Логаритъм - свойства, формули, графика. Комплексни логаритми Натурален логаритъм на комплексно число

Реален логаритъм

Логаритъм на логаритъм на реално число а bима смисъл със style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Най-широко използваните видове логаритми са:

Ако разгледаме логаритмичното число като променлива, получаваме логаритмична функция, Например: . Тази функция е дефинирана от дясната страна на числовата линия: х> 0, е непрекъснат и диференцируем там (виж Фиг. 1).

Имоти

Натурални логаритми

Когато равенството е вярно

(1)

В частност,

Този ред се сближава по-бързо и в допълнение лявата страна на формулата вече може да изрази логаритъма на всяко положително число.

Връзка с десетичния логаритъм: .

Десетични логаритми

Ориз. 2. Логаритмична скала

Логаритми при основа 10 (символ: lg а) преди изобретяването на калкулаторите са били широко използвани за изчисления. Неравномерната скала на десетичните логаритми обикновено се маркира и на линейката. Подобна скала се използва широко в различни области на науката, например:

Химия - активност на водородни йони ().
Теория на музиката - скала от ноти, във връзка с честотите на музикалните ноти.

Логаритмичната скала също се използва широко за идентифициране на показателя в степенните отношения и коефициента в показателя. В този случай графиката, построена в логаритмична скала по една или две оси, има формата на права линия, която е по-лесна за изучаване.

Комплексен логаритъм

Многозначна функция

Риманова повърхност

Комплексна логаритмична функция е пример за риманова повърхност; нейната въображаема част (фиг. 3) се състои от безкраен брой клони, усукани като спирала. Тази повърхност е просто свързана; неговата единствена нула (от първи ред) се получава при z= 1, особени точки: z= 0 и (точки на разклонение от безкраен ред).

Риманова повърхност на логаритъма е универсалното покритие за комплексната равнина без точка 0.

Исторически очерк

Реален логаритъм

Необходимостта от сложни изчисления нараства бързо през 16 век и голяма част от трудността включва умножаване и деление на многоцифрени числа. В края на века няколко математици, почти едновременно, излязоха с идеята: да заменят трудоемкото умножение с просто събиране, като използват специални таблици за сравняване на геометричните и аритметичните прогресии, като геометричната е оригиналната. Тогава делението автоматично се заменя с неизмеримо по-простото и надеждно изваждане. Той е първият, който публикува тази идея в книгата си „ Интегрална аритметика„Михаел Щийфел, който обаче не положи сериозни усилия да реализира идеята си.

През 1620-те години Едмънд Уингейт и Уилям Оутред изобретяват първата логаритмична линейка, преди появата на джобните калкулатори - незаменим инструмент на инженера.

Близко до съвременното разбиране на логаритмирането - като обратна операция на повдигане на степен - се появява за първи път с Уолис и Йохан Бернули и най-накрая е легитимирано от Ойлер през 18 век. В книгата „Въведение в анализа на безкрайността“ () Ойлер дава съвременни дефиниции както на експоненциални, така и на логаритмични функции, разширява ги в степенни редове и особено отбелязва ролята на естествения логаритъм.

На Ойлер се приписва и разширяването на логаритмичната функция към комплексната област.

Комплексен логаритъм

Въпреки че спорът продължава (Д'Аламбер защитава своята гледна точка и я аргументира подробно в статия в своята Енциклопедия и в други трудове), гледната точка на Ойлер бързо печели всеобщо признание.

Логаритмични таблици

От свойствата на логаритъма следва, че вместо трудоемко умножение на многоцифрени числа, достатъчно е да намерите (от таблици) и да добавите техните логаритми и след това, като използвате същите таблици, да извършите потенциране, т.е. стойността на резултата от неговия логаритъм. Извършването на деление се различава само по това, че се изваждат логаритми. Лаплас каза, че изобретяването на логаритмите „удължава живота на астрономите“, като значително ускорява процеса на изчисления.

При преместване на десетичната запетая в число до нцифри, стойността на десетичния логаритъм на това число се променя на н. Например log8314.63 = log8.31463 + 3. От това следва, че е достатъчно да се състави таблица с десетични логаритми за числа в диапазона от 1 до 10.

Първите таблици с логаритми бяха публикувани от Джон Напиер () и те съдържаха само логаритми на тригонометрични функции и с грешки. Независимо от него, Йост Бюрги, приятел на Кеплер (), публикува неговите таблици. През 1617 г. професорът по математика в Оксфорд Хенри Бригс публикува таблици, които вече включват десетични логаритми на самите числа от 1 до 1000, с 8 (по-късно 14) цифри. Но имаше и грешки в таблиците на Бригс. Първото издание без грешки, базирано на таблиците на Вега (), се появява едва през 1857 г. в Берлин (таблици на Bremiwer).

В Русия първите таблици с логаритми са публикувани през 1703 г. с участието на Л. Ф. Магнитски. В СССР са публикувани няколко сборника с логаритмични таблици.

Брадис В. М.Четирицифрени математически таблици. 44-то издание, М., 1973 г.

Определение и свойства

Комплексната нула няма логаритъм, тъй като комплексната експонента не приема стойност нула. Не-нула texvc могат да бъдат представени в демонстративна форма:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;,Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): k- произволно цяло число

Тогава Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathrm(Ln)\,zсе намира по формулата:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Тук Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln\,r= \ln\,|z|- реален логаритъм. От това следва:

От формулата става ясно, че една и само една от стойностите има имагинерна част в интервала Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc . Тази стойност се нарича основно значениесложен натурален логаритъм. Извиква се съответната (вече еднозначна) функция основен клонлогаритъм и се обозначава Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln\,z. Понякога през Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln\, zсъщо обозначават стойността на логаритъма, който не лежи на главния клон. Ако Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): zе реално число, тогава главната стойност на неговия логаритъм съвпада с обикновения реален логаритъм.

От горната формула също следва, че реалната част на логаритъма се определя, както следва чрез компонентите на аргумента:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Фигурата показва, че реалната част като функция на компонентите е централно симетрична и зависи само от разстоянието до началото. Получава се чрез завъртане на графиката на реалния логаритъм около вертикалната ос. Докато се доближава до нула, функцията се стреми към Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): -\infty.

Логаритъмът на отрицателно число се намира по формулата:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\точки)

Примери за комплексни логаритмични стойности

Нека представим основната стойност на логаритъма ( Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln) и неговия общ израз ( Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \mathrm(Ln)) за някои аргументи:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Трябва да внимавате, когато преобразувате сложни логаритми, като вземете предвид, че те са многозначни и следователно равенството на логаритмите на всякакви изрази не означава равенство на тези изрази. Пример погрешнообосновавам се:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- очевидна грешка.

Обърнете внимание, че отляво е основната стойност на логаритъма, а отдясно е стойността от основния клон ( Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): k=-1). Причината за грешката е небрежно използване на имота Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, което най-общо казано предполага в сложния случай целия безкраен набор от стойности на логаритъма, а не само основната стойност.

Комплексна логаритмична функция и риманова повърхност

Поради своята просто свързаност, риманова повърхност на логаритъма е универсално покритие за комплексната равнина без точка Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc .

Аналитично продължение

Логаритъмът на комплексно число може също да се дефинира като аналитично продължение на реалния логаритъм към цялата комплексна равнина. Нека кривата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc започва от единица, не минава през нула и не пресича отрицателната част на реалната ос. След това главната стойност на логаритъма в крайната точка Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): wкрив Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \Gammaможе да се определи по формулата:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Ако Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \Gamma- проста крива (без самопресичане), тогава за числа, лежащи върху нея, могат да се използват без страх логаритмични идентичности, например:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Основният клон на логаритмичната функция е непрекъснат и диференцируем в цялата комплексна равнина, с изключение на отрицателната част на реалната ос, на която имагинерната част се променя рязко на Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): 2\pi. Но този факт е следствие от изкуственото ограничаване на въображаемата част от основната стойност с интервала Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): (-\pi, \pi]. Ако разгледаме всички клонове на функцията, тогава непрекъснатостта възниква във всички точки с изключение на нулата, където функцията не е дефинирана. Ако разрешите кривата Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \Gammaпресичат отрицателната част на реалната ос, тогава първото такова пресичане прехвърля резултата от главния клон на стойността към съседния клон и всяко следващо пресичане предизвиква подобно изместване по клоновете на логаритмичната функция (виж фигурата).

От аналитичната формула за продължение следва, че на всеки клон на логаритъма:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

За всеки кръг Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): S, покриващ точката Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): 0 :

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Интегралът се взема в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка). Тази идентичност е в основата на теорията за остатъците.

Може също да се дефинира аналитичното продължение на комплексния логаритъм, като се използват серии, известни за реалния случай:

От формата на тези серии обаче следва, че при единица сумата на серията е равна на нула, т.е. серията се отнася само до основния клон на многозначната функция на комплексния логаритъм. Радиусът на сходимост на двете серии е 1.

Връзка с обратни тригонометрични и хиперболични функции

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- обратен хиперболичен синус Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- обратен хиперболичен косинус Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- обратен хиперболичен тангенс Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- обратен хиперболичен котангенс

Исторически очерк

Първите опити за разширяване на логаритмите до комплексни числа са направени в началото на 17-18 век от Лайбниц и Йохан Бернули, но те не успяват да създадат холистична теория, главно защото самата концепция за логаритъм все още не е ясно дефинирана. Дискусията по този въпрос се провежда първо между Лайбниц и Бернули, а в средата на 18 век между Д’Аламбер и Ойлер. Бернули и Д'Аламбер смятат, че трябва да се определи Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \log(-x) = \log(x), докато Лайбниц доказа, че логаритъма на отрицателно число е имагинерно число. Пълната теория на логаритмите на отрицателни и комплексни числа е публикувана от Ойлер през 1747-1751 г. и по същество не се различава от съвременната. Въпреки че дебатът продължава (Д'Аламбер защитава своята гледна точка и я аргументира подробно в статия в своята Енциклопедия и в други трудове), подходът на Ойлер получава всеобщо признание до края на 18 век.

Напишете отзив за статията "Комплексен логаритъм"

Литература

Теория на логаритмите

Корн Г., Корн Т.. - М.: Наука, 1973. - 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н.Теория на функциите на комплексна променлива. - М.: Наука, 1967. - 304 с.
Фихтенголц Г. М.Курс по диференциално и интегрално смятане. - изд. 6-ти. - М.: Наука, 1966. - 680 с.

История на логаритмите

Математика на 18 век // / Под редакцията на А. П. Юшкевич, в три тома. - М.: Наука, 1972. - Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).Математиката на 19 век. Геометрия. Теория на аналитичните функции. - М.: Наука, 1981. - Т. II.

