Centripetalno ubrzanje vozila tijekom vožnje. Centripetalno ubrzanje pri kretanju u krug: pojam i formule

U proučavanju gibanja u fizici, pojam putanje igra važnu ulogu. Ona je ta koja uvelike određuje vrstu kretanja objekata i, kao posljedicu, vrstu formula kojima se to kretanje opisuje. Jedna od najčešćih putanja je kružnica. U ovom članku razmotrit ćemo što je centripetalno ubrzanje pri kretanju u krug.

Razumijevanje punog ubrzanja

Prije karakterizacije centripetalne akceleracije pri kretanju po kružnici, razmotrimo koncept punog ubrzanja. Vjeruje se pod njom fizička veličina, koji istovremeno opisuje promjenu vrijednosti apsolutne i vektora brzine. U matematičkom smislu, ova definicija izgleda ovako:

Ubrzanje je derivacija brzine u punom vremenu.

Kao što je poznato, brzina v¯ tijela u svakoj točki putanje usmjerena je tangencijalno. Ova činjenica nam omogućuje da ga predstavimo kao umnožak modula v i jediničnog tangentnog vektora u¯, odnosno:

Tada se ukupno ubrzanje može izračunati na sljedeći način:

a¯ = d (v * u¯) / dt = dv / dt * u¯ + v * du¯ / dt

Količina a¯ je vektorski zbroj dvaju članova. Prvi član je tangencijalan (kao brzina tijela) i naziva se tangencijalno ubrzanje. Određuje brzinu promjene modula brzine. Drugi mandat je normalno ubrzanje... Razmotrimo to detaljnije kasnije u članku.

Gore dobiven izraz za normalnu komponentu ubrzanja an¯ može se eksplicitno napisati:

an¯ = v * du¯ / dt = v * du¯ / dl * dl / dt = v2 / r * re¯

Ovdje je dl put koji tijelo prijeđe duž putanje u vremenu dt, re¯ je jedinični vektor usmjeren na središte zakrivljenosti putanje, r je polumjer ove zakrivljenosti. Rezultirajuća formula dovodi do nekoliko važnih značajki an¯ komponente ukupnog ubrzanja:

• Količina an¯ raste kao kvadrat brzine i smanjuje se obrnuto proporcionalno polumjeru, što je razlikuje od tangencijalne komponente. Potonje nije jednako nuli samo ako se mijenja modul brzine.
• Normalno ubrzanje je uvijek usmjereno prema središtu zakrivljenosti, zbog čega se naziva centripetalno.

Dakle, glavni uvjet za postojanje nenulte veličine an¯ je zakrivljenost putanje. Ako takva zakrivljenost ne postoji (pravolinijski pomak), tada je an¯ = 0, budući da je r-> ∞.

Centripetalno ubrzanje pri kretanju u krug

Krug je geometrijska linija čije su sve točke na istoj udaljenosti od neke točke. Potonje se zove središte kružnice, a spomenuta udaljenost je njegov polumjer. Ako se brzina tijela tijekom rotacije ne mijenja u apsolutnoj vrijednosti, onda se govori o jednako promjenjivom gibanju po kružnici. U ovom slučaju, centripetalno ubrzanje može se lako izračunati pomoću jedne od dvije formule u nastavku:

Gdje je ω kutna brzina, mjerena u radijanima po sekundi (rad/s). Druga je jednakost dobivena zahvaljujući formuli za odnos između kutne i linearne brzine:

Sile centripetalne i centrifugalne

Na ujednačeno kretanje tijelo oko opsega centripetalne akceleracije nastaje djelovanjem odgovarajuće centripetalne sile. Njegov je vektor uvijek usmjeren prema središtu kružnice.

Priroda ove sile može biti vrlo raznolika. Na primjer, kada osoba odvrne kamen vezan za uže, tada ga na svojoj putanji drži sila napetosti užeta. Drugi primjer djelovanja centripetalne sile je gravitacijska interakcija između Sunca i planeta. To je ono što čini da se svi planeti i asteroidi kreću u kružnim orbitama. Centripetalna sila ne može promijeniti kinetičku energiju tijela, budući da je usmjerena okomito na njegovu brzinu.

Svatko bi mogao obratiti pažnju na to da kada automobil skreće, na primjer, ulijevo, putnici su pritisnuti uz desni rub unutrašnjosti vozila. Ovaj proces je rezultat centrifugalne sile rotacijskog kretanja. Zapravo, ova sila nije stvarna, budući da je posljedica inercijskih svojstava tijela i njegove tendencije da se kreće ravnom putanjom.

Centrifugalna i centripetalna sila jednake su po veličini i suprotne po smjeru. Da to nije slučaj, tada bi bila narušena kružna putanja tijela. Ako uzmemo u obzir drugi Newtonov zakon, onda se može tvrditi da je tijekom rotacijskog gibanja centrifugalna akceleracija jednaka centripetalnoj.

Aslamazov L.G. Gibanje u krug // Kvant. - 1972. - br. 9. - S. 51-57.

Po posebnom dogovoru s uredništvom i uredništvom časopisa Kvant

Za opisivanje gibanja po kružnici, uz linearnu brzinu, uvodi se pojam kutne brzine. Ako se točka dok se kreće po kružnici u vremenu Δ t opisuje luk čija je kutna mjera Δφ, zatim kutna brzina.

Kutna brzina ω povezana je s linearnom brzinom υ relacijom υ = ω r, gdje r- polumjer kružnice po kojoj se točka kreće (slika 1). Koncept kutne brzine posebno je koristan za opisivanje rotacije. čvrsta oko osi. Iako linearne brzine u točkama koje se nalaze na različitim udaljenostima od osi neće biti iste, njihove će kutne brzine biti jednake, te možemo govoriti o kutnoj brzini rotacije tijela u cjelini.

Problem 1... Radius disk r kotrlja bez klizanja na vodoravnoj ravnini. Brzina središta diska je konstantna i jednaka je υ p. Kojom se kutnom brzinom disk okreće?

Svaka točka diska sudjeluje u dva gibanja - u translacijskom gibanju brzinom υ p zajedno sa središtem diska i u rotacijskom gibanju oko središta s određenom kutnom brzinom ω.

Da bismo pronašli ω, koristimo se odsutnošću klizanja, odnosno činjenicom da je u svakom trenutku vremena brzina točke na disku u dodiru s ravninom nula. To znači da za točku A(slika 2) brzina translacijskog gibanja υ p jednaka je po veličini i suprotna u smjeru linearne brzine rotacijskog gibanja υ bp = ω · r... Odavde odmah dolazimo.

Cilj 2. Pronađite brzine točaka V, S i D isti disk (slika 3).

Razmotrite prvo stvar V... Linearna brzina njegova rotacijskog gibanja usmjerena je okomito prema gore i jednaka je , odnosno vrijednost je jednaka brzini translacijskog gibanja, koje je, međutim, usmjereno horizontalno. Vektorskim zbrajanjem ove dvije brzine nalazimo da je rezultirajuća brzina υ B jednake je veličine i tvori kut od 45º s horizontom. U točki S brzine vrtnje i translacije usmjerene su u jednom smjeru. Rezultirajuća brzina υ C jednaka je 2υ p i usmjerena je horizontalno. Brzina točke nalazi se na sličan način D(vidi sl. 3).

Čak i u slučaju kada se brzina točke koja se kreće duž kružnice ne mijenja po veličini, točka ima određeno ubrzanje, budući da se smjer vektora brzine mijenja. Ovo ubrzanje se zove centripetalni... Usmjeren je na središte kruga i jednak je ( R je polumjer kružnice, ω i υ su kutna i linearna brzina točke).

Ako se brzina točke koja se kreće po kružnici mijenja ne samo u smjeru, već i po veličini, tada uz centripetalno ubrzanje postoji i tzv. tangencijalni ubrzanje. Usmjerena je tangencijalno na kružnicu i jednaka je omjeru (Δυ je promjena vrijednosti brzine tijekom vremena Δ t).

Cilj 3. Pronađite točke ubrzanja A, V, S i D radijus diska r kotrljanje bez klizanja na vodoravnoj ravnini. Brzina središta diska je konstantna i jednaka je υ p (slika 3).

U koordinatnom sustavu povezanom sa središtem diska, disk se rotira kutnom brzinom ω, a ravnina se giba translacijsko brzinom υ p. Stoga nema klizanja između diska i ravnine. Brzina translacijskog gibanja υ p se ne mijenja, stoga je kutna brzina rotacije diska konstantna i točke diska imaju samo centripetalno ubrzanje usmjereno prema središtu diska. Budući da se koordinatni sustav kreće bez ubrzanja (s konstantnom brzinom υ p), tada će u stacionarnom koordinatnom sustavu ubrzanja točaka diska biti ista.

Prijeđimo sada na probleme dinamike rotacijskog gibanja. Razmotrimo prvo najjednostavniji slučaj, kada se kretanje duž kružnice događa konstantnom brzinom. Budući da je akceleracija tijela u ovom slučaju usmjerena na središte, onda vektorski zbroj svih sila primijenjenih na tijelo također mora biti usmjeren u središte, a prema Newtonovom II zakonu.

Treba imati na umu da desna strana ove jednadžbe uključuje samo realne sile koje djeluju na dano tijelo iz drugih tijela. Ne centripetalna sila ne nastaje pri kretanju u krug. Ovaj se izraz koristi jednostavno za označavanje rezultantnih sila koje se primjenjuju na tijelo koje se kreće u krug. O centrifugalna sila, onda nastaje samo pri opisivanju gibanja po kružnici u neinercijskom (rotirajućem) koordinatnom sustavu. Ovdje uopće nećemo koristiti koncept centripetalnih i centrifugalnih sila.

Problem 4... Odredi najmanji polumjer zakrivljenosti ceste kojim automobil može proći brzinom υ = 70 km/h i koeficijent trenja guma na cesti k =0,3.

R = m g, reakcijska sila ceste N i sila trenja F TP između guma automobila i ceste. Snage R i N usmjerena okomito i jednake veličine: P = N... Sila trenja koja sprječava klizanje vozila ("klizanje") usmjerena je prema središtu rotacije i daje centripetalno ubrzanje:. Maksimalna sila trenja F tr max = k· N = k· m g, dakle, iz jednadžbe se određuje minimalna vrijednost polumjera kružnice po kojoj je kretanje brzinom υ još moguće. Stoga (m).

Snaga reakcije na cesti N kada vozi u krug, ne prolazi kroz težište vozila. To je zbog činjenice da njegov moment u odnosu na središte gravitacije mora nadoknaditi moment trenja koji teži prevrnuti automobil. Veličina sile trenja je veća, tj više brzine automobil. Pri određenoj vrijednosti brzine, moment trenja će premašiti moment reakcije i automobil će se prevrnuti.

Problem 5... Kojom brzinom se automobil kreće po luku kružnice polumjera R= 130 m, može li se prevrnuti? Težište vozila je u visini h= 1 m iznad ceste, širina kolosijeka l= 1,5 m (slika 4).

U trenutku prevrtanja automobila kao reakcijske sile ceste N i sila trenja F TP su pričvršćeni na "vanjski" kotač. Kada se automobil kreće po kružnici brzinom υ, na njega djeluje sila trenja. Ova sila stvara moment u odnosu na težište vozila. Maksimalni moment sile reakcije ceste N = m g u odnosu na težište jednaka (u trenutku prevrtanja sila reakcije prolazi kroz vanjski kotač). Izjednačavajući ove trenutke, nalazimo jednadžbu za maksimalnu brzinu kojom se automobil još neće prevrnuti:

Odakle ≈ 30 m / s ≈ 110 km / h.

Da bi se automobil mogao kretati ovom brzinom, potreban je koeficijent trenja (vidi prethodni problem).

Slična situacija se događa prilikom okretanja motocikla ili bicikla. Sila trenja koja stvara centripetalno ubrzanje ima moment oko centra gravitacije koji teži prevrnuti motocikl. Stoga, da bi nadoknadio ovaj trenutak trenutkom sile reakcije ceste, motociklist se naginje u smjeru skretanja (slika 5.).

Problem 6... Motociklist vozi vodoravnom cestom brzinom υ = 70 km/h, skrećući polumjerom R= 100 m. Pod kojim kutom α prema horizontu bi se trebao nagnuti da ne bi pao?

Sila trenja između motocikla i ceste jer vozaču daje centripetalno ubrzanje. Snaga reakcije na cesti N = m g... Uvjet jednakosti momenata sile trenja i sile reakcije u odnosu na težište daje jednadžbu: F tp l Sin α = N· l Cos α, gdje l- udaljenost OA od centra gravitacije do motociklističke staze (vidi sl. 5).

Zamjenjujući ovdje vrijednosti F tp i N, nalazimo da ili ... Imajte na umu da rezultantne sile N i F tp pod ovim kutom nagiba motocikla prolazi kroz težište, čime se osigurava jednakost ukupnog momenta sila prema nuli N i F tp.

Kako bi se povećala brzina kretanja po zavoju ceste, dionica ceste na zavoju se izvodi nagnuto. Istodobno, osim sile trenja, u stvaranje centripetalnog ubrzanja sudjeluje i sila reakcije ceste.

Problem 7... Kojom se najvećom brzinom υ automobil može kretati po kosoj stazi s kutom nagiba α u polumjeru zakrivljenosti R te koeficijent trenja guma na cesti k?

Na automobil utječe gravitacija m g, sila reakcije N okomito na ravninu staze, i sila trenja F tp usmjerena duž kolosijeka (slika 6).

Kako nas u ovom slučaju ne zanimaju momenti sila koje djeluju na automobil, nacrtali smo sve sile koje se primjenjuju na težište automobila. Vektorski zbroj svih sila trebao bi biti usmjeren u središte kružnice po kojoj se automobil kreće, te mu dati centripetalno ubrzanje. Dakle, zbroj projekcija sila na smjer prema centru (horizontalni smjer) jednak je, tj.

Zbroj projekcija svih sila na okomiti smjer je nula:

N Cos α - m g – F m p sin α = 0.

Zamjenjujući u ove jednadžbe najveću moguću vrijednost sile trenja F tp = k N a isključujući silu N, nalazimo maksimalnu brzinu , s kojim se još uvijek može kretati takvom stazom. Ovaj izraz je uvijek veći od vrijednosti koja odgovara horizontalnoj cesti.

Nakon što smo se pozabavili dinamikom rotacije, prijeđimo na zadatke dalje rotacijsko gibanje u vertikalnoj ravnini.

Problem 8... Masovni automobil m= 1,5 t kreće se brzinom υ = 70 km/h po cesti prikazanoj na slici 7. Dionice ceste AB i Sunce mogu se smatrati lukovima kružnica polumjera R= 200 m međusobno se dodiruju u jednoj točki V... Odrediti silu pritiska automobila na cestu u točkama A i S... Kako se mijenja sila pritiska kada automobil prođe točku V?

U točki A gravitacija djeluje na automobil R = m g i sila reakcije ceste N A... Vektorski zbroj tih sila trebao bi biti usmjeren u središte kruga, odnosno okomito prema dolje, i stvoriti centripetalno ubrzanje: odakle (H). Sila pritiska automobila na cestu jednaka je po veličini i suprotnog smjera od sile reakcije. U točki S vektorski zbroj sila usmjeren je okomito prema gore: i (H). Dakle, u točki A sila pritiska je manja od sile gravitacije, a u točki S- više.

U točki V automobil prelazi s konveksnog dijela ceste na konkavni (ili obrnuto). Prilikom vožnje po konveksnom dijelu, projekcija gravitacije u smjeru prema središtu mora premašiti reakcijsku silu ceste N B 1, i ... Prilikom vožnje na konkavnom dijelu ceste, naprotiv, sila reakcije ceste N B 2 je superiornija od projekcije gravitacije: .

Iz ovih jednadžbi dobivamo da pri prolasku kroz točku V sila pritiska automobila na cestu se naglo mijenja za iznos od ≈ 6 · 10 3 N. Naravno, takva udarna opterećenja djeluju destruktivno i na automobil i na cestu. Stoga se ceste i mostovi uvijek trude da se njihova zakrivljenost nesmetano mijenja.

Kada se automobil kreće po kružnici konstantnom brzinom, zbroj projekcija svih sila na smjer tangente na kružnicu trebao bi biti jednak nuli. U našem slučaju, tangencijalna komponenta sile teže uravnotežena je silom trenja između kotača automobila i ceste.

Količina trenja kontrolira se okretnim momentom koji se primjenjuje na kotače sa strane motora. Ovaj trenutak ima tendenciju da uzrokuje proklizavanje kotača u odnosu na cestu. Stoga nastaje sila trenja koja sprječava klizanje i proporcionalna je primijenjenom momentu. Maksimalna vrijednost sile trenja je k N, gdje k- koeficijent trenja između guma automobila i ceste, N- sila pritiska na cestu. Kada se automobil kreće prema dolje, sila trenja igra ulogu sile kočenja, a kada se kreće prema gore, naprotiv, ulogu vuče.

Problem 9... Težina vozila m= 0,5 t, krećući se brzinom υ = 200 km/h, pravi "petlju" polumjera R= 100 m (slika 8). Odredite silu pritiska automobila na cestu u gornjoj točki petlje A; u točki V, čiji radijus-vektor čini kut α = 30º s vertikalom; u točki S, u kojem je brzina vozila usmjerena okomito. Je li moguće da se automobil kreće po petlji takvom konstantnom brzinom s koeficijentom trenja guma na cesti? k = 0,5?

Na vrhu petlje, gravitacija i sila reakcije ceste N A usmjerena okomito prema dolje. Zbroj tih sila stvara centripetalno ubrzanje: ... Zato N.

Sila pritiska automobila na cestu jednaka je po veličini i suprotnog smjera od sile N A.

U točki V centripetalno ubrzanje nastaje zbrojem reakcijske sile i projekcije gravitacije na smjer prema središtu: ... Odavde N.

Lako je to vidjeti NB > N A; povećanjem kuta α raste i sila reakcije ceste.

U točki S sila reakcije H; centripetalno ubrzanje u ovoj točki stvara samo reakcijska sila, a sila gravitacije usmjerena je tangencijalno. Prilikom kretanja duž donjeg dijela petlje, sila reakcije će također premašiti maksimalnu vrijednost H sila reakcije ima u točki D... Značenje , dakle, minimalna vrijednost sile reakcije.

Brzina vozila bit će konstantna ako tangentna gravitacija ne prelazi maksimalnu silu trenja k N na svim točkama petlje. Ovaj uvjet je svakako zadovoljen ako je minimalna vrijednost prelazi maksimalnu vrijednost tangencijalne komponente sile težine. U našem slučaju, ova maksimalna vrijednost je m g(dolazi se u točki S), a uvjet je zadovoljen za k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

Tako je u našem slučaju moguće kretanje automobila u "petlji" s konstantnom brzinom.

Razmotrimo sada kretanje automobila u "petlji" s ugašenim motorom. Kao što je već navedeno, obično je moment trenja suprotan momentu koji se primjenjuje na kotače sa strane motora. Kada se automobil kreće s isključenim motorom, ovaj trenutak je odsutan, a sila trenja između kotača automobila i ceste može se zanemariti.

Brzina automobila više neće biti konstantna – tangencijalna komponenta sile teže usporava ili ubrzava kretanje automobila po „petlji“. Centripetalno ubrzanje također će se promijeniti. Nastaje, kao i obično, rezultantnom silom reakcije ceste i projekcijom sile gravitacije na smjer prema središtu petlje.

Problem 10... Koja je najmanja brzina koju bi automobil trebao imati na dnu petlje D(vidi sl. 8) kako biste to izveli s isključenim motorom? Kolika će biti sila pritiska automobila na cestu u točki V? Polumjer petlje R= 100 m, težina vozila m= 0,5 t.

Pogledajmo koliku minimalnu brzinu automobil može imati na vrhu petlje A nastaviti kretati se u krug?

Centripetalno ubrzanje u ovoj točki na cesti je stvoreno zbrojem gravitacije i sile reakcije ceste. ... Što je manja brzina automobila, to je manja sila reakcije. N A... Na vrijednosti, ova sila nestaje. Pri manjoj brzini gravitacija će premašiti vrijednost potrebnu za stvaranje centripetalnog ubrzanja i vozilo će se podići s ceste. Pri brzini, sila reakcije ceste nestaje samo na vrhu petlje. Doista, brzina automobila u drugim dijelovima petlje bit će veća, a kao što je lako vidjeti iz rješenja prethodnog problema, sila reakcije ceste također će biti veća nego u točki A... Stoga, ako automobil na vrhu petlje ima brzinu, onda se nigdje neće odvojiti od petlje.

Sada odredimo koju brzinu bi automobil trebao imati na dnu petlje D tako da na vrhu petlje A svoju brzinu. Da bismo pronašli brzinu υ D možete koristiti zakon održanja energije, kao da se automobil kreće samo pod utjecajem gravitacije. Činjenica je da je sila reakcije ceste u svakom trenutku usmjerena okomito na kretanje automobila, pa je stoga njezin rad jednak nuli (podsjetimo da je rad Δ A = F·Δ s Cos α, gdje je α kut između sile F i smjer kretanja Δ s). Sila trenja između kotača automobila i ceste pri vožnji s ugašenim motorom može se zanemariti. Stoga se zbroj potencijalne i kinetičke energije automobila pri vožnji s isključenim motorom ne mijenja.

Izjednačimo energetske vrijednosti automobila u bodovima A i D... U ovom slučaju, računat ćemo visinu od razine točke D, odnosno potencijalna energija automobila u ovoj točki smatrat će se jednakom nuli. Onda dobivamo

Zamjenjujući ovdje vrijednost za potrebnu brzinu υ D, nalazimo: ≈ 70 m / s ≈ 260 km / h.

Ako automobil uđe u petlju ovom brzinom, tada će ga moći dovršiti s isključenim motorom.

Odredimo sada kojom će silom automobil pritisnuti cestu u točki V... Brzina vozila u točki V opet je lako pronaći iz zakona održanja energije:

Zamjenjujući vrijednost ovdje, nalazimo da je brzina .

Koristeći rješenje prethodnog problema, za zadanu brzinu nalazimo silu pritiska u točki B:

Slično, silu pritiska možete pronaći u bilo kojoj drugoj točki "mrtve petlje".

Vježbe

1. Pronađite kutnu brzinu umjetni satelit Zemlja rotira u kružnoj orbiti s periodom okretanja T= 88 minuta Nađite linearnu brzinu ovog satelita ako je poznato da se njegova orbita nalazi na udaljenosti R= 200 km od Zemljine površine.

2. Radijus diska R postavljen između dvije paralelne letvice. Reiki se kreće brzinama υ 1 i υ 2. Odredite kutnu brzinu rotacije diska i brzinu njegovog središta. Nema klizanja.

3. Disk se kotrlja po vodoravnoj površini bez klizanja. Pokažite da su krajevi vektora brzina točaka okomitog promjera na istoj pravoj liniji.

4. Avion se giba po kružnici s konstantnom horizontalnom brzinom υ = 700 km/h. Definirajte radijus R ovu kružnicu, ako je tijelo zrakoplova nagnuto pod kutom α = 5 °.

5. Opterećenje težine m= 100 g, obješen na niti dužine l= 1 m, jednoliko se okreće u krugu u horizontalnoj ravnini. Nađite razdoblje rotacije tereta ako se tijekom njegove rotacije konac okomito otkloni za kut α = 30 °. Također odredite napetost niti.

6. Automobil se kreće brzinom υ = 80 km/h duž unutarnje površine okomitog cilindra polumjera R= 10 m u vodoravnom krugu. Koliki je najmanji mogući koeficijent trenja između guma automobila i površine cilindra?

7. Težina m obješen na nerastavljivi navoj, čija je najveća moguća napetost 1,5 m g... Pod kojim se najvećim kutom α konac može odvojiti od vertikale da se konac ne bi prekinuo daljnjim kretanjem tereta? Kolika će biti napetost niti u trenutku kada nit sklopi kut α / 2 s vertikalom?

Odgovori

I. Kutna brzina umjetnog Zemljinog satelita ≈ 0,071 rad/s. Linearna brzina satelita υ = ω R... gdje R- orbitalni radijus. Zamjena ovdje R = R 3 + h, gdje R 3 ≈ 6400 km, nalazimo υ ≈ 467 km / s.

2. Ovdje su moguća dva slučaja (slika 1). Ako je kutna brzina diska ω, a brzina njegovog središta υ, tada će brzine točaka u dodiru sa šipkama biti jednake

u slučaju a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ - ω R;

u slučaju b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Radi određenosti, pretpostavili smo da je υ 1> υ 2). Rješavajući ove sustave, nalazimo:

a)

b)

3. Brzina bilo koje točke M leži na segmentu OV(vidi sliku 2), nalazi se formulom υ M = υ + ω· rM, gdje r M- udaljenost od točke M do središta diska O... Za bilo koju točku N koji pripadaju segmentu OA, imamo: υ N = υ – ω· rN, gdje r N- udaljenost od točke N do centra. S ρ označavamo udaljenost od bilo koje točke promjera VA do točke A kontakt diska s ravninom. Tada je očito da r M = ρ – R i r N = R – ρ = –(ρ – R). gdje R je polumjer diska. Dakle, brzina bilo koje točke na promjeru VA nalazi se formulom: υ ρ = υ + ω R). Kako se disk kotrlja bez klizanja, tada za brzinu υ ρ dobivamo υ ρ = ω · ρ. Otuda slijedi da su krajevi vektora brzina na pravoj liniji koja izlazi iz točke A i nagnut prema promjeru VA pod kutom proporcionalnim kutnoj brzini rotacije diska ω.

Dokazana tvrdnja omogućuje nam da zaključimo da je složeno gibanje točaka koje se nalaze na promjeru VA, može se u svakom trenutku smatrati jednostavnom rotacijom oko fiksne točke A s kutnom brzinom ω jednakom kutnoj brzini rotacije oko središta diska. Doista, u svakom trenutku brzine ovih točaka su usmjerene okomito na promjer VA, i jednaki su po veličini umnošku ω i udaljenosti do točke A.

Ispada da je ova izjava istinita za bilo koju točku na disku. Štoviše, jest opće pravilo... Uz bilo koje kretanje krutog tijela, u svakom trenutku postoji os oko koje tijelo jednostavno rotira – trenutna os rotacije.

4. Na zrakoplov djeluje (vidi sliku 3) sila gravitacije R = m g i sila dizanja N, usmjeren okomito na ravninu krila (budući da se avion kreće konstantnom brzinom, sila potiska i sila frontalnog otpora zraka međusobno se uravnotežuju). Rezultirajuće sile R

6. Na automobil (sl. 5) djeluje gravitacija R = m g, sila reakcije sa strane cilindra N i sila trenja F tp. Budući da se automobil kreće u vodoravnom krugu, sile R i F tp balans jedni druge, i snagu N stvara centripetalno ubrzanje. Maksimalna vrijednost sile trenja povezana je sa silom reakcije N omjer: F tp = k N... Kao rezultat, dobivamo sustav jednadžbi: , iz koje se nalazi minimalna vrijednost koeficijenta trenja

7. Teret će se kretati u krugu s polumjerom l(sl. 6). Centripetalno ubrzanje tereta (υ je brzina tereta) nastaje razlikom vrijednosti sile zatezanja niti T i projekcija gravitacije m g smjer niti: ... Zato , gdje je β kut koji formira nit s vertikalom. Kako se težina spušta, njegova će se brzina povećavati, a kut β će se smanjivati. Napetost niti će postati maksimalna pod kutom β = 0 (u trenutku kada je konac okomit): ... Maksimalna brzina tereta υ 0 nalazi se duž kuta α, za koji se nit otklanja, iz zakona održanja energije:

Koristeći ovaj omjer, za maksimalnu vrijednost napetosti niti dobivamo formulu: T m ax = m g· (3 - 2 cos α). Prema stanju problema T m ax = 2m g... Izjednačavajući ove izraze, nalazimo cos α = 0,5 i, prema tome, α = 60 °.

Odredimo sada napetost niti na. Brzina opterećenja u ovom trenutku također se nalazi iz zakona održanja energije:

Zamjenom vrijednosti υ 1 u formulu za vlačnu silu nalazimo:

Vratimo se sada našem zadatku – pronaći akceleraciju kojom se tijelo giba u kružnici s konstantnom apsolutnom brzinom.

Poznato je da se ubrzanje određuje formulom

gdje je brzina tijela u nekom početnom trenutku vremena, a njegova brzina u određenom vremenskom razdoblju. U našem slučaju, moduli brzine i međusobno su jednaki.

Pretpostavimo da se tijelo giba po kružnici polumjera i da se u nekom trenutku nalazi u točki A (slika 67).

Kolika je akceleracija u ovom trenutku? Brzina u ovoj točki je usmjerena tangencijalno na kružnicu u točki A. Nakon sec, tijelo je u točki B, a njegova brzina je sada

usmjerena tangencijalno na kružnicu u točki B. Modul brzine i 10 su jednaki (duljine strelica i su iste).

Želimo pronaći akceleraciju u točki A kružnice (trenutačna akceleracija). Stoga moramo uzeti točke A i B blizu jedna drugoj, toliko blizu da se luk skupi u točku, takoreći.

Najprije otkrijmo kako je to ubrzanje usmjereno.

Nacrtajmo polumjere iz središta O kružnice do točaka A i B. Polumjer kružnice je okomit na tangentu u točki dodira, dakle, radijusi i okomiti su na vektore i Da bismo saznali smjer vektora akceleracije, trebate pronaći vektor jednak razlici vektora i Njegov smjer je smjer ubrzanja vektora. Već znamo kako se vektori oduzimaju (vidi § 6). Pronaći razliku između vektora i postaviti ih tako da dolaze iz jedne točke (slika 68), te spojiti njihove krajeve, usmjeravajući strelicu od oduzetog do dekrementiranog (od kraja vektora do kraja vektora). Vektor je razlika vektora Dakle, akceleracija je usmjerena duž vektora Što možete reći o tom smjeru?

Trokut (vidi sl. 68) je jednakokračan. Apex kut jednak kutu između polumjera i (slika 67), budući da ih tvore međusobno okomite stranice. Točke A i B su blizu jedna drugoj, pa je kut vrlo mali (blizu nuli). Svaki od kutova na bazi trokuta blizak je pravom, jer je zbroj kutova trokuta jednak dvama pravim kutovima. To znači da vektor

okomito na vektor brzine. To znači da je ubrzanje okomito na brzinu. No brzina je usmjerena tangencijalno na kružnicu u točki A, a tangenta je okomita na polumjer. To znači da je akceleracija usmjerena duž polumjera prema središtu kružnice. Stoga se naziva centripetalno ubrzanje.

Kada se tijelo giba jednoliko po kružnici, ubrzanje u bilo kojoj točki okomito je na brzinu kretanja i usmjereno je prema središtu kružnice.

Ova zanimljiva značajka ubrzanja pri kretanju po kružnici s konstantnim modulom brzine prikazana je na slici 69.

Nađimo sada modul centripetalnog ubrzanja. Da biste to učinili, morate pronaći kojoj je jednaka apsolutna vrijednost veličine. Sa slike 68 se vidi da je modul vektorske razlike jednak duljini segmenta Budući da je kut vrlo mali, segment malo se razlikuje od kružnog luka (prikazanog isprekidanom linijom) sa središtem u točki A. Polumjer ove kružnice je brojčano jednak Ali, kao što znamo (vidi § 24), duljina takvog luka je Posljedično, Apsolutna vrijednost ubrzanje je. Ali kutna brzina. Zato

Ubrzanje tijela, dsihkuschaya duž opsega, jednako je umnošku njegove linearne brzine i kutne brzine rotacije polumjera privučenog tijelu.

Prikladnije je formulu za centripetalno ubrzanje prikazati na način da uključuje vrijednost polumjera kružnice po kojoj se tijelo kreće. Budući da su kutne i linearne brzine povezane omjerom (- polumjer kružnice), tada, zamjenom ovog izraza u formulu, dobivamo:

Ali stoga se formula za centripetalno ubrzanje može napisati i ovako:

Ravnomjernim kretanjem po obodu tijelo se pomiče s

akceleracija, koja je usmjerena duž polumjera prema središtu kružnice i čiji je modul određen izrazom

Posljedično, vrijedi i suprotno: ako je poznato da je brzina tijela jednaka i da je akceleracija tijela u svim točkama okomita na vektor njegove brzine i jednaka je po apsolutnoj vrijednosti, tada se može tvrditi da je takvo se tijelo giba po kružnici, čiji je polumjer određen formulom

To znači da ako znamo početnu brzinu tijela i apsolutnu vrijednost njegovog centripetalnog ubrzanja, možemo nacrtati kružnicu po kojoj će se tijelo kretati i pronaći svoj položaj u svakom trenutku (početni položaj tijela mora, naravno, , budite poznati). Time će biti riješen glavni zadatak mehanike.

Podsjetimo da nas zanima ubrzanje s jednoličnim gibanjem po kružnici jer je svako gibanje duž zakrivljene putanje gibanje po lukovima kružnica različitih polumjera.

Sada možemo reći da se jednoliko gibanje u bilo kojoj točki krivuljaste putanje tijelo giba ubrzanjem usmjerenom prema središtu kružnice čiji je dio ova putanja u blizini ove točke. Brojčana vrijednost akceleracije ovisi o brzini tijela u ovoj točki i o polumjeru odgovarajuće kružnice. Slika 70 prikazuje neku složenu putanju i prikazuje vektore centripetalnog ubrzanja u različitim točkama putanje.

Zadatak. Avion, napuštajući zaron, kreće se po luku, koji je u svom donjem dijelu luk kružnice polumjera 500 m (slika 71). Izračunajte akceleraciju aviona u najnižoj točki ako je njegova brzina 800 km/h i usporedite tu vrijednost s ubrzanjem uslijed gravitacije.

4. Brusni kotač, polumjera 10 cm, tijekom rotacije čini 1 okret u 0,2 sec. Pronađite brzinu točaka najudaljenijih od osi rotacije.

5. Automobil se kreće duž krivine ceste polumjera 100 m brzinom od 54 km/h. Kolika je veličina centripetalnog ubrzanja vozila?

6. Razdoblje okretanja prve svemirske letjelice-satelit "Vostok" oko Zemlje bilo je jednako 90 minuta. Prosječna visina satelitskog broda iznad Zemlje može se smatrati jednakom 320 km. Polumjer Zemlje je 6 400 km. Izračunaj brzinu broda.

7. Kolika je brzina automobila ako njegovi kotači polumjera 30 cm naprave 10 okretaja u sekundi?

8. Dvije remenice, čiji su polumjeri povezani beskrajnim remenom. Period rotacije remenice s manjim polumjerom je 0,5 sec. Kolika je brzina kretanja točaka pojasa? Koliki je period rotacije druge remenice?

9. Mjesec se kreće oko Zemlje na udaljenosti od 385 000 km od nje, čineći jedan okret u 27,3 dana. Izračunajte centripetalno ubrzanje Mjeseca.