مارکوف نمونه ها را پردازش می کند. عناصر تئوری صف
تکامل آن پس از هر مقدار معین پارامتر زمان t (\displaystyle t) وابسته نیستاز تکاملی که قبل از آن t (\displaystyle t)، مشروط بر اینکه ارزش فرآیند در این لحظه ثابت باشد ("آینده" فرآیند به "گذشته" با "حال" شناخته شده بستگی ندارد؛ تفسیر دیگری (Wentzel): "آینده" فرآیند بستگی دارد. در "گذشته" فقط از طریق "حال").
یوتیوب دایره المعارفی
1 / 3
✪ سخنرانی 15: فرآیندهای تصادفی مارکوف
✪ منشاء زنجیره های مارکوف
✪ مدل فرآیند مارکوف تعمیم یافته
زیرنویس
داستان
مشخصه ای که فرآیند مارکوف را تعریف می کند معمولاً ویژگی مارکوف نامیده می شود. برای اولین بار توسط A. A. Markov که در آثار 1907 پایه و اساس مطالعه توالی آزمایشات وابسته و مجموع متغیرهای تصادفی مرتبط با آنها را ایجاد کرد، فرموله شد. این خط تحقیقاتی به عنوان نظریه زنجیره های مارکوف شناخته می شود.
پایه های نظریه عمومی فرآیندهای مارکوف با زمان پیوسته توسط کولموگروف گذاشته شد.
دارایی مارکوف
مورد عمومی
اجازه دهید (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathcal (F))،\mathbb (P)))- فضای احتمال با فیلتر (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t)،\ t\in T))بیش از برخی (تا حدی سفارش داده شده) مجموعه T (\displaystyle T); رهایش کن (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- فضای قابل اندازه گیری فرآیند تصادفی X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t)،\ t\in T))، تعریف شده بر روی فضای احتمال فیلتر شده، برای ارضای در نظر گرفته می شود دارایی مارکوفاگر برای هر کدام A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))و s , t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
فرآیند مارکوفیک فرآیند تصادفی است که رضایت می دهد دارایی مارکوفبا فیلتراسیون طبیعی
برای زنجیر مارکوف با زمان گسسته
اگر S (\displaystyle S)یک مجموعه گسسته است و T = N (\displaystyle T=\mathbb (N))، تعریف را می توان دوباره فرموله کرد:
P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1 ، X n - 2 = x n - 2 ، ... ، X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1)،X_(n-2)=x_(n-2)،\ نقطه، X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).نمونه ای از فرآیند مارکوف
یک مثال ساده از فرآیند تصادفی مارکوف را در نظر بگیرید. یک نقطه به طور تصادفی در امتداد محور x حرکت می کند. در زمان صفر، نقطه در مبدا است و برای یک ثانیه در آنجا باقی می ماند. یک ثانیه بعد، یک سکه پرتاب می شود - اگر کت بیرون بیفتد، نقطه X یک واحد طول به سمت راست حرکت می کند، اگر عدد - به سمت چپ. یک ثانیه بعد دوباره سکه پرتاب می شود و همان حرکت تصادفی انجام می شود و به همین ترتیب. فرآیند تغییر موقعیت یک نقطه ("سرگردان") یک فرآیند تصادفی با زمان گسسته (t=0، 1، 2، ...) و مجموعه ای از حالت های قابل شمارش است. چنین فرآیند تصادفی مارکوین نامیده می شود، زیرا حالت بعدی نقطه فقط به وضعیت حال (جاری) بستگی دارد و به حالات گذشته بستگی ندارد (مهم نیست نقطه از کدام طرف و برای چه زمانی به مختصات فعلی رسیده است) .
فرآیندهای تصادفی مارکوف به نام ریاضیدان برجسته روسی A.A. مارکوف (1856-1922) که برای اولین بار مطالعه ارتباط احتمالی متغیرهای تصادفی را آغاز کرد و نظریه ای را ایجاد کرد که می توان آن را "دینامیک احتمال" نامید. در آینده مبانی این نظریه مبنای اولیه نظریه عمومی فرآیندهای تصادفی و همچنین علوم کاربردی مهمی مانند نظریه فرآیندهای انتشار، نظریه قابلیت اطمینان، نظریه صف و غیره شد. در حال حاضر تئوری فرآیندهای مارکوف و کاربردهای آن در زمینه های مختلف علوم مانند مکانیک، فیزیک، شیمی و ... کاربرد فراوانی دارد.
به دلیل سادگی و وضوح نسبی دستگاه ریاضی، قابلیت اطمینان و دقت زیاد راه حل های به دست آمده، فرآیندهای مارکوف مورد توجه ویژه متخصصان درگیر در تحقیق در عملیات و تئوری تصمیم گیری بهینه قرار گرفته است.
علیرغم سادگی و وضوح فوق، کاربرد عملی تئوری زنجیره های مارکوف مستلزم آگاهی از برخی اصطلاحات و مفاد اساسی است که قبل از ارائه مثال ها باید مورد بحث قرار گیرد.
همانطور که گفته شد، فرآیندهای تصادفی مارکوف موارد خاصی از فرآیندهای تصادفی (SP) هستند. به نوبه خود، فرآیندهای تصادفی بر اساس مفهوم تابع تصادفی (SF) است.
تابع تصادفی تابعی است که مقدار آن برای هر مقدار آرگومان یک متغیر تصادفی (CV) است. به عبارت دیگر، SF را می توان تابعی نامید که در هر آزمون، شکلی از قبل ناشناخته به خود می گیرد.
نمونه هایی از SF عبارتند از: نوسانات ولتاژ در مدار الکتریکی، سرعت خودرو در قسمتی از جاده با محدودیت سرعت، ناهمواری سطح یک قطعه در یک بخش خاص و غیره.
به عنوان یک قاعده، اعتقاد بر این است که اگر آرگومان SF زمان باشد، چنین فرآیندی تصادفی نامیده می شود. تعریف دیگری از فرآیندهای تصادفی نزدیکتر به نظریه تصمیم گیری وجود دارد. در عین حال، یک فرآیند تصادفی به عنوان فرآیند تغییر تصادفی در حالات هر سیستم فیزیکی یا فنی در زمان یا استدلال دیگری درک می شود.
به راحتی می توان فهمید که اگر حالتی را تعیین کنیم و یک وابستگی را به تصویر بکشیم، چنین وابستگی یک تابع تصادفی خواهد بود.
فرآیندهای تصادفی بر اساس انواع حالت ها و آرگومان t طبقه بندی می شوند. در این حالت، فرآیندهای تصادفی می توانند با حالت یا زمان گسسته یا پیوسته باشند.
