Ако ограничението клони към броя. Ограничения

Нека да разгледаме някои илюстративни примери.

Нека x е числова променлива, X е областта на нейната промяна. Ако всяко число x, принадлежащо на X, е свързано с определено число y, тогава те казват, че функция е дефинирана в множеството X, и пишат y = f(x).
Наборът X в този случай е равнина, състояща се от две координатни оси – 0X и 0Y. Например, нека изобразим функцията y = x 2. Осите 0X и 0Y образуват X - областта на неговото изменение. Фигурата ясно показва как се държи функцията. В този случай те казват, че функцията y = x 2 е дефинирана в множеството X.

Наборът Y от всички частични стойности на функция се нарича набор от стойности f(x). С други думи, наборът от стойности е интервалът по оста 0Y, където е дефинирана функцията. Изобразената парабола ясно показва, че f(x) > 0, т.к x2 > 0. Следователно диапазонът от стойности ще бъде . Разглеждаме много стойности с 0Y.

Множеството от всички x се нарича домейн на f(x). Ние разглеждаме много дефиниции от 0X и в нашия случай диапазонът от приемливи стойности е [-; +].

Точка a (a принадлежи на или X) се нарича гранична точка на множеството X, ако във всяка околност на точка a има точки от множеството X, различни от a.

Дойде време да разберем каква е границата на една функция?

Извиква се чистото b, към което функцията клони, когато х клони към числото a граница на функцията. Това е написано по следния начин:

Например f(x) = x 2. Трябва да разберем към какво клони функцията (не е равна) при x 2. Първо записваме границата:

Да погледнем графиката.

Нека начертаем права, успоредна на оста 0Y през точка 2 на оста 0X. Тя ще пресече нашата графика в точка (2;4). Нека пуснем перпендикуляр от тази точка към оста 0Y и стигнем до точка 4. Това е, към което се стреми нашата функция при x 2. Ако сега заместим стойността 2 във функцията f(x), отговорът ще бъде същият .

Сега, преди да преминем към изчисляване на граници, нека въведем основни дефиниции.

Въведен от френския математик Огюстен Луи Коши през 19 век.

Да кажем, че функцията f(x) е дефинирана на определен интервал, който съдържа точката x = A, но изобщо не е необходимо стойността на f(A) да бъде дефинирана.

Тогава, според определението на Коши, граница на функцията f(x) ще бъде определено число B с x клонящо към A, ако за всяко C > 0 има число D > 0, за което

Тези. ако функцията f(x) при x A е ограничена от граница B, това е записано във формата

Ограничение на последователносттаопределено число A се нарича, ако за всяко произволно малко положително число B> 0 има число N, за което всички стойности в случая n> N отговарят на неравенството

Тази граница изглежда като.

Редица, която има граница, ще се нарича конвергентна; ​​ако няма, ще я наречем дивергентна.

Както вече забелязахте, ограниченията се обозначават с иконата lim, под която се изписва някакво условие за променливата, а след това се записва самата функция. Такъв набор ще се чете като „граница на функция, предмет на...“. Например:

- границата на функцията, когато x клони към 1.

Изразът „приближаване до 1“ означава, че x последователно приема стойности, които се приближават до 1 безкрайно близо.

Сега става ясно, че за да се изчисли тази граница е достатъчно да се замени стойността 1 за x:

В допълнение към определена числена стойност, x може също да клони към безкрайност. Например:

Изразът x означава, че x непрекъснато нараства и се приближава до безкрайност без ограничения. Следователно, замествайки безкрайност вместо x, става очевидно, че функцията 1-x ще се стреми към , но с обратен знак:

По този начин, изчисляване на границисе свежда до намиране на нейната конкретна стойност или определена област, в която попада ограничената от границата функция.

Въз основа на горното следва, че при изчисляване на лимити е важно да се използват няколко правила:

разбиране същност на границатаи основни правила лимитни изчисления, ще получите ключова представа за това как да ги разрешите. Ако някой лимит ви създава затруднения, пишете в коментарите и ние определено ще ви помогнем.

Забележка: Юриспруденцията е наука за законите, която помага при конфликти и други житейски трудности.

Когато решавате задачи за намиране на граници, трябва да запомните някои граници, за да не ги преизчислявате всеки път. Комбинирайки тези известни граници, ще намерим нови граници, използвайки свойствата, посочени в § 4. За удобство представяме най-често срещаните граници: Граници 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), ако f (x) е непрекъсната x a Ако е известно, че функцията е непрекъсната, тогава вместо да намираме границата, изчисляваме стойността на функцията. Пример 1. Намерете lim (x*-6l:+ 8). Тъй като са много - X->2

членната функция е непрекъсната, тогава lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Пример 2. Намерете lim -r. . Първо, намираме границата на знаменателя: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; не е равно на X-Y1 нула, което означава, че можем да приложим свойство 4 § 4, тогава x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Границата на знаменателят X X е равен на нула, следователно не може да се приложи свойство 4 от § 4. Тъй като числителят е постоянно число, а знаменателят [x2x) -> -0 за x - - 1, тогава цялата дроб нараства неограничено в абсолютна стойност, т.е. lim " 1 X - * - - 1 x* + x Пример 4. Намерете lim\-ll*"!"" "Ограничението на знаменателя е нула: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, така че свойство X 4 § 4 не е приложимо. Но границата на числителя също е равна на нула: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Така че границите на числителя и знаменателя са едновременно равни на нула. Въпреки това, числото 2 е корен както на числителя, така и на знаменателя, така че дробта може да бъде намалена с разликата x-2 (според теоремата на Bezout). Всъщност, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" следователно, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Пример 5. Намерете lim xn (n цяло число, положително). X с Имаме xn = X* X . . X, n пъти Тъй като всеки фактор расте без ограничение, продуктът също расте без ограничение, т.е. lim xn = oo. x oo Пример 6. Намерете lim xn(n цяло число, положително). X -> - CO Имаме xn = x x... x. Тъй като всеки фактор нараства като абсолютна стойност, като остава отрицателен, тогава в случай на четна степен продуктът ще расте неограничено, докато остава положителен, т.е. lim *n = + oo (за четно n). *-* -о При нечетна степен абсолютната стойност на произведението нараства, но остава отрицателна, т.е. lim xn = - oo (за n нечетно). p -- 00 Пример 7. Намерете lim . x x-*- co * Ако m>pu тогава можем да запишем: m = n + kt където k>0. Следователно xm b lim -=- = lim -=-= lim x. НАГОРЕ Yn x -x> A x yu Стигнахме до пример 6. Ако ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x-* yu L X ->co Тук числителят остава постоянен, а знаменателят се увеличава по абсолютна стойност, следователно lim -ь = 0. Х-*оо X* Препоръчително е да запомните резултата от този пример в следната форма: Степенната функция нараства толкова по-бързо, колкото по-голям е показателят. $хв_Зхг + 7

Примери

Пример 8. Намерете lim g L -g-=. В този пример x-*® "J* "G bX -ox-o и числителят и знаменателят нарастват без ограничение. Нека разделим и числителя, и знаменателя на най-голямата степен на x, т.е. върху xb, тогава 3 7_ Пример 9. Намерете лира... Извършвайки трансформации, получаваме лира... ^ = lim X CO + 3 7 3 Тъй като lim -5 = 0, lim -, = 0, тогава границата на знаменателя rad-*® X X-+-CD X е нула, докато границата на числителя е 1. Следователно, цялата дроб нараства без ограничение, т. е. t 7x hm X-+ yu Пример 10. Намерете lim Нека изчислете граничния S знаменател, като запомните, че cos*-функцията е непрекъсната: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Тогава x->- S lim (l-fsin*) Пример 15. Намерете lim *<*-e>2 и lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; тъй като (Λ;-a)2 винаги нараства неотрицателно и неограничено с x, тогава за x - ±oo новата променлива z-*oc. Следователно получаваме qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (виж забележка към §5). g -*■ co По подобен начин lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, тъй като x ± oo g m - (x- a)z намалява без ограничение като x ->±oo (вижте бележката към §

Обикновено втората забележителна граница е написана в следната форма:

\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)

Числото $e$, посочено от дясната страна на равенството (1), е ирационално. Приблизителната стойност на това число е: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ако направим замяната $t=\frac(1)(x)$, тогава формула (1) може да бъде пренаписана както следва:

\begin(equation) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(equation)

Що се отнася до първото забележително ограничение, няма значение кой израз стои на мястото на променливата $x$ във формула (1) или вместо променливата $t$ във формула (2). Основното нещо е да изпълните две условия:

1. Основата на степента (т.е. изразът в скоби на формули (1) и (2)) трябва да клони към единица;
2. Показателят (т.е. $x$ във формула (1) или $\frac(1)(t)$ във формула (2)) трябва да клони към безкрайност.

Твърди се, че втората забележителна граница разкрива несигурността на $1^\infty$. Моля, обърнете внимание, че във формула (1) не уточняваме за коя безкрайност ($+\infty$ или $-\infty$) говорим. Във всеки от тези случаи формула (1) е правилна. Във формула (2) променливата $t$ може да клони към нула както отляво, така и отдясно.

Отбелязвам, че има и няколко полезни следствия от втората забележителна граница. Примери за използването на втората забележителна граница, както и последствията от нея, са много популярни сред съставителите на стандартни стандартни изчисления и тестове.

Пример №1

Изчислете ограничението $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Нека веднага да отбележим, че основата на степента (т.е. $\frac(3x+1)(3x-5)$) клони към единица:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

В този случай експонентата (израз $4x+7$) клони към безкрайност, т.е. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Основата на степента клони към единица, показателят клони към безкрайност, т.е. имаме работа с несигурност $1^\infty$. Нека приложим формула, за да разкрием тази несигурност. В основата на степента на формулата е изразът $1+\frac(1)(x)$, а в примера, който разглеждаме, основата на степента е: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Следователно първото действие ще бъде формална корекция на израза $\frac(3x+1)(3x-5)$ до формата $1+\frac(1)(x)$. Първо добавете и извадете едно:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Моля, обърнете внимание, че не можете просто да добавите единица. Ако сме принудени да добавим едно, тогава трябва също да го извадим, за да не променим стойността на целия израз. За да продължим решението, вземаме предвид това

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Тъй като $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, тогава:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ляво(1+\frac(6)(3x-5)\дясно)^(4x+7) $$

Да продължим корекцията. В израза $1+\frac(1)(x)$ на формулата числителят на дробта е 1, а в нашия израз $1+\frac(6)(3x-5)$ числителят е $6$. За да получите $1$ в числителя, пуснете $6$ в знаменателя, като използвате следното преобразуване:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

По този начин,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

И така, основата на степента, т.е. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, коригирано до формата $1+\frac(1)(x)$, изисквана във формулата. Сега нека започнем да работим с експонентата. Обърнете внимание, че във формулата изразите в експонентите и в знаменателя са еднакви:

Това означава, че в нашия пример степенният показател и знаменателят трябва да бъдат приведени в една и съща форма. За да получим израза $\frac(3x-5)(6)$ в степента, ние просто умножаваме степента по тази дроб. Естествено, за да компенсирате такова умножение, ще трябва незабавно да умножите по реципрочната дроб, т.е. от $\frac(6)(3x-5)$. Така че имаме:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Нека разгледаме отделно границата на фракцията $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, разположена в степента:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Пример №4

Намерете границата $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Тъй като за $x>0$ имаме $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, тогава:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ляво(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Развивайки дробта $\frac(x+1)(x)$ в сумата от дроби $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$, получаваме:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Пример №5

Намерете границата $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Тъй като $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, тогава имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$. Подробни обяснения са дадени в пример № 2, но тук ще се ограничим до кратко решение. Извършвайки замяната $t=x-2$, получаваме:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Можете да решите този пример по различен начин, като използвате замяната: $t=\frac(1)(x-2)$. Разбира се, отговорът ще бъде същият:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(подравнено)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(aligned)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Отговор: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Пример №6

Намерете границата $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Нека разберем към какво клони изразът $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ при условие $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

По този начин, в дадена граница имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$, която ще разкрием с помощта на втората забележителна граница:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Теорията на границите е един от клоновете на математическия анализ. Въпросът за решаване на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити от различни видове. Има десетки нюанси и трикове, които ви позволяват да разрешите този или онзи лимит. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самата концепция за лимит. Но първо, кратка историческа справка. През 19 век е живял французинът Огюстен Луи Коши, който е положил основите на математическия анализ и е дал строги дефиниции, по-специално определението за граница. Трябва да се каже, че същият този Коши беше, е и ще бъде в кошмарите на всички студенти от факултетите по физика и математика, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и всяка теорема е по-отвратителна от другата. В това отношение няма да разглеждаме стриктна дефиниция на лимита, а ще се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е лимит.
2. Научете се да решавате основните видове лимити.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, каквато всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И само пример защо на рошава баба....

