В училищната програма за курса по геометрия на твърдото тяло изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълнява от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилна четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредник (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, в основата на който има 2 квадрата, а страничните лица са представени от правоъгълници. Друго име на тази геометрична фигура е прав паралелепипед.

Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.

Можете да видите и на снимката най-важните елементи, които изграждат едно геометрично тяло. Те обикновено се наричат:

Понякога в задачи по геометрия можете да намерите концепцията за сечение. Определението ще звучи така: сечението е всички точки от обемно тяло, които принадлежат на равнината на сечение. Разрезът е перпендикулярен (пресича ръбовете на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално сечение (максималният брой секции, които могат да бъдат построени е 2), преминаващи през 2 ръба и диагоналите на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че равнината на сечение не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцираните призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призмата с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sprim h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a² h

Ако говорим за куб - обикновена призма с еднаква дължина, ширина и височина, обемът се изчислява, както следва:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.

От чертежа се вижда, че страничната повърхност е съставена от 4 равни правоъгълника. Площта му се изчислява като произведението на периметъра на основата и височината на фигурата:

Страна = Поз h

Тъй като периметърът на квадрат е P = 4a,формулата приема формата:

Страна = 4a h

За куб:

Страна = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призмата, добавете 2 основни области към страничната площ:

Пълен = Sside + 2Sbase

Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:

Пълен = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на елементи на призма

Често има проблеми, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на страничното ребро: h = Sside / 4a = V / a²;
• основна площ: Sprim = V / h;
• странична лицева област: Отстрани gr = Страна / 4.

За да определите каква площ има диагоналната секция, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и решавате няколко прости задачи.

Примери за проблеми с решения

Ето някои от задачите, които се появяват на държавните изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия, оформена като правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-дълга?

Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да дефинирате дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Дотолкова доколкото V₁ = V2, изразите могат да бъдат приравнени:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясъка ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина - са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира по формулата за куба:

Пълен = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята се ремонтира. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 m² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е а = √9 = 3м.

Площадът ще бъде покрит с тапети Страна = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапети за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.

По този начин за решаване на задачи върху правоъгълна призма е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб

С помощта на този видео урок всеки ще може самостоятелно да се запознае с темата „Концепцията за полиедър. призма. Повърхностна площ на призмата. По време на урока учителят ще говори за това какви са геометричните фигури като полиедър и призми, ще даде съответните определения и ще обясни същността им с конкретни примери.

С помощта на този урок всеки ще може самостоятелно да се запознае с темата „Понятието за полиедър. призма. Повърхностна площ на призмата.

Определение. Повърхнина, съставена от многоъгълници и ограничаваща определено геометрично тяло, ще се нарича полиедрална повърхност или полиедър.

Помислете за следните примери за полиедри:

1. Тетраедър ABCDе повърхност, съставена от четири триъгълника: ABC, adb, bdcи ADC(Фиг. 1).

Ориз. един

2. Паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1е повърхност, съставена от шест паралелограма (фиг. 2).

Ориз. 2

Основните елементи на полиедър са лица, ръбове, върхове.

Лицата са многоъгълниците, които съставляват полиедъра.

Ръбовете са страни на лицата.

Върховете са краищата на ръбовете.

Помислете за тетраедър ABCD(Фиг. 1). Нека посочим основните му елементи.

Фасети: триъгълници ABC, ADB, BDC, ADC.

Ребра: AB, AC, BC, DC, АД, BD.

върхове: А, Б, В, Г.

Помислете за кутия ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(фиг. 2).

Фасети: паралелограми AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Ребра: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

върхове: A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

Важен специален случай на полиедър е призмата.

ABSA 1 В 1 С 1(фиг. 3).

Ориз. 3

Равни триъгълници ABCи A 1 B 1 C 1са разположени в успоредни равнини α и β, така че ръбовете AA 1 , BB 1 , SS 1са успоредни.

т.е ABSA 1 В 1 С 1- триъгълна призма, ако:

1) Триъгълници ABCи A 1 B 1 C 1са равни.

2) Триъгълници ABCи A 1 B 1 C 1разположени в успоредни равнини α и β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Ребра AA 1 , BB 1 , SS 1са успоредни.

ABCи A 1 B 1 C 1- основата на призмата.

AA 1 , BB 1 , SS 1- странични ребра на призмата.

Ако от произволна точка H 1една равнина (например β) пада на перпендикуляра HH 1върху равнината α, то този перпендикуляр се нарича височина на призмата.

Определение. Ако страничните ръбове са перпендикулярни на основите, тогава призмата се нарича права, в противен случай се нарича наклонена.

Помислете за триъгълна призма ABSA 1 В 1 С 1(фиг. 4). Тази призма е права. Тоест страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Например ребро AA 1перпендикулярно на равнината ABC. Ръб, край AA 1е височината на тази призма.

Ориз. 4

Имайте предвид, че страничната страна AA 1 V 1 Vперпендикулярно на основите ABCи A 1 B 1 C 1, тъй като минава през перпендикуляра AA 1до основите.

Сега помислете за наклонена призма ABSA 1 В 1 С 1(фиг. 5). Тук страничният ръб не е перпендикулярен на равнината на основата. Ако отпаднем от точката А 1перпендикулярно A 1 Hна ABC, то този перпендикуляр ще бъде височината на призмата. Имайте предвид, че сегментът ANе проекцията на сегмента AA 1към самолета ABC.

След това ъгълът между линията AA 1и самолет ABCе ъгълът между правата AA 1и тя ANпроекция върху равнина, тоест ъгъла A 1 AH.

Ориз. 5

Помислете за четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(фиг. 6). Да видим как ще се окаже.

1) Четириъгълник ABCDравно на четириъгълник A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Четириъгълници ABCDи A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Четириъгълници ABCDи A 1 B 1 C 1 D 1подредени така, че страничните ребра да са успоредни, т.е. AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Определение. Диагоналът на призмата е отсечка, свързваща два върха на призмата, които не принадлежат на едно и също лице.

Например, AC 1- диагонал на четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Определение. Ако страничният ръб AA 1перпендикулярно на равнината на основата, тогава такава призма се нарича права линия.

Ориз. 6

Специален случай на четириъгълна призма е известният паралелепипед. Паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1показано на фиг. 7.

Нека видим как работи:

1) Равни фигури лежат в основите. В случая - равни паралелограми ABCDи A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Паралелограми ABCDи A 1 B 1 C 1 D 1лежат в успоредни равнини α и β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Паралелограми ABCDи A 1 B 1 C 1 D 1подредени по такъв начин, че страничните ребра да са успоредни едно на друго: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Ориз. 7

От една точка А 1пуснете перпендикуляра ANкъм самолета ABC. Линеен сегмент A 1 Hе височината.

Помислете как е подредена шестоъгълна призма (фиг. 8).

1) В основата лежат равни шестоъгълници А Б В Г Д Еи A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: А Б В Г Д Е= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Равнини на шестоъгълници А Б В Г Д Еи A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1успоредни, тоест основите лежат в успоредни равнини: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Шестоъгълници А Б В Г Д Еи A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1подредени така, че всички странични ръбове да са успоредни един на друг: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Ориз. осем

Определение. Ако някой страничен ръб е перпендикулярен на равнината на основата, тогава такава шестоъгълна призма се нарича права линия.

Определение. Права призма се нарича правилна, ако нейните основи са правилни многоъгълници.

Помислете за обикновена триъгълна призма ABSA 1 В 1 С 1.

Ориз. девет

триъгълна призма ABSA 1 В 1 С 1- правилно, това означава, че правилните триъгълници лежат в основите, тоест всички страни на тези триъгълници са равни. Освен това тази призма е права. Това означава, че страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата. И това означава, че всички странични лица са равни правоъгълници.

Така че, ако триъгълна призма ABSA 1 В 1 С 1е правилно, тогава:

1) Страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, тоест това е височината: AA 1 ⊥ ABC.

2) Основата е правилен триъгълник: ∆ ABC- правилно.

Определение. Общата повърхност на призмата е сумата от площите на всичките й лица. Обозначава се S пълен.

Определение. Площта на страничната повърхност е сумата от площите на всички странични повърхности. Обозначава се S страна.

Призмата има две основи. Тогава общата повърхност на призмата е:

S пълен \u003d S страна + 2S основна.

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

Доказателството ще бъде извършено на примера на триъгълна призма.

Дадено: ABSA 1 В 1 С 1- директна призма, т.е. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Докажи: S страна \u003d R основна ∙ h.

Ориз. десет

Доказателство.

триъгълна призма ABSA 1 В 1 С 1- направо, значи AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C -правоъгълници.

Намерете площта на страничната повърхност като сума от площите на правоъгълниците AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S страна \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P главен ∙ h.

Получаваме S страна \u003d R основна ∙ h, Q.E.D.

Запознахме се с полиедри, призма, нейните разновидности. Доказахме теоремата за страничната повърхност на призмата. В следващия урок ще решаваме задачи върху призма.

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, поправено и допълнено - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с. : аз ще.
2. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И. Ф. - М .: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М. : Дропла, 008. - 233 с. :аз ще.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. Старата школа ().
4. wikihow().

1. Какъв е минималният брой лица, които една призма може да има? Колко върхове, ръбове има такава призма?
2. Има ли призма, която има точно 100 ръба?
3. Страничното ребро е наклонено към основната равнина под ъгъл от 60°. Намерете височината на призмата, ако страничният ръб е 6 cm.
4. В права триъгълна призма всички ръбове са равни. Страничната му повърхност е 27 cm 2 . Намерете общата повърхност на призмата.

Различните призми са различни една от друга. В същото време те имат много общи неща. За да намерите площта на основата на призмата, трябва да разберете какъв вид изглежда.

Обща теория

Призмата е всеки полиедър, чиито страни имат формата на успоредник. Освен това всеки многоедър може да бъде в основата си - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни една на друга. Какво не се отнася за страничните лица - те могат да варират значително по размер.

При решаване на задачи се среща не само площта на основата на призмата. Може да е необходимо да се познава страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Пълната повърхност вече ще бъде обединението на всички лица, които съставляват призмата.

Понякога височините се появяват в задачите. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедъра е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.

Трябва да се отбележи, че площта на основата на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако те имат еднакви фигури в горната и долната част, тогава техните площи ще бъдат равни.

триъгълна призма

В основата му има фигура с три върха, тоест триъгълник. Известно е, че е различно. Ако тогава е достатъчно да си припомним, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.

Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.

За да разберете площта на основата в общ вид, са полезни формулите: Чапла и тази, в която половината от страната е взета до височината, изтеглена към нея.

Първата формула трябва да бъде написана така: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Този запис съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.

Второ: S = ½ n a * a.

Ако искате да знаете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът е равностранен. Той има своя собствена формула: S = ¼ a 2 * √3.

четириъгълна призма

Основата му е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви е необходима собствена формула.

Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S = av, където a, b са страните на правоъгълника.

Когато става въпрос за четириъгълна призма, основната площ на обикновена призма се изчислява по формулата за квадрат. Защото именно той лежи в основата. S \u003d a 2.

В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S \u003d a * n a. Случва се да са дадени страна на паралелепипед и един от ъглите. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: na \u003d b * sin A. Освен това ъгълът A е съседен на страната "b", а височината е na противоположна на този ъгъл.

Ако ромбът лежи в основата на призмата, тогава ще е необходима същата формула за определяне на нейната площ като за успоредник (тъй като това е частен случай). Но можете да използвате и този: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са два диагонала на ромба.

Правилна петоъгълна призма

Този случай включва разделяне на многоъгълника на триъгълници, чиито области са по-лесни за откриване. Въпреки че се случва фигурите да са с различен брой върхове.

Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.

Правилна шестоъгълна призма

Съгласно описания принцип за петоъгълна призма е възможно основният шестоъгълник да се раздели на 6 равностранни триъгълника. Формулата за площта на основата на такава призма е подобна на предишната. Само в него трябва да се умножи по шест.

Формулата ще изглежда така: S = 3/2 и 2 * √3.

Задачи

No 1. Дадена е редовна линия. Диагоналът й е 22 см, височината на полиедъра е 14 см. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.

Решение.Основата на призмата е квадрат, но страната й не е известна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 = a 2 + a 2. По този начин се оказва, че a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Заменете числото 22 вместо d и заменете "n" с неговата стойност - 14, оказва се, че страната на квадрата е 12 см. Сега е лесно да разберете основната площ: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти стойността на основната площ и да удвоите страната. Последното е лесно да се намери по формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест, 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. Установено е, че общата повърхност на призмата е 960 cm 2 .

Отговор.Основната площ на призмата е 144 cm2. Цялата площ - 960 см 2 .

No 2. Дана В основата лежи триъгълник със страна 6 см. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 см. Изчислете площите: основата и страничната повърхност.

Решение.Тъй като призмата е правилна, основата й е равностранен триъгълник. Следователно, неговата площ се оказва равна на 6 на квадрат по ¼ и на квадратен корен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.

Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да се изчислят площите им, е достатъчно тези числа да се умножат. След това ги умножете по три, защото призмата има точно толкова странични лица. След това площта на страничната повърхност се навива 180 cm 2.

Отговор.Площи: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните страни са равни правоъгълници.

Странично реброе общата страна на две съседни странични лица

Височина на призматае отсечка, перпендикулярна на основите на призмата

Диагонал на призмата- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и страничните й ръбове

Диагонален разрез- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)- това е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на страничните й ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са маркирани със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични повърхности AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сборът от площите на всички странични страни на призмата
• Обща повърхност - сумата от площите на всички основи и странични повърхности (сумата от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагонал B 1 D
• Основен диагонал BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства на правилна четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страните са правоъгълници.
• Страничните лица са равни една на друга
• Страничните повърхности са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни едно на друго и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ребра и успоредно на основите
• Ъгли на перпендикулярно сечение - дясно
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикулярно (ортогонално сечение), успоредно на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

При решаване на задачи по темата " правилна четириъгълна призма" предполага, че:

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат. (виж по-горе свойствата на правилна четириъгълна призма) Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (сечение твърда геометрия - призма). Ето задачите, които предизвикват трудности при решаването им. Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е тук - пишете за него във форума. За обозначаване на действието на извличане на квадратен корен при решаване на задачи се използва символът√ .

Задача.

В правилна четириъгълна призма площта на основата е 144 см 2, а височината е 14 см. Намерете диагонала на призмата и общата повърхност.

Решение.
Правилният четириъгълник е квадрат.
Съответно страната на основата ще бъде равна на

√144 = 12 см.
Откъдето диагоналът на основата на правилна правоъгълна призма ще бъде равен на
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагоналът на правилната призма образува правоъгълен триъгълник с диагонала на основата и височината на призмата. Съответно, според Питагоровата теорема, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Отговор: 22 см

Задача

Намерете общата площ на правилната четириъгълна призма, ако нейният диагонал е 5 cm, а диагоналът на страничната страна е 4 cm.

Решение.
Тъй като основата на правилната четириъгълна призма е квадрат, тогава страната на основата (означена като а) се намира от Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Височината на страничната повърхност (означена като h) тогава ще бъде равна на:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Общата повърхност ще бъде равна на сбора от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

В училищния курс по стереометрия една от най-простите фигури, която има ненулеви размери по три пространствени оси, е четириъгълна призма. Помислете в статията какъв вид фигура е, от какви елементи се състои, както и как можете да изчислите нейната повърхност и обем.

Концепцията за призма

В геометрията призмата е пространствена фигура, която се образува от две еднакви основи и странични повърхности, които свързват страните на тези основи. Забележете, че и двете бази се трансформират една в друга, като се използва операцията на паралелна транслация от някакъв вектор. Тази задача на призмата води до факта, че всичките й страни винаги са успоредни.

Броят на страните на основата може да бъде произволен, като се започне от три. Когато това число се стреми към безкрайност, призмата плавно се превръща в цилиндър, тъй като основата й се превръща в кръг, а страничните паралелограми, свързващи се, образуват цилиндрична повърхност.

Като всеки полиедър, призмата се характеризира със страни (равнини, които ограничават фигурата), ръбове (сегменти, по които се пресичат всякакви две страни) и върхове (срещи точки на три страни, за призмата две от тях са странични, а третата е базата). Числата на тези три елемента на фигурата са свързани помежду си чрез следния израз:

Тук P, C и B са съответно броят на ръбовете, страните и върховете. Този израз е математическа нотация на теоремата на Ойлер.

По-горе е снимка, показваща две призми. В основата на един от тях (A) лежи правилен шестоъгълник, а страничните страни са перпендикулярни на основите. Фигура B показва друга призма. Страните му вече не са перпендикулярни на основите, а основата е правилен петоъгълник.

четириъгълен?

Както става ясно от описанието по-горе, видът на призмата се определя преди всичко от вида на многоъгълника, който образува основата (и двете основи са еднакви, така че можем да говорим за една от тях). Ако този многоъгълник е паралелограм, тогава получаваме четириъгълна призма. Така че всички страни на това са паралелограми. Четириъгълна призма има свое име - паралелепипед.

Броят на страните на паралелепипеда е шест, като всяка страна има аналогичен паралел на него. Тъй като основите на паралелепипеда са две страни, останалите четири са странични.

Броят на върховете на паралелепипеда е осем, което е лесно да се види, ако си припомним, че върховете на призмата се образуват само във върховете на основните многоъгълници (4x2=8). Прилагайки теоремата на Ойлер, получаваме броя на ръбовете:

P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 \u003d 12

От 12-те ребра само 4 са оформени независимо от страните. Останалите 8 лежат в равнините на основите на фигурата.

Видове паралелепипеди

Първият тип класификация се крие в характеристиките на паралелограма, който лежи в основата. Може да изглежда така:

• обикновени, при които ъглите не са равни на 90 o;
• правоъгълник;
• квадратът е правилен четириъгълник.

Вторият тип класификация е ъгълът, под който страната пресича основата. Тук са възможни два различни случая:

• този ъгъл не е прав, тогава призмата се нарича наклонена или наклонена;
• ъгълът е 90 o, тогава такава призма е правоъгълна или просто права.

Третият тип класификация е свързана с височината на призмата. Ако призмата е правоъгълна, а основата е квадрат или правоъгълник, тогава тя се нарича кубоид. Ако в основата има квадрат, призмата е правоъгълна и височината й е равна на дължината на страната на квадрата, тогава получаваме добре познатата фигура на куб.

Повърхността на призмата и нейната площ

Множеството от всички точки, които лежат върху двете основи на призмата (успоредник) и на нейните страни (четири успоредника), образуват повърхността на фигурата. Площта на тази повърхност може да се изчисли чрез изчисляване на площта на основата и тази стойност за страничната повърхност. Тогава тяхната сума ще даде желаната стойност. Математически това се пише така:

Тук S o и S b са съответно площта на основата и страничната повърхност. Числото 2 преди S o се появява, защото има две основи.

Имайте предвид, че написаната формула е валидна за всяка призма, а не само за площта на четириъгълна призма.

Полезно е да припомним, че площта на паралелограма S p се изчислява по формулата:

Където символите a и h означават съответно дължината на една от нейните страни и височината, изтеглена към тази страна.

Площ на правоъгълна призма с квадратна основа

Основата е квадрат. За определеност обозначаваме неговата страна с буквата а. За да изчислите площта на обикновена четириъгълна призма, трябва да знаете нейната височина. Според определението за тази величина тя е равна на дължината на перпендикуляра, спуснат от една основа към друга, тоест равна на разстоянието между тях. Нека го обозначим с буквата h. Тъй като всички странични лица са перпендикулярни на основите за разглеждания тип призма, височината на правилната четириъгълна призма ще бъде равна на дължината на страничния й ръб.

В общата формула за повърхността на призмата има два термина. Площта на основата в този случай е лесна за изчисляване, тя е равна на:

За да изчислим площта на страничната повърхност, ние твърдим, че тази повърхност е образувана от 4 еднакви правоъгълника. Освен това страните на всеки от тях са равни на a и h. Това означава, че площта S b ще бъде равна на:

Обърнете внимание, че произведението 4*a е периметърът на квадратната основа. Ако обобщим този израз за случая на произволна основа, тогава за правоъгълна призма страничната повърхност може да се изчисли, както следва:

Където P o е периметърът на основата.

Връщайки се към проблема за изчисляване на площта на правилна четириъгълна призма, можем да напишем крайната формула:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Площ на наклонен паралелепипед

Изчисляването му е малко по-трудно, отколкото за правоъгълен. В този случай площта на основата на четириъгълна призма се изчислява по същата формула като за паралелограма. Промените се отнасят до метода за определяне на площта на страничната повърхност.

За да направите това, използвайте същата формула през периметъра, който е даден в параграфа по-горе. Само сега ще има малко по-различни множители. Общата формула за S b в случай на наклонена призма е:

Тук c е дължината на страничния ръб на фигурата. Стойността P sr е периметърът на правоъгълния отрязък. Тази среда е конструирана по следния начин: необходимо е всички странични лица да се пресекат с равнина, така че да е перпендикулярна на всички тях. Полученият правоъгълник ще бъде желаният резен.

Фигурата по-горе показва пример за наклонена кутия. Неговото напречно щриховано сечение образува прави ъгли със страните. Периметърът на участъка е P sr . Образува се от четири височини на странични успоредници. За тази четириъгълна призма площта на страничната повърхност се изчислява по горната формула.

Дължината на диагонала на кубоид

Диагоналът на паралелепипед е отсечка, която свързва два върха, които нямат общи страни, които ги образуват. Във всяка четириъгълна призма има само четири диагонала. За кубоид с правоъгълник в основата си дължините на всички диагонали са равни една на друга.

Фигурата по-долу показва съответната фигура. Червеният сегмент е неговият диагонал.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Тук D е дължината на диагонала. Останалите символи са дължините на страните на паралелепипеда.

Много хора бъркат диагонала на паралелепипед с диагоналите на неговите страни. По-долу е фигура, където диагоналите на страните на фигурата са показани с цветни сегменти.

Дължината на всеки от тях също се определя от Питагоровата теорема и е равна на корен квадратен от сбора на квадратите на съответните дължини на страните.

Обем на призмата

В допълнение към площта на правилната четириъгълна призма или други видове призми, за да се решат някои геометрични задачи, трябва да се знае и техният обем. Тази стойност за абсолютно всяка призма се изчислява по следната формула:

Ако призмата е правоъгълна, тогава е достатъчно да изчислите площта на основата й и да я умножите по дължината на ръба на страната, за да получите обема на фигурата.

Ако призмата е правилен четириъгълник, тогава нейният обем ще бъде равен на:

Лесно е да се види, че тази формула се превръща в израз за обема на куб, ако дължината на страничния ръб h е равна на страната на основата a.

Проблем с кубоид

За да консолидираме изследвания материал, ще решим следната задача: има правоъгълен паралелепипед, чиито страни са 3 см, 4 см и 5 см. Необходимо е да се изчисли неговата повърхност, дължината на диагонала и обема.

S = 2 * S o + S b \u003d 2 * 12 + 5 * 14 = 24 + 70 = 94 см 2

За да определите дължината на диагонала и обема на фигурата, можете директно да използвате горните изрази:

D \u003d √ (3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 см;

V \u003d 3 * 4 * 5 = 60 см 3.

Проблем с наклонен паралелепипед

Фигурата по-долу показва наклонена призма. Страните му са равни: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Необходимо е да се намери площта на повърхността на тази фигура.

Първо, нека определим площта на основата. От фигурата се вижда, че острият ъгъл е 50 o. Тогава неговата площ е:

S o \u003d h * a = sin (50 o) * b * a

За да определите страничната повърхност, намерете периметъра на защрихования правоъгълник. Страните на този правоъгълник са a*sin(45o) и b*sin(60o). Тогава периметърът на този правоъгълник е:

P sr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))

Общата повърхност на този паралелепипед е:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Заместваме данните от условието на задачата за дължините на страните на фигурата, получаваме отговора:

От решението на тази задача може да се види, че тригонометричните функции се използват за определяне на площите на наклонените фигури.