Mediana de un triángulo. Teoremas relacionados con las medianas de un triángulo

Para encontrar la mediana usando los lados de un triángulo, no es necesario recordar ninguna fórmula adicional. Basta con conocer el algoritmo de solución.

Primero, veamos el problema en forma general.

Dado un triángulo de lados a, b, c. Encuentra la longitud de la mediana dibujada hacia el lado b.

AB=a, AC=b, BC=c.

En el rayo BF trazamos el segmento FD, FD=BF.

Conectemos el punto D con los puntos A y C.

El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo (por atributo), ya que sus diagonales en el punto de intersección se dividen por la mitad.

Propiedad de las diagonales de un paralelogramo: la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados.

Por lo tanto: AC²+BD²=2(AB²+BC²), lo que significa b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Por construcción, BF es la mitad de BD, por lo tanto

Esta es la fórmula para encontrar la mediana de un triángulo basándose en sus lados. Suele escribirse así:

Pasemos a considerar una tarea específica.

Los lados del triángulo miden 13 cm, 14 cm y 15 cm Encuentra la mediana del triángulo dibujado a su lado de longitud promedio.

Aplicando un razonamiento similar, obtenemos:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+HA²=2(13²+15²)

Una mediana es un segmento trazado desde el vértice de un triángulo hasta la mitad del lado opuesto, es decir, lo divide por la mitad en el punto de intersección. El punto en el que la mediana corta al lado opuesto al vértice del que emerge se llama base. Cada mediana del triángulo pasa por un punto, llamado punto de intersección. La fórmula para su longitud se puede expresar de varias formas.

Fórmulas para expresar la longitud de la mediana.

• A menudo, en los problemas de geometría, los estudiantes tienen que lidiar con un segmento como la mediana de un triángulo. La fórmula para su longitud se expresa en términos de lados:

donde a, b y c son los lados. Además, c es el lado en el que cae la mediana. Así es la fórmula más sencilla. A veces se requieren medianas de un triángulo para cálculos auxiliares. Hay otras fórmulas.

• Si durante el cálculo se conocen dos lados de un triángulo y un cierto ángulo α ubicado entre ellos, entonces la longitud de la mediana del triángulo, bajada al tercer lado, se expresará de la siguiente manera.

Propiedades básicas

• Todas las medianas tienen un punto de intersección común O y se dividen por él en una proporción de dos a uno, si se cuentan desde el vértice. Este punto se llama centro de gravedad del triángulo.
• La mediana divide el triángulo en otros dos cuyas áreas son iguales. Estos triángulos se llaman de áreas iguales.
• Si dibujas todas las medianas, el triángulo quedará dividido en 6 figuras iguales, que también serán triángulos.
• Si los tres lados de un triángulo son iguales, entonces cada una de las medianas será también una altura y una bisectriz, es decir, perpendicular al lado por el que se dibuja, y biseca el ángulo del que emerge.
• En un triángulo isósceles, la mediana trazada desde el vértice que está opuesto al lado que no es igual a ningún otro también será la altura y la bisectriz. Las medianas caídas de otros vértices son iguales. Esta también es una condición necesaria y suficiente para los isósceles.
• Si un triángulo es la base de una pirámide regular, entonces la altura caída hasta esta base se proyecta hasta el punto de intersección de todas las medianas.

• En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hacia el lado más largo es igual a la mitad de su longitud.
• Sea O el punto de intersección de las medianas del triángulo. La siguiente fórmula será válida para cualquier punto M.

• La mediana de un triángulo tiene otra propiedad. A continuación se presenta la fórmula para el cuadrado de su longitud a través de los cuadrados de los lados.

Propiedades de los lados hacia los que se dibuja la mediana

• Si conecta dos puntos de intersección de las medianas con los lados en los que se caen, entonces el segmento resultante será la línea media del triángulo y será la mitad del lado del triángulo con el que no tiene puntos en común.
• Las bases de las altitudes y las medianas de un triángulo, así como los puntos medios de los segmentos que conectan los vértices del triángulo con el punto de intersección de las altitudes, se encuentran en el mismo círculo.

En conclusión, es lógico decir que uno de los segmentos más importantes es la mediana del triángulo. Su fórmula se puede utilizar para encontrar las longitudes de sus otros lados.

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Esta página está dedicada a un recurso de información bastante común: la descripción y el cálculo del área de un triángulo arbitrario. La diferencia con otros recursos es el cálculo del área en línea, directamente en el proceso de lectura del artículo.

Área a través de la altura y la base.

Esta es la fórmula más fácil de recordar. En palabras, esta fórmula suena así: El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base del triángulo por su altura.

En el caso de un triángulo rectángulo, esta expresión adquiere un significado aún más simple: El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de dos lados

área a través de los lados del triángulo

El área de un triángulo expresada a través de sus lados se conoce desde hace mucho tiempo; aparece en libros que datan del siglo I a.C.

Esta fórmula se puede expresar de diferentes formas, afortunadamente, las fórmulas para calcular los parámetros de un triángulo son suficientes.

Pero si tratamos de pensar en términos de los tiempos anteriores a nuestra era, cuando en la representación moderna no había fórmulas, no había variables ni signos de raíz, entonces el único axioma sobre la base del cual Heron creó su fórmula fue el teorema de Pitágoras. . Y como en aquellos días aún no se conocían los números irracionales y los científicos tenían una visión bastante escéptica de los números negativos, entonces se utilizaban números enteros para pensar.

La prueba en sí no estará aquí; Heron simplemente supuso que completó un triángulo pitagórico arbitrario hasta convertirlo en un rectángulo, calculó su área y lo dividió por dos.

Área a través de coordenadas de vértice

Cuando se conocen las coordenadas de los vértices del triángulo, la fórmula del área se puede expresar de la siguiente manera:

El determinante de tercer orden se expande fácilmente y, por lo tanto, calcular el área incluso en modo manual no causará ninguna dificultad.

Área entre dos lados y el ángulo entre ellos.

Área a través de un lado y dos ángulos.

Esta es una tarea poco común, pero también calculamos una fórmula para esos datos iniciales. Un lector atento ve inmediatamente el "error". El título dice que el área se determina a través de un lado y dos ángulos, es decir, a través de tres variables, y las cuatro están presentes en la fórmula. ¿Cómo es eso?

De hecho, no hay error, conociendo uno de los axiomas básicos del triángulo, que dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre (!!) igual a 180 grados

Por tanto, no hay nada difícil, conociendo dos ángulos de un triángulo, descubrir el tercero.

Área a través de las medianas de un triángulo.

Es una fórmula hermosa, ¿no?

Que contiene este segmento. El punto de intersección de la mediana con el lado del triángulo se llama base de la mediana.

• También puedes introducir el concepto. mediana exterior triángulo.

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✪ MEDIANAS de bisectrices y ALTITUDES de un triángulo - grado 7

✪ Mediana de un triángulo. Construcción. Propiedades.

✪ bisectriz, mediana, altitud de un triángulo. Geometria 7mo grado

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Propiedades

Propiedad principal

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto, que se llama centroide o centro de gravedad del triángulo, y son divididas por este punto en dos partes en una proporción de 2:1, contando desde el vértice.

Propiedades de las medianas de un triángulo isósceles

• En un triángulo isósceles, dos medianas trazadas hacia lados iguales del triángulo son iguales y la tercera mediana es a la vez una bisectriz y una altitud.
• Lo contrario también es cierto: si dos medianas en un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles y la tercera mediana es a la vez una bisectriz y la altura del ángulo en su vértice.
• En un triángulo equilátero las tres medianas son iguales.

Propiedades de las bases medianas.

• Teorema de Euler para una circunferencia de nueve puntos: las bases de las tres altitudes de un triángulo arbitrario, los puntos medios de sus tres lados ( bases de sus medianas) y los puntos medios de tres segmentos que conectan sus vértices con el ortocentro, todos se encuentran en el mismo círculo (el llamado círculo de nueve puntos).
• Un segmento dibujado a través jardines dos medianas cualesquiera de un triángulo son sus línea media. La línea media de un triángulo es siempre paralela al lado del triángulo con el que no tiene puntos comunes.
  • Corolario (teorema de Tales sobre paralelo segmentos). La línea media de un triángulo es igual a la mitad de la longitud del lado del triángulo al que es paralela.

Otras propiedades

• si un triangulo versátil (escaleno), entonces su bisectriz extraída de cualquier vértice se encuentra entre la mediana y la altura extraída del mismo vértice.
• La mediana divide el triángulo en dos triángulos iguales (en área).
• Un triángulo se divide por tres medianas en seis triángulos iguales.
• A partir de los segmentos que forman las medianas, puedes hacer un triángulo, cuyo área será igual a 3/4 de todo el triángulo. Las longitudes medianas satisfacen la desigualdad del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice con el ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
• El lado mayor del triángulo corresponde a la mediana menor.
• Segmento recto, simétrico o conjugar isogonalmente la mediana interna con respecto a la bisectriz interna se llama simediana del triángulo. Tres simedianos pasar por un punto - El punto de Lemoine.
• Mediana de un ángulo de un triángulo conjugado isotómicamente a mí mismo.

Relaciones básicas

En particular, la suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo arbitrario es 3/4 de la suma de los cuadrados de sus lados: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• Por el contrario, puedes expresar la longitud de un lado arbitrario de un triángulo en términos de medianas: