Koji su brojevi racionalni i koji iracionalni primjeri. Brojevi

Racionalni broj - Broj predstavljen običnim frakcijom m / n, gdje je numerator m cijeli broj, a nazivnik N je prirodni broj. Svaki racionalni broj je ideološki u obliku periodične beskrajne decimalne frakcije. Skup racionalnih brojeva označen je Q.

Ako valjan broj nije racionalan, onda to iracionalan broj, Decimalne frakcije koje izražavaju iracionalne brojeve su beskonačne i ne periodične. Mnogi iracionalni brojevi obično su označeni naslovom latino pismo I.

Zove se važeći broj algebarskiAko je korijen nekog polinoma (nulzera) s racionalnim koeficijentima. Zove se svaki nealgebarski broj transcentni.

Neka svojstva:

Veći broj racionalnih brojeva nalazi se na numeričkoj osi svugdje gusto: između bilo kojih dva različita racionalna broja, nalazi se najmanje jedan racionalni broj (a time i beskonačni skup racionalnih brojeva). Ipak, ispostavilo se da je skup racionalnih brojeva Q i skup prirodnih brojeva n ekvivalentni, to jest, moguće je uspostaviti međusobno nedvosmislenu utakmicu između njih (mogu se iznajmiti svi elementi skupa racionalnih brojeva).

Set Q racionalni brojevi su zatvoreni u odnosu na dodavanje, oduzimanje, umnožavanje i podjelu, tj. Iznos, razlika, proizvod i privatne dvije racionalne brojeve također su racionalni brojevi.

Svi racionalni brojevi su algebarski (suprotna izjava je netočna).

Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.

Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalni.

Mnogi iracionalni brojevi svugdje gusto na numeričkom izravnom: između bilo kojeg dva broja postoji iracionalni broj (i stoga beskonačni skup iracionalnih brojeva).

Nastali su mnogi iracionalni brojevi.

Pri rješavanju zadataka, to je prikladno zajedno s iracionalnim brojem A + B√ C (gdje je, B racionalni brojevi, C - cijeli kvadrat prirodnog broja) razmotrite broj "konjugata" a - b√ c: njegov iznos i raditi s inicijalnim brojevima. Tako a + b√ c i a - b√ c su korijeni kvadratne jednadžbe s cijelim koeficijentima.

Zadatke s rješenjima

1. Dokazati to

a) broj √ 7;

b) broj LG 80;

c) broj √2 + 3, 3;

je iracionalan.

a) pretpostavimo da je broj √ 7 racionalan. Zatim, postoje takva međusobno jednostavna P i q, koja je ® 7 \u003d p / q, odakle dobivamo p 2 \u003d 7q 2. Budući da su P i Q međusobno jednostavni, zatim P2, i stoga je P je podijeljen s 7. Zatim p \u003d 7k, gdje je K neki prirodni broj. Stoga je Q 2 \u003d 7k 2 \u003d PK, što je proturječi činjenici da su P i Q međusobno jednostavni.

Dakle, pretpostavka je lažna, to znači da je broj √ 7 iracionalan.

b) Pretpostavimo da je broj LG 80 racionalan. Zatim postoje takav prirodni P i q da LG 80 \u003d p / q, ili 10 p \u003d 80 q, odakle dobivamo 2 p-4q \u003d 5 q-p. S obzirom da su brojevi 2 i 5 međusobno jednostavni, dobivamo da je posljednja jednakost moguća samo na p-4q \u003d 0 i qp \u003d 0. Odakle p \u003d q \u003d 0, što nije moguće, jer su odabrani P i Q prirodnim.

Dakle, pretpostavka je lažna, to znači da je broj LG 80 iracionalan.

c) označiti ovim brojem putem x.

Zatim (X - 8) 3 \u003d 3 ili X3 + 6x - 3 \u003d · (3x 2 + 2). Nakon izgradnje ove jednadžbe na trgu dobivamo da X treba zadovoljiti jednadžbu

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36X + 1 \u003d 0.

Njezini racionalni korijeni mogu biti samo brojevi 1 i -1. Provjerite pokazuju da 1 i -1 nisu korijeni.

Dakle, ovaj broj je √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bje iracionalan.

2. Poznato je da brojevi a, b, √ a -√ b, - racionalno. Dokaži to √ a i √ b- također racionalni brojevi.

Razmotriti rad

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

Broj √ a + √ b, koji je jednak omjeru brojeva a - b i √ a -√ b, Racionalan je, budući da je privatno dijeljenje dva racionalnog broja racionalan broj. Zbroj dva racionalnog broja

½ (√ a + a b) + ½ (the a-a - √ b) \u003d √ a

- broj je racionalan, njihova razlika,

½ (√ a + b) - ½ (the a-a - √ b) \u003d √ b,

također racionalni broj koji je bio potreban za dokazivanje.

3. Dokazati da postoje pozitivni iracionalni brojevi A i B, za koji je broj A B prirodan.

4. Postoje li racionalni brojevi A, B, C, D zadovoljavajući jednakost

(A + B : 2) 2N + (C + D√2) 2N \u003d 5 + 4√2,

gdje je n prirodni broj?

Ako se izvodi jednakost, dano u stanju, a broj A, B, c, D je racionalan, tada se izvodi jednakost:

(A - b : 2) 2N + (C - D√2) 2N \u003d 5 - 4√2.

Ali 5 - 4√2 (a-b√2) 2N + (C - D√2) 2N\u003e 0. Dobivena kontradikcija dokazuje da je početna jednakost nemoguća.

Odgovor: Ne postoje.

5. Ako segmenti s duljinom A, B, C oblikuju trokut, zatim za sve N \u003d 2, 3, 4 ,. , , Segmenti s duljinama n √ a, n √ b, n √ c samo formiraju trokut. Dokaži.

Ako segmenti s duljinama A, B, C oblikuju trokut, onda nejednakost trokuta daje

Dakle, imamo

(n the a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Preostali slučajevi provjere nejednakosti trokuta tretiraju se na sličan način, odakle slijedi.

6. Dokazati da je beskonačna decimalna frakcija 0,12345678910111111314 ... (nakon polukolona zaredom, svi prirodni brojevi su napisan u redu) je iracionalan broj.

Kao što je poznato, racionalni brojevi izraženi su decimalnim frakcijama koje imaju razdoblje od nekog znaka. Stoga je dovoljno dokazati da ova frakcija nije povremena od bilo kojeg znaka. Pretpostavimo da to nije slučaj, a neki slijed t, koji se sastoji od N brojeva, je razdoblje frakcije, počevši od jutra nakon zareza. Jasno je da među brojevima nakon oznake M-TH nema nuszera, stoga se nalazi neezeroznamenkasta znamenka u nizu brojeva. To znači da početi s M-TH brojevima nakon zareza, među bilo kojim N brojevima u nizu postoji brojčana znamenka. Međutim, u decimalnom zapisu ove frakcije mora postojati decimalni zapis brojeva 100 ... 0 \u003d 10 K, gdje je k\u003e m i k\u003e n. Jasno je da će ovaj unos ispuniti desno od M-OH brojeva i sadrži više n nurosa zaredom. Dakle, dobivamo kontradikciju, konačne dokaze.

7. Dana je beskonačna decimalna frakcija 0, a 1 a 2 .... Dokazati da se brojevi u decimalnom zapisu mogu preurediti tako da dobivena frakcija izražava racionalni broj.

Sjetite se da frakcija izražava racionalni broj u tom i samo slučaju kada je povremen, počevši od nekog znaka. Brojke od 0 do 9 dijelimo u dvije klase: U prvom razredu uključivat ćemo te brojeve koji se nalaze u izvornoj frakciji. Krajnji broj puta u drugom razredu - onima koji su se susreli u izvornom djeliću beskonačnog broja puta. Počinjemo pisati povremenu frakciju koja se može dobiti od početne permutacija brojeva. Isprva, nakon nule i zareza, napišite sve brojeve iz prvog razreda u bilo kojem redoslijedu - svaki onoliko puta kada se nalazi u snimku izvornog frakcije. Snimljene znamenke prve klase prethodi će razdoblju u frakcijskom dijelu decimalne frakcije. Zatim pišemo u nekoj narudžbi da jednom provedu brojeve iz drugog razreda. Ova kombinacija će proglasiti razdoblje i ponovit će njegov beskonačni broj puta. Dakle, ispuštamo željenu periodičnu frakciju koja izražava neki racionalni broj.

8. Dokazati da u svakoj beskonačnoj decimalnoj frakciji postoji niz decimalnih znakova proizvoljne duljine, koji se u raspadanju fraclija događa beskonačno mnogo puta.

Neka m bude proizvoljno određeni prirodni broj. Ova beskonačna decimalna frakcija prekidamo na segmentima, na m brojeve u svakoj. Bit će beskonačno mnogi od tih segmenata. S druge strane, različiti sustavi koji se sastoje od M brojeve postoji samo 10 m, tj. Za konačni broj. Prema tome, barem jedan od tih sustava treba ponoviti ovdje neograničeno mnogo puta.

Komentar. Za iracionalne brojeve √ 2, π ili e. Mi čak ne znamo ni koji se znamenki ponavljaju beskonačno mnogo puta u predstavljanju svojih beskonačnih decimalnih frakcija, iako se svaki od ovih brojeva, tako lako može dokazati, sadrži najmanje dva različita takva brojeva.

9. Dokazati osnovni način da je pozitivan korijen jednadžbe

je iracionalan.

Za X\u003e 0, lijevi dio jednadžbe se povećava s povećanjem X, i lako je vidjeti da je na X \u003d 1.5 je manje od 10, a na X \u003d 1,6 - više od 10. Stoga je jedini pozitivan korijen od jednadžba je unutar intervala (1.5; 1.6).

Pišemo korijen kao nevolji frakciju p / q, gdje su P i Q neki međusobno jednostavni prirodni brojevi. Zatim na X \u003d P / q jednadžba će uzeti sljedeći oblik:

p 5 + PQ 4 \u003d 10Q 5,

odakle slijedi da je P razdjelnik 10, dakle, P je jednak jednom od brojeva 1, 2, 5, 10. Međutim, propisujući frakcije s brojevima 1, 2, 5, 10, odmah primijetimo da nitko od njih spada u interval (1.5; 1.6).

Dakle, pozitivan korijen izvorne jednadžbe ne može biti predstavljen kao obična frakcija, što znači iracionalan broj.

10. a) Učinite li tri takve točke A, B i C na ravnini, koja za bilo koju točku X duljina najmanje jednog od segmenata Xa, XB i XC iracionalan?

b) Koordinate vrhova trokuta su racionalne. Dokazati da su koordinate središta opisanog kruga također racionalne.

c) Postoji li takva sfera na kojoj postoji točno jedna racionalna točka? (Racionalna točka - točka, koja ima sve tri kartezijanske koordinate - racionalne brojeve.)

a) Da, postoje. Neka bude sredina ab. Zatim XC2 \u003d (2xA2 + 2xb 2 - ab 2) / 2. Ako je broj ab 2 iracionalno, Xa, XB i XC brojevi ne mogu istovremeno biti racionalni.

b) Dopustite (1; b1), (2; b2) i (a 3; b3) - koordinate vrhova trokuta. Koordinate središta opisanog kruga postavljaju sustav jednadžbi:

(x - a 1) 2 + (Y - b 1) 2 \u003d (X - a 2) 2 + (Y - b2) 2,

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 3) 2 + (Y - B3) 2.

Lako je provjeriti da su te jednadžbe linearni i stoga je otopina sustava jednadžbi u pitanju racionalno.

c) takva sfera postoji. Na primjer, sfera s jednadžbom

(X - √ 2) 2 + Y 2 + Z 2 \u003d 2.

Točka o s koordinatama (0; 0; 0) - racionalna točka koja leži na ovom području. Preostale točke sfere je iracionalna. Dokazujemo to.

Pretpostavimo suprotno: neka (x; y; z) - racionalna točka sfere, različita od točke O. Jasno je da se X razlikuje od 0, budući da je na X \u003d 0 postoji jedno rješenje (0; 0; 0) da sada nismo zainteresirani. Podsjetite zagrade i ekspress. 2:

x 2 - 2√2 x + 2 + Y 2 + Z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (X2 + Y 2 + Z 2) / (2x),

Što ne može biti s racionalnim X, y, Z i iracionalnim. 2. Dakle, O (0; 0; 0) je jedina racionalna točka u sektoru koji se razmatra.

Zadaci bez rješenja

1. Dokazati da je broj

[SQRT (10+ SQRT (24) + SQRT (40) + SQRT (60)) \\ t

je iracionalan.

2. na kojoj se izvodi druga m i n jednakost (5 + 3√2) m \u003d (3 + 5√2) n?

3. Postoji li takav broj A tako da je broj A √3 i 1 / a + √ 3 bili cijeli broj?

4. Može li brojevi 1, √ 2, 4 biti članovi (ne nužno susjedne) aritmetičke progresije?

5. Dokazati da s bilo kojim prirodnim N, jednadžbom (X + O√3) 2N \u003d 1 + √ 3 nema rješenja u racionalnim brojevima (x; y).

Što je iracionalni brojevi? Zašto su tako zvani? Gdje se koriste i što su oni prisutni? Nekoliko može biti bez razmišljanja da odgovori na ova pitanja. Ali u stvari, odgovori na njih su vrlo jednostavni, iako nisu svi potrebni u vrlo rijetkim situacijama.

Bit i oznaka

Iracionalni brojevi su beskonačne ne-periodične potrebe za uvođenjem ovog koncepta zbog činjenice da rješavaju nove probleme koji prethodno nisu prethodno postojeći koncepti valjanih ili stvarnih, cijelih, prirodnih i racionalnih brojeva. Na primjer, kako bi se izračunao, kvadrat od kojih je vrijednost 2, potrebno je koristiti ne-periodične beskrajne decimalne frakcije. Osim toga, mnoge jednostavne jednadžbe također nemaju rješenje bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.

Ovaj set je označen kao I.

Prvi put ili na neki drugi način, indijski matematičari u VII stoljeću bili su suočeni s ovim fenomenom kada je pronađeno da se kvadratni korijeni iz nekih vrijednosti ne mogu eksplicitno naznačiti. I prvi dokaz postojanja takvih brojeva pripisuje se pitašnim konjima, koji ga je učinio u procesu proučavanja jednako vidljivog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa donio je još neke znanstvenike koji su živjeli na naše doba. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva dovelo je do revizije postojećeg matematičkog sustava, zbog čega su toliko važni.

podrijetlo imena

Ako je omjer preveden s latinskog - to je "frakcija", "stav", zatim prefiks "Il"
daje ovu riječ suprotnu vrijednost. Dakle, naziv skupa tih brojeva sugerira da se ne mogu korelirati s cjelinom ili frakcijskim, imaju odvojeno mjesto. To podrazumijeva njihovu suštinu.

Mjesto u općoj klasifikaciji

Iracionalni brojevi zajedno s racionalnim odnosi se na skupinu stvarnih ili valjanih, što pak se odnose na kompleks. Međutim, nema podskupa, međutim, razlikuju algebarsku i transcendentnu sortu, o čemu će se raspravljati u nastavku.

Svojstva

Budući da su iracionalni brojevi dio niti važeće, onda su sva njihova svojstva primjenjiva na njih, koja se proučavaju u aritmetici (oni se nazivaju glavnim algebarskim zakonima).

a + b \u003d b + a (komutativan);

(A + b) + c \u003d A + (b + c) (asocijativnost);

a + (-A) \u003d 0 (postojanje suprotnog broja);

ab \u003d ba (čin kretanja);

(Ab) c \u003d a (bc) (distribucija);

a (b + c) \u003d ab + AC (distribucijski zakon);

x 1 / A \u003d 1 (postojanje obrnutog broja);

Usporedba se također provodi u skladu s općim zakonima i načelima:

Ako a\u003e b i b\u003e C, zatim a\u003e c (tranzitivnost omjera) i. t. d.

