Un paralelepípedo recto cuyas bases se llaman rectangulares. Figuras geometricas
En esta lección, todos podrán estudiar el tema "Paralelepípedo rectangular". Al comienzo de la lección, repetiremos lo que es un paralelepípedo arbitrario y recto, recordaremos las propiedades de sus caras opuestas y diagonales de un paralelepípedo. Luego consideraremos qué es un paralelepípedo rectangular y discutiremos sus principales propiedades.
Tema: Perpendicularidad de líneas y planos
Lección: Paralelepípedo rectangular
Una superficie formada por dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 y cuatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se llama paralelepípedo(Figura 1).
Arroz. 1 paralelepípedo
Es decir: tenemos dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 (base), se encuentran en planos paralelos de modo que los bordes laterales AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 son paralelos. Por lo tanto, una superficie compuesta de paralelogramos se llama paralelepípedo.
Por lo tanto, la superficie de un paralelepípedo es la suma de todos los paralelogramos que forman el paralelepípedo.
1. Las caras opuestas de la caja son paralelas e iguales.
(las formas son iguales, es decir, se pueden combinar mediante superposición)
Por ejemplo:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguales por definición),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ya que AA 1 B 1 B y DD 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ya que AA 1 D 1 D y BB 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo).
2. Las diagonales del paralelepípedo se cruzan en un punto y se reducen a la mitad en este punto.
Las diagonales del paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzan en un punto O, y cada diagonal se divide por este punto por la mitad (Fig. 2).
Arroz. 2 Las diagonales del paralelepípedo se intersecan y se dividen a la mitad por el punto de intersección.
3. Hay tres cuádruples de bordes paralelepípedos iguales y paralelos: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definición. Un paralelepípedo se llama recto si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases.
Deje que el borde lateral AA 1 sea perpendicular a la base (Fig. 3). Esto significa que la recta AA 1 es perpendicular a las rectas AD y AB, que se encuentran en el plano de la base. Esto significa que los rectángulos se encuentran en las caras laterales. Y en las bases hay paralelogramos arbitrarios. Denote, ∠BAD = φ, el ángulo φ puede ser cualquiera.
Arroz. 3 paralelepípedo recto
Entonces, un paralelepípedo recto es un paralelepípedo en el que los bordes laterales son perpendiculares a las bases del paralelepípedo.
Definición. El paralelepípedo se llama rectangular, si sus costillas laterales son perpendiculares a la base. Las bases son rectángulos.
Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rectangular (Fig.4), si:
1. AA 1 ⊥ ABCD (borde lateral perpendicular al plano de la base, es decir, un paralelepípedo recto).
2. ∠BAD = 90 °, es decir, hay un rectángulo en la base.
Arroz. 4 paralelepípedo rectangular
Un paralelepípedo rectangular tiene todas las propiedades de un paralelepípedo arbitrario. Pero hay propiedades adicionales que se derivan de la definición de un paralelepípedo rectangular.
Entonces, paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo con bordes laterales perpendiculares a la base. La base del paralelepípedo rectangular es un rectángulo..
1. En un paralelepípedo rectangular, las seis caras son rectángulos.
ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 - rectángulos por definición.
2. Las costillas laterales son perpendiculares a la base.... Esto significa que todas las caras laterales de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.
3. Todas las esquinas diedras de un paralelepípedo rectangular son rectas.
Considere, por ejemplo, el ángulo diedro de un paralelepípedo rectangular con una arista AB, es decir, el ángulo diedro entre los planos ABB 1 y ABC.
AB es una arista, el punto A 1 se encuentra en un plano, en el plano ABB 1, y el punto D en otro, en el plano A 1 B 1 C 1 D 1. Entonces, el ángulo diedro considerado también se puede denotar de la siguiente manera: ∠A 1 ABD.
Tome el punto A en el borde AB. AA 1 - perpendicular a la arista AB en el plano ABB-1, AD perpendicular a la arista AB en el plano ABC. Por tanto, ∠А 1 АD es el ángulo lineal del ángulo diedro dado. ∠А 1 АD = 90 °, lo que significa que el ángulo diedro en el borde AB es de 90 °.
∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.
Se demuestra de manera similar que todos los ángulos diedros de un paralelepípedo rectangular son rectos.
El cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones.
Nota. Las longitudes de los tres bordes que salen de un vértice del rectángulo son las dimensiones del paralelepípedo rectangular. A veces se les llama largo, ancho, alto.
Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo rectangular (Fig. 5).
Probar: .
Arroz. 5 paralelepípedo rectangular
Prueba:
La recta CC 1 es perpendicular al plano ABC y, por tanto, la recta AC. Esto significa que el triángulo CC 1 A es rectangular. Por el teorema de Pitágoras:
Considere un triángulo rectángulo ABC. Por el teorema de Pitágoras:
Pero BC y AD son lados opuestos del rectángulo. Por tanto, BC = AD. Luego:
Porque , a , luego. Dado que CC 1 = AA 1, entonces lo que se requería para probar.
Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales.
Designemos las medidas del paralelepípedo ABC como a, b, c (ver Fig.6), luego AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
En esta lección, todos podrán estudiar el tema "Paralelepípedo rectangular". Al comienzo de la lección, repetiremos lo que es un paralelepípedo arbitrario y recto, recordaremos las propiedades de sus caras opuestas y diagonales de un paralelepípedo. Luego consideraremos qué es un paralelepípedo rectangular y discutiremos sus principales propiedades.
Tema: Perpendicularidad de líneas y planos
Lección: Paralelepípedo rectangular
Una superficie formada por dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 y cuatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se llama paralelepípedo(Figura 1).
Arroz. 1 paralelepípedo
Es decir: tenemos dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 (base), se encuentran en planos paralelos de modo que los bordes laterales AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 son paralelos. Por lo tanto, una superficie compuesta de paralelogramos se llama paralelepípedo.
Por lo tanto, la superficie de un paralelepípedo es la suma de todos los paralelogramos que forman el paralelepípedo.
1. Las caras opuestas de la caja son paralelas e iguales.
(las formas son iguales, es decir, se pueden combinar mediante superposición)
Por ejemplo:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguales por definición),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ya que AA 1 B 1 B y DD 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ya que AA 1 D 1 D y BB 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo).
2. Las diagonales del paralelepípedo se cruzan en un punto y se reducen a la mitad en este punto.
Las diagonales del paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzan en un punto O, y cada diagonal se divide por este punto por la mitad (Fig. 2).
Arroz. 2 Las diagonales del paralelepípedo se intersecan y se dividen a la mitad por el punto de intersección.
3. Hay tres cuádruples de bordes paralelepípedos iguales y paralelos: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definición. Un paralelepípedo se llama recto si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases.
Deje que el borde lateral AA 1 sea perpendicular a la base (Fig. 3). Esto significa que la recta AA 1 es perpendicular a las rectas AD y AB, que se encuentran en el plano de la base. Esto significa que los rectángulos se encuentran en las caras laterales. Y en las bases hay paralelogramos arbitrarios. Denote, ∠BAD = φ, el ángulo φ puede ser cualquiera.
Arroz. 3 paralelepípedo recto
Entonces, un paralelepípedo recto es un paralelepípedo en el que los bordes laterales son perpendiculares a las bases del paralelepípedo.
Definición. El paralelepípedo se llama rectangular, si sus costillas laterales son perpendiculares a la base. Las bases son rectángulos.
Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rectangular (Fig.4), si:
1. AA 1 ⊥ ABCD (borde lateral perpendicular al plano de la base, es decir, un paralelepípedo recto).
2. ∠BAD = 90 °, es decir, hay un rectángulo en la base.
Arroz. 4 paralelepípedo rectangular
Un paralelepípedo rectangular tiene todas las propiedades de un paralelepípedo arbitrario. Pero hay propiedades adicionales que se derivan de la definición de un paralelepípedo rectangular.
Entonces, paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo con bordes laterales perpendiculares a la base. La base del paralelepípedo rectangular es un rectángulo..
1. En un paralelepípedo rectangular, las seis caras son rectángulos.
ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 - rectángulos por definición.
2. Las costillas laterales son perpendiculares a la base.... Esto significa que todas las caras laterales de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.
3. Todas las esquinas diedras de un paralelepípedo rectangular son rectas.
Considere, por ejemplo, el ángulo diedro de un paralelepípedo rectangular con una arista AB, es decir, el ángulo diedro entre los planos ABB 1 y ABC.
AB es una arista, el punto A 1 se encuentra en un plano, en el plano ABB 1, y el punto D en otro, en el plano A 1 B 1 C 1 D 1. Entonces, el ángulo diedro considerado también se puede denotar de la siguiente manera: ∠A 1 ABD.
Tome el punto A en el borde AB. AA 1 - perpendicular a la arista AB en el plano ABB-1, AD perpendicular a la arista AB en el plano ABC. Por tanto, ∠А 1 АD es el ángulo lineal del ángulo diedro dado. ∠А 1 АD = 90 °, lo que significa que el ángulo diedro en el borde AB es de 90 °.
∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.
Se demuestra de manera similar que todos los ángulos diedros de un paralelepípedo rectangular son rectos.
El cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones.
Nota. Las longitudes de los tres bordes que salen de un vértice del rectángulo son las dimensiones del paralelepípedo rectangular. A veces se les llama largo, ancho, alto.
Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo rectangular (Fig. 5).
Probar: .
Arroz. 5 paralelepípedo rectangular
Prueba:
La recta CC 1 es perpendicular al plano ABC y, por tanto, la recta AC. Esto significa que el triángulo CC 1 A es rectangular. Por el teorema de Pitágoras:
Considere un triángulo rectángulo ABC. Por el teorema de Pitágoras:
Pero BC y AD son lados opuestos del rectángulo. Por tanto, BC = AD. Luego:
Porque , a , luego. Dado que CC 1 = AA 1, entonces lo que se requería para probar.
Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales.
Designemos las medidas del paralelepípedo ABC como a, b, c (ver Fig.6), luego AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
CÓDIGO DE TEXTO DE LA LECCIÓN:
Considere estos elementos:
Construcción de ladrillos, dados, horno microondas. Estos objetos están unidos por la forma.
Superficie formada por dos paralelogramos ABCD y A1B1C1D1 iguales
y cuatro paralelogramos АА1В1В y ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D se llaman paralelepípedos.
Los paralelogramos que forman el paralelepípedo se llaman caras. Cara A1B1C1D1. Borde VV1S1S. Borde ABCD.
En este caso, las caras ABCD y A1B1C1D1 a menudo se denominan bases y las caras restantes son laterales.
Los lados de los paralelogramos se llaman bordes del paralelepípedo. Costilla A1B1. Costilla CC1. Rib AD.
El borde CC1 no pertenece a las bases, se llama borde lateral.
Los vértices de los paralelogramos se llaman vértices del paralelepípedo.
Vértice D1. Vershina V. Vershina S.
Vértices D1 y B
no pertenecen a la misma cara y se llaman opuestos.
La caja se puede dibujar de diferentes formas.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un rombo, en este caso las imágenes de las caras son paralelogramos.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un cuadrado. Los bordes invisibles AA1, AB, AD están representados por líneas discontinuas.
Un paralelepípedo en cuya base se encuentra un cuadrado.
Caja en la base, que es un rectángulo o paralelogramo
Una caja con todas sus caras como cuadrados. Más a menudo se le llama cubo.
Todos los paralelepípedos considerados tienen propiedades. Formulémoslos y probémoslos.
Propiedad 1. Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas e iguales.
Considere un paralelepípedo ABCDA1B1C1D1 y demuestre, por ejemplo, el paralelismo y la igualdad de las caras BB1C1C y AA1D1D.
Según la definición de un paralelepípedo, la cara ABCD es un paralelogramo, por lo que, según la propiedad de un paralelogramo, la arista BC es paralela a la arista AD.
La cara ABB1A1 también es un paralelogramo, lo que significa que las aristas BB1 y AA1 son paralelas.
Esto significa que dos líneas rectas BC y BB1 que se cruzan de un plano, respectivamente, son paralelas a dos líneas rectas AD y AA1, respectivamente, de otro plano, lo que significa que los planos ABB1A1 y BCC1D1 son paralelos.
Todas las caras del paralelepípedo son paralelogramo y, por tanto, BC = AD, BB1 = AA1.
En este caso, los lados de los ángulos В1ВС y А1АD son correspondientemente codireccionales, lo que significa que son iguales.
Así, los dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos del paralelogramo ABB1A1 son respectivamente iguales a los dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos del paralelogramo BCC1D1, lo que significa que estos paralelogramos son iguales.
El paralelepípedo también tiene la propiedad de las diagonales. La diagonal de un paralelepípedo es un segmento que conecta vértices no adyacentes. En el dibujo, la línea discontinua muestra las diagonales B1D, BD1, A1C.
Entonces, propiedad 2. Las diagonales del paralelepípedo se intersecan en un punto y el punto de intersección se divide por la mitad.
Para probar la propiedad, considere el cuadrilátero BB1D1D. Sus diagonales B1D, BD1 son las diagonales del paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.
En la primera propiedad, ya hemos descubierto que el borde BB1 es paralelo e igual al borde AA1, pero el borde AA1 es paralelo e igual al borde DD1. En consecuencia, las aristas BB1 y DD1 son paralelas e iguales, lo que prueba el cuadrilátero BB1D1D-paralelogramo. Y en un paralelogramo, por la propiedad de la diagonal B1D, BD1 se cruza en algún punto O y este punto se divide por la mitad.
El cuadrilátero BC1D1A también es un paralelogramo y sus diagonales C1A se cruzan en un punto y están divididas por este punto por la mitad. Las diagonales del paralelogramo C1A, BD1 son las diagonales del paralelepípedo, lo que significa que la propiedad formulada está probada.
Para consolidar el conocimiento teórico sobre un paralelepípedo, considere un problema de prueba.
Los puntos L, M, N, P están marcados en los bordes del paralelepípedo de modo que BL = CM = A1N = D1P. Demuestre que ALMDNB1C1P es un paralelepípedo.
La cara BB1A1A es un paralelogramo, por lo que la arista BB1 es igual y paralela a la arista AA1, pero por la condición de los segmentos BL y A1N, significa que los segmentos LB1 y NA son iguales y paralelos.
3) Por lo tanto, el cuadrilátero LB1NA se basa en la característica de paralelogramo.
4) Dado que CC1D1D es un paralelogramo, significa que el borde CC1 es igual y paralelo al borde D1D, y CM es igual a D1P por condición, significa que los segmentos MC1 y DP son iguales y paralelos
Por lo tanto, el cuadrilátero MC1PD también es un paralelogramo.
5) Los ángulos LB1N y MC1P son iguales como ángulos con lados respectivamente paralelos e igualmente dirigidos.
6) Obtuvimos que para paralelogramos y MC1PD los lados correspondientes son iguales y los ángulos entre ellos son iguales, entonces los paralelogramos son iguales.
7) Los segmentos son iguales por condición, lo que significa que BLMC es un paralelogramo y el lado BC es paralelo al lado LM y es paralelo al lado B1C1.
8) De manera similar, del paralelogramo NA1D1P se deduce que el lado A1D1 es paralelo al lado NP y paralelo al lado AD.
9) Las caras opuestas ABB1A1 y DCC1D1 del paralelepípedo son paralelas por propiedad, y los segmentos de líneas rectas paralelas entre los planos paralelos son iguales, por lo que los segmentos B1C1, LM, AD, NP son iguales.
Se encontró que en los cuadrángulos ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, dos lados son paralelos e iguales, por lo que son paralelogramos. Entonces nuestra superficie ALMDNB1C1P consta de seis paralelogramos, dos de los cuales son iguales, y por definición es un paralelepípedo.
En esta lección, daremos una definición de un paralelepípedo, discutiremos su estructura y sus elementos (diagonales del paralelepípedo, lados del paralelepípedo y sus propiedades). Y también considere las propiedades de las caras y diagonales del paralelogramo. A continuación, resolveremos un problema típico de construir una sección en un paralelepípedo.
Tema: Paralelismo de líneas y planos
Lección: Paralelepípedo. Propiedades de caras y diagonales de un paralelepípedo
En esta lección daremos una definición de un paralelepípedo, discutiremos su estructura, propiedades y sus elementos (lados, diagonales).
El paralelepípedo está formado por dos paralelogramos ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 iguales, que se encuentran en planos paralelos. Designación: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 o AD 1 (Fig. 1.).
2. Festival de ideas pedagógicas "Lección abierta" ()
1. Geometría. Grado 10-11: un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas (niveles básico y de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edición, revisada y complementada - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: Ill.
Tareas 10, 11, 12 p. 50
2. Construye una sección de un paralelepípedo rectangular. ABCDA1B1C1D1 plano que pasa por los puntos:
a) A, C, B1
b) B1, D1 y la mitad de la costilla AA1.
3. La arista del cubo es igual a a. Construya una sección transversal del cubo con un plano que pase por los puntos medios de tres aristas que se extienden desde un vértice y calcule su perímetro y área.
4. ¿Qué formas se pueden obtener como resultado de la intersección de un plano paralelepípedo?
Definición
Poliedro llamaremos a una superficie cerrada formada por polígonos y que delimita alguna parte del espacio.
Los segmentos de línea que son los lados de estos polígonos se llaman costillas poliedro, y los polígonos en sí son facetas... Los vértices de los polígonos se denominan vértices del poliedro.
Consideraremos solo poliedros convexos (este es un poliedro que se encuentra en un lado de cada plano que contiene su cara).
Los polígonos que componen el poliedro forman su superficie. La parte del espacio que limita un poliedro dado se denomina interior.
Definición: prisma
Considere dos polígonos iguales \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) y \ (B_1B_2B_3 ... B_n \), ubicados en planos paralelos de modo que los segmentos \ (A_1B_1, \ A_2B_2, ..., A_nB_n \) son paralelos. Politopo formado por polígonos \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) y \ (B_1B_2B_3 ... B_n \), así como paralelogramos \ (A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ... \), se llama (\ (n \) -gonal) prisma.
Los polígonos \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) y \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) se denominan bases del prisma, paralelogramos \ (A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ... \)- caras laterales, segmentos \ (A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n \)- costillas laterales.
Por lo tanto, los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales entre sí.
Considere un ejemplo: un prisma \ (A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5 \) con un pentágono convexo en su base.
Altura Los prismas son una perpendicular que cae desde cualquier punto de una base al plano de otra base.
Si los bordes laterales no son perpendiculares a la base, entonces dicho prisma se llama oblicuo(fig.1), de lo contrario - derecho... Para un prisma recto, los bordes laterales son alturas y los bordes laterales son rectángulos iguales.
Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces el prisma se llama correcto.
Definición: el concepto de volumen
La unidad de medida del volumen es un cubo unitario (un cubo de \ (1 \ times1 \ times1 \) unidades \ (^ 3 \), donde unidad es alguna unidad de medida).
Podemos decir que el volumen de un poliedro es la cantidad de espacio que limita este poliedro. De lo contrario: es una cantidad, cuyo valor numérico muestra cuántas veces un cubo unitario y sus partes caben en un poliedro dado.
El volumen tiene las mismas propiedades que el área:
1. Los volúmenes de cifras iguales son iguales.
2. Si un politopo está compuesto por varios poliedros que no se cruzan, entonces su volumen es igual a la suma de los volúmenes de estos poliedros.
3. El volumen es un valor no negativo.
4. El volumen se mide en cm \ (^ 3 \) (centímetros cúbicos), m \ (^ 3 \) (metros cúbicos), etc.
Teorema
1. El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
El área de la superficie lateral es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma.
2. El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura del prisma: \
Definición: paralelepípedo
Paralelepípedo Es un prisma con un paralelogramo en su base.
Todas las caras de un paralelepípedo (sus \ (6 \): \ (4 \) caras laterales y \ (2 \) bases) son paralelogramos, y las caras opuestas (paralelas entre sí) son paralelogramos iguales (Fig. 2).
Diagonal de un paralelepípedo Es un segmento que conecta dos vértices de un paralelepípedo que no se encuentran en la misma cara (su \ (8 \): \ (AC_1, \ A_1C, \ BD_1, \ B_1D \) etc.).
Paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto con un rectángulo en su base.
Porque es un paralelepípedo recto, las caras laterales son rectángulos. Por tanto, en general, todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.
Todas las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales (esto se sigue de la igualdad de triángulos \ (\ triángulo ACC_1 = \ triángulo AA_1C = \ triángulo BDD_1 = \ triángulo BB_1D \) etc.).
Comentario
Por tanto, un paralelepípedo tiene todas las propiedades de un prisma.
Teorema
El área de la superficie lateral de un paralelepípedo rectangular es \
La superficie total de un paralelepípedo rectangular es \
Teorema
El volumen de un paralelepípedo rectangular es igual al producto de sus tres aristas que se extienden desde un vértice (tres dimensiones de un paralelepípedo rectangular): \
Prueba
Porque los bordes laterales de un paralelepípedo rectangular son perpendiculares a la base, entonces también son sus alturas, es decir, \ (h = AA_1 = c \) Porque hay un rectángulo en la base, entonces \ (S _ (\ text (base)) = AB \ cdot AD = ab \)... Por tanto, sigue la fórmula dada.
Teorema
La diagonal \ (d \) de un paralelepípedo rectangular se encuentra mediante la fórmula (donde \ (a, b, c \) son las dimensiones del paralelepípedo) \
Prueba
Considere la fig. 3. Porque hay un rectángulo en la base, entonces \ (\ triangle ABD \) es rectangular, por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, \ (BD ^ 2 = AB ^ 2 + AD ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \).
Porque todos los bordes laterales son perpendiculares a las bases, entonces \ (BB_1 \ perp (ABC) \ Flecha derecha BB_1 \) perpendicular a cualquier línea recta en este plano, es decir \ (BB_1 \ perp BD \). Entonces, \ (\ triangle BB_1D \) es rectangular. Luego, por el teorema de Pitágoras \ (B_1D = BB_1 ^ 2 + BD ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \) etc.
Definición: cubo
Cubo es un paralelepípedo rectangular, cuyas caras son cuadrados iguales.
Por tanto, las tres dimensiones son iguales: \ (a = b = c \). Por lo tanto, lo siguiente es cierto.
Teoremas
1. El volumen de un cubo con una arista \ (a \) es \ (V _ (\ text (cube)) = a ^ 3 \).
2. La diagonal del cubo se calcula mediante la fórmula \ (d = a \ sqrt3 \).
3. Superficie total de un cubo \ (S _ (\ text (cubo completo)) = 6a ^ 2 \).
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