معادله یک خط مستقیم که از تقاطع دو صفحه بدست می آید را بیابید. تقاطع هواپیما

زاویه بین هواپیماها

بیایید دو صفحه α 1 و α 2 را در نظر بگیریم که به ترتیب با معادلات به دست می آیند:

زیر گوشهبین دو صفحه منظور یکی از زوایای دو وجهی است که توسط این صفحات تشکیل شده است. بدیهی است که زاویه بین بردارهای نرمال و صفحات α1 و α2 برابر با یکی از زوایای دو وجهی مجاور مشخص شده یا . از همین رو . زیرا و ، سپس

.

مثال.زاویه بین صفحات را تعیین کنید ایکس+2y-3z+4=0 و 2 ایکس+3y+z+8=0.

شرط موازی بودن دو صفحه.

دو صفحه α 1 و α 2 موازی هستند اگر و فقط اگر بردارهای نرمال آنها موازی باشند و از این رو .

بنابراین، دو صفحه با یکدیگر موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب در مختصات مربوطه متناسب باشند:

یا

شرط عمود بودن صفحات.

واضح است که دو صفحه عمود هستند اگر و فقط اگر بردارهای عادی آنها عمود بر هم باشند، و از این رو، یا .

به این ترتیب، .

مثال ها.

مستقیم در فضا.

معادله برداری مستقیم.

معادلات پارامتری مستقیم

موقعیت یک خط مستقیم در فضا با مشخص کردن هر یک از نقاط ثابت آن کاملاً مشخص می شود م 1 و بردار موازی با این خط.

بردار موازی با یک خط مستقیم نامیده می شود هدایت کردنبردار این خط

بنابراین اجازه دهید مستقیم لاز نقطه ای می گذرد م 1 (ایکس 1 , y 1 , z 1) دراز کشیدن روی یک خط مستقیم موازی با بردار.

یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید M(x،y،z)روی یک خط مستقیم از شکل مشخص است که .

بردارها و خطی هستند، بنابراین چنین عددی وجود دارد تی, چیست , ضریب کجاست تیبسته به موقعیت نقطه می تواند هر مقدار عددی را بگیرد مروی یک خط مستقیم عامل تیپارامتر نامیده می شود. نشان دادن بردار شعاع نقاط م 1 و مبه ترتیب، از طریق و، به دست می آوریم. این معادله نامیده می شود بردارمعادله خط مستقیم این نشان می دهد که هر پارامتر مقدار تیمربوط به بردار شعاع یک نقطه است مدراز کشیدن روی یک خط مستقیم

این معادله را به صورت مختصات می نویسیم. توجه کنید که ، و از اینجا

معادلات به دست آمده نامیده می شوند پارامتریکمعادلات خط مستقیم

هنگام تغییر پارامتر تیمختصات تغییر می کند ایکس, yو zو نقطه مدر یک خط مستقیم حرکت می کند

معادلات متعارف مستقیم

اجازه دهید م 1 (ایکس 1 , y 1 , z 1) - نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار دارد ل، و بردار جهت آن است. دوباره، یک نقطه دلخواه روی یک خط مستقیم بگیرید M(x،y،z)و بردار را در نظر بگیرید.

واضح است که بردارها و خطی هستند، بنابراین مختصات مربوطه آنها باید متناسب باشد، بنابراین

– ابتداییمعادلات خط مستقیم

تبصره 1.توجه داشته باشید که با حذف پارامتر می توان معادلات متعارف خط را از معادلات پارامتریک به دست آورد. تی. در واقع از معادلات پارامتری بدست می آوریم یا .

مثال.معادله یک خط مستقیم را بنویسید به صورت پارامتریک

مشخص کن ، از این رو ایکس = 2 + 3تی, y = –1 + 2تی, z = 1 –تی.

تبصره 2.بگذارید خط عمود بر یکی از محورهای مختصات، به عنوان مثال، محور باشد گاو نر. سپس بردار جهت خط عمود است گاو نر، در نتیجه، متر=0. در نتیجه معادلات پارامتریک خط مستقیم شکل می گیرند

حذف پارامتر از معادلات تی، معادلات خط مستقیم را به صورت به دست می آوریم

با این حال، در این مورد نیز موافقیم که معادلات متعارف خط مستقیم را به صورت رسمی بنویسیم . بنابراین، اگر مخرج یکی از کسرها صفر باشد، به این معنی است که خط بر محور مختصات مربوطه عمود است.

به طور مشابه، معادلات متعارف مربوط به یک خط مستقیم عمود بر محورها است گاو نرو اوهیا محور موازی اوز.

مثال ها.

معادلات کلی یک خط مستقیم به عنوان خط رهگیری دو صفحه

از هر خط مستقیم در فضا تعداد بی نهایت صفحه عبور می کند. هر دو تا از آنها، که متقاطع شوند، آن را در فضا تعریف می کنند. بنابراین، معادلات هر دو چنین صفحه ای که با هم در نظر گرفته شوند، معادلات این خط هستند.

به طور کلی، هر دو صفحه غیر موازی که توسط معادلات کلی داده می شود

خط تقاطع آنها را تعیین کنید. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلیسر راست.

مثال ها.

یک خط مستقیم بسازید که با معادلات به دست می آید

برای ساختن یک خط کافی است هر دو نقطه از آن را پیدا کنید. ساده ترین راه انتخاب نقاط تقاطع خط با صفحات مختصات است. به عنوان مثال، نقطه تقاطع با هواپیما xOyما از معادلات یک خط مستقیم با فرض به دست می آوریم z= 0:

با حل این سیستم به نکته پی می بریم م 1 (1;2;0).

به همین ترتیب، با فرض y= 0، نقطه تقاطع خط با صفحه را می گیریم xOz:

از معادلات کلی یک خط مستقیم می توان به معادلات متعارف یا پارامتریک آن رسید. برای انجام این کار، باید نقطه ای را پیدا کنید م 1 روی خط و بردار جهت خط.

مختصات نقطه م 1 را از این سیستم معادلات بدست می آوریم و به یکی از مختصات مقدار دلخواه می دهیم. برای یافتن بردار جهت، توجه داشته باشید که این بردار باید بر هر دو بردار معمولی عمود باشد و . بنابراین برای بردار جهت خط مستقیم لمی توانید حاصل ضرب بردارهای عادی را بگیرید:

.

مثال.معادلات کلی خط مستقیم را بیاورید به شکل متعارف

یک نقطه روی یک خط مستقیم پیدا کنید. برای انجام این کار، به طور دلخواه یکی از مختصات را انتخاب می کنیم، به عنوان مثال، y= 0 و سیستم معادلات را حل کنید:

بردارهای عادی صفحاتی که خط را مشخص می کنند دارای مختصاتی هستند بنابراین، بردار جهت مستقیم خواهد بود

. در نتیجه، ل: .

زاویه بین حقوق

گوشهبین خطوط مستقیم در فضا، هر یک از زوایای مجاور را که توسط دو خط مستقیم که از طریق یک نقطه دلخواه موازی با داده ها کشیده شده اند، می نامیم.

بگذارید دو خط مستقیم در فضا داده شود:

بدیهی است که زاویه φ بین خطوط را می توان به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها و . از آنجا که، پس با توجه به فرمول کسینوس زاویه بین بردارها به دست می آوریم

از هر خط مستقیم در فضا تعداد بی نهایت صفحه عبور می کند. هر دو تا از آنها، که متقاطع شوند، آن را در فضا تعریف می کنند. بنابراین، معادلات هر دو چنین صفحه ای که با هم در نظر گرفته شوند، معادلات این خط هستند.

به طور کلی، هر دو صفحه غیر موازی که توسط معادلات کلی داده می شود

خط تقاطع آنها را تعیین کنید. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلیسر راست

بلیط 6عبارتی برای زاویه بین خط مستقیم و صفحه، شرط موازی بودن و عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه بنویسید.

گوشهبین یک خط مستقیم و یک صفحه، زاویه تشکیل شده توسط خط مستقیم و برآمدگی آن را بر روی صفحه می نامیم. اجازه دهید هواپیما توسط معادلات داده شود

بردارها و را در نظر بگیرید. اگر زاویه بین آنها تند باشد، آنگاه خواهد بود، جایی که φ زاویه بین خط و صفحه است. سپس .

