¿Cómo encontrar los lados de un triángulo rectángulo? Fundamentos de geometría. Solución de un triángulo rectángulo Cómo encontrar la hipotenusa por cateto y ángulo
Conociendo uno de los catetos de un triángulo rectángulo, puedes encontrar el segundo cateto y la hipotenusa usando relaciones trigonométricas: el seno y la tangente de un ángulo conocido. Dado que la relación entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa es igual al seno de este ángulo, para encontrar la hipotenusa, el cateto debe dividirse por el seno del ángulo. a/c=sinα c=a/sinα
El segundo cateto se puede encontrar a partir de la tangente del ángulo conocido, como la relación entre el cateto conocido y la tangente. a/b=tanα b=a/tanα
Para calcular el ángulo desconocido en un triángulo rectángulo, debes restar el ángulo α de 90 grados. β=90°-α
El perímetro y el área de un triángulo rectángulo se pueden expresar a través del cateto y el ángulo opuesto sustituyendo las expresiones obtenidas anteriormente para el segundo cateto y la hipotenusa en las fórmulas. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 tanα)
La altura también se puede calcular mediante relaciones trigonométricas, pero ya en el triángulo rectángulo interno de lado a que forma. Para hacer esto, necesita el lado a, como hipotenusa de dicho triángulo, multiplicado por el seno del ángulo β o el coseno de α, ya que según las identidades trigonométricas son equivalentes. (figura 79.2) h=a cosα
La mediana de la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa o el cateto conocido a dividido por dos senos α. Para encontrar las medianas de los catetos, llevamos las fórmulas a la forma adecuada para los lados y ángulos conocidos. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2) α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2α +a^2/sin ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 pecado^2α+tan^2α))/(2 tanα pecadoα)
Dado que la bisectriz de un ángulo recto en un triángulo es el producto de dos lados y la raíz de dos, dividido por la suma de estos lados, reemplazando uno de los catetos con la relación del cateto conocido a la tangente, obtenemos lo siguiente expresión. De manera similar, al sustituir la razón en la segunda y tercera fórmulas, se pueden calcular las bisectrices de los ángulos α y β. (fig.79.4) l_с=(a a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sinα)))/(a+a/sinα)=(a sinα √(2c(a+a/sinα)))/(a sinα+a)
La línea media corre paralela a uno de los lados del triángulo, mientras forma otro triángulo rectángulo similar con los mismos ángulos, en el que todos los lados tienen la mitad del tamaño del original. En base a esto, las líneas medias se pueden encontrar usando las siguientes fórmulas, conociendo solo el cateto y el ángulo opuesto a él. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
El radio del círculo inscrito es igual a la diferencia entre los catetos y la hipotenusa, dividida por dos, y para encontrar el radio del círculo circunscrito, debes dividir la hipotenusa entre dos. Reemplazamos el segundo cateto y la hipotenusa con las razones del cateto a al seno y la tangente, respectivamente. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα -a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
Los primeros son segmentos adyacentes al ángulo recto, y la hipotenusa es la parte más larga de la figura y está opuesta al ángulo de 90 grados. Un triángulo pitagórico es aquel cuyos lados son iguales a los números naturales; sus longitudes en este caso se denominan "triple pitagórico".
triangulo egipcio
Para que la generación actual pueda aprender geometría en la forma en que se enseña ahora en la escuela, se ha desarrollado durante varios siglos. El punto fundamental es el teorema de Pitágoras. Los lados de un rectángulo son conocidos en todo el mundo) son 3, 4, 5.
Pocas personas no están familiarizadas con la frase "Los pantalones pitagóricos son iguales en todas las direcciones". Sin embargo, de hecho, el teorema suena así: c 2 (el cuadrado de la hipotenusa) = a 2 + b 2 (la suma de los cuadrados de los catetos).
Entre los matemáticos, un triángulo con lados 3, 4, 5 (cm, m, etc.) se llama "egipcio". Es interesante que lo que está inscrito en la figura sea igual a uno. El nombre surgió alrededor del siglo V a.C., cuando los filósofos griegos viajaron a Egipto.
Al construir las pirámides, los arquitectos y topógrafos utilizaron la proporción 3:4:5. Tales estructuras resultaron ser proporcionales, agradables a la vista y espaciosas, y rara vez se derrumbaron.
Para construir un ángulo recto, los constructores utilizaron una cuerda a la que se ataron 12 nudos. En este caso, la probabilidad de construir un triángulo rectángulo aumentó al 95%.
Signos de igualdad de cifras.
- Un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y un lado grande, que son iguales a los mismos elementos en el segundo triángulo, es un signo indiscutible de la igualdad de las figuras. Teniendo en cuenta la suma de los ángulos, es fácil demostrar que los segundos ángulos agudos también son iguales. Por tanto, los triángulos son idénticos en el segundo criterio.
- Cuando se superponen dos figuras, las giramos de tal manera que, al combinarlas, se convierten en un triángulo isósceles. Según su propiedad, los lados, o mejor dicho, las hipotenusas, son iguales, al igual que los ángulos en la base, lo que significa que estas figuras son iguales.
Con el primer signo, es muy fácil demostrar que los triángulos son realmente iguales, lo principal es que los dos lados más pequeños (es decir, los catetos) son iguales entre sí.
Los triángulos serán iguales según el signo II, cuya esencia es la igualdad del cateto y el ángulo agudo.
Propiedades del triángulo rectángulo
La altura, que fue rebajada en ángulo recto, divide la figura en dos partes iguales.
Los lados de un triángulo rectángulo y su mediana son fáciles de reconocer por la regla: la mediana, que se reduce a la hipotenusa, es igual a la mitad de ella. se puede encontrar tanto mediante la fórmula de Heron como mediante la afirmación de que es igual a la mitad del producto de las piernas.
En un triángulo rectángulo se aplican las propiedades de los ángulos de 30°, 45° y 60°.
- En un ángulo que sea de 30°, conviene recordar que el cateto opuesto será igual a la mitad del lado mayor.
- Si el ángulo es de 45o, entonces el segundo ángulo agudo también es de 45o. Esto sugiere que el triángulo es isósceles y sus catetos son iguales.
- La propiedad de un ángulo de 60 grados es que el tercer ángulo mide 30 grados.
El área es fácil de encontrar mediante una de tres fórmulas:
- por la altura y el lado por el que desciende;
- según la fórmula de Heron;
- a lo largo de los lados y el ángulo entre ellos.
Los lados de un triángulo rectángulo, o más bien los catetos, convergen con dos alturas. Para encontrar el tercero, es necesario considerar el triángulo resultante y luego, utilizando el teorema de Pitágoras, calcular la longitud requerida. Además de esta fórmula, también existe la razón entre el doble del área y la longitud de la hipotenusa. La expresión más común entre los estudiantes es la primera, ya que requiere menos cálculos.
Teoremas que se aplican a un triángulo rectángulo
La geometría de un triángulo rectángulo incluye el uso de teoremas como:
Después de estudiar el tema de los triángulos rectángulos, los estudiantes a menudo se sacan de la cabeza toda la información sobre ellos. Incluyendo cómo encontrar la hipotenusa, sin mencionar qué es.
Y en vano. Porque en el futuro, la diagonal del rectángulo resulta ser esta misma hipotenusa y es necesario encontrarla. O el diámetro del círculo coincide con el lado más grande del triángulo, uno de cuyos ángulos es recto. Y es imposible encontrarlo sin este conocimiento.
Hay varias formas de encontrar la hipotenusa de un triángulo. La elección del método depende del conjunto de datos iniciales del problema de cantidades.
Método número 1: se dan ambas piernas
Este es el método más memorable porque utiliza el teorema de Pitágoras. Sólo que a veces los estudiantes olvidan que esta fórmula es el cuadrado de la hipotenusa. Entonces, para encontrar el lado en sí, necesitarás sacar la raíz cuadrada. Por lo tanto, la fórmula de la hipotenusa, que generalmente se denota con la letra "c", se verá así:
c = √ (un 2 + un 2), donde las letras "a" y "b" se escriben en ambos catetos de un triángulo rectángulo.
Método número 2: se conocen el cateto y el ángulo adyacente a él
Para aprender a encontrar la hipotenusa, debes recordar las funciones trigonométricas. Es decir, coseno. Por conveniencia, asumiremos que se dan el cateto "a" y el ángulo α adyacente a él.
Ahora debemos recordar que el coseno del ángulo de un triángulo rectángulo es igual a la razón de los dos lados. El numerador será el valor del cateto y el denominador será la hipotenusa. De esto se deduce que este último se puede calcular mediante la fórmula:
c = a / cos α.
Método número 3: dado el cateto y el ángulo opuesto a él
Para no confundirnos con las fórmulas, introducimos la designación para este ángulo: β y dejamos el lado como "a". En este caso, se requiere otra función trigonométrica: el seno.
Como en el ejemplo anterior, el seno es igual a la razón entre el cateto y la hipotenusa. La fórmula para este método se ve así:
c \u003d a / pecado β.
Para no confundirse con las funciones trigonométricas, puedes recordar una regla mnemotécnica simple: si el problema es sobre oh esquina opuesta, entonces necesitas usar con Y nous si - oh pr Y mentir, luego a oh seno. Preste atención a las primeras vocales de las palabras clave. forman parejas Oh y o y sobre.
Método número 4: a lo largo del radio del círculo circunscrito
Ahora, para saber cómo encontrar la hipotenusa, debes recordar la propiedad del círculo, que se describe alrededor de un triángulo rectángulo. Dice lo siguiente. El centro del círculo coincide con el punto medio de la hipotenusa. En otras palabras, el lado más largo de un triángulo rectángulo es igual a la diagonal del círculo. Es decir, duplicar el radio. La fórmula para esta tarea sería la siguiente:
c = 2 * r, donde r denota el radio conocido.
Todas estas son formas posibles de encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo. En cada tarea específica, debe utilizar el método que sea más adecuado para el conjunto de datos.
Ejemplo de tarea n.° 1
Condición: en un triángulo rectángulo, las medianas se dibujan en ambos catetos. La longitud del que está dibujado hacia el lado mayor es √52. La otra mediana tiene una longitud de √73. Necesitas calcular la hipotenusa.
Como las medianas se dibujan en un triángulo, dividen los catetos en dos segmentos iguales. Para facilitar el razonamiento y encontrar cómo encontrar la hipotenusa, es necesario introducir varias notaciones. Deje que ambas mitades de la pierna más grande estén marcadas con la letra "x" y la otra con "y".
Ahora debemos considerar dos triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son medianas conocidas. Para ellos, debes escribir la fórmula del teorema de Pitágoras dos veces:
(2y) 2 + x 2 = (√52) 2
(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .
Estas dos ecuaciones forman un sistema con dos incógnitas. Una vez resueltos, será fácil encontrar a partir de ellos los catetos del triángulo original y su hipotenusa.
Primero necesitas elevar todo al segundo grado. Resulta:
4y 2 + x 2 = 52
y2 + 4x2 = 73.
Se puede ver en la segunda ecuación que y 2 = 73 - 4x 2. Esta expresión debe sustituirse por la primera y calcular "x":
4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52.
Después de la conversión:
292 - 16 x 2 + x 2 = 52 o 15 x 2 = 240.
De la última expresión x = √16 = 4.
Ahora puedes calcular "y":
y 2 = 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 = 9.
De acuerdo con la condición, resulta que los catetos del triángulo original son 6 y 8. Entonces, puedes usar la fórmula del primer método y encontrar la hipotenusa:
√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Respuesta: la hipotenusa es 10.
Ejemplo de tarea n.° 2
Condición: calcular la diagonal trazada en un rectángulo de lado menor igual a 41. Si se sabe que divide el ángulo en los que están relacionados como 2 a 1.
En este problema, la diagonal de un rectángulo es el lado más largo de un triángulo de 90º. Entonces todo se reduce a cómo encontrar la hipotenusa.
El problema son las esquinas. Esto significa que necesitarás usar una de las fórmulas en las que hay funciones trigonométricas. Y primero debes determinar el valor de uno de los ángulos agudos.
Denotemos por α el menor de los ángulos mencionados en la condición. Entonces el ángulo recto dividido por la diagonal será igual a 3α. La notación matemática para esto se ve así:
A partir de esta ecuación es fácil determinar α. Será igual a 30º. Además, quedará opuesto al lado más pequeño del rectángulo. Por lo tanto, se requerirá la fórmula descrita en el método No. 3.
La hipotenusa es igual a la razón entre el cateto y el seno del ángulo opuesto, es decir:
41 / sen 30º = 41 / (0,5) = 82.
Respuesta: La hipotenusa es 82.
En la vida, a menudo tenemos que afrontar problemas de matemáticas: en la escuela, en la universidad y luego ayudando a nuestro hijo con los deberes. Las personas de determinadas profesiones se encontrarán con las matemáticas a diario. Por tanto, es útil memorizar o recordar reglas matemáticas. En este artículo analizaremos uno de ellos: encontrar el cateto de un triángulo rectángulo.
¿Qué es un triángulo rectángulo?
Primero, recordemos qué es un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es una figura geométrica de tres segmentos que conectan puntos que no se encuentran en la misma recta, y uno de los ángulos de esta figura mide 90 grados. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
Encontrar el cateto de un triángulo rectángulo
Hay varias formas de saber la longitud de la pierna. Me gustaría considerarlos con más detalle.
Teorema de Pitágoras para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo
Si conocemos la hipotenusa y el cateto, entonces podemos encontrar la longitud del cateto desconocido usando el teorema de Pitágoras. Suena así: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Fórmula: c²=a²+b², donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. Transformamos la fórmula y obtenemos: a²=c²-b².
Ejemplo. La hipotenusa mide 5 cm y el cateto mide 3 cm Transformamos la fórmula: c²=a²+b² → a²=c²-b². A continuación decidimos: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Relaciones trigonométricas para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo
También es posible encontrar un cateto desconocido si se conocen cualquier otro lado y cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Hay cuatro opciones para encontrar el cateto usando funciones trigonométricas: por seno, coseno, tangente, cotangente. Para solucionar los problemas, la siguiente tabla nos ayudará. Consideremos estas opciones.
Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el seno
El seno de un ángulo (pecado) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Fórmula: sin \u003d a / c, donde a es el cateto opuesto al ángulo dado y c es la hipotenusa. A continuación, transformamos la fórmula y obtenemos: a=sin*c.
Ejemplo. La hipotenusa mide 10 cm y el ángulo A mide 30 grados. Según la tabla calculamos el seno del ángulo A, es igual a 1/2. Luego, usando la fórmula transformada, resolvemos: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el coseno
El coseno de un ángulo (cos) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Fórmula: cos \u003d b / c, donde b es el cateto adyacente al ángulo dado y c es la hipotenusa. Transformemos la fórmula y obtengamos: b=cos*c.
Ejemplo. El ángulo A mide 60 grados, la hipotenusa mide 10 cm, según la tabla calculamos el coseno del ángulo A, es igual a 1/2. A continuación, resolvemos: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando la tangente
La tangente de un ángulo (tg) es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Fórmula: tg = a / b, donde a es el cateto opuesto a la esquina y b es adyacente. Transformemos la fórmula y obtengamos: a=tg*b.
Ejemplo. El ángulo A mide 45 grados, la hipotenusa mide 10 cm, según la tabla calculamos la tangente del ángulo A, es igual a Resolver: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando la cotangente
La cotangente de un ángulo (ctg) es la relación entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Fórmula: ctg = b / a, donde b es el cateto adyacente a la esquina y es opuesto. En otras palabras, la cotangente es la "tangente invertida". Obtenemos: b=ctg*a.
Ejemplo. El ángulo A mide 30 grados, el cateto opuesto mide 5 cm. Según la tabla, la tangente del ángulo A es √3. Calcular: b=ctg∠A*a; segundo=√3*5; b=5√3 (cm).
Ahora ya sabes cómo encontrar el cateto de un triángulo rectángulo. Como ves, no es tan difícil, lo principal es recordar las fórmulas.
El triángulo rectángulo contiene una gran cantidad de dependencias. Esto lo convierte en un objeto atractivo para diversos tipos de problemas geométricos. Uno de los problemas más comunes es encontrar la hipotenusa.
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo recto, es decir ángulo de 90 grados. Sólo en un triángulo rectángulo se pueden expresar funciones trigonométricas en términos de sus lados. En un triángulo arbitrario, será necesario realizar construcciones adicionales.
En un triángulo rectángulo dos de las tres alturas coinciden con los lados se llaman catetos. El tercer lado se llama hipotenusa. La altura trazada hasta la hipotenusa es la única en este tipo de triángulo que requiere construcciones adicionales.
Arroz. 1. Tipos de triángulos.
Un triángulo rectángulo no puede tener ángulos obtusos. Así como es imposible la existencia de un segundo ángulo recto. En este caso, se viola la identidad de la suma de los ángulos de un triángulo, que siempre es igual a 180 grados.
Hipotenusa
Vayamos directamente a la hipotenusa del triángulo. La hipotenusa es el lado más largo del triángulo. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos, pero siempre es menor que la suma de los catetos. Esta es una consecuencia del teorema de la desigualdad del triángulo.
El teorema dice que en un triángulo ninguno de los lados puede ser mayor que la suma de los otros dos. También hay una segunda formulación o segunda parte del teorema: en un triángulo, opuesto al lado mayor, hay un ángulo mayor y viceversa.
Arroz. 2. Triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo, un ángulo recto es un ángulo grande, ya que no puede haber un segundo ángulo recto ni un ángulo obtuso por las razones ya mencionadas. Esto significa que el lado más largo siempre está opuesto al ángulo recto.
Parece incomprensible por qué exactamente un triángulo rectángulo merecía un nombre distinto para cada uno de sus lados. De hecho, en un triángulo isósceles, los lados también tienen su propio nombre: los lados y la base. Pero es precisamente para los catetos y las hipotenusas donde a los profesores les gusta especialmente poner dos. ¿Por qué? Por un lado, se trata de un homenaje a la memoria de los antiguos griegos, los inventores de las matemáticas. Fueron ellos quienes estudiaron los triángulos rectángulos y, junto con este conocimiento, dejaron toda una capa de información sobre la que se construye la ciencia moderna. Por otra parte, la existencia de estos nombres simplifica enormemente la formulación de teoremas e identidades trigonométricas.
Teorema de pitágoras
Si un profesor pregunta sobre la fórmula de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces, con una probabilidad del 90%, se refiere al teorema de Pitágoras. El teorema dice: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Arroz. 3. Hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Preste atención a la claridad y concisión con la que se formula el teorema. Esta simplicidad no se puede lograr sin utilizar los conceptos de hipotenusa y cateto.
El teorema tiene la siguiente fórmula:
$c^2=b^2+a^2$ – donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos de un triángulo rectángulo.
¿Qué hemos aprendido?
Hablamos de qué es un triángulo rectángulo. Aprendimos por qué se les ocurrieron los nombres de los catetos y la hipotenusa. Descubrimos algunas propiedades de la hipotenusa y dimos la fórmula para la longitud de la hipotenusa de un triángulo mediante el teorema de Pitágoras.
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