Un círculo circunscrito alrededor de un triángulo. Un triángulo inscrito en un círculo. Teorema de los senos

Definición

Un círculo \(S\) está circunscrito a un polígono \(P\) si todos los vértices del polígono \(P\) se encuentran en el círculo \(S\).

En este caso, se dice que el polígono \(P\) está inscrito en una circunferencia.

Definición

La mediatriz de un segmento es una recta que pasa por el centro de un segmento dado perpendicular a él.

Teorema

Cada punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de ese segmento.

Prueba

Considere el segmento \(AB\) y su mediatriz \(a\). Demostremos que para cualquier punto \(X\in a\) se cumple lo siguiente: \(AX=BX\) .

Considere \(\triangle AXB\) : el segmento \(XO\) es la mediana y la altitud, por lo tanto \(\triangle AXB\) es isósceles, por lo tanto \(AX=BX\) .

Teorema

Las bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo se cortan en un punto.

Prueba

Considere \(\triangle ABC\) . Dibujemos bisectrices perpendiculares a los lados \(AB\) y \(AC\). Se cruzarán en el punto \(O\) .

Según el teorema anterior, para la mediatriz \(C_1O\) se cumple: \(AO=BO\) , y para \(B_1O\) - \(AO=CO\) . Por lo tanto, \(BO=CO\) . Esto significa que \(\triangle BOC\) es isósceles, por lo tanto, la altura \(OA_1\) dibujada a la base \(BC\) también será la mediana. Esto significa que \(OA_1\) es la mediatriz del segmento \(BC\) .

Por lo tanto, las tres mediatrices se cruzan en un punto \(O\).

Consecuencia

Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces se encuentra sobre su mediatriz.

Teorema

Un solo círculo puede circunscribirse alrededor de cualquier triángulo, y el centro del círculo circunscrito es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo.

Prueba

Del teorema demostrado anteriormente se deduce que \(AO=BO=CO\) . Esto significa que todos los vértices del triángulo están equidistantes del punto \(O\), por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo.

Sólo existe uno de esos círculos. Supongamos que se puede describir un círculo más alrededor de \(\triangle ABC\). Entonces su centro debe coincidir con el punto \(O\) (ya que este es el único punto equidistante de los vértices del triángulo), y el radio debe ser igual a la distancia desde el centro a algunos de los vértices, es decir \(OA\) . Porque Si estos círculos tienen el mismo centro y radio, entonces estos círculos también coinciden.

Teorema del área del triángulo inscrito

Si \(a, b, c\) son los lados del triángulo, y \(R\) es el radio del círculo circunscrito a su alrededor, entonces el área del triángulo \

Prueba*
Se recomienda que se familiarice con la demostración de este teorema después de estudiar el tema "Teorema de los senos".

Denotemos el ángulo entre los lados \(a\) y \(c\) como \(\alpha\) . Entonces \(S_(\triangle)=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\).

Por el teorema de los senos \(\dfrac b(\sin\alpha)=2R\) , de donde \(\sin \alpha=\dfrac b(2R)\) . Por eso, \(S_(\triángulo)=\dfrac(abc)(4R)\).

Teorema

Un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero si y sólo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a \(180^\circ\) .

Prueba

Necesidad.

Si se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero \(ABCD\), entonces \(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC) = 360^\circ\), dónde \(\angle ABC + \angle ADC = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ABC) + \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ADC) = \frac(1 )(2)(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC)) = 180^\circ\). Para los ángulos \(BCD\) y \(BAD\) es similar.

Adecuación.

Describamos un círculo alrededor del triángulo \(ABC\) . Sea el centro de este círculo el punto \(O\). En la recta que pasa por los puntos \(O\) y \(D\), marcamos el punto \(D"\) de intersección de esta recta y la circunferencia. Supongamos que los puntos \(D\) y \(D"\) no coinciden, entonces considere el cuadrilátero \(CD"AD\) .

Los ángulos \(CD"A\) y \(CDA\) complementan al ángulo \(ABC\) a \(180^\circ\) (\(\angle CDA\) se complementan por condición, y \(\angle CD"A \) como se demostró arriba), por lo tanto, son iguales, pero entonces la suma de los ángulos del cuadrilátero \(AD"CD\) es mayor que \(360^\circ\), que no puede ser (la suma de los Los ángulos de este cuadrilátero son la suma de los ángulos de dos triángulos), por lo tanto, los puntos \(D\) y \(D"\) coinciden.

Comentario. En la figura, el punto \(D\) se encuentra fuera del círculo delimitado por el círculo circunscrito por \(\triangle ABC\), sin embargo, en el caso en que \(D\) se encuentra dentro, la prueba también sigue siendo válida.

Teorema

Un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero convexo \(ABCD\) si y sólo si \(\angle ABD=\angle ACD\) .

Prueba

Necesidad. Si un círculo está circunscrito alrededor de \(ABCD\), entonces los ángulos \(\angle ABD\) y \(\angle ACD\) están inscritos y descansan en un arco \(\buildrel\smile\over(AD)\) , por lo tanto, son iguales.

Adecuación. Dejar \(\ángulo ABD=\ángulo ACD=\alfa\). Demostremos que se puede describir un círculo alrededor de \(ABCD\).

Describamos un círculo alrededor de \(\triangle ABD\) . Deje que la línea recta \(CD\) interseque este círculo en el punto \(C"\). Luego \(\angle ABD=\angle AC"D \Rightarrow \angle AC"D=\angle ACD\).

Por eso, \(\angle CAD=\angle C"AD=180^\circ-\angle ADC-\angle AC"D\), eso es \(\triángulo AC"D=\triángulo ACD\) a lo largo de un lado común \(AD\) y dos ángulos adyacentes (\(\angle C"AD=\angle CAD\) , \(\angle ADC"=\angle ADC\) – común). Esto significa \(DC"=DC\), es decir, los puntos \(C"\) y \(C\) coinciden.

Teoremas

1. Si un círculo está circunscrito alrededor de un paralelogramo, entonces es un rectángulo (Fig. 1).

2. Si se describe un círculo alrededor de un rombo, entonces es un cuadrado (Fig. 2).

3. Si se describe un círculo alrededor de un trapezoide, entonces es isósceles (Fig. 3).

Lo contrario también es cierto: alrededor de un rectángulo, un rombo y un trapezoide isósceles se puede describir un círculo, y sólo uno.

Prueba

1) Sea una circunferencia circunscrita alrededor del paralelogramo \(ABCD\). Entonces las sumas de sus ángulos opuestos son iguales. \(180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ\). Pero en un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales, porque \(\angle A=\angle C\) . Por eso, \(\ángulo A=\ángulo C=90^\circ\). Entonces, por definición, \(ABCD\) es un rectángulo.

2) Sea circunscrita una circunferencia alrededor del rombo \(MNKP\). De manera similar al punto anterior (dado que un rombo es un paralelogramo), se demuestra que \(MNKP\) es un rectángulo. Pero todos los lados de este rectángulo son iguales (ya que es un rombo), lo que significa que \(MNKP\) es un cuadrado.

La afirmación contraria es obvia.

3) Sea un círculo circunscrito alrededor del trapezoide \(QWER\). Entonces \(\ángulo Q+\ángulo E=180^\circ\). Pero de la definición de trapezoide se deduce que \(\ángulo Q+\ángulo W=180^\circ\). Por lo tanto, \(\angle W=\angle E\) . Porque los ángulos en la base \(WE\) del trapezoide son iguales, entonces es isósceles.

La afirmación contraria es obvia.

Este artículo contiene el conjunto mínimo de información sobre el círculo necesario para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.

Circunferencia es un conjunto de puntos ubicados a la misma distancia de un punto dado, al que se le llama centro del círculo.

Para cualquier punto que se encuentre en el círculo, se cumple la igualdad (la longitud del segmento es igual al radio del círculo.

Un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia se llama acorde.

Una cuerda que pasa por el centro de una circunferencia se llama diámetro círculo() .

Circunferencia:

Área de un círculo:

Arco de círculo:

La parte de una circunferencia encerrada entre dos puntos se llama arco círculos. Dos puntos en un círculo definen dos arcos. La cuerda subtiende dos arcos: y . Cuerdas iguales subtienden arcos iguales.

El ángulo entre dos radios se llama ángulo central :

Para encontrar la longitud del arco, hacemos una proporción:

a) el ángulo está dado en grados:

b) el ángulo está dado en radianes:

Diámetro perpendicular a la cuerda , divide esta cuerda y los arcos que subtiende por la mitad:

Si acordes Y los circulos se cortan en un punto , entonces los productos de los segmentos de cuerda en los que se dividen por un punto son iguales entre sí:

Tangente a una circunferencia.

Una recta que tiene un punto común con una circunferencia se llama tangente al círculo. Una recta que tiene dos puntos en común con una circunferencia se llama secante

Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.

Si se trazan dos tangentes desde un punto dado a una circunferencia, entonces los segmentos tangentes son iguales entre sí y el centro del círculo se encuentra en la bisectriz del ángulo con el vértice en este punto:

Si desde un punto dado se traza una tangente y una secante a una circunferencia, entonces el cuadrado de la longitud de un segmento tangente es igual al producto de todo el segmento secante por su parte exterior :

Consecuencia: el producto del segmento completo de una secante y su parte externa es igual al producto del segmento completo de otra secante y su parte externa:

Ángulos en un círculo.

La medida en grados del ángulo central es igual a la medida en grados del arco sobre el que descansa:

Un ángulo cuyo vértice se encuentra en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas se llama ángulo inscrito . Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco en el que se subtiende:

∠∠

El ángulo inscrito subtendido por el diámetro es recto:

∠∠∠

Los ángulos inscritos subtendidos por un arco son iguales. :

Los ángulos inscritos que subtienden una cuerda son iguales o su suma es igual

∠∠

Los vértices de triángulos con una base dada y ángulos iguales en el vértice se encuentran en el mismo círculo:

Ángulo entre dos cuerdas (un ángulo con un vértice dentro de un círculo) es igual a la mitad de la suma de los valores angulares de los arcos de círculo contenidos dentro de un ángulo dado y dentro de un ángulo vertical.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Ángulo entre dos secantes (un ángulo con un vértice fuera del círculo) es igual a la media diferencia de los valores angulares de los arcos del círculo contenidos dentro del ángulo.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Círculo inscrito.

El circulo se llama inscrito en un polígono , si toca sus costados. Centro del círculo inscrito se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos del polígono.

No todos los polígonos pueden caber en un círculo.

Área de un polígono en el que está inscrita una circunferencia se puede encontrar usando la fórmula

aquí está el semiperímetro del polígono y es el radio del círculo inscrito.

De aquí radio del círculo inscrito es igual

Si un círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo, entonces las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales. . Por el contrario: si en un cuadrilátero convexo las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales, entonces se puede inscribir un círculo en el cuadrilátero:

Puedes inscribir un círculo en cualquier triángulo, y solo uno. El centro de la circunferencia se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

Radio del círculo inscrito igual a . Aquí

Círculo circunscrito.

El circulo se llama descrito sobre un polígono , si pasa por todos los vértices del polígono. El centro de la circunferencia circunstante se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del polígono. El radio se calcula como el radio del círculo circunscrito por el triángulo definido por tres vértices cualesquiera del polígono dado:

Un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero si y sólo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a .

Alrededor de cualquier triángulo se puede describir un círculo, y sólo uno. Su centro se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo:

Circunradio calculado usando las fórmulas:

¿Dónde están las longitudes de los lados del triángulo y su área?

teorema de ptolomeo

En un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de sus lados opuestos:

El diámetro de un círculo es el segmento de recta que une los dos puntos del círculo más alejados entre sí, pasando por el centro del círculo. El nombre diámetro proviene del idioma griego y significa literalmente transversal. El diámetro está indicado por la letra D del alfabeto latino o el símbolo O.

Diámetro del círculo

Para saber cómo encontrar el diámetro de un círculo, debes consultar las fórmulas. Hay dos fórmulas básicas mediante las cuales puedes calcular el diámetro de un círculo. El primero es D = 2R. Aquí el diámetro es igual al doble del radio, donde el radio es la distancia desde el centro a cualquier punto del círculo (R). Consideremos un ejemplo: si en la tarea se conoce el radio y es igual a 10 cm, entonces puedes encontrar fácilmente el diámetro. Para este valor de radio, sustituimos D = 2 * 10 = 20 cm en la fórmula

La segunda fórmula permite encontrar el diámetro a lo largo de la circunferencia y se ve así: D = L/P, donde L es el valor de la circunferencia y P es el número Pi, que es aproximadamente igual a 3,14. Esta fórmula es muy conveniente de utilizar en la práctica. Si necesitas saber el diámetro de una escotilla, tapa de tanque o algún tipo de pozo, solo necesitas medir su circunferencia y dividirla por 3,14. Por ejemplo, la circunferencia es 600 cm, por lo tanto D = 600/3,14 = 191,08 cm.

Diámetro del círculo circunstante

El diámetro de un círculo circunscrito también se puede encontrar si está circunscrito o inscrito en un triángulo. Para hacer esto, primero necesitas encontrar el radio del círculo inscrito usando la fórmula: R = S/p, donde S denota el área del triángulo y p es su semiperímetro, p es igual a (a + b + c)/2. Una vez que se conoce el radio, es necesario utilizar la primera fórmula. O sustituya inmediatamente todos los valores en la fórmula D = 2S/p.

Si no sabes cómo encontrar el diámetro de un círculo circunscrito, usa la fórmula para encontrar el radio de un círculo circunscrito por un triángulo. R = (a * b * c)/4 * S, S en la fórmula denota el área del triángulo. Luego, de la misma forma, sustituye el valor del radio en la fórmula D = 2R.

Primero, comprendamos la diferencia entre un círculo y un círculo. Para ver esta diferencia basta considerar cuáles son ambas cifras. Se trata de un número infinito de puntos del plano, situados a igual distancia de un único punto central. Pero si el círculo también consta de espacio interior, entonces no pertenece al círculo. Resulta que un círculo es a la vez un círculo que lo limita (círculo(r)) y un número innumerable de puntos que se encuentran dentro del círculo.

Para cualquier punto L que se encuentre en el círculo, se aplica la igualdad OL=R. (La longitud del segmento OL es igual al radio del círculo).

Un segmento que une dos puntos de una circunferencia es su acorde.

Una cuerda que pasa directamente por el centro de una circunferencia es diámetro este círculo (D). El diámetro se puede calcular mediante la fórmula: D=2R

Circunferencia calculado por la fórmula: C=2\pi R

Área de un círculo: S=\piR^(2)

Arco de círculo Se llama aquella parte de ella que se sitúa entre sus dos puntos. Estos dos puntos definen dos arcos de círculo. El acorde CD subtiende dos arcos: CMD y CLD. Cuerdas idénticas subtienden arcos iguales.

ángulo central Se llama al ángulo que se encuentra entre dos radios.

Longitud de arco se puede encontrar usando la fórmula:

1. Usando medida en grados: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Usando medida en radianes: CD = \alpha R

El diámetro, que es perpendicular a la cuerda, divide por la mitad la cuerda y los arcos que ésta contrae.

Si las cuerdas AB y CD del círculo se cruzan en el punto N, entonces los productos de los segmentos de las cuerdas separados por el punto N son iguales entre sí.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangente a una circunferencia

Tangente a una circunferencia Se acostumbra llamar círculo a una línea recta que tiene un punto común.

Si una recta tiene dos puntos comunes se llama secante.

Si dibujas el radio al punto tangente, será perpendicular a la tangente al círculo.

Dibujemos dos tangentes desde este punto a nuestro círculo. Resulta que los segmentos tangentes serán iguales entre sí y el centro del círculo estará ubicado en la bisectriz del ángulo con el vértice en este punto.

CA = CB

Ahora dibujemos una tangente y una secante a la circunferencia desde nuestro punto. Obtenemos que el cuadrado de la longitud del segmento tangente será igual al producto de todo el segmento secante por su parte exterior.

AC^(2) = CD \cdot BC

Podemos concluir: el producto de un segmento entero de la primera secante y su parte externa es igual al producto de un segmento entero de la segunda secante y su parte externa.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ángulos en un círculo

Las medidas en grados del ángulo central y del arco sobre el que descansa son iguales.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas.

Puedes calcularlo conociendo el tamaño del arco, ya que es igual a la mitad de este arco.

\ángulo AOB = 2 \ángulo ADB

Basado en un diámetro, ángulo inscrito, ángulo recto.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son idénticos.

Los ángulos inscritos que descansan sobre una cuerda son idénticos o su suma es igual a 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ángulo ADB = \ángulo AEB = \ángulo AFB

En una misma circunferencia están los vértices de triángulos con ángulos idénticos y una base determinada.

Un ángulo con vértice dentro del círculo y ubicado entre dos cuerdas es idéntico a la mitad de la suma de los valores angulares de los arcos del círculo que están contenidos dentro de los ángulos dados y verticales.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un ángulo con vértice fuera del círculo y situado entre dos secantes es idéntico a la mitad de la diferencia de los valores angulares de los arcos del círculo que están contenidos dentro del ángulo.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

círculo inscrito

círculo inscrito es un círculo tangente a los lados de un polígono.

En el punto donde se cruzan las bisectrices de las esquinas de un polígono, se ubica su centro.

No se puede inscribir un círculo en cada polígono.

El área de un polígono con un círculo inscrito se encuentra mediante la fórmula:

S = pr,

p es el semiperímetro del polígono,

r es el radio del círculo inscrito.

Se deduce que el radio del círculo inscrito es igual a:

r = \frac(S)(p)

Las sumas de las longitudes de los lados opuestos serán idénticas si el círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo. Y viceversa: un círculo cabe en un cuadrilátero convexo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son idénticas.

AB + DC = ANUNCIO + BC

Es posible inscribir un círculo en cualquiera de los triángulos. Sólo uno. En el punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos internos de la figura, estará el centro de este círculo inscrito.

El radio del círculo inscrito se calcula mediante la fórmula:

r = \frac(S)(p) ,

donde p = \frac(a + b + c)(2)

círculo circunstante

Si un círculo pasa por cada vértice de un polígono, dicho círculo generalmente se llama descrito sobre un polígono.

En el punto de intersección de las mediatrices de los lados de esta figura estará el centro del círculo circunstante.

El radio se puede encontrar calculándolo como el radio del círculo que está circunscrito al triángulo definido por 3 vértices cualesquiera del polígono.

Existe la siguiente condición: un círculo puede describirse alrededor de un cuadrilátero sólo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180^( \circ) .

\ángulo A + \ángulo C = \ángulo B + \ángulo D = 180^ (\circ)

Alrededor de cualquier triángulo se puede describir un círculo, y sólo uno. El centro de dicho círculo estará ubicado en el punto donde se cruzan las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo.

El radio del círculo circunscrito se puede calcular mediante las fórmulas:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo,

S es el área del triángulo.

teorema de ptolomeo

Finalmente, considere el teorema de Ptolomeo.

El teorema de Ptolomeo establece que el producto de las diagonales es idéntico a la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD