Triángulo estúpido. Triángulo estúpido deja que la esquina con el lado

1. Determine el tipo de triángulo (agudo, estúpido o rectangular) con las partes 8, 6 y 11 cm (Fig. 126). (uno)

Decisión. ¿Denote el ángulo más grande del triángulo a través de? Obviamente, él se encuentra enfrente del lado de 11 cm, ya que el ángulo más grande del triángulo se encuentra contra el lado principal. Por el teorema de coseno 112 \u003d 82+ 62- 2? 8? 6? Cos?;

Fue posible discutir de manera diferente. Si ángulo? fue igual a 90 °, entonces la parte grande del teorema de Pitágono sería igual

El alargamiento del lado de 1 cm aumenta automáticamente y el ángulo debajo de la cara, se vuelve contundente.

Respuesta: Estúpido.

2. La base del triángulo es igual a 6 cm, uno de los ángulos en la base es de 105 °, el otro es 45 °. Encuentre la longitud del lado que se encuentra contra un ángulo de 45 ° (Fig. 127). (uno)

Decisión. Suponer que en el triángulo ABC será AC \u003d 6 cm ,? A \u003d 45 ° ,? C \u003d 105 °. Denote la longitud del lado del sol a través de X. Tenemos que encontrarlo. Utilizamos el teorema sinusal en el que:

Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos en el triángulo es de 180 °, obtenemos :? B \u003d 180 ° -? A -? C \u003d 180 ° - 45 ° - 105 ° \u003d 30 °.

3. Encuentre el área del triángulo con las partes 2, 5 y 3 (Fig. 128). (uno)

Decisión. Puedes aprovechar la Fórmula Gerona:

En nuestro caso:

Semitter:

Sería más fácil resolver la tarea sería así. Por el teorema de coseno:

Dado que el área del triángulo es igual a la mitad del trabajo de dos lados en el seno de la esquina entre ellos, entonces:

4. En el triángulo ABC, donde? ACB \u003d 120 °, se llevó a cabo una mediana. Encuentra la longitud si la lanza \u003d 6, Sun \u003d 4 (Fig. 129). (2)

Decisión. Utilizamos la fórmula mediana de longitud.

Tenemos A \u003d Sun \u003d 4, B \u003d AC \u003d 6. Queda por encontrar c \u003d ab. Aplicar al triángulo del eje del teorema de coseno: C2 \u003d AV2 \u003d AC2 + BC 2-2AC? ¿ANTES DE CRISTO? Cos (? Dc) \u003d 62+ 42- 2? 6? cuatro? Cos 120 ° \u003d 36 + 16-48? (- 1/2) \u003d 76.

5. Encuentre las longitudes de los lados del ABC del triángulo angular ABC, si el sol \u003d 8, y las longitudes de alturas bajadas en el lado de CA y Sol, son 6, 4 y 4, respectivamente (Fig. 130 ). (2)

Decisión. El único ángulo del triángulo, que permaneció "intacto", esquina C.

Desde el triángulo rectangular de la Marina sigue:

Y ahora en el teorema de coseno aplicado al triángulo ABC, obtenemos:

Respuesta: ab \u003d? 41; Ac \u003d 5.

6. En un triángulo, uno de los ángulos de los cuales es igual a la diferencia entre los otros dos, la longitud del lado más pequeño es igual a 1, y la suma de los cuadrados de los cuadrados construidos en otros dos lados, el doble de la Área del área descrita cerca del triángulo del círculo. Encuentra la longitud del lado más grande del triángulo (Fig. 131). (2)

Solución: ¿Denote a través? ¿La esquina más pequeña del triángulo y a través? La esquina más grande. Entonces la tercera esquina es igual? -? - ?. ¿Bajo la condición de la tarea? -? \u003d? -? -? (Un ángulo mayor no puede ser igual a la diferencia de otros dos ángulos). Se deduce que 2? \u003d?; ? \u003d? / 2. Así que el triángulo es rectangular. ¿Resaltar la aeronave en un ángulo más pequeño?, Igual a la condición 1, lo que significa que el segundo rollo de AV es CTG?, Y la hipotenusa AU es 1 / pecado. Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los cuadrados construidos sobre hipotenusa y nuez más grande es:

El centro del círculo descrito cerca del triángulo rectangular se encuentra en medio de la hipotenusa, y su radio es igual a:

y el área es igual:

Usando la condición de la tarea, tenemos una ecuación:

La longitud de la mayor parte del triángulo es igual.

7. Las longitudes del lado A, B, desde el triángulo son iguales a 2, 3 y 4. Encuentre la distancia entre los centros de los círculos descritos e inscritos. (2)

Decisión. Para resolver el problema, incluso el dibujo no es necesario. Constantemente encontramos: media medida

Distancia entre los centros de círculos:

8. En el triángulo ABC, la magnitud del ángulo es igual a? / 3, la longitud de la altura, bajada de la parte superior con el lado del AB, es igual a? 3 cm, y el radio del círculo descrito Cerca del triángulo ABC es de 5 cm. Encuentra las longitudes del lado del triángulo ABC (Fig. 132). (3)

Solución: Deje que el CD sea la altura del triángulo ABC, bajado de la Cumbre C. Tres casos son posibles. El CD de la base D altura obtiene:

1) en el segmento AV;

2) Continuar con el segmento de AV por punto;

3) PUNTO V.

Por la condición, el radio del círculo descrito cerca del triángulo ABC es de 5 cm. En consecuencia, en los tres casos:

Ahora está claro que el punto D no coincide con el punto, desde el sol. CD. Usando el teorema de Pitágora a los triángulos de ACD y BCD, encontramos que

Se deduce que el punto D se encuentra entre los puntos A y B, pero luego AV \u003d AD + BD (1 + 6? 2), vea

Respuesta: AV \u003d (6? 2 + 1) cm, sol \u003d 5? 3 cm, ac \u003d 2 cm.

9. En los triángulos de ABC y A1B1C1, la longitud del lado AV es igual a la longitud del lado A1B1, la longitud del lado del altavoz es igual a la longitud del lado A1C1, el valor de ángulo de usted es de 60 ° y el valor del ángulo B1A1C1 es de 120 °. Se sabe que la proporción de longitud B1C1 a la longitud del sol es igual a? N (donde n es un entero). Encuentre la relación de la longitud de la AU a la longitud de la AU. Bajo qué valores N Tarea tiene al menos una solución (Fig. 133)? (3)

Solución: Deje que ABC y A1B1C1 sean los datos en la condición de trabajo del triángulo. Aplicando el teorema de coseno a los triángulos ABC y A1B1C1, tenemos:

T. K. Bajo la condición de la tarea de B1C1: Sun \u003d? N, entonces

Desde A1B1 \u003d AB y A1C1 \u003d AU, luego, separando el numerador y el denominador de la fracción en el lado izquierdo de la igualdad (1) en el AC2I, denotando AB: AU aU a X, obtenemos la igualdad:

donde está claro que la proporción deseada de la longitud de la AU a la longitud de la superficie es la raíz de la ecuación

x2 (n - 1) - x (n + 1) + n - 1 \u003d 0. (2)

T. K. B1C1\u003e Sol, luego N\u003e 1. En consecuencia, la ecuación (2) es cuadrada. Su discriminante es igual a (N + 1) 2- 4 (N - 1) 2 \u003d - 3N2 + 10N - 3.

La ecuación (2) tendrá soluciones si - 3N2 + 10N - 3? 0, es decir, en -1/3? ¿norte? 3. T. K. N es un número natural, mayor que 1, entonces la ecuación (2) tiene soluciones en N \u003d 2 y N \u003d 3. 3. Con n \u003d 3, la ecuación (2) tiene una raíz x \u003d 1; Para n \u003d 2, la ecuación tiene una raíz.

Respuesta: La relación de la longitud de AB a la longitud del altavoz es igual

en n \u003d 2; igual a 1 en n \u003d 3; Con las soluciones N restantes allí.

En general, el triángulo es la figura más sencilla de todos los polígonos existentes. Está formado con la ayuda de tres puntos, que se encuentran en el 1er plano, pero, al mismo tiempo, no se encuentran en la primera consecutiva, y los pares están conectados entre sí. Los triángulos son de diferentes tipos, y por lo tanto se caracterizan por diferentes propiedades. Dependiendo del tipo de ángulos, el triángulo puede relacionarse con uno de los 3 tipos, para ser agudamente angular, rectangular o estúpido. El estúpido triángulo es un triángulo que tiene un ángulo estúpido. Al mismo tiempo, estúpido se llama tal ángulo, que tiene la magnitud de más noventa grados, pero menos de ciento ochenta grados.

En otras palabras, un triángulo estúpido es el polígono más simple, que contiene un ángulo estúpido, algunos de sus esquinas están dentro de los 90-180 grados.

Tarea: ¿Hay o no un triángulo estúpido cuando:

el ángulo ABC en él es igual a 65 grados;
su ángulo de BCA es de 95 grados;
Ángulo de la cabina - 20 grados.

Solución: Las esquinas CAB y ABC tienen menos de 90 grados, pero, con el ángulo BCA de más de 90 grados. Entonces, tal triángulo es estúpido.

Cómo encontrar los lados de un estúpido triángulo sin anasis.

¿Qué es un triángulo estúpido, nos ocupamos de arriba? Ahora debe tratarse con qué triángulo se considera igualmente presidido.

Igualmente llamado tal triángulo, que tiene 2 lado absolutamente igual. Estos lados se llaman lado, el tercer lado del triángulo se llama la base.

Los vértices del triángulo generalmente se indican con letras latinas de capital, es decir, a, B y C. Los valores de sus esquinas, respectivamente, los vértices son designados por letras griegas, es decir, α, β, γ. Las longitudes de los lados opuestos del triángulo son letras latinas de capital, es decir, a, b, c.

Una tarea simple: el perímetro de un triángulo estúpido y alza es de 25 cm, la diferencia de 2 de sus lados es de 4 cm, y la 1 adentro de las esquinas externas del triángulo es afilada. ¿Cómo encontrar tal triángulo?

Solución: Un ángulo adyacente a lo que el ángulo agudo del triángulo es estúpido. En un triángulo de tal plan, un ángulo romo puede ser exclusivamente el ángulo que está en contra de su fundación. En consecuencia, la base es el lado más grande de tal triángulo. Si toma la base de este triángulo para X, para resolver este problema, debe usar la siguiente fórmula:

Respuesta: La base de un triángulo estúpido igualmente encadenado es de 11 cm, y sus ambos lados son de 7 cm.

Fórmulas para las que puedes encontrar los lados de un triángulo estúpido sin anasis.

Notación utilizada:

b - Este es el lado de la base del triángulo.
a - su lado igual
α - ángulos en la base del triángulo
β - un ángulo que está formado por sus partes iguales
√ - raíz cuadrada

1. Fórmulas de la longitud base (B):

b \u003d 2A Sin (β / 2) \u003d A√2-2COSβ
b \u003d 2a cos α

2. Fórmulas de la longitud de los lados iguales del triángulo (s):

2SIN (β / 2) √2-2cos β

Cómo encontrar un ángulo de coseno en un triángulo estúpido si se conoce la altura

Para comenzar, no le dolerá comprender con los términos principales que se utilizan en este asunto: lo que se llama la altura del triángulo y lo que es el ángulo de coseno.

La altura del triángulo se considera perpendicular, que se lleva a cabo desde la parte superior de la misma a la línea, que contiene el lado opuesto de este triángulo. El coseno es una función trigonométrica bien conocida, que es una de las funciones principales de la trigonometría.

Para encontrar el coseno del ángulo en un triángulo estúpido con los vértices A, B y C, siempre que se conozca la altura, debe bajar la altura desde el lado de los altavoces. El punto en el que la altura se interseca con un lado de la AU debe denotarse por D y considerar el triángulo del AVD, que es rectangular. En este triángulo AB, que es un lado del triángulo original, es hipotenusa. Los catestres son la altura del triángulo original, así como el segmento del anuncio, que pertenece al lado de la AU. Al mismo tiempo, el coseno del ángulo correspondiente al vértice A es igual a la actitud del anuncio a AB, ya que el anuncio Catat está adyacente a la esquina en la parte superior de la AV en el triángulo AV. En el caso, cuando se sabe, lo que exactamente la relación de la acción de la AU está dividida por la altura VD y qué es esta altura, luego se encuentra el coseno del ángulo correspondiente al vértice A, que se encuentra.

Pregunta 1.¿Qué ángulos se llaman adyacentes?
Respuesta.Se llama a dos ángulos adyacentes si tienen un lado en común, y otras partes de estos ángulos son semicírculos adicionales.
En la Figura 31, los ángulos (A 1 B) y (a 2 B) adyacentes. Tienen el lado B en general, y las partes A 1 y A 2 son semicírculos adicionales.

Pregunta 2.Demuestre que la suma de ángulos adyacentes es de 180 °.
Respuesta. Teorema 2.1.La suma de ángulos adyacentes es de 180 °.
Evidencia. Deje un ángulo (A 1 B) y un ángulo (A 2 B): estos ángulos adyacentes (ver Fig.31). El haz B pasa entre los lados de un 1 y un 2 de la esquina desplegada. Por lo tanto, la suma de los ángulos (A 1 B) y (a 2 b) es igual a la esquina desplegada, es decir, 180 °. Q.E.D.

Pregunta 3.Demuestre que si dos ángulos son iguales, los ángulos adyacentes también son iguales.
Respuesta.

Del teorema 2.1 de ello se deduce que si dos ángulos son iguales, entonces los ángulos adyacentes son iguales.
Supongamos que los ángulos (A 1 B) y (C1 D) son iguales. Necesitamos demostrar que los ángulos (a 2 b) y (c 2 d) también son iguales.
La suma de ángulos adyacentes es de 180 °. De esto se deduce de esto que 1 B + A 2 B \u003d 180 ° y C1 D + C 2 D \u003d 180 °. Por lo tanto, un 2 B \u003d 180 ° - A 1 B y C2 D \u003d 180 ° - C 1 D. Dado que los ángulos (A 1 B) y (c 1 d) son iguales, obtenemos que un 2 B \u003d 180 ° - A 1 B \u003d C2 D. Según la propiedad de transitividad del signo de igualdad, se deduce que un 2 b \u003d c 2 D. Q.E.D.

Pregunta 4.¿Qué ángulo se llama directo (nítido, estúpido)?
Respuesta. Un ángulo igual a 90 ° se llama ángulo directo.
Un ángulo de menos de 90 ° se llama un ángulo afilado.
El ángulo mayor que 90 ° y el menor de 180 ° se llama estúpido.

Pregunta 5. Demostrar que el ángulo, adyacente a directo, es un ángulo recto.
Respuesta.Desde el teorema en la suma de ángulos adyacentes, se deduce que el ángulo, adyacente al ángulo directo, es un ángulo directo: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

Pregunta 6.¿Qué ángulos se llaman vertical?
Respuesta.Se llaman dos ángulos verticales si los lados del mismo ángulo son lados semi-simplemente simples de la otra.

Pregunta 7.Demostrar que los ángulos verticales son iguales.
Respuesta. Teorema 2.2. Los ángulos verticales son iguales.
Evidencia.Deje (1 b 1) y (a 2 B 2): estos ángulos verticales (Fig. 34). El ángulo (A 1 B 2) es adyacente con un ángulo (A 1 B 1) y con un ángulo (A 2 B 2). De ahí el teorema en la suma de ángulos adyacentes, concluimos que cada uno de los ángulos (A 1 B 1) y (a 2 B 2) complementa el ángulo (A 1 B 2) a 180 °, es decir, Los ángulos (A 1 B 1) y (a 2 B 2) son iguales. Q.E.D.

Pregunta 8.Demuestre que si con la intersección de dos líneas rectas, una de las esquinas de la línea, entonces el ángulo restante también es recto.
Respuesta.Supongamos que la AB y el CD directos se crucen entre sí en el punto O. Supongamos que el ángulo de AOD es 90 °. Dado que la suma de ángulos adyacentes es de 180 °, obtenemos que AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° es 90 ° \u003d 90 °. Ángulo de cañera de ángulo vertical de AOD, por lo que son iguales. Es decir, el ángulo COB \u003d 90 °. COA ÁNGULO VERTICAL BODE, por lo que son iguales. Es decir, el ángulo BOD \u003d 90 °. Por lo tanto, todos los ángulos son 90 °, es decir, todos son directos. Q.E.D.

Pregunta 9.¿Qué son los directos se llama perpendicular? ¿Qué signo se usa para referirse a la perpendicularidad de directo?
Respuesta.Dos líneas rectas se llaman perpendiculares si se intersecan en ángulos rectos.
La perpendicularidad del Directo se denota por el signo \\ (\\ PERP \\). REGISTRO \\ (A \\ PERP B \\) lee: "Dirige un perpendicular a Direct B".

Pregunta 10.Demuestre que a través de cualquier punto, la persona perpendicular puede llevar a cabo, y solo una.
Respuesta. Teorema 2.3.A través de cada directo se puede realizar directamente, y solo uno.
Evidencia.Deje que sea este directo y un punto. Denote por un 1 de la directa semiconductible A con el punto de partida A (Fig. 38). Postituiremos desde el ángulo semicircular 1 (A 1 B 1), igual a 90 °. Luego, el directo que contiene el haz b 1 será perpendicular a la directa a.

Supongamos que hay otra línea recta, también pasando por el punto A y perpendicular a la línea recta a. Denote por C 1, el semi-eje de esta línea recta, que se encuentra en un medio plano con una viga B 1.
Los ángulos (A 1 B 1) y (a 1 C 1), igual a cada 90 °, se posponen en un medio plano desde el semi-simplicable A 1. Pero desde la semiconducta A 1 en este medio plano, solo un ángulo se puede posponer igual a 90 °. Por lo tanto, no debe ser otro que pase directamente por el punto A y la directa perpendicular a. El teorema está probado.

Pregunta 11.¿Qué es perpendicular a la línea recta?
Respuesta. El perpendicular a este directo se llama línea recta, perpendicular a esto, que tiene uno de sus fijadores su punto de intersección. Este extremo del segmento se llama base Perpendicular.

Pregunta 12.Explica que la prueba de desagradable.
Respuesta. El método de evidencia que aplicamos en el Teorema 2.3 se llama prueba del oponente. Este método de evidencia es que inicialmente hicimos un supuesto que es lo contrario de lo que está aprobado por el teorema. Luego, mediante el razonamiento, confiando en los axiomas y los teoremas probados, llegan a la conclusión, que es contrario a la condición del teorema o uno de los axiomas o un teorema previamente probado. Sobre esta base, concluimos que nuestro supuesto era incorrecto, y por lo tanto, la declaración del teorema es cierta.

Pregunta 13.¿Qué se llama ángulo de bisector?
Respuesta.El bisector del ángulo se llama una viga, que proviene de la parte superior de la esquina, pasa entre sus partes y divide el ángulo por la mitad.