El último teorema de Fermat: demostración de Wiles y Perelman, fórmulas, reglas de cálculo y demostración completa del teorema. La sensación en torno al teorema de Farm resultó ser un malentendido El camino científico de Sir Andrew

En el último siglo XX ocurrió un evento que nunca había sido igual en escala en matemáticas en toda su historia. El 19 de septiembre de 1994 quedó demostrado un teorema formulado por Pierre de Fermat (1601-1665) hace más de 350 años en 1637. También se le conoce como último teorema de Fermat o último teorema de Fermat, ya que también existe el llamado pequeño teorema de Fermat. Lo demostró el profesor de la Universidad de Princeton Andrew Wiles, de 41 años, hasta entonces poco destacado en la comunidad matemática y, según los estándares matemáticos, ya de mediana edad.

Es sorprendente que no sólo nuestros habitantes comunes y corrientes de Rusia, sino también muchas personas interesadas en la ciencia, incluido incluso un número considerable de científicos en Rusia que utilizan las matemáticas de una forma u otra, no sepan realmente acerca de este evento. Así lo demuestran los continuos informes "sensacionalistas" sobre las "demostraciones elementales" del teorema de Fermat en los periódicos populares rusos y en la televisión. Las últimas pruebas estaban cubiertas con tal poder informativo, como si las pruebas de Wiles, que habían sido sometidas al examen más autorizado y se habían hecho ampliamente conocidas en todo el mundo, no existieran. La reacción de la comunidad matemática rusa ante esta noticia de primera plana en el contexto de una demostración rigurosa obtenida hace mucho tiempo fue sorprendentemente lenta. Nuestro objetivo es esbozar la fascinante y dramática historia de la demostración de Wiles en el contexto de la encantadora historia del propio gran teorema de Fermat, y hablar un poco sobre su propia demostración. Aquí nos interesa principalmente la cuestión de la posibilidad de una presentación accesible de la prueba de Wiles, que, por supuesto, la mayoría de los matemáticos del mundo conocen, pero sólo muy, muy pocos de ellos pueden hablar sobre la comprensión de esta prueba.

Entonces, recordemos el famoso teorema de Fermat. La mayoría de nosotros hemos oído hablar de ello de una forma u otra desde la escuela. Este teorema está relacionado con una ecuación muy significativa. Esta es quizás la ecuación significativa más simple que se puede escribir usando tres incógnitas y un parámetro entero estrictamente positivo. Aquí lo tienes:

El último teorema de Fermat establece que para valores del parámetro (el grado de la ecuación) mayores que dos, no hay soluciones enteras para una ecuación dada (excepto, por supuesto, una solución en la que todas estas variables son iguales a cero en al mismo tiempo).

El poder de atracción del teorema de Fermat para el público en general es obvio: no existe otro enunciado matemático que tenga tanta simplicidad de formulación, la aparente accesibilidad de la prueba, así como el atractivo de su "estatus" a los ojos de la sociedad.

Antes de Wiles, un incentivo adicional para los fermatistas (como se llamaba a las personas que atacaron maniáticamente el problema de Fermat) fue el premio alemán Wolfskehl a la prueba, creado hace casi cien años, aunque pequeño en comparación con el Premio Nobel: logró depreciarse durante la Primera. Guerra Mundial.

Además, siempre ha llamado la atención el probable carácter elemental de la prueba, ya que el propio Fermat “la demostró” escribiendo en el margen de la traducción de la Aritmética de Diofanto: “He encontrado una prueba verdaderamente maravillosa de esto, pero los márgenes aquí son demasiado estrechos para contenerlo”.

Por eso conviene aquí hacer una valoración de la relevancia de popularizar la prueba del problema de Fermat de Wiles, que pertenece al famoso matemático estadounidense R. Murty (citamos de la traducción del libro de próxima publicación de Yu Manin y A. Panchishkin “Introducción a la teoría de números moderna”):

“El último teorema de Fermat ocupa un lugar especial en la historia de la civilización. Con su simplicidad exterior, siempre ha atraído tanto a aficionados como a profesionales... Todo parece como si hubiera sido concebido por una mente superior, que a lo largo de los siglos desarrolló varias líneas de pensamiento para luego reunirlas en una emocionante fusión para resolver el Gran Los teoremas de Fermat. Ninguna persona puede pretender ser un experto en todas las ideas utilizadas en esta prueba “milagrosa”. En una era de especialización universal, en la que cada uno de nosotros sabe “cada vez más sobre cada vez menos”, es absolutamente necesario tener una visión general de esta obra maestra...”

Comencemos con una breve excursión histórica, inspirada principalmente en el fascinante libro de Simon Singh, El último teorema de Fermat. Siempre han estado hirviendo pasiones serias en torno al insidioso teorema, seductor por su aparente sencillez. La historia de su prueba está llena de dramatismo, misticismo e incluso víctimas directas. Quizás la víctima más emblemática sea Yutaka Taniyama (1927-1958). Fue este joven y talentoso matemático japonés, distinguido por su gran extravagancia en la vida, quien sentó las bases para el ataque de Wiles en 1955. A partir de sus ideas, Goro Shimura y André Weil, unos años más tarde (60-67), finalmente formularon la famosa conjetura, tras haber demostrado una parte importante de la misma, Wiles obtuvo como corolario el teorema de Fermat. El misticismo de la historia de la muerte del nada trivial Yutaka está asociado con su temperamento tormentoso: se ahorcó a la edad de treinta y un años debido a un amor infeliz.

Toda la larga historia del misterioso teorema estuvo acompañada de constantes anuncios sobre su demostración, empezando por el propio Fermat. Los errores constantes en la interminable corriente de demostraciones les sucedieron no sólo a los matemáticos aficionados, sino también a los matemáticos profesionales. Esto llevó al hecho de que el término "fermatista", aplicado a quienes demostraron el teorema de Fermat, se convirtió en un sustantivo común. La constante intriga con sus pruebas desembocaba en ocasiones en incidentes divertidos. Entonces, cuando se descubrió una brecha en la primera versión de la ya ampliamente publicitada demostración de Wiles, apareció una inscripción maliciosa en una de las estaciones del metro de Nueva York: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa del último teorema de Fermat, pero mi tren ha llegado". y no tengo tiempo para escribirlo”.

Andrew Wiles, nacido en Inglaterra en 1953, estudió matemáticas en Cambridge; en la escuela de posgrado estudió con el profesor John Coates. Bajo su dirección, Andrew comprendió la teoría del matemático japonés Iwasawa, situada en el límite de la teoría de números clásica y la geometría algebraica moderna. Esta fusión de disciplinas matemáticas aparentemente distantes se llama geometría algebraica aritmética. Andrew cuestionó el problema de Fermat, basándose precisamente en esta teoría sintética, difícil incluso para muchos matemáticos profesionales.

Después de completar sus estudios de posgrado, Wiles aceptó un puesto en la Universidad de Princeton, donde todavía trabaja. Está casado y tiene tres hijas, dos de las cuales nacieron "durante el proceso de siete años de la primera versión de la prueba". Durante estos años, sólo Nada, la esposa de Andrew, sabía que él estaba asaltando solo la cumbre más inaccesible y famosa de las matemáticas. A ellas, Nadya, Claire, Kate y Olivia, está dedicado el famoso artículo final de Wiles "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" en la revista central de matemáticas "Annals of Mathematics", donde se publican los trabajos matemáticos más importantes.

Los propios acontecimientos en torno a la prueba se desarrollaron de forma bastante dramática. Este apasionante escenario podría denominarse “fermatista – matemático profesional”.

De hecho, Andrew soñaba desde su juventud con demostrar el teorema de Fermat. Pero, a diferencia de la inmensa mayoría de los fermatistas, tenía claro que para ello era necesario dominar capas enteras de las matemáticas más complejas. Avanzando hacia su objetivo, Andrew se gradúa en la Facultad de Matemáticas de la famosa Universidad de Cambridge y comienza a especializarse en la teoría de números moderna, que se encuentra en la intersección con la geometría algebraica.

La idea de asaltar la cima brillante es bastante simple y fundamental: la mejor munición posible y un cuidadoso desarrollo de la ruta.

La teoría de Iwasawa, que ya le resulta familiar y tiene profundas raíces históricas, desarrollada por el propio Wiles, es elegida como una poderosa herramienta para lograr el objetivo. Esta teoría generalizó la teoría de Kummer, históricamente la primera teoría matemática seria que atacó el problema de Fermat, que apareció allá por el siglo XIX. A su vez, las raíces de la teoría de Kummer se encuentran en la famosa teoría del legendario y brillante revolucionario romántico Evariste Galois, quien murió a los veintiún años en un duelo en defensa del honor de una niña (preste atención, recordando la historia con Taniyama , al papel fatal de las bellas damas en la historia de las matemáticas).

Wiles está completamente inmerso en la prueba, incluso dejando de participar en conferencias científicas. Y como resultado de un retiro de siete años de la comunidad matemática de Princeton, en mayo de 1993, Andrew puso fin a su texto: el trabajo estaba hecho.

Fue en ese momento cuando se presentó una excelente oportunidad para informar al mundo científico sobre su descubrimiento: ya en junio se celebraría una conferencia en su Cambridge natal precisamente sobre el tema deseado. Tres conferencias de Isaac Newton en el Instituto de Cambridge entusiasman no sólo al mundo matemático, sino también al público en general. Al final de la tercera conferencia, el 23 de junio de 1993, Wiles anuncia la demostración del último teorema de Fermat. La prueba está llena de un montón de ideas nuevas, como un nuevo enfoque de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, una teoría muy avanzada de Iwasawa, una nueva “teoría del control de la deformación” de las representaciones de Galois. La comunidad matemática espera ansiosamente que el texto de la demostración sea revisado por expertos en geometría aritmética algebraica.

Aquí es donde llega el giro dramático. El propio Wiles, en el proceso de comunicarse con los revisores, descubre una laguna en su evidencia. La grieta fue causada por el mecanismo de "control de deformación" que él mismo inventó: la estructura de soporte de la prueba.

La brecha se revela un par de meses más tarde cuando Wiles explica, línea por línea, su prueba a su colega de la facultad de Princeton, Nick Katz. Nick Katz, que mantiene una relación amistosa con Andrew desde hace mucho tiempo, le recomienda colaborar con el joven y prometedor matemático inglés Richard Taylor.

Pasa otro año de arduo trabajo asociado con el estudio de un arma adicional para atacar un problema difícil de resolver: los llamados sistemas de Euler, descubiertos de forma independiente en los años 80 por nuestro compatriota Viktor Kolyvagin (que ya trabajó durante mucho tiempo en la Universidad de Nueva York). ) y tailandés.

Y aquí tenéis una nueva prueba. Aún no terminado, pero todavía muy impresionante, el resultado del trabajo de Wiles fue presentado por él en el Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich a finales de agosto de 1994. Wiles lucha duro. Literalmente antes del informe, según testigos presenciales, estaba escribiendo febrilmente algo más, tratando de mejorar al máximo la situación con la evidencia "hundida".

Después de esta intrigante audiencia de los principales matemáticos del mundo, el informe de Wiles, la comunidad matemática "exhala con alegría" y aplaude con simpatía: está bien, muchacho, pase lo que pase, pero él ha hecho avanzar la ciencia, demostrando que al resolver una hipótesis tan inexpugnable se puede avanzar con éxito, algo que nadie había hecho antes. Ni siquiera pensé en hacerlo. Otro fermatista, Andrew Wiles, no pudo quitar el sueño secreto de muchos matemáticos de demostrar el teorema de Fermat.

Es natural imaginar el estado de Wiles en ese momento. Ni siquiera el apoyo y la actitud amistosa de sus colegas pudieron compensar su estado de devastación psicológica.

Y así, apenas un mes después, cuando, como escribe Wiles en la introducción de su último artículo en Annals con la prueba final, "decidí echar un último vistazo a los sistemas eulerianos en un intento de revivir este argumento como prueba", sucedió . Wiles tuvo una visión fugaz el 19 de septiembre de 1994. Fue ese día cuando se cerró la brecha en la prueba.

Luego las cosas se movieron a un ritmo rápido. La colaboración ya establecida con Richard Taylor en el estudio de los sistemas eulerianos de Kolyvagin y Thain permitió finalizar la prueba en forma de dos grandes artículos en octubre.

Su publicación, que ocupó todo el número de Annals of Mathematics, se produjo en noviembre de 1994. Todo esto provocó una nueva y poderosa oleada de información. La historia de la prueba de Wiles recibió una prensa entusiasta en los Estados Unidos, se hizo una película y se publicaron libros sobre el autor de un avance fantástico en matemáticas. En una evaluación de su propio trabajo, Wiles señaló que había inventado las matemáticas del futuro.

(Me pregunto si esto es así. Notemos que con toda esta tormenta de información hubo un marcado contraste con la resonancia de información casi nula en Rusia, que continúa hasta el día de hoy).

Hagámonos una pregunta: ¿cuál es la “cocina interna” para obtener resultados sobresalientes? Al fin y al cabo, es interesante saber cómo organiza un científico su trabajo, en qué se centra en él y cómo determina las prioridades de sus actividades. ¿Qué se puede decir de Andrew Wiles en este sentido? E inesperadamente resulta que en la era moderna de comunicación científica activa y estilo de trabajo colectivo, Wiles tenía su propia visión sobre el estilo de trabajar en superproblemas.

Wiles logró este fantástico resultado gracias a un intenso y continuo trabajo individual de muchos años. La organización de sus actividades, hablando en el idioma oficial, fue extremadamente imprevista. Esto categóricamente no podría llamarse una actividad en el marco de una subvención específica, para la cual es necesario informar periódicamente y, nuevamente, planificar cada vez para obtener ciertos resultados en una fecha determinada.

Tal actividad fuera de la sociedad, que no implicaba comunicación científica directa con colegas ni siquiera en conferencias, parecía contradecir todos los cánones del trabajo de un científico moderno.

Pero fue el trabajo individual el que permitió ir más allá de los conceptos y métodos estándar ya establecidos. Este estilo de trabajo, de forma cerrada y al mismo tiempo libre en esencia, permitió inventar nuevos métodos poderosos y obtener resultados de un nuevo nivel.

El problema al que se enfrentaba Wiles (la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil) ni siquiera se encontraba entre los picos más cercanos que podían ser conquistados por las matemáticas modernas en aquellos años. Al mismo tiempo, ninguno de los especialistas negó su enorme importancia, y nominalmente estaba en la "corriente principal" de las matemáticas modernas.

Por lo tanto, las actividades de Wiles fueron de naturaleza claramente no sistémica y el resultado se logró gracias a una fuerte motivación, talento, libertad creativa, voluntad, condiciones materiales más que favorables para trabajar en Princeton y, lo más importante, el entendimiento mutuo en la familia.

La demostración de Wiles, que apareció como un rayo caído del cielo, se convirtió en una especie de prueba para la comunidad matemática internacional. La reacción incluso de la parte más progresista de esta comunidad en su conjunto resultó ser, curiosamente, bastante neutral. Después de que las emociones y el deleite de la primera vez después de la aparición de la evidencia histórica disminuyeron, todos continuaron tranquilamente con sus asuntos. Los especialistas en geometría aritmética algebraica estudiaron lentamente la "poderosa prueba" en su estrecho círculo, mientras que el resto siguió sus caminos matemáticos, divergiendo, como antes, cada vez más unos de otros.

Intentemos comprender esta situación, que tiene razones tanto objetivas como subjetivas. Los factores objetivos de la no percepción, curiosamente, tienen sus raíces en la estructura organizativa de la actividad científica moderna. Esta actividad es como una pista de patinaje que desciende por un camino en pendiente y posee una inercia colosal: su propia escuela, sus propias prioridades establecidas, sus propias fuentes de financiación, etc. Todo esto es bueno desde el punto de vista de un sistema establecido de presentación de informes al otorgante de la subvención, pero dificulta levantar la cabeza y mirar a su alrededor: lo que es realmente importante y relevante para la ciencia y la sociedad, y no para la siguiente parte de la vida. ¿una beca?