علاوه بر مثال های بالا در طبقه بندی فرآیندهای تصادفی، ویژگی مهم دیگری نیز وجود دارد. این ویژگی رابطه احتمالی بین حالت های فرآیندهای تصادفی را توصیف می کند. بنابراین، به عنوان مثال، اگر در یک فرآیند تصادفی، احتمال انتقال سیستم به هر حالت بعدی فقط به حالت قبلی بستگی داشته باشد، در این صورت چنین فرآیندی یک فرآیند بدون اثر نامیده می‌شود.
ابتدا توجه داشته باشید که یک فرآیند تصادفی با حالت ها و زمان گسسته را دنباله تصادفی می نامند.
اگر یک دنباله تصادفی دارای خاصیت مارکوف باشد، به آن زنجیره مارکوف می گویند.
از طرف دیگر، اگر در یک فرآیند تصادفی حالت ها گسسته باشند، زمان پیوسته باشد و خاصیت افترافکت حفظ شود، چنین فرآیند تصادفی را فرآیند مارکوف با زمان پیوسته می نامند.
یک فرآیند تصادفی مارکوف همگن نامیده می شود اگر احتمالات انتقال در طول فرآیند ثابت بماند.
اگر دو شرط داده شود، زنجیره مارکوف داده شده در نظر گرفته می شود.
1. مجموعه ای از احتمالات انتقال به شکل ماتریس وجود دارد:
2. بردار احتمالات اولیه وجود دارد
توصیف وضعیت اولیه سیستم
علاوه بر شکل ماتریسی، مدل زنجیره مارکوف را می توان به عنوان یک نمودار وزنی جهت دار نشان داد (شکل 1).
برنج. یکی
مجموعه ای از حالات سیستم زنجیره مارکوف با در نظر گرفتن رفتار بیشتر سیستم به روش خاصی طبقه بندی می شود.
1. مجموعه غیر قابل برگشت (شکل 2).
شکل 2.
در مورد یک مجموعه غیر قابل بازگشت، هر گونه انتقال در این مجموعه امکان پذیر است. سیستم می تواند این مجموعه را ترک کند، اما نمی تواند به آن بازگردد.
2. مجموعه مکرر (شکل 3).
برنج. 3.
در این مورد، هر گونه انتقال در مجموعه نیز امکان پذیر است. سیستم می تواند وارد این مجموعه شود، اما نمی تواند آن را ترک کند.
3. مجموعه ارگودیک (شکل 4).
برنج. چهار
در مورد یک مجموعه ارگودیک، هر گونه انتقال در مجموعه ممکن است، اما انتقال از و به مجموعه مستثنی است.
4. مجموعه جذب (شکل 5)
برنج. 5.
زمانی که سیستم وارد این مجموعه شد، فرآیند به پایان می رسد.
در برخی موارد، علیرغم تصادفی بودن فرآیند، تا حدی می توان قوانین توزیع یا پارامترهای احتمالات انتقال را کنترل کرد. چنین زنجیره های مارکوف کنترل شده نامیده می شوند. بدیهی است که با کمک زنجیره های مارکوف کنترل شده (MCC)، فرآیند تصمیم گیری به ویژه موثر می شود که بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت.
ویژگی اصلی یک زنجیره مارکوف گسسته (DMC) تعیین فواصل زمانی بین مراحل (مراحل) فردی فرآیند است. با این حال، این ویژگی اغلب در فرآیندهای واقعی مشاهده نمی شود، و فواصل با برخی از قوانین توزیع تصادفی می شوند، اگرچه این فرآیند مارکوین باقی می ماند. چنین توالی های تصادفی نیمه مارکوف نامیده می شوند.
علاوه بر این، با در نظر گرفتن وجود و عدم وجود مجموعه‌های خاصی از حالت‌های ذکر شده در بالا، زنجیره‌های مارکوف می‌توانند در صورت وجود حداقل یک حالت جذب، جذب شوند یا اگر احتمالات انتقال یک مجموعه ارگودیک را تشکیل دهند، ارگودیک باشند. به نوبه خود، زنجیره های ارگودیک می توانند منظم یا چرخه ای باشند. زنجیره‌های چرخه‌ای با زنجیره‌های معمولی تفاوت دارند زیرا در فرآیند انتقال از طریق تعداد معینی از مراحل (چرخه) بازگشت به حالتی وجود دارد. زنجیرهای معمولی این خاصیت را ندارند.
ساختار و طبقه بندی سیستم های صف
سیستم های نوبت دهی
اغلب نیاز به حل مسائل احتمالی مرتبط با سیستم های صف (QS) وجود دارد که نمونه هایی از آن می تواند به شرح زیر باشد:
دفاتر فروش بلیط؛
تعمیرگاه ها؛
تجارت، حمل و نقل، سیستم های انرژی؛
سیستم های ارتباطی؛
اشتراک چنین سیستم هایی در وحدت روش ها و مدل های ریاضی مورد استفاده در مطالعه فعالیت های آنها آشکار می شود.
برنج. 4.1. زمینه های اصلی استفاده از TMT
ورودی QS جریانی از درخواست های سرویس را دریافت می کند. به عنوان مثال، مشتریان یا بیماران، خرابی تجهیزات، تماس های تلفنی. درخواست ها به طور نامنظم و در زمان های تصادفی می رسند. مدت زمان سرویس نیز تصادفی است. این بی نظمی در کار QS ایجاد می کند، باعث اضافه بار و زیر بار آن می شود.
سیستم های صف دارای ساختار متفاوتی هستند، اما معمولاً می توان آنها را متمایز کرد چهار عنصر اصلی:
1. جریان تقاضای ورودی.
2. آکومولاتور (صف).
3. دستگاه ها (کانال های سرویس).
4. جریان خروجی.
برنج. 4.2. طرح کلی سیستم های صف
برنج. 4.3. مدل عملکرد سیستم
(فلش ها لحظات ورود نیازمندی ها را نشان می دهد
سیستم، مستطیل - زمان سرویس)
شکل 4.3a مدلی از سیستم را با جریان منظم نیازمندی ها نشان می دهد. از آنجایی که فاصله بین ورود مطالبات مشخص است، زمان سرویس به گونه ای انتخاب می شود که سیستم به طور کامل بارگیری شود. برای سیستمی با جریان تصادفی نیازمندی‌ها، وضعیت کاملاً متفاوت است - نیازمندی‌ها در مقاطع مختلف زمانی می‌آیند و زمان سرویس نیز یک متغیر تصادفی است که می‌تواند با قانون توزیع مشخصی توصیف شود (شکل 4.3 ب).
بسته به قوانین تشکیل صف، QS های زیر متمایز می شوند:
1) سیستم های دارای خرابی ، که در آن، زمانی که تمام کانال های سرویس مشغول هستند، درخواست سیستم را بدون سرویس رها می کند.
