4 х размерни фигури. Четириизмерен куб

Бакалар Мария

Изучават се методи за въвеждане на концепцията за четириизмерен куб (тесеракт), неговата структура и някои свойства.Въпросът кои триизмерни обекти се получават, когато четириизмерен куб се пресича от хиперравнини, успоредни на триизмерните му лица, както и хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал, са изследвани. Разглежда се апаратът за многоизмерна аналитична геометрия, използван за изследване.

Изтегли:

Визуализация:

Въведение ………………………………………………………………………………… .2

Основна част ……………………………………………………………………… ..4

Заключения ………… .. ……………………………………………………… ..12

Литература …………………………………………………………………… ..13

Въведение

Четириизмерното пространство отдавна привлича вниманието както на професионални математици, така и на хора, далеч от преследването на тази наука. Интересът към четвъртото измерение може да се дължи на предположението, че нашият триизмерен свят е „потопен“ в четириизмерно пространство, точно както равнината е „потопена“ в триизмерно пространство, правата линия е „потопена“ в равнина, а точката е в права линия. В допълнение, четириизмерното пространство играе важна роля в съвременната теория на относителността (т.нар. пространство-време или пространство на Минковски) и може да се разглежда като специален случайразмерно евклидово пространство (за).

Четиримерният куб (тесеракт) е обект от четириизмерно пространство, който има максимално възможно измерение (точно както обикновеният куб е обект от триизмерно пространство). Имайте предвид, че той също е от непосредствен интерес, а именно, може да се появи в оптимизационни проблеми на линейното програмиране (като област, в която се търси минимумът или максимумът на линейна функция от четири променливи), а също така се използва в цифровата микроелектроника (когато програмиране на работата на дисплей с електронен часовник). Освен това самият процес на изучаване на четириизмерен куб допринася за развитието на пространственото мислене и въображението.

Следователно изследването на структурата и специфичните свойства на четириизмерния куб е доста актуално. Трябва да се отбележи, че по отношение на структурата, четириизмерният куб е проучен доста добре. Много по-голям интерес представлява характерът на нейните сечения от различни хиперплоскости. По този начин основната цел на тази работа е да проучи структурата на тесеракта, както и да изясни въпроса какви триизмерни обекти ще се получат, ако четириизмерен куб бъде разчленен от хиперравнини, успоредни на една от неговите триизмерни размерни лица или чрез хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Хиперравнина в четириизмерно пространство е триизмерно подпространство. Можем да кажем, че права линия върху равнина е едномерна хиперплоскост, равнината в триизмерно пространство е двумерна хиперплоскост.

Поставената цел определи целите на изследването:

1) Изучаване на основните факти на многомерната аналитична геометрия;

2) Изучаване на характеристиките на изграждане на кубчета с размери от 0 до 3;

3) Изучаване на структурата на четириизмерен куб;

4) Опишете аналитично и геометрично четириизмерен куб;

5) Направете модели на размах и централни проекции на триизмерни и четириизмерни кубчета.

6) Използвайки апарата за многоизмерна аналитична геометрия, опишете триизмерни обекти, получени в резултат на пресичането на четириизмерен куб от хиперравнини, успоредни на една от триизмерните му лица, или чрез хиперплощини, перпендикулярни на главния му диагонал.

Получената по този начин информация ще позволи да се разбере по-добре структурата на тесеракта, както и да се разкрие дълбока аналогия в структурата и свойствата на кубчетата с различни размери.

Главна част

Първо, описваме математическия апарат, който ще използваме в хода на това изследване.

1) Векторни координати: ако, тогава

2) Уравнението на хиперравнина с нормален векторима формата Тук

3) Самолети и са успоредни, ако и само ако

4) Разстоянието между две точки се определя, както следва: ако, тогава

5) Условие за ортогоналност за вектори:

Първо, нека да разберем как можете да опишете четириизмерен куб. Това може да стане по два начина – геометричен и аналитичен.

Ако говорим за геометричния метод на присвояване, тогава тук е препоръчително да се проследи процеса на изграждане на кубчета, като се започне от нулево измерение. Кубът с нулево измерение е точка (между другото имайте предвид, че точката може да играе и ролята на топка с нулево измерение). След това въвеждаме първото измерение (ос на абсцисите) и маркираме две точки (два нулемерни куба) върху съответната ос, които са на разстояние 1 една от друга. Полученият сегмент е едномерен куб. Нека веднага да отбележим една характерна особеност: Границата (краищата) на едномерен куб (сегмент) са два нулемерни куба (две точки). След това въвеждаме второто измерение (ос на ординатата) и върху равнинатаконструираме два едномерни куба (два сегмента), чиито краища са на разстояние 1 един от друг (всъщност единият от сегментите е ортогонална проекция на другия). Свързвайки съответните краища на сегментите, получаваме квадрат - двуизмерен куб. Отново обърнете внимание, че границата на двуизмерен куб (квадрат) е четири едномерни куба (четири отсечки). Накрая въвеждаме третото измерение (приложната ос) и начертаваме в пространствотодва квадрата по такъв начин, че единият от тях да е ортогонална проекция на другия (докато съответните върхове на квадратите са на разстояние 1 един от друг). Свързваме съответните върхове със сегменти - получаваме триизмерен куб. Виждаме, че границата на триизмерен куб е шест двуизмерни куба (шест квадрата). Описаните конструкции позволяват да се разкрие следния модел: на всяка стъпкаразмерният куб се "движи, оставяйки следа" вe измерване на разстояние 1, докато посоката на движение е перпендикулярна на куба. Формалното продължение на този процес ни позволява да стигнем до концепцията за четириизмерен куб. А именно, нека накараме триизмерния куб да се движи в посока на четвъртото измерение (перпендикулярно на куба) на разстояние 1. Действайки подобно на предишния, тоест свързвайки съответните върхове на кубовете, ще получим четириизмерен куб. трябва да се отбележи, че геометрично подобна конструкция е невъзможна в нашето пространство (защото е триизмерна), но тук не срещаме никакви противоречия от логическа гледна точка. Сега да преминем към аналитичното описание на четириизмерния куб. Получава се и формално, по аналогия. И така, аналитичната спецификация на куб с нулево измерение е както следва:

Аналитичната спецификация на едномерния единичен куб е както следва:

Аналитичната спецификация на двуизмерен единичен куб е както следва:

Аналитичната задача на триизмерен единичен куб е както следва:

Сега е много лесно да се даде аналитично представяне на четириизмерен куб, а именно:

Както можете да видите, както в геометричните, така и в аналитичните методи за дефиниране на четириизмерен куб е използван методът на аналогията.

Сега, използвайки апарата на аналитичната геометрия, ще разберем каква е структурата на четириизмерния куб. Първо, нека разберем какви елементи са включени в него. Тук отново можете да използвате аналогия (за да поставите хипотеза). Границата на едномерен куб са точки (нулевомерни кубове), двумерен куб - сегменти (едномерни кубове), триизмерен куб - квадрати (двумерни лица). Може да се предположи, че границата на тесеракта е триизмерни кубчета. За да докажем това, нека изясним какво се разбира под върхове, ръбове и лица. Нека наречем ъгловите му точки върховете на куба. Тоест координатите на върховете могат да бъдат нули или единици. Така се намира връзка между размерността на куба и броя на неговите върхове. Прилагаме правилото за комбинаторно произведение - тъй като върхаразмерен куб има точнокоординати, всяка от които е равна на нула или единица (независимо от всички останали), тогава общо имавърхове. Така във всеки връх всички координати са фиксирани и могат да бъдат равниили ... Ако фиксираме всички координати (поставяйки всяка от тях равниили , независимо от останалите), с изключение на един, тогава получаваме прави линии, съдържащи ръбовете на куба. Подобно на предишния, можете да преброите, че има точно такиванеща. И ако сега фиксираме всички координати (поставяйки всяка от тях равниили , независимо от другите), с изключение на някои две, получаваме равнини, съдържащи двумерни кубични лица. Използвайки комбинаторното правило, откриваме, че има точно такиванеща. Освен това, по подобен начин - фиксиране на всички координати (поставяне на всяка една от тяхили , независимо от другите), с изключение на някои три, получаваме хиперравнини, съдържащи триизмерни кубични лица. Използвайки същото правило, изчисляваме техния брой - точнои т.н. Това ще бъде достатъчно за нашето изследване. Нека приложим получените резултати към структурата на четириизмерен куб, а именно във всички извлечени формули, които поставяме... Следователно, четириизмерният куб има: 16 върха, 32 ръба, 24 двуизмерни лица и 8 триизмерни лица. За по-голяма яснота нека дефинираме аналитично всички негови елементи.

Върховете на четириизмерния куб:

Ръбовете на четириизмерния куб ():

2D лица на 4D куб (подобни ограничения):

Триизмерни лица на четириизмерен куб (подобни ограничения):

Сега, когато структурата на четириизмерния куб и методите за неговото присвояване са описани с достатъчна пълнота, ще преминем към изпълнението на основната цел - да изясним същността на различните секции на куба. Нека започнем с елементарния случай, когато секциите на куб са успоредни на една от неговите триизмерни лица. Например, разгледайте неговите секции от хиперплоскости, успоредни на лицетоОт аналитичната геометрия е известно, че всяко такова сечение ще бъде дадено от уравнениетоНека зададем съответните секции аналитично:

Както можете да видите, аналитичната задача на триизмерен единичен куб, лежащ в хиперравнина, е получена

За да установим аналогия, ние записваме сечението на триизмерен куб от равнинатаПолучаваме:

Това е квадрат, лежащ в равнина... Аналогията е очевидна.

Разрези на четириизмерен куб от хиперравнинидават напълно сходни резултати. Това също ще бъдат единични триизмерни кубове, лежащи в хиперравнинисъответно.

Сега ще разгледаме сечения на четириизмерен куб от хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Нека първо решим тази задача за триизмерен куб. Използвайки описания по-горе метод за определяне на единичен триизмерен куб, той заключава, че като основен диагонал може да се вземе например сегмент с краищаи ... Следователно векторът на главния диагонал ще има координати... Следователно уравнението на всяка равнина, перпендикулярна на главния диагонал, ще има вида:

Определете границите на промяната на параметъра... Защото , тогава, добавяйки тези неравенства член по член, получаваме:

Или .

Ако, тогава (поради ограничения). По същия начин, ако, тогава . Следователно, за и за режещата равнина и кубът имат точно една обща точка (и съответно). Сега нека отбележим следното. Ако(отново поради променливи ограничения). Съответните равнини пресичат три лица наведнъж, защото в противен случай режещата равнина би била успоредна на една от тях, което не е така по условие. Ако, тогава равнината пресича всички лица на куба. Ако, тогава равнината пресича лицата... Нека представим съответните изчисления.

Нека бъде След това самолетътпресича линиятапо права линия, освен това. Освен това Edge. Ръб, край равнината се пресича по права линия, и

Нека бъде След това самолетътпресича линията:

прав край, освен това.

прав край, освен това.

прав край, освен това.

прав край, освен това.

прав край, освен това.

прав край, освен това.

Този път се получават шест сегмента, имащи последователно общи краища:

Нека бъде След това самолетътпресича линиятапо права линия, освен това. Ръб, край равнината се пресича по права линия, освен това. Ръб, край равнината се пресича по права линия, и ... Тоест се получават три сегмента, които имат по двойки общи краища:По този начин за посочените стойности на параметъраравнината ще пресече куба в правилен триъгълник с върхове

И така, ето изчерпателно описание на плоските фигури, получени, когато кубът се пресече от равнина, перпендикулярна на главния му диагонал. Основната идея беше следната. Необходимо е да се разбере кои лица пресича равнината, по какви множества ги пресича, как тези множества са свързани помежду си. Например, ако се окаже, че равнината пресича точно три лица по отсечки, които имат по двойки общи краища, тогава сечението е равностранен триъгълник (което се доказва чрез директно изчисляване на дължините на сегментите), чиито върхове са тези краищата на сегментите.

Използвайки същия апарат и същата идея за изследване на напречни сечения, следните факти могат да бъдат извлечени по напълно аналогичен начин:

1) Векторът на един от основните диагонали на четириизмерния единичен куб има координати

2) Всяка хиперравнина, перпендикулярна на главния диагонал на четириизмерен куб, може да се запише като.

3) В уравнението на секучната хиперравнина параметърътможе да варира от 0 до 4;

4) За и секущата хиперравнина и четириизмерният куб имат една обща точка (и съответно);

5) Кога в секцията ще се получи правилен тетраедър;

6) Кога в секцията ще се получи октаедър;

7) Кога в секцията ще се получи правилен тетраедър.

Съответно тук хиперравнината пресича тесеракта по равнината, върху която поради ограниченията на променливите се разграничава триъгълна област (аналогия - равнината пресича куба по права линия, върху която поради ограниченията на променливи, е избран сегмент). В случай 5) хиперравнината пресича точно четири триизмерни лица на тесеракта, тоест се получават четири триъгълника, които имат по двойки общи страни, с други думи, образувайки тетраедър (както може да се изчисли, това е правилно). В случай 6) хиперравнината пресича точно осем триизмерни лица на тесеракта, тоест получават се осем триъгълника, които имат последователно общи страни, с други думи, образувайки октаедър. Случай 7) е напълно подобен на случай 5).

Нека илюстрираме казаното с конкретен пример. А именно, ние изследваме сечението на четириизмерния куб от хиперравнинатаПоради ограниченията на променливите, тази хиперравнина пресича следните триизмерни лица:Ръб, край пресича на равнинаПоради ограниченията на променливите имаме:Получаваме триъгълна област с върховеосвен това,получаваме триъгълникКогато хиперравнина пресича лицеполучаваме триъгълникКогато хиперравнина пресича лицеполучаваме триъгълникПо този начин върховете на тетраедъра имат следните координати... Лесно е да се изчисли, че този тетраедър наистина е правилен.

заключения

И така, в процеса на това изследване бяха изследвани основните факти на многомерната аналитична геометрия, проучени са особеностите на конструирането на кубове с размери от 0 до 3, проучена е структурата на четириизмерен куб, четириизмерен куб е изследван описани аналитично и геометрично, бяха направени модели на завъртания и централни проекции на триизмерни и четириизмерни кубове, триизмерни обекти, получени в резултат на пресичане на четириизмерен куб от хиперравнини, успоредни на една от неговите триизмерни лица, или чрез хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал.

Изследването даде възможност да се разкрие дълбока аналогия в структурата и свойствата на кубчетата с различни размери. Използваната техника за аналогия може да се приложи в изследвания, напр.размерна сфера илиразмерен симплекс. а именно,една размерна сфера може да бъде дефинирана като набор от точкиразмерно пространство на еднакво разстояние от дадена точка, която се нарича център на сферата. освен това,размерният симплекс може да се дефинира като частразмерно пространство, ограничено от минималния бройразмерни хиперравнини. Например, едномерният симплекс е сегмент (част от едномерно пространство, ограничено от две точки), двумерният симплекс е триъгълник (част от двумерно пространство, ограничено от три прави линии), триизмерният симплекс е тетраедър (част от триизмерно пространство, ограничено от четири равнини). накрая,размерният симплекс се дефинира като частразмерно пространство, ограниченохиперплоскост на измерението.

Имайте предвид, че въпреки многобройните приложения на тесеракта в някои области на науката, това изследване все още е до голяма степен математическо изследване.

Библиография

1) Бугров Ю.С., Николски С.М.Висша математика, т.1 –М .: Дропла, 2005 - 284 с.

2) Квант. Четиримерен куб / Дужин С., Рубцов В., No 6, 1986.

3) Количество. Как да рисувам премерен куб / Демидович Н.Б., No8, 1974г.

В геометрията хиперкуб- това е н-размерна аналогия на квадрата ( н= 2) и куб ( н= 3). Това е затворена, изпъкнала форма, съставена от групи от успоредни линии, разположени в противоположните ръбове на формата и свързани една с друга под прав ъгъл.

Тази фигура е известна още като тесеракт(тесеракт). Тесеракт се отнася до куб, както кубът се отнася до квадрат. По-формално, тесерактът може да бъде описан като правилен изпъкнал четириизмерен многогранник (политоп), чиято граница се състои от осем кубични клетки.

Според Оксфордския английски речник, тесерактът е измислен през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън и използван в книгата му „Нова ера на мисълта“. Думата е образувана от гръцкото „τεσσερες ακτινες“ („четири лъча“), има четири оси на координати. Освен това в някои източници се наричаше същата цифра тетракуб(тетракуб).

н-размерен хиперкуб се нарича още n-куб.

Точката е хиперкуб с размерност 0. Ако преместите точка с единица дължина, ще получите сегмент с единична дължина - хиперкуб с размерност 1. Освен това, ако преместите сегмент с единица дължина в перпендикулярната посока към посоката на отсечката, получавате куб - хиперкуб с размерност 2. Измествайки квадрат с единица дължина в посока, перпендикулярна на равнината на квадрата, се получава куб - хиперкуб с размерност 3. Този процес може да се обобщи до произволен брой измерения. Например, ако преместите куб с една единица дължина в четвъртото измерение, ще получите тесеракт.

Семейството хиперкубове е един от малкото правилни полиедри, които могат да бъдат представени във всяко измерение.

Хиперкуб елементи

Измерителен хиперкуб нима 2 н"страни" (едномерна линия има 2 точки; двумерен квадрат - 4 страни; триизмерен куб - 6 лица; четириизмерен тесеракт - 8 клетки). Броят на върховете (точките) на хиперкуба е 2 н(например за куб - 2 3 върха).

количество м-мерни хиперкубове на границата н-куб е равен

Например, границата на хиперкуб съдържа 8 куба, 24 квадрата, 32 ръба и 16 върха.

Равнинска проекция

Формирането на хиперкуб може да бъде представено по следния начин:

• Две точки A и B могат да бъдат свързани, за да образуват отсечка AB.
• Два успоредни отсечки AB и CD могат да бъдат свързани, за да образуват квадрат ABCD.
• Два успоредни квадрата ABCD и EFGH могат да бъдат свързани, за да образуват куб ABCDEFGH.
• Два паралелни куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могат да бъдат свързани, за да образуват хиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последната структура не е лесна за представяне, но е възможно да се изобрази нейната проекция върху 2D или 3D пространство. Освен това, проекциите върху 2D равнина могат да бъдат по-полезни, като могат да пренареждат позициите на проектираните върхове. В този случай можете да получите изображения, които вече не отразяват пространствените отношения на елементите в тесеракта, но илюстрират структурата на връзките на върховете, както е в примерите по-долу.

Първата илюстрация показва как по принцип се образува тесеракт чрез свързване на два кубчета. Тази диаграма е подобна на диаграмата за създаване на двуквадратен куб. Втората диаграма показва, че всички ръбове на тесеракта имат еднаква дължина. Тази схема също ви принуждава да търсите кубчета, свързани един с друг. В третата диаграма върховете на тесеракта са разположени в съответствие с разстоянията по ръбовете спрямо долната точка. Тази схема е интересна с това, че се използва като основна схема за мрежовата топология на свързване на процесори при организиране на паралелни изчисления: разстоянието между всеки два възела не надвишава 4 дължини на ръба и има много различни начини за балансиране на натоварването.

Хиперкуб в изкуството

Хиперкубът се появява в научно-фантастичната литература от 1940 г., когато Робърт Хайнлайн в разказа „И той построи крива къща“ описва къща, построена във формата на тесеракт. В историята, това По-нататък, тази къща се срутва, превръщайки се в четириизмерен тесеракт. След това хиперкубът се появява в много книги и романи.

Филмът "Куб 2: Хиперкуб" разказва историята на осем души, хванати в капан в мрежа от хиперкубове.

Картината на Салвадор Дали "Разпятието" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) изобразява Исус разпнат на тесеракт. Тази картина може да се види в Музея на изкуствата Метрополитън в Ню Йорк.

Заключение

Хиперкубът е един от най-простите четириизмерни обекти, на примера на който можете да видите цялата сложност и необичайност на четвъртото измерение. И това, което изглежда невъзможно в три измерения, евентуално в четири, например, невъзможни фигури. Така, например, прътите на невъзможен триъгълник в четири измерения ще бъдат свързани под прав ъгъл. И тази фигура ще изглежда така от всички гледни точки и няма да бъде изкривена, за разлика от реализациите на невъзможния триъгълник в триизмерното пространство (вж.

Еволюцията на човешкия мозък е протекла в триизмерно пространство. Затова ни е трудно да си представим пространства с размери, по-големи от три. Всъщност човешкият мозък не може да си представи геометрични обекти с измерение повече от три. И в същото време можем лесно да си представим геометрични обекти с размери не само три, но и с размери две и едно.

Разликата и аналогията между едномерните и двумерните пространства, както и разликата и аналогията между двуизмерните и триизмерните пространства, ни позволяват леко да отворим екрана на мистерията, който ни отделя от пространствата с по-голямо измерение. За да разберете как се използва тази аналогия, разгледайте един много прост четириизмерен обект - хиперкуб, тоест четириизмерен куб. Нека, за по-голяма яснота, да предположим, че искаме да решим конкретна задача, а именно да преброим броя на квадратните лица на четириизмерен куб. Цялото съображение по-долу ще бъде много слабо, без никакви доказателства, чисто по аналогия.

За да разберете как се изгражда хиперкуб от обикновен куб, първо трябва да видите как се изгражда обикновен куб от обикновен квадрат. За оригиналност на представянето на този материал тук ще наречем обикновен квадрат SubCube (и няма да го бъркаме със сукуб).

За да построите куб от подкуб, трябва да разтегнете подкуба в посока, перпендикулярна на равнината на подкуба в посока на третото измерение. В този случай от всяка страна на оригиналния подкуб ще расте подкуб, който е странична двуизмерна лицева страна на куба, което ще ограничи триизмерния обем на куба от четири страни, две перпендикулярни на всяка посока в равнината на подкуба. А по новата трета ос също има два подкуба, които ограничават триизмерния обем на куба. Това е двуизмерното лице, където първоначално е бил разположен нашият подкуб, и това двуизмерно лице на куба, където подкубът е дошъл в края на конструкцията на куба.

Това, което току-що прочетохте, е изложено твърде подробно и с много уточнения. И не случайно. Сега ще направим този трик, ще заменим някои думи в предишния текст формално по този начин:
куб -> хиперкуб
подкуб -> куб
равнина -> обем
трети -> четвърти
двуизмерен -> триизмерен
четири -> шест
триизмерен -> четириизмерен
две -> три
равнина -> пространство

В резултат получаваме следния смислен текст, който вече не изглежда прекалено подробен.

За да построите хиперкуб от куб, трябва да разтегнете куба в посока, перпендикулярна на обема на куба, в посока на четвъртото измерение. В този случай от всяка страна на оригиналния куб ще расте куб, който е странична триизмерна страна на хиперкуба, което ще ограничи четириизмерния обем на хиперкуба от шест страни, три перпендикулярни на всяка посока в пространството на куба. А по новата четвърта ос също има два куба, които ограничават четириизмерния обем на хиперкуба. Това е триизмерното лице, където първоначално е бил разположен нашият куб, и това триизмерно лице на хиперкуба, където кубът е дошъл в края на конструкцията на хиперкуба.

Защо сме толкова уверени, че сме получили правилното описание на конструкцията на хиперкуб? Защото точно същата формална замяна на думи получаваме описанието на конструкцията на куба от описанието на конструкцията на квадрата. (Проверете сами.)

Сега е ясно, че ако друг триизмерен куб трябва да расте от всяка страна на куба, тогава лице трябва да расте от всеки ръб на първоначалния куб. Общо кубът има 12 ръба, което означава, че ще се появят допълнителни 12 нови лица (подкуба) за тези 6 куба, които ограничават четириизмерния обем по трите оси на триизмерното пространство. И все още има два куба, които ограничават този четириизмерен обем отдолу и отгоре по четвъртата ос. Всеки от тези кубчета има 6 лица.

Общо получаваме, че хиперкубът има 12 + 6 + 6 = 24 квадратни лица.

Следващата снимка показва логическата структура на хиперкуб. Това е като проекция на хиперкуб върху триизмерно пространство. Това води до триизмерна рамка, изработена от ребра. На фигурата, разбира се, можете да видите и проекцията на тази рамка върху равнината.

Върху тази рамка вътрешният куб е като че ли първоначалният куб, от който е започнала конструкцията и който ограничава четириизмерния обем на хиперкуба по четвъртата ос отдолу. Разтягаме този начален куб нагоре по четвъртата ос на измерване и той преминава във външния куб. Така че външните и вътрешните кубове от тази фигура ограничават хиперкуба по оста на четвъртото измерение.

И между тези два куба се виждат още 6 нови куба, които имат общи лица с първите два. Тези шест куба ограничават нашия хиперкуб по три оси на триизмерно пространство. Както можете да видите, те са в контакт не само с първите два куба, които са вътрешни и външни на тази триизмерна рамка, но те все още са в контакт един с друг.

Можете да изчислите точно на фигурата и да се уверите, че хиперкубът наистина има 24 лица. Но възниква този въпрос. Този хиперкуб скелет в 3D пространство е изпълнен с осем 3D куба без никакви празнини. За да направите истински хиперкуб от тази триизмерна проекция на хиперкуб, е необходимо да обърнете тази рамка отвътре навън, така че всичките 8 куба да ограничават 4-измерния обем.

Ето как се прави. Каним жител на четириизмерното пространство да го посети и го молим да ни помогне. Той грабва вътрешния куб на този скелет и го измества в посока на четвъртото измерение, което е перпендикулярно на нашето триизмерно пространство. В нашето триизмерно пространство ние го възприемаме така, сякаш цялата вътрешна рамка е изчезнала и е останала само рамката на външния куб.

Освен това нашият четириизмерен асистент предлага своята помощ в родилни домове за безболезнено раждане, но нашите бременни жени се страхуват от перспективата бебето просто да изчезне от корема и да се озове в паралелно триизмерно пространство. Следователно четиримата учтиво получава отказ.

И ние сме озадачени от въпроса дали някои от нашите кубчета са се разлепили, когато рамката на хиперкуба е обърната навън. В крайна сметка, ако някои триизмерни кубове, заобикалящи хиперкуба, докоснат съседите си по рамката с лицата си, ще докоснат ли и същите тези лица, ако четириизмерният обърне рамката отвътре навън?

Нека отново се обърнем към аналогията с пространствата с по-ниско измерение. Сравнете каркасното изображение на хиперкуба с проекцията на триизмерния куб върху равнината, показана на следващото изображение.

Жителите на двуизмерното пространство изградиха върху равнина рамка от проекцията на куб върху равнина и ни поканиха, триизмерните жители, да обърнем тази рамка отвътре навън. Вземаме четирите върха на вътрешния квадрат и ги преместваме перпендикулярно на равнината. В същото време двуизмерните обитатели виждат пълното изчезване на цялата вътрешна рамка и имат само рамката на външния квадрат. При такава операция всички квадрати, които са били в контакт с техните ръбове, продължават да докосват същите ръбове, както преди.

Затова се надяваме, че логическата схема на хиперкуба също няма да бъде нарушена, когато рамката на хиперкуба е обърната отвътре навън и броят на квадратните лица на хиперкуба няма да се увеличи и ще остане равен на 24. Това, разбира се , не е доказателство, а чисто предположение по аналогия...

След като прочетете всичко тук, можете лесно да начертаете логическите телени рамки на петизмерен куб и да изчислите колко върхове, ръбове, лица, кубове и хиперкубове има той. Никак не е трудно.

Ако сте фен на филмите за Отмъстителите, първото нещо, което ви идва на ум, когато чуете думата „Тесеракт“, е прозрачният съд с форма на куб на Безкрайния камък, съдържащ безгранична сила.

За феновете на вселената на Marvel, Тесерактът е светещ син куб, който кара хората не само от Земята, но и от други планети да полудяват. Ето защо всички Отмъстители се обединиха, за да защитят земляните от изключително разрушителните сили на Тесеракта.

Трябва обаче да се каже следното: Тесерактът е действителна геометрична концепция, или по-скоро форма, която съществува в 4D. Това не е просто синьо кубче от Отмъстителите ... това е истинска концепция.

Тесерактът е обект в 4 измерения. Но преди да го обясним подробно, нека започнем отначало.

Какво е измерение?

