Encuentra la expectativa matemática de la variable aleatoria dada. Fórmula de expectativa matemática.

Características de DSV y sus propiedades. Expectativa matemática, dispersión, velocidad.

La ley de distribución caracteriza completamente a una cantidad aleatoria. Sin embargo, cuando es imposible encontrar la ley de distribución, o esto no se requiere, puede limitarse a encontrar valores llamados las características numéricas de una variable aleatoria. Estos valores determinan algún valor medio alrededor de los cuales se agrupan los valores de la variación aleatoria, y el grado de dispersión alrededor de este promedio.

Expectativa matemática La variable aleatoria discreta se llama la cantidad de trabajos de todos los valores posibles de varianza aleatoria sobre su probabilidad.

La expectativa matemática existe si una fila de pie en la parte correcta de la igualdad converge absolutamente.

En términos de probabilidad, se puede decir que la expectativa matemática es aproximadamente igual a los valores promedio observados aritméticos de la variable aleatoria.

Ejemplo. Se conoce la ley de distribución de la variable aleatoria discreta. Encuentra una expectativa matemática.

Decisión:

9.2 Propiedades de la expectativa matemática.

1. La expectativa matemática de un valor permanente es igual a la más constante.

2. Se puede hacer un multiplicador permanente para un signo de expectativa matemática.

3. La expectativa matemática del trabajo de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Esta propiedad es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.

4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los componentes.

Esta propiedad también es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.

Sea N de pruebas independientes, la probabilidad de la aparición de un evento y en el que r.

Teorema. La expectativa matemática de M (x) el número de eventos y en las pruebas independientes de N es igual al producto del número de pruebas en la probabilidad de un evento en cada prueba.

Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria Z si las expectativas matemáticas x y y: m (x) \u003d 3, m (y) \u003d 2, z \u003d 2x + 3y son conocidas.

Decisión:

9.3 Dispersión de la variable aleatoria discreta

Sin embargo, la expectativa matemática no puede caracterizar completamente el proceso aleatorio. Además de las expectativas matemáticas, es necesario introducir un valor que caracteriza la desviación de la varianza aleatoria de la expectativa matemática.

Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la espera matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas desviaciones posibles son positivas, otras son negativas, y como resultado de su reembolso mutuo, resulta cero.

Dispersión (dispersión) Una variable aleatoria discreta se llama matemáticas esperando el cuadrado de desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.

En la práctica, este método para calcular la dispersión es inconveniente, porque Causa con una gran cantidad de valores aleatorios para calculados voluminosos.

Por lo tanto, se aplica otro método.

Teorema. La dispersión es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática..

Evidencia. Con el hecho de que la expectativa matemática de M (X) y el cuadrado de la expectativa matemática M 2 (X) - Valores permanentes, se pueden escribir:

Ejemplo. Encuentre la dispersión de la variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.

Decisión: .

9.4 Propiedades de dispersión

1. La dispersión de un valor constante es cero. .

2. Se puede hacer un multiplicador constante para un signo de dispersión, comiéndolo en un cuadrado. .

3. La dispersión de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la cantidad de dispersiones de estos valores. .

4. La dispersión de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la cantidad de dispersiones de estos valores. .

Teorema. La dispersión de la cantidad de eventos A en pruebas independientes, en cada una de las cuales la probabilidad de la aparición de un evento es constante, es igual al producto del número de pruebas sobre la probabilidad de la apariencia y la culpa del evento en cada caso. prueba.

9.5 Desviación cuadrática promedio de una variable aleatoria discreta

Desviación mediana cuadrática La varianza aleatoria se llama raíz cuadrada de la dispersión.

Teorema. La desviación quadrática promedio de la cantidad del número final de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones cuadráticas promedio de estas cantidades.

La ley de distribución caracteriza completamente a una cantidad aleatoria. Sin embargo, la ley de la distribución es desconocida y tiene que limitarse a menos información. A veces es aún más rentable utilizar números que describen un total aleatorio, tales números se llaman características numéricas variable aleatoria. Una característica numérica importante incluye la expectativa matemática.

La expectativa matemática, como se mostrará más, aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria. Para resolver muchas tareas, es suficiente saber la expectativa matemática. Por ejemplo, si se sabe que la expectativa matemática de la cantidad de puntos rotos en la primera flecha es mayor que la segunda, las primeras flechas en promedio golpea más puntos que el segundo, y, por lo tanto, se dispara mejor.

Definition4.1: Expectativa matemática La varianza aleatoria discreta llame a la cantidad de productos de todos los valores posibles para sus probabilidades.

Deje un valor al azar X. puede tomar solo valores x 1, x 2, ... x ncuyas probabilidades son respectivamente iguales p 1, P 2, ... P N.Entonces la expectativa matemática M (x.) Variable aleatoria X. Determinado por la igualdad

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n P n.

Esley discreta valor aleatorio X. toma un conjunto contable de valores posibles, entonces

,

además, la expectativa matemática existe si la fila en el lado derecho de la igualdad converge absolutamente.

Ejemplo.Encuentra una expectativa matemática de la cantidad de eventos. UNA.en una prueba, si la probabilidad de un evento UNA. igual pag..

Decisión: Valor aleatorio X. - el número de eventos UNA. tiene la distribución de Bernoulli, por lo que

De este modo, la expectativa matemática de la cantidad de eventos en una prueba es igual a la probabilidad de este evento..

Significado probabilístico de la expectativa matemática

Dejados producidos nORTE. Pruebas en las que un valor aleatorio X. Adoptado m 1. Una vez valor x 1, m 2. Una vez valor x 2 ,…, m k. Una vez valor x k., y m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. Luego la suma de todos los valores adoptados. X., igual x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

El promedio aritmético de todos los valores adoptados por una variable aleatoria será

Actitud m i / n- Frecuencia relativa W I. Valores x I.aproximadamente igual a la probabilidad de eventos pI.dónde , entonces

El significado probabilístico del resultado obtenido es: expectativa matemática aproximadamente igual (Cuanto más precisamente, mayor será el número de pruebas) valores aleatorios observados aritméticos medios..

Propiedades de la expectativa matemática.

Propiedad1:La expectativa matemática de un valor permanente es igual a la más constante

Propiedad2:Se puede hacer multiplicador permanente para un signo de expectativa matemática.

Definition4.2: Dos variables aleatorias llamada independienteSi la ley de la distribución de uno de ellos no depende de los posibles valores del otro valor recibido. De lo contrario las variables aleatorias son dependientes.

Definition4.3: Varias variables aleatorias Llamada mutuamente independienteSi las leyes de la distribución de cualquier número de ellos no dependen de las cuales los valores posibles son los valores restantes.

Propiedad3:La expectativa matemática del trabajo de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Consecuencia: La expectativa matemática del trabajo de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Propiedad4:La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas.

Consecuencia: La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas.

Ejemplo.Calcule la expectativa matemática de la variable binomial aleatoria. X -números del evento UNA. en nORTE. experimentos.

Decisión: Numero total X. Apariciones de eventos UNA. En estas pruebas, consiste en un número de eventos en pruebas individuales. Introducimos variables aleatorias X I. - el número de eventos en i.Pruebas -wed que son valores aleatorios de BernOulifish con expectativas matemáticas donde . Por la propiedad de la expectativa matemática tenemos

De este modo, la expectativa matemática de la distribución binomial con los parámetros N y P es igual al producto NP.

Ejemplo.La probabilidad de golpear al objetivo al disparar de la pistola p \u003d 0.6.Encuentre la expectativa matemática del número total de hits si se producen 10 disparos.

Decisión: Cada disparo no depende de los resultados de otras tomas, por lo que los eventos en consideración son independientes y, por lo tanto, la expectativa matemática deseada.

La expectativa matemática es una definición.

Espera la espera es Uno de los conceptos más importantes en las estadísticas matemáticas y la teoría de las probabilidades, que caracteriza la distribución de valores o probables variable aleatoria. Generalmente se expresa como el valor promedio ponderado de todos los parámetros de varianza aleatorios posibles. Se usa ampliamente en la realización del análisis técnico, un estudio de filas numéricas, estudiando procesos continuos y a largo plazo. Es importante al evaluar los riesgos, prediciendo los indicadores de precios en el comercio de mercados financieros, se utiliza en el desarrollo de estrategias y métodos de tácticas del juego en teoría de apuestas.

Estera esperando - esto esel valor promedio de la variable aleatoria, distribución. probables La varianza aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.

Espera la espera esla medida del valor promedio de la variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Mat esperando una variable aleatoria x. denota M (x).

La expectativa matemática (media poblacional) es

Espera la espera es

Espera la espera es En la teoría de la probabilidad, el valor promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar este valor aleatorio.

Espera la espera esla cantidad de obras de todos los valores posibles de varianza aleatoria sobre la probabilidad de estos valores.

La expectativa matemática (media poblacional) es

Espera la espera es El beneficio promedio de una u otra solución, siempre que dicha solución pueda considerarse dentro del marco de la teoría de grandes números y una larga distancia.

Espera la espera esen la teoría del juego, la cantidad de ganancias que pueden ganar o perder un especulador, en promedio, en cada tarifa. En lenguaje de juego especulante a veces se llama "la ventaja especulante"(Si es positivo para los especuladores) o la" ventaja de un casino "(si es negativo para especulatoria).

La expectativa matemática (media poblacional) es

Cada uno, un valor tomado por separado está totalmente determinado por su función de distribución. Además, para resolver tareas prácticas, hay suficiente para conocer varias características numéricas, gracias a las cuales existe la oportunidad de presentar las características principales de una variable aleatoria en forma breve.

Estos valores son referidos principalmente. valor esperado y dispersión .

Valor esperado - El valor promedio de la varianza aleatoria en la teoría de la probabilidad. Denota cómo.

Manera más fácil de expectativa matemática de la variable aleatoria X (w), encuentra como integralLebesgue en relación con la probabilidad R fuente espacio probabilístico

Todavía encuentra la expectativa matemática de la cantidad. lebesgue integral de h. Por la distribución de las probabilidades RH. Valores X.:

donde - el conjunto de todos los valores posibles X..

Expectativa matemática de las funciones de la variable aleatoria. X. Ubicado a través de la distribución. RH.. por ejemplo, si un X. - Valor aleatorio con valores en y f (x) - inequívoco borelevskayafunción H. , luego:

Si un F (x) - Función de distribución X.Entonces se imagina la expectativa matemática. integralLEBESGA - SETTETES (O RIEMANN - STILLY):

en este caso, la integrabilidad. X. en términos de ( * ) corresponde a la extremidad integral

En casos específicos, si X. Tiene una distribución discreta con valores probables. x k., k \u003d 1, 2. , y probabilidades, entonces

si un X. Tiene una distribución absolutamente continua con densidad de probabilidad. p (x)T.

al mismo tiempo, la existencia de la expectativa matemática es equivalente a la convergencia absoluta de la serie correspondiente o integral.

Las propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria.

• La expectativa matemática de un valor permanente es igual a esta magnitud:

C.- constante;

• M \u003d c.m [x]

• La expectativa matemática de la cantidad de valores tomados al azar es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:

• La expectativa matemática del trabajo de cantidades independientes tomadas aleatoriamente \u003d el producto de sus expectativas matemáticas:

M \u003d m [x] + m [y]

si un X. y Y Independiente.

si un número converge:

Algoritmo para calcular la expectativa matemática.

Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores se pueden alquilar por números naturales; Cada valor para equiparar la probabilidad distinta de cero.

1. A su vez, gire el par: x I. sobre el pI..

2. Dobla el producto de cada par. x i p i.

Anteriorpor nORTE. = 4 :

Función discreta de distribución aleatoria Paso, aumenta con un salto en esos puntos cuyas probabilidades tienen un signo positivo.

Ejemplo:Encuentra una expectativa matemática por la fórmula.

Variable aleatoria Llaman al valor variable, que, como resultado de cada prueba, toma un valor pre-desconocido, dependiendo de las causas aleatorias. Las variables aleatorias se indican con las letras latinas del capital: $ X, \\ Y, \\ Z, \\ \\ puntos $ en su tipo de variables aleatorias puede ser discreto y continuo.

Variabilidad aleatoria discreta - Este es un valor aleatorio, cuyos valores pueden no ser más que contables, es decir, ya sea el final o contable. La responsabilidad significa que se pueden aumentar los valores de la variable aleatoria.

Ejemplo 1. . Damos ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) El número de hits en el objetivo con $ N $ Shots, aquí están los valores posibles de $ 0, \\ 1, \\ \\ puntos, \\ n $.

b) El número de monedas vacías de las monedas, aquí están los valores posibles de $ 0, \\ 1, \\ \\ puntos, \\ n $.

c) El número de buques que llegan a bordo (contando muchos valores).

d) El número de llamadas que ingresan al PBX (muchos valores contables).

1. La ley de la distribución de la probabilidad discreta varianza aleatoria.

La cantidad aleatoria discreta de $ X $ puede tomar valores $ X_1, \\ DOTS, \\ x_n $ con probabilidades $ P \\ izquierda (x_1 \\ derecha), \\ \\ dots, \\ p \\ izquierda (x_n \\ derecha) $. El cumplimiento entre estos valores y sus probabilidades se llama variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se establece utilizando la tabla, en la primera fila de los cuales se especifican los valores de $ X_1, \\ DOTS, \\ X_N $, y en la segunda línea correspondiente a estos valores de la probabilidad de $ P_1, \\ DOTS, \\ P_N $.

$ \\ comience (matriz) (| c | c |)
\\ hline
X_i & x_1 & x_2 \\\\ dots & x_n \\\\
\\ hline
P_I & P_1 & P_2 & \\ DOTS & P_N \\\\
\\ hline
\\ End (Array) $

Ejemplo 2. . Deje un valor aleatorio de $ X $: el número de gafas cayó al tomar un cubo jugando. Un valor aleatorio de $ x $ puede tomar los siguientes valores de $ 1, \\ 2, \\ 3, \\ 4, \\ 5, \\ 6 $. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $ 1/6 $. Luego la ley de distribución de la varianza aleatoria de $ X $

$ \\ comience (matriz) (| c | c |)
\\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hline

\\ hline
\\ End (Array) $

Comentario. Dado que la ley de distribución de los eventos de $ X $ X $ aleatorios discretos $ 1 \\ 2, \\ \\ dots, \\ $ 6 forman un grupo completo de eventos, la suma de las probabilidades debe ser igual a la unidad, es decir, $ \\ suma (P_I ) \u003d 1 $.

2. La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa matemática de una variable aleatoria. Especifica su valor "central". Para una variable aleatoria discreta, la espera matemática se calcula como la cantidad de los productos de los valores de $ X_1, \\ DOTS, \\ x_n $ a estos valores de la probabilidad de $ P_1, \\ DOTS, \\ P_N $ , es decir: $ m \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) $. En la literatura en inglés, use otra designación $ e \\ izquierda (x \\ derecha) $.

Propiedades de la expectativa matemática. $ M \\ izquierda (x \\ derecha) $:

1. $ M \\ izquierda (x \\ derecha) $ se concluye entre los valores más pequeños y los mayores valores de un valor aleatorio de $ x $.
2. La expectativa matemática de la constante es igual a la constante, es decir, $ M \\ izquierda (c \\ derecha) \u003d C $.
3. Se puede hacer un multiplicador permanente para un signo de expectativa matemática: $ m \\ izquierda (cx \\ derecha) \u003d cm \\ izquierda (x \\ derecha) $.
4. La expectativa matemática de la cantidad de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $ m \\ izquierda (x + y \\ derecha) \u003d m \\ izquierda (x \\ derecha) + m \\ izquierda (y \\ derecha) $.
5. La expectativa matemática del producto de las variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $ m \\ izquierda (xy \\ derecha) \u003d m \\ izquierda (x \\ derecha) m \\ izquierda (y \\ derecha) $.

Ejemplo 3. . Encontramos la expectativa matemática de una variable aleatoria de $ X $ desde un ejemplo de $ 2 $.

$$ m \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (P_IX_I) \u003d 1 \\ CDOT ((1) \\ Over (6)) + 2 \\ CDOT ((1) \\ Over (6) ) +3 \\ CDOT ((1) \\ Over (6)) + 4 \\ CDOT ((1) \\ Over (6)) + 5 \\ CDOT ((1) \\ Over (6)) + 6 \\ CDOT ((1 ) Sobre (6)) \u003d 3.5. $$

Podemos notar que $ M \\ izquierda (X \\ Derecha) $ se concluye entre los más pequeños ($ 1 $) y los más grandes ($ 6 $) por los valores de un valor aleatorio de $ x $.

Ejemplo 4. . Se sabe que la expectativa matemática de una variable aleatoria de $ x $ es $ m \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d $ 2. Encuentre una expectativa matemática de una variable aleatoria de $ 3x + $ 5.

Usando las propiedades anteriores, obtenga $ M \\ izquierda (3x + 5 \\ derecha) \u003d m \\ izquierda (3x \\ derecha) + m \\ izquierda (5 \\ derecha) \u003d 3 m \\ izquierda (x \\ derecha) + 5 \u003d 3 \\ CDOT 2 + 5 \u003d 11 $.

Ejemplo 5. . Se sabe que la expectativa matemática de una variable aleatoria de $ x $ está $ m \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d $ 4. Encuentre una expectativa matemática de una variedad aleatoria de $ 2x-9 $.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $ M \\ izquierda (2x-9 \\ derecha) \u003d m \\ izquierda (2x \\ derecha) -m \\ izquierda (9 \\ derecha) \u003d 2m \\ izquierda (x \\ derecha) -9 \u003d 2 \\ CDOT 4 -9 \u003d -1 $.

3. Dispersión de la variable aleatoria discreta.

Los posibles valores de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden diferir de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes, el puntaje promedio para el examen sobre la teoría de la probabilidad fue igual a 4, pero en el mismo grupo, todo resultó ser bueno, y en otro grupo, solo en un grupo y excelentes estudiantes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica tan numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de valores aleatorios alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Dispersión discreta variable aleatoria $ X $ igual:

$$ d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d \\ suma ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ izquierda (x_i-m \\ izquierda (x \\ derecha) \\ derecha)) ^ 2). \\ $$

En la literatura inglesa, las designaciones de $ V \\ a la izquierda (X \\ Derecha), \\ var \\ a la izquierda (x \\ derecha) se utilizan $. Muy a menudo, una dispersión $ d \\ izquierda (x \\ derecha) $ se calcula por la fórmula $ d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (P_IX ^ 2_i) - (\\ Izquierda (M \\ izquierda (x \\ derecha) \\ derecha)) ^ $ 2.

Propiedades de la dispersión. $ D \\ izquierda (x \\ derecha) $:

1. La dispersión es siempre mayor o igual a cero, es decir, $ D \\ izquierda (x \\ derecha) \\ ge 0 $.
2. La dispersión de la constante es cero, es decir,. $ D \\ izquierda (c \\ derecha) \u003d 0 $.
3. El multiplicador permanente se puede hacer para el signo de dispersión, sujeto a la construcción de ella en la plaza, es decir, $ D \\ izquierda (cx \\ derecha) \u003d c ^ 2d \\ izquierda (x \\ derecha) $.
4. La dispersión de la cantidad de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus dispersiones, es decir, $ D \\ izquierda (x + y \\ derecha) \u003d d \\ izquierda (x \\ derecha) + d \\ izquierda (y \\ derecha) $.
5. La dispersión de la diferencia de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus dispersiones, es decir, $ D \\ izquierda (x-y \\ derecha) \u003d d \\ izquierda (x \\ derecha) + d \\ izquierda (y \\ derecha) $.

Ejemplo 6. . Calculamos la dispersión del valor aleatorio de $ X $ desde un ejemplo de $ 2 $.

$$ d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (P_I (\\ I izquierda (X_I-M \\ izquierda (x \\ derecha) \\ derecha)) ^ 2) \u003d ((1) \\ sobre (6)) \\ CDOT (\\ IZQUIERDA (1-3.5 \\ Derecho)) ^ 2 + ((1) \\ Over (6)) \\ CDOT (\\ Izquierda (2-3.5 \\ Derecha)) ^ 2+ \\ Dots + ( (1) \\ Over (6)) \\ CDOT (\\ IZQUIERDA (6-3,5 \\ Derecha)) ^ 2 \u003d ((35) \\ Over (12)) \\ Aprox 2,92. $$

Ejemplo 7. . Se sabe que la dispersión de una variable aleatoria de $ x $ está $ d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d $ 2. Encuentre una dispersión de una variable aleatoria de $ 4x + $ 1.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $ d \\ izquierda (4x + 1 \\ derecha) \u003d d \\ izquierda (4x \\ derecha) + d \\ izquierda (1 \\ derecha) \u003d 4 ^ 2d \\ izquierda (x \\ derecha) + 0 \u003d 16D \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d 16 \\ CDOT 2 \u003d 32 $.

Ejemplo 8. . Se sabe que la dispersión de una variable aleatoria de $ x $ está $ d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d $ 3. Encuentre una dispersión de una variable aleatoria de $ 3-2x $.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $ d \\ izquierda (3-2x \\ derecha) \u003d d \\ izquierda (3 \\ derecha) + d \\ izquierda (2x \\ derecha) \u003d 0 + 2 ^ 2d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d 4d \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d 4 \\ CDOT 3 \u003d 12 $.

4. La función de distribución de la variable aleatoria discreta.

El método para representar una variable aleatoria discreta en forma de una cantidad de distribución no es la única, y la cosa principal no es universal, ya que el valor aleatorio continuo no se puede especificar utilizando una cantidad de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

Función de distribución El valor aleatorio de los $ x $ se llama la función de $ F \\ izquierda (x \\ derecha), que determina la probabilidad de que el valor aleatorio de $ x $ tomará un valor menor que un valor fijo de $ x $, es decir, , $ F \\ izquierda (x \\ derecha) \u003d p \\ izquierda (x< x\right)$

Propiedades de la función de distribución.:

1. $ 0 \\ le f \\ izquierda (x \\ derecha) \\ le $ 1.
2. La probabilidad de que un valor aleatorio de $ x $ tome valores del intervalo de $ \\ izquierda (\\ alfa; \\ \\ beta \\ derecha) $, igual a la diferencia de los valores de la función de distribución en los extremos de Este intervalo: $ P \\ Izquierda (\\ Alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \\ izquierda (x \\ derecha) $ es inconsiderado.
4. $ (\\ Mathop (LIM) _ (X \\ a - \\ INFTY) F \\ Izquierda (X \\ Derecha) \u003d 0 \\), \\ (\\ Mathop (LIM) _ (X \\ a + \\ INFTY) F \\ izquierda (x \\ Derecha) \u003d 1 \\) $.

Ejemplo 9. . Encuentre la función de distribución $ F \\ izquierda (x \\ derecha) $ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta de $ x $ desde un ejemplo de $ 2 $.

$ \\ comience (matriz) (| c | c |)
\\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\\ hline
\\ End (Array) $

Si $ X \\ Le $ 1 $, entonces, obviamente, $ F \\ a la izquierda (x \\ derecha) \u003d 0 $ (incluyendo a $ x \u003d 1 $ f \\ izquierda (1 \\ derecha) \u003d p \\ izquierda (x< 1\right)=0$).

Si $ 1.< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si $ 2.< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si $ 3.< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si $ 4.< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si $ 5.< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $ x\u003e $ 6, luego $ F \\ a la izquierda (x \\ derecha) \u003d P \\ izquierda (x \u003d 1 \\ derecha) + p \\ izquierda (x \u003d 2 \\ derecha) + p \\ izquierda (x \u003d 3 \\ derecha) + P \\ izquierda (x \u003d 4 \\ derecha) + p \\ izquierda (x \u003d 5 \\ derecha) + p \\ izquierda (x \u003d 6 \\ derecha) \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

Entonces, $ F (x) \u003d \\ IZQUIERDO \\ (\\ Begin (Matrix)
0, \\ con \\ x \\ le 1, \\\\
1/6, en \\ 1< x\le 2,\\
1/3, \\ con \\ 2< x\le 3,\\
1/2, en \\ 3< x\le 4,\\
2/3, \\ con \\ 4< x\le 5,\\
5/6, \\ con \\ 4< x\le 5,\\
1, \\ con \\ x\u003e 6.
\\ End (Matrix) \\ Derecha. $