دنباله یک مجموعه عددی بسیار مرتب است که بر اساس یک قانون مشخص تشکیل شده است. اصطلاح "سری" نتیجه اضافه کردن شرایط دنباله مربوطه را نشان می دهد. برای دنباله‌های عددی مختلف، می‌توانیم مجموع همه اعضای آن یا تعداد کل عناصر را تا یک حد معین پیدا کنیم.

دنباله

این اصطلاح به مجموعه معینی از عناصر فضای اعداد اشاره دارد. به هر شیء ریاضی فرمول خاصی برای تعیین عنصر مشترک دنباله داده می شود و برای اکثر مجموعه های عددی متناهی فرمول های ساده ای برای تعیین مجموع آنها وجود دارد. برنامه ما مجموعه ای از 8 ماشین حساب آنلاین است که برای محاسبه مجموع محبوب ترین مجموعه های عددی طراحی شده است. بیایید با ساده ترین شروع کنیم - سری طبیعی که در زندگی روزمره برای شمارش اشیاء استفاده می کنیم.

دنباله طبیعی

وقتی دانش‌آموزان اعداد را یاد می‌گیرند، اولین چیزی که یاد می‌گیرند این است که اشیا را بشمارند، مانند سیب. اعداد طبیعی به طور طبیعی هنگام شمارش اشیا به وجود می آیند و هر کودکی می داند که 2 سیب همیشه 2 سیب است، نه بیشتر و نه کمتر. سری طبیعی با قانون ساده ای به نظر می رسد که شبیه n است. این فرمول می گوید که nامین عضو مجموعه اعداد برابر با n است: اولی 1، دومی 2، چهارصد و پنجاه و یکم 451 و غیره است. نتیجه جمع کردن n عدد طبیعی اول، یعنی از 1 شروع می شود، با یک فرمول ساده مشخص می شود:

∑ = 0.5n × (n+1).

محاسبه مجموع سری طبیعی

برای محاسبات، باید فرمول سری طبیعی n را در منوی ماشین حساب انتخاب کنید و تعداد عبارت ها را در دنباله وارد کنید. بیایید مجموع سری های طبیعی را از 1 تا 15 محاسبه کنیم. با مشخص کردن n = 15، نتیجه را به شکل خود دنباله خواهید گرفت:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

و مجموع سری طبیعی برابر با 120 است.

بررسی صحت محاسبات با استفاده از فرمول فوق آسان است. برای مثال ما، نتیجه جمع 0.5 × 15 × 16 = 0.5 × 240 = 120 خواهد بود. درست است.

دنباله مربع ها

یک دنباله درجه دوم از یک دنباله طبیعی با مربع کردن هر جمله تشکیل می شود. تعدادی مربع طبق قانون n 2 تشکیل می شود ، بنابراین ، n-امین عضو دنباله برابر با n 2 خواهد بود: اول - 1 ، دوم - 2 2 \u003d 4 ، سوم - 3 2 \ u003d 9 و غیره. نتیجه جمع n عنصر اولیه دنباله درجه دوم طبق قانون محاسبه می شود:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

با این فرمول به راحتی می توانید مجموع مربع های 1 تا n را برای n دلخواه بزرگ محاسبه کنید. بدیهی است که این دنباله نیز نامتناهی است و با افزایش n مقدار کل مجموعه عددی نیز افزایش می یابد.

محاسبه مجموع یک سری مربع

در این حالت، باید قانون دنباله مربع n 2 را در منوی برنامه انتخاب کنید و سپس مقدار n را انتخاب کنید. بیایید مجموع ده جمله اول دنباله را محاسبه کنیم (10=n). برنامه خود دنباله را می دهد:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

و همچنین مبلغی معادل 385.

سری مکعبی

یک ردیف از مکعب ها دنباله ای از اعداد طبیعی مکعب شده است. قانون تشکیل یک عنصر مشترک دنباله به صورت n 3 نوشته می شود. بنابراین، اولین عضو سری 1 = 1 3، دومین عضو 2 3 = 8، سومین عضو 3 3 = 27 و غیره است. مجموع n عنصر اول سری مکعب با فرمول تعیین می شود:

∑ = (0.5n × (n+1)) 2

مانند موارد قبلی، عناصر فضای اعداد به بی نهایت تمایل دارند و هر چه تعداد عبارت ها بیشتر باشد، نتیجه جمع بیشتر می شود.