Всеки е чувал термините 2D и 3D, представляващи съответно двуизмерни или триизмерни обекти в пространството. Но какви са тези измерения?

Измерването е просто посоката, в която можете да отидете. Например, ако чертаете линия върху лист хартия, можете да отидете наляво/надясно (ос x) или нагоре/надолу (ос y). По този начин казваме, че хартията е двуизмерна, тъй като можете да вървите само в две посоки.

Има усещане за дълбочина в 3D.

Сега, в реалния свят, в допълнение към двете посоки, споменати по-горе (наляво/надясно и нагоре/надолу), можете да отидете и до/от. Следователно в 3D пространството се добавя усещане за дълбочина. Затова казваме, че истинският живот е 3-измерен.

Една точка може да представлява 0 измерения (тъй като не се движи в нито една посока), линия представлява 1 измерение (дължина), квадрат представлява 2 измерения (дължина и ширина), а кубът представлява 3 измерения (дължина, ширина и височина ).

Вземете 3D куб и заменете всяко лице (което в момента е квадрат) с куб. И така! Формата, която получавате, е тесеракта.

Какво е тесеракт?

Просто казано, тесерактът е куб в 4-измерно пространство. Можете също да кажете, че това е 4D аналог на куб. Това е 4D форма, където всяко лице е куб.

Ето един прост начин да концептуализирате размерите: квадратът е двуизмерен; следователно всеки от ъглите му има 2 линии, простиращи се от него под ъгъл от 90 градуса една спрямо друга. Кубът е 3D, така че всеки негов ъгъл има 3 линии, слизащи от него. По същия начин, тесерактът е 4D форма, така че всеки ъгъл има 4 линии, простиращи се от него.

Защо е трудно да си представим тесеракт?

Тъй като ние, като хора, сме еволюирали да визуализираме обекти в три измерения, всичко, което преминава в допълнителни измерения като 4D, 5D, 6D и т.н., няма много смисъл за нас, защото изобщо не можем да ги имаме. Представете си. Нашият мозък не може да разбере 4-то измерение в космоса. Просто не можем да мислим за това.

Но това, че не можем да визуализираме концепцията за многомерни пространства, не означава, че тя не може да съществува.

Математически, тесерактът е идеално точна форма. По същия начин всички форми в по-високите измерения, т.е. 5D и 6D, също са математически правдоподобни.

Точно както кубът може да бъде разширен на 6 квадрата в 2D пространство, тесерактът може да бъде разширен на 8 куба в 3D пространство.

Изненадващо и неразбираемо, нали?

Така че тесерактът е „реална концепция“, която е абсолютно правдоподобна математически, а не само светещият син куб, за който се бият във филмите за Отмъстителите.

Веднага след като успях да изнасям лекция след операцията, първият въпрос, зададен от студентите:

Кога ще нарисувате 4-измерен куб за нас? Иляс Абдулхаевич ни обеща!

Спомням си, че моите скъпи приятели понякога харесват момент от математическа образователна програма. Затова и тук ще напиша част от моята лекция за математици. И ще опитам без досада. В някои моменти прочетох лекцията по-стриктно, разбира се.

Нека първо се съгласим. 4-измерното и още повече 5-6-7- и като цяло k-измерното пространство не ни се дава в сетивните усещания.
„Ние сме нещастни, защото сме само триизмерни“, каза моят учител в неделното училище, който беше първият, който ми каза какво е 4-измерен куб. Неделното училище, разбира се, беше изключително религиозно – математическо. Този път изучавахме хипер-кубове. Седмица преди това математическа индукция, седмица след това хамилтонови цикли в графики - съответно това е 7-ми клас.

Не можем да докоснем, помиришем, чуем или видим 4D куб. Какво можем да направим с него? Можем да си го представим! Защото мозъкът ни е много по-сложен от очите и ръцете ни.

И така, за да разберем какво е 4-измерен куб, нека първо разберем какво е на разположение за нас. Какво е 3-измерен куб?

ДОБРЕ ДОБРЕ! Не ви моля за ясна математическа дефиниция. Само си представете най-простия и често срещан триизмерен куб. Представихте ли?

Добре.
За да разберем как да обобщим 3-измерен куб в 4-измерно пространство, нека да разберем какво е 2-измерен куб. Толкова е просто - това е квадрат!

Квадратът има 2 координати. Кубът има три. Точките на квадрат са точки с две координати. Първият е от 0 до 1. А вторият е от 0 до 1. Точките на куба имат три координати. И всяко е произволно число от 0 до 1.

Логично е да си представим, че 4-мерен куб е такова нещо с 4 координати и всичко от 0 до 1.

/ * Също така е логично да си представим едномерен куб, който не е нищо повече от обикновен сегмент от 0 до 1. * /

И така, спрете, как да нарисувате 4-измерен куб? В крайна сметка не можем да начертаем 4-измерно пространство на равнина!
Но ние също не рисуваме 3-измерно пространство върху равнина, ние го рисуваме проекциявърху 2-мерната равнина на чертежа. Поставяме третата координата (z) под ъгъл, като си представяме, че оста от равнината на чертежа върви "към нас".