Naravno, svi iracionalni brojevi mogu se pretvoriti pomoću osnovne aritmetičke akcije. Nema posebnih pravila.

Osim toga, djelovanje Arhimedova aksimara primjenjuje se na iracionalne brojeve. Navodi se da za sva dva magnitude a i b, tvrdnja je istina da, uzimajući kao znatan broj puta, možete premašiti b.

Upotreba

Unatoč činjenici da se u običnom životu ne tako često suočava s njima, iracionalni brojevi nisu pogodni za račun. Njihov ogroman set, ali praktički su neprimjetni. Obilazimo iracionalne brojeve posvuda. Primjeri poznati svima su broj PI, jednak 3,1415926 ..., ili E, u stvari, temelj prirodnog logaritma, 2,718281828 ... u algebri, trigonometriju i geometriju ih trajno koriste. Usput, poznata vrijednost "zlatnog dijela", odnosno omjer i najviše na manji i naprotiv, također

odnosi se na ovaj skup. Manje poznato "srebro".

Na numeričkom izravnom smjeru se nalaze vrlo čvrsto, tako da postoje iracionalni koji se mogu naći između bilo koje dvije vrijednosti vezane uz skup racionalnih.

Do sada postoji mnogo neriješenih problema povezanih s ovim setom. Postoje kriteriji kao što je mjera iracionalnosti i normalnost broja. Matematika i dalje istražuju najznačajnije primjere na njihovoj pripadnosti određenoj skupini. Na primjer, vjeruje se da je E normalan broj, tj. Vjerojatnost različitih brojeva u svojim snimkama je isti. Što se tiče PI, studija se još uvijek provodi. Mjera iracionalnosti naziva se vrijednost koja ukazuje na to koliko je dobar ili drugi ili drugi može biti približno racionalan broj.

Algebarski i transcendentalni

Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi su uvjetno podijeljeni na algebarski i transcendentalni. Uvjetno, jer, strogo govoreći, ova se klasifikacija koristi za podjelu seta C.

Prema ovoj oznaci, složeni brojevi su skriveni, koji uključuju valjanu ili stvarnu.

Dakle, algebarski se naziva takva vrijednost koja je korijen polinoma, koji nije jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen od 2 odnosi se na ovu kategoriju, budući da je to rješenje jednadžbe x 2 - 2 \u003d 0.

Ipak, preostali stvarni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet nazivaju se transcendentalni. Ova vrsta uključuje najpoznatije i već spomenute primjere - broj PI-a i osnove prirodnog logaritma E.

Ono što je zanimljivo, nitko ni drugi bio je izvorno uzgojen matematičarima u tom svojstvu, njihova iracionalnost i transcendencija dokazali su se mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za PI dokaz, prikazano je 1882. godine i pojednostavljeno 1894. godine, što je okončanje sporova izazova kruga kvadrata, koji je trajao 2,5 tisuća godina. Još uvijek nije proučavano do kraja, tako da postoje moderni matematičari o tome što raditi. Usput, prvi prilično točan izračun te vrijednosti provedeno je arhimede. Prije njega su svi izračuni bili previše približni.

Za E (broj euler ili nefe), njegov dokaz o njegovoj transcendenciji pronađen je 1873. godine. Koristi se u rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Drugi primjeri su vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta za sve algebarske vrijednosti koje nisu nule.

Skup svih prirodnih brojeva označen je slovom N. Prirodni brojevi, to su brojevi koje koristimo za račune stavki: 1,2,3,4, ... u nekim izvorima, broj 0 također uključuje prirodni brojevi.