محاسبه مجموع سری مکعب

برای شروع، قانون سری مکعبی n 3 را در منوی ماشین حساب انتخاب کنید و هر مقدار را n تنظیم کنید. بیایید مجموع یک سری از 13 جمله را تعیین کنیم. ماشین حساب نتیجه را در قالب یک دنباله به ما می دهد:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

و مجموع سری مربوط به آن برابر با 8281 است.

دنباله اعداد فرد

مجموعه اعداد طبیعی شامل زیرمجموعه ای از عناصر فرد است، یعنی عناصری که بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر نیستند. دنباله اعداد فرد با عبارت 2n - 1 تعیین می شود. طبق قانون، جمله اول دنباله برابر با 2 × 1 - 1 = 1، دوم - 2 × 2 - 1 = 3، سومین جمله خواهد بود. - 2 × 3 - 1 = 5 و غیره. مجموع n عنصر اولیه یک ردیف فرد با استفاده از یک فرمول ساده محاسبه می شود:

یک مثال را در نظر بگیرید.

محاسبه مجموع اعداد فرد

ابتدا قانون تشکیل سری فرد 2n−1 را در منوی برنامه انتخاب کنید، سپس n را وارد کنید. بیایید 12 جمله اول سری فرد و مجموع آن را دریابیم. ماشین حساب فوراً نتیجه را به صورت مجموعه ای از اعداد نشان می دهد:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

و همچنین مجموع سری فرد، که 144 است. و در واقع، 12 2 = 144. درست است.

اعداد مستطیلی

اعداد مستطیلی متعلق به کلاس اعداد فرفری هستند که دسته ای از عناصر عددی مورد نیاز برای ساخت اشکال و اجسام هندسی هستند. به عنوان مثال، برای ساختن یک مثلث به 3، 6 یا 10 نقطه، یک مربع - 4، 9 یا 16 نقطه، و برای قرار دادن یک چهار وجهی به 4، 10 یا 20 توپ یا مکعب نیاز دارید. ساخت مستطیل با استفاده از دو عدد متوالی آسان است، به عنوان مثال، 1 و 2، 7 و 8، 56 و 57. اعداد مستطیلی به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی بیان می شوند. فرمول عبارت رایج سری شبیه n × (n+1) است. ده عنصر اول چنین مجموعه عددی به نظر می رسد:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

با افزایش n، مقدار اعداد مستطیلی نیز افزایش می یابد، بنابراین، مجموع چنین سری نیز افزایش می یابد.

دنباله معکوس

برای اعداد مستطیلی، یک دنباله معکوس با فرمول 1 / (n × (n+1) تعریف شده است. مجموعه اعداد به مجموعه ای از کسرها تبدیل می شود و به شکل زیر است:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

مجموع یک سری کسر با فرمول تعیین می شود:

∑ = 1 - 1/(n+1).

بدیهی است که با افزایش تعداد عناصر در سری، مقدار کسری 1/(n + 1) به صفر میل می کند و نتیجه جمع به یک نزدیک می شود. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مجموع یک سری مستطیل شکل و معکوس آن

بیایید مقدار یک دنباله مستطیلی را برای n = 20 محاسبه کنیم. برای این کار، قانون تعیین عضو مشترک مجموعه عددی n × (n + 1) را در منوی ماشین حساب آنلاین انتخاب کنید و n را مشخص کنید. برنامه نتیجه آنی را 3080 برمی گرداند. برای محاسبه سری معکوس، قانون را به 1 / (n × (n+1) تغییر دهید). مجموع عناصر عددی متقابل برابر با 0.952 خواهد بود.

سری محصولات سه عدد متوالی

یک مجموعه اعداد مستطیلی را می توان با افزودن ضریب متوالی دیگری به آن تغییر داد. بنابراین فرمول محاسبه n امین عضو مجموعه به n × (n+1) × (n+2) تبدیل می شود. طبق این فرمول، عناصر یک سری به صورت حاصل ضرب سه عدد متوالی، به عنوان مثال، 1 × 2 × 3 یا 10 × 11 × 12 تشکیل می شوند. ده عنصر اول چنین سری به نظر می رسد:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

این یک مجموعه عددی به سرعت در حال رشد است و مجموع سری های مربوطه با بزرگ شدن n به بی نهایت می رسد.

دنباله معکوس

مانند مورد قبلی، می‌توانیم فرمول nامین جمله را معکوس کنیم و عبارت 1 / (n × (n+1) × (n+2) را بدست آوریم. سپس مجموعه مقادیر صحیح به یک سری کسری تبدیل می شود که مخرج آن حاصل ضرب سه عدد متوالی خواهد بود. ابتدای چنین مجموعه ای به نظر می رسد:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

مجموع سری مربوطه با فرمول تعیین می شود:

∑ = 0.5 × (0.5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

بدیهی است که با افزایش تعداد عناصر، کسر 1 / ((n + 1) × (n + 2)) به سمت صفر میل می کند و مجموع سری به مقدار 0.5 × 0.5 = 0.25 نزدیک می شود. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

یک سری حاصل از سه عدد متوالی و معکوس آن

برای کار با این مجموعه، باید قانون تعیین عنصر مشترک n × (n + 1) × (n + 2) را انتخاب کنید و n را مثلاً 100 تنظیم کنید. ماشین حساب خود دنباله را نیز به شما می دهد. به عنوان مقدار حاصل از جمع صدها عدد، برابر با 26 527 650. اگر قانون معکوس 1 / (n × (n + 1) × (n + 2) را انتخاب کنیم، مجموع یک سری 100 عبارت برابر 0.250 خواهد بود.

نتیجه

مفاهیم و تعاریف اساسی

بگذارید یک دنباله اعداد نامتناهی داده شود:

, … (1.1)

سال گذشته ما یک دنباله اعداد را به عنوان تابعی از یک استدلال طبیعی تعریف کردیم. این بدان معناست که هر عضو دنباله تابعی از عدد آن است پ: . در آنچه در ادامه می آید، گاه به بررسی خواهیم پرداخت پبرابر با صفر است، بنابراین دنباله عددی به عنوان یک تابع تعریف می شود عدد صحیحاستدلال (از کلمات "عدد صحیح").

تعریف 1.اصطلاح

(1.2)

تماس گرفت خط اعداد بی پایانیا به طور خلاصه در كنار. اعضای دنباله ،… نامیده می شوند اعضای یک شماره; بیان با نمایه پ- عضو مشترک سریال.

به راحتی می توان یک دنباله را از یک سری تشخیص داد: اعضای دنباله با کاما از هم جدا شده اند، اعضای سری با علائم مثبت به هم متصل می شوند.

بنابراین، مفهوم یک سری، تعمیم جمع به مورد تعداد نامتناهی از عبارت است.

یک سری داده شده در نظر گرفته می شود که فرمول عبارت رایج آن شناخته شده باشد (داده شده). جمله مشترک سری (1.2) با جمله مشترک دنباله (1.1) منطبق است و همچنین تابعی از آرگومان عدد صحیح است. n، یعنی . به عنوان مثال، اگر یک اصطلاح رایج به عنوان داده شود

, (1.3)

سپس، قرار دادن در این فرمول n= 1، 2، 3،...، می توان هر عضوی از سری و در نتیجه کل سری را پیدا کرد:

- اعضای سکانس یا اعضای سریال،

(1.4)

ردیف شماره

تعریف.مجموع nاولین اعضای این مجموعه نامیده می شود n-اوه مجموع جزئی یک سریو با علامت نشان داده می شود:

می توان اینگونه نوشت: .

به خصوص،

از مجموع جزئی سری (1.2) یک دنباله عددی می سازیم:

(1.7)

نامیده می شود دنباله ای از مجموع جزئیمانند هر دنباله اعدادی، می تواند یک محدودیت داشته باشد، به عنوان مثال. همگرا هستند یا محدودیتی ندارند، یعنی. واگرا شدن حد یک دنباله از مجموع جزئی، اگر وجود داشته باشد، با حرف مشخص می شود اس.

تعریف.ردیف نامیده می شود همگرا(ردیف همگرا می شود) اگر دنباله مجموع جزئی این سری همگرا شود. در عین حال، حد اسدنباله ای از مجموع جزئی نامیده می شود جمع این سریال، یعنی

. (1.8)

برای یک سری همگرا با مجموع اس،می توانیم به طور رسمی برابری را بنویسیم:

سری که مجموع (1.8) نداشته باشد نامیده می شود واگرا. به ویژه، اگر ، سپس می گوییم که سریال به واگرا می شود و در این مورد از برابری نمادین استفاده می کنیم

.

اظهار نظر.از برابری (1.6) نتیجه می شود که هر عضوی از سری را می توان به عنوان تفاوت بین مجموع جزئی و :

. (1.10)

اجازه دهید دنباله مجموع جزئی را به صورت هندسی نشان دهیم. در شکل 1.1، a و b، سری همگرا می شود، در شکل 1.1، c واگرا می شود.

شکل 1.1

تبصره 3.گاهی اوقات تعداد یک عضو سری از صفر شروع می شود: .

نمونه هایی از سری اعداد محاسبه مجموع یک سری

مثال 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

اینجا , .

این سری Þ 1 + 1 + 1 + واگرا می شود. . . + 1 + . . .=+¥.

مثال 2º .

طبق معمول، تناوب علائم + و - با استفاده از درجه (-1) مشخص می شود. در اینجا دنباله مجموع جزئی به شکل زیر است:

آن ها مقدار مجموع جزئی به برابری عدد بستگی دارد پ:

بنابراین، مجموع جزئی زوج و فرد به دو حد متفاوت تمایل دارند:

زوج به صفر، فرد به یک:

شکل 1.2

بنابراین، دنباله محدودیتی ندارد و سری داده شده واگرا می شود.

مثال 3º .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

این یک پیشرفت حسابی با تفاوت است. به یاد بیاورید که نام "حساب" از این واقعیت ناشی می شود که هر عبارت از این پیشرفت، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابیاعضای همسایه:

.

در این پیشرفت و دنباله مجموع جزئی به شکل زیر است:

مثال 6º.

.

خروجی در زیر داده خواهد شد. در اینجا، مخرج فقط اعداد فرد است.

مثال 7 درجه.

. خروجی در زیر داده خواهد شد.

مثال 8 درجه.

خروجی در زیر داده خواهد شد. مجموع سری برابر با عدد است ه- پایه لگاریتم طبیعی.

محاسبه مجموع یک سری همیشه آسان نیست و حتی همیشه ممکن نیست. بنابراین، در تئوری سری، اغلب یک مسئله ساده‌تر حل می‌شود - یافتن اینکه آیا سری همگرا است یا واگرا. نامیده می شود مطالعه همگرایی سری.

آژانس فدرال برای آموزش

موسسه آموزشی دولتی

آموزش عالی حرفه ای

"MATI" - دانشگاه فنی دولتی روسیه IM. K.E. تسیولکوفسکی

گروه مدلسازی سیستم ها و فناوری اطلاعات

سری شماره

دستورالعمل های روشی برای تمرین های عملی

در رشته "ریاضیات عالی"

کامپایلرها: اگورووا یو.بی.

مامونوف I.M.

کورنینکو L.I.

مقدمه مسکو 2005

دستورالعمل های روش شناسی برای دانشجویان گروه روزانه و عصر دانشکده شماره 14 تخصص ها 071000 130200 220200 در نظر گرفته شده است.

1. مفاهیم اساسی

اجازه دهید تو 1 , تو 2 , تو 3 , …, تو n, …  یک دنباله عددی بی نهایت. اصطلاح
تماس گرفت خط اعداد بی پایان، شماره تو 1 , تو 2 , تو 3 , …, تو n- اعضای سریال؛
اصطلاح رایج سری نامیده می شود. یک سری اغلب به صورت خلاصه شده (تاشده) نوشته می شود:

مجموع اولی nاعضای سری اعداد با نشان داده می شوند و تماس بگیرید n -امین مجموع جزئی سری:

ردیف نامیده می شود همگرااگر این n-ام جمع جزئی با افزایش نامحدود nبه حد نهایی میل می کند، یعنی. اگر
عدد تماس گرفت مجموع سریال.

اگر n-امین مجموع جزئی سری در
به یک حد محدود تمایل ندارد، سپس سری فراخوانی می شود واگرا.

مثال 1مجموع یک سری را پیدا کنید
.

راه حل.ما داریم
. زیرا:

,

در نتیجه،

زیرا
، سپس سری همگرا می شود و مجموع آن برابر است
.

2. قضایای اساسی در مورد سری اعداد

قضیه 1.اگر سری همگرا شود
سپس سری همگرا می شوند از سری داده شده با دور انداختن سری اول به دست می آید
اعضا (این ردیف آخر نامیده می شود
-m باقی مانده از سری اصلی). برعکس، از همگرایی
باقی مانده از سری، همگرایی این سری را نشان می دهد.

قضیه 2.اگر سری همگرا شود
و مجموع آن عدد است ، سپس سری همگرا می شوند
که در آن مجموع ردیف آخر برابر است با
.

قضیه 3.اگر ردیف ها همگرا شوند

با داشتن مجموع S و Q به ترتیب، سپس سری همگرا می شوند و مجموع آخرین سری برابر است با
.

قضیه 4 (معیار لازم برای همگرایی یک سری). اگر ردیف
پس همگرا می شود
، یعنی در
حد جمله مشترک سری همگرا برابر با صفر است.

نتیجه 1.اگر یک
، سپس سریال از هم جدا می شود.

نتیجه 2.اگر یک
، پس نمی توان همگرایی یا واگرایی سری را با استفاده از معیار لازم برای همگرایی تعیین کرد. یک سری می تواند همگرا یا واگرا باشد.

مثال 2بررسی همگرایی سری:

راه حل.پیدا کردن یک اصطلاح مشترک از سری
. زیرا:

آن ها
، سپس سری واگرا می شود (شرط همگرایی لازم برآورده نمی شود).

3. معیارهای همگرایی سری با اصطلاحات مثبت

3.1. نشانه های مقایسه

معیارهای مقایسه مبتنی بر مقایسه همگرایی یک سری معین با سری هایی است که همگرایی یا واگرایی آن مشخص است. از ردیف های زیر برای مقایسه استفاده می شود.

ردیف
متشکل از عبارات هر پیشروی هندسی نزولی، همگرا و دارای مجموع

ردیف
متشکل از شرایط یک پیشرفت هندسی فزاینده، واگرا است.

ردیف
واگرا است.

ردیف
سری دیریکله نام دارد. برای >1، سری دیریکله همگرا می شود، برای <1- расходится.

با =1 ردیف
هارمونیک نامیده می شود. سری هارمونیک واگرا می شود.

قضیه. اولین نشانه مقایسهبگذارید دو سری با عبارت مثبت داده شود:

(2)

علاوه بر این، هر جمله سری (1) از عبارت مربوطه سری (2) تجاوز نمی کند، یعنی.
(n= 1، 2، 3، ...). سپس اگر سری (2) همگرا شود، سری (1) نیز همگرا می شود. اگر سری (1) واگرا شود، سری (2) نیز واگرا می شود.

اظهار نظر.این معیار در صورت نابرابری معتبر باقی می ماند
برای همه اجرا نمی شود ، اما فقط از یک عدد شروع می شود n= ن، یعنی برای همه n ن.

مثال 3بررسی همگرایی یک سری

راه حل.اعضای یک سری معین کوچکتر از اعضای متناظر مجموعه هستند
متشکل از اعضای یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش. از آنجایی که این سری همگرا می شود، سری داده شده نیز همگرا می شود.

قضیه. علامت دوم مقایسه (شکل محدود کننده علامت مقایسه).اگر حد غیر صفر محدودی وجود داشته باشد
، سپس هر دو ردیف و به طور همزمان همگرا یا واگرا شوند.

مثال 4بررسی همگرایی یک سری

راه حل.سری را با سری هارمونیک مقایسه کنید
حد نسبت اعضای مشترک سری را پیدا کنید:

از آنجایی که سری هارمونیک واگرا می شود، سری داده شده نیز واگرا می شود.

اجازه دهید دنباله ای از اعداد R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… داده شود. عبارت R 1 + R 2 + R 3 +… + R n +… نامیده می شود بی پایان نزدیک، یا به سادگی در كنارو اعداد R 1 , R 2 , R 3 ,… - اعضای یک شماره. در عین حال منظورشان این است که جمع شدن مجموع سریال از اعضای اول آن شروع می شود. مجموع S n = نامیده می شود جمع جزئی ردیف: برای n=1 - مجموع جزئی اول، برای n=2 - مجموع جزئی دوم و غیره.

تماس گرفت سری همگرا، اگر دنباله جزئی آن باشد مبالغ محدودیت دارد و واگرا- در غیر این صورت. مفهوم مجموع یک سری را می توان گسترش داد و سپس برخی از سری های واگرا نیز دارای مجموع خواهند بود. دقیقا تمدید شده فهم مقادیر ردیفدر توسعه الگوریتم ها با بیان مسئله زیر استفاده می شود: انباشت مجموع باید تا زمانی انجام شود که جمله بعدی سری از نظر مقدار مطلق از مقدار داده شده ε بیشتر باشد.

در حالت کلی، بسته به تعداد اعضای سری و متغیرها، می توان تمام یا بخشی از اعضای سری را با عباراتی ارائه کرد. مثلا،

سپس این سوال مطرح می شود که چگونه می توان مقدار محاسبات را به حداقل رساند - برای محاسبه مقدار عضو بعدی سری توسط فرمول کلی یکی از اعضای سری(در مثال داده شده، با یک عبارت زیر علامت جمع نشان داده می شود)، با یک فرمول بازگشتی (اشتقاق آن در زیر ارائه شده است)، یا از فرمول های بازگشتی فقط برای بخش هایی از عبارت یک عضو سری استفاده کنید (به زیر مراجعه کنید).

اشتقاق فرمول بازگشتی برای محاسبه ترم یک سری

بگذارید یک سری از اعداد R 1 , R 2 , R 3 ,… پیدا کنید و آنها را به ترتیب طبق فرمول ها محاسبه کنید.

,
, …,

برای کوتاه کردن محاسبات در این مورد، استفاده از آن راحت است عود کننده فرمولنوع
، با دانستن مقدار عضو قبلی سری R N-1 ، امکان محاسبه مقدار R N برای N>1 را فراهم می کند.
- عبارتی که پس از ساده کردن رابطه عبارت در فرمول (3.1) برای N به عبارت N-1 بدست می آید:

بنابراین، فرمول بازگشتی شکل خواهد گرفت
.

مقایسه فرمول کلی برای عبارت سری (3.1) و بازگشتی (3.2) نشان می دهد که فرمول بازگشتی محاسبات را بسیار ساده می کند. بیایید آن را برای N=2، 3 و 4 اعمال کنیم که بدانیم
:

روش های محاسبه مقدار یک عضو از یک سری

برای محاسبه مقدار یک عضو سری، بسته به نوع آن، ممکن است ترجیح داده شود از فرمول کلی یک عضو سری یا فرمول بازگشتی استفاده شود. روش ترکیبی برای محاسبه مقدار یک عضو از یک سری، زمانی که فرمول های تکرار شونده برای یک یا چند قسمت از یک عضو سری استفاده می شود و سپس مقادیر آنها به فرمول کلی یک عضو سری جایگزین می شود. به عنوان مثال، - برای یک سری، محاسبه مقدار یک عضو سری آسان تر است
طبق فرمول کلی آن
(مقایسه با
- فرمول مکرر)؛ - برای یک ردیف
بهتر است از فرمول بازگشتی استفاده کنید
; - برای یک سری، یک روش ترکیبی باید اعمال شود، با محاسبه A N \u003d X 3N با استفاده از فرمول بازگشتی
, N=2, 3,… با A 1 =1 و B N =N! - همچنین با فرمول بازگشتی
، N=2، 3،… در B 1 =1، و سپس - عضوی از سری
- طبق فرمول کلی که شکل خواهد گرفت
.

مثال 3.2.1 اجرای وظیفه

با دقت ε برای 0 o  X  45 o محاسبه کنید

با استفاده از یک فرمول بازگشتی برای محاسبه یک جمله یک سری:

,

مقدار دقیق تابع cos X،

خطاهای مطلق و نسبی مقدار تقریبی.

برنامه پروژه 1;

($APPTYPE CONSOLE)

K=Pi/180; //عامل تبدیل از درجه به رادیان

Eps: Extended=1E-8;

X: Extended=15;

R, S, Y, D: Extended;

($IFNDEF DBG) //بیانات برای اشکال زدایی استفاده نمی شود

Write("دقت لازم را وارد کنید:");

Write("مقدار زاویه را بر حسب درجه وارد کنید:");

D:=Sqr(K*X); // X را به رادیان و مربع تبدیل کنید

//مقادیر اولیه را برای متغیرها تنظیم کنید

//حلقه برای محاسبه اعضای سری و جمع آوری مجموع آنها.

// در حالی اجرا کنید که مدول عضو بعدی سری از Eps بیشتر باشد.

در حالی که Abs(R)>Eps انجام می دهد

اگر N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//خروجی نتایج محاسبات:

WriteLn(N:14," = تعداد مراحل انجام شده،"

"دقت مشخص شده")؛

WriteLn(S:14:11" = مقدار تابع تقریبی");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = مقدار دقیق تابع");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = خطای مطلق");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11،

"= خطای نسبی");

مجموع یک سری اعداد را پیدا کنید. اگر امکان یافتن آن وجود نداشته باشد، سیستم مجموع سری ها را با دقت خاصی محاسبه می کند.

همگرایی سری

این ماشین حساب می تواند تعیین کند که آیا یک سری همگرا هستند یا خیر، و همچنین نشان می دهد که کدام نشانه های همگرایی کار می کنند و کدام نه.

او همچنین می داند که چگونه همگرایی سری های قدرت را تعیین کند.

یک نمودار سری نیز ساخته شده است که در آن می توانید میزان همگرایی سری (یا واگرایی) را مشاهده کنید.

قوانین برای وارد کردن عبارات و توابع

عبارات می توانند شامل توابع باشند (نمادها به ترتیب حروف الفبا آورده شده اند): مطلق (x)قدر مطلق ایکس
(مدول ایکسیا |x|) آرکوس (x)تابع - کسینوس قوس ایکس آرکوش (x)کمان کسینوس هذلولی از ایکس آرکسین (x)آرکسین از ایکس arcsinh (x)آرکسین هذلولی از ایکس arctg(x)تابع - مماس قوس از ایکس arctgh(x)مماس قوس هذلولی از ایکس ه هعددی که تقریباً برابر با 2.7 است exp(x)تابع - توان از ایکس(که هست ه^ایکس) ورود به سیستم (x)یا ورود به سیستم (x)لگاریتم طبیعی از ایکس
(بدست آوردن log7(x)، باید log(x)/log(7) را وارد کنید (یا مثلا for log10 (x)=log(x)/log(10)) پیعدد "Pi" است که تقریباً برابر با 3.14 است گناه (x)تابع - سینوس ایکس cos(x)تابع - کسینوس از ایکس sinh (x)تابع - سینوس هایپربولیک ایکس پول نقد (x)تابع - کسینوس هیپربولیک از ایکس sqrt(x)تابع جذر است ایکس sqr(x)یا x^2تابع - مربع ایکس tg(x)تابع - مماس از ایکس tgh(x)تابع - مماس هیپربولیک از ایکس cbrt(x)تابع ریشه مکعب است ایکس طبقه (x)عملکرد - گرد کردن ایکسپایین (کف مثال (4.5)==4.0) علامت (x)تابع - علامت ایکس erf(x)تابع خطا (لاپلاس یا انتگرال احتمال)

می توانید از عملیات زیر در عبارات استفاده کنید: اعداد واقعیدر فرم وارد کنید 7.5 ، نه 7,5 2*x- ضرب 3/x- تقسیم x^3- توانمندی x + 7- اضافه شدن x - 6- منها کردن