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III Gráficos

Tarea 7. Realice un estudio completo de la función y cree su horario.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Antes de comenzar a descargar sus opciones, intente resolver el problema de muestra a continuación para la opción 3. Parte de las opciones se archivan en formato.rar

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Realizar un estudio completo de la función y construir su horario.

Decisión.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Área Definición: & nbsp & nbsp & nbsp & & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, i.e. & nbsp & nbsp & Nbsp y nbsp.
.
Así: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Puntos de cruce con eje de buey. De hecho, la ecuación de & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp no tiene soluciones.
Puntos de intersección con OY Axis No, desde y NBSP y NBSP y NBSP y NBSP.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) La función es algo ni intensa. No hay simetrías con respecto al eje de la ordenada. No hay simetrías con respecto al inicio de las coordenadas. Como
.
Vemos que & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) La función es continua en el área de definición
.

; .

; .
En consecuencia, el punto y nbsp y nbsp y nbsp y nbsp son un punto de interrupción de segundo orden (infinito descanso).

5) Asintotes verticales: & Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Encontraremos asintotes inclinados y nbsp y nbsp y nbsp y nbsp. Aquí

;
.
En consecuencia, tenemos asintotes horizontales: y \u003d 0.. No hay asintotes inclinados.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) encontrará el primer derivado. Primer derivado:
.
Y es por eso
.
Encuentra puntos estacionarios donde el derivado es cero, eso es
.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Encontraremos la segunda derivada. Segundo derivado:
.
Y es fácil asegurarse porque

¿Cómo investigar la función y construir su horario?

Parece que comienzo a entender la cara espiritualizada-penetrada del líder del proletariado mundial, el autor de la colección de escritos en 55 volúmenes ... La forma de no ingresar comenzó con información elemental sobre funciones y gráficos, Y ahora, el trabajo en el tema que consume mucho tiempo termina con un resultado natural - Artículo en el estudio completo de la función.. La tarea tan esperada se formula de la siguiente manera:

Explore la función de los métodos de cálculo diferencial y en función de los resultados del estudio para construir su horario

O más corta: explore la función y construya un gráfico.

¿Por qué explorar? En casos simples, no le resultaremos difícil entender las funciones elementales, dibujar el horario obtenido por transformaciones geométricas elementales. etc. Sin embargo, las propiedades y las imágenes gráficas de funciones más complejas están lejos de ser obvias, por lo que es necesario que todo el estudio es necesario.

Las etapas principales de la solución se reducen en material de referencia. Esquema de investigación de funciónEsta es su guía para la sección. Las teteras requieren una explicación paso a paso del tema, algunos lectores no saben dónde comenzar y cómo organizar un estudio, y los estudiantes avanzados pueden estar interesados \u200b\u200bsolo en algunos momentos. Pero quienquiera que pueda, querido visitante, el resumen propuesto con los punteros a varias lecciones en el término más corto orientadas y lo dirigirá en la dirección de interés. Los robots calumnias \u003d) Guía los franjas en forma de un archivo PDF y tomó un lugar bien merecido en la página Fórmulas matemáticas y mesas..

El estudio de la función que solía romper 5-6 puntos:

6) Puntos y horarios adicionales en función de los resultados del estudio.

A costa de la acción final, creo que todo está claro para todos, será muy decepcionante si en cuestión de segundos se cruzará y regresará al refinamiento. ¡El dibujo correcto y preciso es el resultado principal de la solución! Es muy probable que se "vincule" las abrasiones analíticas, mientras que el gráfico incorrecto y / o negligente entregará problemas incluso con un estudio idealmente realizado.

Cabe señalar que en otras fuentes, el número de artículos de investigación, el procedimiento para su implementación y el estilo de registro puede diferir significativamente del plan propuesto por mí, pero en la mayoría de los casos es suficiente. La versión más simple de la tarea consiste en solo 2-3 etapas y se formula de la siguiente manera: "Explore la función usando un derivado y cree un gráfico" o "Explore la función usando el 1º y 2º derivado, construya un gráfico".

Naturalmente, si su método está desmontado en detalle, otro algoritmo o su maestro exige estrictamente adherirse a sus conferencias, tendrá que hacer algunos ajustes a la solución. No es más difícil que reemplazar el tenedor con una cuchara de motosierra.

Compruebe la función de preparación / rareza:

Después de eso, se sigue una grabación de plantillas:
Por lo tanto, esta función no es ni siquiera o extraña.

Dado que la función es continua, no hay asintotes verticales.

Sin asintotes inclinados.

Nota : Te recuerdo que es más alto orden de crecimientoque, por lo que el límite final es igual a " un plus Infinito. "

Averigüe cómo se comporta la función en el infinito:

En otras palabras, si vamos a la derecha, entonces el horario va infinitamente lejos, si se deja caer sin cesar. Sí, aquí también hay dos límites bajo un solo registro. Si tiene alguna dificultad con las señales de decodificación, visite la lección sobre características infinitas pequeñas.

Por lo tanto, la función no limitado a desde arriba y no se limita a abajo. Teniendo en cuenta que no tenemos puntos de interrupción, queda claro y Área de valores de función: - también cualquier número válido.

Técnica técnica útil.

Cada configuración de la tarea trae nueva información sobre la gráfica.Por lo tanto, durante la solución, es conveniente usar un tipo de diseño. Representaré el sistema de coordenadas en cartovka cartov. ¿Qué ya se conoce? Primero, el calendario no tiene asintot, por lo tanto, no se necesita el inconveniente directo. En segundo lugar, sabemos cómo se comporta la función en el infinito. Según el análisis, dibuje la primera aproximación:

Tenga en cuenta que en virtud continuidad Funciones sobre y el hecho de que el calendario debe al menos una vez cruzar el eje. ¿O tal vez hay varios puntos de intersección?

3) ceros e intervalos de la alineación.

Primero encontraremos el punto de intersección de la gráfica con el eje de la ordenada. Es sencillo. Es necesario calcular el valor de la función cuando:

Una y media sobre el nivel del mar.

Para encontrar los puntos de intersección con el eje (ceros de la función), se requiere que resuelva la ecuación, y aquí tendremos una sorpresa desagradable:

Al final, se adjuntó un miembro gratuito, que complica enormemente la tarea.

Dicha ecuación tiene al menos una raíz válida, y la mayoría de las veces esta raíz es irracional. En el peor cuento de hadas, tendremos tres cerdos. La ecuación es solucionable utilizando el llamado llamado fórmulas de CardanoPero el daño en papel es comparable casi con todo el estudio. En este sentido, es más inteligible por vía oral, ya sea en el borrador para tratar de elegir al menos uno entero raíz. Comprobar, no son números:
- no adecuado;
- ¡hay!

Tiene suerte aquí. En caso de fracaso, también es posible probar, y si estos números no aparecieron, entonces hay muy pocas oportunidades para una solución rentable para la ecuación. Luego, el elemento de estudio es mejor para saltarse por completo, tal vez se convertirá en algo más claro en el paso final cuando se realizarán puntos adicionales. Y si la misma raíz (raíces) es claramente "mala", entonces los intervalos de la alineación es mejor en general modestamente Silex Sí, es más instruido para cumplir con el dibujo.

Sin embargo, tenemos una hermosa raíz, por lo que dividimos el polinomio. sin residuos:

El algoritmo para dividir el polinomio al polinomio en detalle se desmonta en el primer ejemplo de la lección Límites difíciles.

Como resultado, la parte izquierda de la ecuación de origen. Doblado en el trabajo:

Y ahora un poco sobre un estilo de vida saludable. Yo, por supuesto, entiendo que ecuaciones cuadráticas Debe decidir todos los días, pero hoy haremos una excepción: ecuación Tiene dos raíces válidas.

En una posposición directa numérica los valores encontrados y método de intervalo Determine las características de la función:


flujo así a intervalos Horario localizado
debajo del eje de abscisa, y a intervalos - Sobre este eje.

Las conclusiones resultantes le permiten detallar nuestro diseño, y la segunda aproximación del gráfico es la siguiente:

Tenga en cuenta que la función debe necesariamente tener al menos un máximo, y en un intervalo, al menos un mínimo. Pero cuántas veces, dónde y cuándo "ocultar" un horario, aún no lo sabemos. Por cierto, la función puede tener tanto infinitamente. eximes.

4) Ascendente, disminución y función extremo.

Encuentra puntos críticos:

Esta ecuación tiene dos raíces válidas. Los pospondré en un directo numérico y definiré los signos de la derivada:


En consecuencia, la función aumenta en y disminuye en.
En el punto, la característica alcanza un máximo: .
En el punto, la función alcanza un mínimo: .

Hechos instalados libran nuestra plantilla en un marco bastante duro:

Qué decir, cálculo diferencial, una cosa poderosa. Finalmente lids con la forma del horario:

5) Bulge, Vinculado y Punto de inflexión.

Encontraremos puntos críticos de la segunda derivada:

Determine los signos:


El gráfico de funciones es convexo y cóncavo. Calcule la ordenada del punto de inflexión :.

Casi todo resultó.

6) Queda por encontrar puntos adicionales que ayudarán a construir más precisamente un horario y realizar una autoprueba. En este caso, no son suficientes, pero no descuidaremos:

Realiza un dibujo:

El color verde está marcado con un punto de inflexión, cruces - puntos adicionales. La gráfica de la función cúbica es simétrica sobre su punto de inflexión, que siempre se encuentra estrictamente en el medio entre el máximo y el mínimo.

En el curso de la realización de la tarea, traje tres dibujos intermedios hipotéticos. En la práctica, es suficiente para dibujar el sistema de coordenadas, marque los puntos encontrados y después de que cada elemento de estudio estime mentalmente cómo puede verse el gráfico de la función. Los estudiantes con un buen nivel de capacitación no serán difíciles de llevar a cabo un análisis de este tipo exclusivamente en la mente sin atraer un borrador.

Para autop soluciones:

Ejemplo 2.

Explora la función y construye un gráfico.

Hay una muestra ejemplar más rápida y divertida, una muestra ejemplar del diseño de acabado al final de la lección.

Muchos secretos revelan el estudio de las funciones racionales fraccionantes:

Ejemplo 3.

Los métodos de cálculo diferencial exploran la función y sobre la base de los resultados del estudio para construir su horario.

Decisión: La primera etapa del estudio no difiere con algo notable, con la excepción del agujero en el campo de la definición:

1) La función se define y continua en toda la directa numérica, excepto el punto, dominio: .

Significa que esta función no es ni siquiera o extraña.

Obviamente, la función no es periódica.

La gráfica de la función es dos ramas continuas ubicadas en el medio plano izquierdo y derecho, esta es quizás la conclusión más importante del 1er punto.

2) Asintotes, comportamiento de la función en el infinito.

a) Con la ayuda de límites de unidireccional, investigamos el comportamiento de una función cerca de un punto sospechoso donde es claramente una asintotra vertical:

De hecho, las funciones toleran descanso infinito En el punto,
y el recto (eje) es asimptota vertical Gráficos.

b) Compruebe si existen asintotes oblicuos:

Sí, directo es asintenta inclinada Gráficos, si.

Los límites para analizar no tienen sentido, ya que está tan claro que la función en un abrazo con su asintota inclinada. no limitado a desde arriba y no se limita a abajo.

