Características de la distribución binomial. Distribución binomial
Por supuesto, al calcular la función de distribución acumulada, debe ser utilizada por la carpeta mencionada y la distribución beta. Este método es a sabiendas mejor que la suma inmediata cuando n\u003e 10.
En los libros de texto de estadísticas clásicas, las fórmulas basadas en teoremas límite (como la fórmula de Moava-Laplace) a menudo se recomiendan para obtener valores de distribución binomial. se debe notar que con un punto de vista puramente computacional El valor de estos teoremas está cerca de cero, especialmente ahora, cuando casi todas las tablas son una computadora poderosa. La principal desventaja de las aproximaciones anteriores es su precisión completamente insuficiente en N valores típicos de la mayoría de las aplicaciones. No menos desventaja es la ausencia de ninguna recomendación clara sobre la aplicabilidad de una u otra aproximación (solo se da la redacción asintótica en los textos estándar, no están acompañados de estimaciones de precisión y, por lo tanto, no son muy útiles). Yo diría que ambas fórmulas son adecuadas solo para n< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
No considero aquí la tarea de buscar el cuantil: es trivial para las distribuciones discretas, y en aquellas tareas surgen tales distribuciones, generalmente no es relevante. Si todavía se necesitará Quantil, le recomiendo que reformule la tarea para trabajar con valores p (sustancias observadas). Aquí hay un ejemplo: al implementar algunos de los algoritmos actuales en cada paso, se requiere verificar la hipótesis estadística sobre la variable binomial aleatoria. De acuerdo con un enfoque clásico en cada paso, es necesario calcular las estadísticas del criterio y comparar su valor con el límite del conjunto crítico. Sin embargo, dado que el algoritmo está roto, es necesario determinar el límite del conjunto crítico cada vez más (después de todo, de paso a paso, el volumen de muestra cambia) que no existe un aumento integral de los costos de tiempo. Un enfoque moderno recomienda computar la importancia observada y compararla con una probabilidad confiable, ahorrando en la búsqueda de cuantil.
Por lo tanto, en los códigos a continuación, no hay un cálculo de la función inverso, en su lugar se muestra la función REV_BINOMIALDF, que calcula la probabilidad P de éxito en una prueba separada en una cantidad dada de N Testing, el número de ME del éxito en ellos y la probabilidad de estos m éxito. Utiliza el vínculo mencionado anteriormente entre la distribución binomial y beta.
De hecho, esta característica le permite obtener límites de intervalos de confianza. De hecho, asumimos que en las pruebas binomiales de N recibimos el éxito de M. Como se sabe, el límite izquierdo del intervalo de confianza bilateral para el parámetro P con el nivel de confianza es 0, si M \u003d 0, y para la solución de la ecuación 
. De manera similar, el límite derecho es 1, si m \u003d n, y para la solución de la ecuación. 
. A partir de aquí se deduce que para buscar el borde izquierdo, debemos resolver en relación con la ecuación. 
, y para encontrar la ecuación correcta. 
. Se resuelven en las funciones binom_leftci y binom_rightci que devuelven los límites superior e inferior del intervalo de confianza bidireccional, respectivamente.
Quiero observar que si no necesita una precisión absolutamente increíble, luego con N, es posible aprovechar la siguiente aproximación [B.l. Van der Warden, estadísticas matemáticas. M: IL, 1960, CH. 2 segundos. 7]: 
Donde G es una distribución normal de cuantiles. El valor de esta aproximación es que existen aproximaciones muy simples, lo que le permite calcular la cuantificación de la distribución normal (consulte el texto en el cálculo de la distribución normal y la sección correspondiente de este libro de referencia). En mi práctica (principalmente, con N\u003e 100), esta aproximación dio unos 3-4 caracteres, lo que suele ser suficiente.
Para computación utilizando los siguientes códigos, se requerirán los archivos BETADF.H, BETADF.CPP (consulte la sección en la distribución beta), así como de logglamma.h, logglamma.cpp (consulte el Apéndice A). También puede ver un ejemplo de uso de funciones.
Archivo binomialdf.h.
| #IFNDEF __BINOMIAL_H__ # INCLUSIÓN "BETADF.H" DOBLE BINOMIALDF (ensayos dobles, sucesos dobles, doble P); / * * Deja que haya "ensayos" de observaciones independientes * con la probabilidad de "P" de éxito en cada uno. * La probabilidad de B (éxitos | ensayos, p) se calcula que el éxito número * se concluye entre 0 y "éxitos" (inclusive). * / Doble rev_binomialdf (ensayos dobles, doble éxitos, doble y); / * * Supongamos que deje que la probabilidad de una Y que ocurra al menos en el éxito * en pruebas de ensayos del esquema Bernoulli. La función encuentra el éxito de la probabilidad P * en una prueba separada. * * En los cálculos, se usa la siguiente relación * * 1 - P \u003d rev_beta (ensayos-éxitos | éxitos + 1, y). * / Doble binom_leftci (ensayos dobles, dobles éxitos, doble nivel); / * Deja que haya "ensayos" de observaciones independientes * con la probabilidad de "p" el éxito en cada uno * y el número de éxito es "éxitos". * El límite izquierdo del intervalo de confianza bilateral * se calcula con el nivel de nivel de significación. * / Doble binom_rightci (Double N, Doble Successes, Doble Nivel); / * Deja que haya "ensayos" de observaciones independientes * con la probabilidad de "p" el éxito en cada uno * y el número de éxito es "éxitos". * El límite correcto del intervalo de confianza bilateral * se calcula con el nivel de nivel de importancia. * / #endif / * termina #IFNDEF __Binomial_H__ * / |
Archivo binomialdf.cpp
| / ************************************************* ********** / / * Distribución binomial * / / ******************************** *************************** / # INCLUYE. |
La teoría de la probabilidad es invisiblemente presente en nuestras vidas. No le prestamos atención, pero cada evento en nuestras vidas tiene una probabilidad. Teniendo en cuenta la gran cantidad de opciones para el desarrollo de los eventos, es necesario determinar lo más probable y menos probable de ellos. Es conveniente analizar gráficamente tales datos probabilísticos. En esto podemos ayudar a la distribución. Binomial es uno de los más fáciles y precisos.
Antes de continuar directamente a las matemáticas y la teoría de la probabilidad, tratemos a aquellos que primero se les ocurrió un tipo de distribución y cuál es la historia del desarrollo del aparato matemático para este concepto.
Historia
El concepto de probabilidad es conocido desde la antigüedad. Sin embargo, los antiguos matemáticos no le otorgaron especial importancia y pudieron sólo los conceptos básicos de la teoría, que posteriormente se convirtió en teoría de la probabilidad. Crearon algunos métodos combinatoriales que ayudaron fuertemente a aquellos que más tarde crearon y desarrollaron la teoría en sí.
En la segunda mitad del siglo XVII, comenzó la formación de conceptos básicos y métodos de la teoría de la probabilidad. Se introdujeron variables aleatorias, métodos para calcular la probabilidad de eventos simples y complejos independientes y dependientes. Dictó que dicho interés en los valores y probabilidades aleatorios era el juego: cada persona quería saber qué es lo que tenía que ganar en el juego.
El siguiente paso fue la solicitud en la teoría de la probabilidad de los métodos de análisis matemático. Esto se dedicó a los matemáticos prominentes, como Laplace, Gauss, Poisson y Bernoulli. Eran los que avanzaron esta región de matemáticas a un nuevo nivel. Fue James Bernoulli quien abrió la Ley Binomial de Distribución. Por cierto, como lo descubrimos más tarde, sobre la base de este descubrimiento, varios más, lo que permitió crear la ley de distribución normal y muchos más.
Ahora, antes de comenzar a describir la distribución de binomio, estamos un poco refrescados en la memoria del concepto de la teoría de la probabilidad, probablemente ya olvidada del banco de la escuela.
Fundamentos de la teoría de la probabilidad
Consideraremos tales sistemas como resultado de lo cual solo dos éxodos son posibles: "Éxito" y "No éxito". Es fácil de entender en el ejemplo: lanzamos la moneda, desvaneciéndole lo que caderá la prisa. La probabilidad de cada uno de los eventos posibles (la prisa caerá - "éxito", el águila se caerá: "no éxito") es igual al 50 por ciento con el equilibrio ideal de la moneda y la ausencia de otros factores que pueden afectar el experimento.
Fue el evento más fácil. Pero también hay sistemas complejos en los que se realizan acciones sucesivas, y las probabilidades de los resultados de estas acciones serán diferentes. Por ejemplo, considere un sistema de este tipo: en una caja, cuyos contenidos no podemos ver, se encuentran seis bolas completamente idénticas, tres pares de colores azules, rojos y blancos. Debemos llegar a las pocas bolas al azar. En consecuencia, sacando una de las bolas blancas, reduciendo la probabilidad de que la bola blanca también nos vendrá. Esto sucede porque la cantidad de objetos en el sistema cambia.
En la siguiente sección, consideramos conceptos matemáticos más complejos, se aplican estrechamente a lo que significan las palabras "Distribución normal", "Distribución binomial" y similares.
Elementos de las estadísticas matemáticas.
En las estadísticas, que es una de las aplicaciones de la teoría de la probabilidad, hay muchos ejemplos cuando los datos para el análisis no son explícitamente. Es decir, no en los numéricos, sino en forma de división en las características, por ejemplo, por sexo. Para aplicar un aparato matemático a dichos datos y hacer algunas conclusiones de los resultados obtenidos, se requiere los datos de origen en el formato numérico. Como regla general, para la implementación de esto, se le asigna un valor positivo un valor de 1, y negativo - 0. Por lo tanto, obtenemos datos estadísticos que pueden analizarse utilizando métodos matemáticos.
El siguiente paso para comprender cuál es la distribución binomial de una variable aleatoria, está determinando la dispersión de la variable aleatoria y la expectativa matemática. Hable con esto en la siguiente sección.
Valor esperado
De hecho, es fácil entender qué expectativa matemática es fácil. Considere el sistema en el que hay muchos eventos diferentes con sus diferentes probabilidades. La expectativa matemática se denominará el valor igual a la cantidad de los valores de estos eventos (y la forma matemática que hablamos en la sección anterior) sobre la probabilidad de su implementación.
La expectativa matemática de la distribución binomial se calcula por el mismo esquema: tomamos el valor de una variable aleatoria, multiplicarlo en la probabilidad de un resultado positivo, y luego resumimos los datos obtenidos para todos los valores. Es muy conveniente presentar estos datos gráficamente, es mejor que se perciba la diferencia entre las expectativas matemáticas de diferentes cantidades.
En la siguiente sección, le contaremos un poco sobre otro concepto: dispersión de una variable aleatoria. También está estrechamente asociado con un concepto de este tipo como una distribución de probabilidad binomial, y es su característica.
Dispersión de la distribución binomial.
Este valor está estrechamente relacionado con el anterior y también caracteriza la distribución de datos estadísticos. Es un cuadrado promedio de desviaciones de valores de sus expectativas matemáticas. Es decir, la dispersión de una variable aleatoria es la suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor de la variable aleatoria y su expectativa matemática, multiplicada por la probabilidad de este evento.
En general, eso es todo lo que necesitamos saber sobre la dispersión de entender cuál es la distribución binomial de las probabilidades. Ahora vamos a llegar directamente a nuestro tema principal. A saber, lo que se encuentra para esto en la aparición de una frase bastante compleja "Ley de Distribución Binomial".
Distribución binomial
Vamos a descubrir para empezar por qué esta es una distribución binomial. Viene de la palabra "bin". Tal vez escuchó sobre el binoma de Newton, una fórmula de este tipo con la que puede descomponer la suma de dos números A y B a cualquier grado no negativo n.
Como probablemente ya haya adivinado, la fórmula del binoma Newton y la fórmula de la distribución binomial son casi las mismas fórmulas. Es solo una excepción que el segundo se aplica para cantidades específicas, y la primera es solo una herramienta matemática común cuyas aplicaciones pueden ser diferentes en la práctica.
Fórmulas de distribución
La función de distribución binomial se puede registrar como la suma de los siguientes miembros:
(n! / (n - k)! K!) * p k * q n-k
Aquí, n es el número de experimentos aleatorios independientes, el número de resultados exitosos, Q - El número de resultados fallidos, K es el número de experimento (puede tomar valores de 0 a n),! - La designación del factorial, tal función, cuyo valor es igual al producto de todos los números que le van (por ejemplo, para el número 4: 4! \u003d 1 * 2 * 3 * 4 \u003d 24).
Además, la función de distribución binomial se puede registrar como una función beta incompleta. Sin embargo, esta es una definición más compleja, que se usa solo cuando se resuelve problemas estadísticos complejos.
La distribución binomial, los ejemplos de los cuales consideramos anteriormente son uno de los tipos más simples de distribuciones en la teoría de la probabilidad. También hay una distribución normal, que es uno de los tipos de binomio. Se usa con mayor frecuencia, y más simplemente en los cálculos. También está la distribución de Bernoulli, la distribución de Poisson, la distribución condicional. Todos ellos caracterizan áreas gráficamente de la probabilidad de uno u otro proceso en diferentes condiciones.
En la siguiente sección, considere aspectos sobre el uso de este aparato matemático en la vida real. A primera vista, por supuesto, parece que esta es otra cosa matemática, que, como de costumbre, no encuentra solicitudes en la vida real, y en absoluto no es necesaria por nadie, excepto por los propios matemáticos. Sin embargo, éste no es el caso. Después de todo, todos los tipos de distribuciones y sus representaciones gráficas se crearon exclusivamente bajo fines prácticos, y no como caprichos de científicos.
Solicitud
Por supuesto, la aplicación más importante de la distribución se encuentra en las estadísticas, porque existe un análisis integral del conjunto de datos. Como muestra la práctica, muchos matrices de datos tienen sobre las mismas distribuciones de cantidades: áreas críticas de valores muy bajos y muy altos, por regla general, contienen menos elementos que los valores promedio.
El análisis de grandes matrices de datos se requiere no solo en las estadísticas. Es indispensable, por ejemplo, en la química física. En esta ciencia, se utiliza para determinar muchos valores asociados con oscilaciones y movimientos aleatorios de átomos y moléculas.
En la siguiente sección, nos ocuparemos de lo importante que es el uso de tales conceptos estadísticos como Binomial la distribución de una variable aleatoria en la vida cotidiana para nosotros con usted.
¿Por qué lo necesito?
Muchos se hacen una pregunta así cuando se trata de matemáticas. Y por cierto, las matemáticas no están en vano llamadas la reina de la ciencia. Es la base de la física, la química, la biología, la economía y en cada una de estas ciencias, incluida la distribución: si es una distribución binomial discreta, o normal, sin importar. Y si mejoramos el mundo en todo el mundo, veremos que las matemáticas se aplican en todas partes: en la vida cotidiana, en el trabajo, e incluso las relaciones humanas se pueden presentar en forma de datos estadísticos y analizar su análisis (por lo que por el Manera, hacen que aquellos que trabajan en organizaciones especiales involucradas en la recopilación de información).
Ahora vamos a hablar un poco sobre qué hacer si necesita saber sobre este tema mucho más de lo que hemos descrito en este artículo.
Esa información que dimos en este artículo está lejos de ser completa. Hay muchos matices con respecto a qué forma puede tomar distribución. La distribución binomial, como ya hemos encontrado, es una de las principales especies en las que se basan todas las estadísticas matemáticas y la teoría de la probabilidad.
Si se le hizo interesante, o en relación con su trabajo, debe saber sobre este tema mucho más, deberá explorar la literatura especializada. El inicio sale del curso universitario del análisis matemático y viaja allí a la sección de la teoría de la probabilidad. El conocimiento de las filas también será útil, porque la distribución binomial de las probabilidades no es más que una serie de miembros consecutivos.
Conclusión
Antes de completar el artículo, nos gustaría contarle otra cosa interesante. Se refiere a los temas de nuestro artículo y toda la matemática en su conjunto.
Muchas personas dicen que las matemáticas son de la ciencia inútil, y nada de lo que tuvieron lugar en la escuela, no fueron útiles. Pero el conocimiento nunca es superfluo, y si algo no es útil para usted en la vida, significa que simplemente no recuerdas esto. Si tiene conocimiento, pueden ayudarlo, pero si no lo son, entonces no puede esperar la ayuda de ellos.
Entonces, consideramos el concepto de distribución binomial y todas las definiciones asociadas y hablamos sobre cómo se aplica a nuestra vida con usted.
Considere la implementación del esquema Bernoulli, es decir,. Hay una serie de pruebas independientes repetidas disponibles, en cada una de las cuales este evento A tiene la misma probabilidad que no dependa del número de prueba. Y para cada prueba hay solo dos interrupciones:
1) Evento A - Éxito;
2) evento - falla
con probabilidades constantes
Introducimos una cantidad aleatoria discreta x - "El número de eventos y pAG Pruebas "y encuentran la ley de distribución de esta variable aleatoria. X puede hacer valores
Probabilidad 
que la variable aleatoria tomará un valor x k. Ubicado por Bernoulli Fórmula
La ley de distribución de la variable aleatoria discreta determinada por la fórmula Bernoulli (1) se llama derecho de distribución binomial. Permanente pAG y r (q \u003d 1-p)incluido en la fórmula (1) se llaman parámetros de distribución binomial.
El nombre "Distribución binomial" está asociada con el hecho de que el lado derecho en la igualdad (1) es un miembro general de la descomposición del binoma de Newton, es decir.
(2)
Y desde p + q \u003d 1, el lado derecho de la igualdad (2) es igual a 1
Esto significa que
(4)
En igualdad (3), el primer miembro q N. La parte correcta significa la probabilidad de que en pAG Evento de pruebas y nunca aparecerá, segundo miembro. 
la probabilidad de que el evento A aparezca una vez, la tercera Dick es la probabilidad de que el evento A aparezca dos veces y, finalmente, el último miembro p P. - la probabilidad de que el evento A aparezca exactamente pAG hora.
La ley de distribución binomial de la variable aleatoria discreta se representa como una tabla:
| H. | 0 | 1 | … | k. | … | nORTE. |
| R | q N. | … | 
|
… | p P. |
Las principales características numéricas de la distribución binomial:
1) expectativa matemática 
(5)
2) dispersión 
(6)
3) desviación cuadrática secundaria 
(7)
4) El número más adecuado de eventos. k 0 - Este es el número con el especificado. pAG corresponde a la máxima probabilidad binomial
Con especificado pAG y r Este número está determinado por las desigualdades.
(8)
si el número pR + R. no es entero entonces k 0 Igualmente toda una parte de este número, si pR + R. - entero, entonces k 0 Él tiene dos significados
La ley binomial de la distribución de la probabilidad se aplica en la teoría del tiro, en teoría y la práctica del control estadístico de la calidad del producto, en la teoría del servicio masivo, en la teoría de la confiabilidad, etc. Esta ley se puede aplicar en todos los casos cuando existe una secuencia de pruebas independientes.
Ejemplo 1:Las pruebas de calidad se establecen que de cada 100 dispositivos no tienen defectos de 90 piezas en promedio. Haga una ley binomial de la distribución de la probabilidad del número de dispositivos de alta calidad desde adquiridos al azar 4.
Decisión:Evento A: cuya aparición se verifica por esto: "Adquirido en la calidad del dispositivo aleatorio". Bajo la condición del problema, los principales parámetros de la distribución binomial:
El valor aleatorio X es el número de dispositivos de alta calidad hechos de 4, lo que significa los valores de X-intente la probabilidad de X valores por fórmula (1):
Por lo tanto, el valor de la distribución de la cantidad de X es el número de instrumentos de alta calidad hechos de 4:
| H. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| R | 0,0001 | 0,0036 | 0,0486 | 0,2916 | 0,6561 |
Para verificar la exactitud de la construcción de distribución, verifique por qué la suma de las probabilidades es igual
Respuesta:Ley de distribución
| H. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| R | 0,0001 | 0,0036 | 0,0486 | 0,2916 | 0,6561 |
Ejemplo 2:El método de tratamiento utilizado conduce a la recuperación en el 95% de los casos. Cinco pacientes aplicaron este método. Encuentre las características más numéricas de la variable aleatoria X: el número de recuperado de 5 pacientes utilizó este método.
Considere la distribución binomial, calculamos sus expectativas matemáticas, dispersión, moda. Uso de la función MS Excel Binomesp (), construimos gráficos de la función de distribución y la densidad de probabilidad. Evaluaremos el parámetro de la distribución P, la expectativa matemática de la distribución y la desviación estándar. También consideraremos la distribución de Bernoulli.
Definición . Dejemos que sean sostenidos NORTE. Pruebas, en cada una de las cuales solo se pueden producir 2 eventos: el evento "Éxito" con probabilidad pag. o el evento "fracaso" con probabilidad P. \u003d 1-P (llamado así Bernoulli esquema, Bernoulli. ensayos.).
La probabilidad de obtener exactamente X. Éxitos en estos NORTE. Las pruebas son iguales a:
El número de éxito en la muestra. X. es un valor aleatorio que tiene Distribución binomial (Esp. Binomio Distribución) pag. y NORTE. – Son los parámetros de esta distribución.
Recordemos que para su uso Esquemas Bernoulli y correspondientemente Distribución binomial Las siguientes condiciones deben completarse:
- cada prueba debe tener exactamente dos resultados, condicionadamente denominados "éxito" y "fracaso".
- el resultado de cada prueba no debe depender de los resultados de las pruebas anteriores (independencia de la prueba).
- probabilidad de éxito pag. Debe ser constante para todas las pruebas.
Distribución binomial en MS Excel
En MS Excel, a partir de 2010, por Hay una función BINOM (), el nombre en inglés - binom.dist (), que le permite calcular la probabilidad de que en la muestra será suave H. "Éxitos" (es decir, La función de la densidad de probabilidad. P (x), vea la fórmula anterior), y Función de distribución integral (La probabilidad de que en la muestra sea X. o menos "éxito", incluyendo 0).
Antes de MS Excel 2010, Excel tenía una función binomap (), que también nos permite calcular Función de distribución y densidad de probabilidad P (x). Binomap () se queda en MS Excel 2010 para la compatibilidad.
El archivo de ejemplo muestra gráficos Distribución de la probabilidad y .
Distribución binomial Tiene notación B. ( NORTE. ; pag.) .
Nota : Para construir Función de distribución integral Diagrama de ajuste ideal Calendario por Distribución de distribución – Histograma con agrupación . Lea más sobre la construcción de gráficos Lea el artículo principal de diagramas.
Nota : Para facilitar la escritura, las fórmulas en el archivo de ejemplo crearon nombres para parámetros Distribución binomial : n y p.
El archivo de ejemplo proporciona varios cálculos de probabilidad utilizando las funciones de MS Excel:
Como se puede ver en la imagen de arriba, se supone que:
- En un conjunto infinito, desde el cual se realiza la muestra, contiene 10% (o 0.1) de los elementos adecuados (parámetro pag. , el tercer argumento de la función \u003d bin.rasp ())
- Para calcular la probabilidad de que en la muestra de 10 elementos (parámetro NORTE. El segundo argumento de la función) será exactamente 5 elementos adecuados (primer argumento), debe registrar la fórmula: \u003d Binomasp (5; 10; 0,1; miente)
- El último, cuarto elemento, set \u003d falso, es decir. Devuelve el valor de la función. Distribución de distribución .
Si el valor del cuarto argumento \u003d verdad, entonces la función del contenedor () devuelve el valor Función de distribución integral o simplemente Función de distribución . En este caso, es posible calcular la probabilidad de que en la muestra, el número de elementos adecuados será de un rango específico, por ejemplo, 2 o menos (incluyendo 0).
Para hacer esto, necesita escribir la fórmula: \u003d Binom.rp (2; 10; 0.1; verdad)
Nota : Con el valor NENET X ,. Por ejemplo, las siguientes fórmulas devolverán el mismo valor: \u003d Bin. 2 ; 10; 0.1; CIERTO) \u003d Bin. 2,9 ; 10; 0.1; CIERTO)
Nota : En el archivo de ejemplo densidad de probabilidad y Función de distribución También se calcula utilizando la definición y función de Numcomb ().
Indicadores de distribución
EN Archivo de ejemplo en el ejemplo de la hoja Hay fórmulas para calcular algunos indicadores de distribución:
- \u003d n * p;
- (cuadrado de desviación estándar) \u003d n * p * (1-P);
- \u003d (n + 1) * p;
- \u003d (1-2 * p) * raíz (n * p * (1-p)).
Retirar la fórmula expectativa matemática Distribución binomial Utilizando Esquema de Bernoulli .
Por definición, el valor aleatorio x en Esquema de Bernoulli (Bernoulli aleating variable) tiene Función de distribución :
Esta distribución se llama Distribución de Bernoulli .
Nota : Distribución de Bernoulli - caso privado Distribución binomial con parámetro n \u003d 1.
Permítanos generar 3 matriz de 100 números con diferentes probabilidades de éxito: 0.1; 0.5 y 0.9. Para hacer esto en la ventana Generación de números aleatorios Establezca los siguientes parámetros para cada probabilidad P:
Nota : Si configura la opción Dispersión aleatoria ( Semilla aleatoria) Puede elegir un conjunto aleatorio específico de números generados. Por ejemplo, al configurar esta opción \u003d 25, se puede generar en diferentes computadoras los mismos conjuntos de números aleatorios (a menos que, por supuesto, se coinciden con otros parámetros de distribución). El valor de la opción puede tomar valores completos de 1 a 32 767. Nombre de las opciones Dispersión aleatoria puede confundir. Sería mejor traducirlo como Conjunto de número con números aleatorios .
Como resultado, tendremos 3 columnas de 100 números, sobre la base de los cuales puede, por ejemplo, evaluar la probabilidad de éxito. pag. Según la fórmula: Número de éxito / 100 (cm. Ejemplo de archivo de hoja de generación de hojas).
Nota : Para Distribución de Bernoulli Con P \u003d 0.5, puede usar la fórmula \u003d racionamiento (0; 1), que corresponde.
Generación de números aleatorios. Distribución binomial
Supongamos que se han descubierto 7 productos defectuosos en la muestra. Esto significa que la situación es "muy probable" que la proporción de productos defectuosos ha cambiado pag. Cuál es la característica de nuestro proceso de producción. Aunque esta situación es "muy probable", pero existe la posibilidad (riesgo alfa, el error del 1er tipo, "falso alarma"), que sigue siendo pag. Se mantuvo sin cambios, y el mayor número de productos defectuosos se debe al azar de muestreo.
Como se puede ver en la siguiente figura, 7 es el número de productos defectuosos, que está permitido para el proceso con P \u003d 0.21 con el mismo valor Alfa . Esto sirve como una ilustración que cuando se excede el valor umbral de los productos defectuosos en la muestra, pag. "Muy probable" aumentado. La frase "Lo más probable" significa que solo hay una probabilidad del 10% (100% -90%) que la desviación de la proporción de productos defectuosos sobre el umbral es causada por solo las causas.
Por lo tanto, la superación del número de umbral de productos defectuosos en la muestra puede ser una señal de que el proceso está molesto y comenzó a producir B acerca de Pasó porcentaje de productos defectuosos.
Nota : Antes de MS Excel 2010 en Excel hubo una función CRTBIN (), que es equivalente a Binomes (). Cretebin () se deja en MS Excel 2010 y superior a la compatibilidad.
Comunicación de la distribución binomial con otras distribuciones.
Si el parámetro NORTE. Distribución binomial tiende al infinito, y pag. tiende a 0, entonces en este caso Distribución binomial Se puede aproximar. Las condiciones se pueden formular cuando la aproximación. distribución de veneno Funciona bien:
- pag. (lo menos pag. y más NORTE. , la aproximación más cercana);
- pag. >0,9 (teniendo en cuenta que P. =1- pag. , los cálculos en este caso deben hacerse a través de P. (pero H. Necesito reemplazar en NORTE. - X.). Por lo tanto P. y más NORTE. , la aproximación es más precisa).
A 0.110 Distribución binomial Puedes aproximarte.
En turno, Distribución binomial Puede servir como una buena aproximación cuando el tamaño de la totalidad n Distribución hipergeométrica Mucho más Muestreo de muestras N (es decir, N \u003e\u003e N o N / N. Más sobre la conexión de las distribuciones anteriores, puede leer en el artículo. También hay ejemplos de aproximación, y las condiciones se explican cuando es posible con lo posible. precisión.
Consejo : En otros artículos de MS Excel se pueden encontrar en el artículo.
Capítulo 7.
Leyes específicas de la distribución de variables aleatorias.
Tipos de leyes de distribución de variables aleatorias discretas.
Deje que el valor aleatorio discreto pueda tomar valores. h. 1 , h. 2 , …, x N..... Las probabilidades de estos valores se pueden calcular de acuerdo con varias fórmulas, por ejemplo, utilizando los teoremas básicos de la teoría de la probabilidad, las fórmulas Bernoulli o por otras fórmulas. Para algunas de estas fórmulas, la ley de distribución tiene su nombre.
Las leyes más comunes de la distribución de la varianza aleatoria discreta son la ley binomial, geométrica, hipergométrica y de distribución de Poisson.
Ley de Distribución Binomial
Dejar que se produzca nORTE. Pruebas independientes, en cada una de las cuales puede aparecer un evento o no aparece PERO. La probabilidad de este evento en cada prueba de una sola prueba es constante, no depende del número de prueba e igual r=R(PERO). De ahí la probabilidad de ningún evento. PERO En cada prueba también es constante e igual. p.=1–r. Considerar una cantidad aleatoria H. igual al número de eventos PERO en nORTE. Pruebas. Obviamente, los valores de este valor son iguales.
h. 1 \u003d 0 - evento PERO en nORTE. Las pruebas no aparecieron;
h. 2 \u003d 1 - evento PERO en nORTE. Las pruebas aparecieron una vez;
h. 3 \u003d 2 - evento PERO en nORTE. Las pruebas aparecieron dos veces;
…………………………………………………………..
x N. +1 = nORTE. - evento PERO en nORTE. Aparecieron pruebas nORTE. hora.
Las probabilidades de estos valores pueden ser calculadas por la Fórmula Bernoulli (4.1):
dónde a=0, 1, 2, …, NORTE. .
Ley de Distribución Binomial H.igual a la cantidad de éxito en nORTE. Pruebas de Bernoulli, con probabilidad de éxito. r.
Por lo tanto, el valor aleatorio discreto tiene una distribución binomial (o distribuida de acuerdo con la ley binomial) si sus valores posibles son 0, 1, 2, ... nORTE.y las probabilidades correspondientes se calculan por fórmula (7.1).
La distribución binomial depende de dos parámetros r y nORTE..
Una serie de distribución de una variable aleatoria, distribuida de acuerdo con la ley binomial, tiene la forma:
| H. | … | k. | … | nORTE. | ||
| R |  | … | … |  |
Ejemplo 7.1 . Hay tres tomas de destino independientes. La probabilidad de ingresar cada disparo es 0.4. Valor aleatorio H. - El número de hits en el objetivo. Construir su número de distribución.
Decisión. Posibles valores de variable aleatoria. H. están h. 1 =0; h. 2 =1; h. 3 =2; h. 4 \u003d 3. Encontramos las probabilidades correspondientes utilizando la fórmula Bernoulli. Es fácil mostrar que el uso de esta fórmula aquí está bastante justificado. Tenga en cuenta que la probabilidad de no ingresar al objetivo en una toma será 1-0.4 \u003d 0.6. Recibir
Una serie de distribución es la siguiente:
| H. | ||||
| R | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Es fácil verificar que la suma de todas las probabilidades sea igual a 1. Número aleatorio en sí mismo H. Distribuido por la ley binomial. ■.
Encontramos la expectativa matemática y la dispersión de una variable aleatoria distribuida de acuerdo con la ley binomial.
Al resolver Ejemplo 6.5 Se demostró que la expectativa matemática de la cantidad de apariciones de eventos PERO en nORTE. Pruebas independientes si la probabilidad de aparición. PERO En cada prueba es constante e igual. rbien nORTE.· r
En este ejemplo, una variable aleatoria, distribuida de acuerdo con la ley binomial. Por lo tanto, la solución del Ejemplo 6.5 es esencialmente la prueba del siguiente teorema.
Teorema 7.1. La expectativa matemática de la variable aleatoria discreta distribuida de acuerdo con la ley binomial es igual al producto del número de pruebas en la probabilidad de "éxito", es decir, METRO.(H.)= NORTE.· r.
Teorema 7.2.La dispersión de la variable aleatoria discreta, distribuida de acuerdo con la ley binomial, es igual al producto del número de pruebas sobre la probabilidad de "éxito" y sobre la probabilidad de "fracaso", es decir, D.(H.)= NPQ.
La asimetría y el exceso de una variable aleatoria, distribuida de acuerdo con la ley binomial, están determinados por fórmulas.
Estas fórmulas se pueden obtener utilizando el concepto de momentos iniciales y centrales.
La Ley de Distribución Binomial subyace a muchas situaciones reales. Para valores grandes nORTE. La distribución binomial puede ser aproximada por otras distribuciones, en particular por la ayuda de la distribución de Poisson.
distribución de veneno
Deja que sea NORTE.pruebas de Bernoulli, con el número de pruebas. nORTE. Lo suficientemente grande Previamente demostró que en este caso (si es más probable r eventos PERO muy pequeño) para encontrar la probabilidad de que el evento PERO a aparecer t. Una vez en las pruebas, puede usar la fórmula de Poisson (4.9). Si un valor aleatorio H. significa el número de eventos PERO en nORTE.pruebas de Bernoulli, la probabilidad de que H. Tomar un valor k. Puede ser calculado por la fórmula.
, (7.2)
dónde λ = nr.
Ley de la distribución de Poisson.llamado la distribución de la variable aleatoria discreta. H.Para los cuales los valores posibles son números no negativos completos, y las probabilidades r T. Estos valores se encuentran por fórmula (7.2).
Valor λ = nrllamada parámetrodistribución de veneno.
Una variable aleatoria distribuida por la ley de Poisson puede tomar un conjunto infinito de valores. En cuanto a esta probabilidad de distribución. r La aparición del evento en cada prueba es pequeña, esta distribución a veces se llama la ley de fenómenos raros.
Una serie de distribución de una variable aleatoria distribuida por la ley de Poisson tiene la forma
| H. | … | t. | … | ||||
| R | … | … |
No es difícil asegurarse de que la cantidad de probabilidad de la segunda cadena sea 1. Para hacer esto, es necesario recordar que la función se puede descomponer en una fila de macrolore, que converge para cualquier h.. En este caso tenemos
. (7.3)
Como se señaló, la ley de Poisson en ciertos casos limitantes reemplaza la ley binomial. Como ejemplo, puede traer una cantidad aleatoria. H.Los valores de los cuales son iguales al número de fallas durante un cierto período de tiempo con el uso repetido del dispositivo técnico. Se supone que este es un alto dispositivo de confiabilidad, es decir. La probabilidad de fallar en una aplicación es muy pequeña.
Además de tales márgenes, en la práctica hay variables aleatorias distribuidas bajo la ley Poisson que no están relacionadas con la distribución binomial. Por ejemplo, la distribución de Poisson a menudo se usa cuando se ocupan del número de eventos que aparecen en la época del tiempo (el número de llamadas a la central telefónica dentro de una hora, el número de automóviles llegaron al lavado de automóviles durante el día, el Número de paradas de máquinas por semana, etc.). Todos estos eventos deben formarse, el llamado flujo de eventos, que es uno de los conceptos básicos de la teoría de mantenimiento masivo. Parámetro λ Caracteriza la intensidad media del flujo de eventos.
Ejemplo 7.2 . La facultad tiene 500 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que el 1 de septiembre sea el cumpleaños para tres estudiantes de esta facultad?
Decisión . Desde el número de estudiantes nORTE.\u003d 500 es lo suficientemente grande y r - La probabilidad del primero de septiembre nace de cualquiera de los estudiantes iguales, es decir, suficiente pequeño, entonces podemos asumir que un valor aleatorio H. - El número de estudiantes nacidos en primer mes de septiembre se distribuye bajo la ley de Poisson con un parámetro λ = nOTARIO PÚBLICO.\u003d \u003d 1.36986. Luego, por fórmula (7.2) obtenemos
Teorema 7.3.Deje un valor aleatorio H. Distribuido por la Ley de Poisson. Entonces su expectativa matemática y dispersión son iguales entre sí e igual al valor del parámetro λ . METRO.(X.) = D.(X.) = λ = nOTARIO PÚBLICO..
Evidencia. Al determinar la expectativa matemática, utilizando Fórmula (7.3) y una serie de distribución de una variable aleatoria distribuida por la ley de Poisson, obtenemos
Antes de encontrar la dispersión, encontraremos la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria en consideración. Recibir
Desde aquí, por definición de la dispersión, obtenemos.
El teorema está probado.
Aplicando los conceptos de los momentos iniciales y centrales, se puede mostrar que para una variable aleatoria, distribuida bajo la ley de Poisson, los coeficientes de asimetría y los excesos están determinados por fórmulas.
No es difícil entender eso, ya que en el contenido semántico del parámetro. λ = nOTARIO PÚBLICO. Es positivo, entonces la asimetría y el cómplee siempre son una asimetría positiva y se comercializa en una variable aleatoria.
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