38 ученици. 21 ученици харесват Снежанка и седемте джуджета. Освен това трима от тях харесват и „Вълкът и телето“, шест – „Спондж Боб“, а едно дете харесва еднакво и трите анимационни филма. „Вълкът и телето“ има 13 фенове, петима от които са посочили две карикатури във въпросника. Трябва да определим колко шестокласници харесват Спондж Боб Квадратни гащи.

Решение:

Тъй като според условията на задачата са ни дадени три множества, начертаваме три кръга. И тъй като отговорите на момчетата показват, че множествата се пресичат помежду си, рисунката ще изглежда така:

Спомняме си, че според условията на задачата сред феновете на анимационния филм „Вълкът и телето“ петима момчета избраха две карикатури наведнъж:

Оказва се, че:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – момчетата избраха само „Снежанка и седемте джуджета“.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – момчетата гледат само „Вълкът и телето“.

Остава само да разберем колко шестокласници предпочитат анимационния филм „Спондж Боб Квадратни гащи“ пред другите два варианта. От общия брой на учениците изваждаме всички, които обичат другите два анимационни филма или са избрали няколко варианта:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – хората гледат само „Спондж Боб Квадратни гащи“.

Сега можем спокойно да съберем всички получени числа и да разберем, че:

карикатурата „Спондж Боб Квадратни гащи“ е избрана от 8 + 2 + 1 + 6 = 17 души. Това е отговорът на поставения в задачата въпрос.

Нека също да разгледаме задача, който през 2011 г. беше представен на демонстрационния тест на Единния държавен изпит по компютърни науки и ИКТ (източник - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия на проблема:

В езика за заявки на търсачката символът "|" се използва за означаване на логическата операция "ИЛИ", а символът "&" се използва за логическата операция "И".

Таблицата показва заявките и броя на намерените страници за определен сегмент от Интернет.

Колко страници (в хиляди) ще бъдат намерени за заявката? Крайцер и боен кораб?

Предполага се, че всички въпроси се изпълняват почти едновременно, така че наборът от страници, съдържащ всички търсени думи, не се променя по време на изпълнение на заявките.

Решение:

С помощта на окръжности на Ойлер изобразяваме условията на проблема. В този случай използваме числата 1, 2 и 3, за да обозначим получените области.

Въз основа на условията на проблема създаваме уравненията:

1. крайцер | Боен кораб: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Крайсер: 1 + 2 = 4800
3. Боен кораб: 2 + 3 = 4500

Да намеря Крайцер и боен кораб(посочено на чертежа като област 2), заместете уравнение (2) в уравнение (1) и открийте, че:

4800 + 3 = 7000, от което получаваме 3 = 2200.

Сега можем да заместим този резултат в уравнение (3) и да разберем, че:

2 + 2200 = 4500, от което 2 = 2300.

Отговор: 2300 - броят страници, намерени по заявка Крайцер и боен кораб.

Както можете да видите, кръговете на Ойлер помагат за бързо и лесно решаване на дори доста сложни или просто объркващи проблеми на пръв поглед.

Заключение

Мисля, че успяхме да ви убедим, че кръговете на Ойлер са не само забавно и интересно нещо, но и много полезен метод за решаване на задачи. И не само абстрактни проблеми в уроците в училище, но и съвсем ежедневни проблеми. Избор на бъдеща професия, например.

Вероятно ще ви е любопитно да научите, че в съвременната популярна култура кръговете на Ойлер са отразени не само под формата на мемета, но и в популярни телевизионни сериали. Като „Теория за Големия взрив“ и „4Isla“.

Използвайте този полезен и визуален метод за решаване на проблеми. И не забравяйте да кажете на приятелите и съучениците си за това. За тази цел под артикула има специални бутони.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

История

Определение 1

На Леонхард Ойлер беше зададен въпросът: възможно ли е, докато се разхождате из Кьонигсберг, да обиколите всички мостове на града, без да минавате през нито един от тях два пъти. Включен е план на града със седем моста.

В писмо до италиански математик, когото познава, Ойлер дава кратко и красиво решение на проблема с мостовете в Кьонигсберг: при такова разположение проблемът е неразрешим. В същото време той посочи, че въпросът му се струва интересен, тъй като... „Нито геометрията, нито алгебрата са достатъчни, за да го решат...“.

