Сфера, вписана в цилиндър Сфера се нарича вписана в цилиндър, ако докосва неговата основа и странична повърхност (докосва всяка образуваща). При
Сфера и топка Сферата е съвкупността от всички точки в пространството, които са на дадено разстояние от дадена точка. Точка O се нарича център на сферата. Всеки сегмент, свързващ центъра на сферата с която и да е точка от сферата, се нарича радиус на сферата (R). Правата линия AB се нарича ос, а точките A и B на нейното пресичане със сферата са полюсите на. сферата. Хорда на сфера е отсечка, свързваща две точки на сфера (KN) е хорда, минаваща през нейния център (AB) R N K
Топка Топка с център в точка O и радиус R е множеството от всички точки в пространството, разположени от точка O на разстояние не по-голямо от R. Топката е тяло, ограничено от сфера. Топката се образува чрез въртене на полукръг около неговия фиксиран диаметър (AB). Този диаметър се нарича ос на топката, а двата края на определения диаметър са полюсите на топката. Повърхността на топката се нарича сфера. R A B
Частта от топка (сфера), отрязана от нея от някаква равнина (ABC), се нарича сферичен сегмент. Окръжност ABC се нарича основа на сферичния сегмент. Перпендикулярът MN, прекаран от центъра N на окръжност ABC до пресечната точка със сферичната повърхност, се нарича височина на сферичния сегмент. Точка M се нарича връх на сферичната отсечка. Формула на топката: V=1/3P 2 H(3R-H)
Сферичен слой Частта от сферата, затворена между две успоредни равнини ABC и DEF, пресичащи сферичната повърхност, се нарича сферичен слой. Извитата повърхност на сферичния слой се нарича сферичен пояс. Окръжности ABC и DEF са основите на сферичния пояс. Разстоянието NK между основите на сферичния пояс е неговата височина.
Сфера, вписана в конус Сфера се нарича вписана в конус, ако докосва всички съставни части на конуса и неговата основа. Можете да поставите сфера във всеки конус. Центърът на сферата лежи върху оста на конуса и е център на окръжност, вписана в аксиалното сечение на конуса. Формули за радиуса на топка, вписана в конус: R - радиус на вписана топка, r - радиус на основата на конуса, l - дължина на образуващата на конуса, H - височина на конуса, A - ъгъл на наклон на образуващата на конуса към основата му. l H l r Формули: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2
Задача 1 Задача 1. Топка с радиус r е вписана в конус. Намерете обема на конуса, ако височината му е h. Решение: Осовото сечение на тази комбинация от топка и конус е равнобедрен триъгълник PAB, описан около окръжност с център O и радиус R, PC = h – височина на конуса, OD PB. Обем на конуса Тъй като следователно или откъде Следователно, Отговорете:
Задача 2 В топка с радиус R е вписан конус с височина N. Намерете ъгъла между образуващата на конуса и равнината на основата. Помислете за диаметралното сечение на топката, както е показано на фигура b). Както знаете, ъгълът между права линия и равнина е ъгълът между тази права линия и нейната проекция върху тази равнина. В нашия случай AB е права линия, а AP е проекция. OR = BP-OV = H-R (където H е височината на конуса, R е радиусът на сферата) От правоъгълния триъгълник OAR определяме крака AR с помощта на Питагоровата теорема: R H Отговор: O
Konas Konas е тяло, получено чрез комбиниране на всички лъчи, излизащи от една точка (върха на konas) и преминаващи през равна повърхност. Понякога konas е част от такова тяло, получено чрез комбиниране на всички сегменти, свързващи върха и точките на равна повърхност (последната в този случай се нарича основа на konas, а konas се нарича почиващ върху тази основа). Ако основата на konas е многоъгълник, konas става пирамида. Геометрично тяло, създадено чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката му
Елементи и части на конас Върхът е точка във фиксиран остър ъгъл на въртящ се правоъгълен триъгълник, образуващ конас. Основата е кръг, ограничаващ конуса, описан от подвижния крак на образуващия триъгълник. Височината на сегмент, перпендикулярен на основата, минаващ през върха, неподвижния крак на образуващия триъгълник, както и дължината на този сегмент. Образувайки сегмент, свързващ върха и точка от окръжността, ограничаваща основата, хипотенузата на описания триъгълник. Страничната повърхнина е конична повърхнина, ограничаваща конуса, образувана от хипотенузата на образуващия триъгълник. o p СТРАНИЧНА ПОВЪРХНОСТ, ФОРМИРАЩА ОСНОВАТА НА РАДИУСА НА КОНУСА ВЪРХА ОС
Пресечен конус Пресеченият конус е ротационно тяло, образувано от въртенето на правоъгълен трапец близо до страната, перпендикулярна на основите. Окръжностите O и O1 са неговите основи, съставните му AA1 са равни една на друга, правата OO1 е оста, отсечката OO1 е височината. Аксиалното му сечение е равнобедрен трапец.