Бележки

Логаритмична функция. // . - М.: Съветска енциклопедия, 1982. - Т. 3.
, Том II, стр. 520-522..
, С. 623..
, С. 92-94..
, С. 45-46, 99-100..
Болтянски В. Г., Ефремович В. А.. - М.: Наука, 1982. - С. 112. - (Библиотека Квант, бр. 21).
, том II, стр. 522-526..
, С. 624..
, С. 325-328..
Рибников К. А.История на математиката. В два тома. - М.: Издателство. Московски държавен университет, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231.
, С. 122-123..
Клайн Ф.. - М.: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - стр. 159-161. - 416 с.

Откъс, характеризиращ сложния логаритъм

От дивия ужас, който ни обхвана, ние се втурнахме като куршуми през широка долина, без дори да мислим, че можем бързо да отидем на друг „етаж“... Просто нямахме време да мислим за това - бяхме твърде уплашени.
Съществото летеше точно над нас, щракайки шумно със зейналия си зъбат клюн, а ние се втурнахме колкото се може по-бързо, пръскайки гнусни лигави пръски отстрани и мислено се молейки нещо друго да заинтересува внезапно тази страховита „птица-чудо“... усещаше се, че е много по-бърза и просто нямахме шанс да се откъснем от нея. За късмет наблизо не растеше нито едно дърво, нямаше храсти или дори камъни, зад които човек можеше да се скрие, само зловеща черна скала се виждаше в далечината.
- Там! – извика Стела, сочейки с пръст същата скала.
Но изведнъж, неочаквано, точно пред нас, отнякъде се появи създание, чиято гледка буквално смрази кръвта ни във вените... Появи се сякаш „от нищото” и беше наистина ужасяващо... огромен черен труп беше напълно покрит с дълга, груба коса, което го правеше да изглежда като шкембеста мечка, само че тази „мечка“ беше висока колкото триетажна къща... Буцата глава на чудовището беше „увенчана“ с две огромни извити рога, а зловещата паст беше украсена с чифт невероятно дълги зъби, остри като ножове, само при поглед към които от уплаха ни подкосяваха краката... И тогава, невероятно изненадващо за нас, чудовището лесно скочи и. .. вдигна летящата "мръсотия" на един от огромните си зъби... Замръзнахме в шок.
- Да бягаме!!! – изкрещя Стела. – Да бягаме, докато е „зает“!..
И бяхме готови да се втурнем отново, без да поглеждаме назад, когато изведнъж зад гърба ни прозвуча тънък глас:
- Момичета, чакайте!!! Няма нужда да бягаш!.. Дийн те спаси, той не е враг!
Обърнахме се рязко - зад нас стоеше мъничко, много красиво чернооко момиче... и спокойно галеше чудовището, което се беше приближило до нея!.. Очите ни се разшириха от изненада... Беше невероятно! Разбира се – беше ден на изненади!.. Момичето, гледайки ни, се усмихна приветливо, без изобщо да се страхува от косматото чудовище, което стоеше до нас.
- Моля те, не се страхувай от него. Той е много мил. Видяхме, че Овара те преследва и решихме да помогнем. Дийн беше страхотен, стигна навреме. Наистина ли, скъпа моя?
„Добре“ измърка, което прозвуча като леко земетресение, и като наведе глава, облиза лицето на момичето.
– Коя е Овара и защо ни нападна? - Попитах.
„Тя напада всички, тя е хищник.“ И много опасно - отговори спокойно момичето. – Мога ли да попитам какво правите тук? Вие не сте от тук, момичета?
- Не, не от тук. Просто се разхождахме. Но същия въпрос за вас - какво правите тук?
Отивам да видя майка ми...”, натъжи се момиченцето. „Умряхме заедно, но по някаква причина тя се озова тук.“ И сега живея тук, но не й казвам това, защото тя никога няма да се съгласи с това. Тя мисли, че просто идвам...
– Не е ли по-добре просто да дойдеш? Тук е толкова ужасно!.. – Стела сви рамене.
„Не мога да я оставя тук сама, гледам я да не й се случи нещо. И тук Дийн е с мен... Той ми помага.
Направо не можех да повярвам... Това малко смело момиченце доброволно напусна красивия си и мил "под", за да живее в този студен, ужасен и чужд свят, защитавайки майка си, която беше много "виновна" по някакъв начин! Не мисля, че ще има толкова смели и самоотвержени хора (дори възрастни!), които биха се осмелили да предприемат подобен подвиг... И веднага си помислих - може би просто не е разбрала на какво ще се обрече ?!
– Откога си тук, момиче, ако не е тайна?
– Напоследък… – тъжно отговори черноокото бебе, дърпайки с пръсти черния кичур от къдравата си коса. – Озовах се в толкова красив свят, когато умрях!.. Той беше толкова мил и светъл!.. И тогава видях, че майка ми не е с мен и се втурнах да я търся. В началото беше толкова страшно! По някаква причина я нямаше никъде... И тогава попаднах в този ужасен свят... И тогава я намерих. Бях толкова уплашен тук... Толкова самотен... Мама ми каза да си тръгвам, дори ми се скара. Но не мога да я оставя... Сега имам приятел, моя добър Дийн, и вече някак мога да съществувам тук.
„Добрият й приятел“ отново изръмжа, което накара нас със Стела да настръхнем... След като се овладях, аз се опитах да се успокоя малко и започнах да оглеждам по-отблизо това космато чудо... А той, веднага усети, че го забелязват, той ужасно оголи зъбестата си уста... Отскочих назад.
- О, не се страхувайте, моля ви! „Той ти се усмихва“, „успокои“ момичето.
Да... Ще се научиш да бягаш бързо от такава усмивка... - помислих си.
- Как стана така, че се сприятелихте с него? – попита Стела.
– Когато дойдох тук за първи път, бях много уплашен, особено когато такива чудовища като вас нападнаха днес. И тогава един ден, когато почти умрях, Дийн ме спаси от цял куп страховити летящи „птици“. И аз се страхувах от него в началото, но после разбрах какво златно сърце има... Той е най-добрият приятел! Никога не съм имал нещо подобно, дори когато живях на Земята.
- Как свикна толкова бързо? Външният му вид не е съвсем, да кажем, познат...
– И тук разбрах една много проста истина, която по някаква причина не забелязах на Земята – външният вид няма значение, ако човек или създание има добро сърце... Майка ми беше много красива, но на моменти много се ядосваше също. И тогава цялата й красота изчезна някъде... А Дийн, макар и страшен, винаги е много мил, винаги ме защитава, усещам неговата доброта и не се страхувам от нищо. Но можете да свикнете с външния вид...
– Знаете ли, че ще бъдете тук много дълго време, много повече, отколкото хората живеят на Земята? Наистина ли искаш да останеш тук?..