При решаването на много задачи Л. Ойлер изобразява множества с кръгове, поради което те получават името "Ойлерови кръгове". Преди това този метод е бил използван от немския философ и математик Готфрид Лайбниц, който ги е използвал за геометрично обяснение на логическите връзки между понятията, но по-често използваните линейни диаграми. Ойлер разработи метода доста задълбочено. Графичните методи станаха особено известни благодарение на английския логик и философ Джон Вен, който въведе диаграмите на Вен и подобни диаграми често се наричат Диаграми на Ойлер-Вен. Те се използват в много области, например в теорията на множествата, теорията на вероятностите, логиката, статистиката и компютърните науки.

Принцип на диаграмиране

Досега диаграмите на Ойлер-Вен са широко използвани за схематично изобразяване на всички възможни пресичания на няколко набора. Диаграмите показват всички $2^n$ комбинации от n свойства. Например, когато $n=3$ диаграмата показва три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, който е приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

Логическите операции дефинират таблици на истинност. Диаграмата показва кръг с името на набора, който представлява, например $A$. Областта в средата на кръга $A$ ще представлява истинността на израза $A$, а областта извън кръга ще показва невярно. За да се покаже логическа операция, само онези области са засенчени, в които стойностите на логическата операция за множествата $A$ и $B$ са верни.

Например конюнкцията на две множества $A$ и $B$ е вярна само ако и двете множества са верни. В този случай в диаграмата резултатът от конюнкцията на $A$ и $B$ ще бъде областта в средата на кръговете, която едновременно принадлежи на множеството $A$ и множеството $B$ (пресечната от комплектите).

Фигура 1. Конюнкция на множествата $A$ и $B$

Използване на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства

Нека разгледаме как методът за конструиране на диаграми на Ойлер-Вен се използва за доказване на логически равенства.

Нека докажем закона на Де Морган, който се описва от равенството:

Доказателство:

Фигура 4. Инверсия на $A$

Фигура 5. Инверсия на $B$

Фигура 6. Конюнкция на инверсии $A$ и $B$

След като сравним площта за показване на лявата и дясната част, виждаме, че те са равни. От това следва валидността на логическото равенство. Законът на Де Морган се доказва с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.

Решаване на задачата за търсене на информация в Интернет чрез диаграми на Ойлер-Вен

За търсене на информация в Интернет е удобно да използвате заявки за търсене с логически връзки, подобни по значение на съюзите „и“, „или“ на руски език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако се илюстрират с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.

Пример 1

Таблицата показва примери за заявки към сървъра за търсене. Всяка заявка има свой код - буква от $A$ до $B$. Трябва да подредите кодовете на заявките в низходящ ред на броя страници, намерени за всяка заявка.

Фигура 7.

Решение:

Нека изградим диаграма на Ойлер-Вен за всяка заявка:

Фигура 8.

Отговор: BVA.

Решаване на логически значим проблем с помощта на диаграми на Ойлер-Вен

Пример 2

През зимната ваканция от $36$ ученици от $2$ клас не са ходили на кино, театър или цирк. $25$ души отидоха на кино, $11$ хора отидоха на театър, $17$ хора отидоха на цирк; както в киното, така и в театъра - $6$; както на кино, така и на цирк - $10$; а на театър и цирк - 4$.

Колко хора са били на кино, театър и цирк?

Решение:

Нека означим с $x$ броя на децата, които са били на кино, театър и цирк.

Нека изградим диаграма и да разберем броя на момчетата във всяка област:

Фигура 9.

Не съм бил на театър, кино или цирк - 2$ на човек.

И така, $36 - 2 = $34 души. посетени събития.

$6$ души са ходили на кино и театър, което означава само на кино и театър ($6 - x)$ души.

$10$ хора са ходили на кино и цирк, което означава само на кино и цирк ($10 - x$) хора.

$4$ души отидоха на театър и цирк, което означава, че само $4 - x$ души отидоха на театър и цирк.

$25$ души са отишли ​​на кино, което означава, че $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ са отишли ​​само на кино.

По същия начин само ($1+x$) хора отидоха на театър.

Само ($3+x$) души отидоха на цирк.

И така, отидохме на театър, кино и цирк:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

Тези. само един човек е ходил на театър, кино и цирк.

Федерална агенция за образование

Държавна образователна институция за висше професионално образование

Национални изследвания

Томски политехнически университет

Институт по природни ресурси

Катедра ВМ

РЕЗЮМЕ

Предмет : « Диаграма на Ойлер-Вен»

Изпълнител:

Студент от група 2U00

Ръководител:

Въведение…………………………………………………………………………………..3

1. От историята………………………………………………………………………………….….…..4

2. Диаграма на Ойлер-Вен……………………………………………………………….…..4

3. Операции върху набори от диаграми на Ойлер-Вен………………….5

а) Асоциация……………………….. ……………………………….……7

б) Пресичане, добавяне………………….……………………………..7

в) Стрела на Пърс, удар и разлика на Шефър..................................8

г) Разлика………………………………………………………………8

д) Симетрична разлика и еквивалентност…………………….…….9

Заключение………………………………………………………………………………………10

Препратки……………………………………………………….………..11

Въведение

Кръговете на Ойлер са геометрична диаграма, която може да се използва за изобразяване на връзки между подмножества за визуално представяне. Кръговете са изобретени от Леонхард Ойлер. Използва се в математиката, логиката, управлението и други приложни области.

Важен специален случай на кръговете на Ойлер са диаграмите на Ойлер-Вен, които изобразяват всичките 2n комбинации от n свойства, тоест крайна булева алгебра. Когато n = 3, диаграмата на Ойлер-Вен обикновено се изобразява като три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

При решаването на редица проблеми Леонхард Ойлер използва идеята за представяне на множества с помощта на кръгове. Този метод обаче е използван още преди Ойлер от изключителен немски философ и математик (1646-1716). Лайбниц ги използва за геометрична интерпретация на логическите връзки между понятията, но все пак предпочита да използва линейни диаграми.

Но самият Л. Ойлер разработи този метод доста задълбочено. Кръговият метод на Ойлер е използван и от немския математик Ернст Шрьодер (1841-1902) в книгата му “Алгебра на логиката”. Особен разцвет графичните методи достигат в трудовете на английския логик Джон Вен (1843-1923), който ги очертава подробно в книгата „Символна логика“, публикувана в Лондон през 1881 г. Следователно такива диаграми понякога се наричат ​​диаграми на Ойлер-Вен.

1.От историята

Леонард Ойлер(1707 - 1783, Санкт Петербург, Руска империя) - математик, механик, физик. Адюнкт по физиология, професор по физика, професор по висша математика, със значителен принос за развитието на математиката, както и на механиката, физиката, астрономията и редица приложни науки.

Ойлер е автор на повече от 800 труда по математически анализ, диференциална геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математическа физика, оптика, балистика, корабостроене, музикална теория и др.

Той прекарва почти половината си живот в Русия, където има значителен принос за развитието на руската наука. През 1726 г. е поканен да работи в Санкт Петербург, където се премества година по-късно. От 1711 до 1741 г., а също и от 1766 г., той е академик на Петербургската академия на науките (през 1741-1766 г. работи в Берлин, като в същото време остава почетен член на Петербургската академия). Той знае добре руски език и публикува някои от трудовете си (особено учебници) на руски език. Първите руски академични математици (С. К. Котелников) и астрономи (С. Я. Румовски) са ученици на Ойлер. Някои от неговите потомци все още живеят в Русия.

Джон Вен (1, английски логик. Работи в областта на класовата логика, където създава специален графичен апарат (т.нар. диаграми на Вен), който намира приложение в логико-математическата теория на „формалните невронни мрежи“. Вен отговаря за обосновката на обратните операции в логическото смятане на Дж. Бул е област на интерес на Джон и той публикува три произведения по тази тема: Логиката на шанса, която въвежда тълкуването на честотата или честотната теория на вероятността. 1866 г., с която бяха въведени диаграми на Вен през 1881 г., което дава обосновка на обратните операции в булевата логика.

В математиката чертежите под формата на кръгове, представляващи множества, се използват от много дълго време. Един от първите, които използваха този метод, беше изключителен немски математик и философ (1 Чертежи с такива кръгове бяха открити в неговите груби скици. След това този метод беше доста задълбочено разработен от Леонхард Ойлер. Той работи дълги години в Академията на Санкт Петербург Науки.Времето датира от неговите известни „Писма до една немска принцеса“, написани в периода от 1761 до 1768 г. В някои от тези „Писма...“ Ойлер говори за своя метод след Ойлер от чешкия математик Бернард Болцано (1Само през За разлика от Ойлер, той рисува не кръгли, а правоъгълни диаграми. Методът на Ойлер за кръгове е използван и от немския математик Ернест Шрьодер (1Този метод е широко използван в книгата „Алгебра на логиката“. Но графичните методи достигат своя най-голям разцвет в произведенията на английския логик Джон Вен (1C този метод достига най-голямата си пълнота, методът е очертан от него в книгата „Символична логика“, публикувана в Лондон през 1881 г. В чест на Вен, вместо кръгове на Ойлер, съответните чертежи понякога се наричат ​​диаграми на Вен; в някои книги те се наричат ​​още диаграми на Ойлер-Вен (или кръгове).

2. Диаграма на Ойлер-Вен

Понятията множество и подмножество се използват в дефиницията на много понятия в математиката и по-специално в дефиницията на геометрична фигура. Нека дефинираме равнината като универсално множество. Тогава можем да дадем следната дефиниция на геометрична фигура в планиметрията:

Геометрична фигуравсяко множество от точки на равнина се нарича. За визуално показване на набори и връзки между тях, нарисувайте геометрични фигури, които са в тези отношения една с друга. Такива изображения на множества се наричат ​​диаграми на Ойлер-Вен. Диаграмите на Ойлер-Вен правят ясни различни твърдения за множествата. На тях универсалното множество е изобразено като правоъгълник, а неговите подмножества като кръгове. Използва се в математиката, логиката, управлението и други приложни области.

Диаграмата на Ойлер-Вен се състои от голям правоъгълник, представляващ универсалното множество U, а вътре в него - кръгове (или други затворени фигури), представляващи множества. Формите трябва да се пресичат по най-общия начин, изискван от проблема, и трябва да бъдат съответно етикетирани. Точките, разположени в различни области на диаграмата, могат да се разглеждат като елементи на съответните множества. С изградената диаграма можете да засенчвате определени области, за да посочите новосформирани комплекти.

Основни операции върху множества:

Разлика в съюза на кръстовището

3.Операции върху множества от диаграми на Ойлер-Вен

Операциите с множества се считат за получаване на нови множества от съществуващи.

Сега по-подробно с примери.

Нека е дадено определено множество от обекти, което след преизчисляване може да се означи като

A = (1, 2, 4, 6) и B = (2, 3, 4, 8, 9)

кръгли и бели предмети. Можете да се обадите на оригиналния комплект фундаментален, а подмножествата A и B са просто комплекти.

В резултат на това получаваме четири класа елементи:

° С 0 = (5, 7, 10, 11) - елементите нямат нито едно от посочените свойства,

° С 1 = (1, 6) - елементите имат само свойство A (кръгло),

° С 2 = (3, 8, 9) - елементите имат само свойство B (бяло),

° С 3 = (2, 4) - елементите едновременно притежават две свойства A и B.

На фиг. 1.1. посочените класове са изобразени с помощта на Диаграми на Ойлер - Вен.

Ориз. 1.1

Често диаграмите нямат пълна общност, например тази, показана на фиг. 1.2. На него множеството A вече е напълно включено в B. За този случай се използва специален символ за включване (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Ако две условия са изпълнени едновременно: A Ì B и B Ì A, тогава A = B, в този случай казват, че множествата A и B напълно равностойни.

Ориз. 1.2

След като са дефинирани четирите класа елементи и е дадена необходимата информация за диаграмите на Ойлер-Вен, въвеждаме операции върху множества. Първо, нека разгледаме операцията асоциации.

а) Асоциация

Асоциациякомплекти A = (1, 2, 4, 6) и B = (2, 3, 4, 8, 9)

да се обадим на комплекта

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

където È е символът за обединението на множества. По този начин обединението обхваща три класа елементи - ° С 1, ° С 2 и ° С 3, които са защриховани на диаграмата (фиг. 1.3).

Логично операцията по комбиниране на две множества може да се характеризира с думите: елемент хпринадлежи на множество A или множество B. В този случай съединителят „или“ едновременно означава съединителят „и“. Факт на собственост на елемента хмножество A се означава като хО А. Следователно какво хпринадлежи на А или/и B, изразено с формулата:

хÎ A È B = ( хÎ A) Ú ( хО Б),

където Ú е символът на логическата връзка или, която се нарича дизюнкция.

б) Пресичане, добавяне

Чрез пресичанемножества A и B се нарича множество A Ç B, съдържащо онези елементи от A и B, които са включени едновременно в двете множества. За нашия числен пример ще имаме:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = ° С 3.

Диаграмата на Ойлер-Вен за пресичане е показана на фиг. 1.4.

