Znakovi brojeva djeljivosti- To su pravila koja omogućuju nekvalitetne podjele relativno brzo otkriju je li taj broj podijeljen u dao bez ostataka.
Neke od znakovi djelića Prilično jednostavno, neki teže. Na ovoj stranici naći ćete znakove djeluje jednostavni brojevi, kao što su, na primjer, 2, 3, 5, 7, 11 i znakovi sestranosti komponenti, kao što je 6 ili 12.
Nadam se da će vam ove informacije biti korisne.
Ugodno učenje!

Znak nedjeljive na 2

Ovo je jedan od najjednostavnijih znakova djeljivosti. Zvuči ovako: ako snimanje prirodnog broja završava čitateljem, onda je ravnomjerno (podijeljeno bez ostatka po 2), a ako se zapis o broju završava u neobičnoj znamenki, tada je taj broj neparan.
Drugim riječima, ako je posljednji broj znamenke jednak 2 , 4 , 6 , 8 ili 0 - Broj je podijeljen na 2, ako ne, nije podijeljen
Na primjer, brojevi: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 Oni su podijeljeni u 2, jer su čak i.
Brojevi: 23 5 , 137 , 2303
Na 2 nisu podijeljeni, jer su čudne.

Znak nedjeljine na 3

Ova značajka podjele je potpuno drugačija: ako je broj brojeva podijeljen s 3, tada se broj podijeljen na 3; Ako broj broja brojeva nije podijeljen s 3, tada broj nije podijeljen s 3.
Dakle, razumjeti je li broj podijeljen na 3, potrebno je samo međusobno dodati brojeve od kojih se sastoji.
Izgleda ovako: 3987 i 141 podijeljeno je s 3, jer u prvom slučaju 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - Podijeljena je bez ostataka od 3), au drugom 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - također podijeljeno bez ostataka od 3).
No, brojevi: 235 i 566 nisu podijeljeni u 3, jer 2 + 3 + 5 \u003d 10 i 5 + 6 + 6 \u003d 17 (I znamo da ni 10 ni 17 nisu podijeljeni u 3 bez ostatka).

Znak djeliteti na 4

Ovaj znak nedjelje bit će složeniji. Ako posljednje 2 znamenke brojeva oblikuju broj podijeljen s 4 ili je 00, tada se broj podijeljen na 4, inače taj broj nije podijeljen na 4 bez ostatka.
Na primjer: 1. 00 i 3. 64 podijeljen s 4, jer u prvom slučaju broj se završava 00 , iu drugom 64 što je zauzvrat podijeljeno na 4 bez ostatka (64: 4 \u003d 16)
Brojevi 3. 57 i 8. 86 ne dijelite 4 jer niti 57 n. 86 4 nisu podijeljene i stoga ne odgovaraju tom znaku djeluje.

Znak nedjeljive na 5

I opet, imamo prilično jednostavan znak debljine: ako snimanje prirodnog broja završi s brojem 0 ili 5, tada je taj broj podijeljen bez ostatka do 5. ako se broj broja završava s drugom znamenkom, Tada broj bez ostatka nije podijeljen u 5.
To znači da sve brojeve koji završavaju brojevima 0 i 5 , na primjer, 1235. 5 i 43. 0 , padaju pravilo i podijeljeno s 5.
A, na primjer, 1549 3 i 56. 4 Nemojte završiti na slici 5 ili 0, što znači da ne mogu dijeliti 5 bez ostatka.

Znak nedjeljine na 6

Imamo kompozitni broj 6, koji je proizvod brojeva 2 i 3. Stoga je znak desetifibilnosti za 6 također kompozit: tako da je broj podijeljen s 6, mora odgovarati dva znaka nedjele istovremeno: znak debljine na 2 i znak djelitelja do 3. U isto vrijeme, imajte na umu da takav kompozitni broj kao 4 ima individualni znak djelitelja, jer je to dokaz broja 2 na sebe. Ali natrag na znak debljine na 6.
Brojevi 138 i 474 su čak odgovaraju znakovima djelića za 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 i 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), što znači da su podijeljeni do 6., ali 123 i 447, iako su podijeljeni u 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 i 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ali su neparni i Stoga ne odgovaraju znaku djelića za 2, i stoga ne odgovaraju znaku djelića za 6.

Znak nedjeljive na 7

Ovaj znak nedjelje je složeniji: broj je podijeljen na 7 ako je rezultat oduzimanja twin-trajne brojke desetaka tog broja podijeljen na 7 ili jednak 0.
Zvuči prilično zbunjujuće, ali u praksi je lako. Vidimo se: broj 95 9 je podijeljen na 7, jer 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 podijeljeno s 7 bez ostatka). A ako je broj s brojem dobivenim tijekom transformacije nastao (zbog svoje veličine, teško je razumjeti, podijeljeno je na 7 ili ne, tada se ovaj postupak može nastaviti onoliko puta koliko se smatrate potrebnim).
Na primjer, 45 5 I. 4580 1 Posjeduju znakove djeljive do 7. U prvom slučaju, sve je vrlo jednostavno: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. U drugom slučaju ćemo to učiniti: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Teško nam je shvatiti da li je podijeljeno ako 457 8 do 7, tako da ponovimo proces: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. I opet koristimo znak nedjeljive, jer smo još uvijek troznamenkasti broj 44 1. tako 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, tj. 42 je podijeljen s 7 bez ravnoteže, što znači da je 45801 podijeljeno s 7.
Ali brojevi 11 1 I. 34 5 nisu podijeljeni u 7, jer 11 -2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 nije podijeljeno bez ostatka do 7) i 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 nije podijeljena bez ostatka prema 7).

Znak nedjeljive na 8

Znak nedjeljive na 8 zvukova: ako posljednje 3 znamenke čine broj podijeljen s 8, ili je 000, tada je navedeni broj podijeljen s 8.
Brojevi 1. 000 ili 1. 088 podijeljeno s 8: prve ciljeve 000 , drugo 88 : 8 \u003d 11 (podijeljeno s 8 bez ostatka).
Ali broj 1 100 ili 4. 757 ne dijelite 8, jer brojeve 100 i 757 Ne dijelite bez ostataka.

Znak nedjeljive na 9

Ovaj znak nedjeljive je sličan znak djelitelja za 3: ako je broj brojeva podijeljen s 9, tada se broj podijeljen na 9; Ako broj brojeva nije podijeljen u 9, tada se broj ne podijeli u 9.
Na primjer: 3987 i 144 su podijeljeni u 9, jer u prvom slučaju 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - Podijeljena je bez ostataka od 9), au drugom 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - također podijeljeno bez ostataka od 9).
Ali brojevi: 235 i 141 nisu podijeljeni u 9, jer 2 + 3 + 5 \u003d 10 i 1 + 4 + 1 \u003d 6 (I znamo da ni 10 ni 6 nisu podijeljeni u 9 bez ostatka).

Znakovi djelišta na 10, 100, 1000 i drugih bitnih jedinica

Ovi znakovi djelistibilnosti koje sam kombinirao jer se mogu jednako opisati: broj je podijeljen u jedinicu za ispuštanje ako je broj nula na kraju broja veći ili jednak broju nula u određenom bitnom.
Drugim riječima, na primjer, imamo takve brojeve: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 , Od njih, svi su podijeljeni u 1 0 ; 46400 i 867. 000 Oni su podijeljeni u 1 00 ; I samo jedan od njih - 867 000 podijeljen s 1. 000 .
Bilo koji brojevi u kojem je broj nula na kraju je manji od one od jedinice za pražnjenje, nisu podijeljeni u ovu pražnjenje, na primjer 600 30 i 7. 93 Ne dijelite 1. 00 .

Znak nedjeljive na 11

Kako bi se saznala je li broj podijeljen na 11, potrebno je dobiti razliku u iznosu čak i neparnih brojeva ovog broja. Ako je ta razlika jednaka 0 ili podijeljena s 11 bez ostatka, tada je broj sam podijeljen s 11 bez ostatka.
Da bih bio jasniji, predlažem da razmotrite primjere: 2 35 4 je podijeljena s 11, jer ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je također podijeljena na 11, od ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ali 1. 1 1 ili 4 35 4 nisu podijeljene s 11, budući da u prvom slučaju imamo (1 + 1) - 1 \u003d 1, au drugom ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Znak nedjeljine na 12

Broj 12 je kompozitan. Njegov znak nedjelje je korespondencija znakova djelitelja za 3 i 4. u isto vrijeme.
Na primjer, 300 i 636 odgovara znakovima djelistibilnosti na 4 (posljednje 2 znamenke su nule ili su podijeljene na 4) i znakovi djelića za 3 (zbroj brojeva i prvi i temelji broj je podijeljen u 3) , i primjenjivat će se, podijeljeni su s 12 bez ravnoteže.
No, 200 ili 630 se ne podijeli u 12, jer u prvom slučaju broj samo odgovara samom značem djeljivosti za 4, au drugom - samo znak debljine do 3. ali ne i ni znakove u isto vrijeme ,

Znak nedjeljine na 13

Znak nedjeljive na 13 je da će, ako je broj desetaka brojeva, presavijeni s pomnoženim 4 jedinice ovog broja, bit će višestruki 13 ili jednak 0, tada je sam broj podijeljen s 13.
Na primjer 70 2. tako 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 je podijeljeno bez ostatka do 13), to znači 70 2 je podijeljena s 13 bez ostatka. Drugi primjer je broj 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Broj 130 je podijeljen u 13 bez ostatka, što znači da je određeni broj odgovara znakovima djelića za 13.
Ako uzimate brojeve 12 5 ili 21 2, onda dobivamo 12 + 4 * 5 \u003d 32 i 21 + 4 * 2 \u003d 29 se dopisiva, a ni 32 ni 29 nisu podijeljeni u 13 bez ostatka, što znači da navedeni brojevi nisu podijeljeni bez ostatka do 13.

Discjenosti brojeva

Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, može se pretpostaviti da na bilo koji od prirodni brojevi Možete odabrati svoj individualni znak djeliteti ili "Composite" ako je broj više od nekoliko različiti brojevi, No, kao što praksa pokazuje, uglavnom veći broj, to je teži njezin znak. Možda je vrijeme provedeno na provjeru znaka nedjelje ili više od samog podjele. Stoga, obično koristimo najjednostavnije znakove djeljive.

U ovom članku ćemo analizirati podjela cijelih brojeva s ostatkom, Počnimo s općim načelom podjele cijelih brojeva s ostatkom, formuliramo i dokazimo teoremu o djelistibilnosti cijelih brojeva s ostatkom, prateći vezu između djelilja, razdjelnika, nepotpunog privatnog i ostatka. Zatim provedemo pravila na kojima se provodi podjela cjelih s ostatkom i razmotriti uporabu ovih pravila pri rješavanju primjera. Nakon toga naučite kako provjeriti rezultat podjele cijelih brojeva s ostatkom.

Navigacijsku stranicu.

Opći pogled na podjelu cijelih brojeva s ostatkom

Podjela cijelih brojeva s ostatkom smatrat ćemo kao generalizacija podjele s ostatkom prirodnih brojeva. To je zbog činjenice da su prirodni brojevi dio cijeli brojevi.

Počnimo s uvjetima i oznakama koje se koriste u opisu.

Po analogiji s podjelom prirodnih brojeva s ostatkom, pretpostavit ćemo da je rezultat dijeljenja s ostatkom dvaju cijelih brojeva A i B (B nije nula) dva cijela broja C i D. Brojevi A i B se nazivaju djeljiv i šestar Prema tome, broj D - talog od podjele A na B, a cijeli broj c naziva se nepotpuna privatna (ili jednostavno privatniako je ostatak nula).

Slažemo se pretpostaviti da je ostatak ne-negativan broj, a njegova vrijednost ne prelazi B, to jest, upoznali smo se, kada smo rekli o usporedbi s tri i više cijelih brojeva).

Ako je broj C nepotpuno privatan, a broj D je ostatak od podjele cijeli broj po cijelom broju B, tada ćemo takva činjenica ukratko zabilježiti kao jednakost obrasca A: b \u003d c (Ost. D).

Imajte na umu da kada podijelite cijeli broj A na cijeli broj B, ostatak može biti nula. U ovom slučaju, kažu da je A podijeljen na b bez ostataka (ili dkape). Stoga je podjela cijelih brojeva bez ostatka poseban slučaj podjele cijelih brojeva s ostatkom.

Također je vrijedno reći da kada se dijeli nula za neki cijeli broj, uvijek se bavimo podjelom bez ravnoteže, jer u ovom slučaju privatna će biti nula (vidi dio teorije nula podjele) i ostatak također će biti nula.

Određena terminologijom i oznakama, sada ćemo razumjeti sa značenjem podjele cijelih brojeva s ostacima.

Podjela čitavog negativnog broja A na cijeli pozitivan broj B može se dati i značenju. Da biste to učinili, razmislite o cijelom negativnom broju kao dug. Zamislite ovu situaciju. Dug koji čini stavke moraju isplatiti osobu B tako što čini isti doprinos. Apsolutna vrijednost nepotpunih privatnih C u ovom slučaju će odrediti iznos duga svakog od tih ljudi, a ostatak D će pokazati koliko će stavki ostati nakon plaćanja duga. Dajmo primjer. Pretpostavimo da 2 osobe trebaju 7 jabuka. Ako pretpostavimo da bi svaka od njih trebala biti 4 jabuke, a zatim nakon plaćanja duga, ostaju 1 jabuka. Ova situacija odgovara jednakosti (-7): 2 \u003d -4 (OST. 1).

Odjel s ostatkom proizvoljnog cijelog broja A za cjelinu negativan broj Nećemo dati nikakvu točku, ali ostavit ćemo pravo na postojanje.

Teorem o djelićnosti cijelih brojeva s ostatkom

Kada smo razgovarali o podjeli prirodnih brojeva s ostatkom, saznali su da je to neživotno, razdjelnik B, nepotpun privatni C i ostatak D se odnose na ravnopravnost a \u003d b · c + d. Za cijele brojeve, A, B, C i D karakterizira ista veza. Ova veza je odobrena sljedećim teorem s definicijom s ostatkom.

Teorema.

Bilo koji cijeli broj a svibanj biti jedini put kroz cijeli broj i različit od nultog broja B kao a \u003d b · · · · · · r, gdje su Q i R neki cijeli brojevi i.

Dokaz.

Prvo, dokazujemo mogućnost zastupanja a \u003d b · · · r.

Ako se cijeli brojevi A i B tako da je A podijeljen u B usmjeren, tada po definiciji postoji takav cijeli broj q da je \u003d b · q. U ovom slučaju, postoji jednakost a \u003d b · · · r na r \u003d 0.

Sada pretpostavljamo da je B cijeli broj pozitivan broj. Odaberite cijeli broj q na takav način da proizvod b · · q ne prelazi broj A, a proizvod b · (Q + 1) već je bio veći od a. To jest, uzeti q tako da nejednakosti b · q

Ostaje dokazati mogućnost reprezentacije a \u003d b · · · · r za negativan b.

Budući da je modul broja B u ovom slučaju pozitivan broj, zatim za prezentaciju, gdje je Q1 neki cijeli broj, a R je cijeli broj zadovoljavajućih uvjeta. Zatim, usvajanje q \u003d -q 1, dobivamo ideju vizualnog prikaza a \u003d b · · · · r za negativni b.

Idite na dokaz o jedinstvenosti.

Pretpostavimo da je pored prikaza a \u003d b · · · · · · · · · q i r - cijeli brojevi i, postoji još jedan prikaz a \u003d b · · · · ^ R1, gdje su Q1 i R1 neki cijeli brojevi, a Q 1 ≠ Q i.

Nakon oduzimanja s lijeve i desnog dijela prve jednakosti, odnosno, lijevi i desni dio druge jednakosti, dobivamo 0 \u003d b · (Q - q 1) + RR 1, što je ekvivalentno ravnopravnosti RR 1 \u003d b · (Q 1 -Q). Tada jednakost vrsta mora biti istinita , i na temelju svojstava modula broja - i jednakosti .

Iz uvjeta i to se može zaključiti. Kao što su q i q 1 cijeli broj i q ≠ q 1, onda gdje ćemo to zaključiti , Iz dobivenih nejednakosti i Slijedi da je jednakost obrasca Nemoguće je na našoj pretpostavci. Stoga ne postoji drugi prikaz broja A, osim a \u003d b · · · · r.

Veze između djeljivosti, razdjelnika, nepotpunih privatnih i ostataka

Jednakost A \u003d C + D omogućuje vam da pronađete nepoznatu podjelu, ako je poznat razdjelnika B, nepotpun privatni C i ostatak d. Razmotrite primjer.

Primjer.

Što je jednako nedjeljivo ako je moguće za cijeli broj -21, nepotpun privatni 5 i ostatak 12?

Odluka.

Moramo izračunati Delimi A, kada je razdjelnik B \u003d -21 poznat, dovoljno nepotpun C \u003d 5 i ostatak d \u003d 12. Kontaktiranjem jednakosti a \u003d b · c + d, dobivamo a \u003d (- 21) · 5 + 12. Promatrajući, prvo, prvo trošimo množenje cijelih brojeva -21 i 5 prema pravilu umnožavanja cijelih brojeva s različitim znakovima, nakon čega izvodimo dodavanje cijelih brojeva s različitim znakovima: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93.

Odgovor:

−93 .

Odnosi između djeljivih, divizorija, nepotpunih privatnih i ostataka također su izraženi jednakosti obrasca B \u003d (a - d): C, C \u003d (A - d): B i D \u003d A-B · C. Te jednakosti omogućuju izračunavanje razdjelnika, nepotpune privatne i ostatke. Često moramo pronaći ostatak od podjele cijeli broj A na cijeli broj B, kada je podjela, razdjelnik i nepotpun, koristeći formulu d \u003d A-b · c. Tako da u budućnosti nema pitanja, analizirat ćemo primjer izračunavanja ostatka.

Primjer.

Pronađite ravnotežu od podjele cijele broj -19 na cijeli broj 3, ako je poznato da je nepotpuna privatna jednaka -7.

Odluka.

Za izračunavanje ostatka iz podjele koristimo formulu obrasca d \u003d a-b · c. Iz stanja imamo sve potrebne podatke a \u003d -19, b \u003d 3, c \u003d -7. Dobivamo d \u003d ab · C \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (razlika -19 - (- 21) izračunali smo prema pravilu oduzimanja cijeli negativan broj).

Odgovor:

Odjel s ostatkom cijelih pozitivnih brojeva, primjeri

Kao što smo više puta primijetili, cijeli pozitivni brojevi su prirodni brojevi. Stoga se podjela s ostatkom čitavih pozitivnih brojeva provodi u svim pravilima podjele s ostatkom prirodnih brojeva. Vrlo je važno biti u mogućnosti lako izvoditi podjelu s ostatkom prirodnih brojeva, budući da je osnova dijeljenja ne samo cijeli pozitivne brojeve, nego iu srcu svih pravila o podjeli s ostatkom proizvoljnih cijelih brojeva.

S naše točke gledišta, najpogodnije je za izvođenje podjele pomoću stupca, ova metoda vam omogućuje da dobijete i nepotpunu privatnu (ili samo privatnu) i ostatak. Razmotrite primjer podjele s ostatkom cijelih pozitivnih brojeva.

Primjer.

Izvršite podjelu s ostatkom broja 14 671 za 54.

Odluka.

Izvršite podjelu tih pozitivnih brojeva po fazi:

Nepotpuni privatni pokazali su se jednako 271, a ostatak je 37.

Odgovor:

14 671: 54 \u003d 271 (OST. 37).

Pravilo podjele s ostatkom pozitivnog broja odgovarajućih, primjera

Formuliramo pravilo koje vam omogućuje da obavite podjelu s cijelim pozitivnim brojem na cijeli negativni broj.

Nepotpuna privatna od podjele cjelobrojnog pozitivnog broja A na cijeli negativni broj B je broj nasuprot nepotpuno privatno od podjele A do modula broja B, a ostatak od podjele A na B je jednak ravnoteži podjele ,

Ovo pravilo podrazumijeva da je nepotpuna privatna od podjele cijeli broj pozitivnog broja na cijeli negativni broj integritet.

Remake najavljeno pravilo u algoritamu podjele s ostatkom čitavog pozitivnog broja adekvatnih:

• Mi dijelimo modul za divisory na modulu razdjelnika, dobivamo nepotpun privatni i ostatak. (Ako je ostatak ispao biti jednak nuli, tada su početni brojevi podijeljeni bez ostatka, a prema pravilima podjele cijelih brojeva s suprotnim znakovima, traženi do datume je jednak broju suprotno particiji od podjela modula.)
• Zabilježite broj nasuprot primljenim nepotpunim privatnim i ostatkom. Ovi brojevi su respektivno željeni privatni i ostatak od podjele početnog broja pozitivnog broja u cijelom negativnom.

Dajemo primjer korištenja algoritam za dijeljenje cijelog pozitivnog broja u cijelom negativnom.

Primjer.

Izvršite podjelu s ostatkom pozitivnog broja 17 na cijeli negativni broj -5.

Odluka.

Koristimo algoritam podjele s ostatkom pozitivnog broja na cijeli negativ.

Dijeljenje

Broj je suprotan broj 3 je -3. Dakle, željeni nepotpun privatni iz podjele 17 do -5 je -3, a ostatak je 2.

Odgovor:

17: (- 5) \u003d - 3 (OST. 2).

Primjer.

Podijeliti 45 na -15.

Odluka.

Delimo i razdjelnici su 45 i 15. Broj 45 je podijeljen na 15 bez ostatka, privatno je jednak 3. Prema tome, cijeli broj pozitivan broj 45 podijeljen je na cijeli negativan broj -15 bez ostatka, privatni u isto vrijeme je jednak broju suprotnom do 3, to jest, -3. Doista, prema pravilu podjele cijelih brojeva s različitim znakovima imamo.

Odgovor:

45:(−15)=−3 .

Odjel s potpuno negativnim brojem pozitivnih, primjera

Mi ćemo dati tekst pravila podjele s ostatkom cijelog negativnog broja u cijeli pozitivan.

Da biste dobili nepotpun privatni C od podjele cijelog negativnog broja A na cijeli pozitivan broj B, morate uzeti broj suprotno nepotpuno privatno od podjele modula početnih brojeva i odbiti jedinicu iz njega, nakon koji se ostatak obrask izračuna u skladu s formulom d \u003d ab · c.

Iz ovog pravila podjele s ostatkom slijedi da je nepotpuna privatna od podjele cijelog negativnog broja za cijeli pozitivan broj je cijeli negativan broj.

Od glasove vladavine podrazumijeva algoritam podjele s ravnotežom cijelog negativnog broja A na cijeli pozitivni B:

• Pronašli smo module podjele i razdjelnika.
• Mi dijelimo modul za divisory na modulu razdjelnika, dobivamo nepotpun privatni i ostatak. (Ako je ostatak nula, početni cijeli brojevi su podijeljeni bez ostatka, a traženi privatni je jednak broju suprotno privatnim modulima.)
• Pišemo broj nasuprot dobivenoj nepotpunoj privatnoj i oduzmite broj 1 od njega. Izračunati broj je željeni nepotpun privatni C iz podjele početnog cijelog negativnog broja na cijeli broj.

Analizirat ćemo rješenje primjera u kojem koristimo snimljeni algoritam podjele s ostatkom.

Primjer.

Pronađite nepotpun privatni i ostatak od podjele cijelog negativnog broja -17 za cijeli pozitivan broj 5.

Odluka.

Dividera -17 modul je 17, a modul razdjelnika 5 je 5.

Dijeljenje 17 do 5, dobili smo nepotpunu privatnu 3 i ostatak 2.

Broj nasuprot 3 je -3. Mi oduzimamo od -3 jedinice: -3-1 \u003d -4. Dakle, željeni nepotpuni privatni je -4.

Ostaje izračunati ostatak. U našem primjeru A \u003d -17, B \u003d 5, C \u003d -4, zatim d \u003d A-B \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Dakle, nepotpuna privatna od podjele cijelog negativnog broja -17 na cijeli pozitivni broj 5 je -4, a ostatak je 3.

Odgovor:

(-17): 5 \u003d -4 (OST. 3).

Primjer.

Podijelite cijeli negativni broj -1 404 pozitivnim brojem 26.

Odluka.

Modul Dividenda je 1 404, razdjelnici je 26.

Podijelili smo 1 404 na 26. mjestu:

Budući da je modul podijeljenog podijeljen u razdjelnici modul bez ostatka, početni cijeli brojevi su podijeljeni bez ostatka, a željeni privatni je jednak broju suprotnom na 54, to jest, -54.

Odgovor:

(−1 404):26=−54 .

Pravilo podjele s ostatkom cjelovitih negativnih brojeva, primjeri

Formuliramo pravilu podjele s ostatkom cjelovitih negativnih brojeva.

Kako bi se dobio nepotpun privatni C od podjele cijelog negativnog broja a na cijeli negativni broj B, potrebno je izračunati nepotpun privatni na podjeli inicijalnih brojeva modula i dodati jedinicu na njega, nakon toga ostatak D izračunava u skladu s formulom d \u003d ab · c.

Ovo pravilo podrazumijeva da je nepotpun privatni iz podjele cijelih negativnih brojeva je cijeli pozitivan broj.

Mi prepisujemo glasovilo pravilo u obliku algoritma za dijeljenje cijelih negativnih brojeva:

• Pronašli smo module podjele i razdjelnika.
• Mi dijelimo modul za divisory na modulu razdjelnika, dobivamo nepotpun privatni i ostatak. (Ako je ostatak nula, tada su početni cijeli brojevi podijeljeni bez ostatka, a tražena privatna je jednaka privatnom dijelu razdjelnika modula razdjelnika.)
• Dodaje se na dobivenu nepotpunu privatnu jedinicu, ovaj broj je željeno nepotpuno samo od podjele početnih cijelih negativnih brojeva.
• Izračunajte ostatak prema formuli D \u003d A-B · c.

Razmotrite uporabu algoritma za dijeljenje cijelih negativnih brojeva pri rješavanju primjera.

Primjer.

Pronađite nepotpun privatni i ostatak od podjele cijelog negativnog broja -17 do cijelog negativnog broja -5.

Odluka.

Koristimo odgovarajući algoritam podjele s ostatkom.

Modul dividende je 17, modul razdjelnika je 5.

Podjela 17 na 5 daje nepotpunu privatnu 3 i ostatak 2.

Nepotpunom privatnom 3 dodajte jedinicu: 3 + 1 \u003d 4. Prema tome, željeni nepotpun privatni iz divizije -17 do -5 je 4.

Ostaje izračunati ostatak. U ovom primjeru, A \u003d -17, B \u003d -5, C \u003d 4, zatim d \u003d A-B \u003d -17- (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Dakle, nepotpuna privatna od podjele cijelog negativnog broja -17 na cijeli negativni broj -5 je 4, a ostatak je 3.

Odgovor:

(-17): (- 5) \u003d 4 (OST. 3).

Provjerite rezultat podjele cijelih brojeva s ostatkom

Nakon određivanja cijelih brojeva s ostatkom, korisno je provjeriti dobiveni rezultat. Provjera se provodi u dvije faze. U prvoj fazi se provjerava je li ostatak D ne-negativan broj, a stanje se provjerava. Ako se naprave svi uvjeti prve faze čega, onda možete početi do druge faze provjere, inače se može tvrditi da je pogreška napravljena prilikom podjele s ostatkom. U drugoj fazi provjerava valjanost jednakosti a \u003d b · c + d. Ako je ta jednakost valjana, podjela s ostatkom ispravno je provedena, inače je pogreška napravljena negdje.

Razmotrite rješenja primjera u kojima se provodi rezultat podjele cjelih brojeva s ostatkom.

Primjer.

Prilikom podjele broja -521 na -12, dobiveni su nepotpuni privatni 44 i ostatak 7, slijedite rezultat.

Odluka. -2 za B \u003d -3, C \u003d 7, d \u003d 1. Imati b · C + D \u003d -3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20, Dakle, jednakost a \u003d b · c + d je netočan (u našem primjeru A \u003d -19).

Prema tome, podjela s ostatkom je netočna.

Članak diselira koncept podjele cijelih brojeva s ostatkom. Dokazujemo teorem o djeljivosti cijelih brojeva s ostatkom i pogledaj odnos između podjela i divisora, nepotpunih privatnih i ostataka. Razmotrite pravila kada su cijeli brojevi podijeljeni s ostacima, detaljno ispitani na primjerima. Na kraju odluke će izvršiti ček.

Opći pogled na podjelu cijelih brojeva s ostacima

Podjela cijelih brojeva s ostatkom smatra se generaliziranom podjelom s ostatkom prirodnih brojeva. To je učinjeno jer su prirodni brojevi sastavni dio cjeline.

Odjel s ostatkom proizvoljnog broja sugerira da je cijeli broj A podijeljen s brojem B, različitom od nule. Ako je b \u003d 0, nemojte proizvoditi podjelu s ostatkom.

Kao i podjela prirodnih brojeva s ostatkom, podjela cijelih brojeva A i B je napravljen, s B različitom od nule, na c i d. U tom slučaju, A i B se nazivaju djelić i razdjelnik, a D je ostatak sredstva, C je cijeli broj ili nepotpuno privatno.

Ako pretpostavimo da je ostatak ne-negativan broj, njegova vrijednost nije veća od broja b. Pišemo na ovaj način: 0 ≤ D ≤ b. Ovaj lanac nejednakosti koristi se pri usporedbi 3 i više od broja brojeva.

Ako je C nepotpun privatno, onda D je ostatak od dijeljenja cijeli broj po b, ukratko se može popraviti: A: B \u003d C (OST. D).

Ostatak tijekom podjele brojeva A na B je moguća nula, a zatim kažu da je A podijeljen na B Focus, to jest, bez ostatka. Divizija bez ostatka smatra se posebnim slučajem podjele.

Ako podijelimo nulu za neki broj, dobivamo kao rezultat nule. Ostatak ravnoteže također će biti nula. To se može pratiti od teorije dijeljenja nule po cijelom broju.

Sada razmotrite značenje podjele cijelih brojeva s ostatkom.

Poznato je da su cijeli pozitivni brojevi prirodni, kada se dijele s ostatkom, to će biti isti smisao, kao u podjeli prirodnih brojeva s ostatkom.

Prilikom podjele cijelog negativnog broja A, cijeli pozitivni B postoji značenje. Razmislite o primjeru. Koji predstavljaju situaciju kada imamo dug objekata u količini A, koju trebate platiti B. Da biste to učinili, morate napraviti isti doprinos svima. Da biste odredili iznos duga za svakoga, potrebno je obratiti pozornost na veličinu privatnog s. Ostatak D kaže da su brojni predmeti poznati nakon odricanja od odgovornosti s dugovima.

Razmislite o primjeru jabukama. Ako 2 osobe trebaju 7 jabuka. U slučaju da se smatra da se svatko mora vratiti na 4 jabuke, nakon potpunog izračuna, oni će ostati 1 jabuka. Pišemo u obliku jednakosti: (- 7): 2 \u003d - 4 (o s t. 1).

Podjela bilo kojeg broja i nema smisla, ali možda kao opcija.

Teorem o djelićnosti cijelih brojeva s ostatkom

Otkrili smo da je - to je djeljiv, onda B je razdjelnik, s - nepotpunim privatnim, a D je ostatak. Međusobno su povezani. Ova veza će se prikazati uz pomoć jednakosti a \u003d b · c + d. Odnos između njih karakterizira teorest divizija s ostatkom.

Teorema

Bilo koji cijeli broj može biti predstavljen samo kroz cijeli broj i razlikuje se od nula broja B na ovaj način: a \u003d b · · · ^ r, gdje su Q i R neki cijeli brojevi. Ovdje imamo 0 ≤ r ≤ b.

Dokazujemo mogućnost postojanja a \u003d b · Q + R.

Dokaz

Ako postoje dva broja A i B, a A je podijeljen na B bez ostatka, slijedi iz definicije da postoji broj Q, koji će biti istinska jednakost a \u003d b · Q. Tada se jednakost može smatrati istinitom: a \u003d b · · · r s r \u003d 0.

Tada je potrebno uzeti Q takav da je ta nejednakost b · Q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Imamo da vrijednost izraza A - B je veća od nule i ne više vrijednosti broja B, slijedi da je r \u003d a-b · Q. Dobivamo da se broj A može biti predstavljen kao a \u003d b · Q + r.

Sada je potrebno razmotriti mogućnost zastupanja a \u003d b · · · r za negativne vrijednosti b.

Modul broja dobiva se pozitivan, zatim dobivamo a \u003d b · · · ^ r, gdje je vrijednost Q 1 neki cijeli broj, R je cijeli broj koji odgovara stanju 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Dokaz o jedinstvenosti

Pretpostavimo da su a \u003d b · · · ^ r, Q i R cijeli brojevi s vjerničkim uvjetima 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где Q 1. i R 1 su neki brojevi gdje P 1 ≠ Q 0 ≤ r 1< b .

Kada se nejednakost oduzima s lijeve i desne dijelove, onda dobivamo 0 \u003d b · (Q - q 1) + R1, koji je ekvivalentan R-R1 \u003d B · Q 1 - Q. Budući da se modul koristi, dobivamo ravnopravnost R - R1 \u003d b · Q 1 - Q.

Navedeno stanje sugerira da je 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что P:i Q 1.- cjelinu i Q ≠ q 1, zatim q 1 - q ≥ 1. Odavde imamo taj b · q 1 - q ≥ b. Dobivene nejednakosti r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Slijedi da se ne može prikazati drugačiji broj A ne može se prikazati, osim kao takav zapis A \u003d B · Q + R.

Komunikacija između djeljivosti, razdjelnika, nepotpunog privatnog i ostatka

Uz pomoć jednakosti A \u003d B · C + D, nepoznata podjela može se naći kada je razdjelnici B poznat s nepotpunim privatnim C i ostatak d.

Primjer 1.

Odredite dividimi ako se dobije podjela - 21, nepotpuna privatna 5 i ostatak 12.

Odluka

Potrebno je izračunati Delimi A s poznatim razdjelnikom B \u003d - 21, nepotpunim privatnim C \u003d 5 i ostatak D \u003d 12. Potrebno je uputiti na jednakost a \u003d b · c + d, dobivamo a \u003d (- 21) · 5 + 12. Prema postupku za obavljanje radnji, pomnožite - 21 do 5, nakon toga dobivamo (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Odgovor: - 93 .

Odnos između razdjelnika i nepotpunog privatnog i ostatka može se izraziti korištenjem jednadžbi: B \u003d (a - d): C, C \u003d (A - d): B i D \u003d A-B · c. Uz njihovu pomoć, možemo izračunati razdjelnika, nepotpune privatne i ostatke. To se smanjuje na konstantan nalaz ostatka od podjele cijelih cijelih brojeva A na B s poznatim djelićnim, razdjelnikom i nepotpunim privatnim. Primijenjena je formula D \u003d A-B · C. Razmotrite odluku detaljno.

Primjer 2.

Pronađite ostatak iz podjele cijelog broja - 19 po cijeloj 3 s poznatim nepotpunim privatnim jednakim 7.

Odluka

Za izračunavanje ostatka iz podjele primjenjujemo formulu obrasca d \u003d a-b · c. Pod uvjetom, svi podaci a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7 su dostupni. Odavde dobivamo d \u003d a-b · c \u003d - 19 - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (razlika je 19 - (- 21). Ovaj primjer je izračunati prema pravilu odbitka. Cijeli negativan broj.

Odgovor: 2 .

Svi cijeli broj pozitivni brojevi su prirodni. Slijedi da se podjela izvodi na svim pravilima o podjeli s ostatkom prirodnih brojeva. Stopa izvršenja podjele s ostatkom prirodnih brojeva je važna, jer je utemeljena ne samo podjela pozitivnih, nego i pravila za dijeljenje cijelog proizvoljnog.

Najpogodnija metoda podjele je stupac, jer je lakše i brže dobiti nepotpun ili samo privatno s ostatkom. Razmotrite odluku detaljnije.

Primjer 3.

Odluka 14671 do 54.

Odluka

Ova podjela mora obavljati stupac:

To jest, nepotpun privatno se dobiva jednak 271, a ostatak je 37.

Odgovor: 14 671: 54 \u003d 271. (OST. 37)

Pravilo podjele s ostatkom pozitivnog broja odgovarajućih, primjera

Da biste se podijelili s ostatkom pozitivnog broja za potpuno negativno, potrebno je formulirati pravilo.

Definicija 1.

Nepotpuna privatna od podjele cjelovite pozitivne A na cijeli negativni B primaju broj koji je suprotan nepotpuno privatno od podjele brojeva po b. Tada ostatak je jednak ostatku kada se dijeli na b.

Odavde imamo taj nepotpuno privatni iz podjele cijeli jednokratni broj za cijeli negativan broj smatra se brojem ne-mentalnog broja.

Dobivamo algoritam:

• podijelite modul za divisory s modulom razdjelnika, a zatim dobivamo nepotpune privatne i
• talog;
• pišemo broj nasuprot nastalih.

Razmotrite o primjeru algoritma za podjelu čitavog pozitivnog broja u cijelom negativnom.

Primjer 4.

Izvršite podjelu s ostatkom 17 do 5.

Odluka

Nanesite algoritam podjele s cijelim pozitivnim brojem čitavog negativnog. Potrebno je podijeliti modul od 17 do 5. Odavde dobivamo to nepotpuno privatno je 3, a ostatak je 2.

Dobivamo da je željeni broj od podjele 17 do - 5 \u003d - 3 s ostatkom jednak 2.

Odgovor: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST. 2).

Primjer 5.

Potrebno je podijeliti 45 do 15.

Odluka

Potrebno je podijeliti brojeve po modulu. Broj 45 je podijeljen s 15, dobit ćemo privatnu 3 bez ostatka. Dakle, broj 45 je podijeljen u 15 bez ostatka. Kao odgovor, dobivamo - 3, budući da je podjela izvršena u modulu.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Odgovor: 45: (− 15) = − 3 .

Tekst pravila o podjeli s ostatkom je kako slijedi.

Definicija 2.

Kako bi se dobio nepotpun privatni C prilikom podjele cijelog negativnog a po pozitivnom B, morate se primijeniti suprotno tom broju i oduzeti od njega 1, zatim će se ostatak izračunati pomoću formule: d \u003d a-b · c.

Na temelju pravila može se zaključiti da kada se dijelimo, dobivamo ne-negativni broj. Za točnost rješenja, algoritam podjele A na B se koristi s ostatkom:

• pronađite module podjele i razdjelnika;
• podijelite modul;
• zabilježiti suprotno od tog broja i oduzeti 1;
• koristite formulu za ostatak d \u003d a-b · c.

Razmotrite o primjeru rješenja u kojem se primjenjuje ovaj algoritam.

Primjer 6.

Pronađite nepotpunu privatnu i ravnotežu od podjele - 17 do 5.

Odluka

Podijelite navedene brojeve u modulu. To dobivamo u podjeli privatnog jednaka 3, a ostatak 2. Budući da su dobili 3, nasuprot - 3. Potrebno je oduzeti 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Željena vrijednost je 100. jednaka 4.

Da bi se izračunao ostatak, potrebno je A \u003d - 17, B \u003d 5, C \u003d - 4, zatim d \u003d A-B · C \u003d - 17 - 17 - 5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Dakle, nepotpuna privatna iz podjele je broj - 4 s ostatkom jednako 3.

Odgovor: (- 17): 5 \u003d - 4 (OST. 3).

Primjer 7.

Podijelite cijeli negativan broj - 1404 po pozitivnom 26.

Odluka

Potrebno je podijeliti stupac i na blatno.

Imamo podjelu modula brojeva bez ostatka. To znači da se podjela izvodi bez ostatka, ali umjetničko privatno \u003d - 54.

Odgovor: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Pravilo podjele s ostatkom cjelovitih negativnih brojeva, primjeri

Potrebno je formulirati pravilo podjele s ostatkom cjelokupnih negativnih brojeva.

Definicija 3.

Da bi se dobio nepotpun privatni C od podjele cijelog negativnog broja a do cijelog negativnog B, potrebno je izračunati modul u modulu, nakon čega doda se 1, a zatim možemo napraviti izračune u skladu s formulom d \u003d a - b · c.

Odavde slijedi da će nepotpuna privatna od podjela cijelog negativnog brojeva biti pozitivan.

Ovo pravilo formuliramo kao algoritam:

• pronađite module podjele i razdjelnika;
• podijelite modul razdjelnika na razdjelniku da biste dobili nepotpunu privatnu
• talog;
• prilagođen 1 do nepotpunih privatnih;
• izračun ostatka, na temelju formule D \u003d A-B · c.

Ovaj algoritam će pogledati na primjer.

Primjer 8.

Pronađite nepotpun privatni i ostatak tijekom podjele - 17 do 5.

Odluka

Za ispravnost odluke primjenjujemo algoritam za dijeljenje s ostatkom. Početi povući broj u modulu. Odavde dobivamo tu nepotpunu privatnu \u003d 3, a ostatak je 2. Prema pravilu, potrebno je dodati nepotpunu privatnu i 1. Dobivamo to 3 + 1 \u003d 4. Odavde dobivamo da je nepotpuna privatna iz podjele danih brojeva je 4.

Da biste izračunali ostatak, primjenjujemo formulu. Pod uvjetom, imamo to A \u003d - 17, B \u003d - 5, C \u003d 4, zatim, koristeći formulu, dobivamo d \u003d a-b · c \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - ( - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Željeni odgovor, tj. Ostatak je 3, a nepotpuna privatna je 4.

Odgovor: (- 17): (- 5) \u003d 4 (OST. 3).

Provjerite rezultat podjele cijelih brojeva s ostatkom

Nakon podjele brojeva s ostatkom morate provjeriti. Ova provjera podrazumijeva 2 faze. U početku postoji ček ostatka D na ne-negativnosti, izvedbu stanja 0 ≤ D< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Razmotriti pri primjerima.

Primjer 9.

Odjel je proizveden - 521 na - 12. Privatna jednaka 44, ostatak 7. Izvedite ček.

Odluka

Budući da je ostatak pozitivan broj, njegova vrijednost je manja od modula divisor. Razdjelnik je jednak 12, to znači da je njegov modul 12. Možete otići na sljedeću stavku čekanja.

Pod uvjetom, imamo to A \u003d - 521, B \u003d - 12, C \u003d 44, D \u003d 7. Odavde izračunamo B · C + D, gdje B · C + D \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Slijedi da je jednakost točna. Prolazi provjera.

Primjer 10.

Provjerite podjelu (- 17): 5 \u003d - 3 (OST. - 2). Je li jednakost istinita?

Odluka

Značenje prve faze je da je potrebno provjeriti podjelu cijelih brojeva s ostatkom. Može se vidjeti da se akcija nepravilno napravi, jer je ostatak jednak 2. Ostatak nije negativan broj.

Imamo da se napravi drugi uvjet, ali nije dovoljno za ovaj slučaj.

Odgovor: ne.

Primjer 11.

Broj - 19 je podijeljen na 3. Nepotpuna privatna jednaka 7, a ostatak 1. Provjerite je li ovaj izračun istinit.

Odluka

Dan ostatak jednak 1. On je pozitivan. Magnitudom manjim od modula razdjelnika, to znači da se vrši prva faza. Okrenimo se drugoj fazi.

Izračunajte vrijednost ekspresije b · c + D. Pod uvjetom, imamo taj B \u003d - 3, C \u003d 7, D \u003d 1, to znači da zamjena numeričkih vrijednosti dobivamo B · C + D \u003d 3 · 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Slijedi da se ne izvodi a \u003d b · c + d jednakost, jer se stanje daje a \u003d - 19.

Stoga se zaključak da je podjela napravljena s pogreškom.

Odgovor: ne.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

Razmotrite jednostavan primjer:
15:5=3
U ovom primjeru, prirodni broj 15 koji smo podijelili dkape3, bez ravnoteže.

Ponekad je prirodni broj u potpunosti mogao podijeliti fokus. Na primjer, razmotrite zadatak:
16 igračaka ležalo je u ormaru. Grupa je imala pet djece. Svako dijete je uzeo isti broj igračaka. Koliko igračaka ima svako dijete?

Odluka:
Podijelimo broj 16 na 5 stupca dobivamo:

Znamo da je 16 ne dijeli. Najnižniji broj koji je podijeljen s 5 je 15 i 1 u ostatku. Broj 15 možemo slikati kao 5⋅3. Kao rezultat (16 - delimi, 5 - razdjelnici, 3 - nepotpuni privatni, 1 - ostatak). Primljen formula odjel s ostatkomšto se može učiniti provjera rješenja.

a.= b.⋅ c.+ d.
a. - Delimi,
b. - razdjelnik,
c. - nepotpuna privatna,
d. - ravnoteža.

Odgovor: Svako dijete će potrajati 3 igračaka i jedna će se igračka ostati.

Ostatak podjele

Ostatak treba uvijek biti manji od razdjelnika.

Ako je prilikom podjele ostatka nula, to znači da je neživotno dijeljenje dkape Ili bez ravnoteže na razdjelniku.

Ako se podijelite ostatak više divisor, to znači da pronađeni broj nije najveći. Postoji veći broj koji se dijeli i ostatak će biti manji od razdjelnika.

Pitanja o temi "Odluka s ostatkom":
Ostatak može biti više razdjelnika?
Odgovor: Ne.

Ostatak može biti jednak razdjelniku?
Odgovor: Ne.

Kako pronaći djeljiv na nepotpunom privatnom, razdjelniku i ostatku?
Odgovor: Vrijednosti nepotpune privatne, razdjelne i ostatke supstituirane su u formulu i pronađite djeluje. Formula:
a \u003d b⋅c + d

Primjer broj 1:
Izvršite podjelu s ostatkom i provjerite: a) 258: 7 b) 1873: 8

Odluka:
a) Podijelimo stupac:

258 - Delimi,
7 - razdjelnik,
36 - nepotpuna privatna,
6 - ostatak. Ostatak manje razdjelnika 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Podijelimo stupac:

1873 - Delimi,
8 - razdjelnik,
234 - Nepotpuno privatno,
1 - ostatak. Ostatak je manji od razdjelnika 1<8.

Zamjena u formuli i provjerite je li odlučio riješiti primjer:
8⋅234+1=1872+1=1873

Primjer broj 2:
Koji su ostaci dobiveni pri dijeljenju prirodnih brojeva: a) 3 b) 8?

Odgovor:
a) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje 3. U našem slučaju, ostatak može biti jednak 0, 1 ili 2.
b) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje od 8. U našem slučaju, ostatak može biti jednak 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ili 7.

Primjer broj 3:
Koji se najveći ostatak može ispasti pri dijeljenju prirodnih brojeva: a) 9 b) 15?

Odgovor:
a) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje od 9. Ali moramo odrediti najveću ravnotežu. To je najbliži broj razdjelnika. Ovo je broj 8.
b) Ostatak je manji od razdjelnika, dakle, manje od 15 godina. Ali moramo odrediti najveću ravnotežu. To je najbliži broj razdjelnika. Ovo je broj 14.

Primjer broj 4:
Pronađite djelište: a) A: 6 \u003d 3 (OST 4) b) C: 24 \u003d 4 (istok11)

Odluka:
a) umanjenje uz pomoć formule:
a \u003d b⋅c + d
(A - delimi, b - razdjelnici, c - nepotpuni privatni, D - ostatak.)
O: 6 \u003d 3 (OST.4)
(A - delimi, 6 - razdjelnici, 3 - nepotpuni privatni, 4-ostatak.) Zamijenite brojeve u formuli:
a \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Odgovor: A \u003d 22

b) riješeno uz pomoć formule:
a \u003d b⋅c + d
(A - delimi, b - razdjelnici, c - nepotpuni privatni, D - ostatak.)
C: 24 \u003d 4 (istok11)
(C - delimi, 24 - razdjelnici, 4 - nepotpuni privatni, 11 - ostatak.) Zamijenite brojeve u formuli:
C \u003d 24 ° 4 + 11 \u003d 107
Odgovor: c \u003d 107

Zadatak:

Žica 4m. Potrebno je izrezati na komade od 13 cm. Koliko će takvih djela raditi?

Odluka:
Prvo morate prevesti metara do centimetara.
4m. \u003d 400 cm.
Možete dijeliti stupac ili u umu ćemo dobiti:
400: 13 \u003d 30 (OST.10)
Ček:
13⋅30+10=390+10=400

Odgovor: 30 komada ispada i 10 cm će ostati.