„Майка ми е тук, така че трябва да й помогна.“ И когато тя отново „замине” да живее на Земята, ще си тръгна и аз... Там, където има повече доброта. В този ужасен свят хората са много странни - сякаш изобщо не живеят. Защо така? Знаете ли нещо за това?
– Кой ти каза, че майка ти ще замине да живее отново? – заинтересува се Стела.
- Дийн, разбира се. Той знае много, живял е тук от много време. Той също така каза, че когато ние (майка ми и аз) живеем отново, семействата ни ще бъдат различни. И тогава вече няма да имам тази майка... Затова искам да съм с нея сега.
- Как говориш с него, твоят Декан? – попита Стела. - И защо не искаш да ни кажеш името си?
Но е истина - все още не знаехме името й! И те не знаеха откъде идва...
– Казвах се Мария... Но има ли значение това тук?
- Със сигурност! – засмя се Стела. - Как мога да общувам с вас? Когато си тръгнеш, ще ти дадат ново име, но докато си тук, ще трябва да живееш със старото. Говори ли с някой друг тук, момиче Мария? – попита Стела, прескачайки от тема на тема по навик.
- Да, говорих... - каза колебливо момиченцето. "Но те са толкова странни тук." И толкова нещастни... Защо са толкова нещастни?
– Това, което виждате тук, благоприятства ли щастието? – изненадах се от въпроса й. – Дори самата тукашна „реалност“ убива предварително всякакви надежди!.. Как да си щастлив тук?
- Не знам. Когато съм с майка ми, струва ми се, че мога да бъда щастлив и тук... Вярно, тук е много страшно и тя наистина не го харесва тук... Когато казах, че се съгласих да остана с тя, тя ми се развика и каза, че аз съм нейното "безмозъчно нещастие" ... Но аз не се обиждам ... Знам, че тя просто е уплашена. Точно като мен...
– Може би тя просто е искала да те предпази от твоето „крайно“ решение и е искала само да се върнеш на своя „етаж“? – внимателно попита Стела, за да не се обиди.
– Не, разбира се... Но благодаря за добрите думи. Мама често ме наричаше с не много добри имена, дори на Земята... Но знам, че това не беше от гняв. Тя просто беше нещастна, че съм се родил и често ми казваше, че съм съсипал живота й. Но вината не беше моя, нали? Винаги съм се опитвал да я направя щастлива, но по някаква причина не успях много... И никога не съм имал баща. – Мария беше много тъжна, а гласът й трепереше, сякаш щеше да заплаче.
Със Стела се спогледахме и бях почти сигурен, че подобни мисли я посещават... Вече наистина не харесвах тази разглезена егоистична „майка“, която вместо да се тревожи за детето си, не се интересуваше от неговата героична саможертва изобщо разбрах и освен това я нараних болезнено.
„Но Дийн казва, че съм добър и че го правя много щастлив!“ – забърбори по-весело момиченцето. "И той иска да бъде приятел с мен." А други, които срещнах тук, са много студени и безразлични, а понякога дори зли... Особено тези, които имат привързани чудовища...
„Чудовища – какво?..“ не разбрахме.
- Е, те имат ужасни чудовища, които седят на гърба им и им казват какво трябва да направят. И ако те не слушат, чудовищата им се подиграват ужасно... Опитах се да говоря с тях, но тези чудовища не ми позволяват.
Абсолютно нищо не разбрахме от това „обяснение“, но самият факт, че някакви астрални същества измъчват хората, не можеше да остане „изследван“ от нас, затова веднага я попитахме как можем да видим този удивителен феномен.
- О, да навсякъде! Особено в "черната планина". Ето го, зад дърветата. Искаш ли и ние да тръгнем с теб?
- Разбира се, че ще бъдем много щастливи! – веднага отговори възхитената Стела.
Честно казано, аз също не се усмихнах на перспективата да се срещам с някой друг, „страховит и неразбираем“, особено сам. Но интересът победи страха и ние, разбира се, щяхме да отидем, въпреки факта, че се страхувахме малко ... Но когато такъв защитник като Дийн вървеше с нас, веднага стана по-забавно ...
И тогава, след кратък миг, пред очите ни се разкри истински Ад, широко отворен от изумление... Видението напомняше картините на Бош (или Боск, зависи на какъв език го превеждате), един „луд“ художник който някога шокира целия свят със своя свят на изкуство... Той, разбира се, не беше луд, а беше просто гледач, който по някаква причина можеше да види само долния астрал. Но трябва да му отдадем дължимото - той го изобрази превъзходно... Видях картините му в една книга, която беше в библиотеката на баща ми, и все още си спомнях зловещото чувство, което носеха повечето му картини...
„Какъв ужас!..“, прошепна шокираната Стела.
Сигурно може да се каже, че вече сме видели много тук, на „етажите“... Но дори и ние не успяхме да си представим това в най-ужасния си кошмар!.. Зад „черната скала“ се отвори нещо напълно немислимо. .. Приличаше на огромен плосък „котел“, издълбан в скалата, на дъното на който клокочеше пурпурна „лава“... Горещият въздух „избухваше“ навсякъде със странни мигащи червеникави мехурчета, от които излизаше пареща пара и падна на едри капки на земята, или на хората, които в този момент паднаха под нея... Чуха се сърцераздирателни писъци, но веднага замлъкнаха, тъй като най-отвратителните създания седнаха на гърба на същите хора, които с доволни погледи „контролираха“ своите жертви, без да обръщат ни най-малко внимание на страданията им... Под босите крака на хората нажежени камъни почервеняваха, пурпурната земя, пръсната от топлина, бълбукаше и се „разтапяше“... Пръски горещо пара избухна през огромни пукнатини и, изгаряйки краката на хлипащи от болка човешки същества, бяха отнесени във висините, изпарявайки се с лек дим ... И в самата среда на „ямата“ течеше яркочервена, широка огнена река, в който от време на време едни и същи отвратителни чудовища неочаквано хвърляха някое и друго измъчено същество, което, падайки, предизвикваше само кратко изпръскване на оранжеви искри и след това, но превръщайки се за миг в пухкав бял облак, изчезваше. .. завинаги... Беше истински Ад и ние със Стела искахме да „изчезнем“ оттам възможно най-скоро...
- Какво ще правим? - прошепна Стела с тих ужас. - Искаш ли да слезем там? Има ли нещо, което можем да направим, за да им помогнем? Вижте колко са!..
Стояхме на черно-кафява, изсъхнала от топлина скала, наблюдавайки изпълнената с ужас „каша“ от болка, безнадеждност и насилие, простираща се отдолу, и се чувствахме толкова детски безсилни, че дори моята войнствена Стела този път категорично сви разрошените си „крила“ .” “и беше готова при първото повикване да се втурне към своя, толкова скъп и надежден, горен “етаж”...