2) سیستم هایی با صف نامحدود ، که در آن درخواست در صورتی وارد صف می شود که در زمان ورود تمام کانال های سرویس مشغول بوده باشند.
3) سیستم هایی با صف انتظار و محدود ، که در آن زمان انتظار با برخی شرایط محدود شده است یا محدودیت هایی در تعداد برنامه های ایستاده در صف وجود دارد.
ویژگی های جریان ورودی نیازمندی ها را در نظر بگیرید.
جریان درخواست ها نامیده می شود ثابت ، اگر احتمال اینکه یک یا تعداد دیگری از رویدادها در یک بخش زمانی با طول معین قرار گیرند فقط به طول این بخش بستگی دارد.
جریان رویدادها نامیده می شود جریان بدون عواقب ، اگر تعداد رویدادهایی که در بازه زمانی معینی اتفاق می‌افتند به تعداد رویدادهایی که روی دیگران می‌افتند بستگی ندارد.
جریان رویدادها نامیده می شود معمولی اگر دو یا چند رویداد نمی توانند به طور همزمان رخ دهند.
جریان درخواست ها نامیده می شود پواسون (یا ساده ترین) اگر دارای سه خاصیت باشد: ثابت، معمولی و بدون عواقب. این نام به این دلیل است که در شرایط مشخص شده، تعداد رویدادهایی که در هر بازه زمانی ثابتی قرار می گیرند، طبق قانون پواسون توزیع می شود.
شدتجریان برنامه های کاربردی λ میانگین تعداد کاربردهایی است که از جریان در واحد زمان حاصل می شود.
برای یک جریان ثابت، شدت ثابت است. اگر τ میانگین فاصله زمانی بین دو درخواست مجاور باشد، در مورد جریان پواسون، احتمال ورود به سرویس وجود دارد. متردرخواست برای یک دوره زمانی تیتوسط قانون پواسون تعیین می شود:
زمان بین درخواست های مجاور به صورت نمایی با چگالی احتمال توزیع می شود
زمان سرویس یک متغیر تصادفی است و از قانون توزیع نمایی با چگالی احتمال پیروی می کند که در آن μ شدت جریان سرویس است، یعنی. میانگین تعداد درخواست های ارائه شده در واحد زمان،
نسبت شدت جریان ورودی به شدت جریان سرویس نامیده می شود. بوت شدن سیستم
سیستم صف یک سیستم از نوع گسسته با مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از حالت ها است و انتقال سیستم از یک حالت به حالت دیگر به طور ناگهانی هنگامی که رویدادی رخ می دهد رخ می دهد.
فرآیند نامیده می شود فرآیند حالت گسسته ، در صورتی که حالت های ممکن آن را بتوان از قبل شماره گذاری مجدد کرد و انتقال سیستم از حالت به حالت تقریباً فوراً اتفاق می افتد.
چنین فرآیندهایی دو نوع هستند: با زمان گسسته یا پیوسته.
در مورد زمان گسسته، انتقال از حالتی به حالت دیگر می تواند در لحظه های زمانی کاملاً تعریف شده رخ دهد. فرآیندهای با زمان پیوسته از این نظر متفاوت هستند که انتقال سیستم به حالت جدید در هر زمانی امکان پذیر است.
یک فرآیند تصادفی مطابقتی است که در آن به هر مقدار آرگومان (در این مورد، یک لحظه از فاصله زمانی آزمایش) یک متغیر تصادفی (در این مورد، حالت QS) اختصاص می‌یابد. متغیر تصادفی کمیتی نامیده می‌شود که در نتیجه تجربه، می‌تواند یک مقدار عددی را از قبل ناشناخته از یک مجموعه عددی معین بگیرد.
بنابراین، برای حل مسائل تئوری صف، لازم است این فرآیند تصادفی، یعنی. مدل ریاضی آن را بسازید و آنالیز کنید.
فرآیند تصادفیتماس گرفت مارکویان ، اگر برای هر لحظه از زمان ویژگی های احتمالی فرآیند در آینده فقط به وضعیت آن در لحظه بستگی دارد و بستگی به زمان و چگونگی رسیدن سیستم به این حالت ندارد.
انتقال سیستم از حالتی به حالت دیگر تحت تأثیر برخی جریان ها (جریان برنامه ها، جریان خرابی ها) رخ می دهد. اگر همه جریان‌های رویدادهایی که سیستم را به حالت جدید می‌رسانند، ساده‌ترین پواسون باشند، فرآیندی که در سیستم اتفاق می‌افتد مارکویی خواهد بود، زیرا ساده‌ترین جریان نتیجه‌ای ندارد: در آن آینده به گذشته بستگی ندارد. - گروهی از مهره های شطرنج. وضعیت سیستم با تعداد مهره های حریف که در حال حاضر روی تخته باقی مانده اند مشخص می شود. این احتمال که در حال حاضر مزیت مادی در سمت یکی از حریفان باشد، در درجه اول به وضعیت سیستم در لحظه بستگی دارد و نه به این که چه زمانی و در چه ترتیبی مهره ها تا آن لحظه از روی تخته ناپدید شده اند.
سخنرانی 9
فرآیندهای مارکوفسخنرانی 9
فرآیندهای مارکوف
1
فرآیندهای مارکوف
فرآیندهای مارکوففرآیند تصادفی در سیستم نامیده می شود
مارکوین اگر نتیجه ای نداشته باشد. آن ها
اگر وضعیت فعلی فرآیند را در نظر بگیریم (t 0) - به عنوان
حال، مجموعه ای از حالات ممکن ((s)،s t) - as
گذشته، مجموعه ای از حالات ممکن ((u),u t) - as
آینده، سپس برای یک فرآیند مارکوف با یک ثابت
حال، آینده به گذشته بستگی ندارد، بلکه تعیین می شود
فقط وجود دارد و به زمان و چگونگی سیستم بستگی ندارد
به این حالت رسید
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
2
فرآیندهای مارکوف
فرآیندهای مارکوففرآیندهای تصادفی مارکوف به نام ریاضیدان برجسته روسی A.A. Markov نامگذاری شده است که برای اولین بار مطالعه ارتباط احتمالی متغیرهای تصادفی را آغاز کرد.
و نظریه ای را ایجاد کرد که می توان آن را «دینامیک» نامید
احتمالات." در آینده پایه های این نظریه بود
پایه اولیه نظریه عمومی فرآیندهای تصادفی، و همچنین علوم کاربردی مهمی مانند نظریه فرآیندهای انتشار، نظریه قابلیت اطمینان، نظریه صف و غیره.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
3
مارکوف آندری آندریویچ مارکوف آندری آندریویچ مارکوف آندری آندریویچ
فرآیندهای مارکوفمارکوف آندری آندریویچ
1856-1922
ریاضیدان روسی.
