Introducción

Las curvas de segundo orden fueron estudiadas por primera vez por uno de los alumnos de Platón. Su trabajo fue el siguiente: si tomas dos líneas rectas que se cruzan y las giras alrededor de la bisectriz del ángulo formado por ellas, obtendrás una superficie cónica. Si cortamos esta superficie con un plano, entonces la sección produce varias figuras geométricas, a saber, una elipse, un círculo, una parábola, una hipérbola y varias figuras degeneradas.

Sin embargo, este conocimiento científico encontró aplicación solo en el siglo XVII, cuando se supo que los planetas se mueven a lo largo de trayectorias elípticas y un proyectil de cañón vuela a lo largo de una trayectoria parabólica. Incluso más tarde, se supo que si a un cuerpo se le da la primera velocidad cósmica, se moverá en círculo alrededor de la Tierra, si esta velocidad aumenta, se moverá en una elipse, y al alcanzar la segunda velocidad cósmica, el cuerpo se Deja el campo gravitacional de la Tierra en una parábola.

Elipse y su ecuación

Definición 1. Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias desde cada uno de los cuales a dos puntos dados, llamados focos, es un valor constante.

Los focos de la elipse se indican con las letras y, la distancia entre los focos es pasante y la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es pasante. Además, 2a > 2c.

La ecuación canónica de una elipse tiene la forma:

donde están relacionados por la igualdad a 2 + b 2 = c 2 (o b 2 - a 2 = c 2).

La cantidad se llama eje mayor y eje menor de la elipse.

Definición 2. Excentricidad Una elipse es la relación entre la distancia entre los focos y la longitud del eje mayor.

Indicado por una letra.

Dado que por definición 2a>2c, la excentricidad siempre se expresa como una fracción propia, es decir .

Se puede demostrar (no lo hacemos) que la ecuación (2) es equivalente a la ecuación (1), aunque se deriva de (1) por no equivalente transformaciones. Esto significa que la ecuación (2) es la ecuación de esta elipse. Se llama canónico(es decir, el más simple).

Se puede ver que la ecuación de la elipse es una ecuación de segundo orden, es decir Línea elipse de segundo orden.

Para una elipse introducimos el concepto. excentricidad. Esta es la cantidad. Para una elipse, la excentricidad es . Porque Con Y A conocido, luego también conocido. La expresión para los radios focales del punto M(x, y) de la elipse se obtiene fácilmente a partir de los argumentos anteriores: . r 2 se encontrará a partir de la igualdad (3)

Comentario Si clava dos clavos (F1 y F2) en la mesa, ate una cuerda en ambos extremos, cuya longitud sea mayor que la distancia entre los clavos ( 2a), tira de la cuerda y dibuja un trozo de tiza a lo largo de la mesa, luego dibujará una curva de elipse cerrada que es simétrica con respecto a ambos ejes y al origen.

4. Estudio de la forma de una elipse mediante su ecuación canónica.

En la observación, por razones de claridad, concluimos sobre la forma de la elipse. Estudiemos ahora la forma de la elipse analizando su ecuación canónica:

Encontremos los puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Si ,y=0, entonces , , es decir tenemos dos puntos A1(-a,0) y A2(a,0). Si x=0, entonces , . Aquellos. tenemos dos puntos B1(0,-b) y B2(0,b) (ya que , entonces ). Los puntos A1, A2, B1, B2 se denominan vértices de la elipse.

2) El área de ubicación de la elipse se puede determinar a partir de las siguientes consideraciones:

a) de la ecuación de la elipse se deduce que, es decir , es decir. o .

b) de manera similar, es decir o . Esto muestra que toda la elipse está ubicada en el rectángulo formado por las líneas y .

3) Además, las variables xey entran en la ecuación de la elipse solo en potencias pares, lo que significa que la curva es simétrica con respecto a cada uno de los ejes y con respecto al origen. D-pero, si un punto (x, y) pertenece al radio, entonces los puntos (x, -y), (-x, y) y (-x, -y) también pertenecen a él. Por tanto, basta con considerar sólo la parte de la elipse que se encuentra en el primer cuarto, donde y .

4) De la ecuación de la elipse tenemos , y en el primer cuarto . Si x=0, entonces y=b. Este es el punto B2(0,b). Sea x aumentar de 0 a a, luego y disminuye de b a 0. Así, el punto M(x, y), partiendo del punto B2(0, b) que describe un arco, llega al punto A(a,0). Se puede demostrar estrictamente que el arco está dirigido de manera convexa hacia arriba. Al reflejar este arco en los ejes de coordenadas y el origen, obtenemos la elipse completa. Los ejes de simetría de una elipse se llaman ejes; el punto O de su intersección es el centro de la elipse. La longitud de los segmentos OA1=OA2=a se llama semieje mayor de la elipse, los segmentos OB1, OB2=b son el semieje menor de la elipse, (a>b), c es el semieje distancia. La magnitud es fácil de explicar geométricamente.

Cuando a=b obtenemos de la ecuación canónica de la elipse la ecuación de un círculo. Para un círculo, es decir F1=F2=0. .

Por tanto, un círculo es un caso especial de elipse, cuando sus focos coinciden con el centro y la excentricidad = 0. Cuanto mayor es la excentricidad, más alargada es la elipse.

Comentario. De la ecuación canónica de la elipse es fácil concluir que la elipse se puede especificar en forma paramétrica. x=a cos t

y=b sen t, donde a, b son los semiejes mayor y menor, ángulo t.

5. Definición y derivación de la ecuación de hipérbola canónica.

Hipérbole llamados planos HMT, para los cuales la diferencia de distancias desde dos puntos fijos F1F2 del plano, llamados focos, es un valor constante (no igual a 0 y menor que la distancia focal F1F2).

Denotaremos, como antes, F1F2 = 2c, y la diferencia de distancias es 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Sea M (x,y) el punto actual de la hipérbola. Por definición MF1-MF2= o r 1 -r 2 = = o --(1). – esta es la ecuación de una hipérbola.

Nos deshacemos de la irracionalidad en (1): aislamos una raíz, elevamos ambas partes al cuadrado, obtenemos: o, elevamos al cuadrado nuevamente:

Dónde .

Dividido por . Introduzcamos la designación. Entonces --(2). La ecuación (2), como se puede demostrar, es equivalente a la ecuación (1), y por tanto es la ecuación de una hipérbola dada. El es llamado la ecuación canónica de una hipérbola. Vemos que la ecuación de la hipérbola también es de segundo grado, lo que significa línea hipérbola de segundo orden.

