Los vectores se pueden representar gráficamente mediante líneas direccionales. La longitud se elige de acuerdo con una cierta escala para indicar magnitud vectorial , y la dirección del segmento de línea es dirección del vector ... Por ejemplo, si asumimos que 1 cm representa 5 km / h, entonces un viento del noreste de 15 km / h estaría representado por un segmento direccional de 3 cm, como se muestra en la figura.

Vector en un plano, es un segmento dirigido. Dos vectores son iguales si tienen lo mismo magnitud y dirección.

Considere un vector dibujado desde el punto A al punto B. El punto se llama punto de partida vector, y el punto B se llama punto final... La notación simbólica para este vector es (se lee como "vector AB"). Los vectores también se indican en negrita, como U, V y W. Los cuatro vectores de la figura de la izquierda tienen la misma longitud y dirección. Por lo tanto, representan igual veteranos es decir,

En el contexto de los vectores, usamos = para indicar su igualdad.

Longitud, o magnitud expresado como ||. Para determinar si los vectores son iguales, encontramos sus magnitudes y direcciones.

Ejemplo 1 Los vectores u ,, w se muestran en la figura siguiente. Demuestre que u = = w.

Solución Primero, encontramos la longitud de cada vector usando la fórmula de la distancia:
| u | = √ 2 + (4-3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
| w | = √ (4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10.
De aquí
| u | = | = | w |.
Los vectores u ,, yw, como puede ver en la figura, parecen tener la misma dirección, pero verificaremos su pendiente. Si las líneas en las que están ubicadas tienen las mismas pendientes, entonces los vectores tienen la misma dirección. Calculamos las pendientes:
Dado que u ,, yw son de igual magnitud y la misma dirección,
u = = w.

Tenga en cuenta que la igualdad de vectores solo requiere la misma magnitud y la misma dirección, no estar en un solo lugar. La figura superior muestra un ejemplo de igualdad de vectores.

Suponga que una persona da 4 pasos hacia el este y luego 3 pasos hacia el norte. La persona estará a 5 pasos del punto de partida en la dirección que se muestra a la izquierda. Un vector de 4 unidades de largo y con dirección a la derecha representa 4 pasos hacia el este y un vector de 3 unidades de largo hacia arriba representa 3 pasos hacia el norte. Suma estos dos vectores son un vector de 5 pasos de magnitud y en la dirección que se muestra. La cantidad también se llama el resultante dos vectores.

En general, dos vectores distintos de cero uyv se pueden sumar geométricamente colocando el punto inicial del vector v en el punto final del vector u, y luego encontrando un viento que tenga el mismo punto inicial que el vector u y el mismo final punto como el vector v como se muestra en la figura siguiente.

La suma es un vector representado por un segmento dirigido desde el punto A del vector u hasta el punto final C del vector v. Por tanto, si u = y v =, entonces
u + v = + =

También podemos describir la suma de vectores como unir los puntos iniciales de los vectores, dibujar un paralelogramo y encontrar la diagonal del paralelogramo. (en la imagen siguiente.) Esta adición a veces se denomina regla del paralelogramo adición de vectores. La suma de vectores es conmutativa. Como se muestra en la figura, ambos vectores u + v y v + u están representados por el mismo segmento direccional.

Si dos fuerzas F 1 y F 2 actúan sobre un objeto, la resultante fuerza es la suma F 1 + F 2 de estas dos fuerzas separadas.

Ejemplo Dos fuerzas de 15 Newtons y 25 Newtons actúan sobre un objeto perpendiculares entre sí. Encuentre su suma, o la fuerza resultante y el ángulo que forma con mayor fuerza.

Solución Dibujemos un enunciado del problema, en este caso un rectángulo, usando vo para representar la resultante. Para encontrar su valor, usamos el teorema de Pitágoras:
| v | 2 = 15 2 + 25 2 Aquí | v | denota la longitud o magnitud de v.
| v | = √15 2 + 25 2
| v | ≈ 29,2.
Para encontrar la dirección, tenga en cuenta que, dado que OAB es un ángulo recto,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Usando una calculadora, encontramos θ, el ángulo que forma la fuerza mayor con la fuerza resultante:
θ = bronceado - 1 (0,6) ≈ 31 °
La resultante tiene una magnitud de 29,2 y un ángulo de 31 ° con mayor fuerza.

Los pilotos pueden corregir su dirección de vuelo si hay viento cruzado. El viento y la velocidad de las aeronaves se pueden representar como vientos.

Ejemplo 3. Velocidad y dirección del avión. El avión se mueve en un acimut de 100 ° a una velocidad de 190 km / h, mientras que la velocidad del viento es de 48 km / hy su acimut es de 220 °. Encuentre la velocidad absoluta del avión y la dirección de su movimiento, teniendo en cuenta el viento.