Сега е съвсем ясно как да нарисувате 4-измерен куб. По същия начин, както поставихме третата ос под определен ъгъл, вземете четвъртата ос и също я позиционирайте под определен ъгъл.
И воала! - проекция на 4-мерен куб върху равнина.

Какво? Какво е това изобщо? Винаги чувам шепот от задните бюра. Нека обясня по-подробно каква е тази каша от редове.
Погледнете първо триизмерния куб. какво направихме? Взехме квадрат и го плъзгахме по третата ос (z). Това е като много, много хартиени квадрати, залепени заедно в купчина.
Същото е и с 4-измерен куб. Нека наречем четвъртата ос "временна ос" за удобство и за целите на научната фантастика. Трябва да вземем обикновен триизмерен куб и да го плъзнем във времето от време „сега“ на време „след час“.

Имаме сега куб. На снимката е розов.

И сега го плъзгаме по четвъртата ос - по оста на времето (показах го в зелено). И получаваме куба на бъдещето - синьо.

Всеки връх на „кубът сега“ оставя следа във времето – сегмент. Свързване на настоящето й с бъдещето.

Накратко, без текст: нарисувахме два еднакви 3-измерни куба и свързахме съответните върхове.
По същия начин, както направихме с 3-измерния куб (начертайте 2 еднакви 2-измерни куба и свържете върховете).

За да нарисувате 5-измерен куб, ще трябва да нарисувате две копия на 4-измерния куб (4-измерен куб с пета координата 0 и 4-измерен куб с пета координата 1) и да свържете съответните върхове с ръбове. Вярно е, че в самолета ще излезе такава смесица от ръбове, че ще бъде почти невъзможно да се разбере нещо.

Когато си представим 4-измерен куб и дори успеем да го нарисуваме, можем да го изследваме по всякакъв начин. Не забравяйте да го изследвате както в ума, така и в картината.
Например. 2-измерен куб е ограничен от 4 страни от едномерни кубове. Това е логично: за всяка от 2-те координати тя има както начало, така и край.
3-измерен куб е ограничен от 6 страни от 2-измерни кубове. За всяка от трите координати тя има начало и край.
Това означава, че един 4-измерен куб трябва да бъде ограничен до осем 3-измерни куба. На всяка от 4-те координати - от двете страни. На снимката по-горе ясно виждаме 2 лица, които го свързват по координатата "време".

Ето два куба (те са леко наклонени, защото имат 2 измерения, проектирани върху равнина под ъгъл), ограничаващи нашия хипер-куб отляво и отдясно.

Също така е лесно да забележите "горе" и "долно".

Най-трудното е да разберете визуално къде са "отпред" и "отзад". Предният започва от предната страна на "кубът сега" и до предната страна на "бъдещия куб" - той е червен. Отзад, съответно, лилаво.

Те са най-трудни за забелязване, защото други кубчета се заплитат под краката ви, което ограничава хиперкуба в различна проектирана координата. Но имайте предвид, че кубчетата все още са различни! Ето още една снимка, където са подчертани "кубът сега" и "кубът на бъдещето".

Разбира се, възможно е да се проектира 4-измерен куб в 3-измерно пространство.
Първият възможен пространствен модел е ясно как изглежда: трябва да вземете 2 кубични скелета и да свържете съответните им върхове с нов ръб.
Сега нямам такъв модел. На лекцията показвам на студентите малко по-различен 3-измерен модел на 4-измерен куб.

Знаете как куб се проектира върху равнина като тази.
Сякаш гледаме куб отгоре.

Най-близката линия, разбира се, е голяма. И далечният ръб изглежда по-малък, виждаме го през близкия.

Ето как можете да проектирате 4-измерен куб. Кубът е по-голям сега, виждаме куба на бъдещето в далечината, така че изглежда по-малък.

От друга страна. От страната на върха.

Право направо от страната на лицето:

От страната на реброто:

И последният ъгъл, асиметричен. От рубриката „Ти ми казваш, че съм му гледал между ребрата“.

Е, тогава можете да измислите всичко. Например, тъй като има изместване на 3-измерен куб върху равнина (ето как трябва да изрежете лист хартия, за да получите куб при сгъване), има и разместване на 4-измерен куб В космоса. Това е като да изрежем парче дърво, така че като го сгънем в 4-измерно пространство, да получим тесеракт.

Можете да изучавате не само 4-измерен куб, но като цяло n-измерен куб. Например, вярно ли е, че радиусът на сфера, описана около n-мерен куб, е по-малък от дължината на ръба на този куб? Или ето един по-прост въпрос: колко върха има n-мерен куб? Колко ръба (едномерни лица)?