Por otra parte, no querrás salir de tu acogedor agujero, donde todo te resulta tan familiar, y meterte en otro agujero completamente desconocido. No se sabe qué esperar allí. Además, está claro que no dan dinero por intrusión.

Es bastante natural que ninguna de las estructuras burocráticas que organizan la ciencia en diferentes países, incluida Rusia, haya sacado conclusiones no sólo del fenómeno de la demostración de Andrew Wiles, sino también del fenómeno similar de la sensacional demostración de Grigory Perelman de otro matemático también famoso. problema.

Los factores subjetivos de la neutralidad de la reacción del mundo matemático ante el “acontecimiento del milenio” residen en razones bastante prosaicas. La prueba es, en efecto, extraordinariamente compleja y extensa. Para alguien que no sea especialista en geometría aritmética algebraica, parece consistir en una superposición de terminología y construcciones de las disciplinas matemáticas más abstractas. Parece que el autor no se propuso en absoluto ser comprendido por el mayor número posible de matemáticos interesados.

Esta complejidad metodológica, lamentablemente, está presente como un costo inevitable de las grandes demostraciones de los últimos tiempos (por ejemplo, el análisis de la reciente demostración de la conjetura de Poincaré de Grigory Perelman continúa hasta el día de hoy).

La complejidad de la percepción se ve reforzada por el hecho de que la geometría aritmética algebraica es un subcampo de las matemáticas muy exótico, que causa dificultades incluso para los matemáticos profesionales. El asunto también se vio agravado por la extraordinaria naturaleza sintética de la demostración de Wiles, que utilizó una variedad de herramientas modernas creadas por un gran número de matemáticos en los últimos años.

Pero debemos tener en cuenta que Wiles no se enfrentaba a la tarea metodológica de la explicación: estaba construyendo un nuevo método. Lo que funcionó en el método fue precisamente la síntesis de las brillantes ideas del propio Wiles y un conglomerado de los últimos resultados de diversas direcciones matemáticas. Y fue precisamente una estructura tan poderosa la que embistió el problema inexpugnable. La prueba no fue un accidente. El hecho de su cristalización fue plenamente coherente tanto con la lógica del desarrollo de la ciencia como con la lógica del conocimiento. La tarea de explicar tal superprueba parece ser un problema absolutamente independiente, muy difícil, aunque muy prometedor.

Puedes poner a prueba la opinión pública tú mismo. Intente hacer preguntas a los matemáticos que conoce sobre la prueba de Wiles: ¿quién entendió? ¿Quién entendió al menos las ideas básicas? ¿Quién quería entender? ¿Quién sintió que se trataba de nuevas matemáticas? Las respuestas a estas preguntas parecen retóricas. Y es poco probable que conozca a muchas personas que quieran romper la barrera de los términos especiales y dominar nuevos conceptos y métodos para resolver una sola ecuación muy exótica. ¿Y por qué es necesario estudiar todo esto para esta tarea en particular?

Déjame darte un ejemplo divertido. Hace un par de años, el famoso matemático francés, premio Fields, Pierre Deligne, destacado especialista en geometría algebraica y teoría de números, cuando el autor le preguntó sobre el significado de uno de los objetos clave de la prueba de Wiles: el llamado " anillo de deformaciones” - después de media hora de reflexión, dijo que no entendía completamente el significado de este objeto. Han pasado diez años desde la prueba a estas alturas.

Ahora podemos reproducir la reacción de los matemáticos rusos. La principal reacción es su ausencia casi total. Esto se debe principalmente a las matemáticas "pesadas" e "inusuales" de Wiles.

Por ejemplo, en la teoría de números clásica no encontrará demostraciones tan largas como las de Wiles. Como dicen los teóricos de los números, “una prueba debe tener una extensión de una página” (la prueba de Wiles en colaboración con Taylor en la versión de revista ocupa 120 páginas).

Tampoco puede excluir el factor miedo por la falta de profesionalismo de su evaluación: al reaccionar, asume la responsabilidad de evaluar las pruebas. ¿Cómo hacer esto cuando no sabes estas matemáticas?

Es característica la posición adoptada por los especialistas directos en teoría de números: “... y asombro, y ardiente interés, y cautela ante uno de los mayores misterios de la historia de las matemáticas” (del prefacio del libro de Paulo Ribenboim “El último teorema de Fermat para aficionados”: el único disponible hoy en día en la fuente directamente de la demostración de Wiles para el lector general.

La reacción de uno de los matemáticos rusos modernos más famosos, el académico V.I. Arnold es "activamente escéptico" acerca de la prueba: estas no son matemáticas reales: las matemáticas reales son geométricas y tienen fuertes conexiones con la física. Además, el problema de Fermat en sí, por su naturaleza, no puede generar el desarrollo de las matemáticas, ya que es “binario”, es decir, la formulación del problema requiere una respuesta únicamente a la pregunta “sí o no”. Al mismo tiempo, los trabajos matemáticos del propio V.I. Las obras de Arnold resultaron estar dedicadas en gran medida a variaciones sobre temas de teoría de números muy similares. Es posible que Wiles, paradójicamente, se convirtiera en una causa indirecta de esta actividad.

En la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, sin embargo, aparecen entusiastas de las pruebas. Un notable matemático y científico popular Yu.P. Soloviev (que se separó prematuramente de nosotros) inicia la traducción del libro de E. Knapp sobre las curvas elípticas con el material necesario sobre la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Alexey Panchishkin, que ahora trabaja en Francia, dio conferencias en la Facultad de Mecánica y Matemáticas en 2001, que le sirvieron de base para su correspondiente parte con Yu.I. Manin del excelente libro sobre teoría de números moderna mencionado anteriormente (publicado en traducción rusa por Sergei Gorchinsky con edición de Alexei Parshin en 2007).

Es algo sorprendente que en el Instituto de Matemáticas Steklov de Moscú, el centro del mundo matemático ruso, la demostración de Wiles no se discutiera en seminarios, sino que fuera estudiada únicamente por expertos especializados individuales. Además, no se entendió la demostración completa de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil (Wiles demostró sólo una parte, suficiente para demostrar el teorema de Fermat). Esta demostración fue presentada en el año 2000 por todo un equipo de matemáticos extranjeros, entre ellos Richard Taylor, coautor de Wiles en la etapa final de la demostración del teorema de Fermat.

Tampoco hubo declaraciones públicas, y mucho menos discusiones, por parte de famosos matemáticos rusos sobre la prueba de Wiles. Existe una discusión bastante aguda entre el ruso V. Arnold ("un escéptico del método de prueba") y el estadounidense S. Lang ("un entusiasta del método de prueba"), sin embargo, se pierden rastros de ella en Occidente. publicaciones. En la prensa matemática central rusa, durante el tiempo transcurrido desde la publicación de la demostración de Wiles, no ha habido publicaciones sobre el tema de la demostración. Quizás la única publicación sobre este tema fue una traducción de un artículo del matemático canadiense Henry Darmon, incluso una versión incompleta de la demostración, en Advances in Mathematical Sciences en 1995 (es curioso que la demostración completa ya haya sido publicada).

En este contexto matemático "somnoliento", a pesar de la naturaleza altamente abstracta de la prueba de Wiles, algunos físicos teóricos intrépidos la incluyeron en su área de interés potencial y comenzaron a estudiarla, con la esperanza de encontrar tarde o temprano aplicaciones de las matemáticas de Wiles. Esto no puede dejar de alegrarnos, aunque sólo sea porque estas matemáticas han estado prácticamente aisladas todos estos años.

Sin embargo, el problema de la adaptación de la prueba, que agrava enormemente su potencial aplicado, siguió siendo y sigue siendo muy relevante. Hasta la fecha, el texto original altamente especializado del artículo de Wiles y el artículo conjunto de Wiles y Taylor ya han sido adaptados, aunque sólo para un círculo bastante reducido de matemáticos profesionales. Esto lo hicieron en el libro mencionado de Yu. Manin y A. Panchishkin. Consiguieron suavizar con éxito cierta artificialidad de la prueba original. Además, el matemático estadounidense Serge Lang, un ferviente promotor de la prueba de Wiles (que lamentablemente falleció en septiembre de 2005), incluyó algunas de las construcciones más importantes de la prueba en la tercera edición de su clásico libro de texto universitario Álgebra.

Como ejemplo de la artificialidad de la prueba original, observamos que una de las características particularmente llamativas que crean esta impresión es el papel especial de los números primos individuales como 2, 3, 5, 11, 17, así como de los números naturales individuales. como 15, 30 y 60. Entre otras cosas, es bastante obvio que la prueba no es geométrica en el sentido más común. No contiene imágenes geométricas naturales que puedan adjuntarse para una mejor comprensión del texto. El álgebra abstracta “terminologizada” superpoderosa y la teoría de números “avanzada” socavan puramente psicológicamente la capacidad de percibir pruebas incluso para un lector matemático calificado.

Uno sólo puede preguntarse por qué, en tal situación, los expertos en pruebas, incluido el propio Wiles, no lo “pulen”, no promueven y popularizan un obvio “éxito matemático” incluso en su comunidad matemática nativa.

Entonces, en resumen, hoy el hecho de la prueba de Wiles es simplemente el hecho de la prueba del teorema de Fermat con el estatus de la primera prueba correcta y "algún tipo de matemática superpoderosa" utilizada en ella.

El famoso matemático ruso de mediados del siglo pasado, ex decano de la Facultad de Mecánica y Matemáticas, V.V., habló muy claramente sobre las poderosas, pero aún no aplicadas, matemáticas. Golubev:

“... según la ingeniosa observación de F. Klein, muchos departamentos de matemáticas son similares a las exhibiciones de los últimos modelos de armas que existen en las empresas que fabrican armas; con todo el ingenio puesto por los inventores, sucede a menudo que cuando comienza una verdadera guerra, estos nuevos productos resultan inutilizables por una razón u otra... La enseñanza moderna de las matemáticas presenta exactamente el mismo cuadro; a los estudiantes se les ponen en sus manos medios muy avanzados y poderosos de investigación matemática..., pero luego los estudiantes no pueden tener idea de dónde y cómo estos poderosos e ingeniosos métodos pueden aplicarse para resolver la tarea principal de toda ciencia: comprender el mundo que nos rodea y al influir en él está la voluntad creativa del hombre. Hubo un tiempo en que A.P. Chéjov decía que si en el primer acto de una obra hay un arma colgada en el escenario, entonces es necesario que al menos en el tercer acto se dispare. Esta observación es plenamente aplicable a la enseñanza de las matemáticas: si se presenta una teoría a los estudiantes, tarde o temprano es necesario mostrar qué aplicaciones se pueden hacer a partir de esta teoría, principalmente en el campo de la mecánica, la física o la tecnología y en otros. áreas”.

Siguiendo con esta analogía, podemos decir que la prueba de Wiles representa un material extremadamente favorable para estudiar una enorme capa de matemáticas fundamentales modernas. Aquí se puede mostrar a los estudiantes cómo el problema de la teoría de números clásica está estrechamente relacionado con ramas de las matemáticas puras como la teoría algebraica de números moderna, la teoría de Galois moderna, las matemáticas p-ádicas, la geometría algebraica aritmética y el álgebra conmutativa y no conmutativa.

Sería justo que se confirmara la confianza de Wiles en que las matemáticas que inventó (matemáticas de un nuevo nivel). Y realmente no quiero que estas matemáticas tan bellas y sintéticas sufran el destino de un “arma sin disparar”.

Y, sin embargo, planteemos ahora la pregunta: ¿es posible describir la prueba de Wiles en términos suficientemente accesibles para una amplia audiencia interesada?

Desde el punto de vista de los expertos, esto es una absoluta utopía. Pero intentémoslo de todos modos, guiados por la simple consideración de que el teorema de Fermat es un enunciado sólo sobre puntos enteros de nuestro espacio euclidiano tridimensional ordinario.

Sustituiremos secuencialmente puntos con coordenadas enteras en la ecuación de Fermat.

Wiles encuentra el mecanismo óptimo para recalcular puntos enteros y probarlos para que satisfagan la ecuación del teorema de Fermat (después de introducir las definiciones necesarias, dicho recálculo corresponderá precisamente a la llamada "propiedad de modularidad de las curvas elípticas en el campo de los números racionales" , descrito por la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil).

El mecanismo de recálculo se optimizó con la ayuda de un notable descubrimiento del matemático alemán Gerhard Frey, quien vinculó una solución potencial de la ecuación de Fermat con un exponente arbitrario con otra ecuación completamente diferente. Esta nueva ecuación viene dada por una curva especial (llamada curva elíptica de Frey). Esta curva de Frey viene dada por una ecuación muy simple:

La sorpresa de la idea de Frey fue la transición de la naturaleza teórica de números del problema a su aspecto geométrico "oculto". A saber: Frey asociado con cada solución de la ecuación de Fermat, es decir, números que satisfacen la relación

la curva anterior. Ahora queda demostrar que tales curvas no existen para . En este caso, se seguiría el último teorema de Fermat. Ésta es exactamente la estrategia que Wiles eligió en 1986, cuando inició su encantador asalto.

La invención de Frey en el momento del “comienzo” de Wiles era bastante nueva (el año 1985) y también se hizo eco del enfoque relativamente reciente del matemático francés Helleguarche (década de 1970), quien propuso usar curvas elípticas para encontrar soluciones a ecuaciones diofánticas, es decir, ecuaciones similares a la ecuación de Fermat.

Intentemos ahora mirar la curva de Frey desde un punto de vista diferente, es decir, como una herramienta para recalcular puntos enteros en el espacio euclidiano. En otras palabras, nuestra curva de Frey desempeñará el papel de una fórmula que determina el algoritmo para dicho recálculo.

En este contexto, podemos decir que Wiles inventa herramientas (construcciones algebraicas especiales) para controlar este recálculo. De hecho, este sutil conjunto de herramientas de Wiles constituye el núcleo central y la principal complejidad de la prueba. Es en la fabricación de estos instrumentos donde surgen los principales descubrimientos algebraicos sofisticados de Wiles, tan difíciles de comprender.

Pero aún así, el efecto más inesperado de la prueba, tal vez, sea la suficiencia de utilizar sólo una curva "freeviana", representada por una dependencia completamente simple, casi "escolar". Sorprendentemente, usar sólo una de esas curvas es suficiente para probar todos los puntos en el espacio euclidiano tridimensional con coordenadas enteras para ver si satisfacen el último teorema de Fermat con un exponente arbitrario.

En otras palabras, utilizar una sola curva (aunque tenga una forma específica), comprensible para un estudiante de secundaria normal, resulta equivalente a construir un algoritmo (programa) para el recálculo secuencial de puntos enteros del espacio tridimensional ordinario. Y no sólo un nuevo cálculo, sino un nuevo cálculo con una prueba simultánea de todo el punto para determinar su “satisfacción” con la ecuación de Fermat.

Es aquí donde surge el fantasma del propio Pierre de Fermat, ya que con tal recálculo cobra vida lo que habitualmente se llama el “descenso de Ferma’t” o reducción (o “método de descenso infinito”) de Fermat.

En este contexto, inmediatamente queda claro por qué el propio Fermat no pudo demostrar su teorema por razones objetivas, aunque bien pudo "ver" la idea geométrica de su demostración.

El hecho es que el recálculo se realiza bajo el control de herramientas matemáticas que no tienen análogos no sólo en el pasado lejano, sino que también eran desconocidas antes de Wiles incluso en las matemáticas modernas.

Lo más importante aquí es que estas herramientas sean “mínimas”, es decir. no se pueden simplificar. Aunque este “minimalismo” en sí mismo es muy difícil. Y fue la conciencia de Wiles de esta “minimalidad” no trivial la que se convirtió en el paso final decisivo de la prueba. Este fue exactamente el “brote” del 19 de septiembre de 1994.

Todavía persiste algún problema que causa insatisfacción; Wiles no describe explícitamente esta construcción mínima. Por lo tanto, aquellos interesados en el problema de Fermat todavía tienen un trabajo interesante que hacer: es necesaria una interpretación clara de esta “minimidad”.

Es posible que aquí sea donde se oculte la geometría de la prueba “algebraizada”. Es posible que fuera precisamente esta geometría la que el propio Fermat sintió cuando hizo la famosa entrada en los estrechos márgenes de su tratado: “He encontrado una prueba verdaderamente notable…”.

Pasemos ahora directamente al experimento virtual e intentemos “profundizar” en los pensamientos del matemático y abogado Pierre de Fermat.

La imagen geométrica del llamado pequeño teorema de Fermat se puede representar como un círculo que rueda "sin deslizarse" a lo largo de una línea recta y "enrolla" puntos enteros alrededor de sí mismo. La ecuación del pequeño teorema de Fermat en esta interpretación también recibe un significado físico: el significado de la ley de conservación de dicho movimiento en un tiempo discreto unidimensional.

Puedes intentar transferir estas imágenes geométricas y físicas a la situación en la que la dimensión del problema (el número de variables en la ecuación) aumenta y la ecuación del pequeño teorema de Fermat se transforma en la ecuación del gran teorema de Fermat. Es decir: supongamos que la geometría del último teorema de Fermat está representada por una esfera que rueda a lo largo de un plano y "enrolla" puntos enteros en este plano alrededor de sí misma. Es importante que este balanceo no sea arbitrario, sino “periódico” (los matemáticos también dicen “ciclotómico”). La periodicidad del rodamiento significa que los vectores de velocidad lineal y angular de una esfera que rueda de la manera más general después de un cierto tiempo (período) fijo se repiten en magnitud y dirección. Esta periodicidad es similar a la periodicidad de la velocidad lineal al hacer rodar un círculo a lo largo de una línea recta, modelando la “pequeña” ecuación de Fermat.

En consecuencia, la “gran” ecuación de Fermat adquiere el significado de la ley de conservación del movimiento de la esfera antes mencionado ya en un tiempo discreto bidimensional. Tomemos ahora la diagonal de este tiempo bidimensional (¡es en este paso donde reside toda la dificultad!). Esto es extremadamente complicado y resulta ser la única diagonal que es la ecuación del último teorema de Fermat, cuando el exponente de la ecuación es exactamente dos.

Es importante señalar que en una situación unidimensional, la situación del pequeño teorema de Fermat, no es necesario encontrar esa diagonal, ya que el tiempo es unidimensional y no hay razón para tomar una diagonal. Por tanto, el grado de una variable en la ecuación del pequeño teorema de Fermat puede ser arbitrario.

Así, de manera bastante inesperada, encontramos un puente hacia la “fisicalización” del gran teorema de Fermat, es decir, hacia la aparición de su significado físico. ¿Cómo no recordar que Fermat no era ajeno a la física?

Por cierto, la experiencia de la física también muestra que las leyes de conservación de los sistemas mecánicos del tipo anterior son cuadráticas en las variables físicas del problema. Y finalmente, todo esto es bastante consistente con la estructura cuadrática de las leyes de conservación de la energía de la mecánica newtoniana, conocida en la escuela.

Desde el punto de vista de la interpretación "física" anterior del último teorema de Fermat, la propiedad de "minimidad" corresponde a la minimalidad del grado de la ley de conservación (esto es dos). Y la reducción de Fermat y Wiles corresponde a la reducción de las leyes de conservación del recálculo de puntos a una ley de la forma más simple. Este recálculo más simple (de complejidad mínima), tanto geométrica como algebraicamente, está representado por el rodamiento de una esfera sobre un plano, ya que una esfera y un plano son objetos geométricos bidimensionales "mínimos", como entendemos perfectamente.

Toda la complejidad, que a primera vista pasa desapercibida, radica en el hecho de que no es nada fácil describir con precisión un movimiento aparentemente tan “simple” de la esfera. El hecho es que el balanceo “periódico” de la esfera “absorbe” un montón de las llamadas simetrías “ocultas” de nuestro espacio tridimensional. Estas simetrías ocultas son causadas por combinaciones (composiciones) no triviales del movimiento lineal y angular de la esfera; consulte la Fig. 1.

Es para la descripción exacta de estas simetrías ocultas, codificadas geométricamente por un giro tan complicado de la esfera (los puntos con coordenadas enteras "se sientan" en los nodos de la red dibujada), que se requieren las construcciones algebraicas de Wiles.

En la interpretación geométrica que se muestra en la Fig. 1, el movimiento lineal del centro de la esfera "cuenta" puntos enteros en el plano, y su movimiento angular (o rotacional) proporciona el componente espacial (o vertical) del recálculo. El movimiento de rotación de la esfera no se puede "ver" inmediatamente en el movimiento arbitrario de la esfera a lo largo del plano. Es el movimiento de rotación el que corresponde a las simetrías ocultas del espacio euclidiano mencionadas anteriormente.

La curva de Frey presentada anteriormente "codifica" con precisión el recálculo más bello desde el punto de vista estético de puntos enteros en el espacio, que recuerda al movimiento a lo largo de una escalera de caracol. De hecho, si sigues la curva que recorre un cierto punto de la esfera en un período, encontrarás que nuestro punto marcado recorre la curva que se muestra en la figura. 2, que se asemeja a una "doble sinusoide espacial", un análogo espacial del gráfico. Esta hermosa curva se puede interpretar como una gráfica del "mínimo" de la (es decir) curva de Frey. Este es el cronograma de nuestro recálculo de pruebas.

Habiendo conectado alguna percepción asociativa de esta imagen, para nuestra sorpresa descubriremos que la superficie limitada por nuestra curva es sorprendentemente similar a la superficie de la molécula de ADN: ¡el "ladrillo de la esquina" de la biología! Quizás no sea una coincidencia que la terminología para las construcciones que codifican el ADN de la prueba de Wiles se utilice en el libro de Singh, El último teorema de Fermat.

Destaquemos una vez más que el punto decisivo en nuestra interpretación es el hecho de que el análogo de la ley de conservación para el pequeño teorema de Fermat (su grado puede ser arbitrariamente grande) resulta ser la ecuación del gran teorema de Fermat precisamente en el caso . Es este efecto de “minimidad del grado de conservación de la ley para el movimiento de una esfera en un plano” el que corresponde al enunciado del último teorema de Fermat.

Es muy posible que el propio Fermat viera o sintiera estas imágenes geométricas y físicas, pero no podía imaginar que fueran tan difíciles de describir desde un punto de vista matemático. Además, no podía imaginar que para describir una geometría así, aunque no trivial, pero sí bastante transparente, se necesitarían otros trescientos cincuenta años de trabajo de la comunidad matemática.

Ahora construyamos un puente hacia la física moderna. La imagen geométrica de la prueba de Wiles propuesta aquí está muy cerca de la geometría de la física moderna, que intenta llegar al misterio de la naturaleza de la gravedad: la teoría cuántica general de la relatividad. Para confirmar esta interacción, a primera vista inesperada, entre el último teorema de Fermat y la gran física, imaginemos que la esfera rodante es masiva y "empuja" el plano que se encuentra debajo de ella. La interpretación de este “empuje” en la Fig. 3 recuerda sorprendentemente la conocida interpretación geométrica de la teoría general de la relatividad de Einstein, que describe precisamente la "geometría de la gravedad".

Y si también tenemos en cuenta la discretización actual de nuestra imagen, encarnada por una red entera discreta en un plano, ¡entonces observaremos la "gravedad cuántica" con nuestros propios ojos!

Es en esta importante nota físico-matemática “unificadora” que terminaremos nuestro intento de “caballería” de dar una interpretación visual de la prueba “súper abstracta” de Wiles.

Ahora bien, tal vez debería subrayarse que, en cualquier caso, cualquiera que sea la demostración correcta del teorema de Fermat, debe utilizar de una forma u otra las construcciones y la lógica de la demostración de Wiles. Es simplemente imposible pasar por alto todo esto debido a la mencionada "propiedad de minimalidad" de las herramientas matemáticas de Wiles utilizadas para la demostración. En nuestra interpretación “geométrico-dinámica” de esta prueba, esta “propiedad de mínimalidad” proporciona las “condiciones mínimas necesarias” para una construcción correcta (es decir, “convergente”) de un algoritmo de prueba.

Por un lado, esto es una gran decepción para los agricultores aficionados (si, por supuesto, se enteran; como dicen, "cuanto menos sepas, mejor dormirás"). Por otro lado, la "no simplificación" natural de la prueba de Wiles facilita formalmente la vida a los matemáticos profesionales: es posible que no lean periódicamente las pruebas "elementales" que surgen de los matemáticos aficionados, citando la falta de correspondencia con la prueba de Wiles.

La conclusión general es que ambos necesitan “esforzarse” y comprender esta prueba “salvaje”, comprendiendo esencialmente “todas las matemáticas”.

¿Qué más es importante no perderse al resumir toda esta historia única de la que hemos sido testigos? La fuerza de la prueba de Wiles es que no es simplemente un argumento lógico formal, sino que representa un método amplio y poderoso. Esta creación no es una herramienta separada para demostrar un único resultado, sino un excelente conjunto de herramientas bien elegidas que le permite "dividir" una amplia variedad de problemas. También es de fundamental importancia que cuando miremos desde lo alto del rascacielos la prueba de Wiles, veamos todas las matemáticas anteriores. El patetismo es que no será un “mosaico”, sino una visión panorámica. Todo esto habla no sólo de la continuidad científica, sino también metodológica de esta evidencia verdaderamente mágica. Lo único que queda es “nada”, sólo entenderlo y aprender a aplicarlo.

Me pregunto qué estará haciendo hoy nuestro héroe contemporáneo Wiles. No hay noticias especiales sobre Andrew. Naturalmente, recibió varios premios y reconocimientos, incluido el famoso Premio Wolfskehl alemán, que fue depreciado durante la Primera Guerra Civil. En todo el tiempo transcurrido desde el triunfo de la prueba del problema de Fermat hasta hoy, sólo he podido leer un artículo, aunque como siempre extenso, en los mismos Anales (en coautoría con Skinner). Quizás Andrew se esté escondiendo nuevamente en anticipación de un nuevo avance matemático, por ejemplo, la llamada conjetura "abc", formulada recientemente (por Masser y Oesterle en 1986) y considerada el problema más importante de la teoría de números en la actualidad (es la " problema del siglo” en palabras de Serge Lang).

Mucha más información sobre el coautor de Wiles en la parte final de la prueba, Richard Taylor. Fue uno de los cuatro autores de la prueba completa de la conjetura de Taniyama-Shmura-Weil y fue un fuerte candidato a la Medalla Fields en el Congreso Chino de Matemáticas de 2002. Sin embargo, no lo recibió (luego solo lo recibieron dos matemáticos: el matemático ruso de Princeton Vladimir Voevodsky "por la teoría de motivos" y el francés Laurent Laforgue "por una parte importante del programa Langlands"). Taylor publicó un número considerable de trabajos notables durante este tiempo. Y recientemente, Richard logró un nuevo gran éxito: demostró una conjetura muy famosa: la conjetura de Tate-Saito, también relacionada con la geometría aritmética algebraica y la generalización de los resultados del alemán. El matemático del siglo XIX G. Frobenius y el matemático ruso del siglo XX N. Chebotarev.

Finalmente soñemos un poco. Quizás llegue el momento en que los cursos de matemáticas en las universidades, e incluso en las escuelas, se ajusten a los métodos de prueba de Wiles. Esto significa que el último teorema de Fermat se convertirá no sólo en un problema matemático modelo, sino también en un modelo metodológico para la enseñanza de las matemáticas. Con su ejemplo, será posible estudiar, de hecho, todas las ramas principales de las matemáticas. Además, la física futura, y tal vez incluso la biología y la economía, empezarán a depender de este aparato matemático. ¿Pero que si?

Parece que ya se han dado los primeros pasos en esta dirección. Esto se evidencia, por ejemplo, en el hecho de que el matemático estadounidense Serge Lang incluyó las principales construcciones de la demostración de Wiles en la tercera edición de su clásico manual de álgebra. Los rusos Yuri Manin y Alexey Panchishkin van aún más lejos en la nueva edición antes mencionada de su “Teoría moderna de los números”, exponiendo en detalle la demostración misma en el contexto de las matemáticas modernas.

¿Y cómo no exclamar ahora: el gran teorema de Fermat está “muerto”? ¡Viva el método de Wiles!

Se difundió un mensaje sensacional: el científico de Omsk Alexander Ilyin había encontrado una demostración sencilla del último teorema de Fermat. La noticia sobre esto llegó incluso a la televisión. Sin embargo, un análisis profesional de las pruebas reveló un grave error en ellas.

El teorema fue formulado por el famoso matemático del siglo XVII Pierre Fermat. Es que la ecuación

xn + y norte = zn

No tiene soluciones enteras para norte> 2. En los márgenes del libro, Fermat dejó una nota en la que supuestamente encontró una prueba sorprendentemente elegante de este teorema. Sin embargo, durante más de tres siglos nadie pudo encontrar esta prueba. Sólo en 1994 el gran teorema fue demostrado por el matemático inglés Andrew Wiles, y la demostración requirió más de cien páginas de cálculos matemáticos.

La prueba de Wiles utiliza aparatos matemáticos desarrollados recién en el siglo XX. Por lo tanto, muchos amantes de las matemáticas continúan buscando la legendaria prueba simple utilizando matemáticas de escuela primaria. Con envidiable regularidad, estas pruebas son recibidas por una variedad de organizaciones científicas. A veces, los autores de estas obras desconocen incluso los conceptos básicos de la cultura matemática y mezclan cálculos matemáticos con largos razonamientos filosóficos. Los expertos llaman en broma a estos aspirantes a matemáticos “farmatistas”. Incluso hay un poema dedicado a los intentos de demostrar el último teorema de Fermat.

¿En qué se diferencia el caso actual de todos los anteriores? El hecho de que esta vez la demostración elemental del teorema de Fermat fue publicada por un destacado científico, el académico Ilyin, ex diseñador jefe de la asociación aeroespacial Polet. Según informes de los medios, su prueba fue comprobada por varios científicos conocidos, en particular el académico Leonid Gorynin y el profesor Sergei Chukanov *), y concluyeron que no encontraron ningún defecto en la argumentación de Ilyin. Y aunque ni el autor ni los revisores son expertos en teoría de números, su estatus permitió al académico Ilyin convocar conferencias de prensa en Omsk y Moscú, donde presentó sus pruebas a los periodistas.

El 22 de agosto se publicó una evidencia sensacionalista en Novaya Gazeta. También lo informó la televisión. Algunos medios de comunicación (incluido Novaya Gazeta) informaron de la evidencia como un hecho inmutable. Otros, como la agencia analítica Glavred, se expresaron con cierta cautela. Sin embargo, sólo Radio Liberty se dirigió a los matemáticos del Centro de Educación Matemática Continua de Moscú para pedirles que estudiaran la solución publicada del teorema de Fermat. Aquí hay una cita de la respuesta recibida:

“Cualquier estudiante de décimo grado con una calificación superior a C en matemáticas le reproducirá inmediatamente la fórmula para la razón de los lados de un triángulo. z 2 = X 2 + y 2 — 2xy porque( b). Miremos la expresión. A 60° b b) no es un número entero. Y eso significa z es inevitablemente así para valores enteros X Y y».

Sin embargo, por el hecho de que cos( b) no es un número entero, no se sigue en absoluto que el producto 2 sea tal xy porque( b). digamos, cuando b= arccos(1/4) (que es aproximadamente igual a 75 grados, es decir, cae dentro del rango requerido de 60 a 90 grados) cos( b) = 1/4, y si al menos uno de los números X Y y incluso, entonces 2 xy porque( b) será un número entero.

Una vez descubierto, este error se vuelve bastante obvio en el nivel de un curso escolar de matemáticas. Según los matemáticos profesionales, este caso puede servir como una clara ilustración del hecho de que los descubrimientos sensacionales publicados eludiendo el sistema obligatorio de revisión por pares adoptado en la ciencia a menudo resultan ser malentendidos.

*) En la mañana del 26 de agosto, los editores recibieron una carta del Prof. Sergei Nikolaevich Chukanov con una solicitud para publicarlo en el sitio web. Los editores acceden fácilmente a esta petición.

Estimados editores del proyecto Elements!

Considero necesario comentar el mensaje de Alexander Sergeev “La sensación en torno al teorema de Fermat resultó ser un malentendido” del 25 de agosto de 2005 en su sitio web: “Como informan los medios, su prueba fue verificada por varios científicos conocidos: el profesor Sergei Chukanov, y llegaron a una conclusión sobre lo que no se encontró en el argumento: los defectos de Ilyin". Este malentendido se ve agravado por el hecho de que conocí por primera vez las “pruebas” a partir de un artículo de Anna Melekhova en el sitio web de la Agencia Nacional de Noticias.

En el artículo, la “prueba” se basa en la proposición: “ya que cos a en el intervalo (11) sólo toma valores irracionales”, lo que indica que el autor de esta “demostración” carece de conocimientos matemáticos elementales. No he encontrado ninguna prueba del último teorema de Fermat de Alexander Ilyin publicada en publicaciones revisadas por pares.

Atentamente,
Serguéi Nikoláievich Chukánov

Lamentamos que la reputación del Prof. Chukanova podría haber sufrido debido a publicaciones incorrectas en los medios y compartimos su desconcierto.

Esta es exactamente la cantidad que recibirá el matemático británico Andrew Wiles, quien en 1994 presentó una demostración del último teorema de Fermat. La decisión de la Unión Matemática Internacional y de la Sociedad Matemática Europea de concederle el Premio Abel, a veces llamado Premio Nobel de los matemáticos, fue anunciada por el presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, Ole Sejersted. reportadoen la web oficial del premio.

"Las nuevas ideas introducidas por Wiles abrieron la puerta a avances posteriores", dijo Jon Rognes, jefe del Comité Abel. "Pocos problemas matemáticos tienen una historia científica tan rica y una demostración tan espectacular como el último teorema de Fermat".

El gran matemático francés Pierre Fermat siempre tomaba sus notas en los márgenes de los tratados matemáticos que leía y formulaba los problemas y teoremas que allí le venían a la cabeza. Escribió su Gran Teorema, que a veces se llama el Último Teorema, con una nota de que la ingeniosa demostración que encontró de este teorema era demasiado larga para colocarla en los márgenes del libro:

“Por el contrario, es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y en general ninguna potencia mayor que un cuadrado en dos potencias con el mismo exponente. Encontré una prueba verdaderamente maravillosa de ello, pero la. Los márgenes del libro son demasiado estrechos para ello”.

Texto original (latín)

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generalliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demostram mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

Esto fue en 1637, cuando los mosqueteros galopaban por Francia con todas sus fuerzas, robando colgantes de diamantes y matándose entre sí en duelos.

Qué es este teorema y cómo se formula, lo difícil que es demostrarlo, se cuenta mejor en una película fascinante del maravilloso director de documentales soviético Semyon Wartburg.

Los intentos de demostrar que WTF comenzaron casi inmediatamente después de su "descubrimiento". Euler, Dirichlet, Legendre y otros matemáticos profesionales y aficionados lucharon con este problema. Ernst Kummer también creó la teoría de números moderna.

David Hilbert, en su informe “Problemas matemáticos” en el II Congreso Internacional de Matemáticos (1900), habló sobre la WTF de la siguiente manera:

“El problema de demostrar esta indecidibilidad es un ejemplo sorprendente de la influencia estimulante que un problema especial y a primera vista insignificante puede tener en la ciencia. Porque, impulsado por el problema de Fermat, Kummer llegó a la introducción de los números ideales y al descubrimiento del teorema sobre la descomposición única de los números en campos ciclotómicos en factores primos ideales, teorema que, gracias a las generalizaciones a cualquier dominio numérico algebraico obtenido por Dedekind y Kronecker, es ahora fundamental para la teoría moderna de números y cuya importancia va mucho más allá de la teoría de números hacia el campo del álgebra y la teoría de funciones”.

Es la creación de la teoría de números lo que puede considerarse la principal contribución póstuma de Fermat al desarrollo de las matemáticas. “Dios creó los números enteros y todo lo demás es obra del hombre”, así describió Leopold Kronecker el papel de esta teoría. Pitágoras creía que todo el Universo estaba formado por números enteros. En cualquier caso, hasta ahora el hombre está explorando los secretos del Universo utilizando métodos discretos y puramente digitales.

Andrew Wiles, Caballero Comendador de la Orden del Imperio Británico, matemático inglés y estadounidense, jefe del departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton, miembro del consejo científico del Instituto Clay de Matemáticas, aprendió sobre WTF cuando solo tenía diez años. . Armado con un libro de texto escolar, intentó superar a Euler y Dirichlet, pero, por supuesto, no lo consiguió.

Se calmó, aunque, como demostraron los acontecimientos posteriores, no por mucho tiempo recibió una educación superior y se ocupó de otros problemas. En concreto, las llamadas curvas elípticas. Pronto conoció el trabajo en este ámbito de los japoneses Shimura y Takayama, así como del francés Weil. Y luego con la prueba del matemático estadounidense Ken Ribet de que estos trabajos están directamente relacionados con la WTF.

Luego, el "viejo amor" surgió de las profundidades del subconsciente de Wiles y durante siete años intentó rematar el "último teorema de Fermat": así se llama WTF en su obra, por la que, de hecho, recibió su Honestamente ganó 700 mil dólares.

Luego comenzaron a llegarle todo tipo de premios, incluida la concesión del título de alto caballero.

Dado que la prueba de Wiles contiene 130 páginas de texto matemático extremadamente complejo, la Academia Noruega de Ciencias tardó bastantes años en verificar su exactitud.

Pero incluso ahora con la WTF y sus pruebas, no todo es tan simple y claro.

El ejército de miles de “fermatistas”, es decir, fanáticos de las interminables pero extremadamente absorbentes pruebas de su fidelidad o infidelidad, está indignado y exige la continuación del espectáculo.

Mientras tanto, la pasión por demostrar que es WTF es extremadamente peligrosa para los "jóvenes románticos". Esto es lo que escribe uno de los “farmatistas” indignados en un foro de Internet:

“La comunidad matemática parece haber aceptado incondicionalmente el hecho de que efectivamente se ha encontrado la tan esperada prueba de la WTF. Sin embargo, como miembro de la comunidad matemática, me encuentro en la desafortunada posición de discutir o dar fe de la validez de esta prueba. Me han dicho que la cantidad de tiempo necesaria para adquirir conocimientos suficientes para criticar la evidencia se mide en años. Después de una breve revisión del aparato matemático utilizado, me convencí de que era correcto. Por lo tanto, se creó una situación incómoda cuando la solución a un problema tan clásico apareció en una forma comprensible sólo para los expertos más sofisticados. Es por esta razón que estoy escribiendo este trabajo. Espero que este trabajo pueda servir como referencia inicial para cualquiera interesado en estudiar la información necesaria para su propia verificación de la exactitud de la prueba WTF”.

Conservo deliberadamente el estilo, los errores gramaticales y tipográficos del original para mostrar el nivel típico de este tipo de fans.

Los entusiastas de las matemáticas más experimentados también están intentando comprender la prueba de Wiles:

“En mi opinión, este es el caso cuando entender la prueba es más difícil que detectar el error. Por lo tanto, tendría cuidado de no llamar a Wiles “el gran Wiles” por ahora. - escribe uno de ellos.

“Por cierto, también leí hasta ese momento sobre qué son los “conductores” y qué son las “formas modulares”, pero no entendí nada en absoluto sobre el método Kolyvagin-Flach. ¡Y en la prueba de Wiles esto es sólo el comienzo, el punto de partida! - le responde el otro.

Los profesionales también están investigando el trabajo de 130 páginas de Wiles:

“Después de mirar este artículo, lo veo de nuevo: la prueba de Ribet-Frey-Wiles se basa en el hecho de que al descomponer el discriminante de la curva de Frey... en números primos, la potencia de dos no es divisible por el exponente de ecuación de Fermat, y las potencias restantes son divisibles. Si el denominador no tuviera 256, entonces la demostración no sería adecuada. Sería bueno si alguien pudiera aclarar esto: ¿por qué hay 256? ¿Es posible generalizar el teorema de Fermat a la prueba de Ribet? ¿O el 256 no tiene nada que ver con eso?

Varios escépticos simplemente niegan a Wiles cualquier contribución significativa a la prueba trascendental:

“Taniyama vio (anotó), formuló una hipótesis, Wiles demostró la exactitud de la hipótesis. Además, anteriormente parecía haber una prueba de que la validez de la hipótesis de Taniyama implica la validez del teorema de Fermat. De donde concluyo que la prueba resultante es un puro juego de fórmulas y accidentes”.

Pero otros expertos están más cerca de la verdad y ven en la tan esperada prueba de WTF la posibilidad de futuros descubrimientos prometedores:

“Pero supongo que esto no es así. Esto no es accidental y, si no hay errores, entonces esta teoría refleja algunas propiedades algebraicas de los trinomios. El teorema de Fermat está formulado para tripletes de números, y las funciones elípticas, gracias a las cuales se demuestra, aparecen al resolver una ecuación diferencial. Detrás de esto pueden estar las notables propiedades de los números y la unidad del álgebra. Creo que si alguien pudiera aclarar estas conexiones, sería genial”.

Y finalmente, la conclusión a la que yo, como ingeniero matemático, estoy dispuesto a suscribirme:

“No puedo estar de acuerdo con tus palabras. Para “ver estúpidamente” esta propiedad, había que trabajar duro. Pero tienes razón en el sentido de que parece que aquí todo se hizo sin entender las verdaderas razones. Creo que quien comprenda por qué todo esto está organizado de esta manera y por qué las funciones elípticas tienen tales propiedades, y quien pueda explicar esto, hará una mayor contribución a las matemáticas que, por ejemplo, el mismo Wiles. Por lo tanto, buscar una prueba paralela del teorema de Fermat es extremadamente útil: si se encuentra, entonces se pueden revelar las razones de las propiedades de las funciones elípticas, y si también se inventan nuevos métodos, entonces esto será un gran avance en matemáticas, tal vez el mejor de los últimos 50 años. Pero, por supuesto, se necesitan nuevos métodos, sin ellos será sólo una explicación, no un nuevo descubrimiento”.

Así, finalmente se demuestra el último teorema de Fermat. Pero no hay razón para que los fermatistas acérrimos depongan sus armas matemáticas. La comunidad científica está ávida de una prueba más simple y más general.

Quizás se invente una bonificación correspondiente para esta tarea. Después de todo, parafraseando a Leopold Kronecker, a Dios sólo se le ocurrieron números enteros, y nuestra tarea es “ordenarlos” correctamente. +

El matemático Andrew Wiles recibió el Premio Abel por su demostración del teorema de Fermat

Se le otorgó un premio honorífico, llamado "Premio Nobel para matemáticos", por su demostración del último teorema de Fermat en 1994.

OSLO, 15 de marzo. /corr. TASS Yuri Mijailenko/. El británico Andrew Wiles ha sido anunciado como el ganador del Premio Abel, que otorga la Academia Noruega de Ciencias. El honor, a menudo llamado el “Premio Nobel para matemáticos”, le fue otorgado por su demostración del último teorema de Fermat en 1994, que “lanzó una nueva era en la teoría de números”.
"Las nuevas ideas introducidas por Wiles abrieron la posibilidad de nuevos avances", dijo el presidente del Comité Abel, Jon Rognes. "Pocos problemas matemáticos tienen una historia científica tan rica y una demostración tan espectacular como el último teorema de Fermat".
El viaje científico de Sir Andrew
En declaraciones a la Oficina Telegráfica de Noruega, Rognes también aclaró que la demostración del famoso teorema fue sólo una de las razones por las que Wiles fue elegido entre los candidatos nominados al premio de este año.
“Para resolver un teorema que no pudo demostrarse durante 350 años, utilizó los enfoques de dos ramas modernas de la ciencia matemática, estudiando, en particular, curvas elípticas semiestables”, dijo Rognes a los periodistas. “Estas matemáticas se utilizan, por ejemplo. , en criptografía elíptica, con la ayuda de la cual se protegen los datos de los pagos realizados con tarjetas de plástico."
El científico, que cumplirá 63 años el próximo mes, se educó en las universidades de Oxford y Cambridge. Su padre era un sacerdote anglicano y fue profesor de teología en Cambridge durante más de 20 años. El propio Wiles trabajó en Estados Unidos durante 30 años, enseñó en la Universidad de Princeton y de 2005 a 2009 dirigió el departamento de matemáticas allí. Actualmente trabaja en Oxford. Ha ganado una docena de premios de matemáticas y por sus logros científicos también fue nombrado caballero por la reina Isabel II de Gran Bretaña.
Simplicidad engañosa
La peculiaridad del teorema, formulado por el francés Pierre Fermat (1601 - 1665), reside en una formulación engañosamente simple: la ecuación “A elevado a n más B elevado a n es igual a C elevado a n” tiene No hay soluciones naturales si el número n es mayor que dos. A primera vista parece una prueba bastante sencilla, pero en realidad resulta ser completamente diferente.
El propio Wiles admitió en numerosas entrevistas que el teorema le intrigaba cuando tenía 10 años. Incluso entonces, le resultó fácil comprender las condiciones del problema y le atormentaba el hecho de que durante tres siglos ni un solo matemático había podido resolverlo. La afición infantil no ha desaparecido con el paso de los años. Después de haber hecho una carrera científica, Wiles pasó muchos años luchando con la solución en su tiempo libre, pero no la hizo publicidad, ya que entre sus colegas la pasión por el teorema de Fermat se consideraba de mala educación. Propuso su prueba, basándose en la hipótesis de dos científicos japoneses, y la publicó en 1993, pero unos meses más tarde se descubrió un error en sus cálculos.
Durante más de un año, Wiles y sus alumnos intentaron corregirlo, casi desistiendo al final, pero al final encontraron una prueba que fue reconocida como correcta. Al mismo tiempo, todavía no se ha encontrado la prueba sencilla y elegante supuestamente existente, que el propio Fermat mencionó.
¿Quién fue Henrik Abel?
En 2014 y 2009, los galardonados con el Premio Abel fueron estudiantes de la escuela de matemáticas rusa: Yakov Sinai y Mikhail Gromov, respectivamente. El premio lleva el nombre del famoso noruego Niels Henrik Abel. Se convirtió en el fundador de la teoría de funciones elípticas e hizo importantes contribuciones a la teoría de series.
En honor al 200 aniversario del nacimiento del científico, que vivió sólo 26 años, el gobierno noruego asignó en 2002 200 millones de coronas (alrededor de 23,4 millones de dólares al tipo de cambio actual) para crear la Fundación Abel y el Premio Abel. Su objetivo no sólo es celebrar los méritos de destacados matemáticos, sino también contribuir a la creciente popularidad de esta disciplina científica entre los jóvenes.
A día de hoy, la parte monetaria del premio asciende a 6 millones de coronas (700.000 dólares). La ceremonia oficial de premiación está programada para el 24 de mayo. El premio honorífico lo entregará el heredero al trono noruego, el príncipe Haakon Magnus.