Kutni pomak, kutna brzina, kutno ubrzanje, njihov odnos. Kinematika rotacijskog gibanja krutog tijela Koliki je vektor kuta rotacije
S linearnim vrijednostima.
Kutno kretanje je vektorska veličina koja karakterizira promjenu kutne koordinate tijekom njezina kretanja.
Kutna brzina- vektor fizička veličina, koji karakterizira brzinu rotacije tijela. Vektor kutne brzine u veličini jednak kutu rotacija tijela u jedinici vremena:
a usmjerena je po osi rotacije po pravilu kardana, odnosno u smjeru u koji bi se kardan s desnim navojem uvrnuo da se vrti u istom smjeru.
Jedinica za mjerenje kutne brzine, usvojena u SI i CGS sustavima) - radijani po sekundi. (Napomena: radijan je, kao i svaka jedinica kuta, fizički bezdimenzionalan, pa je fizička dimenzija kutne brzine jednostavna). U tehnologiji se također koriste okretaji u sekundi, mnogo rjeđe - stupnjevi u sekundi, stupnjevi u sekundi. Možda se u tehnici najčešće koriste okretaji u minuti - to seže u vrijeme kada se brzina vrtnje niskobrzinskih parnih strojeva određivala jednostavnim "ručnim" prebrojavanjem broja okretaja po jedinici vremena.
Vektorska (trenutačna) brzina bilo koje točke (apsolutno) čvrsta rotacija kutnom brzinom određena je formulom:
gdje je radijus vektor za danu točku od ishodišta smještenog na osi rotacije tijela, a uglaste zagrade označavaju križni proizvod. Linearnu brzinu (koja se podudara s modulom vektora brzine) točke na određenoj udaljenosti (radijusu) r od osi rotacije možemo smatrati na sljedeći način: v = rω. Ako se umjesto radijana koriste druge jedinice kutova, tada će se u posljednje dvije formule pojaviti množitelj koji nije jednak jedan.
U slučaju rotacije ravnine, odnosno kada svi vektori brzina točaka tijela leže (uvijek) u istoj ravnini („ravnina rotacije“), kutna brzina tijela uvijek je okomita na ovu ravninu, a zapravo, ako je ravnina rotacije poznata, može se zamijeniti skalarnom - projekcijom na os ortogonalnu ravnini rotacije. U ovom slučaju kinematika rotacije je uvelike pojednostavljena, međutim, u općem slučaju, kutna brzina može mijenjati smjer tijekom vremena u trodimenzionalnom prostoru, a tako pojednostavljena slika ne funkcionira.
Vremenska derivacija kutne brzine je kutno ubrzanje.
Gibanje s konstantnim vektorom kutne brzine naziva se jednoliko rotacijsko gibanje (u ovom slučaju kutna akceleracija je nula).
Kutna brzina (koja se smatra slobodnim vektorom) jednaka je u svim inercijskim referentnim okvirima, međutim, u različitim inercijskim referentnim okvirima, os ili središte rotacije istog određenog tijela u istom trenutku vremena može se razlikovati (tj. bit će drugačija "točka primjene" kutne brzine).
U slučaju kretanja jedne točke u trodimenzionalnom prostoru, možete napisati izraz za kutnu brzinu ove točke u odnosu na odabrano ishodište:
Gdje je vektor radijusa točke (od ishodišta), brzina je ove točke. - vektorski proizvod, - točkasti umnožak vektora. Međutim, ova formula ne određuje jednoznačno kutnu brzinu (u slučaju jedne točke mogu se odabrati drugi vektori koji su prikladni po definiciji, inače - proizvoljno - odabirom smjera osi rotacije), a za opći slučaj (kada tijelo uključuje više od jedne materijalne točke) - ova formula nije istinita za kutnu brzinu cijelog tijela (jer daje različitu za svaku točku, a kada se apsolutno kruto tijelo rotira, po definiciji, kutna brzina njegovog rotacija je jedini vektor). Uz sve to, u dvodimenzionalnom slučaju (slučaj rotacije ravnine) ova formula je sasvim dovoljna, nedvosmislena i točna, budući da je u ovom konkretnom slučaju smjer osi rotacije definitivno jednoznačno određen.
U slučaju uniforme rotacijsko gibanje(odnosno gibanje s konstantnim vektorom kutne brzine) Dekartovske koordinate točaka tijela koje se na taj način rotira izvode harmonijske oscilacije s kutnom (cikličkom) frekvencijom jednakom modulu vektora kutne brzine.
Prilikom mjerenja kutne brzine u okretajima u sekundi (r/s), modul kutne brzine jednolikog rotacijskog gibanja podudara se s rotacijskom frekvencijom f, mjereno u hercima (Hz)
(odnosno u takvim jedinicama).
U slučaju korištenja uobičajene fizičke jedinice kutne brzine - radiana u sekundi - modul kutne brzine povezan je s frekvencijom rotacije na sljedeći način:
Konačno, kada se koriste stupnjevi u sekundi, odnos prema brzini rotacije bio bi:
Kutno ubrzanje je pseudo-vektorska fizička veličina koja karakterizira brzinu promjene kutne brzine krutog tijela.
Kada se tijelo rotira oko fiksne osi, modul kutnog ubrzanja je:
Vektor kutnog ubrzanja α usmjeren je duž osi rotacije (u stranu s ubrzanom rotacijom i suprotno - s usporenom rotacijom).
Kada se okreće oko fiksne točke, vektor kutnog ubrzanja definira se kao prva vremenska derivacija vektora kutne brzine ω, tj.
i usmjeren je tangencijalno na vektorski hodograf u njegovoj odgovarajućoj točki.
Postoji odnos između tangencijalnog i kutnog ubrzanja:
gdje je R polumjer zakrivljenosti putanje točke u danom trenutku. Dakle, kutna akceleracija jednaka je drugoj derivaciji kuta rotacije u vremenu ili prvom izvodu kutne brzine u vremenu. Kutno ubrzanje se mjeri u rad/sec2.
Kutna brzina i kutno ubrzanje
Zamislimo kruto tijelo koje se rotira oko fiksne osi. Tada će pojedine točke ovog tijela opisati kružnice različitih polumjera, čija središta leže na osi rotacije. Neka se neka točka kreće duž kružnice polumjera R(sl. 6). Njegov položaj nakon nekog vremena D t postaviti kut D. Elementarne (beskonačno male) rotacije mogu se promatrati kao vektori (označeni su s ili) . Veličina vektora jednaka je kutu rotacije, a smjer mu se poklapa sa smjerom translacijskog gibanja vrha vijka čija se glava rotira u smjeru kretanja točke po obodu, t.j. pokorava se pravilo desnog vijka(sl. 6). Vektori čiji su smjerovi povezani sa smjerom rotacije nazivaju se pseudo-vektori ili aksijalni vektori. Ovi vektori nemaju specifične točke primjene: mogu se nacrtati iz bilo koje točke na osi rotacije.
Kutna brzina naziva se vektorska veličina jednaka prvoj derivaciji kuta rotacije tijela s obzirom na vrijeme:
Vektor je usmjeren duž osi rotacije prema pravilu desnog vijka, t.j. isto što i vektor (slika 7). Dimenzija kutne brzine dim w = T - 1 , a jedinica mu je radijani po sekundi (rad/s).
Linearna brzina točke (vidi sliku 6)
U vektorskom obliku, formula za linearnu brzinu može se napisati kao križni umnožak:
U ovom slučaju, modul vektorskog produkta, po definiciji, jednak je, a smjer se poklapa sa smjerom translacijskog gibanja desnog vijka dok se rotira od do R.
Ako je (= const, tada je rotacija ujednačena i može se okarakterizirati s period rotacije T - vrijeme za koje točka napravi jednu potpunu revoluciju, t.j. zaokreti 2p. Od vremenskog intervala D t= T odgovara = 2p, tada = 2p / T, gdje
Broj potpunih okretaja koje tijelo napravi tijekom svog jednolikog kretanja po opsegu, u jedinici vremena, naziva se frekvencija rotacije:
Kutno ubrzanje je vektorska veličina jednaka prvom izvodu kutne brzine s obzirom na vrijeme:
Kada se tijelo okreće oko fiksne osi, vektor kutnog ubrzanja usmjeren je duž osi rotacije prema vektoru elementarnog prirasta kutne brzine. Kod ubrzanog gibanja vektor je kosmjeran s vektorom (slika 8), kod usporenog kretanja je suprotan njemu (slika 9).
Tangencijalna komponenta ubrzanja
Normalna komponenta ubrzanja
Dakle, veza između linearne (dužine puta s koju prelazi točka duž luka kružnice polumjera R, linearna brzina v, tangencijalno ubrzanje , normalno ubrzanje) i kutne veličine (kut rotacije j, kutna brzina w, kutno ubrzanje e) izražavaju se sljedećim formulama:
U slučaju jednako promjenjivog gibanja točke duž kružnice (e = const)
gdje je w 0 početna kutna brzina.
Newtonovi zakoni.
Prvi Newtonov zakon. Težina. Sila
Dinamika je glavni dio mehanike, temelji se na Newtonova tri zakona, koje je on formulirao 1687. Newtonovi zakoni igraju izuzetnu ulogu u mehanici i (kao i svi fizikalni zakoni) generalizacija rezultata golemog ljudskog iskustva. Na njih se gleda kao sustav međusobno povezanih zakona a eksperimentalnoj provjeri ne podliježe svaki pojedini zakon, već cijeli sustav u cjelini.
Prvi Newtonov zakon: bilo koji materijalna točka(tijelo) održava stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog gibanja sve dok ga udar drugih tijela ne prisili da promijeni to stanje... Želja tijela za održavanjem stanja mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja naziva se inercija... Stoga se naziva i prvi Newtonov zakon zakon inercije.
Mehaničko kretanje je relativno, a njegova priroda ovisi o referentnom okviru. Prvi Newtonov zakon nije ispunjen u svakom referentnom okviru, a oni sustavi u odnosu na koje vrijedi nazivaju se inercijski referentni okviri... Inercijski referentni okvir je takav referentni okvir u odnosu na koji materijalna točka, bez vanjskih utjecaja, bilo u mirovanju ili se gibaju jednoliko i pravocrtno. Prvi Newtonov zakon navodi postojanje inercijalnih referentnih okvira.
Eksperimentalno je utvrđeno da se heliocentrični (zvjezdani) referentni sustav može smatrati inercijskim (izvor koordinata je u središtu Sunca, a osi su povučene u smjeru određenih zvijezda). Referentni okvir povezan sa Zemljom, strogo govoreći, nije inercijalan, međutim, učinci zbog njegove neinercije (Zemlja rotira oko svoje osi i oko Sunca) su zanemarivi u rješavanju mnogih problema, a u ovim slučajevima može se smatrati inercijskim.
Iz iskustva je poznato da pod istim utjecajima različita tijela nejednako mijenjaju brzinu gibanja, tj. stječu različita ubrzanja. Ubrzanje ovisi ne samo o veličini udara, već i o svojstvima samog tijela (o njegovoj masi).
Težina tijelo je fizička veličina, koja je jedna od glavnih karakteristika materije, koja određuje njenu inerciju ( inertna masa) i gravitacijski ( gravitacijska masa) Svojstva. Trenutno se može smatrati dokazanim da su inercijska i gravitacijska masa međusobno jednake (s točnošću od najmanje 10-12 njihovih vrijednosti).
Da bi se opisali utjecaji spomenuti u Newtonovom prvom zakonu, uvodi se pojam sile. Pod djelovanjem sila tijela ili mijenjaju brzinu kretanja, odnosno stječu ubrzanje (dinamička manifestacija sila), ili se deformiraju, odnosno mijenjaju oblik i veličinu (statička manifestacija sila). U svakom trenutku vremena silu karakterizira brojčana vrijednost, smjer u prostoru i točka primjene. Tako, sila je vektorska veličina koja je mjera mehanički utjecaj na tijelo sa strane drugih tijela ili polja, uslijed čega tijelo dobiva ubrzanje ili mijenja svoj oblik i veličinu.
Drugi Newtonov zakon
Newtonov drugi zakon - osnovni zakon dinamike translacijskog kretanja - odgovara na pitanje kako se mijenja mehaničko gibanje materijalne točke (tijela) pod djelovanjem sila koje se na nju primjenjuju.
Ako uzmemo u obzir djelovanje različitih sila na isto tijelo, ispada da je ubrzanje koje tijelo postiže uvijek izravno proporcionalno rezultanti primijenjenih sila:
a ~ F (t = konst). (6.1)
Kada ista sila djeluje na tijela različite mase, njihova se akceleracija pokazuje različitim, naime
a ~ 1 / t (F= konst). (6.2)
Koristeći izraze (6.1) i (6.2) i uzimajući u obzir da su sila i ubrzanje vektorske veličine, možemo zapisati
a = kF/m. (6.3)
Relacija (6.3) izražava drugi Newtonov zakon: akceleracija koju postiže materijalna točka (tijelo), proporcionalna sili koja je uzrokuje, podudara se s njom u smjeru i obrnuto je proporcionalna masi materijalne točke (tijela).
U faktoru proporcionalnosti SI k = 1. Zatim
(6.4)
S obzirom da je masa materijalne točke (tijela) u klasična mehanika je konstantna vrijednost, u izraz (6.4) može se unijeti pod predznakom derivacije:
Vektorska količina
brojčano jednak umnošku mase materijalne točke s njezinom brzinom i ima smjer brzine, naziva se impuls (količina pokreta) ovu materijalnu točku.
Zamjenom (6.6) u (6.5) dobivamo
Ovaj izraz - općenitija formulacija Newtonovog drugog zakona: brzina promjene količine gibanja materijalne točke jednaka je sili koja na nju djeluje. Izraz (6.7) se zove jednadžba gibanja materijalne točke.
Jedinica za snagu u SI je Newton(N): 1 N je sila koja daje akceleraciju od 1 m/s 2 masi od 1 kg u smjeru djelovanja sile:
1 N = 1 kg × m / s 2.
Drugi Newtonov zakon vrijedi samo u inercijskim referentnim okvirima. Prvi Newtonov zakon može se dobiti iz drugog. Doista, ako su rezultantne sile jednake nuli (u nedostatku djelovanja drugih tijela na tijelo), akceleracija (vidi (6.3)) također je nula. ali Prvi Newtonov zakon viđeno kao neovisno pravo(a ne kao posljedica drugog zakona), budući da je on taj koji tvrdi postojanje inercijalnih referentnih okvira, u kojima je ispunjena samo jednadžba (6.7).
U mehanici veliku važnost Ima princip neovisnosti djelovanja sila: ako više sila istovremeno djeluje na materijalnu točku, tada svaka od tih sila daje ubrzanje materijalnoj točki prema drugom Newtonovom zakonu, kao da nema drugih sila. Prema ovom principu sile i ubrzanja mogu se razložiti na komponente, čija upotreba dovodi do značajnog pojednostavljenja rješavanja problema. Na primjer, na sl. deset aktivna snaga F = m a se rastavlja na dvije komponente: tangencijalnu silu F t, (usmjerenu tangencijalno na putanju) i normalnu silu F n(usmjeren normalno na središte zakrivljenosti). Koristeći izraze i kao , možete napisati:
Ako više sila djeluje istovremeno na materijalnu točku, tada, prema načelu neovisnosti djelovanja sila, pod F u drugom Newtonovom zakonu podrazumijevamo rezultirajuću silu.
Treći Newtonov zakon
Određuje se interakcija između materijalnih točaka (tijela). Treći Newtonov zakon: svako djelovanje materijalnih točaka (tijela) jedna na drugu ima karakter interakcije; sile kojima materijalne točke djeluju jedna na drugu uvijek su jednake po veličini, suprotno usmjerene i djeluju duž ravne linije koja povezuje ove točke:
F 12 = - F 21, (7.1)
gdje je F 12 sila koja djeluje na prvu materijalnu točku sa strane druge;
F 21 - sila koja djeluje na drugu materijalnu točku sa strane prve. Te se sile primjenjuju na različit materijalne točke (tijela), uvijek djeluju u parovima i su sile jedna priroda.
Treći Newtonov zakon dopušta prijelaz iz dinamike zaseban materijalna točka na dinamiku sustava materijalne točke. To proizlazi iz činjenice da se za sustav materijalnih točaka interakcija svodi na sile međudjelovanja parova između materijalnih točaka.
Elementarni kut rotacije, kutna brzina
Slika 9: Elementarni kut rotacije ()
Elementarne (beskonačno male) rotacije smatraju se vektorima. Modul vektora jednak je kutu rotacije, a smjer mu se poklapa sa smjerom translacijskog gibanja vrha vijka čija se glava rotira u smjeru kretanja točke po obodu, tj. poštuje pravilo desnog vijka.
Kutna brzina
Vektor je usmjeren duž osi rotacije prema pravilu desnog vijka, tj. na isti način kao i vektor (vidi sliku 10).
Slika 10.
Slika 11
Vrijednost vektora određena prvom derivacijom kuta rotacije tijela s obzirom na vrijeme.
Komunikacija modula linearne i kutne brzine
Slika 12
Odnos vektora linearne i kutne brzine
Položaj dotične točke je postavljen radijus vektorom (povučen iz ishodišta koordinata 0 koje leže na osi rotacije). Vektorski umnožak podudara se u smjeru s vektorom i ima modul jednak
Jedinica za kutnu brzinu je.
Pseuvektori (aksijalni vektori) su vektori čiji su smjerovi povezani sa smjerom rotacije (na primjer,). Ovi vektori nemaju specifične točke primjene: mogu se nacrtati iz bilo koje točke na osi rotacije.
Ravnomjerno kretanje materijalne točke duž kružnice
Ravnomjerno kretanje po kružnici je kretanje u kojem materijalna točka (tijelo) za jednaka vremenska razdoblja prolazi kružnicama jednakim duž duljine luka.
Kutna brzina
: (-- kut rotacije).
Period rotacije T je vrijeme tijekom kojeg materijalna točka napravi jedan potpuni okret oko opsega, odnosno zakrene se za kut.
Budući da vremenski interval odgovara, onda.
Frekvencija rotacije - broj potpunih okretaja koje napravi materijalna točka svojim jednoličnim kretanjem po krugu, po jedinici vremena.
Slika 13
Karakteristična karakteristika jednolikog kružnog kretanja
Ravnomjerno kretanje po kružnici je poseban slučaj krivolinijskog kretanja. Ubrzava se kružno gibanje s konstantom brzine po modulu (). To je zbog činjenice da se s konstantnim modulom smjer brzine cijelo vrijeme mijenja.
Ubrzanje materijalne točke koja se jednoliko kreće duž kružnice
Tangencijalna komponenta ubrzanja pri ujednačeno kretanje točke duž opsega je nula.
Normalna komponenta akceleracije (centripetalna akceleracija) usmjerena je radijalno prema središtu kružnice (vidi sliku 13). U bilo kojoj točki kružnice, normalni vektor ubrzanja okomit je na vektor brzine. Ubrzanje materijalne točke koja se ravnomjerno kreće duž kružnice u bilo kojoj točki je centripetalno.
Kutno ubrzanje. Odnos linearnih i kutnih veličina
Kutno ubrzanje je vektorska veličina određena prvim izvodom kutne brzine s obzirom na vrijeme.
Smjer vektora kutnog ubrzanja
Kada se tijelo okreće oko fiksne osi, vektor kutnog ubrzanja usmjeren je duž osi rotacije prema vektoru elementarnog prirasta kutne brzine.
Kod ubrzanog kretanja vektor je kosmjeran s vektorom, kod usporenog kretanja je suprotan njemu. Vektor je pseudo-vektor.
Jedinica kutnog ubrzanja je.
Odnos linearnih i kutnih veličina
(- polumjer kružnice; - linearna brzina; - tangencijalno ubrzanje; - normalno ubrzanje; - kutna brzina).
Kretanja ispruženog tijela čije se dimenzije ne mogu zanemariti u uvjetima razmatranog problema. Tijelo će se smatrati nedeformabilnim, drugim riječima, apsolutno čvrstim.
Pokret u kojem bilo koji ravna crta povezana s tijelom u pokretu ostaje paralelna sama sa sobom, naziva se progresivna.
Ravna linija "kruto povezana s tijelom" podrazumijeva se kao takva ravna crta čija udaljenost od bilo koje točke do bilo koje točke tijela ostaje konstantna tijekom njegova kretanja.
Translacijsko gibanje apsolutno krutog tijela može se okarakterizirati gibanjem bilo koje točke ovog tijela, budući da se tijekom translacijskog gibanja sve točke tijela gibaju istim brzinama i akceleracijama, a putanje njihova gibanja su sukladne. Nakon što smo odredili kretanje bilo koje točke krutog tijela, ujedno određujemo kretanje svih njegovih drugih točaka. Stoga se pri opisivanju translacijskog gibanja ne pojavljuju novi problemi u usporedbi s kinematikom materijalne točke. Primjer translacijskog gibanja prikazan je na sl. 2.20.