اگر زاویه بین بردارها و منفرد باشد، برابر است با. در نتیجه . بنابراین، در هر صورت. با یادآوری فرمول محاسبه کسینوس زاویه بین بردارها، به دست می آوریم .

شرط عمود بودن یک خط و یک صفحه.یک خط و یک صفحه عمود هستند اگر و فقط در صورتی که بردار جهت خط و بردار عادی صفحه یک خط باشند، یعنی. .

شرط موازی بودن یک خط مستقیم و یک صفحه.یک خط و یک صفحه موازی هستند اگر و فقط اگر بردارها و عمود بر هم باشند.

بلیط 7. بیضی را تعریف کنید. معادله بیضی را به صورت متعارف بنویسید. رئوس، کانون ها، محورها و خروج از مرکز بیضی.

تعریف:بیضی مکان نقاط یک صفحه است که برای هر یک از آنها مجموع فواصل دو نقطه معین از همان صفحه که کانون بیضی نامیده می شود مقدار ثابتی است.

اجازه دهید اف 1 و اف 2- کانون های بیضی. شروع کنید Oسیستم های مختصات در وسط قطعه قرار دارند اف 1 اف 2. محور گاو نرمستقیم در امتداد این بخش، محور اوه- عمود بر این بخش (شکل).

تعریف:نقاط تلاقی یک بیضی با محورهای تقارن آن نامیده می شود بیضی راسالف، مرکز تقارن است مرکز بیضیقطعه بین دو راس حاوی کانون نامیده می شود محور اصلی بیضی، نصف طول آن محور نیمه اصلی یک بیضی. پاره ای بین رئوس روی محور تقارن که دارای کانون نباشد نامیده می شود محور کوچک بیضی، نیمی از طول آن نیمه محور فرعی است. مقدار نامیده می شود خارج از مرکز بیضی.

اگر بیضی با معادلات متعارف به دست آید، رئوس آن دارای مختصاتی هستند (- آ;0), (آ;0),(0; –ب), (0;ب)، محور نیمه اصلی است آ، نیم محور کوچک برابر است با ب. ارزش جکه نصف فاصله کانونی هاست، از فرمول مشخص می شود ج 2 = آ 2 – ب 2 .

خروج از مرکز بیضی درجه ازدیاد طول بیضی را مشخص می کند. هر چه خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر شبیه یک دایره است. هر چه خروج از مرکز به 1 نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر کشیده می شود. توجه داشته باشید که طبق تعریف، برای بیضی 0 است< <1.

معادله نامیده می شود معادله متعارف بیضی.

بلیط 8هیپربولی را تعریف کنید معادله هذلولی را به صورت متعارف بنویسید. رئوس، کانون ها، محورها، مجانب و خروج از مرکز هذلولی،

تعریف:هذلولی منبعی از نقاط در یک صفحه است که برای هر یک از آنها قدر مطلق اختلاف فاصله تا دو نقطه ثابت از یک صفحه که کانون هذلولی نامیده می شود، مقدار ثابتی است.

همانطور که در مورد بیضی، برای بدست آوردن معادله هذلولی، یک سیستم مختصات مناسب را انتخاب می کنیم. مبدأ مختصات در وسط بخش بین کانون ها، محور قرار دارد گاو نردر امتداد این قطعه مستقیم است و محور y بر آن عمود است.

معادله نامیده می شود معادله متعارفهذلولی

یک هذلولی دارای دو محور متقارن عمود بر یکدیگر است که یکی از آنها کانون های هذلولی و یک مرکز تقارن است. اگر هذلولی با یک معادله متعارف به دست آید، آنگاه محورهای تقارن آن، محورهای مختصات هستند. گاو نرو اوهو مبدأ مرکز تقارن هذلولی است.

تعریف:نقاط تقاطع هذلولی که توسط معادله متعارف با محور داده شده است گاو نرتماس گرفت رئوس هذلولی، قطعه بین آنها نامیده می شود محور واقعی هذلولی. بخش محور y بین نقاط (0;- ب) و (0; ب) محور خیالی نامیده می شود. شماره آو ببه ترتیب نیم محورهای واقعی و خیالی هذلولی نامیده می شوند. مبدأ مختصات را مرکز آن می گویند. مقدار نامیده می شود عجیب و غریبهذلولی

اظهار نظر:از برابری ب 2 = ج 2 – آ 2 به دنبال آن است ج>آ، یعنی هذلولی > 1. خروج از مرکز، زاویه بین مجانب را مشخص می کند، هر چه به 1 نزدیکتر باشد، این زاویه کوچکتر است.