El segundo punto de investigación trajo muchas información importante sobre la función. Realizar un dibujo de dibujo:

Conclusión El número 1 se refiere a los intervalos de la alineación. En el "Infinito menos", la gráfica de la función se encuentra únicamente debajo del eje de abscisa, y en el "Plus Infinity", sobre este eje. Además, los límites de un lado nos informaron como la izquierda y el derecho de la función, también, más cero. Tenga en cuenta que en el medio plano izquierdo, el calendario al menos una vez está obligado a cruzar el eje de la abscisa. En los ceros de medio plano derecho, las funciones pueden no ser.

El número de salida 2 es que la función aumenta y hacia la izquierda (hay un "de abajo hacia arriba"). A la derecha de este punto, la función disminuye (hay un "de arriba abajo"). La rama derecha de la tabla ciertamente debe ser al menos un mínimo. Los extremos izquierdos no están garantizados.

Conclusión El número 3 proporciona información confiable sobre la concavidad de la gráfica en el vecindario del punto. No podemos decir nada sobre la protuberancia / concavidad en el infinito, porque la línea se puede presionar a sus asintotes tanto desde arriba como por debajo. En términos generales, hay una forma analítica de resolverlo ahora mismo, pero la forma del regalo "por nada" será más clara en las etapas posteriores.

¿Por qué tantas palabras? ¡Para monitorear los puntos de investigación posteriores y evitar errores! Los cálculos adicionales no deben ser contrarios a las conclusiones.

3) Puntos de intersección de la tabla con ejes de coordenadas, los intervalos de la función de símbolo.

El gráfico de la función no cruza el eje.

Método de intervalo Determine los signos:

, si A;
, si un .

Los resultados del punto corresponden plenamente a la conclusión número 1. Después de cada etapa, mire el borrador, se refiere mentalmente al estudio y dibuje un horario de funciones.

En el ejemplo, bajo consideración, el numerador se divide en un denominador, lo cual es muy beneficioso para la diferenciación:

En realidad, ya se ha hecho mientras se encuentran las asintotes.

- punto crítico.

Determine los signos:

aumentos por y disminuir por

En el punto, la función alcanza un mínimo: .

Las discusiones con la conclusión número 2 tampoco se enteraron, y lo más probable es que estemos en el camino correcto.

Por lo tanto, el gráfico de funciones es cóncavo en todo el campo de la definición.

Excelente - y no dibujes nada.

No hay puntos de inflexión.

La conferencia es consistente con la conclusión número 3, además, indica que en el infinito (y allí y allá) se encuentra el gráfico de la función sobre Sus asintotes inclinados.

6) En rosa conscientemente la tarea con puntos adicionales. Aquí será bonito trabajar duro, debido al estudio, somos conocidos solo dos puntos.

Y la imagen, que, probablemente, muchos han presentado durante mucho tiempo:

Durante la tarea, debe asegurarse cuidadosamente de que no haya contradicciones entre las etapas del estudio, pero a veces la situación es de emergencia o incluso un cierre desesperado. Aquí, el analista "No converge", y eso es todo. En este caso, recomiendo la recepción de emergencia: encontramos tantos puntos que pertenecen a los gráficos (cuánta paciencia es suficiente), y los nociones en el plano de coordenadas. Un análisis gráfico de los valores encontrados en la mayoría de los casos le dirá dónde la verdad, y dónde está una mentira. Además, el horario se puede construir previamente utilizando cualquier programa, por ejemplo, en el mismo exilio (comprensible, para esto que necesita habilidades).

Ejemplo 4.

Los métodos de cálculo diferencial exploran la función y construyen su horario.

Este es un ejemplo para una solución independiente. En ella, el autocontrol se mejora con la función: la gráfica es simétrica sobre el eje, y si algo contrario a este hecho en su estudio, busque un error.

También puede explorar una función clara o impar cuando, y luego use la simetría de la gráfica. Tal solución es óptima, pero parece que, en mi opinión, es muy inusual. Personalmente, considero todo el eje numérico, pero todavía encuentro puntos adicionales a la derecha:

Ejemplo 5.