Excentricidad de una hipérbola. La expresión para radios focales pasantes es fácil de obtener de la anterior, luego la encontramos en .

6. Estudio de la forma de una hipérbola mediante su ecuación canónica.

Razonamos de la misma forma que cuando estudiamos una elipse.

1. Encuentra los puntos de intersección con los ejes de la hipérbola. Si x=0, entonces. No hay puntos de intersección con el eje del amplificador operacional. Si y=0, entonces. Puntos de intersección , . Ellos se llaman vértices de la hipérbola.

2. Área de ubicación de la hipérbola: , es decir o . Esto significa que la hipérbola se encuentra fuera de la franja delimitada por líneas rectas. x=-a Y x=un.

3. La hipérbola tiene todo tipo de simetría, porque xey ocurren en potencias pares. Por tanto, basta considerar aquella parte de la hipérbola que se sitúa en el primer cuarto.

4. De la ecuación de la hipérbola (2) en el primer trimestre tenemos . Para x=a, y=0 tenemos el punto ; un lazo. la curva sube hacia la derecha. Para imaginar el movimiento más claramente, considere dos líneas auxiliares que pasan por el origen de coordenadas y son las diagonales de un rectángulo con lados 2a y 2b: BCB'C'. Tienen ecuaciones y . Demostremos que el punto actual de la hipérbola M(x,y) llega al infinito y se acerca a la recta sin límite. Tomemos un punto arbitrario. X y comparar las ordenadas correspondientes del punto de la hipérbola y la recta. Es obvio que Y>y. MN=Y-y= .

Vemos eso cuando, es decir. la curva se acerca indefinidamente a la recta a medida que se aleja del origen. Esto prueba que la recta es una asíntota de la hipérbola. Además, la hipérbola no corta a la asíntota. Esto es suficiente para construir parte de la hipérbola. Está mirando convexamente hacia arriba. Las partes restantes se completan en simetría. Tenga en cuenta que los ejes de simetría de una hipérbola (ejes de coordenadas) se llaman ejes, el punto de intersección de los ejes- centro hipérbole. Un eje corta la hipérbola (eje real), el otro no (imaginario). Segmento de línea A llamado semieje real, el segmento b- semieje imaginario. El rectángulo BCB'C' se llama rectángulo básico de la hipérbola.

Si a=b, entonces las asíntotas forman ángulos con los ejes de coordenadas a lo largo de . Entonces la hipérbole se llama equilátero o equilátero. El rectángulo principal se convierte en un cuadrado. Sus asíntotas son perpendiculares entre sí.

Comentario.

A veces consideramos una hipérbola cuya ecuación canónica es (3). la llaman conjugado en relación con la hipérbole (2). La hipérbola (3) tiene un eje real que es vertical y un eje imaginario que es horizontal. Su apariencia se establece inmediatamente si reorganizas X Y en, A Y b(vuelve a ser la misma de antes). Pero entonces la hipérbola (3) tiene la forma:

Habla.

5.Como ya se indicó, la ecuación de una hipérbola equilátera ( a=b), cuando los ejes de coordenadas coinciden con los ejes de la hipérbola, tiene la forma . (4)

Porque las asíntotas de una hipérbola equilátera son perpendiculares, entonces también se pueden tomar como ejes de coordenadas OX 1 y OU 1. Esto equivale a girar un ángulo el sistema OXY anterior. Las fórmulas de rotación del ángulo son las siguientes:

Luego, en el nuevo sistema de coordenadas OX 1 Y 1 se reescribirá la ecuación (4):

O o . Denotando , obtenemos o (5): esta es la ecuación hipérbola equilátera, clasificadas como asíntotas (era este tipo de hipérbola el que se consideraba en la escuela).

Comentario: De la ecuación se deduce que el área de cualquier rectángulo construido sobre las coordenadas de cualquier punto de la hipérbola M(x,y) es la misma: S= k 2 .

7. Definición y derivación de la ecuación canónica de una parábola.

Parábola se llama GMT del avión, para cada uno de los cuales la distancia desde un punto fijo F del avión, llamado enfocar, es igual a la distancia desde una línea recta fija llamada directora(enfoque fuera de la directora).

Denotaremos la distancia de F a la directriz por p y la llamaremos parámetro de la parábola. Elijamos el sistema de coordenadas de la siguiente manera: dibuje el eje OX que pasa por el punto F perpendicular a la directriz NP. Elijamos el origen de coordenadas en el medio del segmento FP.

En este sistema: .

Tomemos un punto arbitrario M(x,y) con coordenadas actuales (x,y). Es por eso

Por tanto (1) es la ecuación de la parábola. Simplifiquemos:

O (2) - esto es todo ecuación canónica de una parábola. Se puede demostrar que (1) y (2) son equivalentes.

La ecuación (2) es una ecuación de segundo orden, es decir la parábola es una recta de segundo orden.

8. Estudio de la forma de una parábola mediante su ecuación canónica.

(p>0).

1) x=0, y=0 la parábola pasa por el origen del punto de coordenadas O. Se llama vértice de la parábola.

2), es decir la parábola está ubicada a la derecha del eje del amplificador operacional, en el semiplano derecho.

3) en está incluido en grado par, por lo tanto la parábola es simétrica con respecto al eje OX, por lo tanto, basta con construirla en el primer cuarto.

4) en el 1er trimestre a las , es decir la parábola sube hacia la derecha. Se puede demostrar que la convexidad es hacia arriba. Construimos en la parte inferior según simetría. El eje OU es tangente a la parábola.

Obviamente, el radio focal es. La relación se llama excentricidad: . El eje de simetría de una parábola (en nuestro caso OX) se llama eje de la parábola.

Tenga en cuenta que la ecuación también es una parábola, pero dirigida en la dirección opuesta. Las ecuaciones también definen parábolas, cuyo eje es el eje del amplificador operacional.

o en una forma más familiar, donde.

La ecuación define una parábola ordinaria con un vértice desplazado.

Notas. 1) Existe una estrecha relación entre las cuatro líneas de segundo orden: todas son secciones cónicas. Si tomamos un cono de dos cavidades, entonces cuando lo cortamos con un plano perpendicular al eje del cono obtenemos un círculo, si inclinamos ligeramente el plano de sección obtenemos una elipse; si el plano es paralelo a la generatriz, entonces la sección es una parábola, si el plano corta a ambas

Cavidades-hipérbola.

2) Se puede demostrar que si un rayo de luz procedente del foco de una parábola se refleja en él, entonces el rayo reflejado va paralelo al eje de la parábola (esto se utiliza en la acción de los focos), un reflector parabólico, y en el foco, una fuente de luz. Esto da como resultado un flujo de luz dirigido.

3) Si imaginamos el lanzamiento de un satélite terrestre desde el punto T que se encuentra fuera de la atmósfera en dirección horizontal, entonces si la velocidad inicial v 0 es insuficiente, entonces el satélite no girará alrededor de la Tierra. Al alcanzar la velocidad de escape 1, el satélite girará alrededor de la Tierra en una órbita circular con su centro en el centro de la Tierra. Si se aumenta la velocidad inicial, la rotación se producirá a lo largo de una elipse y el centro de la Tierra estará en uno de los focos. Al alcanzar la 2ª velocidad de escape, la trayectoria se volverá parabólica y el satélite no regresará al punto T, sino que estará dentro del Sistema Solar. Aquellos. Una parábola es una elipse con un foco en el infinito. Con un mayor aumento de la velocidad inicial, la trayectoria se volverá hiperbólica y aparecerá un segundo foco en el otro lado. El centro de la Tierra siempre estará en el foco de la órbita. El satélite abandonará el sistema solar.

Conferencias sobre álgebra y geometría. Semestre 1.

Conferencia 15. Elipse.

Capítulo 15. Elipse.

cláusula 1. Definiciones basicas.

Definición. Una elipse es el GMT de un avión, la suma de las distancias a dos puntos fijos del avión, llamados focos, es un valor constante.

Definición. La distancia desde un punto arbitrario M del plano hasta el foco de la elipse se llama radio focal del punto M.

Designaciones:
– focos de la elipse,
– radios focales del punto M.

Según la definición de elipse, un punto M es un punto de una elipse si y sólo si
- valor constante. Esta constante suele denotarse como 2a:

. (1)

Darse cuenta de
.

Por definición de elipse, sus focos son puntos fijos, por lo que la distancia entre ellos también es un valor constante para una elipse dada.

Definición. La distancia entre los focos de la elipse se llama distancia focal.

Designación:
.

De un triangulo
sigue eso
, es decir.

.

Denotemos por b el número igual a
, es decir.

. (2)

Definición. Actitud

(3)

se llama excentricidad de la elipse.

Introduzcamos un sistema de coordenadas en este plano, que llamaremos canónico para la elipse.

Definición. El eje sobre el que se encuentran los focos de la elipse se llama eje focal.

Construyamos un PDSC canónico para la elipse, consulte la Fig. 2.

Seleccionamos el eje focal como eje de abscisas y dibujamos el eje de ordenadas que pasa por el centro del segmento.
perpendicular al eje focal.

Entonces los focos tienen coordenadas.
,
.

cláusula 2. Ecuación canónica de una elipse.

Teorema. En el sistema de coordenadas canónico de una elipse, la ecuación de la elipse tiene la forma:

. (4)

Prueba. Realizamos la prueba en dos etapas. En la primera etapa, demostraremos que las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en la elipse satisfacen la ecuación (4). En la segunda etapa demostraremos que cualquier solución a la ecuación (4) da las coordenadas de un punto que se encuentra en la elipse. De aquí se deduce que la ecuación (4) se satisface con aquellos y sólo aquellos puntos del plano de coordenadas que se encuentran en la elipse. De esto y de la definición de la ecuación de una curva se deduce que la ecuación (4) es una ecuación de una elipse.

1) Sea el punto M(x, y) un punto de la elipse, es decir la suma de sus radios focales es 2a:

.

Usemos la fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas y usemos esta fórmula para encontrar los radios focales de un punto dado M:

,
, de donde obtenemos:

Movamos una raíz al lado derecho de la igualdad y la elevamos al cuadrado:

Reduciendo obtenemos:

Presentamos otros similares, reducimos a 4 y eliminamos el radical:

.

cuadratura

Abra los corchetes y acorte
:

donde obtenemos:

Usando la igualdad (2), obtenemos:

.

Dividiendo la última igualdad por
, obtenemos igualdad (4), etc.

2) Sea ahora un par de números (x, y) que satisfagan la ecuación (4) y sea M(x, y) el punto correspondiente en el plano coordenado Oxy.

Luego de (4) se sigue:

.

Sustituimos esta igualdad en la expresión de los radios focales del punto M:

.

Aquí usamos la igualdad (2) y (3).

De este modo,
. Asimismo,
.

Ahora observe que de la igualdad (4) se sigue que

o
etc.
, entonces la desigualdad sigue:

.

De aquí se deduce, a su vez, que

o
Y

,
. (5)

De las igualdades (5) se deduce que
, es decir. el punto M(x, y) es un punto de la elipse, etc.

El teorema ha sido demostrado.

Definición. La ecuación (4) se llama ecuación canónica de la elipse.

Definición. Los ejes de coordenadas canónicos de una elipse se denominan ejes principales de la elipse.

Definición. El origen del sistema de coordenadas canónico de una elipse se llama centro de la elipse.

cláusula 3. Propiedades de la elipse.

Teorema. (Propiedades de una elipse).

1. En el sistema de coordenadas canónico de una elipse, todo

los puntos de la elipse están en el rectángulo

,
.

2. Los puntos se encuentran en

3. Una elipse es una curva que es simétrica con respecto a

sus ejes principales.

4. El centro de la elipse es su centro de simetría.

Prueba. 1, 2) Se sigue inmediatamente de la ecuación canónica de la elipse.

3, 4) Sea M(x, y) un punto arbitrario de la elipse. Entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (4). Pero entonces las coordenadas de los puntos también satisfacen la ecuación (4) y, por tanto, son puntos de la elipse, de donde se derivan los enunciados del teorema.

El teorema ha sido demostrado.

Definición. La cantidad 2a se llama eje mayor de la elipse, la cantidad a se llama semieje mayor de la elipse.

Definición. La cantidad 2b se llama eje menor de la elipse, la cantidad b se llama semieje menor de la elipse.

Definición. Los puntos de intersección de una elipse con sus ejes principales se denominan vértices de la elipse.

Comentario. Una elipse se puede construir de la siguiente manera. En el avión, "clavamos un clavo en los puntos focales" y les sujetamos un trozo de hilo.
. Luego cogemos un lápiz y lo utilizamos para estirar el hilo. Luego movemos la mina del lápiz a lo largo del plano, asegurándonos de que el hilo quede tenso.

De la definición de excentricidad se deduce que

Fijemos el número a y dirijamos el número c a cero. Entonces en
,
Y
. En el límite llegamos

o
– ecuación de un círculo.

Dirigámonos ahora
. Entonces
,
y vemos que en el límite la elipse degenera en un segmento de recta
en la notación de la Figura 3.

cláusula 4. Ecuaciones paramétricas de la elipse.

Teorema. Dejar
– números reales arbitrarios. Entonces el sistema de ecuaciones

,
(6)

son ecuaciones paramétricas de una elipse en el sistema de coordenadas canónico de la elipse.

Prueba. Basta demostrar que el sistema de ecuaciones (6) es equivalente a la ecuación (4), es decir tienen el mismo conjunto de soluciones.

1) Sea (x, y) una solución arbitraria del sistema (6). Divide la primera ecuación por a, la segunda por b, eleva al cuadrado ambas ecuaciones y suma:

.

Aquellos. cualquier solución (x, y) del sistema (6) satisface la ecuación (4).

2) Por el contrario, sea el par (x, y) una solución de la ecuación (4), es decir

.

De esta igualdad se deduce que el punto con coordenadas
se encuentra en un círculo de radio unitario con centro en el origen, es decir es un punto en un círculo trigonométrico al que corresponde un cierto ángulo
:

De la definición de seno y coseno se deduce inmediatamente que

,
, Dónde
, de lo que se deduce que el par (x, y) es una solución al sistema (6), etc.

El teorema ha sido demostrado.

Comentario. Se puede obtener una elipse como resultado de una "compresión" uniforme de un círculo de radio a hacia el eje de abscisas.

Dejar
– ecuación de una circunferencia con centro en el origen. La “compresión” de un círculo al eje de abscisas no es más que una transformación del plano coordenado, realizada según la siguiente regla. A cada punto M(x, y) le asociamos un punto en el mismo plano
, Dónde
,
- índice de compresión.

Con esta transformación, cada punto del círculo "hace una transición" a otro punto del plano, que tiene la misma abscisa, pero una ordenada más pequeña. Expresemos la ordenada antigua de un punto a través de la nueva:

y sustituimos círculos en la ecuación:

.

De aquí obtenemos:

. (7)

De esto se deduce que si antes de la transformación de "compresión" el punto M(x, y) estaba en el círculo, es decir sus coordenadas satisfacían la ecuación del círculo, luego después de la transformación de "compresión" este punto se "transformó" en el punto
, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de elipse (7). Si queremos obtener la ecuación de una elipse con semieje menor b, entonces debemos tomar el factor de compresión.

.

cláusula 5. Tangente a una elipse.

Teorema. Dejar
– punto arbitrario de la elipse

.

Entonces la ecuación de la tangente a esta elipse en el punto
tiene la forma:

. (8)

Prueba. Basta considerar el caso en el que el punto de tangencia se encuentra en el primer o segundo cuarto del plano de coordenadas:
. La ecuación de la elipse en el semiplano superior tiene la forma:

. (9)

Usemos la ecuación tangente a la gráfica de la función.
en el punto
:

Dónde
– el valor de la derivada de una función dada en un punto
. La elipse en el primer cuarto se puede considerar como una gráfica de la función (8). Encontremos su derivada y su valor en el punto de tangencia:

,

. Aquí aprovechamos el hecho de que el punto tangente
es un punto de la elipse y por lo tanto sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse (9), es decir

.

Sustituimos el valor encontrado de la derivada en la ecuación tangente (10):

,

donde obtenemos:

Esto implica:

Dividamos esta igualdad por
:

.

Queda por señalar que
, porque punto
pertenece a la elipse y sus coordenadas satisfacen su ecuación.

La ecuación tangente (8) se demuestra de manera similar en el punto de tangencia que se encuentra en el tercer o cuarto cuarto del plano de coordenadas.

Y finalmente, podemos verificar fácilmente que la ecuación (8) da la ecuación tangente en los puntos
,
:

o
, Y
o
.

El teorema ha sido demostrado.

cláusula 6. Propiedad especular de una elipse.

Teorema. La tangente a la elipse tiene ángulos iguales con los radios focales del punto de tangencia.

Dejar
- punto de contacto,
,
son los radios focales del punto de tangencia, P y Q son las proyecciones de los focos sobre la tangente trazada a la elipse en el punto
.

El teorema establece que

. (11)

Esta igualdad puede interpretarse como la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión de un rayo de luz desde una elipse liberada de su foco. Esta propiedad se llama propiedad especular de la elipse:

Un rayo de luz liberado desde el foco de la elipse, después de reflejarse en el espejo de la elipse, pasa a través de otro foco de la elipse.

Prueba del teorema. Para demostrar la igualdad de los ángulos (11), demostramos la similitud de los triángulos.
Y
, en el que las partes
Y
será similar. Como los triángulos son rectángulos, basta con demostrar la igualdad.

. (12)

Desde por construcción
– distancia del foco a la tangente L (ver Fig. 7),
. Usemos la fórmula para la distancia de un punto a una recta en un plano:

Dado que la ecuación de la tangente a la elipse en el punto
parece

,

,

.

Aquí utilizamos las fórmulas (5) para los radios focales del punto de elipse.

El teorema ha sido demostrado.

Segunda prueba del teorema:

,
,
es el vector normal de la tangente L.

. De aquí,
.

De manera similar encontramos,
Y
, etc.

cláusula 7. Directrices de una elipse.

Definición. Las directrices de una elipse son dos rectas, que en el sistema de coordenadas canónico de la elipse tienen las ecuaciones

o
. (13)

Teorema. Sea M un punto arbitrario de la elipse, , – sus radios focales, – distancia desde el punto M a la directriz izquierda, - A la derecha. Entonces

, (14)

Dónde – excentricidad de la elipse.

Prueba.

Sean M(x, y) las coordenadas de un punto arbitrario de la elipse. Entonces

,
,

de donde se siguen las igualdades (14).

El teorema ha sido demostrado.

cláusula 8. Parámetro focal de la elipse.

Definición. El parámetro focal de una elipse es la longitud de la perpendicular restaurada en su foco antes de cruzar la elipse.

El parámetro focal suele denotarse con la letra p.

De la definición se deduce que el parámetro focal

.

Teorema. El parámetro focal de la elipse es igual a

. (15)

Prueba. Dado que el punto N(–с; р) es un punto de la elipse
, entonces sus coordenadas satisfacen su ecuación:

.

Desde aquí encontramos

,

de donde se sigue (15).

El teorema ha sido demostrado.

cláusula 9. Segunda definición de elipse.

Teorema de la cláusula 7. puede servir como definición de elipse.

Definición. Una elipse es una GMT para la cual la relación entre la distancia a un punto fijo del plano, llamado foco, y la distancia a una línea recta fija, llamada directriz, es un valor constante menor que la unidad y se llama excentricidad:

.

Por supuesto, en este caso, la primera definición de eoips es un teorema que debe demostrarse.

Definición 7.1. El conjunto de todos los puntos del plano para los cuales la suma de las distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 es un valor constante dado se llama elipse.

La definición de elipse da el siguiente método de construcción geométrica. Fijamos dos puntos F 1 y F 2 en el plano y denotamos un valor constante no negativo por 2a. Sea la distancia entre los puntos F 1 y F 2 2c. Imaginemos que un hilo inextensible de longitud 2a se fija en los puntos F 1 y F 2, por ejemplo, utilizando dos agujas. Está claro que esto sólo es posible para a ≥ c. Después de tirar del hilo con un lápiz, dibuje una línea que será una elipse (Fig. 7.1).

Entonces, el conjunto descrito no está vacío si a ≥ c. Cuando a = c, la elipse es un segmento con extremos F 1 y F 2, y cuando c = 0, es decir Si los puntos fijos especificados en la definición de elipse coinciden, se trata de una circunferencia de radio a. Descartando estos casos degenerados, asumiremos además, como regla, que a > c > 0.

Los puntos fijos F 1 y F 2 en la definición 7.1 de la elipse (ver Fig. 7.1) se denominan focos de elipse, la distancia entre ellos, indicada por 2c, - longitud focal, y los segmentos F 1 M y F 2 M que conectan un punto arbitrario M en la elipse con sus focos son radios focales.

La forma de la elipse está completamente determinada por la distancia focal |F 1 F 2 | = 2c y parámetro a, y su posición en el plano: un par de puntos F 1 y F 2.

De la definición de elipse se desprende que es simétrica con respecto a la recta que pasa por los focos F 1 y F 2, así como con respecto a la recta que divide el segmento F 1 F 2 por la mitad y es perpendicular a él. (Figura 7.2, a). Estas líneas se llaman ejes de elipse. El punto O de su intersección es el centro de simetría de la elipse y se llama el centro de la elipse, y los puntos de intersección de la elipse con los ejes de simetría (puntos A, B, C y D en la Fig. 7.2, a) - vértices de la elipse.

El numero a se llama semieje mayor de la elipse, y b = √(a 2 - c 2) - su eje menor. Es fácil ver que para c > 0, el semieje mayor a es igual a la distancia desde el centro de la elipse a aquellos de sus vértices que están en el mismo eje que los focos de la elipse (vértices A y B en la Fig. 7.2, a), y el semieje menor b es igual a la distancia desde la elipse central a sus otros dos vértices (vértices C y D en la Fig. 7.2, a).

Ecuación de elipse. Consideremos una elipse en el plano con focos en los puntos F 1 y F 2, eje mayor 2a. Sea 2c la distancia focal, 2c = |F 1 F 2 |

Elijamos un sistema de coordenadas rectangular Oxy en el plano de modo que su origen coincida con el centro de la elipse y sus focos estén en eje x(Figura 7.2, b). Este sistema de coordenadas se llama canónico para la elipse en cuestión, y las variables correspondientes son canónico.

En el sistema de coordenadas seleccionado, los focos tienen coordenadas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando la fórmula para la distancia entre puntos, escribimos la condición |F 1 M| + |F 2 M| = 2a en coordenadas:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Esta ecuación es inconveniente porque contiene dos radicales cuadrados. Así que transformémoslo. Movemos el segundo radical de la ecuación (7.2) hacia el lado derecho y lo elevamos al cuadrado:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Después de abrir los paréntesis y traer términos similares, obtenemos

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

donde ε = c/a. Repetimos la operación de elevar al cuadrado para eliminar el segundo radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, o, teniendo en cuenta el valor del parámetro ε ingresado, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Dado que a 2 - c 2 = b 2 > 0, entonces

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

La ecuación (7.4) se satisface con las coordenadas de todos los puntos que se encuentran en la elipse. Pero al derivar esta ecuación, se utilizaron transformaciones no equivalentes de la ecuación original (7.2): dos elevaciones al cuadrado que eliminan los radicales cuadrados. Cuadrar una ecuación es una transformación equivalente si ambos lados tienen cantidades con el mismo signo, pero no verificamos esto en nuestras transformaciones.

Podemos evitar comprobar la equivalencia de transformaciones si tenemos en cuenta lo siguiente. Un par de puntos F 1 y F 2, |F 1 F 2 | = 2c, en el plano se define una familia de elipses con focos en estos puntos. Cada punto del plano, excepto los puntos del segmento F 1 F 2, pertenece a alguna elipse de la familia indicada. En este caso no se cruzan dos elipses, ya que la suma de los radios focales determina de forma inequívoca una elipse concreta. Entonces, la familia descrita de elipses sin intersecciones cubre todo el plano, excepto los puntos del segmento F 1 F 2. Consideremos un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (7.4) con un valor dado del parámetro a. ¿Se puede distribuir este conjunto entre varias elipses? Algunos de los puntos del conjunto pertenecen a una elipse con semieje mayor a. Sea un punto en este conjunto situado sobre una elipse con semieje mayor a. Entonces las coordenadas de este punto obedecen a la ecuación

aquellos. Las ecuaciones (7.4) y (7.5) tienen soluciones comunes. Sin embargo, es fácil verificar que el sistema

para ã ≠ a no tiene soluciones. Para hacer esto, basta con excluir, por ejemplo, x de la primera ecuación:

que después de transformaciones conduce a la ecuación

que no tiene soluciones para ã ≠ a, ya que . Entonces, (7.4) es la ecuación de una elipse con semieje mayor a > 0 y semieje menor b =√(a 2 - c 2) > 0. Se llama ecuación de elipse canónica.

Vista de elipse. El método geométrico de construir una elipse discutido anteriormente da una idea suficiente de la apariencia de la elipse. Pero la forma de la elipse también se puede estudiar utilizando su ecuación canónica (7.4). Por ejemplo, es posible, asumiendo y ≥ 0, expresar y a través de x: y = b√(1 - x 2 /a 2) y, habiendo estudiado esta función, construir su gráfica. Hay otra forma de construir una elipse. Un círculo de radio a con centro en el origen del sistema de coordenadas canónico de la elipse (7.4) se describe mediante la ecuación x 2 + y 2 = a 2. Si se comprime con un coeficiente a/b > 1 a lo largo eje y, entonces obtienes una curva que se describe mediante la ecuación x 2 + (ya/b) 2 = a 2, es decir, una elipse.

Observación 7.1. Si el mismo círculo se comprime con un coeficiente a/b

Excentricidad de elipse. La relación entre la distancia focal de una elipse y su eje mayor se llama excentricidad de la elipse y denotado por ε. Para una elipse dada

ecuación canónica (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Si en (7.4) los parámetros a y b están relacionados por la desigualdad a

Cuando c = 0, cuando la elipse se convierte en un círculo, y ε = 0. En otros casos, 0

La ecuación (7.3) es equivalente a la ecuación (7.4), ya que las ecuaciones (7.4) y (7.2) son equivalentes. Por tanto, la ecuación de la elipse también es (7.3). Además, la relación (7.3) es interesante porque proporciona una fórmula simple y libre de radicales para la longitud |F 2 M| uno de los radios focales del punto M(x; y) de la elipse: |F 2 M| = a + εx.

Se puede obtener una fórmula similar para el segundo radio focal a partir de consideraciones de simetría o repitiendo cálculos en los que, antes de elevar al cuadrado la ecuación (7.2), el primer radical se transfiere al lado derecho y no el segundo. Entonces, para cualquier punto M(x; y) en la elipse (ver Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

y cada una de estas ecuaciones es una ecuación de una elipse.

Ejemplo 7.1. Encontremos la ecuación canónica de una elipse con semieje mayor 5 y excentricidad 0,8 y construyámosla.

Conociendo el semieje mayor de la elipse a = 5 y la excentricidad ε = 0,8, encontraremos su semieje menor b. Dado que b = √(a 2 - c 2), y c = εa = 4, entonces b = √(5 2 - 4 2) = 3. Entonces la ecuación canónica tiene la forma x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Para construir una elipse, es conveniente dibujar un rectángulo con centro en el origen del sistema de coordenadas canónico, cuyos lados sean paralelos a los ejes de simetría de la elipse e iguales a sus ejes correspondientes (Fig. 7.4). Este rectángulo se cruza con

los ejes de la elipse en sus vértices A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), y la propia elipse está inscrita en él. En la Fig. 7.4 también muestra los focos F 1.2 (±4; 0) de la elipse.

Propiedades geométricas de la elipse. Reescribamos la primera ecuación en (7.6) como |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Tenga en cuenta que el valor a/ε - x para a > c es positivo, ya que el foco F 1 no pertenece a la elipse. Este valor representa la distancia a la línea vertical d: x = a/ε desde el punto M(x; y) que se encuentra a la izquierda de esta línea. La ecuación de la elipse se puede escribir como

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Esto significa que esta elipse consta de aquellos puntos M(x; y) del plano para los cuales la relación entre la longitud del radio focal F 1 M y la distancia a la línea recta d es un valor constante igual a ε (Fig. 7.5).

La línea recta d tiene un "doble": la línea recta vertical d, simétrica a d con respecto al centro de la elipse, que viene dada por la ecuación x = -a/ε. Con respecto a d, la elipse se describe en de la misma manera que con respecto a d. Ambas líneas d y d" se llaman directrices de la elipse. Las directrices de la elipse son perpendiculares al eje de simetría de la elipse en el que se encuentran sus focos y están espaciadas del centro de la elipse a una distancia a/ε = a 2 /c (ver Fig. 7.5).

La distancia p desde la directriz al foco más cercano a ella se llama parámetro focal de la elipse. Este parámetro es igual a

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

La elipse tiene otra propiedad geométrica importante: los radios focales F 1 M y F 2 M forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en el punto M (figura 7.6).

Esta propiedad tiene un significado físico claro. Si se coloca una fuente de luz en el foco F 1, entonces el rayo que emerge de este foco, después de la reflexión en la elipse, irá a lo largo del segundo radio focal, ya que después de la reflexión formará el mismo ángulo con la curva que antes de la reflexión. Así, todos los rayos que emergen del foco F 1 se concentrarán en el segundo foco F 2 y viceversa. Según esta interpretación, esta propiedad se llama propiedad óptica de la elipse.

Líneas de segundo orden.
Elipse y su ecuación canónica. Círculo

Después de un estudio exhaustivo lineas rectas en el avion Seguimos estudiando la geometría del mundo bidimensional. Lo que está en juego se duplica y los invito a visitar una pintoresca galería de elipses, hipérbolas, parábolas, que son representantes típicos lineas de segundo orden. La excursión ya ha comenzado, y primero una breve información sobre toda la exposición en las diferentes plantas del museo:

El concepto de recta algebraica y su orden.

Una recta en un plano se llama algebraico, si en sistema de coordenadas afines su ecuación tiene la forma , donde es un polinomio que consta de términos de la forma ( – número real, – enteros no negativos).

Como puede ver, la ecuación de una recta algebraica no contiene senos, cosenos, logaritmos y otras funciones beau monde. Sólo las X y las Y enteros no negativos grados.

Orden de línea igual al valor máximo de los términos incluidos en el mismo.

Según el teorema correspondiente, el concepto de recta algebraica, así como su orden, no dependen de la elección. sistema de coordenadas afines, por lo tanto, para facilitar la existencia, asumimos que todos los cálculos posteriores se realizan en Coordenadas cartesianas.

ecuación general la segunda línea de orden tiene la forma , donde – números reales arbitrarios (Se acostumbra escribirlo con un factor de dos), y los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

Si , entonces la ecuación se simplifica a , y si los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo, entonces esto es exactamente ecuación general de una línea "plana", que representa línea de primer orden.

Muchos han entendido el significado de los nuevos términos, pero, sin embargo, para dominar el material al 100%, metemos los dedos en el enchufe. Para determinar el orden de las líneas, es necesario iterar todos los términos sus ecuaciones y encuentre para cada una de ellas suma de grados variables entrantes.

Por ejemplo:

el término contiene “x” elevado a la 1ª potencia;
el término contiene “Y” elevado a la 1ª potencia;
No hay variables en el término, por lo que la suma de sus potencias es cero.

Ahora averigüemos por qué la ecuación define la recta. segundo orden:

el término contiene “x” elevado a la segunda potencia;
el sumando tiene la suma de las potencias de las variables: 1 + 1 = 2;
el término contiene “Y” elevado a la segunda potencia;
todos los demás términos - menos grados.

Valor máximo: 2

Si además sumamos, digamos, a nuestra ecuación, entonces ya determinará línea de tercer orden. Es obvio que la forma general de la ecuación lineal de tercer orden contiene un "conjunto completo" de términos, cuya suma de las potencias de las variables es igual a tres:
, donde los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

En el caso de que agregue uno o más términos adecuados que contengan , entonces ya hablaremos de líneas de cuarto orden, etc.

Tendremos que encontrarnos con líneas algebraicas de orden 3, 4 y superiores más de una vez, en particular, al familiarizarnos con sistema de coordenadas polares.

Sin embargo, volvamos a la ecuación general y recordemos sus variaciones escolares más simples. Como ejemplos surge una parábola, cuya ecuación se puede reducir fácilmente a una forma general, y una hipérbola con una ecuación equivalente. Sin embargo, no todo es tan sencillo...

Un inconveniente importante de la ecuación general es que casi siempre no está claro qué recta define. Incluso en el caso más simple, no te darás cuenta inmediatamente de que se trata de una hipérbole. Estos diseños sólo son buenos para una mascarada, por lo que se considera un problema típico en el curso de geometría analítica. llevar la ecuación lineal de segundo orden a su forma canónica.

¿Cuál es la forma canónica de una ecuación?

Ésta es la forma estándar generalmente aceptada de una ecuación, cuando en cuestión de segundos queda claro qué objeto geométrico define. Además, la forma canónica es muy conveniente para resolver muchos problemas prácticos. Entonces, por ejemplo, según la ecuación canónica "plano" recto, en primer lugar, queda inmediatamente claro que se trata de una línea recta y, en segundo lugar, el punto que le pertenece y el vector de dirección son fácilmente visibles.

Es obvio que cualquier primera línea de orden es una línea recta. En el segundo piso ya no nos espera el vigilante, sino un grupo mucho más variado de nueve estatuas:

Clasificación de líneas de segundo orden.

Utilizando un conjunto especial de acciones, cualquier ecuación de una recta de segundo orden se reduce a una de las siguientes formas:

(y son números reales positivos)

1) – ecuación canónica de la elipse;

2) – ecuación canónica de una hipérbola;

3) – ecuación canónica de una parábola;

4) – imaginario elipse;

5) – un par de líneas que se cruzan;

6) – par imaginario líneas de intersección (con un único punto de intersección válido en el origen);

7) – un par de líneas paralelas;

8) – par imaginario lineas paralelas;

9) – un par de líneas coincidentes.

Algunos lectores pueden tener la impresión de que la lista está incompleta. Por ejemplo, en el punto N° 7, la ecuación especifica el par directo, paralela al eje, y surge la pregunta: ¿dónde está la ecuación que determina las rectas paralelas al eje de ordenadas? Contestarlo no considerado canónico. Las líneas rectas representan el mismo caso estándar, girado 90 grados, y la entrada adicional en la clasificación es redundante, ya que no aporta nada fundamentalmente nuevo.

Así, existen nueve y sólo nueve tipos diferentes de líneas de segundo orden, pero en la práctica las más comunes son elipse, hipérbola y parábola.

Veamos primero la elipse. Como de costumbre, me centro en aquellos puntos que son de gran importancia para la resolución de problemas, y si necesita una derivación detallada de fórmulas, demostraciones de teoremas, consulte, por ejemplo, el libro de texto de Bazylev/Atanasyan o Aleksandrov.

Elipse y su ecuación canónica

Ortografía... por favor, no repitan los errores de algunos usuarios de Yandex que están interesados ​​en "cómo construir una elipse", "la diferencia entre una elipse y un óvalo" y "la excentricidad de una elipse".

La ecuación canónica de una elipse tiene la forma , donde son números reales positivos y . Formularé la definición misma de elipse más adelante, pero por ahora es hora de tomar un descanso de la charla y resolver un problema común:

¿Cómo construir una elipse?

Sí, tómalo y dibújalo. La tarea se realiza con frecuencia y una parte importante de los alumnos no afronta correctamente el dibujo:

Ejemplo 1

Construye la elipse dada por la ecuación.

Solución: Primero, llevemos la ecuación a su forma canónica:

¿Por qué traer? Una de las ventajas de la ecuación canónica es que le permite determinar instantáneamente vértices de la elipse, que se encuentran en puntos. Es fácil ver que las coordenadas de cada uno de estos puntos satisfacen la ecuación.

En este caso :


Segmento de línea llamado eje mayor elipse;
segmento de línea – eje menor;
número llamado eje semi mayor elipse;
número – eje menor.
en nuestro ejemplo: .

Para imaginar rápidamente cómo se ve una elipse en particular, basta con mirar los valores de "a" y "be" de su ecuación canónica.

Todo está bien, suave y hermoso, pero hay una advertencia: el dibujo lo hice usando el programa. Y puedes hacer el dibujo usando cualquier aplicación. Sin embargo, en la dura realidad, hay un trozo de papel a cuadros sobre la mesa y ratones bailan en círculos sobre nuestras manos. Las personas con talento artístico, por supuesto, pueden discutir, pero también hay ratones (aunque más pequeños). No en vano la humanidad inventó la regla, el compás, el transportador y otros sencillos dispositivos para dibujar.

Por esta razón, es poco probable que podamos dibujar con precisión una elipse conociendo sólo los vértices. Está bien si la elipse es pequeña, por ejemplo, con semiejes. Alternativamente, puede reducir la escala y, en consecuencia, las dimensiones del dibujo. Pero, en general, es muy deseable encontrar puntos adicionales.

Hay dos enfoques para construir una elipse: geométrico y algebraico. No me gusta construir con compás y regla porque el algoritmo no es el más corto y el dibujo está muy desordenado. En caso de emergencia, consulte el libro de texto, pero en realidad es mucho más racional utilizar las herramientas del álgebra. De la ecuación de la elipse en el borrador expresamos rápidamente:

Luego, la ecuación se divide en dos funciones:
– define el arco superior de la elipse;
– define el arco inferior de la elipse.

La elipse definida por la ecuación canónica es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, así como con respecto al origen. Y esto es genial: la simetría es casi siempre un presagio de regalos. Obviamente, es suficiente tratar con el primer cuarto de coordenadas, por lo que necesitamos la función . Pide que le busquen puntos adicionales con abscisas . Toquemos tres mensajes SMS en la calculadora:

Por supuesto, también es bueno que si se comete un error grave en los cálculos, quede inmediatamente claro durante la construcción.

Marquemos los puntos en el dibujo (rojo), puntos simétricos en los arcos restantes (azul) y conectemos con cuidado toda la empresa con una línea:


Es mejor dibujar el boceto inicial muy fino y solo luego aplicar presión con un lápiz. El resultado debería ser una elipse bastante decente. Por cierto, ¿te gustaría saber cuál es esta curva?

Definición de elipse. Focos de elipse y excentricidad de elipse.

Una elipse es un caso especial de óvalo. La palabra "óvalo" no debe entenderse en el sentido filisteo ("el niño dibujó un óvalo", etc.). Este es un término matemático que tiene una formulación detallada. El propósito de esta lección no es considerar la teoría de los óvalos y sus diversos tipos, que prácticamente no reciben atención en el curso estándar de geometría analítica. Y, de acuerdo con las necesidades más actuales, pasamos inmediatamente a la definición estricta de elipse:

Elipse es el conjunto de todos los puntos del plano, la suma de las distancias a cada uno de los cuales desde dos puntos dados, llamado trucos elipse, es una cantidad constante, numéricamente igual a la longitud del eje mayor de esta elipse: .
En este caso las distancias entre los focos son menores que este valor: .

Ahora todo quedará más claro:

Imagine que el punto azul “viaja” a lo largo de una elipse. Entonces, no importa qué punto de la elipse tomemos, la suma de las longitudes de los segmentos siempre será la misma:

Asegurémonos de que en nuestro ejemplo el valor de la suma sea realmente igual a ocho. Mentalmente coloque el punto “um” en el vértice derecho de la elipse, luego: , que es lo que había que verificar.

Otro método para dibujarlo se basa en la definición de elipse. Las matemáticas avanzadas son a veces causa de tensión y estrés, por lo que es hora de tener otra sesión de descarga. Tome papel Whatman o una hoja grande de cartón y fíjelo a la mesa con dos clavos. Estos serán trucos. Ata un hilo verde a las cabezas de los clavos que sobresalen y tira de él hasta el final con un lápiz. La mina del lápiz terminará en un punto determinado que pertenece a la elipse. Ahora comienza a mover el lápiz a lo largo de la hoja de papel, manteniendo el hilo verde bien tenso. Continúa el proceso hasta regresar al punto de partida... genial... el dibujo lo puede revisar el médico y el profesor =)

¿Cómo encontrar los focos de una elipse?

En el ejemplo anterior, representé puntos focales "ya hechos" y ahora aprenderemos cómo extraerlos de las profundidades de la geometría.

Si una elipse está dada por una ecuación canónica, entonces sus focos tienen coordenadas , Dónde está Distancia de cada foco al centro de simetría de la elipse..

Los cálculos son más simples que simples:

! ¡Las coordenadas específicas de los focos no pueden identificarse con el significado de "tse"! repito que esto es DISTANCIA de cada foco al centro(que en el caso general no tiene por qué estar situado exactamente en el origen).
Y, por tanto, la distancia entre los focos tampoco puede vincularse a la posición canónica de la elipse. En otras palabras, la elipse se puede mover a otro lugar y el valor permanecerá sin cambios, mientras que los focos cambiarán naturalmente sus coordenadas. Tenga esto en cuenta a medida que explore más el tema.

Excentricidad de la elipse y su significado geométrico.

La excentricidad de una elipse es una relación que puede tomar valores dentro del rango.

En nuestro caso:

Averigüemos cómo depende la forma de una elipse de su excentricidad. Para esto arreglar los vértices izquierdo y derecho de la elipse considerada, es decir, el valor del semieje mayor permanecerá constante. Entonces la fórmula de excentricidad tomará la forma: .

Empecemos a acercar el valor de la excentricidad a la unidad. Esto sólo es posible si. ¿Qué significa? ...recuerda los trucos . Esto significa que los focos de la elipse se "separarán" a lo largo del eje de abscisas hacia los vértices laterales. Y, dado que "los segmentos verdes no son de goma", la elipse inevitablemente comenzará a aplanarse, convirtiéndose en una salchicha cada vez más delgada ensartada sobre un eje.

De este modo, cuanto más cerca esté el valor de excentricidad de la elipse a la unidad, más alargada será la elipse.

Ahora modelemos el proceso opuesto: los focos de la elipse. Caminaron el uno hacia el otro, acercándose al centro. Esto significa que el valor de “ce” es cada vez menor y, en consecuencia, la excentricidad tiende a cero: .
En este caso, los “segmentos verdes”, por el contrario, “se llenarán” y comenzarán a “empujar” la línea de elipse hacia arriba y hacia abajo.

De este modo, Cuanto más cerca esté el valor de excentricidad de cero, más similar será la elipse a... mire el caso límite cuando los focos se reúnen con éxito en el origen:

Un círculo es un caso especial de una elipse.

De hecho, en el caso de igualdad de los semiejes, la ecuación canónica de la elipse toma la forma , que reflexivamente se transforma en la ecuación de un círculo con centro en el origen del radio "a", bien conocida en la escuela.

En la práctica, se utiliza con mayor frecuencia la notación con la letra “parlante” “er”: . El radio es la longitud de un segmento, con cada punto del círculo alejado del centro por una distancia de radio.

Tenga en cuenta que la definición de elipse sigue siendo completamente correcta: los focos coinciden y la suma de las longitudes de los segmentos coincidentes para cada punto del círculo es una constante. Como la distancia entre los focos es , entonces la excentricidad de cualquier círculo es cero.

Construir un círculo es fácil y rápido, solo usa un compás. Sin embargo, a veces es necesario averiguar las coordenadas de algunos de sus puntos, en este caso vamos por el camino habitual: llevamos la ecuación a la alegre forma de Matanov:

– función del semicírculo superior;
– función del semicírculo inferior.

Luego encontramos los valores requeridos, diferenciar, integrar y hacer otras cosas buenas.

El artículo, por supuesto, es sólo como referencia, pero ¿cómo se puede vivir en el mundo sin amor? Tarea creativa para una solución independiente.

Ejemplo 2

Redacte la ecuación canónica de una elipse si se conocen uno de sus focos y su semieje menor (el centro está en el origen). Encuentra vértices, puntos adicionales y dibuja una línea en el dibujo. Calcular la excentricidad.

Solución y dibujo al final de la lección.

Agreguemos una acción:

Rotar y trasladar paralelamente una elipse.

Volvamos a la ecuación canónica de la elipse, es decir, a la condición cuyo misterio ha atormentado a las mentes curiosas desde la primera mención de esta curva. Entonces miramos la elipse. , pero ¿no es posible en la práctica cumplir la ecuación ? Al fin y al cabo, ¡también aquí parece una elipse!

Este tipo de ecuación es poco común, pero se da. Y en realidad define una elipse. Desmitifiquemos:

Como resultado de la construcción, obtuvimos nuestra elipse nativa, girada 90 grados. Eso es, - Este entrada no canónica elipse . ¡Registro!- la ecuacion no define ninguna otra elipse, ya que no hay puntos (focos) en el eje que satisfagan la definición de elipse.