Проблеми от колекцията на Л. А. Кузнецова

Този урок разглежда темата „Изследване на функция и свързани задачи“. Този урок обсъжда изграждането на графики на функции с помощта на производни. Изучава се функцията, изгражда се нейната графика и се решават редица свързани проблеми.

Тема: Производна

Урок: Изследване на функцияи свързани задачи

Необходимо е да се изследва тази функция, да се изгради графика, да се намерят интервали на монотонност, максимуми, минимуми и какви задачи съпътстват познаването на тази функция.

Първо, ще използваме пълноценно информацията, която дава функция без производна.

1. Намерете интервалите на постоянство на функцията и изградете скица на графиката на функцията:

1) Намерете.

2) Функция корени: , от тук

3) Интервали на постоянство на функцията (виж фиг. 1):

Ориз. 1. Интервали на постоянен знак на функция.

Сега знаем, че на интервала и графиката е над оста X, на интервала - под оста X.

2. Нека построим графика в близост до всеки корен (виж фиг. 2).

Ориз. 2. Графика на функцията в близост до корена.

3. Нека построим графика на функцията в околността на всяка точка на прекъсване от областта на дефиниция. Домейнът на дефиниция прекъсва в точката. Ако стойността е близка до точката, тогава стойността на функцията клони към (виж фиг. 3).

Ориз. 3. Графика на функцията в околността на точката на прекъсване.

4. Да определим как води графиката в околността на безкрайно отдалечени точки:

Нека пишем с ограничения

. Важно е, че за много голям функцията почти не се различава от единица.

Нека намерим производната, интервалите на нейното постоянство и те ще бъдат интервалите на монотонност за функцията, намерим онези точки, в които производната е равна на нула, и разберем къде е максималната точка, къде е минималната точка.

Следователно, . Тези точки са вътрешните точки на областта на дефиницията. Нека да разберем какъв е знакът на производната на интервалите и коя от тези точки е максималната точка и коя е минималната точка (виж фиг. 4).

Ориз. 4. Интервали на постоянен знак на производната.

От фиг. 4 се вижда, че точката е минималната точка, точката е максималната точка. Стойността на функцията в точката е . Стойността на функцията в точката е 4. Сега нека начертаем функцията (виж фиг. 5).

Ориз. 5. Графика на функция.

Така построена функционална графика. Нека го опишем. Нека запишем интервалите, на които функцията намалява монотонно: , - това са интервалите, където производната е отрицателна. Функцията монотонно нараства на интервалите и . - минимална точка, - максимална точка.

Намерете броя на корените на уравнението в зависимост от стойностите на параметрите.

1. Изградете графика на функцията. Графиката на тази функция е изградена по-горе (виж фиг. 5).

2. Изрежете графиката със семейство прави линии и запишете отговора (виж фиг. 6).

Ориз. 6. Пресичане на графиката на функция с прави линии.

1) За - едно решение.

2) За - две решения.

3) За - три решения.

4) За - две решения.

5) При - три решения.

6) При - две решения.

7) При - едно решение.

Така решихме един от важните проблеми, а именно намирането на броя на решенията на уравнението в зависимост от параметъра . Може да има различни специални случаи, например, в които ще има едно решение или две решения, или три решения. Имайте предвид, че тези специални случаи, всички отговори на тези специални случаи се съдържат в общия отговор.

1. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математиката). - М.: Образование, 1996.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изследване на алгебрата и математическия анализ.-М .: Образование, 1997.

5. Сборник задачи по математика за кандидати в технически университети (под редакцията на М.И.Сканави).-М.: Висше училище, 1992г.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Тренажор по алгебри.-К.: А.С.К., 1997г.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra и началото на анализа. 8-11 клас: Помагало за училища и класове със задълбочено изучаване на математика (дидактически материали) - М.: Дрофа, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Задачи по алгебра и началото на анализа (помагало за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции).-М .: Образование, 2003.

9. Karp A.P. Сборник задачи по алгебра и началото на анализа: учеб. надбавка за 10-11 клетки. с дълбоко проучване математика.-М.: Образование, 2006.

10. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. 9-10 клас (ръководство за учители).-М.: Просвещение, 1983 г.

Допълнителни уеб ресурси

2. Портал за природни науки ().

правете у дома

№ 45.7, 45.10 (Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за образователни институции (профилно ниво) под редакцията на А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2007.)

Ако в задачата е необходимо да се извърши пълно изследване на функцията f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.

За да се реши проблем от този тип, трябва да се използват свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът за изследване включва следните стъпки:

Намиране на областта на дефиниция

Тъй като изследването се извършва в областта на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.

Пример 1

Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да ги изключим от DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен на четна степен от тип g (x) 4 чрез неравенството g (x) ≥ 0 , за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0 .

Изследване на границите на ОДЗ и намиране на вертикални асимптоти

Върху границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2

Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2 .

След това е необходимо да се проучи функцията, за да се намери едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че линиите x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.

Изследване на функцията и за четно или нечетно

Когато е изпълнено условието y (- x) = y (x), функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на O y. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за нечетна. Това означава, че симетрията върви по отношение на началото на координатите. Ако поне едно неравенство е неуспешно, получаваме функция от общ вид.

Изпълнението на равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на O y.

За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване съответно с условията f "(x) ≥ 0 и f" (x) ≤ 0.

Определение 1

Стационарни точкиса точки, които превръщат производната в нула.

Критични точкиса вътрешни точки от областта, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.

При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните точки:

• за съществуващите интервали на нарастване и намаляване на неравенството от вида f "(x) > 0 критичните точки не се включват в решението;
• точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на увеличение и намаляване (например y = x 3, където точката x = 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 се включва в интервала на увеличение);
• за да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, която се препоръчва от Министерството на образованието.

Включването на критични точки в интервалите на нарастване и намаляване, в случай че те удовлетворяват областта на функцията.

Определение 2

За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функцията, е необходимо да се намери:

• производно;
• критични точки;
• разбийте областта на дефиниция с помощта на критични точки на интервали;
• определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение и - е намаляване.

Пример 3

Намерете производната в областта f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да решите трябва:

• намерете стационарни точки, този пример има x = 0 ;
• намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойността нула при x = ± 1 2 .

Излагаме точки на числовата ос, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете произволна точка от интервала и да направите изчисление. Ако резултатът е положителен, рисуваме + на графиката, което означава увеличение на функцията, а - означава нейното намаляване.

Например, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, което означава, че първият интервал вляво има знак +. Помислете за числото линия.

Отговор:

• има увеличение на функцията на интервала - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• има намаление на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; +∞ .

На диаграмата, използвайки + и -, положителността и отрицателността на функцията са изобразени, а стрелките показват намаляване и увеличаване.

Точките на екстремум на функция са точките, където функцията е дефинирана и през които производната променя знака.

Пример 4

Ако разгледаме пример, където x = 0, тогава стойността на функцията в него е f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и преминава през точката x \u003d 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минималната точка.

Изпъкналостта и вдлъбнатината се определят чрез решаване на неравенства от вида f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . По-рядко използват името изпъкнал надолу вместо вдлъбнатина и изпъкнал нагоре вместо изпъкналост.

Определение 3

За определяне на пролуките на вдлъбнатината и изпъкналосттанеобходимо:

• намерете втората производна;
• намиране на нулите на функцията на втората производна;
• разбийте областта на дефиницията чрез точките, които се появяват на интервали;
• определете знака на празнината.

Пример 5

Намерете втората производна от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Намираме нулите на числителя и знаменателя, където, използвайки нашия пример, имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2

Сега трябва да поставите точки на числовата права и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Ние разбираме това

Отговор:

• функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
• функцията е вдлъбната от пропуските - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; +∞ .

Определение 4

точка на огъванее точка от вида x 0 ; f(x0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато преминава през x 0, функцията променя знака на противоположния.

С други думи, това е такава точка, през която минава втората производна и сменя знака, а в самите точки е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.

В примера се вижда, че няма точки на прегъване, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2 . Те от своя страна не са включени в областта на дефинициите.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

Когато се дефинира функция в безкрайност, трябва да се търсят хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5

Наклонени асимптотиса начертани с помощта на линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

За k = 0 и b не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтален.

С други думи, асимптотите са линиите, към които графиката на функцията се приближава в безкрайност. Това допринася за бързото изграждане на графиката на функцията.

Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана и в двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията при тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.

Пример 6

Като пример помислете за това

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. След като проучите функцията, можете да започнете да я изграждате.

Изчисляване на стойността на функция в междинни точки

За да направите графиката най-точно, се препоръчва да намерите няколко стойности на функцията в междинни точки.

Пример 7

От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, тоест получаваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Нека напишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия, междинните точки, е необходимо да се изградят асимптоти. За удобно обозначение са фиксирани интервали на увеличение, намаляване, изпъкналост, вдлъбнатост. Помислете за фигурата по-долу.

Необходимо е да начертаете линии на графика през маркираните точки, което ще ви позволи да се доближите до асимптотите, следвайки стрелките.

Това завършва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Решебник Кузнецов.
III Графики

Задача 7. Извършете цялостно изследване на функцията и постройте нейната графика.

        Преди да започнете да изтегляте опциите си, опитайте да разрешите проблема, като следвате примера по-долу за опция 3. Някои от опциите са архивирани във формат .rar

        7.3 Направете цялостно проучване на функцията и я начертайте

Решение.

        1) Обхват:         или         т.е.        .
.
Така:         .

        2) Няма пресечни точки с оста Ox. Наистина, уравнението         няма решения.
Няма пресечни точки с оста Oy, защото        .

        3) Функцията не е нито четна, нито нечетна. Няма симетрия по оста y. Няма симетрия и по отношение на произхода. Като
.
Виждаме, че         и        .

        4) Функцията е непрекъсната в домейна
.

; .

; .
Следователно точката         е точка на прекъсване от втория вид (безкрайна прекъсване).

5) Вертикални асимптоти:       

Намерете наклонената асимптота        . Тук

;
.
Следователно имаме хоризонтална асимптота: y=0. Няма наклонени асимптоти.

        6) Намерете първата производна. Първа производна:
.
И ето защо
.
Нека намерим стационарни точки, където производната е равна на нула, т.е
.

        7) Намерете втората производна. Втора производна:
.
И това е лесно да се провери, т.к