Експоненциалната функция на реална променлива (с положителна основа) се определя на няколко стъпки. Първо, за естествени стойности - като продукт на равни фактори. След това определението се разширява до отрицателни цели числа и ненулеви стойности за по правилата. След това разглеждаме дробни показатели, в които стойността на експоненциалната функция се определя с помощта на корени: . За ирационалните стойности определението вече е свързано с основната концепция на математическия анализ - с преминаването към границата, поради съображения за непрекъснатост. Всички тези съображения по никакъв начин не са приложими към опитите за разширяване на експоненциалната функция до сложни стойности на индикатора и какво е, например, е напълно неясно.

За първи път степен с комплексен показател с естествена основа е въведена от Ойлер въз основа на анализ на редица конструкции на интегралното смятане. Понякога много подобни алгебрични изрази, когато са интегрирани, дават напълно различни отговори:

В същото време тук вторият интеграл формално се получава от първия, когато се замени с

От това можем да заключим, че с правилната дефиниция на експоненциална функция с комплексен показател, обратните тригонометрични функции са свързани с логаритми и по този начин експоненциалната функция е свързана с тригонометричните.

Ойлер имаше смелостта и въображението да даде разумна дефиниция за експоненциална функция с основа, а именно,

Това е определение и следователно тази формула не може да бъде доказана, могат да се търсят само аргументи в полза на разумността и целесъобразността на такова определение. Математическият анализ дава много аргументи от този вид. Ще се ограничим само до един.

Известно е, че реално има ограничаваща връзка: . От дясната страна има полином, който също има смисъл за комплексни стойности за . Границата на поредица от комплексни числа се определя естествено. Една последователност се счита за конвергентна, ако последователностите от реални и имагинерни части се сближават и се приема

Нека го намерим. За да направите това, нека се обърнем към тригонометричната форма и за аргумента ще изберем стойности от интервала. При този избор е ясно, че за . Освен това,

За да отидете до лимита, трябва да проверите съществуването на лимити за и да намерите тези лимити. Ясно е, че

И така, в израза

реалната част клони към , имагинерната част клони към така

Този прост аргумент осигурява един от аргументите в полза на определението на Ойлер за експоненциалната функция.