Skup svih cijelih brojeva označen je slovom Z. Cijeli su svi prirodni brojevi, nula i negativni brojevi:

1,-2,-3, -4, …

Sada se pridružite skupu svih cijelih brojeva mnogih svih običnih frakcija: 2/3, 18/17, -4/5 i sljedeće. Onda dobivamo mnogo svih racionalnih brojeva.

Mnogi racionalni brojevi

Skup svih racionalnih brojeva označen je slovom Q. Skup svih racionalnih brojeva (Q) je skup koji se sastoji od broja obrasca m / n, -M / N i broj 0. Bilo koji prirodni broj može djelovati kao n , m. Treba napomenuti da se svi racionalni brojevi mogu biti zastupljeni u obliku konačne ili beskonačne maloprodajne decimalne frakcije. Također je istina da se svaka konačna ili beskonačna periodična decimalna frakcija može napisati u obliku racionalnog broja.

Ali kako biti na primjer s brojnim 2.0100100010 ...? To je beskrajno nerazumljiv decimalni frakcija. I ne primjenjuje se na racionalne brojeve.

U školskoj godini algebre se proučavaju samo stvarnim (ili valjanim) brojevima. Skup svih valjanih brojeva označen je slovom R. SET R sastoji se od svih racionalnih i svih iracionalnih brojeva.

Koncept iracionalnih brojeva

Iracionalni brojevi su svi beskrajne decimalne ne-periodične frakcije. Iracionalni brojevi nemaju posebnu oznaku.

Na primjer, svi brojevi dobiveni ekstrakcijom kvadratnog korijena iz prirodnih brojeva koji nisu kvadrati prirodnih brojeva su iracionalni. (√2, √3, √5, √6 itd.).

Ali nemojte misliti da su iracionalni brojevi dobiveni samo ekstrakcijom kvadratnih korijena. Na primjer, broj "PI" je također iracionalan i dobiva se podjelom. I kako ne pokušavate, nećete ga moći dobiti, uklanjajući kvadratni korijen s bilo kojeg prirodnog broja.

Iracionalan broj - ovo je ukupni brojŠto nije racionalno, to jest, ne može biti predstavljen kao frakcija, gdje - cijeli brojevi. Iracionalan broj može biti predstavljen kao beskonačna ne-periodična decimalna frakcija.

Mnogi iracionalni brojevi obično označavaju naslov latinski slovo na podebljano šivanje bez ispune. Tako :, the.e. Mnogi iracionalni brojevi imaju razlika skupova stvarnih i racionalnih brojeva.

O postojanju iracionalnih brojeva, točnije rezovi koji su nesumjerljivi s segmentom jedne duljine, već je znao drevne matematičare: oni su bili poznati, na primjer, nepotpuna dijagonala i strana trga, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Svojstva

• Svaki stvarni broj može biti napisan u obliku beskonačne decimalne frakcije, dok iracionalni brojevi i samo oni su zabilježeni ne-periodičnim beskonačnim decimalnim frakcijama.
• Iracionalni brojevi određuju odbitke odjeljka u skupu racionalnih brojeva, koji u nižoj klasi ne postoji najveći, au gornjem dijelu ne postoji najmanji broj.
• Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
• Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalni.
• Mnogi iracionalni brojevi svugdje gusto na numeričkom izravnom: između bilo kojeg dva broja postoji iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfno okup stvarnih transcendentalnih brojeva.
• Mnogi iracionalni brojevi su nepotrebni, je mnoštvo druge kategorije.

Primjeri

Iracionalni su:

Primjeri dokaza o iracionalnosti

Korijen od 2.

Pretpostavimo suprotno: racionalno, to jest, prikazano je u obliku nestabilne frakcije, gdje je cijeli broj, ali prirodan broj. Procijenjena jednakost na trgu:

Odavde slijedi ono što je jasno, to znači da i. Pusti cijelu. Zatim

Prema tome, to znači da je također. Dobili smo da su crni, što je proturječi nedosljednosti frakcije. To znači da je početna pretpostavka bila netočna i je iracionalan broj.