Какво хпринадлежи едновременно на две множества A и B може да се представи с израза:

хÎ A Ç B = ( хÎ A) Ù ( хО Б),

където Ù е символът на логическия съединител „и”, който се нарича съчетание.

Нека си представим операция, която води до засенчени области ° С 1 и ° С 3, образувайки набор А (фиг. 1.5). След това друга операция, която ще обхване други две области - ° С 0 и ° С 2 не е включено в A, което се обозначава като А(фиг. 1.6).

Ако комбинираме защрихованите области в двете диаграми, получаваме целия защрихован набор 1; пресечната точка на A и Аще даде празния набор 0, който не съдържа нито един елемент:

A È А= 1, A Ç А = 0.

Няколко А допълванабор A към основен набор V (или 1); оттук и името: допълнителеннабор A, или допълнениекато операция. Допълнение на булева променлива х, т.е. х (Не- х), наричан най-често отрицание на х.

След въвеждане на операциите на пресичане и събиране, всичките четири области CiДиаграмата на Ойлер-Вен може да се изрази по следния начин:

° С 0 = А Ç б, ° С 1 = A Ç б, ° С 2 = АÇ B, ° С 3 = A Ç B.

Чрез комбиниране на съответните области CiМожете да си представите всяка многократна операция, включително самото обединение:

A È B = (A Ç б) È ( АÇ B) È (A Ç B).

Диаграмата на Ойлер-Вен за импликация (фиг. 1.10) показва частичновключване на множество А в множество Б, което трябва да се разграничава от пъленвключвания (фиг. 1.2).

Ако е посочено, че "елементите от множество A са включени в множество B", тогава домейнът ° С 3 трябва да бъдат засенчени, а областта ° С 1 със същата необходимост да се остави бял. Относно областите ° С 0 и ° С 1 намиращ се в А, имайте предвид, че нямаме право да ги оставяме бели, но все пак сме длъжни на зони, които попадат в А, сянка.

Д) Симетрична разлика и еквивалентност

Остава да дадем още две взаимно допълващи се операции - симетрична разлика и еквивалентност. Симетричната разлика на две множества A и B е обединението на две разлики:

A + B = (A – B) È (B – A) = ° С 1 Е ° С 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Еквивалентността се определя от тези елементи на множества A и B, които са общи за тях. Елементите, които не са нито в A, нито в B, също се считат за еквивалентни:

A ~ B = ( АÇ B) È (A Ç б) = ° С 0 È ° С 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

На фиг. Фигури 1.11 и 1.12 показват оцветяването на диаграмите на Ойлер-Вен.

В заключение отбелязваме, че симетричната разлика има няколко имена: строга дизюнкция, изключваща алтернатива, сума по модул две. Тази операция може да се изрази с думи - „или А, или Б“, т.е. това е логически съединител „или“, но без включен съединител „и“.

Заключение

Диаграмите на Ойлер-Вен са геометрични изображения на множества. Простата диаграма осигурява визуално представяне на универсалния набор U, а вътре в него - кръгове (или други затворени фигури), представляващи множества. Фигурите се пресичат в най-общия изискуем в задачата случай и съответстват на образното изображение. Точките, разположени в различни области на диаграмата, могат да се разглеждат като елементи на съответните множества. С изградената диаграма можете да засенчвате определени области, за да посочите новосформирани набори. Това ни позволява да имаме най-пълното разбиране на проблема и неговото решение. Опростеността на диаграмите на Ойлер-Вен позволява тази техника да се използва в области като математика, логика, управление и други приложни области.

Библиография

1. Речник по логика. - М.: Туманит, изд. център ВЛАДОС. , . 1997 г

2. Weisstein, Eric W. „Диаграма на Вен“ (английски) на уебсайта Wolfram MathWorld.

История

Определение 1

На Леонхард Ойлер беше зададен въпросът: възможно ли е, докато се разхождате из Кьонигсберг, да обиколите всички мостове на града, без да минавате през нито един от тях два пъти. Включен е план на града със седем моста.

В писмо до италиански математик, когото познава, Ойлер дава кратко и красиво решение на проблема с мостовете в Кьонигсберг: при такова разположение проблемът е неразрешим. В същото време той посочи, че въпросът му се струва интересен, тъй като... „Нито геометрията, нито алгебрата са достатъчни, за да го решат...“.

При решаването на много задачи Л. Ойлер изобразява множества с кръгове, поради което те получават името "Ойлерови кръгове". Преди това този метод е бил използван от немския философ и математик Готфрид Лайбниц, който ги е използвал за геометрично обяснение на логическите връзки между понятията, но по-често използваните линейни диаграми. Ойлер разработи метода доста задълбочено. Графичните методи станаха особено известни благодарение на английския логик и философ Джон Вен, който въведе диаграмите на Вен и подобни диаграми често се наричат Диаграми на Ойлер-Вен. Те се използват в много области, например в теорията на множествата, теорията на вероятностите, логиката, статистиката и компютърните науки.

Принцип на диаграмиране

Досега диаграмите на Ойлер-Вен са широко използвани за схематично изобразяване на всички възможни пресичания на няколко набора. Диаграмите показват всички $2^n$ комбинации от n свойства. Например, когато $n=3$ диаграмата показва три кръга с центрове във върховете на равностранен триъгълник и същия радиус, който е приблизително равен на дължината на страната на триъгълника.

Логическите операции дефинират таблици на истинност. Диаграмата показва кръг с името на набора, който представлява, например $A$. Областта в средата на кръга $A$ ще представлява истинността на израза $A$, а областта извън кръга ще показва невярно. За да се покаже логическа операция, само онези области са засенчени, в които стойностите на логическата операция за множествата $A$ и $B$ са верни.

Например конюнкцията на две множества $A$ и $B$ е вярна само ако и двете множества са верни. В този случай в диаграмата резултатът от конюнкцията на $A$ и $B$ ще бъде областта в средата на кръговете, която едновременно принадлежи на множеството $A$ и множеството $B$ (пресечната от комплектите).

Фигура 1. Конюнкция на множествата $A$ и $B$

Използване на диаграми на Ойлер-Вен за доказване на логически равенства

Нека разгледаме как методът за конструиране на диаграми на Ойлер-Вен се използва за доказване на логически равенства.

Нека докажем закона на Де Морган, който се описва от равенството:

Доказателство:

Фигура 4. Инверсия на $A$

Фигура 5. Инверсия на $B$

Фигура 6. Конюнкция на инверсии $A$ и $B$

След като сравним площта за показване на лявата и дясната част, виждаме, че те са равни. От това следва валидността на логическото равенство. Законът на Де Морган се доказва с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.

Решаване на задачата за търсене на информация в Интернет чрез диаграми на Ойлер-Вен

За търсене на информация в Интернет е удобно да използвате заявки за търсене с логически връзки, подобни по значение на съюзите „и“, „или“ на руски език. Значението на логическите връзки става по-ясно, ако се илюстрират с помощта на диаграми на Ойлер-Вен.

Пример 1

Таблицата показва примери за заявки към сървъра за търсене. Всяка заявка има свой код - буква от $A$ до $B$. Трябва да подредите кодовете на заявките в низходящ ред на броя страници, намерени за всяка заявка.

Фигура 7.

Решение:

Нека изградим диаграма на Ойлер-Вен за всяка заявка:

Фигура 8.

Отговор: BVA.

Решаване на логически значим проблем с помощта на диаграми на Ойлер-Вен

Пример 2

През зимната ваканция от $36$ ученици от $2$ клас не са ходили на кино, театър или цирк. $25$ души отидоха на кино, $11$ хора отидоха на театър, $17$ хора отидоха на цирк; както в киното, така и в театъра - $6$; както на кино, така и на цирк - $10$; а на театър и цирк - 4$.

Колко хора са били на кино, театър и цирк?

Решение:

Нека означим с $x$ броя на децата, които са били на кино, театър и цирк.

Нека изградим диаграма и да разберем броя на момчетата във всяка област:

Фигура 9.

Не съм бил на театър, кино или цирк - 2$ на човек.

И така, $36 - 2 = $34 души. посетени събития.

$6$ души са ходили на кино и театър, което означава само на кино и театър ($6 - x)$ души.

$10$ хора са ходили на кино и цирк, което означава само на кино и цирк ($10 - x$) хора.

$4$ души отидоха на театър и цирк, което означава, че само $4 - x$ души отидоха на театър и цирк.

$25$ души са отишли ​​на кино, което означава, че $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ са отишли ​​само на кино.

По същия начин само ($1+x$) хора отидоха на театър.

Само ($3+x$) души отидоха на цирк.

И така, отидохме на театър, кино и цирк:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

Тези. само един човек е ходил на театър, кино и цирк.