Slika 2.20. Translacijsko kretanje tijela
Primjer translacijskog gibanja prikazan je na sljedećoj slici:
Slika 2.21. Ravninsko kretanje tijela
Drugi važan poseban slučaj gibanja krutog tijela je gibanje u kojem dvije točke tijela ostaju nepomične.
Kretanje u kojem dvije točke tijela ostaju nepomične naziva se rotacija oko fiksne osi.
Ravna crta koja povezuje ove točke također je fiksna i naziva se os rotacije.
Slika 2.22. Rotiranje krutog tijela
Tim se kretanjem sve točke tijela gibaju u krugovima smještenim u ravninama okomitim na os rotacije. Središta kružnica leže na osi rotacije. U ovom slučaju, os rotacije može se nalaziti izvan tijela.
Video 2.4. Translacijski i rotacijski pokreti.
Kutna brzina, kutno ubrzanje. Kada se tijelo okreće oko bilo koje osi, sve njegove točke opisuju kružnice različitih polumjera i stoga imaju različite pomake, brzine i ubrzanja. Međutim, rotacijsko gibanje svih točaka tijela može se opisati na isti način. Za to se koriste druge (u usporedbi s materijalnom točkom) kinematičke karakteristike gibanja - kut rotacije, kutna brzina, kutno ubrzanje.
Riža. 2.23. Vektori ubrzanja točke koja se kreće po kružnici
Ulogu pomaka u rotacijskom kretanju igra mali vektor rotacije, oko osi rotacije 00" (slika 2.24.). Bit će isto za bilo koju točku apsolutno solidan(na primjer, bodovi 1, 2, 3 ).
Riža. 2.24. Rotacija apsolutno krutog tijela oko fiksne osi
Modul vektora rotacije jednak je vrijednosti kuta rotacije i kut se mjeri u radijanima.
Vektor beskonačno male rotacije duž osi rotacije usmjeren je prema kretanju desnog vijka (kardana), koji se okreće u istom smjeru kao i tijelo.
Video 2.5. Konačni kutni pomaci nisu vektori, jer se ne zbrajaju prema pravilu paralelograma. Infinitezimalni kutni pomaci su vektori.
Vektori čiji su smjerovi povezani s pravilom kardana nazivaju se aksijalni(iz engleskog. os- os) za razliku od polarni... vektora koje smo ranije koristili. Polarni vektori su, na primjer, vektor radijusa, vektor brzine, vektor ubrzanja i vektor sile. Aksijalni vektori nazivaju se i pseuvektori, jer se od pravih (polarnih) vektora razlikuju po ponašanju tijekom rada refleksije u zrcalu (inverzija ili, što je isto, prijelaz iz desnog koordinatnog sustava u lijevi). Može se pokazati (to će biti učinjeno kasnije) da se zbrajanje vektora beskonačno malih rotacija događa na isti način kao i zbrajanje pravih vektora, odnosno prema pravilu paralelograma (trokuta). Dakle, ako se ne razmatra rad odraza u zrcalu, onda se razlika između pseudovektora i pravih vektora nikako ne očituje i s njima je moguće i potrebno postupati kao s običnim (pravim) vektorima.
Omjer vektora beskonačno male rotacije i vremena tijekom kojeg se ta rotacija dogodila
pozvao kutna brzina rotacije.
Osnovna jedinica za mjerenje kutne brzine je drago / s... V tiskani mediji, iz razloga koji nemaju veze s fizikom, često pišu 1/s ili s -1, što, strogo govoreći, nije točno. Kut je bezdimenzijska veličina, ali su mu mjerne jedinice različite (stupnjevi, rumba, tuča...) i moraju biti naznačene, barem da ne bi došlo do nesporazuma.
Video 2.6. Stroboskopski učinak i njegova uporaba za daljinsko mjerenje kutne brzine rotacije.
Kutna brzina, kao i vektor kojemu je proporcionalna, je aksijalni vektor. Kad se okreće nepomično osi, kutna brzina ne mijenja svoj smjer. Kod jednolične rotacije njegova vrijednost ostaje konstantna, tako da vektor. U slučaju dovoljne vremenske konstantnosti vrijednosti kutne brzine, prikladno je okarakterizirati rotaciju njezinim periodom T :
Razdoblje rotacije- to je vrijeme za koje tijelo napravi jedan okret (rotaciju za kut od 2π) oko osi rotacije.
Riječi "dovoljna postojanost" očito znače da se tijekom razdoblja (vrijeme jednog okretaja) modul kutne brzine neznatno mijenja.
Također se često koristi broj okretaja po jedinici vremena
Istodobno, u tehničkim primjenama (prije svega, svim vrstama motora) uobičajeno je uzeti minutu kao jedinicu vremena, a ne sekundu. To jest, kutna brzina rotacije je naznačena u okretajima u minuti. Kao što možete lako vidjeti, odnos između (u radijanima po sekundi) i (u okretajima u minuti) je sljedeći
Smjer vektora kutne brzine prikazan je na sl. 2.25.
Po analogiji s linearnim ubrzanjem, kutno ubrzanje se uvodi kao brzina promjene vektora kutne brzine. Kutno ubrzanje je također aksijalni vektor (pseudo vektor).
Kutno ubrzanje - aksijalni vektor definiran kao vremenski izvod kutne brzine
Kod rotacije oko fiksne osi, općenito kod rotacije oko osi koja ostaje paralelna sama sa sobom, vektor kutne brzine također je usmjeren paralelno s osi rotacije. S povećanjem vrijednosti kutne brzine || kutna akceleracija se s njim podudara u smjeru, kada se smanjuje, usmjerena je u suprotnom smjeru. Naglašavamo da se radi samo o posebnom slučaju nepromjenjivosti smjera osi rotacije, u općem slučaju (rotacija oko točke) rotira se sama os rotacije i tada ono što je gore rečeno nije točno.
Odnos kutnih i linearnih brzina i akceleracija. Svaka od točaka rotirajućeg tijela kreće se određenom linearnom brzinom usmjerenom tangencijalno na odgovarajuću kružnicu (vidi sliku 19). Neka se materijalna točka rotira oko osi 00" oko kružnice s polumjerom R... U kratkom će vremenskom razdoblju pokriti put koji odgovara kutu skretanja. Zatim
Prelaskom do granice dobivamo izraz za modul linearne brzine točke rotirajućeg tijela.
Prisjetite se ovdje R je udaljenost od razmatrane točke tijela do osi rotacije.
Riža. 2.26.
Budući da je normalno ubrzanje
zatim, uzimajući u obzir omjer za kutnu i linearnu brzinu, dobivamo
Često se naziva normalno ubrzanje točaka rotirajućeg krutog tijela centripetalno ubrzanje.
Razlikovanje izraza za u vremenu, nalazimo
gdje je tangencijalna akceleracija točke koja se kreće duž kružnice polumjera R.
Dakle, i tangencijalno i normalno ubrzanje raste linearno s povećanjem radijusa R- udaljenost od osi rotacije. Puno ubrzanje također linearno ovisi o R :
Primjer. Nađimo linearnu brzinu i centripetalno ubrzanje točaka koje leže na zemljana površina na ekvatoru i geografskoj širini Moskve (= 56 °). Poznato nam je razdoblje rotacije Zemlje oko vlastite osi. T = 24 sata = 24x60x60 = 86 400 s... Odavde se nalazi kutna brzina rotacije
Prosječni polumjer Zemlje
Udaljenost do osi rotacije na geografskoj širini je
Odavde nalazimo linearnu brzinu
i centripetalno ubrzanje
Na ekvatoru = 0, cos = 1, dakle,
Na geografskoj širini Moskve cos = cos 56° = 0,559 i dobivamo:
Vidimo da utjecaj Zemljine rotacije nije tako velik: omjer centripetalnog ubrzanja na ekvatoru i ubrzanja gravitacije je
Ipak, kao što ćemo kasnije vidjeti, efekti Zemljine rotacije su prilično vidljivi.
Odnos između vektora linearne i kutne brzine. Gore dobiveni odnosi između kutne i linearne brzine zapisani su za module vektora i. Da bismo te relacije zapisali u vektorskom obliku, koristimo koncept križnog proizvoda.
Neka bude 0z- os rotacije apsolutno krutog tijela (slika 2.28).
Riža. 2.28. Odnos vektora linearne i kutne brzine
Točka A okreće se oko kružnice polumjera R. R- udaljenost od osi rotacije do razmatrane točke tijela. Uzmimo točku 0 za porijeklo. Zatim
i od
zatim, po definiciji križnog proizvoda, za sve točke tijela
Ovdje je vektor radijusa točke tijela, počevši od točke O, koja leži na proizvoljnom fiksnom mjestu, nužno na osi rotacije
Ali s druge strane
Prvi član jednak je nuli, budući da je križni umnožak kolinearnih vektora jednak nuli. Stoga,
gdje vektor R okomit je na os rotacije i usmjeren od nje, a njegov modul jednak je polumjeru kružnice po kojoj se kreće materijalna točka i ovaj vektor počinje u središtu ove kružnice.
Riža. 2.29. Definiciji trenutne osi rotacije
Normalno (centripetalno) ubrzanje se također može zapisati u vektorskom obliku:
štoviše, znak "-" označava da je usmjeren prema osi rotacije. Diferencirajući omjer linearne i kutne brzine u vremenu, nalazimo izraz za ukupno ubrzanje
Prvi član je usmjeren tangencijalno na putanju točke na rotirajućem tijelu i njegov je modul jednak, budući da
Uspoređujući s izrazom za tangencijalno ubrzanje, dolazimo do zaključka da je to vektor tangencijalne akceleracije
Dakle, drugi član je normalno ubrzanje iste točke:
Doista, usmjeren je duž radijusa R na os rotacije i njen modul je
Stoga je ovaj omjer za normalno ubrzanje još jedan oblik zapisivanja prethodno dobivene formule.
dodatne informacije
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Opći tečaj Fizika, svezak 1, Mehanika ur. Science 1979 - str. 242–243 (§46, str. 7): raspravlja se o prilično teškom za razumijevanje pitanju vektorske prirode kutnih rotacija krutog tijela;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Opći kolegij fizike, svezak 1, Mehanika ur. Znanost 1979. - str. 233–242 (§45, §46 str. 1–6): trenutna os rotacije krutog tijela, zbrajanje rotacija;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - časopis Kvant - kinematika bacanja košarke (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - časopis "Kvant" 2003. br. 6, - str. 5–11, polje trenutnih brzina krutog tijela (S. Krotov);
Eulerovi kutovi, kutovi aviona (brodova).
Tradicionalno, Eulerovi kutovi se uvode na sljedeći način. Prijelaz iz referentnog položaja u trenutni izvodi se s tri zavoja (slika 4.3):
1. Rotirajte za kut precesija Istovremeno, ide u položaj, (c) .
2. Rotirajte iza ugla nutacija... Pri čemu,. (4.10)
4. Rotirajte za kut vlastita (čista) rotacija
Radi boljeg razumijevanja, slika 4.4 prikazuje vrh i Eulerove kutove koji ga opisuju.
Prijelaz iz referentnog položaja u trenutni može se izvršiti u tri okreta (okrenite se!) (slika 4.5):
1. Rotirajte za kut šuljati se, pri čemu
2. Rotacija oko kuta nagiba, dok (4.12)
3. Zarotirajte kut role
Izraz “može se učiniti” nije slučajan; lako je razumjeti da su moguće i druge opcije, na primjer, okreti oko fiksnih osi
1. Rotirajte za kut svitak(rizikujući slomiti krila)
2. Rotirajte iza ugla nagib(podizanje "nosa") (4.13)
3. Rotirajte iza ugla šuljati se
Međutim, istovjetnost (4.12) i (4.13) također treba dokazati.
Zapišimo očitu vektorsku formulu za vektor položaja bilo koje točke (slika 4.6) u matričnom obliku. Nađimo koordinate vektora u odnosu na referentnu bazu. Proširimo vektor prema stvarnoj bazi i uvedemo "preneseni" vektor čije su koordinate u referentnoj bazi jednake koordinatama vektora u stvarnoj; drugim riječima, vektor se "rotirao" zajedno s tijelom (slika 4.6).
| Riža. 4.6. |
Proširujući vektore duž referentne baze, dobivamo
Hajde da uvedemo matricu rotacije i stupce,
Formula vektora u matričnom zapisu ima oblik
1. Matrica rotacije je ortogonalna;
Dokaz ove tvrdnje je formula (4.9)
Računajući determinantu proizvoda (4.15), dobivamo i budući da je u referentnom položaju, tada se (ortogonalne matrice s determinantom jednakom (+1) nazivaju zapravo ortogonalne ili rotacijske matrice). Matrica rotacije kada se pomnoži s vektorima ne mijenja niti duljine vektora niti kutove između njih, t.j. stvarno njihova okreće se.
2. Matrica rotacije ima jedan svojstveni vektor (fiksan), koji definira os rotacije. Drugim riječima, potrebno je pokazati da sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje. Zapisujemo sustav u obliku (. Determinanta ovog homogenog sustava jednaka je nuli, budući da je
dakle, sustav ima rješenje različito od nule. Uz pretpostavku da postoje dva rješenja, odmah dolazimo do zaključka da je i okomica na njih rješenje (kutovi između vektora se ne mijenjaju), što znači da t.j. nema okretanja..
| Slika 4.7 |
Matrica u ortonormalnoj bazi
ima oblik.
2. Diferencirajući (4.15), dobivamo ili, označavajući - matricu spavati (engleski to spin - twirl). Dakle, spinska matrica je koso-simetrična:. Množenjem na desnoj strani s, dobivamo Poissonovu formulu za matricu rotacije:
Došli smo do najtežeg trenutka u okviru opisa matrice - definicije vektora kutne brzine.
Možete, naravno, napraviti standard (pogledajte, na primjer, način i napišite: " uvodimo zapis za elemente koso-simetrične matrice S prema formuli
Ako sastavimo vektor , tada se rezultat množenja matrice vektorom može predstaviti kao vektorski umnožak". U gornjem citatu - vektor kutne brzine.
Diferencirajući (4.14) dobivamo matrični zapis za osnovnu formulu kinematike krutog tijela :
Matrični pristup, budući da je prikladan za izračune, vrlo je malo prikladan za analizu i izvođenje relacija; bilo koja formula napisana vektorskim i tenzorskim jezikom može se lako napisati u matričnom obliku, ali možete dobiti kompaktnu i izražajnu formulu za opisivanje bilo kojeg fizički fenomen u matričnom obliku je teško.
Osim toga, ne treba zaboraviti da su elementi matrice koordinate (komponente) tenzora u nekoj bazi. Sam tenzor ne ovisi o izboru baze, ali ovisi o njegovim komponentama. Za zapis bez pogrešaka u matričnom obliku, potrebno je da svi vektori i tenzori uključeni u izraz budu zapisani u jednoj bazi, a to nije uvijek prikladno, budući da različiti tenzori imaju "jednostavnu" formu u različitim bazama, stoga je potrebno je ponovno izračunati matrice koristeći prijelazne matrice ...
Na kružnici je definiran radijus vektorom $ \ overrightarrow (r) $ povučen iz središta kružnice. Modul radijus vektora jednak je polumjeru kružnice R (slika 1).
Slika 1. Radijus vektor, pomak, put i kut rotacije pri pomicanju točke po kružnici
U ovom slučaju, kretanje tijela u krugu može se jedinstveno opisati pomoću takvih kinematičkih karakteristika kao što su kut rotacije, kutna brzina i kutno ubrzanje.
Za vrijeme ∆t tijelo, krećući se od točke A do točke B, napravi gibanje $ \ trokut r $, jednako tetivi AB, i prijeđe put jednaku duljini luka l. Radijus vektor je rotiran za kut ∆ $ \ varphi $.
Kut rotacije može se okarakterizirati vektorom kutnog pomaka $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $, čiji je modul jednak kutu rotacije ∆ $ \ varphi $, a smjer se poklapa s osi rotacije, i to tako da smjer rotacije odgovara pravilu desnog vijka u odnosu na smjer vektora $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $.
Vektor $ d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi)) $ naziva se aksijalni vektor (ili pseudo-vektor), dok je vektor pomaka $ \ trokut \ overrightarrow (r) $ polarni vektor (ovo također uključuje brzinu i vektori ubrzanja) ... Razlikuju se po tome što polarni vektor, osim duljine i smjera, ima točku primjene (pol), a aksijalni vektor ima samo duljinu i smjer (axis - na latinskom, axis), ali nema točku primjene . Vektori ove vrste često se koriste u fizici. Oni, na primjer, uključuju sve vektore koji su vektorski umnožak dvaju polarnih vektora.
Skalarna fizička veličina, numerički jednaka omjeru kuta rotacije vektora radijusa i vremenskog intervala u kojem se ta rotacija dogodila, naziva se prosječna kutna brzina: $ \ lijevo \ langle \ omega \ desno \ rangle = \ frac (\ trokut \ varphi) (\ trokut t) $. SI jedinica za kutnu brzinu je radijani po sekundi $ (\ frac (rad) (c)) $.
Definicija
Kutna brzina rotacije je vektor brojčano jednak prvoj derivaciji kuta rotacije tijela u vremenu i usmjeren duž osi rotacije prema pravilu desnog vijka:
\ [\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega)) \ lijevo (t \ desno) = (\ mathop (lim) _ (\ trokut t \ do 0) \ frac (\ trokut (\ mathbf \ varphi)) (\ trokut t) = \ frac (d \ overrightarrow ((\ mathbf \ varphi))) (dt) \) \]
Kod jednolikog gibanja po kružnici, kutna brzina i modul linearne brzine su konstantne vrijednosti: $ (\ mathbf \ omega) = const $; $ v = const $.
Uzimajući u obzir da je $ \ trokut \ varphi = \ frac (l) (R) $, dobivamo odnos između linearne i kutne brzine: $ \ omega = \ frac (l) (R \ trokut t) = \ frac ( v) (R) $. Kutna brzina također je povezana s normalnim ubrzanjem: $ a_n = \ frac (v ^ 2) (R) = (\ omega) ^ 2R $
Na neravnomjerno kretanje u krugu, vektor kutne brzine je vektorska funkcija vremena $ \ overrightarrow (\ omega) \ left (t \ right) = (\ overrightarrow (\ omega)) _ 0+ \ overrightarrow (\ varepsilon) \ left (t \ desno) t $, gdje je $ (\ overrightarrow ((\ mathbf \ omega))) _ 0 $ početna kutna brzina, $ \ overrightarrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ lijevo (t \ desno) $ je kutno ubrzanje. U slučaju jednakog gibanja, $ \ left | \ overrightarrow ((\ mathbf \ varepsilon)) \ left (t \ right) \ right | = \ varepsilon = const $, i $ \ left | \ overrightarrow ((\ mathbf \ omega ) ) \ lijevo (t \ desno) \ desno | = \ omega \ lijevo (t \ desno) = (\ omega) _0 + \ varepsilon t $.
Opišite gibanje rotirajućeg krutog tijela u slučajevima kada se kutna brzina mijenja prema grafikonima 1 i 2 prikazanim na slici 2.
Slika 2.
Postoje dva smjera rotacije - u smjeru kazaljke na satu i suprotno. Smjer rotacije povezan je s pseudo-vektorom kuta rotacije i kutne brzine. Smatrajmo da je smjer rotacije u smjeru kazaljke na satu pozitivan.
Za gibanje 1, kutna brzina raste, ali kutna akceleracija $ \ varepsilon $ = d $ \ omega $ / dt (derivacija) opada i ostaje pozitivna. Stoga se ovo kretanje ubrzava u smjeru kazaljke na satu sa smanjenjem ubrzanja.
Za gibanje 2, kutna brzina se smanjuje, zatim doseže nulu u točki presjeka s osi apscise, a zatim postaje negativna i povećava se po veličini. Kutno ubrzanje je negativno i smanjuje se po veličini. Tako se isprva točka kretala u smjeru kazaljke na satu sporijim tempom sa smanjenjem veličine kutne akceleracije, zaustavila se i počela se rotirati ubrzanom brzinom sa smanjenjem veličine ubrzanja.
Nađite polumjer R rotirajućeg kotača ako je poznato da je linearna brzina $ v_1 $ točke koja leži na rubu 2,5 puta veća od linearne brzine $ v_2 $ točke koja leži na udaljenosti $ r = 5 cm $ bliže osovina kotača.
Slika 3.
$$ R_2 = R_1 - 5 $$ $$ v_1 = 2,5v_2 $$ $$ R_1 =? $$
Točke se kreću duž koncentričnih kružnica, vektori njihovih kutnih brzina su jednaki, $ \ lijevo | (\ naddesna strelica (\ omega)) _ 1 \ desno | = \ lijevo | (\ prekomjerna strelica (\ omega)) _ 2 \ desno | = \ omega $, dakle, može se napisati u skalarnom obliku:
Odgovor: polumjer kotača R = 8,3 cm
Učitavam...