ساختار محلول کلی سوله. سیستم های همگن معادلات خطی

حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) بدون شک مهمترین مبحث درس جبر خطی است. تعداد زیادی از مسائل از تمام شاخه های ریاضیات به حل سیستم های معادلات خطی کاهش می یابد. این عوامل دلیل ایجاد این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله طوری انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

• روش بهینه را برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود انتخاب کنید،
• مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
• سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن جزئیات حل مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله.

ابتدا تمام تعاریف، مفاهیم لازم را ارائه می کنیم و نمادهایی را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، روش‌هایی را برای حل سیستم‌های معادلات جبری خطی در نظر می‌گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و دارای راه‌حل منحصربه‌فرد هستند. ابتدا روی روش کرامر تمرکز می کنیم، ثانیاً روش ماتریسی را برای حل چنین سیستم هایی از معادلات نشان می دهیم و سوم، روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرهای مجهول) را تحلیل می کنیم. برای تثبیت نظریه، ما قطعا چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از آن به حل سیستم های معادلات جبری خطی به شکل کلی می پردازیم که در آن تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منحط است. ما قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله می‌کنیم که به ما امکان می‌دهد سازگاری SLAEها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستم ها (در مورد سازگاری آنها) را با استفاده از مفهوم اصلی ماتریس تجزیه و تحلیل کنیم. همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را به تفصیل شرح خواهیم داد.

حتماً روی ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی تمرکز کنید. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در نتیجه، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر می‌گیریم که به خطی کاهش می‌یابند، و همچنین مسائل مختلفی را که در حل آنها SLAEها بوجود می‌آیند.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p ممکن است برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته، - ضرایب (برخی اعداد حقیقی یا مختلط)، - اعضای آزاد (همچنین اعداد حقیقی یا مختلط).

این شکل از SLAE نامیده می شود هماهنگ كردن.

AT فرم ماتریسیاین سیستم معادلات به شکل
جایی که - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس-ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس-ستون اعضای آزاد.

اگر ماتریس-ستون عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n + 1) - به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس تقویت شده با حرف T نشان داده می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود.

با حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسی برای مقادیر داده شده متغیرهای مجهول نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می گویند ناسازگار.

اگر یک SLAE یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، آن را نامیده می شود مسلم - قطعی; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نا معلوم.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، این گونه SLAE ها را فراخوانی می کنیم. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند و در مورد یک سیستم همگن، همه متغیرهای مجهول برابر با صفر هستند.

ما مطالعه چنین SLAE را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها با جزئیات صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی به روش کرامر.

اجازه دهید سیستمی از معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و تعیین کننده های ماتریس هایی هستند که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با چنین نمادگذاری، متغیرهای مجهول با فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این ترتیب حل یک سیستم معادلات جبری خطی با روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . تعیین کننده آن را محاسبه کنید (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که با روش کرامر می توان آن را پیدا کرد.

تعیین کننده های لازم را بنویسید و محاسبه کنید (تعیین کننده با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از اعضای آزاد، تعیین کننده - با جایگزینی ستون دوم با ستونی از اعضای آزاد، - با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از اعضای آزاد به دست می آید. ):

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را نقطه ضعف نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی به روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای ابعاد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که پس ماتریس A معکوس است، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو قسمت تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن ماتریس ستونی متغیرهای مجهول به دست می‌آوریم. پس حل سیستم معادلات جبری خطی را با روش ماتریسی بدست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از ماتریسی از مکمل های جبری عناصر ماتریس A یک ماتریس معکوس بسازیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

باقی مانده است که محاسبه شود - ماتریس متغیرهای مجهول با ضرب ماتریس معکوس در ماتریس-ستون اعضای آزاد (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی در یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با روش ماتریسی، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم است.

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای مجهول می شود: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از معادلات دوم شروع می شود، سپس x 2 از همه معادلات حذف می شود، از سومین شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول باشد. x n در آخرین معادله باقی می ماند. چنین فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوس مستقیم. پس از اتمام اجرای رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، x n-1 از معادله ماقبل آخر با استفاده از این مقدار و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود روش گاوس معکوس.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم از معادله دوم خارج می کنیم. برای این کار، معادله اول ضرب در معادله دوم سیستم را اضافه کنید، اولین ضرب در معادله سوم را اضافه کنید و به همین ترتیب، اولین ضرب در معادله n را اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر کنیم، به همین نتیجه می رسیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات، با شروع از دوم، حذف می شود.

در مرحله بعد، ما به طور مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم به دست آمده، که در شکل مشخص شده است

برای این کار دومی ضرب شده در را به معادله سوم سیستم اضافه کنید، دومی ضرب در را به معادله چهارم اضافه کنید و به همین ترتیب دومی ضرب شده در را به معادله n اضافه کنید. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا، الف . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که به طور مشابه با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است عمل می کنیم.

بنابراین مسیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، روند معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول پیدا می کنیم. معادله

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوسی

راه حل.

بیایید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو قسمت معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب می کنیم:

حالا x 2 را از معادله سوم با جمع کردن قسمت های چپ و راست معادله دوم به قسمت های چپ و راست آن، ضرب در:

در این مورد، مسیر رو به جلو روش گاوس تکمیل می شود، مسیر معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقی مانده را پیدا می کنیم و این مسیر معکوس روش گاوس را کامل می کند.

پاسخ:

X 1 \u003d 4، x 2 \u003d 0، x 3 \u003d -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

در حالت کلی، تعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و منحط است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است، می دهد قضیه کرونکر-کاپلی:
برای سازگاری یک سیستم از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد، یعنی Rank( الف)=رتبه (T) .

اجازه دهید کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی به عنوان مثال در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. اجازه دهید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به موارد فرعی مرتبه سوم پیرامون آن بپردازیم:

از آنجایی که همه مینورهای مرتبه سوم مرزی برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس تقویت شده برابر با سه است، زیرا جزئی از مرتبه سوم است

متفاوت از صفر

به این ترتیب، Rang(A) بنابراین، با توجه به قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

هیچ سیستم راه حلی وجود ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما چگونه می توان راه حل SLAE را در صورت اثبات سازگاری آن پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم مبنا مینور یک ماتریس و قضیه رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

بالاترین مرتبه مینور ماتریس A به غیر از صفر نامیده می شود پایه ای.

از تعریف پایه مینور بر می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیر صفر A، می تواند چندین مینور اصلی وجود داشته باشد؛ همیشه یک مینور اصلی وجود دارد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n r باشد، آنگاه همه عناصر سطرها (و ستون‌ها) ماتریس که پایه اصلی انتخابی را تشکیل نمی‌دهند به صورت خطی بر حسب عناصر متناظر سطرها (و ستون‌ها) بیان می‌شوند. ) که پایه جزئی را تشکیل می دهند.

قضیه رتبه ماتریس چه چیزی به ما می دهد؟

اگر با قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، هر مینور اصلی ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلات را از سیستم حذف می کنیم که چنین نیستند. مینور اصلی انتخابی را تشکیل می دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز زائد هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات بیش از حد سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

مثال.

.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا جزئی مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها جزئی مرتبه سوم برابر با صفر است

و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می توان سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را اثبات کرد، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2 .

به عنوان جزئی پایه، ما می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:


معادله سوم سیستم در تشکیل مینور اصلی شرکت نمی کند، بنابراین بر اساس قضیه رتبه ماتریس آن را از سیستم حذف می کنیم:


بنابراین ما یک سیستم ابتدایی از معادلات جبری خطی به دست آورده ایم. بیایید آن را با روش کرامر حل کنیم:


پاسخ:

x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2.

اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل از تعداد متغیرهای مجهول n کمتر باشد، آنگاه عبارت‌های تشکیل‌دهنده مینور اصلی را در قسمت‌های سمت چپ معادلات رها می‌کنیم و عبارت‌های باقی‌مانده را به قسمت‌های سمت راست معادلات منتقل می‌کنیم. سیستم با علامت مخالف

متغیرهای مجهول (r از آنها وجود دارد) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند. اصلی.

متغیرهای ناشناخته (n - r از آنها وجود دارد) که در سمت راست قرار می گیرند فراخوانی می شوند رایگان.

حال فرض می کنیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه را بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r بر حسب متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

حل سیستم معادلات جبری خطی .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم را بیابید به روش مینورهای مرزی اجازه دهید یک 1 1 = 1 را به عنوان مینور مرتبه اول غیر صفر در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرتبه دوم غیر صفر در اطراف این مینور کنیم:


بنابراین ما یک مینور غیر صفر درجه دوم پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:


بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس تقویت شده نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم به عنوان پایه در نظر گرفته می شود.

برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:


عبارات شرکت کننده در مینور اصلی را در سمت چپ معادلات سیستم می گذاریم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:


به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه می دهیم، یعنی می گیریم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این حالت، SLAE شکل می گیرد


ما سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آمده را با روش کرامر حل می کنیم:


در نتیجه، .

در پاسخ فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را نشان دهید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی با فرم کلی، ابتدا با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی به سازگاری آن پی می بریم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، ما مینور اصلی را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE راه حل منحصر به فردی دارد که با هر روشی که برای ما شناخته شده است می توان آن را پیدا کرد.

اگر ترتیب مبنا مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، در سمت چپ معادلات سیستم، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی رها می کنیم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را اختصاص می دهیم. به متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را به روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس می یابیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم کلی.

با استفاده از روش گاوس، می توان سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوعی را بدون بررسی اولیه آنها برای سازگاری حل کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از نظر کار محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

شرح مفصل و نمونه های تحلیل شده آن را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی با فرم کلی ببینید.

ثبت جواب کلی سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش به سیستم‌های همگن و ناهمگن مشترک معادلات جبری خطی که دارای بی‌نهایت جواب هستند می‌پردازیم.

بیایید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم تصمیم گیری اساسییک سیستم همگن از p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n - r) راه حل های خطی مستقل از این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) ستون های ماتریس هایی با بعد n تعیین کنیم. با 1 ) ، سپس راه حل کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه С 1 , С 2 , ..., С (n-r) نشان داده می شود، یعنی .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (oroslau) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن را برای SLAE اصلی مشخص می کند، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت های دلخواه C 1 , C 2 , ..., C (n-r) مطابق فرمول ما یکی از راه حل های SLAE همگن اصلی را دریافت می کند.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به صورت .

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور اصلی سیستم معادلات خطی اصلی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم، و تمام عبارت های حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با روش کرامر محاسبه کنیم. بنابراین، X (1) به دست می آید - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 0,0,…,0,1 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (n-r) به دست می آید. به این صورت است که سیستم اساسی راه حل های SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشت.

برای سیستم های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به صورت نمایش داده می شود

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. اجازه دهید رتبه ماتریس اصلی را با روش فرنگ کردن مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنید:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، یافت می شود. بیایید در جست‌وجوی یک غیرصفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته دو است. بیایید مینور اولیه را در نظر بگیریم. برای وضوح، عناصری از سیستم را که آن را تشکیل می دهند یادداشت می کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل مینور اصلی شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات می‌گذاریم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب مینور اصلی آن دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 \u003d 1، x 4 \u003d 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات پیدا می کنیم.
.

در نظر گرفتن سیستم همگن m معادلات خطی با n متغیر:

(15)

سیستم معادلات خطی همگن همیشه سازگار است، زیرا همیشه یک راه حل صفر (بی اهمیت) دارد (0,0,…,0).

اگر در سیستم (15) m=n و , آنگاه سیستم فقط یک جواب صفر دارد که از قضیه و فرمول های کرامر به دست می آید.

قضیه 1. سیستم همگن (15) اگر و فقط در صورتی که رتبه ماتریس آن کمتر از تعداد متغیرها باشد، راه حل غیر ضروری دارد. . r(آ)< n.

اثبات. وجود یک راه حل غیر پیش پا افتاده برای سیستم (15) معادل وابستگی خطی ستون های ماتریس سیستم است (یعنی چنین اعداد x 1 , x 2 ,…, x n وجود دارد که همه برابر صفر نیستند، که برابری ها ( 15) معتبر هستند).

طبق قضیه جزئی پایه، ستون‌های یک ماتریس به صورت خطی وابسته به  هستند، در صورتی که همه ستون‌های این ماتریس پایه نباشند، یعنی.  وقتی ترتیب r پایه مینور ماتریس از عدد n ستون آن کمتر باشد. Ch.t.d.

نتیجه. یک سیستم همگن مربعی دارای راه حل های غیر پیش پا افتاده  وقتی |A|=0 است.

قضیه 2. اگر ستون های x (1)، x (2)، ...، x (s) محلول سیستم همگن AX=0، هر ترکیب خطی از آنها نیز راه حلی برای این سیستم است.

اثبات. هر ترکیبی از راه حل ها را در نظر بگیرید:

سپس AX=A()===0. h.t.d.

نتیجه 1.اگر یک سیستم همگن یک راه حل غیر پیش پا افتاده داشته باشد، آنگاه راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

که لازم است چنین راه حل هایی x (1)، x (2)، ...، x (s) از سیستم Ax = 0 پیدا شود، به طوری که هر راه حل دیگری از این سیستم را بتوان به صورت ترکیب خطی از آنها نشان داد و ، علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد.

تعریف.سیستم k=n-r (n تعداد مجهولات در سیستم است، r=rg A) راه حل های مستقل خطی x (1) ,x (2) ,…,x (k) سیستم Ax=0 نامیده می شود. سیستم تصمیم گیری اساسیاین سیستم

قضیه 3. اجازه دهید یک سیستم همگن Ax=0 با n مجهول و r=rg A داده شود سپس مجموعه ای از جواب های k=n-r x (1), x (2) ,…,x (k) از این سیستم وجود دارد که سیستم اساسی راه حل ها

اثبات. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که مینور پایه ماتریس A در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد. سپس بر اساس قضیه مینور پایه، سطرهای باقی مانده از ماتریس A ترکیب خطی ردیف های پایه هستند. این بدان معناست که اگر مقادیر x 1 , x 2 ,…,x n معادلات r اول را برآورده کنند. معادلات مربوط به ردیف های مینور اصلی)، سپس آنها معادلات دیگر را نیز برآورده می کنند. بنابراین، اگر تمام معادلات شروع شده از (r + 1)th کنار گذاشته شوند، مجموعه جواب سیستم تغییر نخواهد کرد. ما سیستم را دریافت می کنیم:

مجهول های آزاد x r +1, x r +2 ,…,x n را به سمت راست منتقل می کنیم و مجهول های اصلی x 1 , x 2 ,…, x r را در سمت چپ رها می کنیم:

(16)

زیرا در این مورد، همه b i = 0، سپس به جای فرمول ها

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13)، به دست می آوریم:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

اگر مجهولات آزاد х r +1 ,х r +2 ,...,xn مقادیر دلخواه داده شوند، با توجه به مجهولات پایه یک SLAE مربع با ماتریس غیر منفرد به دست می آوریم که راه حل منحصر به فردی دارد. بنابراین، هر راه حل یک SLAE همگن به طور منحصر به فرد توسط مقادیر مجهولات آزاد х r +1 ,х r +2 ,…,x n تعیین می شود. سری k=n-r زیر از مقادیر مجهولات رایگان را در نظر بگیرید:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(عدد سری با یک بالانویس در پرانتز نشان داده می شود و سری مقادیر در ستون ها نوشته می شود. در هر سری =1 اگر i=j و =0 اگر ij.

سری i-امین مقادیر مجهولات رایگان به طور منحصر به فرد با مقادیر،،…، مجهولات اساسی مطابقت دارد. مقادیر مجهولات آزاد و پایه با هم راه حل هایی به سیستم می دهند (17).

اجازه دهید نشان دهیم که ستون های e i =,i=1,2,…,k (18)

یک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهند.