حدود 70 مقاله نوشت
نظریه ها
شماره،
نظریه ها
تقریب توابع، نظریه ها
احتمالات به طور قابل توجهی دامنه قانون را گسترش داد
تعداد زیاد و مرکزی
قضیه حدی است
بنیانگذار نظریه فرآیندهای تصادفی
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
4
فرآیندهای مارکوف
فرآیندهای مارکوفدر عمل، فرآیندهای مارکوف خالص معمولاً هستند
ملاقات نمی کنند. اما فرآیندهایی وجود دارد که می توان از تأثیر «پیش از تاریخ» و هنگام مطالعه غفلت کرد
در چنین فرآیندهایی می توان از مدل های مارکوف استفاده کرد. AT
در حال حاضر تئوری فرآیندهای مارکوف و کاربردهای آن به طور گسترده در زمینه های مختلف مورد استفاده قرار می گیرد.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
5
فرآیندهای مارکوف
فرآیندهای مارکوفزیست شناسی: فرآیندهای تولد و مرگ - جمعیت ها، جهش ها،
اپیدمی ها
فیزیک:
رادیواکتیو
پوسیدگی می کند،
تئوری
شمارنده ها
ذرات بنیادی، فرآیندهای انتشار
علم شیمی:
تئوری
آثار
که در
هسته ای
امولسیون های عکاسی
مدل های احتمالی سینتیک شیمیایی
Images.jpg
ستاره شناسی: نظریه نوسانات
روشنایی کهکشان راه شیری
تئوری صف: مبادلات تلفنی،
تعمیرگاه ها، دفاتر فروش بلیط، میز اطلاعات،
ماشین ابزار و سایر سیستم های فن آوری، سیستم های کنترل
سیستم های تولید انعطاف پذیر، پردازش اطلاعات توسط سرورها.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
6
فرآیندهای مارکوف
فرآیندهای مارکوفاجازه دهید در لحظه فعلی t0 سیستم وارد شود
حالت معین S0. ما ویژگی ها را می دانیم
وضعیت سیستم در حال حاضر و هر چیزی که در t< t0
(تاریخچه فرآیند). آیا می توانیم آینده را پیش بینی کنیم
آن ها وقتی t > t0 چه اتفاقی می افتد؟
نه دقیقا، اما برخی از ویژگی های احتمالی
روند در آینده را می توان یافت. به عنوان مثال، احتمال اینکه
که بعد از مدتی
سیستم S در ایالت خواهد بود
S1 یا ماندن در وضعیت S0 و غیره.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
7
فرآیندهای مارکوف مثال.
فرآیندهای مارکوففرآیندهای مارکوف مثال.
سیستم S - گروهی از هواپیماهای درگیر در نبرد هوایی. اجازه دهید x عدد باشد
هواپیماهای "قرمز"، y تعداد هواپیماهای "آبی" است. در زمان t0، تعداد هواپیماهای زنده مانده (سرنگون نشده).
به ترتیب - x0، y0.
ما علاقه مند به این احتمال هستیم که در آن زمان
برتری عددی t 0 در سمت "قرمزها" خواهد بود. این احتمال بستگی به این دارد که سیستم در چه وضعیتی بوده است.
در زمان t0، و نه در زمانی که و در چه ترتیبی هواپیما ساقط شد تا زمان t0 کشته شد.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
8
زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
فرآیند مارکوف با عدد محدود یا قابل شمارش
حالات و لحظات زمان را گسسته می گویند
زنجیر مارکوف انتقال از حالت به حالت فقط در زمان های صحیح امکان پذیر است.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
9
10. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوففرض کنید
چی
سخن، گفتار
می رود
در باره
پرتاب های پی در پی سکه
بازی "پرتاب"؛ سکه به داخل پرتاب می شود
لحظه های شرطی زمان t = 0، 1، ... و on
در هر مرحله بازیکن می تواند ± 1 ثانیه برنده شود
همان
احتمال
1/2,
بنابراین
بنابراین، در لحظه t، سود کل او یک متغیر تصادفی ξ(t) با مقادیر ممکن j = 0، ± 1، ... است.
به شرطی که ξ(t) = k، در مرحله بعد بازده خواهد بود
در حال حاضر برابر ξ(t+1) = k ± 1 است، با گرفتن مقادیر j = k ± 1 با همان احتمال 1/2. می توان گفت که در اینجا با یک احتمال مناسب، انتقال از حالت ξ(t) = k به حالت ξ(t + 1) = k ± 1 وجود دارد.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
10
11. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
با تعمیم این مثال، می توان سیستمی را تصور کرد
تعداد قابل شمارش حالت های ممکن، که در طول زمان
زمان گسسته t = 0, 1, ... به طور تصادفی از حالتی به حالت دیگر منتقل می شود.
فرض کنید ξ(t) موقعیت آن در زمان t در نتیجه زنجیره ای از انتقال های تصادفی باشد
ξ(0) -> ξ(1) -> ... -> ξ(t) -> ξ(t+1) ->...-> ... .
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
11
12. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
هنگام تجزیه و تحلیل فرآیندهای تصادفی با حالت های گسسته، استفاده از یک طرح هندسی - یک نمودار راحت است.
ایالت ها. رئوس نمودار حالت های سیستم هستند. تعداد کمان ها
- امکان انتقال از حالتی به حالت دیگر.
بازی "پرتاب".
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
12
13. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
تمام حالت های ممکن را با اعداد صحیح i = 0، ± 1، ... نشان دهید.
فرض کنید با یک حالت شناخته شده ξ(t) =i، در مرحله بعد، سیستم به حالت ξ(t+1) = j با احتمال شرطی می رود.
P( (t 1) j (t) i)
صرف نظر از رفتار او در گذشته، به طور دقیق تر، بدون توجه به
از زنجیره انتقال به لحظه t:
P( (t 1) j (t) i؛ (t 1) it 1;...؛ (0) i0)
P( (t 1) j (t) i)
این خاصیت مارکوین نام دارد.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
13
14. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
عدد
pij P( (t 1) j (t) i)
احتمال نامیده می شود
انتقال سیستم از حالت i به حالت j در یک مرحله به داخل
نقطه در زمان t1.
اگر احتمال انتقال به t بستگی نداشته باشد، زنجیره
مارکوف را همگن می نامند.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
14
15. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
ماتریس P که عناصر آن احتمالات هستند
transition pij، ماتریس انتقال نامیده می شود:
p11 ... p1n
P p 21 ... p 2n
پ
n1 ... pnn
تصادفی است، یعنی.
پیج 1 ;
من
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
p ij 0 .
15
16. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته مثال
ماتریس انتقال برای بازی "پرتاب"
...
k2
k2
0
k 1
1/ 2
ک
0
k 1
ک
k 1
k2
0
1/ 2
0
0
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 2
0
0
0
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
...
k 1 k 2
0
0
0
1/ 2
0
1/ 2
...
0
0
1/ 2
0
16
17. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته مثال
باغبان در نتیجه تجزیه و تحلیل شیمیایی خاک را ارزیابی می کند
وضعیت او با یکی از سه عدد - خوب (1)، مناسب (2) یا بد (3). در نتیجه مشاهدات در طول سال ها، باغبان متوجه شد
که بهره وری خاک در حال حاضر
سال فقط به شرایط آن بستگی دارد
پارسال. بنابراین، احتمالات
انتقال خاک از یک حالت به
دیگری را می توان با موارد زیر نشان داد
زنجیره مارکوف با ماتریس P1:
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
17
18. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته مثال
با این حال، در نتیجه اقدامات کشاورزی فنی، باغبان می تواند احتمالات انتقال را در ماتریس P1 تغییر دهد.
سپس ماتریس P1 جایگزین خواهد شد
به ماتریس P2:
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
18
19. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
در نظر بگیرید که چگونه حالت های فرآیند در طول زمان تغییر می کند. ما فرآیند را در لحظات متوالی از زمان، از لحظه 0 شروع می کنیم. اجازه دهید توزیع احتمال اولیه p(0) (p1 (0)،...، pm (0)) را تنظیم کنیم، که m تعداد فرآیند است. حالات، پی (0) احتمال یافتن است
پردازش در حالت i در زمان اولیه. احتمال pi (n) را احتمال غیرشرطی حالت می گویند
من در زمان n 1.
مولفه های بردار p(n) نشان می دهد که کدام یک از حالت های ممکن مدار در زمان n بیشتر است.
محتمل
متر
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
pk (n) 1
k 1
19
20. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
دانستن دنباله ( p (n)) برای n 1،... به شما اجازه می دهد تا در مورد رفتار سیستم در زمان ایده بگیرید.
در یک سیستم 3 حالته
p11 p12 p13
P p21
پ
31
p22
p32
p23
p33
p2 (1) p1 (0) p12 p2 (0) p22 p3 (0) p32
p2 (n 1) p1 (n) p12 p2 (n) p22 p3 (n) p32
به طور کلی:
p j (1) pk (0) pkj
p j (n 1) pk (n) pkj
ک
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
ک
p(n 1) p(n) p
20
21. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته مثال
ماتریس
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
گام
(p(n))
n
0
1, 0, 0
n
1
0.2 , 0.5 , 0.3
n
2
0.04 , 0.35 , 0.61
n
3
0.008 , 0.195 , 0.797
n
4
0.0016 , 0.1015 , 0.8969
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
21
22. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
n
ماتریس انتقال در n مرحله P(n) P .
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
p (2) p (0) P
2
p(2)
P(2) P2
1, 0, 0
0.0016
0.
0.
0.0016
0.
0.
0.1015
0.0625
0.
0.1015
0.0625
0.
0.8969
0.9375
1.
0.8969
0.9375
1.
0.04 , 0.35 , 0.61
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
22
23. زنجیر مارکوف گسسته
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته
زنجیره های مارکوف برای n چگونه رفتار می کنند؟
برای یک زنجیره مارکوف همگن، تحت شرایط خاص، ویژگی زیر برقرار است: p (n) برای n.
احتمالات 0 به توزیع اولیه بستگی ندارد
p(0) اما فقط با ماتریس P تعیین می شوند. در این حالت به آن توزیع ثابت و خود زنجیره ارگودیک می گویند. خاصیت ergodicity به این معنی است که با افزایش n
احتمال حالت ها عملاً تغییر نمی کند و سیستم وارد حالت عملکرد پایدار می شود.
من
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
23
24. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته مثال
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
0 0 1
P() 0 0 1
0 0 1
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
p()(0,0,1)
24
25. زنجیر مارکوف گسسته. مثال
فرآیندهای مارکوفزنجیر مارکوف گسسته مثال
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
0.1017 0.5254 0.3729
P() 0.1017 0.5254 0.3729
0.1017 0.5254 0.3729
p()(0.1017,0.5254,0.3729)
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
25
26. مارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
فرآیندهای مارکوفیک فرآیند را یک فرآیند زمانی پیوسته می گویند اگر
لحظات انتقال احتمالی از حالت به حالت از قبل ثابت نیستند، اما نامشخص، تصادفی هستند و می توانند رخ دهند.
هر زمان.
مثال. سیستم فناوری S از دو دستگاه تشکیل شده است:
که هر کدام در یک لحظه تصادفی از زمان می توانند از آن خارج شوند
ساختمان، پس از آن تعمیر گره بلافاصله شروع می شود، همچنین برای یک زمان ناشناخته و تصادفی ادامه می یابد.
حالت های سیستم زیر امکان پذیر است:
S0 - هر دو دستگاه کار می کنند.
S1 - دستگاه اول در حال تعمیر است، دستگاه دوم به درستی کار می کند.
S2 - دستگاه دوم در حال تعمیر است، دستگاه اول به درستی کار می کند.
S3 - هر دو دستگاه در حال تعمیر هستند.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
26
27. مارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
فرآیندهای مارکوفمارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
انتقال سیستم S از حالتی به حالت دیگر رخ می دهد
تقریباً بلافاصله، در لحظات تصادفی شکست
هر وسیله یا
پایان تعمیر
احتمال همزمانی
خرابی هر دو دستگاه
می توان نادیده گرفت.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
27
28. جریان رویداد
فرآیندهای مارکوفجریان رویداد
جریان رویدادها دنباله ای از رویدادهای همگن است که یکی پس از دیگری در برخی نقاط تصادفی از زمان دنبال می شوند.
میانگین تعداد رویدادها است
شدت جریان رویدادها
در واحد زمان
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
28
29. جریان رویداد
فرآیندهای مارکوفجریان رویداد
جریانی از رویدادها در صورتی ثابت نامیده می شود که ویژگی های احتمالی آن به زمان بستگی نداشته باشد.
به ویژه، شدت
جریان ثابت ثابت است جریان رویدادها ناگزیر دارای غلظت یا نادر است، اما ماهیت منظمی ندارند و میانگین تعداد رویدادها در واحد زمان ثابت است و به زمان بستگی ندارد.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
29
30. جریان رویداد
فرآیندهای مارکوفجریان رویداد
جریانی از رویدادها را جریانی بدون عواقب می گویند
هر دو بخش زمانی غیر همپوشانی و تعداد رویدادهایی که روی یکی از آنها اتفاق می‌افتد به تعداد رویدادهای روی دیگری بستگی ندارد. به عبارت دیگر، این بدان معناست که رویدادهایی که جریان را تشکیل می دهند در لحظات خاصی ظاهر می شوند.
زمان مستقل از یکدیگر و هرکدام ناشی از علل خاص خود هستند.
جریانی از رویدادها معمولی نامیده می شود که احتمال وقوع دو یا چند رویداد در یک بازه ابتدایی t در مقایسه با احتمال وقوع یک اتفاق ناچیز باشد.
رویدادها، یعنی رویدادها در آن یک به یک ظاهر می شوند و نه در یک گروه چندتایی در یک زمان
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
30
31. جریان رویداد
فرآیندهای مارکوفجریان رویداد
جریانی از رویدادها را ساده‌ترین (یا پواسون ساکن) می‌نامند که در آن واحد سه ویژگی داشته باشد: 1) ساکن است، 2) معمولی است، 3) هیچ پیامدی ندارد.
ساده ترین جریان ساده ترین توصیف ریاضی را دارد. او در بین جریان ها همان خاص بازی می کند
نقش، مانند قانون توزیع نرمال در میان دیگران
قوانین توزیع یعنی، زمانی که تعداد به اندازه کافی بزرگ مستقل، ثابت و معمولی
جریان ها (در شدت قابل مقایسه با یکدیگر)، جریانی نزدیک به ساده ترین به دست می آید.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
31
32. جریان رویداد
فرآیندهای مارکوفجریان رویداد
برای ساده ترین جریان با شدت
فاصله
زمان T بین رویدادهای مجاور دارای نمایی است
توزیع با چگالی
p(x) e x، x 0.
برای یک متغیر تصادفی T با توزیع نمایی، انتظار ریاضی متقابل پارامتر است.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
32
33. مارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
فرآیندهای مارکوفمارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
با در نظر گرفتن فرآیندهایی با حالت های گسسته و زمان پیوسته، می توانیم فرض کنیم که تمام انتقالات سیستم S از حالتی به حالت دیگر تحت عمل
ساده ترین جریان های رویداد (جریان های تماس، جریان های شکست، جریان های بازیابی و غیره).
اگر همه جریان رویدادهایی که سیستم S را از حالتی به حالت دیگر منتقل می‌کنند ساده‌ترین باشند، آنگاه فرآیند در آن رخ می‌دهد
سیستم، مارکویی خواهد بود.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
33
34. مارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
فرآیندهای مارکوفمارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
اجازه دهید سیستم در ایالت تحت تأثیر قرار گیرد
ساده ترین جریان رویدادها به محض ظاهر شدن اولین رویداد این جریان، سیستم از حالت "پرش" می کند
به یک حالت
- شدت جریان رویدادها، ترجمه سیستم
خارج از ایالت
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
که در
.
34
35. مارکف فرآیندهای با زمان پیوسته
فرآیندهای مارکوفمارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
اجازه دهید سیستم S مورد بررسی داشته باشد
حالت های ممکن
. احتمال p ij (t) احتمال انتقال از حالت i به حالت j در زمان t است.
احتمال حالت i
این احتمال است که
که در زمان t سیستم در حالت خواهد بود
. بدیهی است که برای هر لحظه از زمان مجموع
از تمام احتمالات حالت برابر با یک است:
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
35
36. مارکف فرآیندهای با زمان پیوسته
فرآیندهای مارکوفمارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
برای پیدا کردن تمام احتمالات حالت
چگونه
توابع زمان، معادلات دیفرانسیل کولموگروف جمع آوری و حل می شود - نوع خاصی از معادله که در آن توابع مجهول احتمالات حالت ها هستند.
برای احتمالات انتقال:
p ij (t) p ik (t) kj
ک
برای احتمالات بی قید و شرط:
p j (t) p k (t) kj
ک
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
36
37. کولموگروف آندری نیکولایویچ
فرآیندهای مارکوفکولموگروف آندری نیکولایویچ
1903-1987
روسی بزرگ
ریاضیدان
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
37
38. مارکف فرآیندهای با زمان پیوسته
فرآیندهای مارکوفمارکوف با زمان پیوسته پردازش می کند
- میزان شکست؛
- شدت جریان بازیابی
بگذارید سیستم در حالت باشد
S0. توسط جریان به حالت S1 منتقل می شود
خرابی دستگاه اول شدت آن است
جایی که
- میانگین زمان عملکرد بدون خرابی دستگاه.
از حالت S1 به S0، سیستم توسط جریان ترمیم ها منتقل می شود
اولین دستگاه شدت آن است
جایی که
- میانگین زمان تعمیر دستگاه اول.
به طور مشابه، شدت جریان رویدادهایی که سیستم را در امتداد تمام کمان‌های نمودار منتقل می‌کنند محاسبه می‌شود.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
38
39. سیستم های نوبت دهی
فرآیندهای مارکوفنمونه هایی از سیستم های نوبت دهی (QS): مبادلات تلفنی، تعمیرگاه ها،
بلیط
میزهای نقدی،
مرجع
دفتر،
ماشین ابزار و سایر سیستم های تکنولوژیکی،
سیستم های
مدیریت
قابل انعطاف
سیستم های تولید،
پردازش اطلاعات توسط سرورها و غیره
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
39
40. سیستم های نوبت دهی
فرآیندهای مارکوفسیستم های نوبت دهی
QS شامل تعداد معینی از خدمات است
واحدهایی که کانال های سرویس نامیده می شوند (اینها هستند
ماشین آلات، ربات ها، خطوط ارتباطی، صندوقداران و غیره). هر CMO
برای سرویس دهی به جریان برنامه ها (نیازمندی ها) که در زمان های تصادفی می رسند طراحی شده است.
سرویس درخواست به صورت تصادفی ادامه می یابد و پس از آن کانال آزاد شده و آماده دریافت درخواست بعدی می باشد.
برنامه های کاربردی.
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
40
41. سیستم های نوبت دهی
فرآیندهای مارکوفسیستم های نوبت دهی
فرآیند عملیات QS یک فرآیند تصادفی با گسسته است
حالات و زمان پیوسته وضعیت QS در لحظات ظهور برخی رویدادها به طور ناگهانی تغییر می کند
(رسیدن برنامه جدید، پایان خدمت، لحظه،
هنگامی که برنامه، که از انتظار خسته شده است، از صف خارج می شود).
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
41
42. سیستم های نوبت دهی
فرآیندهای مارکوفسیستم های نوبت دهی
طبقه بندی سیستم های نوبت دهی
1. QS با شکست.
2. CMO با یک صف.
در QS با انکار، ادعایی که در لحظه‌ای که همه کانال‌ها مشغول هستند می‌رسد، رد می‌شود، QS را ترک می‌کند و دیگر وجود ندارد.
سرویس شده است.
در QS با صف، ادعایی که در لحظه ای که همه کانال ها مشغول هستند وارد می شود، از آن خارج نمی شود، بلکه وارد صف می شود و منتظر فرصت ارائه می شود.
QS با صف بسته به انواع مختلف تقسیم می شوند
در مورد نحوه سازماندهی صف - محدود یا نامحدود. محدودیت‌ها می‌توانند برای طول و زمان صف اعمال شوند
انتظارات، "انضباط خدمات".
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
42
43. سیستم های نوبت دهی
فرآیندهای مارکوفسیستم های نوبت دهی
موضوع تئوری صف ساخت است
مدل های ریاضی که شرایط داده شده را به هم مرتبط می کنند
عملیات QS (تعداد کانال ها، عملکرد آنها، قوانین
کار، ماهیت جریان برنامه ها) با ویژگی های مورد علاقه ما - شاخص های اثربخشی QS. این شاخص ها توانایی QS را برای مقابله با جریان توصیف می کنند
برنامه های کاربردی. آنها می توانند عبارتند از: میانگین تعداد برنامه های ارائه شده توسط QS در واحد زمان. میانگین تعداد کانال های شلوغ؛ میانگین تعداد برنامه های موجود در صف؛ میانگین زمان انتظار برای خدمات و غیره
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
43
44.
با تشکربرای توجه!!!
44
45. یک نمودار انتقال بسازید
فرآیندهای مارکوفیک نمودار انتقال بسازید
0.30
0.70
0.0
0.10
0.60
0.30
0.50
0.50
0.0
KHNURE، بخش. PM، مدرس Kirichenko L.O.
"نظریه احتمالات، ریاضی
آمار و فرآیندهای تصادفی"
زیر فرآیند تصادفیتغییر در زمان حالات برخی از سیستم های فیزیکی را به روش تصادفی ناشناخته قبلی درک کنید. که در آن منظور ما از یک سیستم فیزیکی استهر وسیله فنی، گروه دستگاه، شرکت، صنعت، سیستم بیولوژیکی و غیره.
فرآیند تصادفیجریان در سیستم نامیده می شود مارکوفسکی - اگر برای هر لحظه از زمان، ویژگی های احتمالی فرآیند در آینده (t > ) فقط به حالت آن در یک زمان معین بستگی دارد ( حاضر ) و به زمان و نحوه رسیدن سیستم به این حالت بستگی ندارد در گذشته .(مثلاً شمارنده گایگر که تعداد ذرات کیهانی را ثبت می کند).
فرآیندهای مارکوف معمولاً به 3 نوع تقسیم می شوند:
1. زنجیر مارکوف – فرآیندی که حالت‌های آن گسسته است (یعنی می‌توان آنها را مجددا شماره‌گذاری کرد)، و زمانی که در آن در نظر گرفته می‌شود نیز گسسته است (یعنی فرآیند فقط در مقاطع زمانی معینی می‌تواند حالات خود را تغییر دهد). چنین فرآیندی در مراحل (به عبارت دیگر، در چرخه) پیش می رود (تغییر می کند).
2. فرآیند مارکوف گسسته - مجموعه حالت ها گسسته است (قابل شمارش) و زمان پیوسته است (انتقال از یک حالت به حالت دیگر - در هر زمان).
3. فرآیند پیوسته مارکوف - مجموعه حالات و زمان پیوسته هستند.
در عمل، فرآیندهای مارکوف در شکل خالص خود اغلب با آن مواجه نمی شوند. با این حال، اغلب باید با فرآیندهایی سر و کار داشت که می‌توان از تأثیر ماقبل تاریخ غفلت کرد. علاوه بر این، اگر تمام پارامترهای "گذشته" که "آینده" به آنها بستگی دارد، در وضعیت سیستم در "حال" گنجانده شوند، آنگاه می توان آن را مارکوی نیز در نظر گرفت. با این حال، این اغلب منجر به افزایش قابل توجهی در تعداد متغیرهای در نظر گرفته شده و عدم امکان دستیابی به راه حل برای مشکل می شود.
در تحقیق در عملیات، به اصطلاح فرآیندهای تصادفی مارکوف با حالت های گسسته و زمان پیوسته.
فرآیند نامیده می شود فرآیند حالت گسسته, اگر تمام حالت های ممکن آن , ,... را می توان از قبل برشمرد (تجدید شماره) کرد. انتقال سیستم از حالت به حالت تقریباً بلافاصله انجام می شود - پرش.
فرآیند نامیده می شود فرآیند زمانی پیوسته، اگر لحظه های انتقال از حالت به حالت می توانند هر مقدار تصادفی را در محور زمان بگیرند.
مثلا : دستگاه فنی S از دو گره تشکیل شده است ، که هر کدام در یک لحظه تصادفی از زمان ممکن است شکست بخورند ( امتناع). پس از آن، تعمیر گره بلافاصله شروع می شود ( بهبود) که برای یک زمان تصادفی ادامه می یابد.
حالت های سیستم زیر امکان پذیر است:
هر دو گره خوب هستند.
گره اول در حال تعمیر است، دومی در حال کار است.
- گره دوم در حال تعمیر است، گره اول در حال کار است
هر دو گره در حال تعمیر هستند.
انتقال سیستم از حالت به حالت در زمان‌های تصادفی تقریباً بلافاصله اتفاق می‌افتد. نمایش وضعیت های سیستم و رابطه بین آنها با استفاده از آن راحت است نمودار حالت .
ایالت ها
انتقال ها
انتقال و غایب هستند زیرا خرابی و بازیابی عناصر به طور مستقل و تصادفی رخ می دهد و احتمال خرابی (بازیابی) همزمان دو عنصر بی نهایت کوچک است و می توان از آن چشم پوشی کرد.
اگر تمام جریان رویدادها سیستم را ترجمه کنند اساز ایالت به ایالت دیگر تک یاخته ها، سپس روند،در چنین سیستمی جریان دارد مارکوفسکی خواهد بود. این به دلیل این واقعیت است که ساده ترین جریان یک افترافکت ندارد، یعنی. در آن، "آینده" به "گذشته" بستگی ندارد و علاوه بر این، دارای خاصیت عادی بودن است - احتمال وقوع همزمان دو یا چند رویداد بی نهایت کم است، یعنی حرکت از حالت غیرممکن است. بدون گذراندن چندین حالت میانی بیان کنید.
برای وضوح، در نمودار وضعیت، راحت است که شدت جریان رویدادهایی را که سیستم را از حالتی به حالت دیگر در امتداد فلش داده شده در هر فلش انتقال منتقل می کند، پایین بیاوریم (- شدت جریان رویدادهایی که سیستم را منتقل می کند. از ایالت که در. چنین نموداری نامیده می شود علامت گذاری شده است.
با استفاده از نمودار نشاندار وضعیت سیستم، می توان یک مدل ریاضی از این فرآیند ساخت.
انتقال سیستم از حالتی به حالت قبلی یا بعدی را در نظر بگیرید. قطعه ای از نمودار حالت در این مورد به شکل زیر خواهد بود:
اجازه دهید سیستم در آن زمان تیدر حالت .
نشان دادن (t) - احتمال وضعیت i-ام سیستماحتمال این است که سیستم در زمان تیدر حالت . برای هر لحظه از زمان t = 1 درست است.
اجازه دهید احتمال آن را در لحظه زمان تعیین کنیم t+∆t سیستم در ایالت خواهد بود. این ممکن است در موارد زیر باشد:
1) و در طول زمان ∆ t آن را ترک نکرد. به این معنی که در طول زمان ∆t بوجود نیامدرویدادی که سیستم را به حالتی می‌آورد (جریان با شدت) یا رویدادی که آن را در حالتی قرار می‌دهد (جریان با شدت). اجازه دهید احتمال این را برای Δt کوچک تعیین کنیم.
بر اساس قانون نمایی توزیع زمان بین دو الزام همسایه، مربوط به ساده ترین جریان رویدادها، این احتمال وجود دارد که در بازه زمانی ∆t، هیچ الزامی در جریان با شدت ایجاد نشود. λ1برابر خواهد بود
با بسط تابع f(t) در سری تیلور (t>0) به دست می‌آییم (برای t=∆t)
f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=
= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +…” 1-l*∆t برای ∆t®0
به طور مشابه، برای یک جریان با شدت λ 2 به دست می آوریم 
.
احتمال اینکه در بازه زمانی ∆t (برای ∆t®0) هیچ نیازی برابر نخواهد بود
(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =
1 - - *∆t + 
1 - (
+
)*∆t + b.m.
بنابراین، احتمال اینکه سیستم در طول زمان ∆t از حالت خارج نشده باشد، برای ∆t کوچک برابر است با
پ( / )=1 – ( + )* ∆t
2) سیستم در حالتی بود S i -1 و برای زمان به حالت S i منتقل شد . یعنی حداقل یک رویداد در جریان با شدت رخ داده است. احتمال این برابر با ساده ترین جریان با شدت است λ خواهد بود
برای مورد ما، احتمال چنین انتقالی برابر خواهد بود
3)سیستم در حالتی بود و در طول مدت زمانی که ∆t به حالت عبور کرد . احتمال این خواهد بود
سپس احتمال اینکه سیستم در زمان (t+∆t) در حالت S i قرار گیرد برابر است
P i (t) را از هر دو قسمت کم کنید، بر ∆t تقسیم کنید و با عبور از حد، با ∆t← 0 به دست می آوریم.
با جایگزینی مقادیر متناظر شدت انتقال از حالت ها به حالت ها، سیستمی از معادلات دیفرانسیل را به دست می آوریم که تغییر در احتمالات حالت های سیستم را به عنوان تابعی از زمان توصیف می کند.
این معادلات را معادلات می نامند کولموگروف-چپمن برای یک فرآیند مارکوف گسسته
با تنظیم شرایط اولیه (به عنوان مثال P 0 (t=0)=1, P i (t=0)=0 i≠0) و حل آنها، عباراتی را برای احتمالات حالت سیستم به عنوان تابعی از زمان به دست می آوریم. . اگر تعداد معادلات ≤ 2.3 باشد، راه حل های تحلیلی نسبتاً آسان است. اگر تعداد آنها بیشتر باشد، معمولاً معادلات به صورت عددی در رایانه حل می شوند (مثلاً با روش Runge-Kutta).
در تئوری فرآیندهای تصادفی ثابت شده است ، چی اگر شماره n حالات سیستم قطعا و از هر یک از آنها می توان (در تعداد محدودی از مراحل) به هر دیگری رفت، پس محدودیتی وجود دارد ، که احتمالات زمانی که به آن تمایل دارند t→ . چنین احتمالاتی نامیده می شود احتمالات نهایی حالت ها و حالت پایدار - حالت ثابت عملکرد سیستم
از آنجایی که در حالت ثابت همه چیز 
بنابراین، همه = 0. با معادل سازی قسمت های چپ سیستم معادلات با 0 و تکمیل آنها با معادله =1، سیستمی از معادلات جبری خطی به دست می آوریم که با حل آن مقادیر احتمالات نهایی را پیدا می کنیم.
مثال. بگذارید در سیستم ما میزان خرابی و بازیابی عناصر به شرح زیر باشد
شکست ها 1el: 
2el: 
تعمیر 1el: 
2el: 
P 0 + P 1 + P 2 + P 3 \u003d 1
0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2
0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3
0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3
0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2
با حل این سیستم، دریافت می کنیم
P 0 = 6/15 = 0.4; P 1 = 3/15 = 0.2; P2=4/15=0.27; P3=2/15≈0.13.
آن ها در حالت ساکن، سیستم به طور متوسط
40٪ در حالت S 0 است (هر دو گره سالم هستند)،
20% - در شرایط S 1 (المان 1 در حال تعمیر است ، عنصر دوم در شرایط خوبی است)
27% - در وضعیت S 2 (برق دوم در حال تعمیر است، 1 سالم است)
13% - در شرایط S 3 - هر دو عنصر در حال تعمیر هستند.
دانستن احتمالات نهایی اجازه می دهد میانگین عملکرد سیستم و بار سرویس تعمیر را ارزیابی کنید.
اجازه دهید سیستم در حالت S 0 درآمدی معادل 8 واحد داشته باشد. در واحد زمان؛ در ایالت S 1 - درآمد 3 sr.u. در ایالت S 2 - درآمد 5؛ در ایالت S 3 - درآمد \u003d 0
قیمت تعمیر در واحد زمان برای el-ta 1- 1 (S 1, S 3) arb. units, el-ta 2- (S 2, S 3) 2 arb. سپس در حالت ثابت:
درآمد سیستمدر واحد زمان خواهد بود:
W max =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8 0.4+3 0.2+5 0.27+0 0.13=5.15 c.u.
هزینه تعمیردر واحدها زمان:
W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0 0.4+1 0.2+2 0.27+3 0.13=1.39 c.u.
سوددر واحد زمان
W \u003d W doh -W rem \u003d 5.15-1.39 \u003d 3.76 واحد
با صرف هزینه های معین، می توان شدت λ و μ و بر این اساس راندمان سیستم را تغییر داد. امکان سنجی چنین هزینه هایی را می توان با محاسبه مجدد P i ارزیابی کرد. و شاخص های عملکرد سیستم
بارگذاری...