Distribución de Bayes. Fórmula de plena probabilidad, Fórmula Bayes.

Breve teoría

Si un evento se produce solo bajo la condición de que aparezcan uno de los eventos de formar un grupo completo de eventos incompletos, es igual a la cantidad de la probabilidad de cada uno de los eventos a la probabilidad condicional adecuada de la billetera.

Al mismo tiempo, los eventos se llaman hipótesis y probabilidades, a priori. Esta fórmula se llama fórmula de probabilidad completa.

La fórmula de Bayes se usa para resolver tareas prácticas cuando se realiza un evento que aparece en conjunto con cualquiera de los eventos que generan un grupo de eventos completo y se requiere una revaluación cuantitativa de las probabilidades de hipótesis. Se sabe que a priori (antes de la experiencia) se conoce. Se requiere calcular el posteriori (después de la experiencia) de la probabilidad, es decir. Esencialmente necesitas encontrar probabilidades condicionales. Fórmula Bayes se parece a esto:

La siguiente página aborda la tarea de.

Un ejemplo de resolver el problema.

Condición de la tarea 1.

En la fábrica, las máquinas 1,2 y 3 producen un 20%, 35% y 45% de todas las partes. En sus productos, el matrimonio es respectivamente del 6%, el 4%, el 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto elegido al azar resultó ser defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca: a) máquina 1; b) Máquina 2; c) Máquina 3?

Solución del problema 1.

Denote por el evento, que es que el producto estándar resultó ser defectuoso.

Un evento puede ocurrir solo si se produce uno de los tres eventos:

El producto se realiza en la máquina 1;

El producto se realiza en la máquina 2;

El producto se realiza en la máquina 3;

Escribimos probabilidades condicionales:

Probabilidad total de fórmula

Si un evento puede ocurrir solo al realizar uno de los eventos que forman una comisión de eventos incomprensibles, la probabilidad de un evento se calcula por la fórmula.

Según la fórmula de probabilidad completa, encontramos la probabilidad de un evento:

Fórmula Bayes.

La fórmula de Bayes le permite "reorganizar la causa y la consecuencia": de acuerdo con el hecho conocido, el evento calcula la probabilidad de que fue causada por esta razón.

La probabilidad de que el producto defectuoso se haga en la máquina 1:

La probabilidad de que el producto defectuoso esté hecho en la máquina 2:

La probabilidad de que el producto defectuoso se realice en la máquina 3:

Condición de la tarea 2.

El grupo consta de 1 estudiante excelente, 5 estudiantes y 14 estudiantes que tienen tiempo para tener tiempo. El excelente estudiante responde a 5 y 4 con una probabilidad igual, la buena respuesta a 5, 4 y 3 con una probabilidad igual, y un estudiante sucesivo mediocre responde a 4.3 y 2 con igual probabilidad. Estudiante elegido al azar Respondido 4. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya llamado a un estudiante mediocre?

Solución de tareas 2.

Hipótesis y probabilidades condicionales.

Las siguientes hipótesis son posibles:

Respondió a un excelente estudiante;

Respondió uno bueno;

- Hizo un estudiante mediocre;

Deja que el evento reciba 4.

Respuesta:

El precio afecta firmemente la urgencia de la solución (de día a varias horas). La asistencia en línea en el examen / clasificación se realiza con cita previa.

La aplicación se puede dejar directamente en el chat, habiendo lanzado previamente la condición de las tareas e informando la decisión que necesita. Tiempo de respuesta - unos minutos.

Permítales ser conocidos probablemente y las probabilidades condicionales correspondientes. Luego, la probabilidad de eventos es igual a:

Esta fórmula fue nombrada fórmulas plena probabilidad. En los libros de texto, está formulado por teorema, cuya prueba es elemental: de acuerdo con Álgebra de eventos, (ocurrió el evento y o Evento sucedió y Después de que alguna vez haya oevento sucedió y Después de que alguna vez haya o …. o Evento sucedió y Después de que haya llegado un evento). Dado que la hipótesis inconsistente, y un evento, dependiendo de el teorema de la adición de probabilidad de eventos incompletos. (primer paso) y el teorema de la intención de los eventos dependientes de probabilidad. (segundo paso):

Probablemente muchos anticipan el contenido del primer ejemplo \u003d)

Donde quiera que escupo, en todas partes URN:

Tarea 1.

Hay tres urnas idénticas. En la primera urna hay 4 blancos y 7 bolas negras, en el segundo - solo blanco y en la tercera, solo bolas negras. Maudoku se elige una urna y se extrae una bola de ella al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta pelota sea negra?

Decisión: Considere un evento: se extraerá una bola negra de la atmósfera de la URN elegida. Este evento puede ocurrir o no se produce como resultado de la implementación de una de las siguientes hipótesis:
- 1er urn será elegido;
- será elegido la segunda urna;
- Se elegirá la tercera URN.

Dado que la URN se elige al azar, la elección de cualquiera de las tres urnas igual posible, por eso:

Tenga en cuenta que la forma de hipótesis enumeradas grupo completo de eventos., es decir, por condición, una bola negra puede aparecer solo a partir de estas urnas, y por ejemplo, no vuele desde la tabla de billar. Dibujaremos un simple control intermedio:
, Ok, vaya más lejos:

En la primera urna 4 blanca + 7 negros \u003d 11 bolas, por definición clásica:
- La probabilidad de la extracción de una bola negra. dado queque será elegido la primera urna.

En la segunda urna, solo bolas blancas, por lo que en caso de su elección. La aparición de una bola negra se convierte. imposible: .

Y finalmente, en la tercera urna una bolas negras, y por lo tanto correspondientes la probabilidad condicional El extracto de bola negro será (El evento es confiable).

- la probabilidad de que se extraiga una bola negra del azar de la URN elegida.

Respuesta:

El ejemplo desmontado nuevamente sugiere lo importante que es profundizar en la condición. Tome las mismas tareas con las urnas y las bolas, cuando son similitudes externas, las soluciones pueden ser completamente diferentes: en algún lugar que necesita para aplicar solo definición de probabilidad clásica, en algún lugar de eventos independienteen algún lugar dependiente, y en algún lugar al que estamos hablando de hipótesis. Al mismo tiempo, no hay un criterio formal claro para seleccionar la solución de la solución, casi siempre debe pensar sobre ella. ¿Cómo mejorar tus calificaciones? ¡Decidimos, decidimos y resolvimos de nuevo!

Tarea 2.

En el guión hay 5 exactitud de batalla de rifle diferente. Las probabilidades de ingresar al objetivo de esta flecha son respectivamente 0.5; 0.55; 0.7; 0.75 y 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de golpear al objetivo, si el tirador hace una toma de un rifle seleccionado al azar?

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

En la mayoría de las tareas temáticas, la hipótesis, por supuesto, no son iguales iguales:

Tarea 3.

En los rifles de la pirámide 5, tres de los cuales están equipados con una vista óptica. La probabilidad de que el tirador golpee el objetivo cuando sea disparo de un rifle con una vista óptica, igual a 0.95; Para un rifle sin una vista óptica, esta probabilidad es de 0.7. Encuentre la posibilidad de que el objetivo se sorprenda si el tirador produce un disparo de una fila tomada rifle.

Decisión: En esta tarea, la cantidad de rifles es exactamente la misma que en la anterior, pero solo hay dos hipótesis:
- El tirador elegirá un rifle con una vista óptica;
- El tirador elegirá un rifle sin una vista óptica.
Por definición clásica de probabilidad: .
Control:

Considere el evento: - El tirador golpeará el objetivo de los rifles aleatorios tomados.
Por condición :.

Según la fórmula de probabilidad completa:

Respuesta: 0,85

En la práctica, una forma bastante acortada de registro de la tarea, que también conoce:

Decisión: Por definición clásica: - Probabilidades de elegir un rifle con una vista óptica y sin vista óptica, respectivamente.

Por condición, - Las probabilidades de ingresar al objetivo de los tipos correspondientes de rifles.

Según la fórmula de probabilidad completa:
- La probabilidad de que el tirador golpee el objetivo de la rampa del rifle seleccionado.

Respuesta: 0,85

Siguiente tarea de auto soluciones:

Tarea 4.

El motor funciona en tres modos: normal, forzado e inactivo. En el modo de ralentí, la probabilidad de su falla es de 0.05, en modo normal de operación - 0.1, y con un forzado - 0.7. 70% del tiempo El motor funciona en modo normal y 20% en forzado. ¿Cuál es la probabilidad de falla del motor durante la operación?

En caso de que le recuerde, para obtener los porcentajes de intereses de probabilidad, deben dividirse en 100. ¡Tenga mucho cuidado! Según mis observaciones, las condiciones para las tareas en la fórmula de probabilidad completa a menudo están tratando de ocuparse; Y recogí específicamente tal ejemplo. Te diré un secreto, no he confundido casi \u003d)

Solución al final de la lección (decorada de forma corta)

Tareas para Fórmulas Bayes

El material está estrechamente relacionado con el contenido del párrafo anterior. Deje que ocurrió el evento como resultado de la implementación de una de las hipótesis. . ¿Cómo determinar la probabilidad de que hubiera un lugar de tal hipótesis?

Dado queese evento ya pasóhipótesis de probabilidad sobreestimado Según las fórmulas que obtuvieron el nombre del sacerdote inglés Thomas Bayes:

- la probabilidad de que hubiera una hipótesis;
- la probabilidad de que hubiera una hipótesis;
…
- La probabilidad de que hubiera una hipótesis.

A primera vista, parece ser una tontería completa, ¿por qué volver a calcular la probabilidad de hipótesis, si son tan famosas? Pero de hecho, hay una diferencia:

- esto es a priori (Calificado antes de Pruebas) probabilidad.

- esto es apappery (Calificado después Pruebas) la probabilidad de las mismas hipótesis, recalculada debido a "con circunstancias recién descubiertas", teniendo en cuenta el hecho de que el evento sucedió fiable.

Considere esta distinción en un ejemplo específico:

Tarea 5.

El almacén recibió 2 productos por lotes: los primeros - 4000 piezas, la segunda - 6000 piezas. El porcentaje promedio de productos no estándar en el primer lote es del 20%, y en el segundo - 10%. Raduchi tomado desde el almacén, el producto resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que: a) desde el primer lote, b) desde el segundo lote.

Primera parte soluciones Consiste en utilizar la fórmula de probabilidad completa. En otras palabras, los cálculos se mantienen bajo el supuesto de que la prueba aún no producido Evento "El producto resultó ser estándar" hasta que llegue.

Considere dos hipótesis:
- El producto diestro será de la primera parte;
- La frontera tomada el producto será de la segunda parte.

Total: 4000 + 6000 \u003d 10,000 productos en stock. Por definición clásica:
.

Control:

Considere el evento dependiente: - Lupa el producto tomado del almacén estarán Estándar.

En el primer lote 100% - 20% \u003d 80% de los productos estándar, por lo que: dado queQue pertenece a la primera parte.

De manera similar, en el segundo lote 100% - 10% \u003d 90% de los productos estándar y - La probabilidad de que el producto tomado en el almacén sea estándar. dado queQue pertenece a la segunda parte.

Según la fórmula de probabilidad completa:
- La probabilidad de que el producto tomado en el almacén sea estándar.

La segunda parte. Deje que el fangoso sea tomado del almacén. El producto resultó ser estándar. Esta frase se escribe directamente en la condición, y afirma el hecho de que el evento ocurrió.

Según las fórmulas de Bayes:

a) - la probabilidad de que el producto estándar elegido pertenezca al 1er lote;

b) - La probabilidad de que el producto estándar elegido pertenezca al segundo lote.

Después revalorización Las hipótesis, por supuesto, todavía están formadas. grupo completo:
(Cheque ;-))

Respuesta:

Ivan Vasilyevich nos ayudará a comprender el significado de revalorización de las hipótesis, quien volvió a cambiar su profesión y se convirtió en el director de la planta. Él sabe que hoy el 1er taller envió 4000 al almacén, y la segunda tienda es de 6000 productos, y se asegura de que. Supongamos que todos los productos del mismo tipo están en un contenedor. Naturalmente, Ivan Vasilyevich calculó preliminaramente que el producto que ahora elimina para verificar es probablemente publicado por el 1er taller y con una probabilidad, la segunda. Pero después de que el producto seleccionado resulta ser estándar, exclama: "¡Qué perno genial! - Probablemente fue lanzado la segunda tienda ". Por lo tanto, la probabilidad de la segunda hipótesis está revalorizada para mejor, y se subestima la probabilidad de la primera hipótesis :. Y esta revaluación no se desplaza, porque la segunda tienda produjo no solo más productos, sino que también funciona 2 veces mejor.

¿Dices subjetivismo puro? En parte, sí, además, Bayes mismo interpretado. apappery probabilidad como nivel de confianza. Sin embargo, no todo es tan simple: hay un grano objetivo en el enfoque bayesiano. Después de todo, la probabilidad de que el producto sea estándar. (0.8 y 0.9 para los talleres del 1º y 2º, respectivamente) esto es preliminar (a priori) y medioestimados. Pero, expresando filosóficamente, todo fluye, todo cambia, y probabilidades que incluyen. Es posible que en el momento de la investigación Un 2do taller más exitoso recaudó el porcentaje de productos estándar. (y / o el 1er taller reducido)Y si revisa más o los 10 mil productos en stock, los valores revalorados estarán mucho más cerca de la verdad.

Por cierto, si Ivan Vasilyevich elimina un detalle no estándar, entonces, por el contrario, será más "sospechando" el 1er taller y menos, el segundo. Propongo asegurarme de que:

Tarea 6.

El almacén recibió 2 productos por lotes: los primeros - 4000 piezas, la segunda - 6000 piezas. El porcentaje promedio de productos no estándar en el primer lote es del 20%, en el segundo - 10%. Raduc tomado del producto del almacén resultó noestándar. Encuentre la probabilidad de que: a) desde el primer lote, b) desde el segundo lote.

La condición se distingue por dos letras que resalté la fuente en negrita. La tarea se puede resolver con una "hoja limpia", o aprovechar los resultados de los cálculos anteriores. En la muestra, tuve una solución completa, pero para no tener una superposición formal con la tarea número 5, un evento "El producto tomado del almacén no será estándar" marcado a través de.

La carta bayesiana de transacción de probabilidades ocurre en todas partes, y es explotado activamente por varios tipos de estafadores. Consideremos que el JSC negativo en tres letras que atrae a los depósitos de la población, supuestamente invierte en algún lugar, son dividendos adecuadamente pagados, etc. ¿Lo que está sucediendo? Lleva día tras día, mes posterior al mes y más y más nuevos hechos, informados por la publicidad y la "radio de señas", solo aumentan el nivel de confianza en la pirámide financiera. (¡Una revaluación posteriori Bayesov en relación con los eventos que ocurrieron!). Es decir, a los ojos de los depositantes hay un aumento constante en la probabilidad de que "Esta es una oficina seria"; En este caso, la probabilidad de la hipótesis opuesta. ("Estos son los próximos cinceles"), Por supuesto, disminuye y disminuye. Además, creo, comprensible. Cabe destacar que la reputación ganada le da a los organizadores el tiempo para esconderse con éxito de Ivan Vasilyevich, quien no solo quedó sin una fiesta de Bolt, sino también sin pantalones.

Para no menos ejemplos interesantes, volveremos un poco más tarde, así como la cola, quizás el caso más común con tres hipótesis:

Tarea 7.

Los electrolampas se realizan en tres fábricas. La 1ª planta produce el 30% del número total de lámparas, 2º - 55%, y el 3er es el resto. Los productos de la primera planta contienen 1% de lámparas defectuosas, 2º - 1.5%, 3er - 2%. La tienda viene los productos de las tres plantas. La lámpara comprada fue matrimonial. ¿Cuál es la probabilidad de que sea producida por la 2da planta?

Tenga en cuenta que en las tareas de las fórmulas de Bayes en la condición antes Algunos aparece qué pasóevento en este caso - Comprar una lámpara.

Eventos agregados, y decisión Es más conveniente organizar el estilo "rápido".

El algoritmo es exactamente lo mismo: en el primer paso encontramos la probabilidad de que la lámpara comprada en absoluto saldrá defectuoso.

Usando los datos de origen, traducimos interés en la probabilidad:
- la probabilidad de que la lámpara esté producida por las plantas del 1º, 2 y 3º, respectivamente.
Control:

De manera similar: - probabilidades de fabricar una lámpara defectuosa para fábricas relevantes.

Según la fórmula de probabilidad completa:

- La probabilidad de que la lámpara comprada esté con un matrimonio.

Paso segundo. Deje que la lámpara comprada esté defectuosa (el evento sucedió)

Por Bayes Fórmula:
- la probabilidad de que la lámpara defectuosa comprada esté hecha por la segunda planta

Respuesta:

¿Por qué la probabilidad inicial de la 2ª hipótesis después de la revaluación aumentó? Después de todo, la segunda planta produce medio en la calidad de la lámpara (primero, mejor, el tercero es peor). Entonces, ¿por qué ha aumentado? apotterio ¿La probabilidad de que la lámpara defectuosa sea de la 2da planta? Esto no se explica por la "reputación", sino del tamaño. Dado que la planta No. 2 ha lanzado la mayor cantidad de lámparas, luego en él (al menos subjetivamente) y espuma: "Lo más probable es que esta lámpara defectuosa es desde allí".

Es interesante observar que las probabilidades de las hipótesis de 1ª y 3ª se revalan en las direcciones esperadas e igual a:

Control: Lo que se requería para comprobar.

Por cierto, sobre las estimaciones subestimadas y sobreestimadas:

Tarea 8.

En el grupo estudiantil, 3 personas tienen un alto nivel de preparación, 19 personas, mediano y 3, bajo. Las probabilidades del examen de aprobación exitoso para los datos de los estudiantes son respectivamente iguales: 0.95; 0.7 y 0.4. Se sabe que algún estudiante aprobó el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) fue preparado muy bien;
b) se preparó el promedio;
B) estaba bien preparado.

Realizar cálculos y analizar los resultados de la revalorización de las hipótesis.

La tarea está cerca de la realidad y es particularmente creíble para un grupo de estudiantes arquitectos, donde el maestro prácticamente no conoce las habilidades de un estudiante. En este caso, el resultado puede causar una bonita de consecuencias inesperadas. (especialmente para los exámenes en el 1er semestre). Si un estudiante mal preparado tuvo la suerte del boleto, es probable que el maestro lo considere bien o incluso un estudiante fuerte que traerá buenos dividendos en el futuro (Naturalmente, necesita "levantar la barra" y mantener su imagen). Si un estudiante de 7 días y 7 noches enseñó, cerrado, repetido, pero simplemente no era suerte, entonces los eventos adicionales pueden desarrollarse en la chapa muy mala, con numerosas renovación y equilibrio al borde de la partida.

Qué decir, la reputación es el capital más importante, no es por casualidad de que muchas corporaciones usen los nombres, los nombres de sus padres fundadores, que llevaron a un trabajo hace 100 a 200 años y se hicieron famosos por su impecable reputación.

Sí, el enfoque bayesiano en cierta medida es subjetivo, pero ... ¡La vida está tan dispuesta!

Cumplir el material por el ejemplo industrial final en el que le informaré sobre la comprensión técnica aún no cumplida con la decisión:

Tarea 9.

Tres talleres de fábrica producen elementos similares que ingresan al ensamblaje en un contenedor común. Se sabe que el primer taller produce 2 veces más detalles que el segundo taller, y 4 veces más que el tercer taller. En el primer taller, el matrimonio es del 12%, en el segundo, 8%, en el tercer - 4%. Para controlar el contenedor se toma un detalle. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo defectuoso extraído publique la tercera tienda?

Taki Ivan Vasilyevich de nuevo a caballo \u003d) Debe haber un final feliz de la película)

Decisión: A diferencia de las tareas No. 5-8, se le permite explícitamente una pregunta que se permite utilizando la fórmula de probabilidad completa. Pero, por otro lado, la condición es un poco "encriptada", y para resolver este rebus nos ayudará a ayudar a la habilidad escolar para formar las ecuaciones más simples. Para "X" conveniente aceptar el significado más pequeño:

Let - la proporción de detalles producidos por el tercer taller.

Por condición, la primera tienda produce 4 veces el tercer taller, por lo tanto, la proporción del 1er taller es.

Además, el primer taller produce productos 2 veces más que el segundo taller, lo que significa que este último compartir :.

Permítanos y resolver la ecuación:

Por lo tanto,: - la probabilidad de que la parte extraída del contenedor se libere 1er, 2º y 3ª tienda, respectivamente.

Control: . Además, no será superfluo mirar la frase. "Se sabe que la primera tienda produce productos 2 veces más que el segundo taller y 4 veces más que el tercer taller" Y asegúrese de que los valores de probabilidad obtenidos corresponden a esta condición.

Para "X" inicialmente fue posible tomar una parte del 1er o la proporción del 2º Taller: las probabilidades saldrán por lo mismo. Pero, de una forma u otra, se pasó la trama más difícil, y la decisión se incluye en la Ruta enrollada:

De la condición encontramos:
- Probabilidades de fabricar una pieza defectuosa para los respectivos talleres.

Según la fórmula de probabilidad completa:
- la probabilidad de que todo el detalle extraído del contenedor sea no estándar.

La pregunta es la segunda: ¿cuál es la probabilidad de que la parte defectuosa extraída liberó la tercera tienda? Esta pregunta sugiere que el artículo ya se extrae, y resultó ser defectuoso. Sobreestimar la hipótesis por la fórmula de Bayes:
- la probabilidad deseada. Absolutamente esperado, porque el tercer taller produce no solo la mayor parte de los detalles, sino que también conduce en calidad.

En este caso tuve que simplifica un tiro de cuatro pisos.que en las tareas de las fórmulas de Bayes tienen que hacer con bastante frecuencia. Pero para esta lección, de alguna manera he recogido accidentalmente ejemplos en los que muchos cálculos pueden llevarse a cabo sin fracciones ordinarias.

Desde pronto, no hay puntos "A" y "BE", la respuesta es mejor proporcionar comentarios de texto:

Respuesta: - la probabilidad de que la parte extraída del contenedor sea defectuosa; - la probabilidad de que el artículo defectuoso recuperado publique la tercera tienda.

Como puede ver, las tareas en la fórmula para la probabilidad total y la fórmula de Bayes son bastante simples, y, probablemente, por este motivo, a menudo están tratando de dificultar que sea difícil pensar en lo que mencioné en lo que mencioné. El comienzo del artículo.

Los ejemplos adicionales están en el archivo con soluciones preparadas en F.P.V. y Fórmula BayesAdemás, probablemente tendrá deseos de familiarizarse más profundamente con este tema en otras fuentes. Y el tema es realmente muy interesante, lo que es solo uno bayes de paradoja.Lo que justifica que el Consejo cotidiano que si una persona es diagnosticada con una enfermedad rara, tiene sentido repetir e incluso dos encuestas independientes repetidas. Parecería que hace que la desesperación exclusiva sea exclusiva ... ¡pero no! Pero no estaremos sobre tristes.

- la probabilidad de que un estudiante arbitraria elegido pase el examen.
Deja que el estudiante pase el examen. Según las fórmulas de Bayes:
pero) - La probabilidad de que el estudiante que pase el examen estuvo muy bien preparado. Una probabilidad inicial objetiva es demasiado cara, ya que casi siempre hay un "medio medio" tiene suerte con las preguntas y responden con mucha fuerza, lo que causa la impresión errónea de capacitación impecable.
b) - La probabilidad de que el estudiante que haya pasado el examen haya sido preparado por el promedio. La probabilidad inicial es ligeramente demasiado cara, porque Los estudiantes con un nivel promedio de preparación generalmente son la mayoría, además, el maestro tomará los "excelentes estudiantes" sin éxito, y ocasionalmente y mal gastar a un estudiante con mucha suerte con un boleto.
en) - La probabilidad de que un estudiante que haya pasado el examen estuvo bien preparado. La probabilidad inicial está revalorizada para lo peor. No es sorprendente.
Cheque:
Respuesta :

Comienza un entendimiento (estudio) de probabilidades donde termina el curso clásico de la teoría de la probabilidad. Por alguna razón, la escuela y la universidad enseñan la probabilidad de frecuencia (combinatoria), o la probabilidad de lo que se determina. El cerebro humano funciona de manera diferente. Tenemos teorías (opiniones) sobre todo en el mundo. Evaluamos subjetivamente la probabilidad de ciertos eventos. También podemos cambiar su opinión si sucedió algo inesperado. Esto es lo que hacemos todos los días. Por ejemplo, si se reúne con una novia en el monumento a Pushkin, entiende si será a tiempo, hasta 15 minutos o media hora. Pero yendo al área del metro, y al ver 20 cm de nieve fresca, actualiza sus probabilidades para tener en cuenta los nuevos datos.

Tal enfoque fue descrito por primera vez por Bayes y Laplace. Aunque Laplace, creo que no estaba familiarizado con el trabajo de Bayes. De acuerdo con la razón incomprensible, el enfoque bayesiano está bastante mal representado en la literatura de habla rusa. Para comparación, notaré que a solicitud de Bayes Ozon le da 4 referencias, y Amazon es de aproximadamente 1000.

La presente nota es una traducción de un pequeño libro de inglés, y le dará una comprensión intuitiva de cómo usar el teorema de Bayes. Comienza con la definición, y luego usa ejemplos en Excel, lo que permitirá rastrear todo el curso de razonamiento.

Scott Hartshorn. Ejemplos de teorema de Bayes: una guía visual para principiantes. - 2016, 82 p.

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Definición del teorema de Bayes y una explicación intuitiva.

Bayes teoremas.

donde A y B es eventos, P (a) y P (b) - Las probabilidades A y B excluyéndose mutuamente, P (A | B) es la probabilidad condicional del evento A, siempre que B sea verdadero, P (B | A ) - Probabilidad condicional B, si y verdaderamente.

De hecho, la ecuación es algo más complicada, pero para la mayoría de las aplicaciones es suficiente. El resultado de los cálculos es simplemente el valor ponderado normalizado en función del supuesto inicial. Por lo tanto, tome la suposición inicial, pese en relación con otras posibilidades iniciales, normalizarse sobre la base de la observación:

En el curso de la resolución de problemas, realizaremos los siguientes pasos (en adelante, se volverán más claros):

Determine qué tipo de probabilidades queremos calcular, y lo que observamos.
Evalúe las probabilidades iniciales para todas las opciones posibles.
Suponiendo la verdad de una cierta opción inicial, calcule la probabilidad de nuestra observación; Y así, por todas las opciones iniciales.
Encuentre un valor suspendido como el trabajo de la probabilidad inicial (Paso 2) y la probabilidad condicional (Paso 3), por lo que para cada una de las opciones iniciales.
Normalizar los resultados: Divida cada probabilidad ponderada (Paso 4) para la suma de todas las probabilidades suspendidas; La suma de probabilidades normalizadas \u003d 1.
Repita los pasos 2-5 para cada nueva observación.

Ejemplo 1. Un ejemplo simple con huesos.

Supongamos que tu amigo tiene 3 huesos: de 4, 6 y 8 caras. Él elige al azar uno de ellos, no le muestra, arroja e informa el resultado: 2. Calcule la probabilidad de que se haya seleccionado un niño de 4 años, un niño de 6 años de edad, de 8 años.

Paso 1. Queremos calcular la probabilidad de una opción de 4 grados, un niño de 6 años u 8 años. Observamos el número caído - 2.

Paso 2. Dado que los huesos fueron 3, la probabilidad inicial de elegir cada uno de ellos es 1/3.

Paso 3. Observación: el hueso cayó como una cara 2. Si se tomó un niño de 4 años, las posibilidades de esto son iguales a 1/4. Para una posibilidad de 6 calificados de las posibilidades de caída de 2 ki - 1/6. Para 8 clasificados - 1/8.

Paso 4. Pérdida de 2 kI por un 4 años \u003d 1/3 * 1/4 \u003d 1/12, para un 6 grado \u003d 1/3 * 1/6 \u003d 1/18, para 8 años \u003d 1 / 3 * 1/8 \u003d 1/24.

Paso 5. Probabilidad general de perder 2-ki \u003d 1/12 + 1/18 + 1/24 \u003d 13/72. Esto es menos de 1, porque las posibilidades de lanzar 2-ku menos de 1. Pero sabemos que ya ha lanzado 2-Ku. Por lo tanto, debemos dividir las posibilidades de cada versión del paso 4 a 13/72, de modo que la suma de todas las posibilidades de todos los huesos se acueste en el 2º 1. Este proceso se llama normalización.

Normalización de cada probabilidad ponderada, encontramos la probabilidad de que este hueso se elija:

4 años \u003d (1/12) / (13/72) \u003d 6/13
6 años \u003d (1/18) / (13/72) \u003d 4/13
8 años \u003d (1/24) / (13/72) \u003d 3/13

Y esta es la respuesta.

Cuando comenzamos a resolver la tarea, sugerimos que la probabilidad de elegir un cierto hueso es del 33,3%. Después de caer 2-ki, calculamos las posibilidades de que la posibilidad de 4 calificados graduados se eligió al 46,1%, las posibilidades de elegir a un niño de 6 años disminuyeron a 30.8%, y las posibilidades de que los 8 años. El viejo fue elegido y cayó en absoluto hasta el 23,1%.

Si realiza otro lanzamiento, podríamos usar un nuevo interés calculado como nuestros supuestos iniciales y aclarar las probabilidades basadas en la segunda observación.

Si tiene la única observación, todos los pasos son convenientes para presentar en forma de tabla:

Mesa. 1. Solución paso a paso en forma de tabla (formularios, consulte el archivo de Excel en una hoja Ejemplo 1.)

Nota:

Si en lugar de 2 ki se cayó, por ejemplo, 7-ka, entonces las posibilidades de la etapa 3 serían cero, y después de la normalización, las posibilidades de que el niño de 8 años sea del 100%.
Como ejemplo, solo incluye tres huesos y un tiro, usamos fracciones simples. Para la mayoría de los problemas con una gran cantidad de opciones y eventos, es más fácil trabajar con fracciones decimales.

Ejemplo 2. Más huesos. Mas tiros

Esta vez tenemos 6 huesos con 4, 6, 8, 10, 12 y 20 caras. Elegimos uno de ellos al azar y lanza 15 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un cierto hueso?

Yo uso el modelo en Excel (Fig. 1; ver hoja Ejemplo 2.). Los números aleatorios se generan en la columna B usando la función \u003d racionamiento (1; $ B $ 9). En este caso, se selecciona una celda de 8 años en la célula B9, por lo que los números aleatorios pueden recibir valores de 1 a 8. Dado que Excel actualiza los números aleatorios después de cada cambio en la hoja, copié la columna al búfer. e insertó solo los valores en la columna C. Ahora los valores no se cambian y se utilizarán para dibujos posteriores. (Te agregué la oportunidad de "jugar" con la opción de la cantidad de caras y tiros aleatorios en la hoja Ejemplo 2 juego. Se obtienen resultados especialmente curiosos, si en la célula B9 establece el número 13 🙂 - Aprox. Baguzin.)

Higo. 1. Números aleatorios del generador

Paso 2. Desde solo seis cubos, la probabilidad de elegir un azar es 1/6 o 0.167.

Pasos 3 y 4. Escribimos la ecuación para la probabilidad de la elección inicial de un hueso determinado después del lanzamiento correspondiente. Como hemos visto al final del Ejemplo 1, algunos lanzamientos pueden no corresponder a uno u otro hueso. Por ejemplo, la pérdida de 9 ki hace que la probabilidad de huesos de 4-, 6 y 8 rostro sea igual a cero. Si el número "legítimo" cayó, entonces su probabilidad de este hueso es igual a una unidad dividida por el número de caras. Por conveniencia, combinamos los pasos 3 y 4, por lo que inmediatamente recuperamos la fórmula para la probabilidad de un lanzamiento multiplicado por la probabilidad normalizada después del lanzamiento anterior (Fig. 2):

Si (tirar\u003e los números de las caras; 0; 1 / número de caras * Probabilidad normalizada previa)

Si usa cuidadosamente, puede arrastrar esta fórmula a todas las líneas.

Higo. 2. La ecuación de probabilidad; Para ampliar la imagen, haga clic con el botón derecho y seleccione Abra la imagen en una nueva pestaña

Paso 5. El último paso es la normalización de los resultados después de cada lanzamiento (la región L11: R28 en la FIG. 3).

Higo. 3. Normalización de los resultados.

Entonces, después de 15 tiros con una probabilidad de 96.4%, podemos asumir que el hueso de 8 calificados se eligió originalmente. Aunque hay posibilidades de que el hueso se elija con B acerca de por el número de caras: 3.4% para un hueso de 10 grados, 0.2%, para 12 grados, 0.0001%, para 20 clasificados. Pero la probabilidad de que los huesos de 4 y 6 grados es cero, ya que entre los números caídos fueron 7 y 8. Esto, naturalmente, corresponde al hecho de que hemos ingresado el número 8 en la celda B9, lo que limita los valores. Para el generador de números aleatorios.

Si construimos un gráfico de la probabilidad de cada opción de la opción inicial de huesos, lanzando lanzamientos, veremos (Fig. 4):

Después del primer lanzamiento, la probabilidad de elegir un dados de 4 cara cae a cero, ya que 6-ka se cayó de inmediato. Por lo tanto, el liderazgo se apoderó de la versión del hueso de 6 caras.
Para varios primeros tiros, el hueso de 6 rostros tiene la mayor probabilidad, ya que contiene las menos caras entre los huesos que pueden responder a los valores caídos.
En el quinto lanzamiento cayó 8-ka, la probabilidad de que los 6 años de edad caen a cero, y el niño de 8 años se convierte en el líder.
Las probabilidades de los huesos de 10, 12 y 20 grados en los primeros lanzamientos disminuyeron suavemente, y luego experimentaron un chapoteo cuando el hueso de 6 caras se cayó de la carrera. Esto se debe al hecho de que los resultados se normalizaron en una muestra mucho más pequeña.

Higo. 4. Cambio de lanza de probabilidad por lanza

Nota:

El teorema de Bayes para múltiples eventos es simplemente la multiplicación repetida en datos actualizados secuencialmente. La respuesta final no depende de cómo ocurrieron los eventos.
No es necesario normalizar las probabilidades después de cada evento. Puedes hacerlo una vez al final. El problema es que, si no se normaliza constantemente, las probabilidades se vuelven tan pequeñas que Excel puede funcionar incorrectamente debido a errores de redondeo. Por lo tanto, es más práctico normalizarse en cada paso que verificar si no llegó a la frontera de la precisión de Excel.

Teorema de Bayes. Terminología

La probabilidad inicial es la probabilidad de todas las posibilidades antes de que ocurrió la observación se denomina a priori.
La respuesta normalizada después de calcular la probabilidad de cada punto de datos (para cada observación) se llama posteriormente.
La probabilidad total utilizada para normalizar la respuesta es normalización constante.
Probabilidad condicional, es decir,. La probabilidad de cada evento se llama jugando.

Así es como estos términos buscan el primer ejemplo (comparando la Fig. 1).

Higo. 5. Los términos del teorema de Bayes.

El teorema de Bayes en las nuevas definiciones se ve así (comparando con la Fórmula 2):

Ejemplo 3. Moneda injusta

Tienes una moneda que, como sospechas, no es honesta. Lo tiras 100 veces. Calcule la probabilidad de que una moneda deshonesta se cuesta con un águila con una probabilidad de 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100% .

Consulte el archivo de Excel, hoja Ejemplo 3.. En las células B13: B112, generé un número aleatorio de 0 a 1, y con la ayuda de un inserto especial, moví el valor a la columna C en la celda B8, indicé el porcentaje esperado de Eagle Falling para esta moneda deshonesta . En la columna D usando una función si convirtiera la probabilidad en unidades (Eagles, por probabilidad r de 0.35 a 1) o en ceros (se mueve por r de 0 a 0.35).

Higo. 6. Datos iniciales para monedas deshonestas.

Conseguí 63 águilas y 37 haciendo, lo que corresponde bien al generador de números aleatorios, si hemos instalado la probabilidad de águilas del 65%.

Paso 1. Queremos calcular las probabilidades de que las Águilas se refieren a las cestas de 0%, 10%, ... 100%, viendo 63 águilas y 37 ríos con 100 tiros.

Paso 2. Hay 11 capacidades iniciales: probabilidades 0%, 10%, ... 100%. Seremos ingenuos que todas las capacidades iniciales tengan una probabilidad igual, es decir, 1 posibilidad de 11 (Fig. 7). (Podríamos dar las probabilidades iniciales más realistas ubicadas en el área de 50% de pesos grandes que las probabilidades en los bordes - 0% y 100%. Pero lo más notable es que, dado que tenemos un total de 100 tiros, las probabilidades iniciales. no son tan importantes!)

Paso 3 y 4. Cálculo de la verdad. Para calcular la probabilidad después de cada lanzamiento en Excel, la función se usa si. En caso de que el Águila cayó, la plausibilidad es igual al trabajo de la posibilidad de la probabilidad normalizada anterior. Si el río se cayó, la plausibilidad es igual a (1 menos la capacidad) * la probabilidad normalizada anterior (Fig. 8).

Higo. 8. Relapilidad

Paso 5. La normalización se realiza como en el ejemplo anterior.

Los resultados se visualizan más en forma de una serie de histogramas. El horario inicial es una probabilidad a priori. Luego, cada nuevo horario es la situación después de los próximos 25 tiros (Fig. 9). Como establecimos la probabilidad del águila 65% en la entrada, los gráficos presentados no causan sorpresa.

Higo. 9. Probabilidad de opciones después de una serie de tiros.

¿Qué significa realmente un 70% de probabilidad de posibilidad de 0.6? Esto no es un 70% de probabilidad de que la moneda caiga con precisión en un 60%. Como tuvimos un tono del 10% entre las opciones, estimamos que hay un 70% de probabilidad de que esta moneda caiga en el rango entre el 55 y el 65%. La solución para usar 11 opciones iniciales, con un incremento del 10% fue completamente arbitrario. Podríamos usar 101 posibilidad inicial con incrementos del 1%. En este caso, recibiríamos un resultado con un máximo al 63% (ya que teníamos 63 águila) y una caída más suave en el gráfico.

Tenga en cuenta que en este ejemplo observamos una convergencia más lenta en comparación con un ejemplo 2. Esto se debe al hecho de que la diferencia entre la moneda, convirtiendo al 60% frente al 70%, menor que entre cubos con 8 y 10 caras.

Ejemplo 4. Más huesos. Pero con errores en el flujo de datos.

Volvamos por ejemplo 2. Un amigo en la bolsa de huesos de 4, 6, 8, 10, 12, 20 Grands. Él saca un hueso al azar y lo tira 80 veces. Él registra los números caídos, pero en el 5% de los casos se equivoca. En este caso, un número aleatorio aparece a partir de 1 y 20 en lugar del resultado real de lanzamiento. Después de 80 tiros, ¿qué crees, qué tipo de hueso se eligió?

Como entrada en Excel (hoja Ejemplo 4.) Ingresé el número de partes (8), así como la probabilidad de que los datos contengan un error (0.05). Fórmula para el valor de lanzamiento (Fig. 10):

Si (adhesis ()\u003e probabilidades de error; permanente (1; número de caras); racionamiento (1; 20))

Si el número aleatorio es mayor que la probabilidad de error (0.05), entonces no hubo un lanzamiento de error, de modo que el generador de números aleatorios selecciona el valor entre 1 y los lados "montados" del cubo, de lo contrario deberías generar un entero aleatorio entre 1 y 20.

Higo. 10. Cálculo del valor de lanzamiento.

A primera vista, podríamos resolver este problema de la misma manera que en el Ejemplo 2. Pero, si no considera la probabilidad de errores, obtendremos un horario de probabilidad como en la FIG. 11. (La forma más fácil de obtenerlo en Excel es generar primero los tiros en la columna en el valor del error 0.05; luego transfiera los valores de los lanzamientos a la columna C, y finalmente cambie el valor en la celda B11 a 0; Desde la fórmula para calcular la atribución en la gama D14: J94 se refiere a la celda B11, se logrará el efecto de los errores no contables).

Higo. 11. Procesamiento de los valores de los lanzamientos sin tener en cuenta la probabilidad de presencia de errores

Dado que la probabilidad de error es pequeña, y el generador de números aleatorios está configurado con el niño de 8 años, la probabilidad de que este último con cada tiro se vuelva dominante. Además, dado que un error puede con una probabilidad de 40% (ocho de veinte) para dar un valor dentro de 8, entonces el valor del error que afecta el resultado, apareció solo en el lanzamiento 63. Sin embargo, si no se tienen en cuenta los errores, la probabilidad de que el 8 de 8 años se convierta en cero, y el 100% recibirá un niño de 20 años. Tenga en cuenta que, a la vez, la probabilidad de 20 grados fue de solo 2 * 10 -25.