زیرا این ستون ها بر اساس ساخت، راه حل های سیستم همگن Ax=0 هستند و تعداد آنها برابر با k است، سپس باید استقلال خطی جواب ها را ثابت کرد (16). بگذارید یک ترکیب خطی از راه حل ها وجود داشته باشد ه 1 , ه 2 ,…, ه ک(x (1) , x (2) ,…, x (k))، برابر با ستون صفر:

 1 ه 1 +  2 ه 2 +…+ k ه ک ( 1 ایکس (1) + 2 ایکس(2) +…+ k ایکس(ک) = 0)

سپس سمت چپ این تساوی ستونی است که اجزای آن با اعداد r+1,r+2,…,n برابر با صفر هستند. اما مولفه (r+1)ام برابر است با  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . به طور مشابه، مؤلفه (r+2)-امین برابر با  2،…، مؤلفه k-امین برابر با  k است. بنابراین  1 =  2 = …= k =0 که به معنای استقلال خطی جواب هاست ه 1 , ه 2 ,…, ه ک ( x (1), x (2) ,…, x (k)).

سیستم بنیادی ساخته شده از راه حل ها (18) نامیده می شود طبیعی. بر اساس فرمول (13) شکل زیر را دارد:

(20)

نتیجه 2. اجازه دهید ه 1 , ه 2 ,…, ه ک- سیستم بنیادی طبیعی محلول های یک سیستم همگن، سپس مجموعه همه راه حل ها را می توان با فرمول توصیف کرد:

x=c 1 ه 1 + از 2 ه 2 +…+с k ه ک (21)

جایی که с 1 ,с 2 ,…,с k - مقادیر دلخواه را بگیرید.

اثبات. با قضیه 2، ستون (19) راه حلی برای سیستم همگن Ax=0 است. باید ثابت کرد که هر راه حلی از این سیستم را می توان به شکل (17) نشان داد. یک ستون را در نظر بگیرید ایکس=y r +1 ه 1 +…+yn ه ک. این ستون از نظر عناصر با اعداد r+1,…,n با ستون y منطبق است و راه حل (16) است. بنابراین ستون ها ایکسو درمطابقت، زیرا راه حل های سیستم (16) به طور منحصر به فردی توسط مجموعه مقادیر مجهولات آزاد آن x r +1،…،xn، و ستون ها تعیین می شوند. درو ایکساین مجموعه ها مطابقت دارند در نتیجه، در=ایکس= y r +1 ه 1 +…+yn ه ک، یعنی راه حل درترکیبی خطی از ستون ها است ه 1 ,…,y N FSR معمولی. Ch.t.d.

ادعای ثابت شده نه تنها برای FSR معمولی، بلکه برای یک FSR دلخواه یک SLAE همگن نیز صادق است.

X=ج 1 ایکس 1 + ج 2 ایکس 2 +…+s n - r ایکس n - r - تصمیم مشترکسیستم های معادلات همگن خطی

جایی که Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r هر سیستم اساسی از راه حل ها است،

c 1 ,c 2 ,…,с n - r اعداد دلخواه هستند.

مثال. (ص 78)

اجازه دهید بین راه حل های SLAE ناهمگن ارتباط برقرار کنیم (1) و SLAE همگن مربوطه (15)

قضیه 4. مجموع هر محلول یک سیستم ناهمگن (1) و سیستم همگن متناظر (15) یک راه حل برای سیستم (1) است.

اثبات. اگر c 1 ,…,c n راه حلی برای سیستم (1) باشد و d 1 ,…,d n راه حلی برای سیستم (15) باشد، آنگاه با هر معادله (مثلاً i-امین) سیستم (1) جایگزین می شود. به جای اعداد مجهول c 1 +d 1 ,…,c n +d n به دست می آوریم:

B i +0=b i

قضیه 5. تفاوت دو راه حل دلخواه سیستم ناهمگن (1) حل سیستم همگن است (15).

اثبات. اگر c 1 ,…,c n و c 1 ,…,c n راه حل های سیستم (1) باشند، به جای مجهول هر معادله (مثلاً i-امین) سیستم (1) را جایگزین کنید. اعداد c 1 -с 1 ,…,c n -с n , بدست می آوریم:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

از قضایای اثبات شده چنین برمی‌آید که حل کلی یک سیستم m معادلات همگن خطی با n متغیر برابر است با مجموع جواب کلی سیستم معادلات خطی همگن (15) و تعداد دلخواه از جواب‌های خاص این. سیستم (15).

ایکس نئود. =X جمع یکی +X زود زود بیش از یکی (22)

به عنوان یک راه حل خاص برای یک سیستم ناهمگن، طبیعی است که محلول آن را بگیریم، که اگر در فرمول های cj =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M به دست می آید. j (a in)) j=1,2,…,r ((13) برابر صفر قرار می دهیم همه اعداد c r +1 ,…,c n , i.e.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

افزودن این راه حل خاص به راه حل عمومی X=ج 1 ایکس 1 + ج 2 ایکس 2 +…+s n - r ایکس n - rسیستم همگن مربوطه، به دست می آوریم:

ایکس نئود. =X 0 +C 1 ایکس 1 +C 2 ایکس 2 +…+С n - r ایکس n - r (24)

سیستمی متشکل از دو معادله با دو متغیر را در نظر بگیرید:

که در آن حداقل یکی از ضرایب aij 0.

برای حل، x 2 را با ضرب معادله اول در 22 و دومی در (-a 12) و جمع کردن آنها حذف می کنیم: x 1 را با ضرب رابطه اول در (-a 21) و دومی در 11 حذف می کنیم. و اضافه کردن آنها: بیان در پرانتز - تعیین کننده

دلالت می کند ,، سپس سیستم به شکل:، یعنی اگر، پس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد:،.