Нека сега установим, че при умножаване на стойностите на експоненциална функция експонентите се сумират. Наистина ли:

2. Формули на Ойлер.

Нека въведем дефиницията на експоненциалната функция. Получаваме:

Заменяйки b с -b, получаваме

Като събираме и изваждаме тези равенства член по член, намираме формулите

наречени формули на Ойлер. Те установяват връзка между тригонометрични функции и експоненциални функции с имагинерни показатели.

3. Натурален логаритъм на комплексно число.

Комплексно число, дадено в тригонометрична форма, може да бъде записано във формата Тази форма на запис на комплексно число се нарича експоненциална. Той запазва всички добри свойства на тригонометричната форма, но е още по-сбит. Освен това, следователно е естествено да се приеме, че реалната част от логаритъма на комплексно число е логаритъмът на неговия модул, а имагинерната част е неговият аргумент. Това до известна степен обяснява "логаритмичното" свойство на аргумента - аргументът на произведението е равен на сумата от аргументите на факторите.

план:

1 Реален логаритъм
- 1.1 Свойства
- 1.2 Логаритмична функция
- 1.3 Натурални логаритми
- 1.4 Десетични логаритми
2 Комплексен логаритъм
- 2.1 Определение и свойства
- 2.2 Примери
- 2.3 Аналитично продължение
- 2.4 Риманова повърхност
3 Исторически очерк
- 3.1 Реален логаритъм
- 3.2 Комплексен логаритъм
4 Логаритмични таблици
5 Приложения

Въведение

Ориз. 1. Графики на логаритмични функции

Логаритъм на число bбазиран на а (от гръцки λόγος - „дума“, „отношение“ и ἀριθμός - „номер“) се определя като индикатор за мощността, до която трябва да се повдигне основата аза да получите номера b. Обозначаване: . От определението следва, че записите и са еквивалентни.

Например, защото.

1. Реален логаритъм

Логаритъм на логаритъм на реално число а bима смисъл, когато. Както е известно, експоненциалната функция г = а х е монотонна и всяка стойност приема само веднъж, а диапазонът от нейните стойности съдържа всички положителни реални числа. От това следва, че стойността на реалния логаритъм на положително число винаги съществува и е еднозначно определена.

Най-широко използваните видове логаритми са:

1.1. Имоти

Доказателство

Нека докажем това.

(тъй като по условие bc > 0). ■

Доказателство

Нека докажем това

(тъй като по условие ■

Доказателство

Ние използваме самоличността, за да го докажем. Нека логаритмуваме двете страни на тъждеството по основа c. Получаваме:

Доказателство

Нека докажем това.

(защото b стр> 0 по условие). ■

Доказателство

Нека докажем това

Доказателство

Логаритмирайте лявата и дясната страна спрямо основата ° С :

Лява страна: Дясна страна:

Равенството на изразите е очевидно. Тъй като логаритмите са равни, тогава, поради монотонността на логаритмичната функция, самите изрази са равни. ■

1.2. Логаритмична функция

Ако разгледаме логаритмичното число като променлива, получаваме логаритмична функция г= дневник а х (виж фиг. 1). Дефинирана е на . Диапазон от стойности: .

Функцията е строго нарастваща при а> 1 и стриктно намаляващ при 0< а < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Направо х= 0 е лява вертикална асимптота, тъй като at а> 1 и при 0< а < 1 .

Производната на логаритмичната функция е равна на:

Доказателство

I. Нека докажем това

Нека запишем самоличността двътре х = х и разграничете лявата и дясната му страна

Получаваме това, от което следва това

II. Нека докажем това

Логаритмичната функция осъществява изоморфизъм между мултипликативната група от положителни реални числа и адитивната група от всички реални числа.

1.3. Натурални логаритми

Връзка с десетичния логаритъм: .

Както беше посочено по-горе, производната на естествения логаритъм има проста формула:

Поради тази причина естествените логаритми се използват предимно в математическите изследвания. Те често се появяват при решаване на диференциални уравнения, изучаване на статистически зависимости (например разпределение на прости числа) и др.

Неопределеният интеграл на естествения логаритъм може лесно да се намери чрез интегриране по части:

Разширението на серията на Тейлър може да бъде представено по следния начин:
когато равенството е вярно

(1)

В частност,

1.4. Десетични логаритми

Ориз. 2а. Логаритмична скала

Ориз. 2б. Логаритмична скала със символи

Логаритми при основа 10 (символ: lg а) преди изобретяването на калкулаторите са били широко използвани за изчисления. Неравномерната скала на десетични логаритми обикновено се прилага към плъзгащи се линейки. Подобна скала се използва в много области на науката, например:

Физика - интензитет на звука (децибели).
Астрономия - скала на яркостта на звездите.
Химия - активност на водородните йони (pH).
Сеизмология - Рихтер.
Теория на музиката - скала от ноти, във връзка с честотите на музикалните ноти.
Историята е логаритмична времева скала.

2. Комплексен логаритъм

2.1. Определение и свойства

За комплексни числа логаритъмът се определя по същия начин като реален. На практика се използва почти изключително естественият комплексен логаритъм, който ние обозначаваме и дефинираме като набор от всички комплексни числа zтакова, че д z = w . Комплексният логаритъм съществува за всеки , като реалната му част се определя еднозначно, докато имагинерната част има безкраен брой стойности. Поради тази причина тя се нарича многозначна функция. Ако си представите wв демонстративна форма:

тогава логаритъма се намира по формулата:

Ето истинския логаритъм, r = | w | , к- произволно цяло число. Стойността, получена при к= 0, наречено основно значениекомплексен натурален логаритъм; обичайно е стойността на аргумента в него да се приема в интервала (− π,π]. Съответната (вече еднозначна) функция се нарича основен клонлогаритъм и се означава с . Понякога те също обозначават логаритъм, който не е в главния клон.

От формулата следва:

Реалната част на логаритъма се определя по формулата:

Логаритъмът на отрицателно число се намира по формулата:

Тъй като комплексните тригонометрични функции са свързани с експонентата (формула на Ойлер), комплексният логаритъм, като обратна функция на експоненциала, е свързан с обратните тригонометрични функции. Пример за такава връзка:

2.2. Примери

Нека дадем основната стойност на логаритъма за някои аргументи:

азπ = ln(− 1) = ln((− аз) 2) = 2ln(− аз) = 2(− азπ / 2) = − азπ - чист абсурд.

Обърнете внимание, че отляво е основната стойност на логаритъма, а отдясно е стойността от основния клон ( к= − 1 ). Причината за грешката е небрежното използване на свойството, което, най-общо казано, предполага в сложния случай целия безкраен набор от логаритмични стойности, а не само основната стойност.

2.3. Аналитично продължение

Ориз. 3. Комплексен логаритъм (въображаема част)

Логаритъмът на комплексно число може също да се дефинира като аналитично разширение на реалния логаритъм към цялата комплексна равнина. Нека кривата Γ започва от единица, не минава през нула и не пресича отрицателната част на реалната ос. След това главната стойност на логаритъма в крайната точка wкривата Γ може да се определи по формулата:

Ако Γ е проста крива (без самопресичания), тогава за числата, лежащи върху нея, могат да се прилагат без страх логаритмични идентичности, напр.

Ако на кривата Γ е позволено да пресече отрицателната част на реалната ос, тогава първото такова пресичане прехвърля резултата от клона на главната стойност към съседния клон и всяко следващо пресичане причинява подобно изместване по клоновете на логаритмичната функция ( виж фигурата).

От аналитичната формула за продължение следва, че на всеки клон на логаритъма

За всеки кръг С, покриваща точка 0:

Можете също така да дефинирате аналитичното продължение на комплексния логаритъм, като използвате горната серия (1), обобщена за случая на комплексен аргумент. От вида на разширението обаче следва, че при единица то е равно на нула, т.е. серията се отнася само до основния клон на многозначната функция на комплексния логаритъм.

2.4. Риманова повърхност

Комплексна логаритмична функция е пример за риманова повърхност; нейната въображаема част (фиг. 3) се състои от безкраен брой клони, усукани под формата на спирала. Тази повърхност е просто свързана; неговата единствена нула (от първи ред) се получава при z= 1, особени точки: z= 0 и (точки на разклонение от безкраен ред).

Риманова повърхност на логаритъма е универсалното покритие за комплексната равнина без точка 0.

3. Исторически очерк

3.1. Реален логаритъм

Необходимостта от сложни изчисления нарасна бързо през 16 век и голяма част от трудността включваше умножаване и деление на многоцифрени числа и извличане на корени. В края на века няколко математици, почти едновременно, излязоха с идеята: да заменят трудоемкото умножение с просто събиране, като използват специални таблици за сравняване на геометричните и аритметичните прогресии, като геометричната е оригиналната. Тогава делението автоматично се заменя с неизмеримо по-простото и по-надеждно изваждане и извличане на корена на степента нсе свежда до разделяне на логаритъма на радикалния израз на н. Той е първият, който публикува тази идея в книгата си „ Интегрална аритметика„Михаел Щийфел, който обаче не положи сериозни усилия да реализира идеята си.

През 1614 г. шотландският аматьор-математик Джон Напиер публикува есе на латински, озаглавено „ Описание на удивителната таблица на логаритмите“ (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Той съдържаше кратко описание на логаритмите и техните свойства, както и 8-цифрени таблици на логаритми от синуси, косинуси и тангенси, със стъпка 1". Термин логаритъм, предложен от Napier, се е утвърдил в науката. Напиер очерта теорията на логаритмите в другата си книга „ Изграждане на невероятна логаритмична таблица“ (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), публикуван посмъртно през 1619 г. от неговия син.

Концепцията за функция все още не съществува и Напиер дефинира логаритъма кинематично, сравнявайки равномерно и логаритмично бавно движение; например, той дефинира логаритъма от синус, както следва:

Логаритъмът на даден синус е число, което винаги нараства аритметично със същата скорост, с която общият синус започва да намалява геометрично.

В съвременната нотация кинематичният модел на Напиер може да бъде представен чрез диференциалното уравнение: dx/x = -dy/M, където M е мащабен коефициент, въведен, за да се гарантира, че стойността се оказва цяло число с необходимия брой цифри (десетичните дроби все още не бяха широко използвани). Напиер взе M = 10000000.

Строго погледнато, Напиер таблицира грешната функция, която сега се нарича логаритъм. Ако означим неговата функция LogNap(x), тогава тя е свързана с естествения логаритъм, както следва:

Очевидно LogNap(M) = 0, тоест логаритъма на „пълния синус“ е нула - това е, което Napier постигна с неговата дефиниция. .