Realice un estudio completo de la función y construya su horario.

Decisión: Se apresuró duro:

1) La función se define y continúa en toda la línea numérica :.

Significa que esta función es extraña, su gráfico es simétrico en relación con el inicio de las coordenadas.

Obviamente, la función no es periódica.

2) Asintotes, comportamiento de la función en el infinito.

Dado que la función es continua, entonces las asintotes verticales están ausentes

Para una función que contiene el expositor típicamente separar El estudio "PLUS" y "menos infinito", pero nuestras vidas facilitan la simetría del calendario, ya sea a la izquierda y, a la derecha, hay una asintota, o no lo es. Por lo tanto, ambos límites infinitos se pueden emitir bajo un solo registro. Durante la solución utilizamos regla lopital:

Directo (Axis) es una asinteta horizontal de la gráfica.

Tenga en cuenta cómo presioné el algoritmo completo de la búsqueda de asintotes inclinados: el límite es completamente fácil y aclara el comportamiento de la función en el infinito, y la asinteta horizontal ha encontrado "como si al mismo tiempo".

De la continuidad y la existencia de asintotes horizontales sigue el hecho de que la función limitado desde arriba y limitado desde abajo.

3) Los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas, los intervalos de la alineación.

Aquí, también, reduce la decisión:
El horario pasa a través del origen de las coordenadas.

No hay otros puntos de intersección con ejes de coordenadas. Además, los intervalos del alpopurismo son obvios, y el eje no se puede dibujar:, lo que significa que la función de la función depende solo de la "ICA":
, si A;
, si a.

4) Aumentar, disminuir, función extremo.


- Puntos críticos.

Los puntos son simétricos en relación con cero, como debería ser.

Determinar los signos del derivado:


La función aumenta en el intervalo y disminuye a intervalos.

En el punto, la característica alcanza un máximo: .

En virtud de la propiedad. (Funciones de fundación) El mínimo no se puede calcular:

Dado que la función disminuye en el intervalo, es obvio para "menos infinito", se encuentra el calendario debajo Con su asintotla. En el intervalo, la función también disminuye, pero aquí todo es lo contrario, después de cambiar el punto máximo, la línea se acerca al eje ya en la parte superior.

De lo anterior, también se deduce que el programa de funciones es convexo en el "Minus Infinity" y cóncavo en el "Plus Infinity".

Después de este punto de estudio, también se dibujó el campo de los valores de la función:

Si no tiene malentendidos de ningún momento, una vez más, insto a dibujar ejes de coordenadas en el cuaderno y con un lápiz en las manos para volver a analizar cada conclusión.

5) Conversión, Concavencia, Inflación de gráficos.

- Puntos críticos.

Se conservan los puntos de simetría, y lo más probable es que no estemos equivocados.

Determine los signos:


El gráfico de función es convexo en Y cóncavo en .

Se confirmó la bulto / lancia en los intervalos extremos.

En todos los puntos críticos hay geográficos de flexión. Encontraremos las ordenadas de los puntos de mendigo, mientras que nuevamente reducirá la cantidad de cálculos utilizando la rareza de la función:

Si la tarea es completar un estudio completo de la función f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 con la construcción de su horario, luego considere este principio en detalle.

Para resolver la tarea de este tipo, use las propiedades y gráficos de las funciones elementales principales. El algoritmo de estudio incluye pasos:

Encontrar un campo de definición

Dado que la investigación se realiza en el área de definición de campo, es necesario comenzar desde este paso.

Ejemplo 1.

El ejemplo especificado implica la base de los ceros del denominador para excluirlos de OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

Como resultado, puede obtener raíces, logaritmos, etc. Luego, se puede buscar el OTZ para un grado uniforme de tipo G (x) 4 por desigualdad g (x) ≥ 0, para logmaritmo log a g (x) por desigualdad g (x)\u003e 0.