اگر Δ=0، a (یا)، پس سیستم ناسازگار است، زیرا به شکل کاهش می یابد اگر Δ=Δ 1 =Δ 2 = 0، پس سیستم نامشخص است، زیرا به ذهن آورده است

یک سیستم همگن همیشه سازگار است و یک راه حل بی اهمیت دارد
. برای اینکه یک راه حل غیر ضروری وجود داشته باشد، لازم است رتبه ماتریس باشد کمتر از تعداد مجهولات بود:

.

سیستم تصمیم گیری اساسی سیستم همگن
سیستم راه حل ها را به صورت بردارهای ستونی می نامید
، که با مبنای شرعی مطابقت دارند، یعنی. مبنایی که در آن ثابت های دلخواه
به طور متناوب برابر با یک، در حالی که بقیه صفر تنظیم می شوند.

سپس راه حل کلی سیستم همگن به شکل زیر است:

جایی که
ثابت دلخواه هستند به عبارت دیگر، راه حل کلی ترکیبی خطی از سیستم اساسی راه حل ها است.

بنابراین، اگر مجهولات آزاد به طور متناوب مقدار واحد داده شوند، با فرض صفر بودن همه مجهولات، راه حل های اساسی را می توان از جواب کلی به دست آورد.

مثال. بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

ما قبول می کنیم، سپس راه حل را به شکل زیر دریافت می کنیم:

اجازه دهید اکنون یک سیستم اساسی از راه حل ها بسازیم:

.

راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت:

راه حل های یک سیستم معادلات خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

به عبارت دیگر، هر ترکیب خطی از راه حل ها برای یک سیستم همگن دوباره یک راه حل است.

حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس

حل سیستم های معادلات خطی برای چندین قرن مورد توجه ریاضیدانان بوده است. اولین نتایج در قرن هجدهم به دست آمد. در سال 1750، G. Kramer (1704-1752) آثار خود را در مورد عوامل تعیین کننده ماتریس های مربع منتشر کرد و الگوریتمی برای یافتن ماتریس معکوس پیشنهاد کرد. در سال 1809، گاوس یک روش حل جدید به نام روش حذف را معرفی کرد.

روش گاوس، یا روش حذف متوالی مجهولات، شامل این واقعیت است که با کمک تبدیلات ابتدایی، سیستم معادلات به یک سیستم معادل به شکل پلکانی (یا مثلثی) کاهش می یابد. چنین سیستم هایی به شما این امکان را می دهند که به طور مداوم همه مجهولات را در یک ترتیب خاص پیدا کنید.

فرض کنید در سیستم (1)
(که همیشه امکان پذیر است).

(1)

ضرب معادله اول به نوبه خود در به اصطلاح اعداد مناسب

و با جمع کردن حاصل ضرب با معادلات متناظر سیستم، یک سیستم معادل بدست می آید که در آن تمام معادلات به جز معادله اول مجهول نخواهند داشت. ایکس 1

(2)

اکنون معادله دوم سیستم (2) را با این فرض در اعداد مناسب ضرب می کنیم

,

و با اضافه کردن آن به موارد پایین، متغیر را حذف می کنیم از تمام معادلات، با سوم شروع می شود.

ادامه این روند، پس از
مراحلی که می گیریم:

(3)

اگر حداقل یکی از اعداد
برابر با صفر نیست، پس برابری متناظر ناسازگار است و سیستم (1) ناسازگار است. برعکس، برای هر سیستم شماره مشترک
برابر با صفر هستند. عدد چیزی جز رتبه ماتریس سیستم (1) نیست.

انتقال از سیستم (1) به (3) نامیده می شود در یک خط مستقیم روش گاوسی و یافتن مجهولات از (3) - به عقب .

اظهار نظر : انجام تبدیل ها نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس توسعه یافته سیستم (1) راحت تر است.

مثال. بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

.

بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم:

.

بیایید اولین مورد را به خطوط 2،3،4، ضرب در (-2)، (-3)، (-2) اضافه کنیم:

.

بیایید ردیف های 2 و 3 را با هم عوض کنیم، سپس در ماتریس حاصل، ردیف 2 را به ردیف 4 اضافه کنیم، ضرب در :

.

به خط 4 اضافه کنید خط 3 ضرب در
:

.

بدیهی است که
، از این رو سیستم سازگار است. از سیستم معادلات حاصل

با جایگزینی معکوس راه حل را پیدا می کنیم:

,
,
,
.

مثال 2یافتن راه حل سیستم:

.

بدیهی است که سیستم ناسازگار است، زیرا
، آ
.

مزایای روش گاوس :

زمان کمتری نسبت به روش کرامر.

بدون ابهام سازگاری سیستم را ایجاد می کند و به شما امکان می دهد راه حلی پیدا کنید.

توانایی تعیین رتبه هر ماتریس را می دهد.

سیستم همگن معادلات خطی AX = 0همیشه با هم. راه حل های غیر پیش پا افتاده (غیر صفر) دارد اگر r= رتبه آ< n .

برای سیستم‌های همگن، متغیرهای پایه (ضرایبی که پایه فرعی را تشکیل می‌دهند) بر حسب متغیرهای آزاد با روابط شکل بیان می‌شوند:

سپس n - rراه حل های بردار مستقل خطی به صورت زیر خواهد بود:

و هر راه حل دیگری ترکیب خطی آنهاست. تصمیم-بردار یک سیستم بنیادی نرمال شده را تشکیل می دهند.

در یک فضای خطی، مجموعه راه حل های یک سیستم همگن از معادلات خطی، یک فضای فرعی از ابعاد را تشکیل می دهد. n - r; اساس این زیرفضا است.

سیستم مترمعادلات خطی با nناشناس(یا، سیستم خطی

اینجا ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n آ 11 , آ 12 , …, آمن- ضرایب سیستم - و ب 1 , ب 2 , … b m aijمن) و ناشناخته ( j

سیستم (1) نامیده می شود همگنب 1 = ب 2 = … = b m= 0)، در غیر این صورت - ناهمگون.

سیستم (1) نامیده می شود مربعاگر شماره مترمعادلات برابر با عدد است nناشناس.

راه حلسیستم ها (1) - مجموعه nشماره ج 1 , ج 2 , …, c n، به گونه ای که جایگزینی هر یک ج منبجای x iدر سیستم (1) تمام معادلات خود را به هویت تبدیل می کند.

سیستم (1) نامیده می شود مفصل ناسازگار

راه حل ها ج 1 (1) , ج 2 (1) , …, c n(1) و ج 1 (2) , ج 2 (2) , …, c n مختلف

ج 1 (1) = ج 1 (2) , ج 2 (1) = ج 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

مسلم - قطعی نا معلوم. اگر تعداد معادلات بیشتر از مجهولات باشد، نامیده می شود دوباره تعریف شد.

حل سیستم معادلات خطی

حل معادلات ماتریسی ~ روش گاوس

روش‌های حل معادلات خطی به دو گروه تقسیم می‌شوند:

1. روش های دقیقکه الگوریتم های محدودی برای محاسبه ریشه های یک سیستم هستند (حل سیستم ها با استفاده از ماتریس معکوس، قانون کرامر، روش گاوس و غیره)،

2. روش های تکراریکه با استفاده از فرآیندهای تکراری همگرا (روش تکرار، روش سیدل و غیره) به دست آوردن جواب سیستم با دقت معین را ممکن می سازد.

به دلیل گرد کردن اجتناب ناپذیر، نتایج روش های حتی دقیق تقریبی است. هنگام استفاده از روش های تکراری، علاوه بر این، خطای روش اضافه می شود.

کاربرد مؤثر روش های تکراری اساساً به انتخاب خوب تقریب اولیه و سرعت همگرایی فرآیند بستگی دارد.

حل معادلات ماتریسی

سیستم را در نظر بگیرید nمعادلات جبری خطی با توجه به nناشناس ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n:

.

(15)

ماتریس ولیکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه هستند، نامیده می شود. ماتریس سیستم; ماتریس ستونی ب، که عناصر آن سمت راست معادلات سیستم هستند، نامیده می شود ماتریس سمت راستیا به سادگی سمت راست سیستم. ماتریس ستونی ایکس، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

اگر ماتریس ولی- غیر مفرد یعنی دت A n e برابر با 0 است، سپس سیستم (13)، یا معادله ماتریسی معادل آن (14)، یک راه حل منحصر به فرد دارد.

در واقع، تحت شرایط det A برابر نیست 0 یک ماتریس معکوس وجود دارد ولی-یک. ضرب دو طرف معادله (14) در ماتریس ولی-1 دریافت می کنیم:

(16)

فرمول (16) برای معادله (14) جواب می دهد و منحصر به فرد است.

حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از تابع راحت است حل کن.

حل کنم( الف، ب)

بردار تصمیم برگردانده می شود ایکسبه طوری که اوه= ب

استدلال ها:

ولییک ماتریس مربع و غیر مفرد است.

ببرداری است که به تعداد سطرهای ماتریس سطر دارد ولی .

شکل 8 حل یک سیستم از سه معادله خطی را در سه مجهول نشان می دهد.

روش گاوس

روش گاوسی که روش حذف گاوسی نیز نامیده می شود، شامل این واقعیت است که سیستم (13) با حذف متوالی مجهولات به یک سیستم معادل با یک ماتریس مثلثی کاهش می یابد:

در نمادگذاری ماتریسی، این بدان معنی است که ابتدا (مسیر مستقیم روش گاوس) عملیات ابتدایی روی ردیف‌ها، ماتریس تقویت‌شده سیستم را به شکل مرحله‌ای می‌آورد:

و سپس (مسیر معکوس روش گاوسی) این ماتریس گام به گونه ای تبدیل می شود که در اول nستون ها یک ماتریس هویت هستند:

.

آخر، ( n+ 1) ستون این ماتریس حاوی حل سیستم (13) است.

در Mathcad حرکت رو به جلو و عقب روش گاوسی توسط تابع انجام می شود مرجع(آ).

شکل 9 حل یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوسی نشان می دهد که از توابع زیر استفاده می کند:

rref( آ)

شکل مرحله ای ماتریس را برمی گرداند ولی.

تقویت کردن( آ, AT)

آرایه ای را که توسط مکان تشکیل شده است برمی گرداند آ و AT کنار هم آرایه ها آ و AT باید تعداد خطوط یکسانی داشته باشد.

زیر ماتریس( A، ir، jr، ic، jc)

یک ماتریس فرعی برگردانده می شود که از همه عناصر با irبر جونیورو ستون با مدار مجتمعبر jcمطمئن شوید که ir جونیورو

مدار مجتمع jc،در غیر این صورت ترتیب سطرها و/یا ستون ها برعکس خواهد شد.

شکل 9

شرح روش

برای سیستمی از n معادله خطی با n مجهول (در یک میدان دلخواه)

با تعیین ماتریس سیستم Δ متفاوت از صفر، راه حل به صورت نوشته می شود

(ستون i-ام ماتریس سیستم با ستونی از اصطلاحات آزاد جایگزین می شود).
در شکل دیگری، قانون کرامر به صورت زیر فرموله می شود: برای هر ضرایب c1، c2، ...، cn، برابری صادق است:

در این شکل، فرمول کرامر بدون این فرض که Δ با صفر متفاوت است معتبر است، حتی لازم نیست که ضرایب سیستم عناصر یک حلقه انتگرال باشد (تعیین کننده سیستم حتی می تواند یک مقسوم علیه صفر در حلقه باشد. ضرایب). همچنین می توانیم فرض کنیم که یا مجموعه های b1,b2,...,bn و x1,x2,...,xn یا مجموعه c1,c2,...,cn از عناصر حلقه ضریب تشکیل نشده باشند. سیستم، اما مقداری ماژول روی این حلقه. در این فرم از فرمول کرامر به عنوان مثال در اثبات فرمول دترمینان گرم و لم ناکایاما استفاده می شود.

35) قضیه کرونکر-کاپلی

برای اینکه سیستمی از m معادلات خطی ناهمگن در n مجهول سازگار باشد، اثبات ضرورت لازم و کافی است. اجازه دهید سیستم (1.13) سازگار باشد، یعنی چنین اعدادی وجود دارد ایکس 1 =α 1 , ایکس 2 =α 2 , …, x n \u003d α n،چی (1.15) از آخرین ستون ماتریس توسعه یافته، ستون اول آن ضرب در α 1، دوم - در α 2، ...، nامین - ضرب در α n، یعنی از آخرین ستون ماتریس (1.14) کم کنید. باید قسمت های سمت چپ تساوی ها را کم کرد (1.15). سپس ماتریس را بدست می آوریم که رتبه آنها در اثر دگرگونی های ابتدایی تغییر نمی کند و . اما بدیهی است و از این رو دلیل کفایی است. برای قطعیت، یک مینور غیر صفر از مرتبه r را در گوشه سمت چپ بالای ماتریس بگذارید و بگذارید: این بدان معناست که سطرهای باقی مانده از ماتریس را می توان به صورت ترکیب خطی ردیف های r اول به دست آورد، یعنی ردیف های m-r ماتریس را می توان به صورت مجموع ردیف های r اول ضرب در برخی اعداد نشان داد. اما پس از آن اولین r معادلات سیستم (1.13) مستقل هستند و بقیه پیامدهای آنهاست، یعنی حل سیستم اولین معادلات r به طور خودکار حل معادلات باقی مانده است. دو مورد ممکن است. 1. r=n. سپس سیستم متشکل از اولین معادلات r دارای همان تعداد معادلات و مجهولات و سازگار است و حل آن منحصر به فرد است. 2.r (1.16) مجهولات "رایگان". ایکس r +1، ایکس r+2، …، ایکس n را می توان هر مقداری داد. سپس مقادیر مربوطه ناشناخته می شوند ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس r سیستم (1.13) نیز در این مورد سازگار است، اما نامعین است. اظهار نظر. مینور غیر صفر مرتبه r، جایی که r ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس r نیز پایه نامیده می شوند، بقیه رایگان هستند. سیستم (1.16) کوتاه نامیده می شود. اگر مجهولات آزاد نشان داده شوند x r +1 =ج 1 , x r +2 =ج 2 , …, x n \u003d c n - r، سپس مجهولات اساسی به آنها بستگی خواهند داشت، یعنی حل سیستم m معادلات با n مجهول به شکل X = ( ایکس 1 (ج 1 , …, c n - r), ایکس 2 (ج 1 , …, c n - r), …, x r(ج 1 , …, c n - r), ج 1 , ج 2 , …, c n - r) T که نماد T به معنای جابجایی است. چنین راه حلی از سیستم کلی نامیده می شود.

36) us-e یقین، عدم قطعیت
سیستم مترمعادلات خطی با nناشناس(یا، سیستم خطی) در جبر خطی سیستمی از معادلات شکل است

اینجا ایکس 1 , ایکس 2 , …, x nمجهولاتی هستند که باید مشخص شوند. آ 11 , آ 12 , …, آمن- ضرایب سیستم - و ب 1 , ب 2 , … b m- اعضای آزاد - فرض می شود که شناخته شده باشند. شاخص های ضریب ( aij) سیستم ها اعداد معادله را نشان می دهند ( من) و ناشناخته ( j) که این ضریب به ترتیب در آن قرار دارد.

سیستم (1) نامیده می شود همگناگر تمام عبارات آزاد آن برابر با صفر باشد ( ب 1 = ب 2 = … = b m= 0)، در غیر این صورت - ناهمگون.

سیستم (1) نامیده می شود مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد، و ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد

یک سیستم مشترک به شکل (1) ممکن است یک یا چند راه حل داشته باشد.

راه حل ها ج 1 (1) , ج 2 (1) , …, c n(1) و ج 1 (2) , ج 2 (2) , …, c n(2) سیستم های مشترک از فرم (1) نامیده می شوند مختلفاگر حداقل یکی از برابری ها نقض شود:

ج 1 (1) = ج 1 (2) , ج 2 (1) = ج 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

یک سیستم مشترک به شکل (1) نامیده می شود مسلم - قطعیاگر راه حل منحصر به فردی دارد؛ اگر حداقل دو راه حل متفاوت داشته باشد، نامیده می شود نا معلوم

37) حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس

اجازه دهید سیستم اصلی به این شکل باشد

ماتریس آماتریس اصلی سیستم نامیده می شود، ب- ستونی از اعضای رایگان

سپس با توجه به خاصیت تبدیل‌های ابتدایی روی ردیف‌ها، ماتریس اصلی این سیستم را می‌توان به شکل پلکانی کاهش داد (همان تبدیل‌ها باید در ستون اعضای آزاد اعمال شود):

سپس متغیرها فراخوانی می شوند متغیرهای اصلی. همه بقیه نامیده می شوند رایگان.

[ویرایش] شرط سازگاری

شرط فوق برای همه می تواند به عنوان شرط لازم و کافی برای سازگاری فرموله شود:

به یاد بیاورید که رتبه یک سیستم مشترک، رتبه ماتریس اصلی آن (یا توسعه یافته، زیرا آنها برابر هستند) است.

الگوریتم

شرح

الگوریتم حل SLAE به روش گاوسی به دو مرحله تقسیم می شود.

§ در مرحله اول به اصطلاح حرکت مستقیم زمانی انجام می شود که با دگرگونی های ابتدایی روی ردیف ها، سیستم به صورت پلکانی یا مثلثی در می آید یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر انتخاب می شود، با جابجایی ردیف ها به بالاترین موقعیت منتقل می شود و اولین ردیفی که پس از جایگشت به دست می آید، از ردیف های باقی مانده کم می شود و آن را ضرب می کنیم. با مقداری برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند. پس از انجام تبدیل‌های مشخص‌شده، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در برخی از تکرارها در بین عناصر ستون اول یک غیر صفر یافت نشد، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

§ در مرحله دوم، حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان همه متغیرهای اساسی به دست آمده بر حسب متغیرهای غیر اساسی و ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها است، یا اگر همه متغیرها پایه باشند. ، سپس تنها جواب سیستم معادلات خطی را به صورت عددی بیان کنید. این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر اصلی مربوطه بیان می شود (و فقط یکی وجود دارد) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب "پله ها" بالا می رود. هر خط دقیقاً با یک متغیر اساسی مطابقت دارد، بنابراین در هر مرحله، به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد آخرین خط را تکرار می کند.

روش گاوس نیاز به نظم دارد O(n 3) اقدامات

این روش متکی بر:

38)قضیه کرونکر-کاپلی.
یک سیستم اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس اصلی آن با رتبه ماتریس توسعه یافته آن برابر باشد.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید !!!

برای اینکه بفهمیم چیست سیستم تصمیم گیری اساسیبا کلیک کردن بر روی آن می توانید آموزش تصویری مشابه را مشاهده کنید. حالا بیایید به شرح تمام کارهای لازم بپردازیم. این به شما کمک می کند تا ماهیت این موضوع را با جزئیات بیشتری درک کنید.

چگونه می توان سیستم اساسی حل یک معادله خطی را پیدا کرد؟

برای مثال سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید:

بیایید برای این سیستم خطی معادلات راه حلی پیدا کنیم. برای شروع، ما ماتریس ضرایب سیستم را بنویسید.

بیایید این ماتریس را به یک مثلث تبدیل کنیم.سطر اول را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(11)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر در جای عنصر $a_(21)$، باید عدد اول را از خط دوم کم کنید و تفاوت را در خط دوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر در جای عنصر $a_(31)$، باید عدد اول را از ردیف سوم کم کنید و تفاوت را در ردیف سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(41)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، اولین ضرب در 2 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

سطر اول و دوم را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(22)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر در جای عنصر $a_(32)$ باید عدد دوم ضرب در 2 را از ردیف سوم کم کرد و تفاوت را در ردیف سوم نوشت. برای ایجاد یک صفر در جای عنصر $a_(42)$ باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط چهارم کم کرد و تفاوت را در خط چهارم نوشت. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(52)$، دوم ضرب در 3 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

ما آن را می بینیم سه خط آخر یکسان است، بنابراین اگر سومی را از چهارم و پنجم کم کنید، آنها صفر می شوند.

برای این ماتریس یک سیستم معادلات جدید بنویسید.

می بینیم که ما فقط سه معادله خطی مستقل و پنج مجهول داریم، بنابراین سیستم اساسی راه حل ها از دو بردار تشکیل شده است. پس ما دو مجهول آخر را به سمت راست منتقل کنید.

اکنون، شروع به بیان مجهولاتی می کنیم که در سمت چپ هستند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند. از آخرین معادله شروع می کنیم، ابتدا $x_3$ را بیان می کنیم، سپس نتیجه به دست آمده را جایگزین معادله دوم می کنیم و $x_2$ را بیان می کنیم و سپس در معادله اول و در اینجا $x_1$ را بیان می کنیم. بنابراین، ما تمام مجهولاتی را که در سمت چپ هستند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند بیان کردیم.

پس از آن، به جای $x_4$ و $x_5$، می توانید هر عددی را جایگزین کنید و $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنید. هر کدام از این پنج عدد، ریشه های سیستم معادلات اصلی ما خواهند بود. برای پیدا کردن بردارهایی که در FSRباید 1 را به جای $x_4$، و 0 را به جای $x_5$ جایگزین کنیم، $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم، و سپس برعکس $x_4=0$ و $x_5=1$.