Свързани дефиниции Отсечка, спусната перпендикулярно от върха към равнината на основата (както и дължината на такава отсечка) се нарича височина на конуса. Правата линия, свързваща върха и центъра на основата, се нарича ос на конуса. Кръгла кона кона, чиято основа е кръг. Конус, почиващ върху елипса, парабола или хипербола, се нарича съответно елиптичен, параболичен и хиперболичен конус (последните два имат безкраен обем). Частта от конуса, разположена между основата и равнината, успоредна на основата и разположена между върха и основата, се нарича пресечен конус.
Конус, вписан в окръжност. Топка се нарича описана около многостен, а многостен, вписан в топка, ако повърхността на топката минава през всички върхове на многостена. Топката се нарича описана около пресечен конус (конус), ако окръжностите на основите (основна окръжност и връх) принадлежат на повърхността на топката. Центърът на топка, описана около полиедър, лежи в пресечната точка на равнини, перпендикулярни на всички ръбове на многостена и минаващи през техните среди. Може да се намира вътре, на повърхността или извън полиедъра. Конусът е вписан в сфера (сфера е описана около конус), ако нейният връх принадлежи на сферата, а основата му е сечение от сфера (AOC), ограничено от дадена сфера. Сфера винаги може да бъде описана около конус . Центърът му лежи върху оста на конуса и съвпада с центъра на описаната около триъгълника окръжност, която е аксиалното сечение на конуса. A B AC O Формули: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-радиус на топката r-радиус на основата на конуса H-височина на конуса
\[(\Large(\text(Cylinder)))\]
Да разгледаме окръжност \(C\) с център \(O\) с радиус \(R\) в равнината \(\alpha\) . През всяка точка от окръжността \(C\) прекарваме права, перпендикулярна на равнината \(\alpha\) . Повърхнината, образувана от тези прави линии, се нарича цилиндрична повърхност.
Самите прави се наричат формиранеот тази повърхност.
Нека сега начертаем равнина \(\бета\паралел \алфа\) през някаква точка на някаква генераторна. Наборът от точки, по които образуващите пресичат равнината \(\beta\), образува окръжност \(C"\), равна на окръжността \(C\) .
Част от пространството, ограничено от две окръжности \(K\) и \(K"\) с граници съответно \(C\) и \(C"\), както и част от цилиндрична повърхност, затворена между равнините \(\alpha\) и \(\beta\) , извик цилиндър.
Окръжности \(K\) и \(K"\) се наричат основи на цилиндъра; сегментите на образуващите, затворени между равнините, са образуващи на цилиндъра; частта от цилиндричната повърхност, образувана от тях, е страничната повърхност на цилиндъра. Отсечката, свързваща центровете на основите на цилиндъра, е равна на образуващата на цилиндъра и е равна на височината на цилиндъра (\(l=h\)).
Теорема
Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на \
където \(R\) е радиусът на основата на цилиндъра, \(h\) е височината (пораждаща).
Теорема
Общата повърхност на цилиндъра е равна на сумата от площта на страничната повърхност и площите на двете основи \
Теорема
Обемът на цилиндъра се изчислява по формулата \
\[(\Large(\text(Cone)))\]
Да разгледаме равнината \(\alpha\) и върху нея окръжност \(C\) с център \(O\) и радиус \(R\) . През точката \(O\) начертаваме права, перпендикулярна на равнината \(\alpha\) . Нека отбележим някаква точка \(P\) на тази права. Повърхността, образувана от всички прави, минаващи през точка \(P\) и всяка точка от окръжността \(C\), се нарича конична повърхност, и тези прави линии са генераторите на коничната повърхнина. Частта от пространството, ограничена от окръжност с граница \(C\) и сегменти от образуващи, затворени между точката \(P\) и точка от окръжността, се нарича конус. Сегментите \(PA\) , където \(A\in \text(env. ) C\) , се наричат образувайки конус; точка \(P\) – връх на конуса; окръжност с граница \(C\) – основа на конуса; сегмент \(PO\) – височина на конуса.
Коментирайте
Обърнете внимание, че височината и образуващата на конус не са равни една на друга, както беше в случая с цилиндър.
Теорема
Площта на страничната повърхност на конуса е равна на \
където \(R\) е радиусът на основата на конуса, \(l\) е генераторът.
Теорема
Общата повърхност на конуса е равна на сумата от страничната повърхност и площта на основата \
Теорема
Обемът на конуса се изчислява по формулата \
Коментирайте
Имайте предвид, че цилиндърът в известен смисъл е призма, само че в основата няма многоъгълник (като призма), а кръг.
Формулата за обема на цилиндъра е същата като формулата за обема на призмата: произведението на площта на основата и височината.
По същия начин конусът е в известен смисъл пирамида. Следователно формулата за обема на конуса е същата като тази на пирамида: една трета от площта на основата, умножена по височината.
\[(\Large(\text(Сфера и топка)))\]
Нека разгледаме набор от точки в пространството, еднакво отдалечени от някаква точка \(O\) на разстояние \(R\) . Този набор се нарича сферас център в точка \(O\) с радиус \(R\) .
Отсечка, свързваща две точки на сфера и минаваща през нейния център, се нарича диаметър на сферата.
Сферата заедно с нейната вътрешност се нарича топка.
Теорема
Площта на сферата се изчислява по формулата \
Теорема
Обемът на топката се изчислява по формулата \
Определение
Сферичен сегмент е част от топка, отрязана от нея от определена равнина.
Нека равнината пресича топката в окръжност \(K\) с център в точката \(Q\) . Нека свържем точките \(O\) (центъра на топката) и \(Q\) и разширим този сегмент, докато се пресече със сферата - получаваме радиуса \(OP\) . Тогава сегментът \(QP\) се нарича височина на сегмента.
Теорема
Нека \(R\) е радиусът на топката, \(h\) е височината на сегмента, тогава обемът на сферичния сегмент е равен на \
Определение
Сферичният слой е част от топка, затворена между две успоредни равнини, пресичащи тази топка. Окръжностите, по които равнините пресичат топката, се наричат основи на сферичния слой, сегментът, свързващ центровете на основите, се нарича височина на сферичния слой.
Двете останали части на топката в този случай са сферични сегменти.
Обемът на сферичния слой е равен на разликата между обема на сферата и обемите на сферичните сегменти с височини \(AP\) и \(BT\).
Решаването на задачи върху конус, вписан в топка (конус, вписан в сфера), се свежда до разглеждане на един или повече триъгълници.
Конусът е вписан в топка, ако неговият връх и обиколка на основата лежат върху повърхността на топката, тоест върху сфера. Центърът на топката лежи върху оста на конуса.
При решаване на задачи с конус, вписан в топка, е удобно да се разглежда сечението на комбинация от тела от равнина, минаваща през оста на конуса и центъра на топката. Разрезът е голям кръг от топка (т.е. кръг, чийто радиус е равен на радиуса на топката) с вписан в него равнобедрен триъгълник - аксиалното сечение на конуса. Страните на този триъгълник са образуващите части на конуса, основата е диаметърът на конуса.
Ако ъгълът между образуващите е остър, центърът на описаната окръжност е вътре в триъгълника (съответно центърът на топката, описана около конуса, е вътре в конуса).
Ако ъгълът между образуващите е прав, центърът на окръжността лежи в средата на основата на триъгълника (центърът на топката съвпада с центъра на основата на конуса).
Ако ъгълът между образуващите е тъп, центърът на окръжността е извън триъгълника (центърът на описаната топка е извън конуса).
Ако формулировката на задачата не казва къде точно се намира центърът на описаната топка, препоръчително е да обмислите как различните варианти за нейното местоположение могат да повлияят на решението.
Да разгледаме конус и топка, описана около него от равнина, минаваща през оста на конуса и центъра на топката. Тук SO=H е височината на конуса, SB=l е образуващата на конуса, SO1=O1B=R е радиусът на топката, OB=r е радиусът на основата на конуса, ∠OSB=α е ъгълът между височината и образуващата на конуса.
Триъгълник SO1B е равнобедрен с основа SB (тъй като SO1=O1B=R). Това означава, че неговите основни ъгли са равни: ∠OSB=∠O1BS=α, а O1F е медиана, височина и ъглополовяща. Следователно SF=l/2.
Когато решавате задачи, включващи конус, вписан в топка, можете да разгледате правоъгълни триъгълници SFO1 и SOB. Те са подобни (според острия ъгъл S). От подобието на триъгълниците
В правоъгълен триъгълник SOB ∠OBS=90º - ∠OSB=90º-α. Според Питагоровата теорема
В правоъгълния триъгълник O1OB ∠OBO1=90º - ∠O1BS=90º - α - α=90º - 2α.
Сфера, вписана в конус Сфера се нарича вписана в конус, ако се допира до неговата основа и странична повърхност (докосва всяка образуваща). В този случай се казва, че конусът е описан около сферата. Сфера може да бъде вписана във всеки конус (прав, кръгъл). Центърът му е на височината на конуса, а радиусът му е равен на радиуса на вписаната в триъгълника окръжност, която е осовото сечение на конуса. Спомнете си, че радиусът r на окръжност, вписана в триъгълник, се намира по формулата r S p, където S е площта, p е полупериметърът на триъгълника.
Упражнение 3 Радиусът на основата на конуса е 1. Образуващата е наклонена към равнината на основата под ъгъл 45°. Намерете радиуса на вписаната сфера. Решение. Височината SH на конус 2 е равна на 1. Генератор. 1 Полупериметърът p е равен на 2. По формулата r = S/p имаме 2 1. 2 1. r 1 1 2 r Отговор:
Упражнение 4 Височината на конуса е 8, образувайки 10. Намерете радиуса на вписаната сфера. Решение. Радиусът на основата на конуса е 6. Площта на триъгълника SFG е 48, полупериметърът е 16. Използвайки формулата r = S/p, имаме r = 3. Отговор: r = 3.
Сфера, описана около конус Сфера се нарича описана около конус, ако върхът и обиколката на основата на конуса лежат върху сферата. В този случай се казва, че конусът е вписан в сфера. Около всеки конус (прав, кръгъл) можете да опишете сфера. Центърът му е на височината на конуса, а радиусът му е равен на радиуса на окръжността, описана около триъгълника, който е аксиалното сечение на конуса. Нека си припомним, че радиусът R на окръжност, описана около триъгълник, abc, се намира по формулата S 4, където S е площта, a, b, c са страните на триъгълника. R
Упражнение 1 Сфера е описана около конус, чийто радиус на основата е 1, а образуващата е 2. Намерете радиуса му. Решение. Триъгълник SAB е равностранен със страна 2. Височината SH е равна Площта S е равна Използвайки формулата R = abc/4S 3. получаваме 3. R 2 3 3 .
Упражнение 2 Сфера с радиус 5 е описана около конус, чийто радиус на основата е 4. Намерете височината h на конуса. Решение. Имаме OB = 5, HB = 4. Следователно OH = 3. Като се има предвид, че SO = OB = 5, получаваме h = 8. Отговор: h = 8.
Полиедри, вписани в сфера Теорема. Сфера може да бъде описана в близост до призма тогава и само ако окръжност може да бъде описана в близост до основата на тази призма. Неговият център ще бъде средата на сегмента, свързващ центровете на кръговете, описани около основите на призмата. Радиусът на сферата R се изчислява по формулата точка O, където h е височината на призмата, r е радиусът на окръжността, описана около основата на призмата. R r 2 , 2 h 2
Упражнение 1 Намерете радиуса на сфера, описана около единичен куб. Отговор: R 3 2 .
Упражнение 2 Намерете ръба на куб, вписан в единичната сфера. Отговор: a 2 3 3 .
“Вписан ъгъл” - Дадено е: __A. Повторение на материала. Открийте грешката във формулировката: Знаейки как се изразява. Размерът на централния ъгъл. Големината на вписания ъгъл. Проблем #1: Сравнете размера на външния ъгъл и ъгъла в основата. Как ъглите AOB и ACB са подобни и различни? Според фигура b). намерете размера на външния ъгъл. Построяване на перпендикулярни линии.
„Измерване на ъгли“ - Остри, прави, тъпи, прави ъгли. Измерване на ъгли. За конструиране на ъгли се използва транспортир. Можете да прикрепите транспортира по различен начин. Прав ъгъл. Тъп ъгъл. За измерване на ъгли се използва транспортир. Остър ъгъл. Разгънат ъгъл. Какъв ъгъл образуват часовата и минутната стрелка на часовника?
„Теорема за вписан ъгъл“ - Как се нарича ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността. Понятието вписан ъгъл. Намерете ъгъла между хордите. Отговор. Решение. Теорема за вписания ъгъл. Триъгълник. Затвърдяване на изучения материал. Остър ъгъл. Проверете себе си. Намерете ъгъла между тях. Верен отговор. Актуализиране на знанията на учениците. Радиус на окръжност.
„Ъгъл и неговото измерване“ - Часовата и минутната стрелка на часовника образуват тъп ъгъл на 5 часа. Построяване на ъгли. На карирана хартия. Разгънат ъгъл. Тъп ъгъл. Остър ъгъл. За измерване на ъгли се използва транспортир. Правият ъгъл е половин завъртян ъгъл. Измерване на ъгли. Използване на транспортир. Ъглите се измерват в градуси.
“Ъгъл, вписан в окръжност” - Следствия. Посочете вписаните ъгли, показани на фигурата. Вписан ъгъл. Кой ъгъл се нарича централен? Цели на урока. Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност. Случаи на местоположение на лъча. Намери го. Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се простира. Кои от ъглите, показани на фигурата, са вписани?
Зареждане...