Estudio de fronteras fronteras y encontrando asintotes verticales.

En los límites de la función hay asintotes verticales cuando los límites de un solo lado en tales puntos son infinitos.

Ejemplo 2.

Por ejemplo, considere los puntos de frontera igual a x \u003d ± 1 2.

Entonces es necesario estudiar la función para encontrar un límite unilateral. Luego obtenemos eso: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 F (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 F (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Se puede ver que los límites de un solo lado son infinitos, lo que significa que se recta x \u003d ± 1 2 - Asintotes verticales del gráfico.

Función de investigación y paridad o rareza

Cuando la condición y (- x) \u003d y (x) se satisface, la función se considera incluso. Esto sugiere que el calendario se encuentra simétricamente en relación con O. Cuando la condición Y (- X) \u003d - y (x) está satisfecha, la función se considera impar. Significa que la simetría viene en relación con el inicio de las coordenadas. Con el valor predeterminado, al menos una desigualdad, obtenemos una función común.

La implementación de la igualdad Y (- X) \u003d y (x) sugiere que la función es incluso. Al construirlo, es necesario tener en cuenta que habrá simetría en relación con O.

Para la solución de brechas crecientes y descendentes con condiciones F "(x) ≥ 0 y F" (x) ≤ 0, respectivamente.

Definición 1.

Puntos estacionarios- Estos son los puntos que convierten el derivado en cero.

Puntos críticos - Estos son puntos internos del área de definición, donde el derivado de la función es cero o no existe.

Al resolverlo, es necesario tener en cuenta las siguientes observaciones:

• con las extensiones del aumento y descendente de la desigualdad de la forma F "(x)\u003e 0, los puntos críticos en la solución no están incluidos;
• los puntos en los que se define la función sin un derivado finito debe incluirse en las brechas de creciente y descendente (por ejemplo, y \u003d x 3, donde el punto x \u003d 0 hace que la función se define, la derivada tiene el valor del infinito en este punto, y "\u003d 1 3 · x 2 3, Y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 se incluye en el intervalo creciente);
• para evitar desacuerdos, se recomienda utilizar la literatura matemática, que es recomendada por el Ministerio de Educación.

La inclusión de puntos críticos en las brechas de creciente y descendente en caso de que satisfagan las áreas de definición de campo.

Definición 2.

Para se deben encontrar las definiciones de brechas de función creciente y descendente.:

• derivado;
• puntos críticos;
• dividir el área de definición con puntos críticos a los intervalos;
• determine el signo del derivado en cada uno de los huecos, donde + es un aumento en, y desciende.

Ejemplo 3.

Encuentre un derivado en el campo Definición F "(X) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1 ) 2.

Decisión

Para resolver necesitas:

• encuentra puntos estacionarios, este ejemplo tiene x \u003d 0;
• encuentre los ceros del denominador, el ejemplo toma el valor de cero en x \u003d ± 1 2.

Puntos de prueba en el eje numérico para determinar el derivado en cada intervalo. Para hacer esto, es suficiente para tomar cualquier punto de la brecha y hacer un cálculo. Con un resultado positivo, la gráfica está representando +, lo que significa aumentar la función y, significa su disminución.

Por ejemplo, F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, significa que el primer intervalo de la izquierda tiene un signo +. Considere en una línea numérica.

Respuesta:

• hay un aumento en la función en el intervalo - ∞; - 1 2 y (- 1 2; 0];
• disminución en el intervalo [0; 1 2) y 1 2; + ∞.

En el diagrama con + y - se representa la positividad y la negatividad de la función, y el tirador se reduce y aumenta.

Función de puntos extremo: puntos donde se define la función y a través de la cual el derivado cambia el letrero.

Ejemplo 4.