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.
2) Записи под иконата за ограничение, в този случай . Записът гласи „X клони към единица“. Най-често - точно, въпреки че вместо "X" на практика има други променливи. В практическите задачи мястото на единица може да бъде абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: „границата на функция, когато x клони към единица.“

Нека разгледаме следващия важен въпрос - какво означава изразът "x"? се стремидо един"? И какво изобщо означава „стремеж“?
Концепцията за лимит е концепция, така да се каже, динамичен. Нека изградим последователност: първо , след това , , …, , ….
Тоест изразът „х се стремидо едно” трябва да се разбира по следния начин: “x” последователно приема стойностите които се доближават до единството безкрайно близо и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените едно във функцията под знака за ограничение:

И така, първото правило: Когато ни бъде дадено ограничение, първо просто се опитваме да включим числото във функцията.

Разгледахме най-простата граница, но и такива се срещат на практика и то не толкова рядко!

Пример с безкрайност:

Нека да разберем какво е това? Такъв е случаят, когато нараства неограничено, тоест: първо, след това, след това, след това и така нататък до безкрайност.

Какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако , тогава функцията клони към минус безкрайност:

Грубо казано, според нашето първо правило, вместо „X“ заместваме безкрайността във функцията и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: когато функцията нараства неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате мислено следното за себе си и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако някъде се съмнявате, можете да вземете калкулатор и да тренирате малко.
В случай, че , опитайте се да конструирате последователността , , . Ако , тогава , , .

Забележка: строго погледнато, този подход за конструиране на последователности от няколко числа е неправилен, но за разбиране на най-простите примери е доста подходящ.

Обърнете внимание и на следното. Дори ако е дадено ограничение с голямо число в горната част или дори с милион: , тогава всичко е същото , тъй като рано или късно "X" ще придобие такива гигантски стойности, че милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

1) Когато ни е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заменим числото във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , и т.н.

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми

Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Може да се мисли, че , и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и е необходимо да се приложи някаква техника за решаване, която сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен:

Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо да се разделят числителят и знаменателят на най-високата степен.

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е фундаментално важно при проектирането на решение?

Първо, посочваме несигурност, ако има такава.

Второ, препоръчително е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той няма математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в лимита е препоръчително да маркирате какво къде отива. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи по този начин:

По-добре е да използвате обикновен молив за бележки.

Разбира се, не е нужно да правите нищо от това, но тогава може би учителят ще посочи недостатъци в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси относно задачата. трябва ли ти

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменателя: 4
Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .
Цялата задача може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максимална степен на “X” в числителя: 2
Максимална степен на „X“ в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да се разкрие несигурността, е необходимо да се разделят числителят и знаменателят на . Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Нотацията не означава деление на нула (не можете да делите на нула), а деление на безкрайно малко число.

По този начин, като разкрием несигурността на видовете, може да успеем крайно число, нула или безкрайност.

Граници с неопределеност на вида и метода за решаването им

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: числителят и знаменателят съдържат полиноми, но „x“ вече не клони към безкрайност, а към крайно число.

Пример 4

Ограничение за решаване
Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дробта:

В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило: ако числителят и знаменателят съдържат полиноми и има несигурност на формата, тогава да го разкриете трябва да разделите числителя и знаменателя на множители.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и/или да използвате формули за съкратено умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции прочетете учебния материал Горещи формули за училищен курс по математика. Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често и информацията се абсорбира по-добре от хартията.

И така, нека решим нашата граница

Разложете на множители числителя и знаменателя

За да разложите числителя на множители, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него: .

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор; функцията за извличане на корен квадратен е на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е извлечен изцяло (получава се дробно число със запетая), много вероятно е дискриминантът да е изчислен неправилно или да има правописна грешка в задачата.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят е факторизиран.

Знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да се съкрати до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за ограничение:

Естествено, в тест, тест или изпит решението никога не се описва толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Нека разложим числителя на множители.

Пример 5

Изчислете лимита

Първо, „завършената“ версия на решението

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител:
Знаменател:



,

Кое е важното в този пример?
Първо, трябва да разбирате добре как се разкрива числителят, първо извадихме 2 от скобите и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и да видите.

От горната статия можете да разберете каква е границата и с какво се яде - това е МНОГО важно. Защо? Може да не разбирате какво представляват детерминантите и да ги решавате успешно; може изобщо да не разбирате какво е производна и да ги намирате с „А“. Но ако не разбирате какво е ограничение, решаването на практически задачи ще бъде трудно. Също така би било добра идея да се запознаете с примерните решения и моите препоръки за дизайн. Цялата информация е представена в проста и достъпна форма.

И за целите на този урок ще ни трябват следните учебни материали: Прекрасни границиИ Тригонометрични формули. Те могат да бъдат намерени на страницата. Най-добре е да разпечатате ръководствата - това е много по-удобно и освен това често ще трябва да ги препращате офлайн.

Какво е толкова специално в забележителните граници? Забележителното в тези граници е, че те са доказани от най-големите умове на известни математици и благодарните потомци не трябва да страдат от ужасни граници с купчина тригонометрични функции, логаритми, степени. Тоест при намирането на границите ще използваме готови резултати, които са доказани теоретично.

Има няколко чудесни ограничения, но на практика в 95% от случаите задочниците имат две чудесни ограничения: Първата прекрасна граница, Второ прекрасно ограничение. Трябва да се отбележи, че това са исторически установени имена и когато например говорят за „първата забележителна граница“, те имат предвид под това много специфично нещо, а не някаква произволна граница, взета от тавана.

Първата прекрасна граница

Помислете за следното ограничение: (вместо родната буква „той“ ще използвам гръцката буква „алфа“, това е по-удобно от гледна точка на представяне на материала).

Според нашето правило за намиране на граници (вижте статията Ограничения. Примери за решения) се опитваме да заместим нула във функцията: в числителя получаваме нула (синусът на нулата е нула), а в знаменателя, очевидно, също има нула. Така се сблъскваме с несигурност на формата, която, за щастие, не е необходимо да се разкрива. В хода на математическия анализ е доказано, че:

Този математически факт се нарича Първата прекрасна граница. Няма да давам аналитично доказателство за границата, но ще разгледаме нейното геометрично значение в урока за безкрайно малки функции.

Често в практически задачи функциите могат да бъдат подредени по различен начин, това не променя нищо:

- същата първа прекрасна граница.

Но не можете сами да пренаредите числителя и знаменателя! Ако границата е дадена във формата, тогава тя трябва да бъде решена в същата форма, без да се пренарежда нищо.

На практика не само променлива, но и елементарна функция или сложна функция може да действа като параметър. Единственото важно нещо е да клони към нула.

Примери:
, , ,

Тук , , , , и всичко е наред - първото прекрасно ограничение е приложимо.

Но следният запис е ерес:

Защо? Тъй като полиномът не клони към нула, той клони към пет.

Между другото, един бърз въпрос: какъв е лимитът? ? Отговорът може да бъде намерен в края на урока.

На практика не всичко е толкова гладко; почти никога на ученик не се предлага да реши безплатен лимит и да получи лесен пропуск. Хммм... Пиша тези редове и ми хрумна една много важна мисъл - все пак е по-добре да запомните „свободните“ математически дефиниции и формули наизуст, това може да окаже безценна помощ в теста, когато въпросът ще се избира между „две“ и „три“ и учителят решава да зададе на ученика някакъв прост въпрос или да предложи да реши прост пример („може би той(ите) все още знае какво?!»).

Нека да преминем към разглеждане на практически примери:

Пример 1

Намерете границата

Ако забележим синус в границата, това веднага трябва да ни накара да мислим за възможността за прилагане на първата забележителна граница.

Първо се опитваме да заменим 0 в израза под знака за граница (правим това мислено или в чернова):

Така че имаме несигурност на формата не забравяйте да посочитепри вземане на решение. Изразът под знака за граница е подобен на първата прекрасна граница, но не е точно това, той е под синуса, но в знаменателя.

В такива случаи трябва сами да организираме първата забележителна граница, използвайки изкуствена техника. Линията на разсъждение може да бъде следната: „под синуса имаме , което означава, че трябва да влезем и в знаменателя.“
И това се прави много просто:

Тоест, в този случай знаменателят е изкуствено умножен по 7 и разделен на същите седем. Сега записът ни придоби позната форма.
Когато задачата е съставена на ръка, препоръчително е да маркирате първата забележителна граница с обикновен молив:

Какво стана? Всъщност нашият ограден израз се превърна в единица и изчезна в работата:

Сега всичко, което остава, е да се отървем от триетажната част:

Който е забравил опростяването на многостепенните дроби, моля, опреснете материала в справочника Горещи формули за училищен курс по математика .

Готов. Окончателен отговор:

Ако не искате да използвате маркировки с молив, тогава решението може да бъде написано така:

“

Нека използваме първата чудесна граница

“

Пример 2

Намерете границата

Отново виждаме дроб и синус в границата. Нека се опитаме да заменим нула в числителя и знаменателя:

Наистина имаме несигурност и следователно трябва да се опитаме да организираме първата прекрасна граница. На урока Ограничения. Примери за решенияразгледахме правилото, че когато имаме несигурност, трябва да разложим на множители числителя и знаменателя. Тук е същото, ще представим градусите като продукт (множители):

Подобно на предишния пример, рисуваме с молив забележителните граници (тук има две от тях) и показваме, че те са склонни към единство:

Всъщност отговорът е готов:

В следващите примери няма да правя изкуство в Paint, мисля как правилно да съставя решение в тетрадка - вече разбирате.

Пример 3

Намерете границата

Заменяме нула в израза под знака за граница:

Получена е несигурност, която трябва да бъде разкрита. Ако има тангенс в границата, тогава той почти винаги се преобразува в синус и косинус, като се използва добре известната тригонометрична формула (между другото, те правят приблизително същото нещо с котангенса, вижте методическия материал Горещи тригонометрични формулиНа страницата Математически формули, таблици и справочни материали).

В такъв случай:

Косинусът от нула е равен на едно и е лесно да се отървете от него (не забравяйте да отбележите, че клони към едно):

Така, ако в границата косинусът е МНОЖИТЕЛ, тогава, грубо казано, той трябва да се превърне в единица, която изчезва в продукта.

Тук всичко се оказа по-просто, без никакви умножения и деления. Първият забележителен лимит също се превръща в такъв и изчезва в продукта:

В резултат на това се получава безкрайност и това се случва.

Пример 4

Намерете границата

Нека се опитаме да заменим нула в числителя и знаменателя:

Получава се несигурността (косинус от нула, както помним, е равен на едно)

Използваме тригонометричната формула. Да вземат под внимание! По някаква причина ограниченията, използващи тази формула, са много често срещани.

Нека преместим постоянните фактори отвъд иконата за ограничение:

Нека организираме първия прекрасен лимит:

Тук имаме само едно забележително ограничение, което се превръща в едно и изчезва в продукта:

Нека да се отървем от триетажната структура:

Границата всъщност е решена, показваме, че оставащият синус клони към нула:

Пример 5

Намерете границата

Този пример е по-сложен, опитайте се да го разберете сами:

Някои граници могат да бъдат намалени до първата забележителна граница чрез промяна на променлива, можете да прочетете за това малко по-късно в статията Методи за решаване на граници.

Второ прекрасно ограничение

В теорията на математическия анализ е доказано, че:

Този факт се нарича втора прекрасна граница.

Справка: е ирационално число.

Параметърът може да бъде не само променлива, но и сложна функция. Важното е само да се стреми към безкрайност.

Пример 6

Намерете границата

Когато изразът под знака за граница е в степен, това е първият знак, че трябва да опитате да приложите втората чудесна граница.

Но първо, както винаги, се опитваме да заменим безкрайно голямо число в израза, принципът, по който се прави това, се обсъжда в урока Ограничения. Примери за решения.

Лесно се забелязва, че когато основата на степента е , а показателят е , тоест има несигурност на формата:

Тази несигурност се разкрива точно с помощта на втората забележителна граница. Но, както често се случва, втората прекрасна граница не лежи на сребърен поднос и трябва да бъде изкуствено организирана. Можете да разсъждавате по следния начин: в този пример параметърът е , което означава, че трябва да организираме и индикатора. За да направим това, повдигаме основата на степента и за да не се промени изразът, я повдигаме на степента:

Когато задачата е изпълнена на ръка, отбелязваме с молив:

Почти всичко е готово, ужасната степен се е превърнала в хубаво писмо:

В този случай преместваме самата икона на лимита към индикатора:

Пример 7

Намерете границата

внимание! Този тип ограничение се среща много често, моля, проучете внимателно този пример.

Нека се опитаме да заместим безкрайно голямо число в израза под знака за граница:

Резултатът е несигурност. Но второто забележително ограничение се отнася до несигурността на формата. Какво да правя? Трябва да преобразуваме основата на степента. Разсъждаваме така: в знаменателя имаме , което означава, че в числителя също трябва да организираме .