Las posibilidades de obtener un error, 5%, y la probabilidad de que el error le dé un valor superior a 8, es del 60%. Aquellos., El 3% de los lanzamientos dará un error a un valor de más de 8, que sucedió en el lanzamiento 63, cuando se realizó 17. Si la probabilidad de fórmulas no tiene en cuenta los posibles errores, nos despegamos de la probabilidad de un grado de 20 años de 2 * 10 -25 hasta 1, como en la FIG. once.

Si una persona supervisa escrupulosamente los datos, puede detectar este error y no tomar valores erróneos. Para automatizar el proceso, agregue la ecuación de la verdad, como el control de errores. Nunca instale las probabilidades cero de errores, si admite que no pueden estar completamente excluidos. Si tiene en cuenta las probabilidades de errores, cientos de datos "correctos" no permitirán valores erróneos separados para estropear la imagen.

Complementamos la ecuación de la credibilidad de la verificación de errores (Fig. 12):

Si ($ C15\u003e F $ 13; $ B $ 11 * 1/20 * N14; ($ B $ 11 * 1/20 + (1- $ B $ 11) / F $ 13) * N14)

Higo. 12. La función de sonoridad con errores.

Si el valor registrado del lanzamiento es mayor que el número de caras ($ C15\u003e F $ 13), la probabilidad condicional no se reinicia, sino que se reduce, teniendo en cuenta la probabilidad del error ($ B $ 11 * 1/20 * N14). Si un número grabado es menor que el número de caras, la probabilidad condicional no está en su totalidad, además de tener en cuenta el posible error ($ B $ 11 * 1/20 + (1- $ B $ 11) / F $ 13) * n14). En este último caso, creemos que el número registrado podría ser como consecuencia del error ($ B $ 11 * 1/20) y el resultado de la entrada correcta (1- $ B $ 11) / F $ 13).

El cambio en la probabilidad normalizada se vuelve más resistente a los posibles errores (Fig. 13).

Higo. 13. Cambio de la probabilidad normalizada del lanzamiento al lanzamiento.

En este ejemplo, el hueso de 6 grados es inicialmente un favorito, porque los primeros 3 lanzamientos - 5, 6, 1. Luego, el 7-Ka y la probabilidad de que el 8 de 8 años sigue aumentando. Sin embargo, la apariencia de 7 kI no restablece la probabilidad de un niño de 6 años, porque el 7-KA puede ser un error. Y los próximos nueve disparos parecen confirmar esto cuando los valores no son más de 6: la probabilidad de que un niño de 6 años comience a crecer nuevamente. Sin embargo, en los lanzamientos 14 y 15, se caen 7-ki nuevamente, y la probabilidad de que un hueso de 6 caras se acerca a cero. Más tarde, aparecen los valores de 17 y 19, que "Sistema" definen cuán claramente erróneos.

Ejemplo 4A. ¿Qué pasa si realmente tienes una alta frecuencia de errores?

Este ejemplo es similar al anterior, pero la frecuencia de los errores aumenta del 5% al \u200b\u200b75%. Dado que los datos se han vuelto menos relevantes, aumentamos el número de disparos de hasta 250. Al aplicar las mismas ecuaciones que en el Ejemplo 4, obtenemos la siguiente tabla:

Higo. 14. Probabilidad normalizada en el 75% de las entradas erróneas.

Con una frecuencia tan alta de errores, se tomaron mucho más tiros. Además, el resultado está menos definido, y los 6 años de edad se vuelven periódicamente. Si tiene una tasa de error aún más alta, por ejemplo, del 99%, aún puede obtener la respuesta correcta. Obviamente, cuanto mayor sea la frecuencia de los errores, cuantos más lanzamientos deben realizarse. Para el 75% de los errores, obtenemos un valor correcto de cuatro. Si la probabilidad de un error es del 99%, obtendríamos un valor correcto de cien. Probablemente estamos necesarios 25 veces más datos para identificar la opción dominante.

¿Y si no conoces la probabilidad de error? Recomiendo "Play" con ejemplos 4 y 4A, estableciendo varios valores de muy pequeño en la celda B11 (por ejemplo, 2 * 10 -25, por ejemplo, 4) a muy grande (por ejemplo, 90%, por ejemplo, 4A). Aquí están las principales conclusiones:

Si la estimación de frecuencia de error es más alta que la frecuencia de error real, los resultados convergarán lentamente, pero aún convergen a la respuesta correcta.
Si evalúa la frecuencia de error demasiado baja, existe el riesgo de que los resultados no sean correctos.
Cuanto menor sea la frecuencia real de los errores, mayor será el lugar para la maniobra que tiene para adivinar la frecuencia de los errores.
Cuanto mayor sea la frecuencia real de errores, cuantos más datos necesita.

Ejemplo 5. El problema del tanque alemán.

En esta tarea, está tratando de evaluar la forma en que se produjeron muchos tanques, según los números de serie de tanques capturados. Los aliados utilizaban el teorema de Bayes durante la Segunda Guerra Mundial, y finalmente dieron resultados más bajos que los informaron la inteligencia. Después de la guerra, el registro ha demostrado que las estimaciones estadísticas que utilizan el teorema de Bayes fueron más precisos. (Es curioso que escribí una nota sobre este tema, aún no sabiendo qué probabilidad de Bayesu; ver. - Aprox. Baguzin.)

Por lo tanto, analiza los números de serie eliminados de los tanques rotos o capturados. El objetivo es evaluar la forma en que se produjeron muchos tanques. Eso es lo que sabes sobre los números de serie de tanques:

Comienzan con 1.
Estos son enteros sin saltar.
Encontró los siguientes números de serie: 30, 70, 140, 125.

Estamos interesados \u200b\u200ben la respuesta a la pregunta: ¿Cuál es el número máximo de tanques? Comenzaré con 1000 tanques. Pero alguien más podría comenzar con 500 tanques o tanques de 2000, y podemos obtener resultados diferentes. Voy a analizar cada 20 tanques, lo que significa que tengo 50 oportunidades iniciales para el número de tanques. Puede complicar el modelo y analizar para cada individuo en Excel, pero la respuesta no cambiará mucho, y el análisis se complicará significativamente.

Supongo que toda la posibilidad de la cantidad de tanques es igual (es decir, la probabilidad de 50 tanques es la misma que 500). Tenga en cuenta que el archivo Excel tiene más columnas que las que se muestran en la figura. La probabilidad convencional para la función de probabilidad es muy similar a la probabilidad condicional del Ejemplo 2:

Si el número de serie observado es mayor que el número de serie máximo para este grupo, la probabilidad de que la presencia de dichos tanques sea 0.
Si el número de serie observado es menor que el número de serie máximo para este grupo, la probabilidad es una unidad dividida por el número de tanques multiplicados por la probabilidad normalizada en el paso anterior (Fig. 15).

Higo. 15. Probabilidades condicionales de distribución de tanques por grupos.

Las probabilidades normalizadas se ven como sigue (Fig. 16).

Higo. 16. Probabilidad normalizada de tanques.

Hay un gran salpicaduras de probabilidad para el número de serie máximo observado. Después de eso, se produce una disminución asintótica a cero. Para 4 números de serie detectados, el máximo responde a 140 tanques. Pero, a pesar de que este número es la respuesta más probable, esta no es la mejor evaluación, ya que casi seguramente subestima el número de tanques.

Si toma el número promedio ponderado de tanques, es decir. Para resumir grupos multiplicados y sus probabilidades para cuatro tanques, aplicando la fórmula:

Redondeado (BD9: DA9; BD14: DA14); 0)

obtenemos la mejor estimación de 193.

Si originalmente nos desarrollamos de 2000 tanques, habría un promedio ponderado de los tanques de 195, que esencialmente no cambian nada.

Ejemplo 6. Pruebas de drogas

Sabes que el 0,5% de la población utiliza drogas. Tienes una prueba que proporciona el 99% de los resultados positivos verdaderos para el medicamento y el 98% de los resultados negativos verdaderos para el consumo. Elige al azar a una persona, pase la prueba y obtenga un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona realmente use drogas?

Para nuestro individuo al azar. probabilidad inicial El hecho de que sea un consumidor de drogas es del 0,5%, y la probabilidad de que no sea un consumidor de medicamentos es del 99.5%.

El siguiente paso es el cálculo de la probabilidad condicional:

Si el sujeto consume medicamentos, la prueba será positiva en el 99% de los casos y negativos en el 1% de los casos.
Si el sujeto no usa medicamentos, la prueba será positiva en el 2% de los casos y negativos en el 98% de los casos.

Las funciones de creer para consumir y no drogas se presentan en la FIG. 17.

Higo. 17. Funciones de creer: (a) para uso de drogas; (b) para los no drogas

Después de la normalización, vemos que, a pesar de los comentarios positivos, la probabilidad de que esta persona aleatoria use drogas sea solo 0.1992 o 19.9%. Este resultado sorprende a muchas personas, porque al final, la precisión de la prueba es bastante alta, hasta el 99%. Dado que la probabilidad inicial fue solo 0.5%, incluso un gran aumento en esta probabilidad no fue suficiente para hacer que la respuesta sea realmente grande.

La intuición de la mayoría de las personas no tiene en cuenta la probabilidad inicial. Incluso si la probabilidad condicional es realmente alta, una probabilidad inicial muy baja puede llevar a una probabilidad de baja finita. La intuición de la mayoría de las personas está configurada alrededor de la probabilidad inicial de 50/50. Si este es el caso, el resultado de la prueba es positivo, entonces la probabilidad normalizada será el 98% esperado, confirmando que una persona utiliza medicamentos (Fig. 18).

Higo. 18. Resultado de la prueba con probabilidad inicial 50/50

Un enfoque alternativo a la explicación de tales situaciones, vea.

Mire la bibliografía en el teorema de Bayes al final de las notas.

Si el evento PERO Puede ocurrir solo al realizar uno de los eventos que forman grupo completo de eventos incompletos. Luego la probabilidad de un evento. PERO Calculado por fórmula

Esta fórmula se llama probabilidad total de fórmula .

Volvemos a considerar un grupo completo de eventos incompletos, la probabilidad de la aparición de la cual . Evento PERO Puede suceder solo con cualquiera de los eventos que se llamen. hipótesis . Luego, según la fórmula de la probabilidad completa.

Si el evento PERO Sucedió, puede cambiar las probabilidades de hipótesis. .

Por el teorema de la multiplicación de probabilidad

Del mismo modo, para las hipótesis restantes.

La fórmula resultante se llama fórmula Bayes (fórmula Bayes ). Se llama la probabilidad de hipótesis. una probabilidades posteriori , mientras que - a priori probabilidades .

Ejemplo. La tienda recibió nuevos productos de tres empresas. El porcentaje de este producto es el siguiente: 20%: los productos de la Primera Empresa, 30%: los productos de la Segunda Empresa, el 50% son los productos de la Tercera Empresa; Además, el 10% de los productos de la primera empresa de la calificación más alta, en la Segunda Empresa - 5% y en el tercer - 20% de los productos de mayor grado. Encuentre la probabilidad de que los nuevos productos adquiridos al azar sean la calificación más alta.

Decisión. Denotamos por EN El evento, que consiste en el hecho de que los productos de la calificación más alta se comprarán, a través de los eventos para comprar productos que pertenecen a la primera, la segunda y tercera empresa de acuerdo con la primera, la segunda y la tercera empresa.

Puede aplicar una fórmula de probabilidad completa, y en nuestra notación:

Sustituyendo estos valores en la fórmula de la probabilidad completa, obtenemos la probabilidad deseada:

Ejemplo. Uno de los tres tiradores se llama a la línea de fuego y produce dos tomas. La probabilidad de golpear el objetivo con un disparo para la primera flecha es de 0.3, para el segundo - 0.5; Por tercero - 0.8. El objetivo no se asombra. Encuentre la posibilidad de que los disparos estén hechos por el primer tirador.

Decisión. Tres hipótesis son posibles:

El primer tirador es llamado en la línea de fuego,

El segundo tirador se llama en la línea de fuego,

El tercer tirador es causado a la línea de fuego.

Dado que el desafío en la línea de fuego de cualquier flecha es el equilibrio, entonces

Como resultado de la experiencia, se observó un evento en, después de que los tiradores hicieron, el objetivo no se sorprendió. Las probabilidades condicionales de este evento con las hipótesis hechas son iguales:

según la fórmula de Bayes, encontramos la probabilidad de hipótesis después de la experiencia:

Ejemplo. En tres máquinas, las máquinas se procesan mediante el mismo tipo de parte que llega después del procesamiento en un transportador común. La primera máquina da el 2% del matrimonio, el segundo - 7%, el tercero - 10%. El rendimiento de la primera máquina es 3 veces más rendimiento del segundo, y el tercero es 2 veces menor que el segundo.

a) ¿Cuál es el porcentaje del matrimonio en el transportador?

b) ¿Cuáles son las participaciones de los detalles de cada máquina entre las partes defectuosas en el transportador?

Decisión. Tomemos del transportador para traer un detalle y considerar el evento A, el detalle es defectuoso. Está asociado con hipótesis en cuanto a donde se procesó este detalle: - la máquina procesó los detalles tomados por la máquina.

Probabilidades condicionales (en la condición del problema que se dan en forma de interés):

La relación entre los fabricantes de máquinas significa lo siguiente:

Y dado que la hipótesis forma un grupo completo, entonces.

Decidir el sistema resultante de ecuaciones, encontramos :.

a) la posibilidad completa de que los detalles tomados del transportador estén defectuosos:

En otras palabras, en la masa de partes que convergen del transportador, el matrimonio es del 4%.

b) Deje que sepa que los detalles tomados son defectuosos. Usando la fórmula de Bayes, encontraremos la probabilidad condicional de hipótesis:

Por lo tanto, en la masa total de partes defectuosas en el transportador, la proporción de la primera máquina es del 33%, el segundo es del 39%, el tercero es del 28%.

Tareas prácticas

Ejercicio 1

Resolviendo tareas para las secciones principales de la teoría de la probabilidad.

El objetivo es obtener habilidades prácticas para resolver problemas.

secciones de la teoría de la probabilidad.

Preparación para la implementación de una tarea práctica.

Lea el material teórico sobre este tema, para explorar el contenido de las secciones teóricas, así como las secciones relevantes en fuentes literarias.

Procedimiento para realizar la tarea.

Resuelva 5 tareas de acuerdo con el número de la versión de tarea dada en la Tabla 1.

Opciones para datos de origen

tabla 1

	número de tareas

La composición del informe sobre la tarea 1.

5 Tareas resueltas de acuerdo con el número de la opción.

Tareas para autoproducción

1 .. son los siguientes grupos de eventos: a) Experiencia - Lanzar monedas; eventos: A1.- la aparición del escudo de armas; A2.- la apariencia de las figuras; b) experiencia - lanzar dos monedas; eventos: EN 1- la aparición de dos capas de armas; A LAS 2 -la aparición de dos dígitos; EN 3- la aparición de un escudo de armas y un dígito; c) experiencia - lanzar un hueso de juego; eventos: C1 -la aparición de no más de dos puntos; C2 -la aparición de tres o cuatro puntos; C3 -la aparición de al menos cinco puntos; d) experiencia - tiro objetivo; eventos: D1.- pegar; D2 -deslizar; e) Experiencia - Dos tomas de destino; eventos: E0- no un solo golpe; E1- un golpe; E2.- dos hits; e) Experiencia: elimina dos cartas de la cubierta; eventos: F1 -la aparición de dos tarjetas rojas; F2.- ¿La aparición de dos tarjetas negras?

2. En la urna negra y b. bolas negras. Una bola se retira de las urnas. Encuentra la posibilidad de que esta pelota sea blanca.

3. En la urna a blanco I. B. bolas negras. De las urnas tomar una pelota y dejar a un lado. Esta pelota era blanca. Después de eso, otra bola toma de la urna. Encuentra la posibilidad de que esta pelota también sea blanca.

4. En la urna a blanco y B. bolas negras. Una bola fue sacada de las urnas y, sin mirar, dejando a un lado. Después de eso, otra bola tomó de la urna. El era blanco Encuentre la posibilidad de que la primera bola se desvíe también sea blanca.

5. De la URN que contiene un blanco y B. bolas negras, saque una tras otra todas las bolas, excepto una. Encuentre la probabilidad de que la última bola restante en la pelota sea blanca.

6. De la urna en que un bolas blancas y B Negro, elimina todas las bolas en ella. Encuentre la posibilidad de que se retire el segundo globo en orden.

7. En la urna una bola blanca y negada. (UNA. > 2). Se eliminan dos bolas de las urnas. Encuentra la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.

8. En la urna negra y b. bolas negras (A\u003e 2, B\u003e 3). Se eliminan cinco bolas de las urnas. Encontrar probabilidad rque dos de ellos serán blancos, y tres negros.

9. En una fiesta que consiste en X productos, disponibles I.defectuoso. De la fiesta se selecciona para el control i productos. Encontrar probabilidad rque de ellos exactamente j los productos serán defectuosos.

10. Jugar a los huesos juncos una vez. Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos: PERO -la aparición de un número par de puntos; EN- la aparición de al menos 5 puntos; DE-la aparición de no más de 5 puntos.

11. Jugar el hueso se precipita dos veces. Encontrar probabilidad rel hecho de que ambas veces aparecerán el mismo número de puntos.

12. Se lanzan dos huesos jugando al mismo tiempo. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos: PERO- la suma de los puntos caídos es 8; EN- El producto de los puntos caídos es 8; DE-la cantidad de puntos cayó más que su trabajo.

13. Dos monedas se apresuran. ¿Cuál de los eventos es más probable? PERO -las monedas estarán acostadas con las mismas fiestas; EN -las monedas estarán en diferentes lados?

14. En la urna a blanco y B. bola negra (UNA. > 2; B. > 2). De las urnas al mismo tiempo dos bolas. ¿Qué evento es más probable? PERO- Bolas del mismo color; EN -bolas de diferentes colores?

15. Tres jugadores juegan cartas. Cada uno de ellos entregó 10 cartas y se dejan dos cartas en una bona. Uno de los jugadores ve que tiene 6 mapas de un traje de bubnava y 4, no un bubnova. Reinicia dos cartas de estos cuatro y se lleva a sí mismo una buena. Encuentra la probabilidad de que compre dos tarjetas panorqueas.

16. De la URN que contiene pAGlas bolas de propósito, al azar sacan a uno tras otro todas las bolas. Encuentre la probabilidad de que los números de las bolas cortadas funcionen en orden: 1, 2, ..., pag.

17. La misma URN que en la tarea anterior, pero cada bola después de la eliminación está incrustada y se mezcla con otros, y su número se registra. Encuentre la posibilidad de que se grabe la secuencia natural de números: 1, 2, ..., p.

18. La cubierta completa de tarjetas (52 hojas) se divide en dos paquetes iguales de 26 hojas. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos: PERO -en cada uno de los paquetes serán dos ases; EN- en uno de los paquetes no habrá un solo as, y en el otro, los cuatro; C-b.una hebilla será un as, y en el otro, tres.

19. En el dibujo del Campeonato de Baloncesto, se involucran 18 equipos, de los cuales se forman al azar dos grupos de 9 equipos en cada uno. Entre los participantes de la competencia hay 5 equipos.

clase extra. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos: PERO -todos los comandos de clase extra caerán en el mismo grupo; EN- Dos equipos de emergencia caerán en uno de los grupos, y tres a otro.

20. Las nueve tarjetas son números escritos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dos de ellos se eliminan al azar y apilados en la mesa en orden de apariencia, luego se lee el número resultante, por ejemplo, 07 (siete), 14 (catorce), etc. Encuentre la probabilidad de que el número sea uniforme.

21. En cinco cartas, los números están escritos: 1, 2, 3, 4, 5. Dos de ellos, uno tras otro, eliminado. Encuentre la probabilidad de que el número en la segunda tarjeta sea mayor que en la primera.

22. La misma pregunta es que en la tarea 21, pero la primera tarjeta después de la eliminación se coloca hacia atrás y se mezcla con el resto, y el número que se presenta está escrito.

23. En la urna a blanco, B. negro y con bolas rojas. De las urnas sacar uno tras otro todas las bolas en ella y escribir sus colores. Encontrar la posibilidad de que en esta lista aparezca el color blanco antes del negro.

24. Hay dos urnas: en la primera a blanco y B. bolas negras; En el segundo C. blanco y D. negro. De cada urna retirada sobre la pelota. Encuentra la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.

25. Bajo las condiciones de las tareas 24, encuentre la probabilidad de que las bolas sean diferentes colores.

26. En el tambor revólver, siete nidos, de los cuales se colocaron cinco, y dos quedaron vacíos. El tambor es impulsado por la rotación, como resultado de lo cual uno de los nidos resulta contra el tronco. Después de eso, se presiona el gatillo; Si la celda estaba vacía, el disparo no se produce. Encontrar probabilidad rel hecho de que, repitiendo tal experiencia dos veces seguidas, ambas no estamos desplazados.

27. En las mismas condiciones (consulte la tarea 26) Encuentre la probabilidad de que se produzcan ambas veces el disparo.

28. En la urna hay un; Bolas marcadas con números 1, 2, ..., aDe las urnas I.una vez eliminada una pelota (I.<к), el número de la pelota está escrito y la pelota retrasa en la urna. Encontrar probabilidad rque todos los números grabados serán diferentes.

29. De las cinco letras de un alfabeto dividido, se elabora la palabra "libro". Un niño que no sabe leer, dispersó estas letras y luego se recoge en orden aleatorio. Encontrar probabilidad rel hecho de que volvió a apagar la palabra "libro".

30. La palabra "piña" se elabora de las letras de un alfabeto dividido. Un niño que no sabe leer, dispersó estas letras y luego se recoge en orden aleatorio. Encontrar probabilidad rque él de nuevo tiene la palabra "piña"

31. Se eliminan múltiples mapas de la cubierta completa de tarjetas (52 hojas, 4 suites). ¿Cuántas tarjetas deben ser eliminadas para tener más probabilidades de 0.50, para argumentar que habrá las mismas tarjetas entre ellas?

32. NORTE.un hombre desaparece al azar sobre la mesa redonda. (N\u003e2). Encontrar probabilidad rque dos caras fijas PEROy ENestará cerca

33. La misma tarea (cm 32), pero la mesa es rectangular, y n una persona es rápidamente accidentalmente a lo largo de uno de sus lados.

34. Los barriles de lotería son números escritos de 1 a NORTE.De estos NORTE.los barriles se eligen accidentalmente dos. Encuentre la probabilidad de que los números más pequeños que K estén escritos en ambos barriles (2

35. En los barriles Lotto escrito números de 1 a NORTE.De estos NORTE.los barriles se eligen accidentalmente dos. Encuentre la posibilidad de que uno de los barriles escrito el número mayor que K , y en el otro - menos de k . (2

36. batería fuera METRO.las armas llevan fuego contra un grupo que consiste en NORTE.metas (METRO.< N). Las armas eligen sus objetivos de manera consistente, al azar, siempre que no hay dos armas para disparar un objetivo. Encontrar probabilidad rlo que será despedido por objetivos con los números 1, 2, ..., METRO.

37 .. Batería, que consiste en aarmas, lleva fuego contra un grupo que consiste en I.aeronave (a< 2). Cada instrumento elige un gol accidentalmente e independientemente de los demás. Encuentra la probabilidad de que todos alas armas dispararán al mismo propósito.

38. En las condiciones de la tarea anterior, encuentre la probabilidad de que todas las armas disparen diferentes propósitos.

39. Cuatro bolas se dispersan al azar en cuatro agujeros; Cada bola ingresa a ese u otro bien con la misma probabilidad e independientemente de los demás (obstáculos para llegar al mismo uno y el mismo pozo de varias bolas). Encuentre la posibilidad de que tres bolas estén en uno de los pozos, hasta el otro, y no habrá bolas en los otros agujeros izquierdos.

40. Masha se peleó con Peter y no quiere ir con él en un autobús. 5 autobuses salen del albergue al Instituto de 7 a 8. Quien no tuvo tiempo para estos autobuses es tarde para una conferencia. ¿Cuántas formas de que Masha y Peter pueden llegar al Instituto para diferentes autobuses y no llegar tarde a una conferencia?

41. Hay 3 analíticos, 10 programadores y 20 ingenieros en la gestión de la información del Banco. Por horas extras en unas vacaciones, el jefe del departamento debe asignar a un empleado. ¿Cuántas formas se puede hacer esto?

42. El jefe del Servicio de Seguridad del Banco debe separar 10 guardias para 10 puestos. ¿Cuántas formas se puede hacer esto?

43. El nuevo presidente del Banco debe designar 2 nuevos vicepresidentes de entre los 10 directores. ¿Cuántas formas se puede hacer esto?

44. Una de las partes en guerra capturó 12, y los otros 15 cautivos. ¿De cuántas maneras puedo intercambiar 7 prisioneros de guerra?

45. Petya y Masha recogen un video de video. Petit tiene 30 comedias, 80 militantes y 7 melodios, Masha - 20 Comedias, 5 militantes y 90 melodios. ¿Cuántas maneras en que Peter y Masha pueden intercambiar 3 comedias, 2 militantes y 1 melodrama?

46. \u200b\u200b¿En términos de problemas con 45, de alguna manera, Peter y Masha pueden intercambiar 3 melodramas y 5 comedias?

47. En las condiciones de las tareas 45, de alguna manera, Peter y Masha pueden intercambiar 2 militantes y 7 comedias.

48. Una de las partes en guerra capturó 15, y los otros 16 prisioneros. ¿Cuántas maneras puedo intercambiar 5 prisioneros de guerra?

49. Cuántos autos se puede registrar en 1 ciudad si el número tiene 3 dígitos y 3 letras (solo aquellos cuya escritura coincide con latín - a, b, e, k, m, n, o, p, c, t, y , X)?

50. Una de las partes en guerra capturó 14, y las otras 17 cautivas. ¿De cuántas maneras puedo intercambiar 6 prisioneros de guerra?

51. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden hacer al lanzar letras en la palabra "madre"?

52. En una canasta de 3 manzanas rojas y 7 verdes. Se necesita una manzana de ella. Encuentra la probabilidad de que sea rojo.

53. En una canasta de 3 manzanas rojas y 7 verdes. Fue sacado de él y pospuso una manzana verde. Después de eso, 1 manzana se saca de la canasta. ¿Cuál es la probabilidad de que esta manzana sea verde?

54. En un lote que consta de 1000 productos, 4 tienen defectos. Para controlar, elija un lote de 100 productos. ¿Cuál es la probabilidad de que también en la lista de verificación no será defectuosa?

56. En los años 80, el juego Sportoto 5 de 36 fue popular en la URSS. El jugador anotó en la tarjeta 5 números de 1 a 36 y recibió premios de varias ventajas si adivina un número diferente de números anunciados por la Comisión de Circulación. Encuentre la posibilidad de que el jugador no haya adivinado un solo número.

57. En los años 80 en la URSS, el juego "Sportlot 5 de 36" fue popular. El jugador anotó en la tarjeta 5 números de 1 a 36 y recibió premios de varias ventajas si adivina un número diferente de números anunciados por la Comisión de Circulación. Encuentra la posibilidad de que el jugador adivine un número.

58. En los años 80 en la URSS, el juego "Sportoto 5 de 36" fue popular. El jugador anotó en la tarjeta 5 números de 1 a 36 y recibió premios de varias ventajas si adivina un número diferente de números anunciados por la Comisión de Circulación. Encuentra la posibilidad de que el jugador adivine 3 números.

59. En los años 80 en la URSS, el juego "Sportoto 5 de 36" fue popular. El jugador anotó en la tarjeta 5 números de 1 a 36 y recibió premios de varias ventajas si adivina un número diferente de números anunciados por la Comisión de Circulación. Encuentre la posibilidad de que el jugador no haya adivinado todos los 5 números.

60. En la década de 1980, el Gameloto 6 de 49 fue popular en la URSS. El jugador anotó en la tarjeta 6 números del 1 al 49 y recibió premios de diversas ventajas si adivina un número diferente de números declarados por la Comisión de Circulación. Encuentra la posibilidad de que el jugador adivine los 2 números.

61. En la década de 1980, el Greyloto 6 de 49 fue popular en la URSS. El jugador anotó en la tarjeta 6 números del 1 al 49 y recibió premios de diversas ventajas si adivina un número diferente de números declarados por la Comisión de Circulación. Encuentre la posibilidad de que el jugador no haya adivinado un solo número.

62. En los años 80, el Greyloto 6 de 49 fue popular en la URSS. El jugador anotó en la tarjeta 6 números del 1 al 49 y recibió premios de diversas ventajas si adivina un número diferente de números declarados por la Comisión de Circulación. Encuentra la probabilidad de que el jugador diera todos los 6 números.

63. En un lote que consta de 1000 productos, 4 tienen defectos. Para controlar, elija un lote de 100 productos. ¿Cuál es la probabilidad de que también solo 1 esté defectuosa en la lista de verificación?

64. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden hacer al lanzar letras en la palabra "libro"?

65. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden hacer al lanzar letras en la palabra "piña"?

66. 6 personas entraron en el ascensor, y el albergue tiene 7 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que las 6 personas salgan en el mismo piso?

67. 6 personas entraron en el ascensor, el edificio tiene 7 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que las 6 personas salgan en diferentes pisos?

68. Durante una tormenta eléctrica en una parcela entre 40 y 79 km, se produjeron las líneas eléctricas. Teniendo en cuenta que el descanso es igualmente posible en cualquier lugar, encuentre la probabilidad de que se haya ocurrido entre los kilómetros 40 y 45.

69. La sección de 200 kilómetros de la tubería de gas se produce una fuga de gas entre las estaciones de compresor A y B, que es igualmente posible en cualquier punto de la tubería. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuga no tiene lugar a más de 20 km de un

70. La sección de 200 kilómetros de la tubería de gas se produce una fuga de gas entre las estaciones de compresor A y B, que es igualmente posible en cualquier lugar de la tubería. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuga ocurra más cerca y que k en

71. El inspector de radar DPS tiene una precisión de 10 km / hora y rondas en la siguiente dirección. ¿Qué pasa más a menudo, redondeando a favor del conductor o inspector?

72. Masha gasta en la carretera al Instituto de 40 a 50 minutos, y en cualquier momento en esta brecha es equivalente. ¿Cuál es la probabilidad de que ella pase en la carretera de 45 a 50 minutos?

73. Petya y Masha acordaron reunirse en el monumento a Pushkin de 12 a 13 horas, pero nadie podría especificar el tiempo de llegada. Acordaron esperar 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de su reunión?

74. Los pescadores atraparon 120 peces en el estanque, de los cuales 10 se calentaron. ¿Cuál es la probabilidad de atrapar a los peces ocelliados?

75. Desde la canasta que contiene 3 manzanas rojas y 7 verdes, elimine todas las manzanas a su vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la 2nd Apple sea roja?

76. Desde la canasta que contiene 3 manzanas rojas y 7 verdes, elimine todas las manzanas a su vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la última manzana sea verde?

77. Los estudiantes consideran que de los 50 boletos 10 son "buenos". PETYA y MASHA se turnan para atraer un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que Masha tenga un boleto "bueno"?

78. Los estudiantes consideran que de los 50 boletos 10 son "buenos". PETYA y MASHA se turnan para atraer un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan un boleto "bueno"?

79. Masha llegó al examen conociendo las respuestas a 20 preguntas del programa de 25. El profesor especifica 3 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que Masha responda 3 preguntas?

80. Masha llegó al examen conociendo las respuestas a 20 preguntas del programa de 25. El profesor especifica 3 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que Masha no responda ninguna pregunta?

81. Masha llegó al examen conociendo las respuestas a 20 preguntas del programa de 25. El profesor especifica 3 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que Masha responda a 1 pregunta?

82. Las estadísticas de las solicitudes de crédito en el Banco son las siguientes: 10% - Estado. Autoridades, 20% - Otros bancos, el resto son individuos. La probabilidad de no retorno de los préstamos, respectivamente, 0.01, 0.05 y 0.2. ¿Qué parte de los préstamos no devuelve?

83. La probabilidad de que la facturación semanal del comerciante de helados exceda los 2000 rublos. Es 80% con clima claro, 50% con variable de nube y 10% con clima lluvioso. ¿Cuál es la probabilidad de que la facturación exceda de 2000 rublos? Si la probabilidad de un clima claro es del 20%, y la nubosidad variable y la lluvia es del 40%.

84. En la urna y el blanco (b) y en bolas negras (h). De las urnas se sacan (al mismo tiempo o secuencialmente) dos bolas. Encuentra la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.

85. En la urna a blanco y B.

86. En urn A. blanco y B.

87. En urn A. blanco y B. bolas negras. Se retira una bola de la urna, su color y la bola vuelve a la urna. Después de eso, se toma una bola más de la urna. Encuentra la probabilidad de que estas bolas sean diferentes colores.

88. Hay una caja con nueve pelotas de tenis nuevas. Porque el juego toma tres goles; Después del juego son devueltos. Al elegir bolas, los jugadores no se distinguen de las no sillas. ¿Cuál es la probabilidad de que después de tres juegos en la caja no se dejarán para las bolas?

89. Dejando el apartamento, NORTE. cada invitado se pondrá en Helos;

90. Dejando el apartamento, NORTE.los huéspedes que tienen los mismos tamaños de zapatos se ponen en un mandril en la oscuridad. Cada uno de ellos puede distinguir el calicó derecho de la izquierda, pero no puede distinguir a sus extraños. Encontrar la probabilidad de que cada invitado, pone en el Kalosh, perteneciente a un par (tal vez no es suyo).

91. En las condiciones de la tarea de la 90night, la probabilidad de lo que todos se vayan en sus calorías. si los huéspedes no pueden distinguir la Calosa correcta de la izquierda y simplemente tomar los dos primeros Caloshs.

92. El arco es conducido por la aeronave cuyas partes vulnerables son dos motores y una cabina piloto. Para golpear (salida) un avión, es suficiente para golpear ambos motores juntos ni una cabina piloto. Bajo estas condiciones de disparo, la probabilidad de daños al primer motor es igual a p1segundo motor p2,cabinas piloto p3.Las partes de la aeronave se ven afectadas independientemente entre sí. Encuentra la posibilidad de que el avión se sorprenda.

93. Dos flechas, independientemente del otro, hacen dos tomas (cada una por su objetivo). La probabilidad de golpear al objetivo con un tiro para la primera flecha p1para el segundo p2.La competencia ganadora se considera que es el tirador, en el objetivo de los cuales se imprimirá más. Encontrar probabilidad Rh¿Qué ganará las primeras flechas?

94. Detrás del objeto espacial, el objeto se detecta con una probabilidad. r.La detección de objetos en cada ciclo se produce independientemente de los demás. Encuentra la probabilidad de que cuando pAGse detectará el objeto de los ciclos.

95. 32 Las letras del alfabeto ruso están escritas en el círculo de alfabeto dividido. Se eliminan cinco cartas al azar después de la otra y apiladas en la mesa en el orden de apariencia. Encuentre la posibilidad de que la palabra "final" sea.

96. Dos bolas están dispersas por casualidad e independientemente de las cuatro células ubicadas entre sí en línea recta. Cada bola con la misma probabilidad de 1/4 entra en cada celda. Encuentre la posibilidad de que las bolas caigan en las celdas vecinas.

97. El tiro con arco está hecho por conchas incendiarias de aviones. El combustible en el plano se concentra en cuatro tanques ubicados en el fuselaje uno por uno. Los tanques de plaza son los mismos. Para encender el plano, ya sea suficiente para obtener dos conchas en el mismo tanque o en los tanques vecinos. Se sabe que dos proyectiles cayeron en el área de los tanques. Encuentra la posibilidad de que el avión se ilumine.

98. Se eliminan cuatro cartas de la cubierta completa de mapas (52 hojas). Encuentre la probabilidad de que todas estas cuatro cartas sean diferentes texturas.

99. Se eliminan cuatro cartas de la cubierta completa de tarjetas (52 hojas), pero cada tarjeta después de retirar las devoluciones a la cubierta. Encuentre la probabilidad de que todas estas cuatro cartas sean diferentes texturas.

100. Cuando se enciende el encendido, el motor comienza a funcionar con una probabilidad. r.

101. El dispositivo puede funcionar en dos modos: 1) Normal y 2) anormal. El modo normal se observa en el 80% de todos los casos del dispositivo; Anormal - 20%. La probabilidad de la falla del dispositivo en orden t.en modo normal es 0.1; En anormal - 0.7. Probabilidad total rel fallo del dispositivo está fuera.

102. La tienda recibe las mercancías de 3 proveedores: 55% del 1º, 20 del 2º y 25% del 3er. La participación matrimonial es de 5, 6 y 8 por ciento, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan productos defectuosos comprados del segundo proveedor?

103.Los vehículos por gasolinera consisten en el 60% de la carga y el 40% de los automóviles de pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una estación de servicio de un camión, si la probabilidad de su reabastecimiento de combustible 0,1 y el pasajero - 0.3

104. El flujo de automóviles por gasolinera consiste en el 60% de la carga y el 40% de los autos de pasajeros. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una estación de servicio de un camión, si la probabilidad de su reabastecimiento de combustible 0,1 y el pasajero - 0.3

105. La tienda recibe las mercancías de 3 proveedores: el 55% del 1º, 20 del 2 y el 25% del 3er. La participación matrimonial es de 5, 6 y 8 por ciento, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los productos defectuosos comprados vengan del 1er proveedor?

106. 32 Las letras del alfabeto ruso están escritas en el círculo de alfabeto dividido. Se eliminan cinco cartas al azar después de la otra y apiladas en la mesa en el orden de apariencia. Encuentre la probabilidad de que la palabra "libro" sea.

107. La tienda recibe bienes de 3 proveedores: 55% del 1º, 20 del 2º y 25% del 3er. La participación matrimonial es de 5, 6 y 8 por ciento, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los productos defectuosos comprados vengan del 1er proveedor?

108. Dos bolas están dispersas por casualidad e independientemente de las cuatro células ubicadas una tras otra en línea recta. Cada bola con la misma probabilidad de 1/4 entra en cada celda. Encuentra la probabilidad de que 2 bolas caigan en una celda.

109. Al encender el encendido, el motor comienza a funcionar con una probabilidad. r. Encuentre la probabilidad de que el motor comience a trabajar con el segundo interruptor de encendido;

110. El disparo de la aeronave está hecho por las conchas incendios. El combustible en el plano se concentra en cuatro tanques ubicados en el fuselaje uno por uno. Los tanques de plaza son los mismos. Para encender el avión, es suficiente para obtener dos proyectiles en el mismo tanque. Se sabe que dos proyectiles cayeron en el área de los tanques. Encuentra la probabilidad de que el avión se ilumine.

111. El disparo de la aeronave está hecho por las conchas incendios. El combustible en el plano se concentra en cuatro tanques ubicados en el fuselaje uno por uno. Los tanques de plaza son los mismos. Para encender la aeronave, es suficiente obtener dos proyectiles en los tanques adyacentes. Se sabe que dos proyectiles cayeron en el área de los tanques. Encuentra la probabilidad de que el avión se ilumine.

112.En urn A. blanco y B. bolas negras. Se retira una bola de la urna, su color y la bola vuelve a la urna. Después de eso, se toma una bola más de la urna. Encuentre la probabilidad de que ambas bolas cortadas sean blancas.

113. En urn A. blanco y B. bolas negras. Se eliminan dos bolas de la urna. Encuentra la probabilidad de que estas bolas sean diferentes colores.

114. Dos bolas están dispersas por casualidad e independientemente de las cuatro células ubicadas entre sí en línea recta. Cada bola con la misma probabilidad de 1/4 entra en cada celda. Encuentre la posibilidad de que las bolas caigan en las celdas vecinas.

115. Masha llegó al examen conociendo las respuestas a 20 preguntas del programa de 25. El profesor especifica 3 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que Masha responda a 2 preguntas?

116. Los estudiantes consideran que de los 50 boletos 10 son "buenos". PETYA y MASHA se turnan para atraer un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan un boleto "bueno"?

117. Las estadísticas de las solicitudes de crédito en el Banco son las siguientes: 10% - Estado. Autoridades, 20% - Otros bancos, el resto son individuos. La probabilidad de no retorno de los préstamos, respectivamente, 0.01, 0.05 y 0.2. ¿Qué parte de los préstamos no devuelve?

118. 32 Las letras del alfabeto ruso están escritas en el círculo de alfabeto dividido. Se eliminan cinco cartas al azar después de la otra y apiladas en la mesa en el orden de apariencia. Encuentre la posibilidad de que la palabra "final" sea.

119 Las estadísticas de las solicitudes de préstamos en el banco son las siguientes: 10% - Estado. Autoridades, 20% - Otros bancos, el resto son individuos. La probabilidad de no retorno de los préstamos, respectivamente, 0.01, 0.05 y 0.2. ¿Qué parte de los préstamos no devuelve?

120. La probabilidad de que la facturación semanal del helado supere los 2000 rublos. Es 80% con clima claro, 50% con variable de nube y 10% con clima lluvioso. ¿Cuál es la probabilidad de que la facturación exceda de 2000 rublos? Si la probabilidad de un clima claro es del 20%, y la nubosidad variable y la lluvia es del 40%.