بلیط 9.سهمی را تعریف کنید معادله سهمی را به صورت متعارف بنویسید. Directrix، تمرکز سهمی

سهمی مکان نقاطی در صفحه ای است که از یک نقطه معین F و یک خط معین d که از نقطه معینی عبور نمی کند فاصله دارند. این تعریف هندسی بیان می کند ویژگی دایرکتوری سهمی.

ویژگی هدایتی سهمی نقطه F کانون سهمی نامیده می شود، خط d را جهت سهمی می گویند، نقطه وسط O عمود بری که از کانون به جهات رها شده است، راس سهمی است. فاصله p از کانون تا جهت، پارامتر سهمی است و فاصله p2 از راس سهمی تا کانون آن، فاصله فوکوس است (شکل a). خط مستقیم عمود بر جهاز و عبور از کانون را محور سهمی (محور کانونی سهمی) می نامند. قطعه FM که نقطه دلخواه M از سهمی را با کانون خود وصل می کند، شعاع کانونی نقطه M نامیده می شود. قطعه ای که دو نقطه از سهمی را به هم متصل می کند، وتر سهمی نامیده می شود.

برای یک نقطه دلخواه سهمی، نسبت فاصله به کانون به فاصله به جهت برابر با یک است. با مقایسه ویژگی های دایرکتوری بیضی، هذلولی و سهمی به این نتیجه می رسیم که خروج از مرکز سهمیطبق تعریف برابر با یک است

.تعریف هندسی سهمی ، که ویژگی دایرکتوری خود را بیان می کند، معادل تعریف تحلیلی آن است - خطی که توسط معادله متعارف سهمی داده می شود:

بلیط 10. ماتریس مربع، هویت، متقارن، متعامد چیست. ماتریس های جابجا شده و معکوس را تعریف کنید.

تعریف 1.ماتریسیک جدول مستطیلی از اعداد حاوی - سطرها و - ستون ها نامیده می شود. .

تعریف 2.اعداد و نامیده می شوند سفارشات ماتریسی(یا بگویید ماتریس اندازه دارد)

تعریف 3.به اعدادی که این ماتریس را تشکیل می دهند، آن می گویند عناصر.

1. تعریف 4. ماتریس نامیده می شود مربع اگر تعداد سطرها برابر با تعداد ستون ها باشد. در مورد ماتریس مربع، مفاهیم مورب اصلی(اینها اعداد هستند - ) و مورب جانبی(اینها اعداد هستند - ).

2. متقارنماتریس (متقارن) ماتریس مربعی است که عناصر آن نسبت به قطر اصلی متقارن هستند. به طور رسمی تر، یک ماتریس متقارن نامیده می شود اگر .

این به این معنی است که برابر است با ماتریس جابجایی آن:

3. ماتریس هویت ماتریس مورب نامیده می شود که در آن همه عناصر مورب برابر با یک هستند. به عنوان مثال، ماتریس هویت مرتبه سوم ماتریس است

ماتریس متعامد

ماتریس مربع آ، برای کدام A -1 = A Tتماس گرفت ماتریس متعامد. ویژگی های اساسی یک ماتریس متعامد:مدول تعیین کننده یک ماتریس متعامد برابر با یک است. این ویژگی از خصوصیات عوامل تعیین کننده به دست می آید:

مجموع مربعات عناصر هر ستون از یک ماتریس متعامد برابر با یک است.

حاصل ضرب اسکالر یک سطر و خودش برابر با 1 و برای هر سطر دیگر برابر است با 0. این امر برای ستون ها نیز صادق است.

مجموع حاصلضرب عناصر هر ردیف از ماتریس متعامد توسط عناصر مربوط به سطر دیگر برابر با صفر است.

ماتریس معکوس ماتریسی است که وقتی در سمت راست و چپ در یک ماتریس معین ضرب شود، ماتریس هویت به دست می‌آید. معکوس ماتریس را مشخص کنید. ولیاز طریق ، سپس طبق تعریف به دست می آوریم: جایی که Eماتریس هویت است.

ماتریس معکوس برای همه ماتریس ها وجود ندارد. شرط لازم و کافی برای عدم انحطاط است

دت( آ) ≠ 0 یا رتبه( آ) = ن.

خواص ماتریس های معکوس

· ، جایی که نشان دهنده تعیین کننده است.

· برای هر دو ماتریس معکوس و .

· ، جایی که نشان دهنده ماتریس جابجا شده است.

· برای هر ضریب.

· اگر نیاز به حل یک سیستم معادلات خطی باشد، (b بردار غیر صفر است) بردار مورد نظر کجاست و اگر وجود دارد، پس . در غیر این صورت، یا ابعاد فضای حل بزرگتر از صفر است یا اصلاً وجود ندارد.

ماتریس جابجا شده- ماتریس به دست آمده از ماتریس اصلی با جایگزینی سطرها با ستون ها.

به طور رسمی، ماتریس انتقال برای ماتریس اندازه، ماتریس اندازه است که به صورت تعریف شده است.

بلیط 11.ماتریس های معادل چیست؟ تبدیل های ابتدایی ماتریس ها را فهرست کنید. در مورد رتبه های ماتریس های معادل چه می توان گفت.

تعریف. ماتریس هایی که در نتیجه یک تبدیل اولیه به دست می آیند نامیده می شوند معادل.

تبدیل های ابتدایی روی ردیف هایی از ماتریس هاتبدیل رشته های زیر نامیده می شوند:

1. ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر.

2. جایگشت دو خط.

3. اضافه کردن به یک ردیف از ماتریس ردیف دیگر آن، ضرب در تعدادی غیر صفر.

4. اگر یک ماتریس از ماتریس به ماتریس با کمک تبدیل‌های معادل روی ردیف‌ها منتقل شود، به این ماتریس‌ها گفته می‌شود. معادلو دال بر .

5. روش دگرگونی های ابتدایی

6. رتبه یک ماتریس برابر است با تعداد ردیف های غیر صفر در ماتریس پس از کاهش آن به شکل پلکانی با استفاده از تبدیل های اولیه روی ردیف های ماتریس.

بلیط 12چه چیزی پایه جزئی است. قضیه جزئی اساسی را بیان کنید.

تعریف. رتبه ماتریس A حداکثر مرتبه مینور غیر صفر است (مینور تعیین کننده یک ماتریس مربع است). تعیین شده .

تعریف. جزئی که رتبه ماتریس را تعیین می کند Basis Minor نامیده می شود. سطرها و ستون هایی که BM را تشکیل می دهند سطرها و ستون های اصلی نامیده می شوند.

تعریف. سیستم ستونی اعداد وابسته خطی نامیده می شود که همگی برابر با صفر نیستند و به گونه ای که:

قضیه جزئی پایه

ستون های ماتریس موجود در پایه مینور یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند. هر ستونی از ماتریس به صورت خطی بر حسب ستون های باقی مانده از مینور اصلی بیان می شود.

در ماتریس اندازه، یک مینور از مرتبه -ام اگر غیر صفر باشد و مینورهای مرتبه همه -ro برابر با صفر یا اصلا وجود نداشته باشند، پایه است.

نتیجه.اگر تمام ستون‌های یک ماتریس به صورت خطی بر حسب ستون‌هایی بیان شوند که یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می‌دهند، آنگاه رتبه ماتریس برابر است.

بلیط 13سیستم معادلات همگن و ناهمگن چیست؟ چیزی که حل سیستم معادلات نامیده می شود. اصطلاحات را توضیح دهید: سیستم معادلات سازگار، سیستم معادلات ناسازگار. چه سیستم های معادلاتی معادل نامیده می شوند؟

تعریف 1.اگر تمام عبارات آزاد برابر با صفر باشند، سیستم همگن و ناهمگن نامیده می شود - در غیر این صورت.

تعریف 2.راه حل سیستم مجموعه ای از nشماره با 1 , با 2 , …, با n، هنگام جایگزینی در سیستم، به جای مجهولات، مترهویت های عددی

تعریف 3.اگر سیستمی حداقل یک راه حل داشته باشد (هیچ راه حلی نداشته باشد) سازگار (ناسازگار) نامیده می شود.

تعریف 4.سیستم مشترک معادلات جبری خطی در صورتی معین (نامعین) نامیده می شود که دارای جواب منحصر به فرد (مجموعه ای از راه حل ها) باشد.

تعریف.

دو سیستم معادلات خطی نامیده می شوند معادل (معادل), اگر راه حل های مشابهی دارند

سیستم‌های معادل به‌ویژه با تبدیل‌های ابتدایی سیستم به‌دست می‌آیند، مشروط بر اینکه تبدیل‌ها فقط بر روی رشته‌های سیستم انجام شوند.

بلیط 14سیستم اساسی راه حل های یک سیستم معادلات همگن چیست؟ چیزی که حل کلی یک سیستم معادلات همگن نامیده می شود.

تعریف.اساس فضای حل یک سیستم معادلات همگن خطی را آن می نامند سیستم تصمیم گیری اساسی

قضیه ساختار حل کلی یک سیستم معادلات همگن:

هر راه حل یک سیستم همگن معادلات خطی با فرمول تعریف می شود

جایی که ایکس 1 , ایکس 2 , … , X n − r- سیستم اساسی راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی و سی 1 , سی 2 , … , C n − rثابت دلخواه هستند

خواص حل کلی یک سیستم معادلات همگن:

1. برای هر مقدار سی 1 , سی 2 , … , C n − r ایکستعریف شده با فرمول (3)، راه حلی برای سیستم (1) است.

2. تصمیم هر چه باشد ایکس 0، اعداد وجود دارد سی 1 0 , … , C n − r 0 طوری که

نتیجه:برای یافتن سیستم بنیادی و حل کلی سیستم همگن، باید اساس هسته عملگر خطی مربوطه را پیدا کنیم.

بلیط 16. تعریفی از فضای خطی ارائه دهید و خصوصیات آن را فرموله کنید.

بسیاری از L تماس گرفت خطی یا فضای برداری اگر برای همه عناصر (بردارها) این مجموعه عملیات جمع و ضرب در یک عدد تعریف شده باشد و درست باشد:

1. هر جفت عنصر ایکسو yاز جانب L عنصر را ملاقات می کند ایکس + yاز جانب L ، تماس گرفت مجموعایکسو y، و:

ایکس + y = y+x- جمع جابجایی است.

ایکس + (y + ز) = (x + y) + z- افزودن تداعی کننده است.

ایکس +0 = ایکس- فقط یکی وجود دارد خالیعنصر 0 (ایکس +0 = ایکسبرای هرکس ایکساز جانب L );

ایکس + (− ایکس)= 0 - برای هر عنصر ایکساز جانب L فقط یکی وجود دارد مقابلعنصر −x (x + (−x) = 0برای هرکس ایکساز جانب L) .

2. هر جفت ایکسو α، جایی که α − شماره، و ایکسعنصر از L ، مربوط به عنصر α است ایکس، تماس گرفت کارα وایکس، و:

α·(β · ایکس) = (α·β) · ایکس− ضرب در عدد تداعی است: ;

1· ایکس = ایکس- برای هر عنصر ایکساز جانب L .

3-عملیات جمع و ضرب در یک عدد با روابط مرتبط هستند:

α·( ایکس + y) = α· ایکس + α· y- ضرب در یک عدد با توجه به جمع عناصر توزیعی است.

(α + β )· ایکس = α· ایکس + β · ایکس- ضرب در یک بردار با توجه به جمع اعداد توزیعی است.

بلیط 17. زیرفضای یک فضای خطی. خواص آن. پوسته خطی

تعریف زیرفضای خطی

یک زیرمجموعه غیر خالی L از فضای خطی V نامیده می شود زیرفضای خطی فضای V اگر

1) u+v∈L ∀u,v∈L (فضای فرعی با توجه به عملیات جمع بسته است).

2) λv∈L ∀v∈L و هر عدد λ (فضای فرعی با توجه به عملیات ضرب یک بردار در عدد بسته است).

ملک 1هر زیرفضای یک فضای خطی R یک فضای خطی است.

ملک 2کم نور M ≤ کم نور Rn.

ملک 3 (در تکمیل پایه). اگر (ep)k مبنایی در زیر فضای M یک فضای خطی Rn باشد، و k< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

تعریف. پوسته خطیمجموعه ای از بردارها است که یک زیرفضای خطی را تعریف می کنند. به بیان دقیق، یک دهانه خطی مجموعه ای از تمام ترکیبات خطی بردارهای داده شده است. بیایید ویژگی ها را نیز برجسته کنیم:

بلیط 18. فضای اقلیدسی را تعریف کنید. عملیات عادی سازی برداری را توضیح دهید.

تعریفبگذارید V یک فضای برداری باشد. می گوییم اگر دو بردار x، y ∈ V با یک عدد واقعی که حاصلضرب داخلی این بردارها نامیده می شود و با xy یا (x، y) نشان داده می شود، مرتبط باشند، به V یک ضرب داخلی داده می شود، به طوری که شرایط زیر برآورده می شود. (در اینجا x، y، z بردارهای دلخواه از V هستند، و

t یک عدد واقعی دلخواه است):

1) xy = yx (محصول اسکالر جابجایی است).

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (محصول اسکالر با توجه به جمع توزیعی است).

4) xx >=0 و xx = 0 اگر و فقط اگر x = 0 باشد.

فضای برداری که حاصل ضرب اسکالر در آن داده می شود اقلیدسی نامیده می شود. ویژگی های 1)–4) بدیهیات فضای اقلیدسی نامیده می شوند.

تماس برداری نرمال یا مفرداگر طول آن برابر با یک باشد. عادی سازی یک بردار غیر صفر دلخواه به معنای تقسیم آن بر طول آن است. نتیجه یک بردار واحد است که به طور همزمان به بردار اصلی هدایت می شود.
حاصل ضرب اسکالر یک بردار دلخواه توسط یک واحد، طول دقیق طرح این بردار را بر روی جهت واحد نشان می دهد. برای بدست آوردن نه تنها طول، بلکه خود بردار طرح ریزی، باید این طول را در بردار واحد خود ضرب کنیم:

بلیط 19اساس ارتونورمال چیست. فرآیند متعامدسازی گرام اشمیت را با استفاده از مبنای دو بعدی به عنوان مثال توضیح دهید.

سیستم Orthonormal متشکل از nبردارها n- فضای اقلیدسی بعدی، اساس این فضا را تشکیل می دهد. چنین مبنایی نامیده می شود متعارفاساس

اگر یک ه 1 , ه 2 , ...، هn -متعارفاساس n-بعدی فضای اقلیدسی و

ایکس = ایکس 1 e 1 + ایکس 2 e 2 + ... + ایکس n ه n - تجزیه برداری ایکسبر این اساس، سپس مختصات ایکسمن بردار ایکسدر یک مبنای متعارف با فرمول ها محاسبه می شوند ایکسمن =(x، eمن ), من= 1, 2, ..., n.

گراما اشمیت،با توجه به یک سیستم خطی مستقل از بردارها b 1 , b 2 , …, b l , a l+1 , …, a n l ≥ 1(1) بخشی که به آن متعامد است، نشان می دهیم b l+1جزء متعامد بردار و l+1با توجه به سیستم متعامد b 1 , b 2 , …, bل سپس 1. سیستم برداری b 1 , b 2 , …, b l , b l+1 , a l+2 , …, a n(2) معادل (1) است.

2. سیستم بردارها (2) مستقل خطی است و جزء آن است b 1 , b 2 , …, b l , b l+1- متعامد با استفاده از مفهوم یک جزء متعامد، ما فرآیند تبدیل یک سیستم مستقل خطی را توصیف می کنیم. a 1، a 2، …، a nبه یک سیستم متعامد b 1 , b 2 , …, b nبردارهای غیر صفر که نامیده می شود متعامد سازی سیستم a 1، a 2، …، a n.این فرآیند از n مرحله تشکیل شده است، n تعداد بردارها در سیستم اصلی است a 1، a 2، …، a n.

1 مرحله ما معتقدیم b 1 \u003d a 1و سیستم را دریافت کنید b 1 , a 2 , …, a n

2 مرحله اجازه دهید بردار را در سیستم (3) جایگزین کنیم. یک 2جزء متعامد با توجه به ب 1، و سیستم را دریافت می کنیم: b 1 , b 2 , a 3 ,…, a n (4)

با توجه به مراحل متعامدسازی، سیستم (4) به صورت خطی مستقل است و بخشی از آن است ب 1, ب 2-متعامد.

فرض کنید ما قبلاً یک سیستم مستقل خطی ساخته ایم b 1 , b 2 , …, b k-1 , a k ,…, a n, (5)

که در آن b 1 , b 2 , …, b k-1متعامد هستند.

در گام k = 3، n، بردار را در سیستم (5) جایگزین می کنیم. یک کجزء متعامد آن نسبت به سیستم b 1 , b 2 , …, b k-1و سیستم را دریافت کنید b 1 , …,b k , a k+1 , …, a n.

پس از انجام مرحله n، یک سیستم مستقل خطی و متعامد از بردارها به دست می آوریم b 1 , b 2 , …, b n.

بلیط 20عملگر را در فضای خطی تعریف کنید. به کدام عملگر خطی می گویند.

اپراتورقاعده ای نامیده می شود که طبق آن هر عنصر ایکس ایکس یک عنصر منفرد مطابقت دارد yچند مجموعه غیر خالی Y . گفته می شود که اپراتور از ایکس که در Y .

عمل عملگر مشخص می شود y = آ (ایکس), y- تصویر ایکس, ایکس- نمونه اولیه y.

اگر هر عنصر yاز جانب Y یک پیش تصویر واحد دارد ایکس از جانب ایکس , y= آ (ایکساپراتور نامیده می شود نقشه برداری یک به یک ایکس که در Y یا دگرگونی ایکس , ایکس - محدوده تعریف اپراتور.

اجازه دهید ایکس و Y دو فضای خطی اپراتور آ اقدام از ایکس که در Y ، نامیده میشود اپراتور خط, اگر برای هر دو عنصر توو vاز جانب ایکس و هر عدد α معتبر است:

آ(تو+ v) = آ (تو) + آ (v) , آ (α· تو) = α· آ (تو).

بلیط 21.مثالی از یک عملگر خطی بزنید. چه عملیاتی بر روی عملگرهای خطی می دانید؟

معادلات متعارف خط مستقیم

فرمول بندی مسئله. معادلات متعارف یک خط مستقیم که به عنوان خط تقاطع دو صفحه تعریف شده است (معادلات عمومی) را بیابید.

طرح راه حل. معادلات متعارف یک خط مستقیم با بردار جهت عبور از این نقطه ، فرم را داشته باشید

. (1)

بنابراین، برای نوشتن معادلات متعارف یک خط مستقیم، باید بردار جهت دهنده آن و نقطه ای از خط مستقیم را پیدا کرد.

1. از آنجایی که خط به طور همزمان به هر دو صفحه تعلق دارد، بردار جهت آن متعامد با بردارهای عادی هر دو صفحه است، یعنی. با توجه به تعریف یک محصول برداری، داریم

. (2)

2. نقطه ای از خط را انتخاب کنید. از آنجایی که بردار هدایت کننده خط حداقل با یکی از صفحات مختصات موازی نیست، خط این صفحه مختصات را قطع می کند. بنابراین، به عنوان نقطه ای از یک خط، نقطه تلاقی آن با این صفحه مختصات را می توان گرفت.

3. مختصات یافت شده بردار جهت را جایگزین می کنیم و به معادلات متعارف خط مستقیم (1) اشاره می کنیم.

اظهار نظر. اگر حاصلضرب بردار (2) برابر با صفر باشد، صفحه ها با هم قطع نمی شوند (موازی) و نمی توان معادلات متعارف خط مستقیم را یادداشت کرد.

وظیفه 12.معادلات متعارف خط را بنویسید.

معادلات متعارف یک خط مستقیم:

,

جایی که مختصات هر نقطه از خط است، بردار جهت آن است.

هر نقطه از خط را پیدا کنید . بگذار پس

در نتیجه، مختصات یک نقطه متعلق به خط است.