Raíces complejas en línea. Extracción de la raíz del número integrado

números en forma trigonométrica.

Fórmula de Moorav

Sea Z 1 \u003d R 1 (COS  1 + isin  1) y z 2 \u003d R 2 (COS  2 + Isin  2).

La forma trigonométrica de una entrada de números integrados es conveniente de usar para realizar multiplicar, división, fisión, ejercicio hasta el grado completo y extracto del grado de raíz n.

z 1 ∙ z 2 \u003d R 1 ∙ R 2 (COS ( 1 +  2) + i pecado ( 1 +  2)).

Al multiplicar dos números integrados. En forma trigonométrica, sus módulos se multiplican, y los argumentos están plegados. Con división Sus módulos están divididos, y se deducen los argumentos.

La consecuencia de las reglas de multiplicación del número integrado es la regla de la erección de un número complejo en un grado.

z \u003d r (cos  + i pecado ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Esta proporción se llama fórmula Moorem.

Ejemplo 8.1. Encuentra un producto y números privados:

y

Decisión

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Ejemplo 8.2. Escribe en forma trigonométrica.

∙
-I) 7.

Decisión

Denotar
y z 2 \u003d
- I.

r 1 \u003d | z 1 | \u003d √ 1 2 + 1 2 \u003d √ 2;  1 \u003d arg z 1 \u003d arctg ;

z 1 \u003d.
;

r 2 \u003d | z 2 | \u003d √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 \u003d 2;  2 \u003d arg z 2 \u003d arctg
;

z 2 \u003d 2
;

z 1 5 \u003d (
) 5
; z 2 7 \u003d 2 7

z \u003d (
) 5 · 2 7
=

2 9

§ 9 Extracción de la raíz del número integrado.

Definición. coreanonORTE.Grado del número integrado z (denota
) El número complejo W es tal que w n \u003d z. Si z \u003d 0, entonces
= 0.

Sea Z  0, Z \u003d R (COS + ISIN). Denote por w \u003d  (COS + SIN), entonces la ecuación W N \u003d Z anotará en el siguiente formulario

 N (COS (N · ) + isin (n · )) \u003d R (COS + ISIN).

Por lo tanto  n \u003d r,

 =

Así, w k \u003d
·
.

Entre estos valores hay exactamente n diferentes.

Por lo tanto, k \u003d 0, 1, 2, ..., N - 1.

En el plano complejo, estos puntos son los vértices de la N-Square correcta, insertados en el círculo del radio.
con el centro en el punto O (Figura 12).

Figura 12.

Ejemplo 9.1.Encuentra todos los valores
.

Decisión.

Imagina este número en forma trigonométrica. Encontramos su módulo y argumento.

w k \u003d
donde k \u003d 0, 1, 2, 3.

w 0 \u003d.
.

w 1 \u003d.
.

w 2 \u003d.
.

w 3 \u003d
.

En el plano complejo, estos puntos son los vértices de la plaza, insertados en el círculo por el radio.
con el centro al comienzo de las coordenadas (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Ejemplo 9.2.Encuentra todos los valores
.

Decisión.

z \u003d - 64 \u003d 64 (COS + ISIN);

w k \u003d
donde k \u003d 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 \u003d.
; W 1 \u003d.
;

w 2 \u003d.
W 3 \u003d

w 4 \u003d.
; W 5 \u003d.
.

En el plano complejo, estos puntos son los vértices del hexágono derecho, inscrito en un círculo con un radio 2 con un centro a un punto de (0; 0) - Figura 14.

§ 10 Forma indicativa de un número complejo.

Fórmula EULER

Denotar
\u003d cos  + isin  y
\u003d Cos  - isin . Estas relaciones se llaman fórmulas EULER .

Función
Tiene las propiedades habituales de la función indicativa:

Deje que el número complejo z se registre en la forma trigonométrica Z \u003d R (COS + ISIN).

Usando la fórmula EULER, puede escribir:

z \u003d r ·
.

Esta entrada se llama forma indicativa Número integrado. Usándolo, obtenemos las reglas de multiplicación, división, la construcción de la raíz en el grado y la extracción de la raíz.

Si z 1 \u003d R 1 ·
y z 2 \u003d r 2 ·
EMBARCACION

z 1 · z 2 \u003d R 1 · R 2 ·
;

·

z n \u003d r n ·

donde k \u003d 0, 1, ..., n - 1.

Ejemplo 10.1 Escriba en forma algebraica

z \u003d.
.

Decisión.

Ejemplo 10.2Resuelva la ecuación Z 2 + (4 - 3i) Z + 4 - 6i \u003d 0.

Decisión.

Para cualquier coeficiente complejo, esta ecuación tiene dos raíces Z 1 y Z 1 (posiblemente coincididas). Estas raíces se pueden encontrar en la misma fórmula que en el caso real. Como
Toma dos valores que difieren solo en el signo, entonces esta fórmula tiene el formulario:

Desde -9 \u003d 9 · e  i, luego valores
Habrá números:

Luego
y
.

Decisión.

Las raíces deseadas de la ecuación serán valores.
.

Para z \u003d -1, tenemos r \u003d 1, arg (-1) \u003d .

w k \u003d
, k \u003d 0, 1, 2.

Ejercicios

9 presente en la forma indicativa del número:

10 Registro en las formas indicativas y algebraicas del número:

11 Escriba en las formas algebraicas y geométricas del número:

12 se dan números

Representándolos en forma indicativa, encuentre
.

13 Uso de la forma indicativa de un número integrado, realice acciones:

pero)
B)

en)
D)

Es imposible extraer inequívocamente la raíz del número integrado, ya que tiene una serie de valores iguales a su grado.

Los números complejos se elevan al grado de formas trigonométricas para las cuales la fórmula MOGDAD es válida:

\\ (\\ z ^ (k) \u003d r ^ (k) (\\ cos k \\ varphi + i \\ sin k \\ varphi), \\ flack k \\ in n \\)

De manera similar, esta fórmula se usa para calcular la raíz del grado K del número integrado (no igual a cero):

\\ (\\ z ^ (\\ frac (1) (k)) \u003d (r (\\ cos (\\ varphi + 2 \\ pi n) + i \\ sin (\\ varphi + 2 \\ pi n))) ^ (\\ frac ( 1) (k)) \u003d r ^ (\\ frac (1) (k)) \\ izquierda (\\ cos \\ frac (\\ varphi + 2 \\ pi n) (k) + i \\ sin \\ frac (\\ varphi + 2 \\ Pi n) (k) \\ derecha), \\ forall k\u003e 1, \\ forall n \\ in n \\)

Si el número complejo no es cero, entonces las raíces del grado K siempre existen, y se pueden representar en el plano complejo: serán los picos del K-Square, inscrito en el círculo con el centro al comienzo de Las coordenadas y el radio \\ (\\ r ^ (\\ frac (1) (k)) \\)

Ejemplos de resolución de problemas.