Este artículo contiene y estructuró la información necesaria para resolver casi cualquier ejemplo sobre el tema de los rangos numéricos, desde encontrar la suma de un número antes de estudiarlo para la convergencia.

Visión general del artículo.

Comencemos con las definiciones de la alineación, la serie alterna y el concepto de convergencia. A continuación, consideramos los rangos estándar, como una serie armónica, una serie armónica generalizada, recuerde la fórmula para encontrar la suma de la progresión geométrica infinitamente disminuyendo. Después de eso, procedemos a las propiedades de la serie converging, nos centraremos en la condición necesaria para la convergencia de una serie y una voz, suficientes signos de la convergencia de una serie. La teoría se diluirá con la solución de los ejemplos característicos con explicaciones detalladas.

Navegando.

Definiciones básicas y conceptos.

Que tengamos una secuencia numérica donde .

Damos una secuencia numérica de ejemplo: .

Fila numérica - Esta es la suma de los miembros de la secuencia numérica de la forma. .

Como ejemplo de una serie numérica, la suma de progresión geométrica infinitamente disminuyendo con el denominador Q \u003d -0.5 se puede dar: .

Llamada miembro general de la serie numérica. o miembro k-th de una serie.

Para el ejemplo anterior, el miembro general de la serie numérico tiene el formulario.

Cantidad parcial de fila numérica - Esta es la suma de la especie, donde n es un cierto número natural. También se refieren a la suma parcial de N-OH de la serie numérica.

Por ejemplo, la cuarta cantidad parcial de la fila. hay .

Sumas parciales Formando una secuencia infinita de sumas parciales de la serie numérica.

Para nuestra serie, N es una cantidad parcial que se encuentra de acuerdo con la fórmula del primer miembro N de la progresión geométrica , es decir, tendremos la siguiente secuencia de sumas parciales: .

Se llama la fila numérica convergenteSi hay un límite finito de la secuencia de sumas parciales. Si el límite de la secuencia de sumas parciales de la serie numérica no existe o infinita, entonces se llama el rango dibujado.

La suma de la serie numérica interesada. llamado el límite de la secuencia de sus sumas parciales, es decir, .

En nuestro ejemplo, por lo tanto, un número Converge, y su cantidad es de dieciséis terceros: .

Como ejemplo, la serie divergente se puede administrar a la cantidad de progresión geométrica con el denominador mayor que la unidad: . La cantidad parcial de N-AYA está determinada por la expresión y el límite de sumas parciales es infinito: .

Otro ejemplo de una serie numérica divergente es la cantidad de la especie. . En este caso, la cantidad parcial de N-AYA se puede calcular como. El límite de sumas parciales es infinito. .

Cantidad de tipo llamada armónico numérico cerca.

Cantidad de tipo donde s es un número válido llamado numérico armonioso generalizado cercano.

Las definiciones especificadas son suficientes para justificar las siguientes afirmaciones muy a menudo utilizadas, recomendamos recordarlas.

La fila armónica es divergente.

Probamos la divergencia de la serie armónica.

Supongamos que un número converge. Luego hay un límite finito de sus sumas parciales. En este caso, puede grabar y, lo que nos lleva a la igualdad. .

Por otro lado,


No cause dudas las siguientes desigualdades. De este modo, . La desigualdad resultante nos indica esa igualdad. No se puede lograr, lo que contradice nuestro supuesto sobre la convergencia de la serie armónica.

Conclusión: la fila armónica diverge.

La suma de la progresión geométrica del formulario con el denominador Q es un numérico convergente cerca, si y divergente al lado.

Lo demostramos.

Sabemos que la suma de los primeros n miembros de la progresión geométrica es por la fórmula. .

Con feria


¿Qué puntos de la convergencia de una serie numérica?

En Q \u003d 1 tiene una serie numérica . Sus sumas parciales son como, y el límite de sumas parciales es infinito. ¿Qué puntos a la divergencia de un número en este caso?

Si Q \u003d -1, entonces el número numérico tomará el formulario . Las sumas parciales toman un valor para N, y incluso n. De esto podemos concluir que el límite de sumas parciales no existe y la fila diverge.

Con feria


¿Qué puntos a la divergencia de una serie numérica?

Una serie de armónicos generalizados converge a S\u003e 1 y divergencias en.

Evidencia.

Para S \u003d 1, obtenemos una fila armónica, y arriba lo establecimos.

Para la desigualdad justa para todos los k natural. Debido a la divergencia de la serie armónica, se puede argumentar que la secuencia de sus sumas parciales es ilimitada (ya que no hay límite finito). Luego, la secuencia de sumas parciales de la serie numérica es más ilimitada (cada miembro de esta serie es mayor que el miembro relevante de la serie armónica), por lo tanto, una fila armónica generalizada se separa en s.

Queda por demostrar la convergencia de la serie en S\u003e 1.

Escribimos una diferencia:



Obviamente, entonces


Cortar la desigualdad resultante para n \u003d 2, 4, 8, 16, ...



Usando estos resultados, las siguientes acciones se pueden realizar con el número numérico inicial:



Expresión Es una cantidad de progresión geométrica, cuyo denominador es igual. Como consideramos el caso en S\u003e 1, entonces. por lo tanto
. Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales de la serie armónica generalizada en S\u003e 1 está aumentando y, por lo tanto, se limita al mismo tiempo desde por encima del valor, por lo tanto, tiene un límite que indica la convergencia de la fila. Prueba completada.

Se llama la fila numérica alinearSi todos sus miembros son positivos, es decir, .

Se llama la fila numérica alinearSi los signos de sus miembros vecinos son diferentes. La fila numérica del canto se puede escribir como o dónde .

Se llama la fila numérica firmadoSi contiene un conjunto infinito de miembros positivos y negativos.

Un número alternativo de una serie numérica es una ocasión especial de una serie alternativa.

Filas

Son alineación, alineando y alternando, respectivamente.

Para una serie prohibida, existe el concepto de convergencia absoluta y condicional.

absolutamente convergenteSi se converve una fila de los valores absolutos de sus miembros, es decir, la serie numérica alineada converge.

Por ejemplo, filas numéricas. y absolutamente convergen, porque un número converge , que es la suma de progresión geométrica infinitamente decreciente.

Se anunció la fila llamada condicionalmente convergenteSi una fila diverge, y la serie converge.

Como ejemplo, se puede traer una serie numérica convergente convencional. . Fila numérica Compilado de los valores absolutos de los miembros de la serie inicial, se consignan, ya que es armónico. Al mismo tiempo, el número inicial es convergente, que se instala fácilmente con. Así, una serie alterna numérica. Moviéndose condicionalmente.

Propiedades de las filas numéricas convergentes.

Ejemplo.

Probar la convergencia de una serie numérica.

Decisión.

Escribimos una fila en otra forma. . La serie numérica converge, ya que la serie armónica generalizada se converge a S\u003e 1, y en virtud de la segunda propiedad de la serie numérica convergente también convergerá con un coeficiente numérico.

Ejemplo.

La pequeña fila converge.

Decisión.

Convertimos la fila de origen: . Por lo tanto, recibimos la suma de dos filas numéricas y, y cada una de ellas converge (ver el ejemplo anterior). Por lo tanto, debido a la tercera propiedad de las filas numéricas convergentes, la serie inicial converge.

Ejemplo.

Demuestra la convergencia de la serie numérica. Y calcular su cantidad.

Decisión.

Esta serie numérica se puede representar como una diferencia de dos filas:

Cada una de estas filas es la suma de la progresión geométrica infinitamente decreciente, por lo tanto, es convergente. La tercera propiedad de la serie convergente sugiere que la serie numérica inicial converge. Calculo su cantidad.

El primer miembro de la serie es una unidad, y el denominador de la progresión geométrica correspondiente es de 0.5, por lo tanto, .

El primer miembro de la fila es 3, y el denominador de la progresión geométrica que disminuye infinitamente correspondiente es 1/3, por lo que .

Utilizamos los resultados obtenidos para encontrar la cantidad de la serie numérica original:

La condición necesaria para la convergencia de la serie.

Si una serie numérica converge, el límite de su miembro K-C es cero :.

En el estudio de cualquier serie numérica para la convergencia, en primer lugar, se debe verificar la implementación de la condición de convergencia necesaria. El incumplimiento de esta condición indica la divergencia de la serie numérica, es decir, si la fila diverge.

Por otro lado, es necesario entender que esta condición no es suficiente. Es decir, el cumplimiento de la igualdad no habla de la convergencia de la serie numérica. Por ejemplo, para la serie armónica, se realiza la condición necesaria de convergencia, y la fila diverge.

Ejemplo.

Explore una fila numérica en la convergencia.

Decisión.

Compruebe la condición necesaria para la convergencia de la serie numérica:

Límite el miembro N-TH del número numérico no es cero, por lo tanto, la fila diverge.

Signos suficientes de convergencia de la serie alinemental.

Cuando se usa signos suficientes para el estudio de las filas numéricas, la convergencia se enfrenta constantemente, por lo que recomendamos ponerse en contacto con esta sección en dificultad.

Condición requerida y suficiente para la convergencia de la serie numérica alineada.

Para la convergencia de la serie numérica alineada. Es necesario y suficiente para la secuencia de sus sumas parciales es limitada.

Empecemos con signos de comparación de filas. Su esencia consiste en comparar las series numéricas estudiadas con un número, convergencia o divergencia de las cuales se conoce.

El primer, segundo y tercer signo de comparación.

El primer signo de comparar las filas.

Deje que ambos sean dos filas numéricas alineadas y una desigualdad para todos K \u200b\u200b\u003d 1, 2, 3, luego de la convergencia de una serie de convergencia, y de la divergencia de la serie debe ser divergencia.

El primer signo de comparación se usa con mucha frecuencia y es una herramienta muy poderosa para el estudio de filas numéricas para la convergencia. El principal problema es la selección de una fila adecuada para comparación. Un número para la comparación generalmente (pero no siempre) se elige de tal manera que el indicador de su Miembro K-C sea igual a la diferencia en el grado del grado numérico y el denominador de la K sin un miembro de la serie numérica estudiada. Por ejemplo, deje que la diferencia en el grado del numerador y los indicadores del denominador sea 2 - 3 \u003d -1, por lo tanto, para comparación, elegimos una fila con un miembro K-TH, es decir, una fila armónica. Considere varios ejemplos.

Ejemplo.

Instale la convergencia o divergencia de la fila.

Decisión.

Dado que el límite del miembro total de la serie es cero, se realiza la condición necesaria para la convergencia de la serie.

Es fácil ver que la desigualdad es justa para todo natural K. Sabemos que la fila armónica diverge, por lo tanto, en el primer signo de comparación, la serie inicial también es divergente.

Ejemplo.

Explore una fila numérica en la convergencia.

Decisión.

Se realiza la condición necesaria para la convergencia de la serie numérica, ya que . Obviamente el cumplimiento de la desigualdad. Para cualquier valor natural k. Un número converge, ya que una serie de armónicos generalizados está convergiendo para S\u003e 1. Por lo tanto, el primer signo de comparación de las filas le permite indicar la convergencia de la serie numérica original.

Ejemplo.

Determinar la convergencia o divergencia de la serie numérica.

Decisión.

Por lo tanto, se cumple la condición necesaria para la convergencia de la serie numérica. ¿Qué número para elegir para comparación? Es sugerido por una serie numérica y para determinar S, examinar cuidadosamente la secuencia numérica. Los miembros de la secuencia numérica aumentan al infinito. Por lo tanto, a partir de algún número N (a saber, con n \u003d 1619), los miembros de esta secuencia serán más grandes que 2. A partir de este número n, la desigualdad es cierta. La serie numérica converge en virtud de la primera propiedad de la serie converging, ya que resulta de la serie convergente, el desechado del primer N es 1 miembro. Por lo tanto, en el primer signo de comparación, hay una serie de convergencia, y en virtud de la primera propiedad de las filas numéricas convergentes, también convergerá.

El segundo signo de comparación.

Que ambos estén alineando las filas numéricas. Si, entonces la convergencia de la serie sigue la convergencia. Si, desde la divergencia de la serie numérica, sigue la divergencia.

Corolario.

Si, entonces la convergencia de una fila sigue la convergencia del otro, y la divergencia debe separarse de la divergencia.

Exploramos una fila en la convergencia utilizando el segundo signo de comparación. Como un número, doble fila. Encontraremos el límite de la relación de los miembros del tamaño de K de la serie numérica:

Por lo tanto, de acuerdo con el segundo signo de comparación, la convergencia de la serie numérica sigue la convergencia de la serie original.

Ejemplo.

Explora la convergencia de una fila numérica.

Decisión.

Compruebe la condición necesaria para la convergencia de la serie. . Se cumple la condición. Para aplicar el segundo signo de comparación, tomamos una fila armónica. Encontraremos el límite de la relación del miembro de K-S:

En consecuencia, a partir de la divergencia de la serie armónica sigue la divergencia de la serie inicial en el segundo signo de comparación.

Para obtener información, le damos el tercer signo de la comparación de las filas.

Tercera comparación de signos.

Que ambos estén alineando las filas numéricas. Si se cumple una condición de un número N, entonces la convergencia debe ser convergente de la convergencia de la serie.

Signo de Dalamber.

Comentario.

El signo del Dalamber es válido si el límite es interminable, es decir, si , entonces una serie converge si , entonces una fila diverge.

Si, el signo del Dalamber no proporciona información sobre la convergencia o divergencia de la serie y se requiere investigación adicional.

Ejemplo.

Explore la fila numérica en la convergencia del Dalamber.

Decisión.

Verificamos el cumplimiento de la condición necesaria para la convergencia de la serie numérica, el límite se calcula por:

Se cumple la condición.

Utilizamos el signo de Dalamber:

Así, la serie converge.

Signo radical Cauchy.

Vamos a ser una fila numérica de firma. Si, la serie numérica converge, si, la fila diverge.

Comentario.

El signo radical de Cauchy es cierto si el límite es infinito, es decir, si , entonces una serie converge si , entonces una fila diverge.

Si, el signo radical de Cauchy no proporciona información sobre la convergencia o la divergencia de un número y requiere una investigación adicional.

Por lo general, es fácil ver los casos cuando es mejor usar un signo radical de Cauchy. Un caso es característico cuando un miembro general de una serie numérico representa una expresión significativa. Considere varios ejemplos.

Ejemplo.

Explore la fila numérica alineada en la convergencia utilizando un signo radical de Cauchy.

Decisión.

. En el signo radical de Cauchy Get .

En consecuencia, una serie converge.

Ejemplo.

Si una fila numérica converge .

Decisión.

Utilizamos el signo radical de Cauchy. Por lo tanto, la serie numérica converge.

Signo integral Cauchy.

Vamos a ser una fila numérica de firma. Formaremos una función del argumento continuo y \u003d F (x), funciones similares. Deje que la función y \u003d f (x) funcione positiva, continua y disminuyendo en el intervalo, donde). Luego en caso de convergencia. integral incompatible La serie numérica estudiada converge. Si la integral inmutable es divergente, el número inicial también diverge.

Al verificar la disminución en la función y \u003d f (x), la teoría puede ser útil en el intervalo de la sección.

Ejemplo.

Explore una fila numérica con miembro positivo para la convergencia.

Decisión.

Se realiza la condición necesaria para la convergencia del número, ya que . Considere una función. Es positivo, continuo y descendente en el intervalo. La continuidad y la positividad de esta función no causan dudas, sino de descender, deteneremos más detalles. Encuentra un derivado:
. Es negativo en el intervalo, por lo tanto, la función disminuye en este intervalo.

Signo de la convergencia de Dalamber Signo radical de Cauchy Convergence Signo integral de convergencia de Cauchy

Uno de los signos comunes de comparación, que se encuentra en ejemplos prácticos, es un signo de Dalamber. Los signos de Cauchy son menos comunes, pero también muy populares. Como siempre, intentaré establecer el material simplemente, accesible y comprensible. El tema no es lo más difícil, y todas las tareas en cierta medida son la plantilla.

Jean Lerone DAEMember es la famosa matemática francesa del siglo XVIII. En general, el demember especializado en ecuaciones diferenciales y sobre la base de su investigación se dedicó a la balística, de modo que su majestad voló a los núcleos canónicos. Al mismo tiempo, no se olvidaron de las barras numéricas, no en vano, las tropas de Sherngi Napoleónicos tan claramente convergidas y disipadas.

Antes de formular la señal, considere una pregunta importante:
¿Cuándo necesitas aplicar un signo de la convergencia de Dalamber?

Primero, comencemos con la repetición. Recuerde los casos cuando necesita aplicar el más chasis. signo de marketing de comparación. El signo limitante de la comparación se aplica cuando en el miembro total de la serie:
1) Hay un polinomio en el denominador.
2) Los polinomios están en el numerador y en el denominador.
3) Uno o ambos polinomios pueden estar debajo de la raíz.

Los principales requisitos previos para el uso de la función Dalamber son los siguientes:

1) En el miembro general de la serie ("llenado" de un número) incluye un número en un grado, por ejemplo, y así sucesivamente. Además, no importa dónde se encuentra esta cosa, en un numerador o en el denominador, es importante que esté presente allí.

2) El miembro general de la serie incluye factorial. Con factoriales cruzamos las espadas aún en la lección Secuencia de números y su límite.. Sin embargo, no volverá a impedir propagar el mantel de la pantalla táctil:





…


…

! Cuando use un signo de Dalamber, solo tenemos que pintar el factorial en detalle. Como en el párrafo anterior, el factorial se puede ubicar en la parte superior o inferior de la fracción.

3) Si en el miembro total de la serie hay una "cadena de multiplicadores", por ejemplo,. Este caso es raro, pero! En el estudio de tal serie, a menudo comete un error: ver Ejemplo 6.

Junto con títulos o (y) factoriales en el llenado de un número a menudo se encuentran con los polinomios, no cambia las cosas, necesitas usar un signo de Dalamber.

Además, en el miembro total de un número, un título y factorial puede reunirse simultáneamente; Puede cumplir con dos factoriales, dos grados, es importante estar allí. al menos algo Los artículos considerados, y esto es solo un requisito previo para el uso de un signo de Dalamber.

Signo de dalamber: Considerar serie numérica positiva . Si hay un límite del miembro posterior al anterior: entonces:
a) con un número converger. En particular, la serie converge en.
b) con un número divergir. En particular, la fila diverge en.
c) para la señal no da una respuesta.. Necesitas usar otra característica. La mayoría de las veces, la unidad se obtiene en el caso cuando el signo del Dalamber está tratando de aplicar dónde es necesario usar un signo de comparación.

¿Quién todavía tiene problemas con los límites o los límites de malentendido, consulte una lección? Límites. Ejemplos de soluciones. Sin comprender el límite y la capacidad de divulgar la incertidumbre adicional, desafortunadamente, no para moverse.

Y ahora los ejemplos tan esperados.

Ejemplo 1.

Vemos que en el miembro general de un número que tenemos, y este es un requisito previo fiel que necesita para usar un signo de Dalamber. Primero, la solución completa y el diseño de la muestra, los comentarios a continuación.

Utilizamos un signo de Dalamber:

converge.

(1) Compilar la relación del siguiente miembro de la serie a la anterior :. A partir de la condición, vemos que el miembro general de la serie. Para obtener el siguiente miembro de la serie que necesita en lugar de sustituto: .
(2) deshacerse de las fracciones de cuatro pisos. Con un cierto experimento, este paso se puede omitir.
(3) En el numerador revela los soportes. En el denominador tomamos cuatro de los grados.
(4) reduciéndose. Constante Sacamos el límite para el límite. En el numerador entre paréntesis, damos tales componentes.
(5) La incertidumbre se elimina por el método estándar: la división del numerador y el denominador en la "ES" en el alto grado.
(6) Dividimos los números a los denominadores, e indicamos los términos que buscan cero.
(7) Simplificamos la respuesta y hagamos una nota de que con la conclusión de que, sobre la base del Dalamber, la serie bajo el estudio converge.

En el ejemplo considerado, en el miembro total de la serie, cumplimos con un segundo grado polinomio. ¿Qué pasa si hay un polinomio 3rd, 4to o superior? El hecho es que si se le da un grado muy alto, surgirá las dificultades con la divulgación de los paréntesis. En este caso, se puede usar una solución "turbo".

Ejemplo 2.

Tome un rango similar y explorándolo por la convergencia.

Primero una solución completa, luego comenta:

Utilizamos un signo de Dalamber:

Así, la serie en estudio. converger.

(1) Hacer una relación.
(2) deshacerse de las fracciones de cuatro pisos.
(3) Considere la expresión en el numerador y la expresión en el denominador. Vemos que en el numerador, debe divulgar los soportes y erigir en el cuarto grado: ¿qué no quiero hacer en absoluto? Además, para aquellos que no están familiarizados con BINOM NEWTON, esta tarea puede no ser impracticable. Analicemos los grados mayores: si revelamos los paréntesis en la parte superior, obtendremos el grado más antiguo. En la parte inferior tenemos el mismo grado superior :. Por analogía con el ejemplo anterior, es obvio que con la división de profundidad del numerador y el denominador en nuestro límite, uno recibirá una unidad. O, como dicen las matemáticas, los polinomios y - un orden de crecimiento. Por lo tanto, es muy posible unir una relación con un lápiz simple e indicar inmediatamente que esta cosa se esfuerza por una unidad. De manera similar, pintamos con el segundo par de polinomios: y, ellos también un orden de crecimiento, y su actitud busca una unidad.

De hecho, tal "halica" podría verificarse en el Ejemplo No. 1, pero para un segundo grado polinomio, tal solución todavía se deja de lado. Personalmente, hago esto: Si hay un polinomio (o polinomial) del primer o segundo grado, utilizo el método "largo" para resolver un ejemplo 1. Si se encuentra un tercer y más alto grado, utilizo el "Turbo "Modelo según el ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Examinar una fila en la convergencia

Solución completa y diseño de muestra al final de las secuencias numéricas de la lección.
(4) Redfish todo lo que se puede reducir.
(5) Constante Sacamos el límite para el límite. En el numerador revela los soportes.
(6) La incertidumbre elimina el método estándar: la división del numerador y el denominador en la "ES" en el alto grado.

Ejemplo 5.

Examinar una fila en la convergencia

Solución completa y diseño de muestra al final de la lección.

Ejemplo 6.

Examinar una fila en la convergencia

A veces hay filas, que en su relleno contienen "cadena" de multiplicadores, este tipo de serie aún no se ha considerado. ¿Cómo explorar una fila con una "cadena" de multiplicadores? Usa un signo de Dalamber. Pero primero para entender lo que está sucediendo por el colapso del detalle de la fila:

De la descomposición, vemos que cada miembro de la serie de la serie agrega un factor adicional en el denominador, por lo tanto, si es un miembro común de una serie, entonces el siguiente miembro de la serie:
. Aquí a menudo comete automáticamente un error, formalmente mediante el registro de algoritmo que

Una solución de ejemplo ejemplar puede parecerse a esto:

Utilizamos un signo de Dalamber:

Así, la serie en estudio. converge.

Antes de comenzar a trabajar con este tema, le aconsejo que vea una sección con terminología para filas numéricas. Vale la pena prestar atención al concepto de un miembro común de la serie. Si tiene dudas sobre la elección de un signo de convergencia, le aconsejo que vea el tema "Eligiendo un signo de convergencia de filas numéricas".

El signo de d "Alamber (o un signo del Dalamber) se usa para estudiar la convergencia de series, cuyo miembro general es estrictamente mayor que cero, es decir, $ u_n\u003e $ 0. Tales filas se llaman estrictamente positivo. En los ejemplos estándar, la función Alamber se usa en la forma límite.

Signo de D "Alamber (en forma de límite)

Si $ \\ SUM \\ LIMITS_ (n \u003d 1) ^ (\\ INFTY) u_n $ es estrictamente positivo y $$ \\ lim_ (n \\ a \\ topty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) \u003d l, $ $ entonces con $ l<1$ ряд сходится, а при $L>$ 1 (y en $ l \u003d \\ INFTY $) Una fila diverge.

La redacción es bastante simple, pero la siguiente pregunta permanece abierta: ¿Qué sucederá si $ L \u003d 1 $? La respuesta a esta pregunta no puede dar un signo. Si $ l \u003d $ 1, entonces una fila puede converger y dispersar.

La mayoría de las veces en los ejemplos estándar, la función Alamber se aplica si hay un polinomio de $ n $ en la expresión de un miembro común de la serie (el polinomio puede estar bajo la raíz) y el grado de tipo $ A ^ N $ o $ n! $. Por ejemplo, $ u_n \u003d \\ frac (5 ^ n \\ cdot (3n + 7)) (2N ^ 3-1) $ (consulte el ejemplo No. 1) o $ u_n \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3N-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

¿Qué denota la expresión "n!"? Mostrar ocultar

Grabando "n!" (LEA "EN FATERIAL") Denota el producto de todos los números naturales de 1 a N, es decir,

$$ N! \u003d 1 \\ CDOT2 \\ CDOT 3 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT N $$

Por definición, se supone que $ 0! \u003d 1! \u003d $ 1. Por ejemplo, encuentre 5!:

$$ 5! \u003d 1 \\ CDOT 2 \\ CDOT 3 \\ CDOT 4 \\ CDOT 5 \u003d 120. $$.

Además, el signo de d "Alamber se usa para determinar la convergencia de una serie, cuyo miembro general contiene un producto de tal estructura: $ u_n \u003d \\ frac (3 \\ CDOT 5 \\ CDOT 7 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (2N + 1)) (2 \\ CDOT 5 \\ CDOT 8 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N-1)) $.

Ejemplo №1

Explore un número $ \\ SUM \\ LIMITS_ (N \u003d 1) ^ (\\ INFTY) \\ FRAC (5 ^ N \\ CDOT (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $ para convergencia.

Dado que el límite de suma inferior es 1, entonces el miembro total de la fila se registra bajo la suma de la cantidad: $ u_n \u003d \\ frac (5 ^ n \\ cdot (3n + 7)) (2N ^ 3-1) $. Dado que con $ N≥ 1 $ tenemos $ 3n + 7\u003e 0 $, $ 5 ^ n\u003e 0 $ y $ 2N ^ 3-1\u003e 0 $, luego $ u_n\u003e 0 $. En consecuencia, nuestra fila es estrictamente positiva.

$$ 5 \\ CDOT \\ LIM_ (N \\ a \\ INFTY) \\ FRAC ((3N + 10) \\ IZQUIERDA (2N ^ 3-1 \\ Derecha)) (\\ Izquierda (2 (N + 1) ^ 3-1 \\ Derecha ) (3N + 7)) \u003d \\ IZQUIERDO | \\ FRAC (\\ INFTY) (\\ INFTY) \\ DERECHO | \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (N \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (\\ FRAC ((3N + 10) \\ IZQUIERDA (2N ^ 3-1 \\ Derecho)) (N ^ 4)) (\\ FRAC (\\ Izquierda (2 (N + 1) ^ 3-1 \\ Derecha) (3N + 7)) (n ^ 4)) \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (N \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (\\ FRAC (3N + 10) (N) \\ CDOT \\ FRAC (2N ^ 3-1) (N ^ 3) (\\ FRAC (\\ Izquierda (2 ( N + 1) ^ 3-1 \\ Derecha) (n ^ 3) \\ CDOT \\ FRAC (3N + 7) (N)) \u003d \\\\ \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (N \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (\\ Izquierda (\\ frac (3n) (n) + \\ frac (10) (n) \\ derecha) \\ cdot \\ izquierda (\\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \\ frac (1) (n ^ 3) \\ Derecha)) (\\ \\ a la izquierda (2 \\ izquierda (\\ frac (n) (n) + \\ frac (1) (n) \\ derecha) ^ 3- \\ frac (1) (n ^ 3) \\ derecha) \\ CDOT \\ izquierda (\\ frac (3n) (n) + \\ frac (7) (n) \\ derecha)) \u003d 5 \\ CDOT \\ LIM_ (N \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (\\ Izquierda (3+ \\ FRC (10) (n) \\ Derecha) \\ CDOT \\ Izquierda (2- \\ FRAC (1) (N ^ 3) \\ Derecha) (\\ \\ I izquierda (2 \\ izquierda (1+ \\ frac (1) (n) \\ derecha) ^ 3 - \\ frac (1) (n ^ 3) \\ derecha) \\ CDOT \\ izquierda (3+ \\ FRAC (7) (N) \\ derecha)) \u003d 5 \\ CDOT \\ FRAC (3 \\ CDOT 2) (2 \\ CDOT 3 ) \u003d 5. $$.

Desde $ \\ LIM_ (N \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (U_ (N + 1)) (U_N) \u003d 5\u003e $ 1, luego de acuerdo con la fila especificada divergen.

Honestamente, un signo de d "Alamber no es la única opción en esta situación. Puede usar, por ejemplo, un signo radical de Cauchy. Sin embargo, el uso de un signo radical de Cauchy requerirá conocimiento (o evidencia) de fórmulas adicionales. . Por lo tanto, el uso de un signo D "Alamber en esta situación es más conveniente.

Respuesta: Una fila diverge.

Ejemplo número 2.

Explore un número $ \\ SUM \\ LIMITS_ (n \u003d 1) ^ (\\ INFTY) \\ FRAC (\\ SQRT (4N + 5)) ((3N-2)$ на сходимость.!}

Dado que el límite de suma inferior es 1, entonces el miembro total de la fila se registra bajo la suma de la cantidad: $ u_n \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

El miembro general de la fila contiene un polinomio bajo la raíz, es decir, $ \\ SQRT (4N + 5) $, y Factorial $ (3N-2)! $. La presencia de un factorial en un ejemplo estándar es una garantía de casi el 100% de la aplicación de la D "Alamber.

Para aplicar esta función, tendremos que encontrar el límite de calificación de $ \\ FRAC (U_ (N + 1)) (U_N) $. Para grabar $ u_ (n + 1) $, necesita en una fórmula $ u_n \u003d \\ frac (\\ sqrt (4n + 5)) ((3N-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ U_ (N + 1) \u003d \\ FRAC (\\ SQRT (4 (N + 1) +5)) ((3 (N + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Desde $ (3n + 1)! \u003d (3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $, luego la fórmula para $ u_ (n + 1) $ se puede grabar en una variedad:

$$ U_ (N + 1) \u003d \\ FRAC (\\ SQRT (4N + 9)) ((3N + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Esta entrada es conveniente para una solución adicional cuando tenemos que acortar la fracción bajo el límite. Si la igualdad con factorals requiere explicaciones, revele la nota a continuación.

¿Cómo obtuvimos la igualdad $ (3n + 1)! \u003d (3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $? Mostrar ocultar

Grabación $ (3n + 1)! $ Significa el producto de todos los números naturales de 1 a $ 3n + $ 1. Esos. Esta expresión se puede escribir así:

$$ (3n + 1)! \u003d 1 \\ CDOT 2 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N + 1). $$.

Directamente delante del número de $ 3n + 1 $ hay un número, por unidad más pequeño, es decir, El número es $ 3n + 1-1 \u003d 3N $. E inmediatamente antes de que el número de $ 3N $ cuesta el número de $ 3N-1 $. Bueno, justo antes del número de $ 3N-1 $ tenemos un número $ 3n-1-1 \u003d 3N-2 $. Reescribimos la fórmula por $ (3n + 1)! $:

$$ (3n + 1)! \u003d 1 \\ CDOT2 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N-2) \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $$

¿Qué es un producto de $ 1 \\ CDOT2 \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT (3N-2) $? Este producto es $ (3n-2)! $. En consecuencia, la expresión por $ (3n + 1)! $ Puede reescribir en este formulario:

$$ (3n + 1)! \u003d (3N-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1) $$

Esta entrada es conveniente para una solución adicional cuando tenemos que acortar la fracción bajo el límite.

Calcule el valor de $ \\ lim_ (n \\ to \\ topty) \\ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $:

$$ \\ lim_ (n \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (U_ (N + 1)) (u_n) \u003d \\ lim_ (n \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (\\ FRAC (\\ SQRT (4N + 9)) (( 3n-2)! \\ CDOT (3N-1) \\ CDOT 3N \\ CDOT (3N + 1)) (\\ FRAC (\\ SQRT (4N + 5)) ((3N-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Desde $ \\ lim_ (n \\ a \\ INFTY) \\ FRAC (U_ (N + 1)) (u_n) \u003d 0<1$, то согласно

Signos de convergencia de filas.
Signo de Dalamber. Signos de Cauchy

El trabajo, el trabajo y la comprensión vendrán más tarde.
J.L. Demumer

¡Felicito a todos en el comienzo del año escolar! Hoy, el 1 de septiembre, y decidí introducir a los lectores en honor a las vacaciones con el hecho de que estaba deseando mirar hacia adelante y con ganas de averiguarlo. signos de convergencia de filas numéricas positivas.. El primero de septiembre y mis felicitaciones son siempre relevantes, nada terrible, si de hecho, el verano fuera de la ventana, ahora alivia el examen por tercera vez, ¡si fuiste a esta página!

Para aquellos que están empezando a estudiar los rangos, recomiendo familiarizarme con el artículo Filas numéricas para teteras. En realidad, este carrito es una continuación del banquete. Así que hoy en la lección consideraremos ejemplos y decisiones sobre los temas:

Uno de los signos comunes de comparación, que se encuentra en ejemplos prácticos, es un signo de Dalamber. Los signos de Cauchy son menos comunes, pero también muy populares. Como siempre, intentaré establecer el material simplemente, accesible y comprensible. El tema no es lo más difícil, y todas las tareas en cierta medida son la plantilla.

Signo de convergencia de Dalamber

Jean Lerone DAEMember es la famosa matemática francesa del siglo XVIII. En general, el demember especializado en ecuaciones diferenciales y sobre la base de su investigación se dedicó a la balística, de modo que su majestad voló a los núcleos canónicos. Al mismo tiempo, no se olvidaron de las barras numéricas, no en vano, las tropas de Sherngi Napoleónicos tan claramente convergidas y disipadas.

Antes de formular la señal, considere una pregunta importante:
¿Cuándo necesitas aplicar un signo de la convergencia de Dalamber?

Primero, comencemos con la repetición. Recuerde los casos cuando necesita aplicar el más chasis. signo de marketing de comparación. El signo limitante de la comparación se aplica cuando en el miembro total de la serie:

1) Hay un polinomio en el denominador.
2) Los polinomios están en el numerador y en el denominador.
3) Uno o ambos polinomios pueden estar debajo de la raíz.
4) Polinomios y raíces, por supuesto, tal vez más.

Los principales requisitos previos para el uso de la función Dalamber son los siguientes:

1) En el miembro general de la serie ("relleno" de un número) incluye un número en un grado, por ejemplo, y así sucesivamente. Además, no importa dónde se encuentra esta cosa, en un numerador o en el denominador, es importante que esté presente allí.

2) El miembro general de la serie incluye factorial. Con Factoria, cruzamos las espadas incluso en la lección la secuencia de números y su límite. Sin embargo, no volverá a impedir propagar el mantel de la pantalla táctil:





…


…

! Cuando use un signo de Dalamber, solo tenemos que pintar el factorial en detalle. Como en el párrafo anterior, el factorial se puede ubicar en la parte superior o inferior de la fracción.

3) Si hay una "cadena de multiplicadores" en el miembro total de la serie, por ejemplo, . Este caso es raro, pero! En el estudio de tal serie, a menudo comete un error: ver Ejemplo 6.

Junto con títulos o (y) factoriales en el llenado de un número a menudo se encuentran con los polinomios, no cambia las cosas, necesitas usar un signo de Dalamber.

Además, en el miembro total de un número, un título y factorial puede reunirse simultáneamente; Puede cumplir con dos factoriales, dos grados, es importante estar allí. al menos algo De los artículos considerados, y esto es solo un requisito previo para el uso del signo del Dalamber.

Signo de dalamber: Considerar serie numérica positiva . Si hay un límite del miembro posterior al anterior: entonces:
a) con un número converger
b) con un número divergir
c) para la señal no da una respuesta.. Necesitas usar otra característica. La mayoría de las veces, la unidad se obtiene en el caso cuando el signo del Dalamber está tratando de aplicar dónde es necesario usar un signo de comparación.

¿Quién todavía tiene problemas con los límites o los límites de malentendido, consulte una lección? Límites. Ejemplos de soluciones. Sin comprender el límite y la capacidad de divulgar la incertidumbre adicional, desafortunadamente, no para moverse.

Y ahora los ejemplos tan esperados.

Ejemplo 1.

Vemos que en el miembro general de un número que tenemos, y este es un requisito previo fiel que necesita para usar un signo de Dalamber. Primero, la solución completa y el diseño de la muestra, los comentarios a continuación.

Utilizamos un signo de Dalamber:


converge.
(1) Compilar la relación del siguiente miembro de la serie a la anterior :. A partir de la condición, vemos que el miembro general de la serie. Para obtener el próximo miembro de la serie que necesita. En lugar de sustituto: .
(2) deshacerse de las fracciones de cuatro pisos. Con un cierto experimento, este paso se puede omitir.
(3) En el numerador revela los soportes. En el denominador tomamos cuatro de los grados.
(4) reduciéndose. Constante Sacamos el límite para el límite. En el numerador entre paréntesis, damos tales componentes.
(5) La incertidumbre se elimina por el método estándar: la división del numerador y el denominador en la "ES" en el alto grado.
(6) Dividimos los números a los denominadores, e indicamos los términos que buscan cero.
(7) Simplificamos la respuesta y hagamos una nota de que con la conclusión de que, sobre la base del Dalamber, la serie bajo el estudio converge.

En el ejemplo considerado, en el miembro total de un número, conocimos un segundo grado polinomio. ¿Qué pasa si hay un polinomio 3rd, 4to o superior? El hecho es que si se le da un grado muy alto, surgirá las dificultades con la divulgación de los paréntesis. En este caso, se puede usar una solución "turbo".

Ejemplo 2.

Tome un rango similar y explorándolo por la convergencia.

Primero una solución completa, luego comenta:

Utilizamos un signo de Dalamber:


Así, la serie en estudio. converger.

(1) Hacer una relación.

(3) considerar la expresión En el numerador y expresión en el denominador. Vemos que en el numerador, debe divulgar los soportes y erigir en el cuarto grado: ¿qué no quiero hacer en absoluto? Y para aquellos que no están familiarizados con BINOM NEWTON, esta tarea será aún más difícil. Analicemos los grados más antiguos: si revelamos paréntesis en la parte superior , Obtengo el grado anterior. En la parte inferior tenemos el mismo grado superior :. Por analogía con el ejemplo anterior, es obvio que con la división de profundidad del numerador y el denominador en nuestro límite, uno recibirá una unidad. O, como dicen las matemáticas, los polinomios. y - un orden de crecimiento. Por lo tanto, es muy posible circular. Lápiz simple e indica inmediatamente que esta cosa se esfuerza por una unidad. De manera similar, pintamos con el segundo par de polinomios: y, ellos también un orden de crecimiento, y su actitud busca una unidad.

De hecho, tal "Hackturur" podría verificarse en el Ejemplo 1, pero para el polinomio del segundo grado, tal solución se ve aún así, de alguna manera insolvente. Personalmente, hago esto: Si hay un polinomio (o polinomial) del primer o segundo grado, utilizo el método "largo" para resolver el ejemplo 1. Si se encuentra el polinomio de 3er y más altos grados, uso el " Turbo "Método de acuerdo con el ejemplo del Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Examinar una fila en la convergencia

Considere los ejemplos típicos con factoriales:

Ejemplo 4.

Examinar una fila en la convergencia

El miembro general de la serie incluye un título y un factorial. Está claro cómo es necesario usar un signo de Dalamber. Nosotros decidimos.

Así, la serie en estudio. divergir.
(1) Hacer una relación. Repetimos de nuevo. Por condición, el miembro general de la serie: . Para obtener el siguiente miembro de la fila. en su lugar, necesitas sustituir, De este modo: .
(2) deshacerse de las fracciones de cuatro pisos.
(3) Presione los siete. Factorials describe en detalle. Cómo hacerlo: vea el comienzo de la lección o el artículo sobre secuencias numéricas.
(4) Redfish todo lo que se puede reducir.
(5) Constante Sacamos el límite para el límite. En el numerador revela los soportes.
(6) La incertidumbre elimina el método estándar: la división del numerador y el denominador en la "ES" en el alto grado.

Ejemplo 5.

Examinar una fila en la convergencia

Solución completa y diseño de muestra al final de la lección.

Ejemplo 6.

Examinar una fila en la convergencia

A veces hay filas, que en su relleno contienen "cadena" de multiplicadores, este tipo de serie aún no se ha considerado. ¿Cómo explorar una fila con una "cadena" de multiplicadores? Usa un signo de Dalamber. Pero primero para entender lo que está sucediendo por el colapso del detalle de la fila:

A partir de la descomposición, vemos que cada miembro de la serie de la serie agrega un multiplicador adicional en el denominador, por lo que si el miembro general de la serie , entonces el siguiente miembro de la serie:
. Aquí a menudo comete automáticamente un error, formalmente mediante el registro de algoritmo que

Una solución de ejemplo ejemplar puede parecerse a esto:

Utilizamos un signo de Dalamber:

Así, la serie en estudio. converge.

Signo radical cauchy

Augusten Louis Cauchy es un matemático francés aún más famoso. Biografía de Cauchy Puede informar a cualquier estudiante de una especialidad técnica. En las pinturas más pintorescas. No es casual que este apellido esté tallado en el primer piso de la Torre Eiffel.

El signo de convergencia de Cauchy para filas numéricas positivas es algo similar a la señal de Dalamber.

Signo radical de Cauchy:Considerar serie numérica positiva . Si hay un límite: entonces:
a) con un número converger. En particular, la serie converge en.
b) con un número divergir. En particular, la fila diverge en.
c) para la señal no da una respuesta.. Necesitas usar otra característica. Es interesante observar que si el signo de Cauchy no nos da una respuesta a la pregunta de la convergencia de un número, entonces el signo de Dalamber tampoco dará una respuesta. Pero si el signo de Dalamber no da una respuesta, el signo de Cauch puede "trabajar". Es decir, el signo de Cauchy es en este sentido una señal más fuerte.

¿Cuándo debo usar el signo radical de Kauchi? El signo radical de Cauchy generalmente utiliza en los casos en que la raíz "buena" se extrae del miembro total de la serie. Como regla general, esta pimienta está en grado, que depende de . Todavía hay casos exóticos, pero no van a marcar la cabeza.

Ejemplo 7.

Examinar una fila en la convergencia

Vemos que la fracción está completamente en primer grado, dependiendo de la "ES" y, por lo tanto, es necesario usar un signo radical de Cauchy:


Así, la serie en estudio. divergir.

(1) Elaboramos un miembro común de una serie de raíces.

(2) Reescribe lo mismo, solo sin una raíz, usando la propiedad de los grados.
(3) En el indicador, el numerador en el denominador, lo que indica que
(4) Como resultado, resultó la incertidumbre. Aquí fue posible recorrer un largo camino: construir en un cubo, construir en un cubo, luego dividir el numerador y el denominador en "en" en Cuba. Pero en este caso hay una solución más eficiente: esta recepción se puede usar directamente en el grado de constante. Para eliminar la incertidumbre, divida el numerador y el denominador (el grado anterior de polinomios).

(5) Llevamos a cabo la división del suelo, e indique los términos que buscan cero.
(6) Llevo la respuesta a la mente, observamos que concluimos que una fila diverge.

Pero un ejemplo más simple para una solución independiente:

Ejemplo 8.

Examinar una fila en la convergencia

Y un par de ejemplos típicos.

Solución completa y diseño de muestra al final de la lección.

Ejemplo 9.

Examinar una fila en la convergencia
Utilizamos el signo radical de Kauchi:


Así, la serie en estudio. converger.

(1) Ponemos a un miembro general de una fila.

(2) Reescribe lo mismo, pero ya sin una raíz, mientras revelan los soportes utilizando la fórmula de la multiplicación abreviada: .
(3) En el indicador, el numerador en el denominador está renovado e indica que.
(4) Se obtiene la incertidumbre de la especie, y aquí también puede realizar división directamente en el grado. Pero con una condición: Los coeficientes para mayores grados de polinomios deben ser diferentes. Tenemos diferentes (5 y 6), y por lo tanto, es posible (y necesario) dividir ambos pisos. Si estos coeficientes lo mismo, por ejemplo (1 y 1):, entonces tal enfoque no pasa y necesitas usar el segundo límite maravilloso. Si recuerda, estas sutilezas fueron consideradas en el último párrafo del artículo. Métodos para resolver límites..

(5) En realidad realice la división del suelo e indique qué términos tendemos a cero.
(6) La incertidumbre eliminada, tenemos el límite más simple :. Por qué en infinitamente grande grado tiende a cero? Porque la base del grado satisface la desigualdad. Si alguien tiene dudas sobre la justicia del límite. , No soy perezoso, tomaré una calculadora en mis manos:
Si, entonces
Si, entonces
Si, entonces
Si, entonces
Si, entonces
... etc. etc. Al infinito, es decir, en el límite:

Biliar progresión geométrica infinitamente decreciente en los dedos \u003d)
! ¡Nunca use esta técnica como prueba! Porque si algo es obvio, no significa que sea correcto.

(7) Indicamos que concluimos que la serie converge.

Ejemplo 10.

Examinar una fila en la convergencia

Este es un ejemplo para una solución independiente.

A veces, se propone un ejemplo provocativo para resolver, por ejemplo:. Aquí en un indicador no "en", solo constante. Aquí debe construir un numerador y un denominador al cuadrado (se obtienen los polinomios), y luego se adhieren al algoritmo del artículo Filas para teteras. En tal ejemplo, se debe realizar el signo necesario de la convergencia de un número o un signo de límite de comparación.

Signo integral Cauchy

O simplemente un signo integral. Decepcionante aquellos que aprendieron mal el primer material del curso. Para aplicar la característica integral de Cauchy, es necesario poder más o menos con confianza para encontrar derivados, integrales, además de tener la habilidad de cálculo. integral incompatible Primero tipo.

En libros de texto sobre análisis matemático. signo integral Cauchy Dan matemáticamente estrictamente, pero demasiado inestable, así que formulé un signo no demasiado estrictamente, pero está claro:

Considerar serie numérica positiva . Si hay una integral inmutable, entonces una serie converge o diverge con esta integral.

E inmediatamente ejemplos de explicación:

Ejemplo 11.

Examinar una fila en la convergencia

Casi clásico. Logaritmo natural y algún tipo de bjaka.

El principal requisito previo para usar el signo integral de Cauchy. Es el hecho de que en el miembro total de un número contiene multiplicadores similares a alguna función y su derivado. Del tema