Problemas de la colección de L. A. Kuznetsova

Esta lección explora el tema "Exploración de funciones y tareas relacionadas". Esta lección trata sobre la construcción de gráficas de funciones usando derivadas. Se estudia la función, se construye su gráfica y se resuelven varios problemas relacionados.

Tema: Derivado

Lección: Investigar una funcióny tareas relacionadas

Es necesario investigar esta función, construir un gráfico, encontrar intervalos de monotonicidad, máximos, mínimos y qué tareas acompañan el conocimiento de esta función.

Primero, haremos uso completo de la información que da una función sin derivada.

1. Encuentra los intervalos de constancia de la función y construye un bosquejo de la gráfica de la función:

1) Encuentra .

2) Raíces de función: , desde aquí

3) Intervalos de constancia de la función (ver Fig. 1):

Arroz. 1. Intervalos de signo constante de una función.

Ahora sabemos que en el intervalo y el gráfico está por encima del eje X, en el intervalo, por debajo del eje X.

2. Construyamos un gráfico en la vecindad de cada raíz (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Gráfica de la función en la vecindad de la raíz.

3. Construyamos un gráfico de la función en la vecindad de cada punto de discontinuidad del dominio de definición. El dominio de definición se rompe en el punto . Si el valor está cerca del punto , entonces el valor de la función tiende a (ver Fig. 3).

Arroz. 3. Gráfica de la función en la vecindad del punto de discontinuidad.

4. Determinemos cómo conduce la gráfica en la vecindad de puntos infinitamente distantes:

Escribamos usando límites

. Es importante que para muy grande, la función casi no difiera de la unidad.

Encontremos la derivada, los intervalos de su constancia y serán los intervalos de monotonicidad para la función, busquemos aquellos puntos en los que la derivada sea igual a cero, y averigüemos dónde está el punto máximo, dónde está el punto mínimo.

Por lo tanto, . Estos puntos son los puntos interiores del dominio de definición. Averigüemos cuál es el signo de la derivada en los intervalos, y cuál de estos puntos es el punto máximo y cuál es el punto mínimo (ver Fig. 4).

Arroz. 4. Intervalos de signo constante de la derivada.

De la fig. 4 se puede ver que el punto es el punto mínimo, el punto es el punto máximo. El valor de la función en el punto es . El valor de la función en el punto es 4. Ahora grafiquemos la función (ver Fig. 5).

Arroz. 5. Gráfica de una función.

Así construido gráfico de función. Vamos a describirlo. Escribamos los intervalos en los que la función decrece monótonamente: , - estos son los intervalos en los que la derivada es negativa. La función crece monótonamente en los intervalos y . - punto mínimo, - punto máximo.

Encuentra el número de raíces de la ecuación dependiendo de los valores de los parámetros.

1. Construye un gráfico de la función. El gráfico de esta función se construye arriba (ver Fig. 5).

2. Recorta el gráfico con una familia de líneas rectas y escribe la respuesta (ver Fig. 6).

Arroz. 6. Intersección de la gráfica de una función con rectas.

1) Para - una solución.

2) Para - dos soluciones.

3) Para - tres soluciones.

4) Para - dos soluciones.

5) En - tres soluciones.

6) En - dos soluciones.

7) En - una solución.

Así, resolvimos uno de los problemas importantes, a saber, encontrar el número de soluciones a la ecuación dependiendo del parámetro . Puede haber diferentes casos especiales, por ejemplo, en los que habrá una solución o dos soluciones, o tres soluciones. Tenga en cuenta que estos casos especiales, todas las respuestas a estos casos especiales están contenidas en la respuesta general.

1. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de texto para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.

2. Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartburd S.I. Álgebra y análisis matemático para el grado 10 (libro de texto para estudiantes de escuelas y clases con un estudio profundo de las matemáticas).- M .: Educación, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Un estudio en profundidad de álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.

5. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades técnicas (bajo la dirección de M.I.Skanavi).-M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Entrenador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chkinina Algebra y los comienzos del análisis. 8-11 celdas: Un manual para escuelas y clases con profundización en matemáticas (materiales didácticos).- M.: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tareas en álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes en los grados 10-11 de instituciones de educación general).-M .: Educación, 2003.

9. Karp AP Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. Asignación para 10-11 celdas. con un profundo estudio matemáticas.-M.: Educación, 2006.

10. Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. Grades 9-10 (una guía para profesores).-M.: Enlightenment, 1983

Recursos web adicionales

2. Portal de Ciencias Naturales ().

hacer en casa

No. 45.7, 45.10 (Álgebra y los comienzos del análisis, grado 10 (en dos partes). Un libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil) editado por A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

Si en la tarea es necesario realizar un estudio completo de la función f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 con la construcción de su gráfico, consideraremos este principio en detalle.

Para resolver un problema de este tipo, se deben utilizar las propiedades y gráficas de las principales funciones elementales. El algoritmo de investigación incluye los siguientes pasos:

Encontrar el dominio de definición

Dado que la investigación se lleva a cabo en el dominio de la función, es necesario comenzar con este paso.

Ejemplo 1

El ejemplo dado implica encontrar los ceros del denominador para excluirlos del DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, puede obtener raíces, logaritmos, etc. Entonces la ODZ se puede buscar para la raíz de un grado par de tipo g (x) 4 por la desigualdad g (x) ≥ 0, para el logaritmo log a g (x) por la desigualdad g (x) > 0.

Investigación de los límites de ODZ y búsqueda de asíntotas verticales

Hay asíntotas verticales en los límites de la función, cuando los límites unilaterales en tales puntos son infinitos.

Ejemplo 2

Por ejemplo, considere los puntos fronterizos iguales a x = ± 1 2 .

Entonces es necesario estudiar la función para encontrar el límite lateral. Entonces obtenemos que: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lím x → - 1 2 + 0 f (x) = lím x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lím x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lím x → 1 2 - 0 f (x) = lím x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lím x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Esto muestra que los límites unilaterales son infinitos, lo que significa que las líneas x = ± 1 2 son las asíntotas verticales de la gráfica.

Investigación de la función y para pares o impares

Cuando se cumple la condición y (- x) = y (x), la función se considera par. Esto sugiere que la gráfica se ubica simétricamente con respecto a O y. Cuando se cumple la condición y (- x) = - y (x), la función se considera impar. Esto significa que la simetría va con respecto al origen de coordenadas. Si al menos una desigualdad falla, obtenemos una función de forma general.

El cumplimiento de la igualdad y (- x) = y (x) indica que la función es par. A la hora de construir hay que tener en cuenta que habrá simetría con respecto a O y.

Para resolver la desigualdad se utilizan intervalos de aumento y disminución con las condiciones f"(x) ≥ 0 y f"(x) ≤ 0, respectivamente.

Definición 1

Puntos estacionarios son puntos que vuelven la derivada a cero.

Puntos críticos son puntos interiores del dominio donde la derivada de la función es igual a cero o no existe.

A la hora de tomar una decisión, se deben tener en cuenta los siguientes puntos:

para los intervalos existentes de aumento y disminución de la desigualdad de la forma f”(x) > 0, los puntos críticos no están incluidos en la solución;
los puntos en los que se define la función sin una derivada finita deben incluirse en los intervalos de aumento y disminución (por ejemplo, y \u003d x 3, donde el punto x \u003d 0 define la función, la derivada tiene el valor de infinito en este punto, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 se incluye en el intervalo de aumento);
para evitar desacuerdos, se recomienda utilizar literatura matemática, la cual es recomendada por el Ministerio de Educación.

La inclusión de puntos críticos en los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso de que satisfagan el dominio de la función.

Definición 2

Para determinando los intervalos de aumento y disminución de la función, es necesario encontrar:

derivado;
puntos críticos;
dividir el dominio de definición con la ayuda de puntos críticos en intervalos;
determine el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, donde + es un aumento y - es una disminución.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada en el dominio f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Decisión

Para resolver necesitas:

encontrar puntos estacionarios, este ejemplo tiene x = 0;
encontrar los ceros del denominador, el ejemplo toma el valor cero en x = ± 1 2 .

Exponemos puntos en el eje numérico para determinar la derivada en cada intervalo. Para hacer esto, basta con tomar cualquier punto del intervalo y hacer un cálculo. Si el resultado es positivo, dibujamos + en el gráfico, lo que significa un aumento en la función y - significa su disminución.

Por ejemplo, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, lo que significa que el primer intervalo a la izquierda tiene un signo +. Considere el número línea.

Responder:

hay un aumento en la función en el intervalo - ∞ ; - 1 2 y (- 1 2 ; 0 ] ;
hay una disminución en el intervalo [ 0 ; 1 2) y 1 2 ; +∞.

En el diagrama, usando + y -, se representan la positividad y la negatividad de la función, y las flechas indican decrecimiento y aumento.

Los puntos extremos de una función son los puntos donde se define la función ya través de los cuales la derivada cambia de signo.

Ejemplo 4

Si consideramos un ejemplo donde x \u003d 0, entonces el valor de la función en él es f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Cuando el signo de la derivada cambia de + a - y pasa por el punto x \u003d 0, entonces el punto con coordenadas (0; 0) se considera el punto máximo. Cuando el signo se cambia de - a +, obtenemos el punto mínimo.

La convexidad y la concavidad se determinan resolviendo desigualdades de la forma f "" (x) ≥ 0 y f "" (x) ≤ 0 . Menos a menudo usan el nombre protuberancia hacia abajo en lugar de concavidad, y protuberancia hacia arriba en lugar de protuberancia.

Definición 3

Para determinar los espacios de concavidad y convexidad necesario:

encontrar la segunda derivada;
encontrar los ceros de la función de la segunda derivada;
romper el dominio de definición por los puntos que aparecen en intervalos;
determinar el signo de la brecha.

Ejemplo 5

Encuentre la segunda derivada del dominio de definición.

Decisión

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos los ceros del numerador y el denominador, donde, usando nuestro ejemplo, tenemos que los ceros del denominador x = ± 1 2

Ahora necesitas poner puntos en la recta numérica y determinar el signo de la segunda derivada de cada intervalo. eso lo conseguimos

Responder:

la función es convexa desde el intervalo - 1 2 ; 12;
la función es cóncava a partir de los huecos - ∞ ; - 1 2 y 1 2 ; +∞.

Definición 4

punto de inflexión es un punto de la forma x 0 ; f(x0) . Cuando tiene una tangente a la gráfica de la función, entonces cuando pasa por x 0, la función cambia de signo al contrario.

En otras palabras, este es un punto por el cual pasa la segunda derivada y cambia de signo, y en los puntos mismos es igual a cero o no existe. Todos los puntos se consideran dominio de la función.

En el ejemplo se vio que no hay puntos de inflexión, ya que la segunda derivada cambia de signo al pasar por los puntos x = ± 1 2 . Ellos, a su vez, no están incluidos en el dominio de la definición.

Encontrar asíntotas horizontales y oblicuas

Al definir una función en el infinito, se deben buscar asíntotas horizontales y oblicuas.

Definición 5

asíntotas oblicuas se dibujan usando líneas dadas por la ecuación y = k x + b, donde k = lim x → ∞ f (x) x y b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Para k = 0 y b no igual a infinito, encontramos que la asíntota oblicua se convierte en horizontal.

En otras palabras, las asíntotas son las rectas a las que se acerca la gráfica de la función en el infinito. Esto contribuye a la construcción rápida de la gráfica de la función.

Si no hay asíntotas, pero la función está definida en ambos infinitos, es necesario calcular el límite de la función en estos infinitos para comprender cómo se comportará la gráfica de la función.

Ejemplo 6

Como ejemplo, considere que

k = lím x → ∞ f (x) x = lím x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lím x → ∞ (f (x) - k x) = lím x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

es una asíntota horizontal. Después de investigar la función, puede comenzar a construirla.

Cálculo del valor de una función en puntos intermedios

Para que el trazado sea más preciso, se recomienda encontrar varios valores de la función en puntos intermedios.

Ejemplo 7

Del ejemplo que hemos considerado, es necesario encontrar los valores de la función en los puntos x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Como la función es par, obtenemos que los valores coinciden con los valores en estos puntos, es decir, obtenemos x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Escribamos y resolvamos:

F (- 2) = F (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar los máximos y mínimos de la función, puntos de inflexión, puntos intermedios, es necesario construir asíntotas. Para una designación conveniente, se fijan intervalos de aumento, disminución, convexidad y concavidad. Considere la siguiente figura.

Es necesario dibujar líneas gráficas a través de los puntos marcados, lo que le permitirá acercarse a las asíntotas, siguiendo las flechas.

Esto concluye el estudio completo de la función. Hay casos de construcción de algunas funciones elementales para las que se utilizan transformaciones geométricas.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Reshebnik Kuznetsov.
III Gráficos

Tarea 7. Realizar un estudio completo de la función y construir su gráfica.

Antes de comenzar a descargar sus opciones, intente resolver el problema siguiendo el ejemplo a continuación para la opción 3. Algunas de las opciones están archivadas en formato .rar

7.3 Realizar un estudio completo de la función y graficarla

Decisión.

1) Alcance: o es decir, .
.
Así: .

2) No hay puntos de intersección con el eje Ox. De hecho, la ecuación no tiene soluciones.
No hay puntos de intersección con el eje Oy porque .

3) La función no es ni par ni impar. No hay simetría sobre el eje y. Tampoco hay simetría en el origen. Como
.
Vemos que y .

4) La función es continua en el dominio
.

; .

; .
Por lo tanto, el punto es un punto de discontinuidad del segundo tipo (discontinuidad infinita).

5) Asíntotas verticales:

Encuentra la asíntota oblicua . Aquí

;
.
Por lo tanto, tenemos una asíntota horizontal: y=0. No hay asíntotas oblicuas.

6) Encuentra la primera derivada. Primera derivada:
.
Y es por eso
.
Encontremos puntos estacionarios donde la derivada sea igual a cero, es decir
.

7) Encuentra la segunda derivada. Segunda derivada:
.
Y esto es fácil de comprobar, ya que