Solución Primero, dibujemos un dibujo. Se presenta el viento y el vector de velocidad del avión es. El vector de velocidad resultante es v, la suma de los dos vectores. El ángulo θ entre v se llama ángulo de deriva .


Tenga en cuenta que el valor de COA es 100 ° - 40 ° = 60 °. Entonces el valor CBA también es 60 ° (los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales). Dado que la suma de todos los ángulos de un paralelogramo es 360 ° y COB y OAB tienen la misma magnitud, cada uno debe ser 120 °. Por regla del coseno en la OAB, tenemos
| v | 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120 °
| v | 2 = 47,524
| v | = 218
Entonces, | v | es igual a 218 km / h. De acuerdo a la regla del seno , en el mismo triangular,
48 / sinθ = 218 / pecado 120 °,
o
sinθ = 48.sin120 ° / 218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11 °
Entonces, θ = 11 °, al ángulo entero más cercano. La velocidad absoluta es de 218 km / hy la dirección de su movimiento, teniendo en cuenta el viento: 100 ° - 11 °, o 89 °.

Dado un vector w, podemos encontrar otros dos vectores, u y v, cuya suma es w. Los vectores uyv se llaman componentes w y el proceso de encontrarlos se llama descomposición , o representar un vector por sus componentes vectoriales.

Cuando expandimos un vector, generalmente buscamos componentes perpendiculares. Sin embargo, muy a menudo, un componente será paralelo al eje x y el otro será paralelo al eje y. Por lo tanto, a menudo se les llama horizontal y vertical componentes vectoriales. En la siguiente figura, el vector w = se descompone como la suma de u = y v =.

La componente horizontal de w es u y la componente vertical es v.

Ejemplo 4 El vector w tiene una magnitud de 130 y una inclinación de 40 ° con respecto a la horizontal. Descomponga el vector en componentes horizontales y verticales.

Solución Primero, dibujamos una figura con los vectores horizontal y vertical u y v, cuya suma es w.

De ABC, encontramos | u | y | v | usando las definiciones de coseno y seno:
cos40 ° = | u | / 130, o | u | = 130.cos40 ° ≈ 100,
sin40 ° = | v | / 130, o | v | = 130.sin40 ° ≈ 84.
Entonces, la componente horizontal w es 100 hacia la derecha y la componente vertical w es 84 hacia arriba.

Esta página está dedicada a un grupo de problemas de geometría relacionados con los vectores y está continuación serie de reseñas Tareas geométricas típicas del examen y el examen de matemáticas. .
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Tareas vectoriales.

Vector- segmento direccional.

La longitud del segmento se llama módulo del vector. Dos vectores son iguales si tienen módulos iguales y la misma dirección.
Los vectores se indican con letras latinas minúsculas a B C ..., o especificando los extremos del segmento AB, CD, MN ... Para distinguir la designación de un vector de la designación de un segmento simple, estos símbolos se complementan desde arriba con guiones o flechas. En el texto impreso, las letras latinas minúsculas a menudo se muestran solo en negrita.

Si un vector se indica con dos letras (los extremos de un segmento), el comienzo del vector siempre ocupa el primer lugar.

Puede configurar un vector de diferentes formas:
1. Gráficamente: para mostrar en una cuadrícula de coordenadas.
2. Establezca los puntos de inicio y finalización y sus coordenadas.
3. Configure la longitud y la dirección de la línea. La dirección está determinada por los ángulos con los ejes de coordenadas (cosenos de dirección).
4. Establezca las coordenadas del vector.

Aclaremos el concepto de coordenadas vectoriales.

Deje que el vector a en el plano tiene su origen en el punto A(X A; y A) y termina en el punto V(X B; y B).
Las coordenadas de un vector son números
a 1 = X B - X A y a 2 = y B - y UNA.
Por lo tanto, el vector a tiene coordenadas a 1 ;a 2).

En la figura, el vector AB tiene coordenadas (9; 5). Tenga en cuenta que estos números en realidad establecen los catetos de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el segmento AB... La longitud de estos catetos no cambiará si movemos el segmento, y con él todo el triángulo, por transferencia paralela, a otro lugar. Las coordenadas del vector no dependen de su posición en el plano, sino solo de la longitud y dirección del segmento. Si la dirección del vector no coincide con la dirección del eje de coordenadas, entonces la coordenada correspondiente del vector será igual a la longitud del cateto con un signo menos.

Los vectores se pueden sumar, restar, multiplicar por un número. Para los vectores, también se definen tipos especiales de multiplicación - producto escalar, cuyo resultado es un número, y - producto cruzado, cuyo resultado es un vector. (El producto vectorial no está incluido en el currículo escolar obligatorio de matemáticas, pero se encuentra parcialmente en las lecciones de física, cuando se estudian las leyes de la inducción del campo magnético). Las operaciones en vectores se pueden realizar mediante el método de coordenadas o gráficamente (la la regla del paralelogramo, la regla del triángulo ...). Repita estas reglas en el libro de texto o libro de referencia y elija su "favorito". Presento la solución utilizando el método más corto para una tarea específica.

Para el siguiente grupo de problemas, el dibujo en la condición, en general, no es necesario. Si resuelve problemas utilizando el método de coordenadas, puede prescindir de un dibujo en la solución, además, no necesita una cuadrícula. Sin embargo, es mejor hacer siempre dibujos para evitar errores accidentales. Y la cuadrícula ayuda a controlar visualmente su decisión. Por supuesto, si la escala de los datos lo permite.

Problema 1

Dos lados de un rectángulo A B C D son iguales a 6 y 8.
Encuentre la longitud del vector AC.

Longitud del vector AC — igual a la longitud del segmento C.A. que es la hipotenusa del triángulo rectángulo A B C con piernas conocidas.
C.A. 2 = AB 2 + antes de Cristo 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 = 100; C.A. = 10.

"Geometría" Área del trapezoide "" - Piensa. Área del trapecio. AH =. 1. AD = 4 cm. Base. Calcula el área del trapezoide ABCD. Calcula el área de un trapezoide rectangular. Geometría. Repite la demostración del teorema. Divide el polígono en triángulos. Una tarea con solución.

Determinación de la simetría axial: dibuje los puntos A "y B". Simetría axial. Figura. Faltan coordenadas. Creación de segmentos. Sección. Eje de simetria. Simetría en poesía. Construcción de un triángulo. Puntos que se encuentran en la misma perpendicular. Trazar un punto. Simetría. Triangulos. Construye triángulos. Dibuja un punto. Trazar puntos. Formas con un eje de simetría. Derecho. Formas con dos ejes de simetría. Simetría en la naturaleza.

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"Geometría de triángulos semejantes": dos triángulos se denominan triángulos semejantes. Valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 30 °, 45 °, 60 °. Calcula el área de un triángulo rectángulo isósceles. El teorema de la razón de las áreas de triángulos semejantes. Triángulos similares. El segundo signo de similitud de triángulos. Continuación de los lados. Valores de seno, coseno y tangente. Segmentos de línea proporcionales. Los dos lados del triángulo estaban conectados por un segmento que no era paralelo al tercero.

Este capítulo está dedicado al desarrollo del aparato de geometría vectorial. Los vectores se pueden utilizar para demostrar teoremas y resolver problemas geométricos. En este capítulo se dan ejemplos de tales usos de vectores. Pero el estudio de los vectores también es útil porque se utilizan ampliamente en física para describir diversas cantidades físicas, como, por ejemplo, velocidad, aceleración, fuerza.

Muchas magnitudes físicas, por ejemplo la fuerza, el movimiento de un punto material, la velocidad, se caracterizan no solo por su valor numérico, sino también por su dirección en el espacio. Tales cantidades fsicas se llaman cantidades vectoriales(o en breve vectores).

Veamos un ejemplo. Deje que una fuerza de 8 N. actúe sobre el cuerpo. En la figura, la fuerza está representada por un segmento con una flecha (Fig. 240). La flecha indica la dirección de la fuerza y ​​la longitud del segmento corresponde al valor numérico de la fuerza en la escala seleccionada. Entonces, en la Figura 240, una fuerza de 1 N está representada por un segmento de 0.6 cm de largo, por lo tanto, una fuerza de 8 N se representa como un segmento de 4.8 cm de largo.

Arroz. 240

Partiendo de las propiedades específicas de las cantidades vectoriales físicas, llegamos al concepto geométrico de vector.

Considere un segmento arbitrario. Sus extremos también se llaman puntos límite del segmento de línea.

Puede especificar dos direcciones en una línea: de un extremo a otro y viceversa.

Para elegir una de estas direcciones, llamamos a un punto límite del segmento el comienzo del segmento y el otro es el final del segmento y asumiremos que el segmento está dirigido desde el principio hasta el final.

Definición

En las figuras, el vector está representado por un segmento de línea con una flecha que muestra la dirección del vector. Los vectores se indican con dos letras latinas mayúsculas con una flecha encima, por ejemplo. La primera letra denota el comienzo del vector, la segunda, el final (Fig.242).

Arroz. 242

Figura 243, a muestra vectores los puntos A, C, E - el comienzo de estos vectores, y B, D, F - sus extremos. Los vectores a menudo se indican con una letra latina minúscula con una flecha encima: (Fig. 243, b).

Arroz. 243

Para lo que sigue, conviene estar de acuerdo en que cualquier punto del plano es también un vector. En este caso, el vector se llama cero... El comienzo del vector cero es el mismo que su final. En la figura, dicho vector está representado por un punto. Si, por ejemplo, el punto que representa el vector cero se designa con la letra M, entonces este vector cero se puede designar de la siguiente manera: (Fig. 243, a). El vector cero también se denota con el símbolo En la figura 243 vectores distinto de cero, y el vector es cero.

La longitud o módulo de un vector distinto de cero es la longitud del segmento AB. La longitud de un vector (vector) se denota de la siguiente manera :. La longitud del vector cero se considera cero:

Las longitudes de los vectores que se muestran en las Figuras 243, ay 243, 6 son las siguientes:

(cada celda de la Figura 243 tiene un lado igual a la unidad de medida de los segmentos).

Igualdad de vectores

Antes de definir vectores iguales, veamos un ejemplo. Considere el movimiento de un cuerpo en el que todos sus puntos se mueven a la misma velocidad y en la misma dirección.

La velocidad de cada punto M del cuerpo es una cantidad vectorial, por lo que se puede representar como un segmento dirigido, cuyo comienzo coincide con el punto M (Fig. 244). Dado que todos los puntos del cuerpo se mueven a la misma velocidad, todos los segmentos dirigidos que representan las velocidades de estos puntos tienen la misma dirección y sus longitudes son iguales.

Arroz. 244

Este ejemplo nos dice cómo determinar la igualdad de vectores.

Primero introducimos el concepto de vectores colineales.

Los vectores distintos de cero se denominan colineal si se encuentran en una línea recta o en líneas paralelas; un vector nulo se considera colineal con cualquier vector.

En la Figura 245, los vectores (vector cero) son colineales y los vectores tampoco son colineales.

Arroz. 245

Si dos vectores distintos de cero y son colineales, entonces pueden dirigirse de la misma forma o en sentido opuesto. En el primer caso, los vectores y se llaman codirigido, y en el segundo - dirigido de manera opuesta 1 .

La codireccionalidad de los vectores y se denota de la siguiente manera: Si los vectores están y están dirigidos de manera opuesta, entonces esto se denota de la siguiente manera: La Figura 245 muestra vectores tanto codireccionales como opuestos:

El comienzo del vector cero coincide con su final, por lo que el vector cero no tiene ninguna dirección definida. En otras palabras, cualquier dirección puede considerarse la dirección del vector cero. Aceptemos suponer que el vector cero es codireccional con cualquier vector. Así, en la Figura 245, etc.

Los vectores colineales distintos de cero tienen propiedades que se ilustran en la Figura 246, a - c.




Arroz. 246

Démosle ahora la definición de vectores iguales.

Definición

Por tanto, los vectores y son iguales si. La igualdad de vectores y se denota de la siguiente manera:

Retrasar un vector desde un punto dado

Si el punto A es el comienzo de un vector, entonces dicen que el vector se traza desde el punto A(figura 247). Probemos la siguiente afirmación:

desde cualquier punto M, se puede posponer un vector igual a este vector, y además, solo uno.




Arroz. 247

De hecho, si es un vector cero, entonces el vector requerido es un vector. Suponga que el vector es distinto de cero y que los puntos A y B son el principio y el final. Dibuje a través del punto M una línea recta p paralela a AB (figura 248; si M es un punto de una línea recta AB, entonces, como una línea recta p, tomamos la propia línea recta AB). En la recta p descartamos los segmentos MN y MN ", iguales al segmento AB, y elegimos entre los vectores el que es codireccional con el vector (en la figura 248 vector). Este vector es el vector deseado igual al vector. De la construcción se deduce que solo existe un vector de este tipo.




Arroz. 248

Comentario

Los vectores iguales, trazados desde diferentes puntos, a menudo se indican con la misma letra. Así es como, por ejemplo, se denotan vectores de igual velocidad de diferentes puntos en la Figura 244. A veces se dice que tales vectores son el mismo vector, pero pospuestos desde diferentes puntos.

Tareas practicas

738. Marque los puntos A, B y C, que no se encuentran en una línea recta. Dibuje todos los vectores distintos de cero cuyo comienzo y final coincidan con dos de estos puntos. Anote todos los vectores resultantes e indique el principio y el final de cada vector.

739. Habiendo elegido una escala adecuada, dibuje vectores que representen el vuelo del avión primero 300 km al sur de la ciudad A a B, y luego 500 km al este de la ciudad B a C. Luego dibuje un vector que represente el movimiento desde el punto de partida hasta el punto final.

740. Dibuja vectores de modo que:

741. Dibuja dos vectores no colineales y. Dibuja varios vectores: a) codireccional con el vector; b) codireccional con el vector; c) dirigido de manera opuesta al vector; d) dirigido de manera opuesta al vector.

742. Dibuje dos vectores: a) de igual longitud y no lineales; b) de igual longitud y codireccional; c) tener longitudes iguales y direcciones opuestas. ¿En qué caso son iguales los vectores resultantes?

Respuesta En el caso b).