Si consideramos un ejemplo donde X \u003d 0, entonces el valor de la función en él es igual a F (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. Al cambiar el signo del derivado con + activado y pasando a través del punto x \u003d 0, entonces el punto con las coordenadas (0; 0) se considera un punto máximo. Al cambiar el signo C, en + obtenemos un punto mínimo.

La conversión y la concavidad se determinan al resolver las desigualdades de la forma F "" (x) ≥ 0 y F "" (x) ≤ 0. Menos a menudo use el nombre de la protuberancia hacia abajo en lugar de cóncavos, y la protuberancia hacia arriba en lugar de la convexidad.

Definición 3.

Para determinar las brechas de cóncavo y abultamiento. Necesitar:

• encuentra la segunda derivada;
• encuentra ceros de la función de la segunda derivada;
• dividir el área de definición que apareció en los intervalos;
• determinar el signo de intervalo.

Ejemplo 5.

Encuentra la segunda derivada del área de definición.

Decisión

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos ceros del numerador y denominador, donde en el ejemplo de nuestro ejemplo tenemos ese ceros del denominador x \u003d ± 1 2

Ahora necesita aplicar puntos al eje numérico y definir un signo de la segunda derivada de cada brecha. Conseguimos eso

Respuesta:

• la función es convexa de la brecha - 1 2; 12;
• la función es cóncava de las brechas - ∞; - 1 2 y 1 2; + ∞.

Definición 4.

Punto de inflexión - Es un punto de tipo x 0; f (x 0). Cuando tiene tangente a los gráficos de la función, entonces cuando pasa a través de X 0, la función cambia la señal a lo contrario.

En otras palabras, este es tal punto a través del cual la segunda derivada pasa y cambia el signo, y en los puntos en sí es igual a cero o no existe. Todos los puntos se consideran un área de definición de campo.

En el ejemplo, estaba claro que los puntos de la inflexión están ausentes, ya que el segundo derivado cambia el letrero durante el paso de los puntos x \u003d ± 1 2. Ellos, a su vez, no están incluidos en el campo de la definición.

Encontrar asintotes horizontales e inclinados.

Al determinar la función al infinito, es necesario buscar asintotes horizontales e inclinados.

Definición 5.

Asigptotes inclinadoslas imágenes se muestran utilizando el Directo especificado por la ecuación y \u003d k x + b, donde k \u003d lim x → ∞ f (x) x y b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

En K \u003d 0 y B, no es igual al infinito, obtenemos que la asintota inclinada se convierte en horizontal.

En otras palabras, las asintotes consideran las líneas a las que se acerca el calendario de la función. Esto contribuye a la rápida construcción de los gráficos de la función.

Si faltan las asintotes, pero la función se determina en ambos infinicionadores, es necesario calcular el límite de la función en estos infinitos, para comprender cómo será el gráfico de funciones en sí.

Ejemplo 6.

En el ejemplo, considera que

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

es asintenta horizontal. Después de investigar, la función se puede iniciar para construirla.

Calcular el valor de la función en los puntos intermedios.

Para construir el programa es más preciso, se recomienda encontrar varias funciones de la función en los puntos intermedios.

Ejemplo 7.

Desde el ejemplo que consideramos, es necesario encontrar los valores de la función en los puntos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Dado que la función es incluso, obtenemos que los valores coinciden con los valores en estos puntos, es decir, obtenemos x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Escribimos y resolvemos:

F (- 2) \u003d F (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Para determinar las máximas y minimá de la función, puntos de la inflexión, los puntos intermedios necesitan construir asintotes. Para una designación conveniente, se registran las brechas de creciente, disminución, abultamiento, cóxpilidad. Considere en la figura que se muestra a continuación.

Es necesario a través de los puntos marcados para llevar a cabo las líneas de la gráfica, que se acercará más a la asintotam, siguiendo los arrogos.

Esto termina el estudio completo de la función. Hay casos de construir algunas funciones elementales para las cuales se utilizan transformaciones geométricas.

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