Основното свойство на логаритъма на Нейпиер: ако количествата образуват геометрична прогресия, тогава техните логаритми образуват аритметична прогресия. Правилата за логаритъм за функцията непер обаче се различават от правилата за съвременния логаритъм.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

За съжаление, всички стойности в таблицата на Napier съдържат изчислителна грешка след шестата цифра. Това обаче не попречи на новия метод за изчисление да придобие широка популярност и много европейски математици, включително Кеплер, започнаха да съставят логаритмични таблици. Само 5 години по-късно, през 1619 г., лондонският учител по математика Джон Спидел ( Джон Спийдел) преиздаде таблиците на Напиер, трансформирани така, че те ефективно да станат таблици с естествени логаритми (въпреки че Спайдел запази мащабирането до цели числа). Терминът "натурален логаритъм" е предложен от италианския математик Пиетро Менголи ( Пиетро Менголи)) в средата на 16 век.

Близко до съвременното разбиране на логаритмирането - като обратна операция на повдигане на степен - се появява за първи път с Уолис и Йохан Бернули и най-накрая е легитимирано от Ойлер през 18 век. В книгата „Въведение в анализа на безкрайностите“ (1748 г.) Ойлер дава съвременни дефиниции както на експоненциалните, така и на логаритмичните функции, разширява ги в степенни редове и особено отбелязва ролята на естествения логаритъм.

На Ойлер се приписва и разширяването на логаритмичната функция към комплексната област.

3.2. Комплексен логаритъм

4. Логаритмични таблици

Логаритмични таблици

Първите таблици с логаритми са публикувани от Джон Напиер (1614 г.) и те съдържат само логаритми на тригонометрични функции и то с грешки. Независимо от него Йост Бурги, приятел на Кеплер, публикува неговите таблици (1620). През 1617 г. професорът по математика в Оксфорд Хенри Бригс публикува таблици, които вече включват десетични логаритми на самите числа от 1 до 1000, с 8 (по-късно 14) цифри. Но имаше и грешки в таблиците на Бригс. Първото издание без грешки, базирано на таблиците на Вега (1783 г.), се появява едва през 1857 г. в Берлин (таблици на Бремивер).

Брадис В. М.Четирицифрени математически таблици. 44-то издание, М., 1973 г.

Таблиците на Bradis (1921) се използват в образователни институции и в инженерни изчисления, които не изискват голяма точност. Те съдържаха мантиси на десетични логаритми на числа и тригонометрични функции, естествени логаритми и някои други полезни инструменти за изчисление.

Вега Г.Таблици на седемцифрени логаритми, 4-то издание, М., 1971 г.

Професионална колекция за прецизни изчисления.

Петцифрени таблици с естествени стойности на тригонометрични величини, техните логаритми и логаритми на числа, 6-то издание, М.: Наука, 1972 г.
Таблици на естествените логаритми, 2-ро издание, в 2 тома, М.: Наука, 1971.

В наши дни, с разпространението на калкулаторите, необходимостта от използване на таблици с логаритми е изчезнала.

М, Характеристика (комплексен анализ).

Дадени са основните свойства на логаритъма, графика на логаритъм, област на дефиниране, набор от стойности, основни формули, нарастване и намаляване. Разглежда се намирането на производната на логаритъм. Както и интеграл, разширение на степенни редове и представяне с помощта на комплексни числа.

Съдържание

Област, набор от стойности, нарастване, намаляване

Логаритъмът е монотонна функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на логаритъма са представени в таблицата.


Домейн	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Диапазон от стойности	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонен	монотонно нараства	монотонно намалява
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	Не	Не
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частни ценности

Извиква се логаритъм при основа 10 десетичен логаритъми се обозначава по следния начин:

Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм:

Основни формули за логаритми

Свойства на логаритъма, произтичащи от дефиницията на обратната функция:

Основното свойство на логаритмите и последствията от него

Формула за заместване на основата

Логаритъмът е математическа операция за вземане на логаритъм. Когато се вземат логаритми, продуктите от фактори се преобразуват в суми от членове.
Потенцирането е математическата операция, обратна на логаритъма. По време на потенцирането дадена основа се повишава до степента на изразяване, върху която се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведения на фактори.

Доказателство на основни формули за логаритми

Формулите, свързани с логаритмите, следват от формули за експоненциални функции и от дефиницията на обратна функция.

Разгледайте свойството на експоненциалната функция
.
Тогава
.
Нека приложим свойството на експоненциалната функция
:
.

Нека докажем формулата за заместване на основата.
;
.
Ако приемем c = b, имаме:

Обратна функция

Обратната функция на логаритъм по основа а е експоненциална функция с показател а.

Ако, тогава

Производна на логаритъм

Производна на логаритъма на модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>

За да се намери производната на логаритъм, тя трябва да бъде намалена до основата д.
;
.

Интеграл

Интегралът на логаритъма се изчислява чрез интегриране по части: .
Така,

Изрази с комплексни числа

Разгледайте функцията за комплексно число z:
.
Нека изразим комплексно число zчрез модул rи аргумент φ :
.
Тогава, използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или

Въпреки това аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Ако поставите
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни н.

Следователно логаритъмът, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.

Разширение на степенни редове

Когато се извършва разширяването:

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Вижте също: