En el plan de estudios escolar para el curso de geometría sólida, el estudio de figuras tridimensionales generalmente comienza con un cuerpo geométrico simple: un poliedro prismático. El papel de sus bases lo realizan 2 polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos. Un caso especial es un prisma cuadrangular regular. Sus bases son 2 cuadrángulos regulares idénticos, a los cuales los lados son perpendiculares, teniendo forma de paralelogramos (o rectángulos si el prisma no está inclinado).

¿Cómo se ve un prisma?

Un prisma cuadrangular regular es un hexaedro, en cuyas bases hay 2 cuadrados, y las caras laterales están representadas por rectángulos. Otro nombre para esta figura geométrica es un paralelepípedo recto.

La figura, que representa un prisma cuadrangular, se muestra a continuación.

También se puede ver en la imagen los elementos más importantes que componen un cuerpo geométrico. Se les conoce comúnmente como:

A veces en problemas de geometría puedes encontrar el concepto de sección. La definición sonará así: una sección son todos los puntos de un cuerpo volumétrico que pertenecen al plano de corte. La sección es perpendicular (cruza los bordes de la figura en un ángulo de 90 grados). Para un prisma rectangular se considera también una sección diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir es 2), pasando por 2 aristas y las diagonales de la base.

Si la sección se dibuja de forma que el plano de corte no sea paralelo ni a las bases ni a las caras laterales, el resultado es un prisma truncado.

Se utilizan varias proporciones y fórmulas para encontrar los elementos prismáticos reducidos. Algunos de ellos se conocen del curso de planimetría (por ejemplo, para encontrar el área de la base de un prisma, basta con recordar la fórmula del área de un cuadrado).

superficie y volumen

Para determinar el volumen de un prisma usando la fórmula, necesita saber el área de su base y altura:

V = Esprim h

Como la base de un prisma tetraédrico regular es un cuadrado de lado un, Puedes escribir la fórmula en una forma más detallada:

V = a²h

Si estamos hablando de un cubo, un prisma regular con la misma longitud, anchura y altura, el volumen se calcula de la siguiente manera:

Para comprender cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma, debe imaginar su barrido.

Se puede ver en el dibujo que la superficie lateral se compone de 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como el producto del perímetro de la base y la altura de la figura:

Lado S = Pos h

Como el perímetro de un cuadrado es P = 4a, la fórmula toma la forma:

Slado = 4a h

Para cubo:

Lado S = 4a²

Para calcular el área de la superficie total de un prisma, agregue 2 áreas base al área lateral:

Slleno = Slado + 2Sbase

Aplicada a un prisma regular cuadrangular, la fórmula tiene la forma:

Slleno = 4a h + 2a²

Para el área de superficie de un cubo:

Slleno = 6a²

Conociendo el volumen o el área superficial, se pueden calcular los elementos individuales de un cuerpo geométrico.

Encontrar elementos de prisma

A menudo hay problemas en los que se da el volumen o se conoce el valor de la superficie lateral, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, se pueden derivar fórmulas:

• longitud del lado base: a = Slado / 4h = √(V / h);
• altura o longitud de la costilla lateral: h = Slado / 4a = V / a²;
• área de la base: Sprim = V/h;
• área de la cara lateral: Lado gr = Slado / 4.

Para determinar cuánta área tiene una sección diagonal, necesitas saber la longitud de la diagonal y la altura de la figura. por un cuadrado d = a√2. Por lo tanto:

Sdiag = ah√2

Para calcular la diagonal del prisma, se utiliza la fórmula:

dpremio = √(2a² + h²)

Para comprender cómo aplicar las proporciones anteriores, puede practicar y resolver algunas tareas simples.

Ejemplos de problemas con soluciones.

Estas son algunas de las tareas que aparecen en los exámenes finales estatales de matemáticas.

Ejercicio 1.

Se vierte arena en una caja con forma de prisma cuadrangular regular. La altura de su nivel es de 10 cm ¿Cuál será el nivel de arena si la mueves a un recipiente de la misma forma, pero con una longitud de base 2 veces mayor?

Debe argumentarse de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo contenedor no cambió, es decir, su volumen en ellos es el mismo. Puede definir la longitud de la base como un. En este caso, para la primera casilla, el volumen de la sustancia será:

V₁ = ha² = 10a²

Para la segunda caja, la longitud de la base es 2a, pero se desconoce la altura del nivel de arena:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

En la medida en V₁ = V₂, las expresiones se pueden equiparar:

10a² = 4ha²

Después de reducir ambos lados de la ecuación por a², obtenemos:

Como resultado, el nuevo nivel de arena será h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Tarea 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ es un prisma regular. Se sabe que BD = AB₁ = 6√2. Encuentra el área de superficie total del cuerpo.

Para que sea más fácil comprender qué elementos se conocen, puede dibujar una figura.

Como estamos hablando de un prisma regular, podemos concluir que la base es un cuadrado con una diagonal de 6√2. La diagonal de la cara lateral tiene el mismo valor, por lo tanto, la cara lateral también tiene la forma de un cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.

La longitud de cualquier borde se determina a través de la diagonal conocida:

un = re / √2 = 6√2 / √2 = 6

El área de superficie total se encuentra mediante la fórmula para el cubo:

Slleno = 6a² = 6 6² = 216

Tarea 3.

La habitación está siendo renovada. Se sabe que su piso tiene forma de cuadrado con un área de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m ¿Cuál es el costo más bajo de empapelar una habitación si 1 m² cuesta 50 rublos?

Como el suelo y el techo son cuadrados, es decir, cuadriláteros regulares, y sus paredes son perpendiculares a superficies horizontales, podemos concluir que es un prisma regular. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.

La longitud de la habitación es un = √9 = 3 metro.

La plaza se cubrirá con papel pintado. Lado = 4 3 2,5 = 30 m².

El costo más bajo de papel tapiz para esta habitación será 50 30 = 1500 rublos

Así, para resolver problemas de un prisma rectangular basta con saber calcular el área y el perímetro de un cuadrado y un rectángulo, así como conocer las fórmulas para hallar el volumen y el área de la superficie.

Cómo encontrar el área de un cubo

Con la ayuda de este video tutorial, todos podrán familiarizarse de forma independiente con el tema "El concepto de un poliedro". Prisma. Superficie del prisma. Durante la lección, el profesor hablará sobre qué son las formas geométricas como un poliedro y prismas, dará las definiciones apropiadas y explicará su esencia con ejemplos específicos.

Con la ayuda de esta lección, todos podrán familiarizarse de forma independiente con el tema "El concepto de poliedro". Prisma. Superficie del prisma.

Definición. Una superficie compuesta por polígonos y delimitando un determinado cuerpo geométrico se denominará superficie poliédrica o poliedro.

Considere los siguientes ejemplos de poliedros:

1. tetraedro A B C D es una superficie formada por cuatro triángulos: A B C, adb, bdc y ADC(Figura 1).

Arroz. uno

2. Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 es una superficie compuesta por seis paralelogramos (Fig. 2).

Arroz. 2

Los elementos principales de un poliedro son caras, aristas, vértices.

Las caras son los polígonos que forman el poliedro.

Los bordes son los lados de las caras.

Los vértices son los extremos de las aristas.

Considere un tetraedro A B C D(Figura 1). Señalemos sus principales elementos.

facetas: triangulos ABC, ADB, BDC, ADC.

Costillas: AB, CA, BC, CC, ANUNCIO, BD.

picos: A B C D.

Considere una caja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Figura 2).

facetas: paralelogramos AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Costillas: Automóvil club británico 1 , cama y desayuno 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

picos: A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

Un caso especial importante de un poliedro es un prisma.

ABSA 1 EN 1 CON 1(Fig. 3).

Arroz. 3

Triángulos iguales A B C y A 1 B 1 C 1 están ubicados en planos paralelos α y β de modo que los bordes AA 1, BB 1, SS 1 son paralelos.

Es decir ABSA 1 EN 1 CON 1- prisma triangular, si:

1) Triángulos A B C y A 1 B 1 C 1 son iguales.

2) Triángulos A B C y A 1 B 1 C 1 ubicado en planos paralelos α y β: A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Costillas AA 1, BB 1, SS 1 son paralelos.

A B C y A 1 B 1 C 1- la base del prisma.

AA 1, BB 1, SS 1- costillas laterales del prisma.

Si desde un punto arbitrario H 1 un plano (por ejemplo, β) deja caer la perpendicular HH 1 sobre el plano α, entonces esta perpendicular se llama la altura del prisma.

Definición. Si los bordes laterales son perpendiculares a las bases, entonces el prisma se llama recto, de lo contrario se llama oblicuo.

Considere un prisma triangular ABSA 1 EN 1 CON 1(Figura 4). Este prisma es recto. Es decir, sus bordes laterales son perpendiculares a las bases.

Por ejemplo, costilla AA 1 perpendicular al plano A B C. Borde AA 1 es la altura de este prisma.

Arroz. 4

Tenga en cuenta que la cara lateral AA 1 V 1 V perpendicular a las bases A B C y A 1 B 1 C 1, ya que pasa por la perpendicular AA 1 a los cimientos.

Ahora considere un prisma inclinado ABSA 1 EN 1 CON 1(Figura 5). Aquí el borde lateral no es perpendicular al plano de la base. Si caemos del punto un 1 perpendicular A 1H sobre el A B C, entonces esta perpendicular será la altura del prisma. Tenga en cuenta que el segmento UN es la proyección del segmento AA 1 al avión A B C.

Entonces el ángulo entre la línea AA 1 y avion A B C es el ángulo entre la recta AA 1 y ella UN proyección sobre un plano, es decir, el ángulo A 1AH.

Arroz. 5

Considere un prisma cuadrangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Figura 6). Veamos cómo resulta.

1) Cuadrilátero A B C D igual a un cuadrilátero A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = UN 1 segundo 1 C 1 re 1.

2) Cuadrángulos A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Cuadrángulos A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 dispuestos de manera que las nervaduras laterales sean paralelas, es decir: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Definición. La diagonal de un prisma es un segmento que une dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara.

Por ejemplo, CA 1- diagonal de un prisma cuadrangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definición. Si el borde lateral AA 1 perpendicular al plano de la base, entonces dicho prisma se llama línea recta.

Arroz. 6

Un caso especial de un prisma cuadrangular es el conocido paralelepípedo. Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 mostrado en la fig. 7.

Vamos a ver cómo funciona:

1) Las cifras iguales se encuentran en las bases. En este caso - paralelogramos iguales A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1: A B C D = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) paralelogramos A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 se encuentran en planos paralelos α y β: A B C║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) paralelogramos A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1 dispuestos de tal manera que las nervaduras laterales sean paralelas entre sí: AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Arroz. 7

desde un punto un 1 dejar caer la perpendicular UN al avión A B C. Segmento de línea A 1H es la altura

Considere cómo se organiza un prisma hexagonal (Fig. 8).

1) Los hexágonos iguales se encuentran en la base. A B C D E F y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Planos de hexágonos A B C D E F y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralelas, es decir, las bases se encuentran en planos paralelos: A B C║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Hexágonos A B C D E F y A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 dispuestos de manera que todos los bordes laterales sean paralelos entre sí: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Arroz. ocho

Definición. Si cualquier borde lateral es perpendicular al plano de la base, dicho prisma hexagonal se llama línea recta.

Definición. Un prisma recto se llama regular si sus bases son polígonos regulares.

Considere un prisma triangular regular ABSA 1 EN 1 CON 1.

Arroz. nueve

prisma triangular ABSA 1 EN 1 CON 1- correcto, esto significa que los triángulos regulares se encuentran en las bases, es decir, todos los lados de estos triángulos son iguales. Además, este prisma es recto. Esto significa que el borde lateral es perpendicular al plano de la base. Y esto significa que todas las caras laterales son rectángulos iguales.

Entonces, si un prisma triangular ABSA 1 EN 1 CON 1 es correcto, entonces:

1) La arista lateral es perpendicular al plano de la base, es decir, es la altura: AA 1 ⊥ A B C.

2) La base es un triángulo regular: ∆ A B C- derecho.

Definición. El área total de la superficie de un prisma es la suma de las áreas de todas sus caras. denotado S lleno.

Definición. El área de la superficie lateral es la suma de las áreas de todas las caras laterales. denotado lado S.

El prisma tiene dos bases. Entonces el área total de la superficie del prisma es:

S completo \u003d S lateral + 2S principal.

El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.

La demostración se realizará sobre el ejemplo de un prisma triangular.

Dado: ABSA 1 EN 1 CON 1- prisma directo, es decir AA 1 ⊥ A B C.

AA 1 = h.

Demostrar: S lado \u003d R principal ∙ h.

Arroz. diez

Prueba.

prisma triangular ABSA 1 EN 1 CON 1- recto, entonces AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - rectángulos

Encuentra el área de la superficie lateral como la suma de las áreas de los rectángulos AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S lado \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P principal ∙ h.

Obtenemos S lado \u003d R principal ∙ h, QED

Nos familiarizamos con poliedros, un prisma, sus variedades. Probamos el teorema en la superficie lateral de un prisma. En la próxima lección, resolveremos problemas en un prisma.

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1. ¿Cuál es el número mínimo de caras que puede tener un prisma? ¿Cuántos vértices, aristas tiene tal prisma?
2. ¿Existe un prisma que tenga exactamente 100 aristas?
3. La nervadura lateral está inclinada con respecto al plano base en un ángulo de 60°. Halla la altura del prisma si la arista lateral mide 6 cm.
4. En un prisma triangular recto, todas las aristas son iguales. Su superficie lateral es de 27 cm 2 . Encuentra el área total de la superficie del prisma.

Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar a qué tipo se parece.

teoría general

Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-ágono. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales: pueden variar significativamente en tamaño.

Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no son bases. La superficie completa será ya la unión de todas las caras que forman el prisma.

A veces aparecen alturas en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que une por parejas dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.

Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.

prisma triangular

Tiene en la base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.

La notación matemática se ve así: S = ½ av.

Para averiguar el área de la base de forma general, las fórmulas son útiles: Heron y aquella en la que se toma la mitad del lado a la altura dibujada.

La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.

Segundo: S = ½ n a * a.

Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo es equilátero. Tiene su propia fórmula: S = ¼ a 2 * √3.

prisma cuadrangular

Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará su propia fórmula.

Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = av, donde a, b son los lados del rectángulo.

Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien yace en la base. S \u003d un 2.

En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * n a. Sucede que se dan un lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, deberá usar una fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es na opuesta a este ángulo.

Si un rombo se encuentra en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial de este). Pero también puedes usar este: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.

Prisma pentagonal regular

Este caso consiste en dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.

Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.

Prisma hexagonal regular

Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él se debe multiplicar por seis.

La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.

Tareas

No. 1. Se da una línea regular. Su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm. Calcule el área de la base del prisma y toda la superficie.

Decisión. La base de un prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por otro lado, este segmento "x" es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Sustituya el número 22 en lugar de d, y reemplace "n" con su valor: 14, resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora es fácil encontrar el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del valor del área base y cuadriplicar el lado. Este último es fácil de encontrar por la fórmula de un rectángulo: multiplicar la altura del poliedro y el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Se encuentra que el área de superficie total del prisma es de 960 cm 2 .

Responder. El área de la base del prisma es de 144 cm2. Toda la superficie - 960 cm 2 .

No. 2. Dana En la base se encuentra un triángulo de 6 cm de lado. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.

Decisión. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.

Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos de 6 y 10 cm de lado, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente tantas caras laterales. Luego, el área de la superficie lateral se enrolla 180 cm 2 .

Responder.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.

Definición.

Este es un hexágono, cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

costilla lateral es el lado común de dos caras laterales adyacentes

Altura del prisma es un segmento de recta perpendicular a las bases del prisma

prisma diagonal- un segmento que une dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus aristas laterales

Sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.

Sección perpendicular (sección ortogonal)- esta es la intersección de un prisma y un plano dibujado perpendicularmente a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que están marcados con las letras correspondientes:

• Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral - la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma
• Superficie total: la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (la suma del área de la superficie lateral y las bases)
• Costillas laterales AA 1 , BB 1 , CC 1 y DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2 .

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

• las bases son dos cuadrados iguales
• las bases son paralelas entre si
• Los lados son rectángulos.
• Las caras laterales son iguales entre sí.
• Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
• Las costillas laterales son paralelas entre sí e iguales.
• Sección perpendicular perpendicular a todas las nervaduras laterales y paralela a las bases
• Ángulos de sección perpendicular - Derecho
• La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular

Instrucciones para resolver problemas.

Al resolver problemas sobre el tema " prisma cuadrangular regular" implica que:

prisma correcto- un prisma en cuya base se encuentra un polígono regular, y las aristas laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado. (ver arriba las propiedades de un prisma cuadrangular regular) Nota. Esto es parte de la lección con tareas de geometría (sección geometría sólida - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades en la resolución. Si necesita resolver un problema de geometría, que no está aquí, escríbalo en el foro. Para denotar la acción de extraer una raíz cuadrada en la resolución de problemas, se utiliza el símbolo√ .

Tarea.

En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es de 144 cm 2 y la altura es de 14 cm Halla la diagonal del prisma y el área total de la superficie.

Decisión.
Un cuadrilátero regular es un cuadrado.
En consecuencia, el lado de la base será igual a

√144 = 12 cm.
De donde la diagonal de la base de un prisma rectangular regular será igual a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonal de un prisma regular forma un triángulo rectángulo con la diagonal de la base y la altura del prisma. En consecuencia, según el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

Responder: 22cm

Tarea

Halla el área total de un prisma cuadrangular regular si su diagonal es de 5 cm y la diagonal de la cara lateral es de 4 cm.

Decisión.
Dado que la base de un prisma cuadrangular regular es un cuadrado, el lado de la base (denotado como a) se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:

un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

La superficie total será igual a la suma de la superficie lateral y el doble de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

En el curso escolar de estereometría, una de las figuras más simples que tiene dimensiones distintas de cero a lo largo de tres ejes espaciales es un prisma cuadrangular. Considere en el artículo qué tipo de figura es, en qué elementos consiste y también cómo puede calcular su área de superficie y volumen.

El concepto de un prisma

En geometría, un prisma es una figura espacial, que está formada por dos bases idénticas y superficies laterales que conectan los lados de estas bases. Tenga en cuenta que ambas bases se transforman entre sí mediante la operación de traducción paralela por algún vector. Esta tarea del prisma conduce al hecho de que todos sus lados son siempre paralelogramos.

El número de lados de la base puede ser arbitrario, a partir de tres. Cuando este número tiende a infinito, el prisma se convierte suavemente en un cilindro, ya que su base se convierte en un círculo, y los paralelogramos laterales, conectados, forman una superficie cilíndrica.

Como cualquier poliedro, un prisma se caracteriza por sus lados (planos que limitan la figura), aristas (segmentos a lo largo de los cuales se cortan dos lados cualesquiera) y vértices (puntos de encuentro de tres lados, para un prisma dos de ellos son laterales y el tercero es la base). Los números de estos tres elementos de la figura están interconectados por la siguiente expresión:

Aquí P, C y B son el número de aristas, lados y vértices, respectivamente. Esta expresión es una notación matemática del teorema de Euler.

Arriba hay una imagen que muestra dos prismas. En la base de uno de ellos (A) se encuentra un hexágono regular, y los lados laterales son perpendiculares a las bases. La figura B muestra otro prisma. Sus lados ya no son perpendiculares a las bases, y la base es un pentágono regular.

¿cuadrangular?

Como se desprende de la descripción anterior, el tipo de prisma está determinado principalmente por el tipo de polígono que forma la base (ambas bases son iguales, por lo que podemos hablar de una de ellas). Si este polígono es un paralelogramo, entonces obtenemos un prisma cuadrangular. Así que todos los lados de esto son paralelogramos. Un prisma cuadrangular tiene su propio nombre: un paralelepípedo.

El número de lados del paralelepípedo es seis, teniendo cada lado un paralelo análogo. Dado que las bases del paralelepípedo son dos lados, los cuatro restantes son laterales.

El número de vértices del paralelepípedo es ocho, lo cual es fácil de ver si recordamos que los vértices del prisma se forman únicamente en los vértices de los polígonos base (4x2=8). Aplicando el teorema de Euler, obtenemos el número de aristas:

P \u003d C + B - 2 \u003d 6 + 8 - 2 \u003d 12

De las 12 nervaduras, solo 4 están formadas de forma independiente por los laterales. Los 8 restantes se encuentran en los planos de las bases de la figura.

Tipos de paralelepípedos

El primer tipo de clasificación radica en las características del paralelogramo que se encuentra en la base. Puede verse así:

• ordinario, en el que los ángulos no son iguales a 90 o;
• rectángulo;
• un cuadrado es un cuadrilátero regular.

El segundo tipo de clasificación es el ángulo en el que el lado cruza la base. Dos casos diferentes son posibles aquí:

• este ángulo no es recto, entonces el prisma se llama oblicuo u oblicuo;
• el ángulo es de 90 o, entonces dicho prisma es rectangular o simplemente recto.

El tercer tipo de clasificación está relacionado con la altura del prisma. Si el prisma es rectangular y la base es un cuadrado o un rectángulo, entonces se llama paralelepípedo. Si hay un cuadrado en la base, el prisma es rectangular y su altura es igual a la longitud del lado del cuadrado, entonces obtenemos la conocida figura cúbica.

La superficie del prisma y su área.

El conjunto de todos los puntos que se encuentran en las dos bases del prisma (paralelogramos) y en sus lados (cuatro paralelogramos) forman la superficie de la figura. El área de esta superficie se puede calcular calculando el área de la base y este valor para la superficie lateral. Entonces su suma dará el valor deseado. Matemáticamente, esto se escribe así:

Aquí S o y S b son el área de la base y la superficie lateral, respectivamente. El número 2 antes de S o aparece porque hay dos bases.

Tenga en cuenta que la fórmula escrita es válida para cualquier prisma, y ​​no solo para el área de un prisma cuadrangular.

Es útil recordar que el área del paralelogramo S p se calcula mediante la fórmula:

Donde los símbolos a y h denotan la longitud de uno de sus lados y la altura trazada a este lado, respectivamente.

Área de un prisma rectangular de base cuadrada

La base es un cuadrado. Para mayor precisión, denotamos su lado con la letra a. Para calcular el área de un prisma cuadrangular regular, debes saber su altura. Según la definición de esta cantidad, es igual a la longitud de la perpendicular que cae de una base a otra, es decir, igual a la distancia que las separa. Lo denotaremos con la letra h. Dado que todas las caras laterales son perpendiculares a las bases para el tipo de prisma considerado, la altura de un prisma cuadrangular regular será igual a la longitud de su borde lateral.

Hay dos términos en la fórmula general para el área de superficie de un prisma. El área de la base en este caso es fácil de calcular, es igual a:

Para calcular el área de la superficie lateral, argumentamos de la siguiente manera: esta superficie está formada por 4 rectángulos idénticos. Además, los lados de cada uno de ellos son iguales a a y h. Esto significa que el área S b será igual a:

Tenga en cuenta que el producto 4*a es el perímetro de la base cuadrada. Si generalizamos esta expresión al caso de una base arbitraria, entonces, para un prisma rectangular, la superficie lateral se puede calcular de la siguiente manera:

Donde P o es el perímetro de la base.

Volviendo al problema de calcular el área de un prisma cuadrangular regular, podemos escribir la fórmula final:

S = 2*S o + S segundo = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Área de un paralelepípedo oblicuo

Calcularlo es algo más difícil que para uno rectangular. En este caso, el área de la base de un prisma cuadrangular se calcula con la misma fórmula que para un paralelogramo. Los cambios se relacionan con el método de determinación del área de la superficie lateral.

Para hacer esto, use la misma fórmula a través del perímetro, que se da en el párrafo anterior. Solo que ahora tendrá multiplicadores ligeramente diferentes. La fórmula general para S b en el caso de un prisma oblicuo es:

Aquí, c es la longitud del borde lateral de la figura. El valor P sr es el perímetro de la rebanada rectangular. Este entorno se construye de la siguiente manera: es necesario cortar todas las caras laterales con un plano para que sea perpendicular a todas ellas. El rectángulo resultante será el corte deseado.

La figura de arriba muestra un ejemplo de una caja oblicua. Su sección rayada forma ángulos rectos con los lados. El perímetro de la sección es P sr . Está formado por cuatro alturas de paralelogramos laterales. Para este prisma cuadrangular, el área de la superficie lateral se calcula utilizando la fórmula anterior.

La longitud de la diagonal de un paralelepípedo

La diagonal de un paralelepípedo es un segmento que une dos vértices que no tienen lados comunes que los formen. Solo hay cuatro diagonales en cualquier prisma cuadrangular. Para un paralelepípedo con un rectángulo en su base, las longitudes de todas las diagonales son iguales entre sí.

La siguiente figura muestra la figura correspondiente. El segmento rojo es su diagonal.

re = √(UN 2 + segundo 2 + do 2)

Aquí D es la longitud de la diagonal. Los símbolos restantes son las longitudes de los lados del paralelepípedo.

Mucha gente confunde la diagonal de un paralelepípedo con las diagonales de sus lados. A continuación se muestra una figura donde las diagonales de los lados de la figura se muestran con segmentos coloreados.

La longitud de cada uno de ellos también está determinada por el teorema de Pitágoras y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados correspondientes.

Volumen de prisma

Además del área de un prisma cuadrangular regular u otro tipo de prismas, para resolver algunos problemas geométricos también se debe conocer su volumen. Este valor para absolutamente cualquier prisma se calcula mediante la siguiente fórmula:

Si el prisma es rectangular, basta con calcular el área de su base y multiplicarla por la longitud de la arista del lado para obtener el volumen de la figura.

Si el prisma es un cuadrilátero regular, entonces su volumen será igual a:

Es fácil ver que esta fórmula se convierte en una expresión para el volumen de un cubo si la longitud del lado h es igual al lado de la base a.

Problema con un cuboide

Para consolidar el material estudiado, resolveremos el siguiente problema: se tiene un paralelepípedo rectangular cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, es necesario calcular su superficie, longitud diagonal y volumen.

S \u003d 2 * S o + S b \u003d 2 * 12 + 5 * 14 \u003d 24 + 70 \u003d 94 cm 2

Para determinar la longitud de la diagonal y el volumen de la figura, puede usar directamente las expresiones anteriores:

D \u003d √ (3 2 +4 2 +5 2) \u003d 7.071 cm;

V \u003d 3 * 4 * 5 \u003d 60 cm 3.

Problema con un paralelepípedo oblicuo

La siguiente figura muestra un prisma oblicuo. Sus lados son iguales: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm Es necesario encontrar el área de superficie de esta figura.

Primero, determinemos el área de la base. Se puede ver en la figura que el ángulo agudo es de 50 o. Entonces su área es:

S o \u003d h * a \u003d sin (50 o) * b * a

Para determinar el área de la superficie lateral, encuentra el perímetro del rectángulo sombreado. Los lados de este rectángulo son a*sin(45o) y b*sin(60o). Entonces el perímetro de este rectángulo es:

P sr = 2*(a*sen(45o)+b*sen(60o))

La superficie total de este paralelepípedo es:

S = 2*S o + S b = 2*(sen(50 o)*b*a + a*c*sen(45 o) + b*c*sen(60 o))

Sustituimos los datos de la condición del problema por las longitudes de los lados de la figura, obtenemos la respuesta:

De la solución de este problema, se puede ver que las funciones trigonométricas se utilizan para determinar las áreas de figuras oblicuas.