Binarni logarithm broj 3

Pretpostavimo suprotno: racionalno, to jest, čini se u obliku frakcije, gdje i - cijeli brojevi. Od, i može se odabrati pozitivno. Zatim

Ali čak iu čudnom. Dobivamo kontradikciju.

e.

Povijest

Koncept iracionalnih brojeva implicitno percipira indijski matematičari u VII stoljeću prije Krista, kada je Manava (cca. 750 prije Krista. E. - U redu 61, ne može se izraziti.

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje hipospazi od metaponta (cca. 500 g. BC), Pitagorean, koji je pronašao ovaj dokaz, proučavajući duljinu strana pentagrama. U vrijeme Pitagorejaca se smatralo da postoji jedna dužina duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj u bilo kojem segmentu. Međutim, Hippa je potkrijepilo da ne postoji jedan dužina duljine, budući da pretpostavka njegovog postojanja dovodi do kontradikcije. Pokazalo se da ako hipotenuza nepopravljivog pravokutnog trokuta sadrži cijelinu jedinicu pojedinačnih segmenata, tada bi taj broj trebao biti čak i pa čak i neparan. Dokaz je izgledao kako slijedi:

• Omjer duljine hipotenusa do duljine omjera određenog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a.:b.gdje a. i b. Odabrao najmanji mogući.
• Prema pitagorovom teoremu: a.² \u003d 2. b.².
• Kao a.² čak i a. Mora biti čak i (budući da bi kvadrat nepadnog broja bio neparan).
• Ukoliko a.:b. nestabilan b. Mora biti čudno.
• Kao a. Čak i, označeno a. = 2yor.
• Zatim a.² \u003d 4. yor² \u003d 2. b.².
• b.² \u003d 2. yor², dakle b.² čak i onda i b. čak.
• Međutim, to je dokazano b. neparan. Proturječje.

Grčka matematika nazvala je ovaj omjer nesumjerljivih vrijednosti aOOGOS. (neizrecivo), ali prema legendama nije dao hippasus dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hippa je otkrio, biti u moru, a bačen je u more s drugim Pitagorejcima "za stvaranje elementa svemira, koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu smanjiti na brojeve brojeva i njihove odnose. " Otvaranje Hippa je dostavio ozbiljan problem ispred Pitagorejske matematike, uništavajući pretpostavku koja je pala na bazu da su brojevi i geometrijski objekti ujedinjeni i nerazdvojni.

Koji su brojevi iracionalni? Iracionalan broj - Ovo nije racionalni stvarni broj, tj. ne može se predstavljati kao frakcija (kao omjer dvaju cijelih brojeva), gdje m. - cijeli broj n.- Prirodni broj. Iracionalan broj Može se zamisliti kao beskonačna ne-periodična decimalna frakcija.

Iracionalan broj ne može imati točno značenje. Samo u formatu od 3.333333. na primjer, Kvadratni korijen od dva - je broj iracionalan.

Što je iracionalno? Iracionalan broj (Za razliku od racionalnog), se naziva beskonačna decimalna ne-periodična frakcija.

Mnogi iracionalni brojevi Često označava naslov latinski slovo u podebljanom natpisu bez popunjavanja. Tako.:

Oni. Mnogi iracionalni brojevi su razlika od skupova stvarnih i racionalnih brojeva.

Svojstva iracionalnih brojeva.

• Zbroj 2 ne-negativnih iracionalnih brojeva može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definiraju odbitke odjeljka u različitim racionalnim brojevima, u nižim razredima, koji nemaju najveći broj, a u gornjem dijelu nema manjih.
• Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan broj.
• Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
• Mnogi iracionalni brojevi svugdje gusto na numeričkoj liniji: između svakog para brojeva postoji iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfno okup stvarnih transcendentalnih brojeva.
• Mnogi iracionalni brojevi su beskrajno, mnoštvo je 2. kategorije.
• Rezultat svakog aritmetičkog rada s racionalnim brojevima (osim podjele do 0) je racionalan brojevi. Rezultat aritmetičkih operacija preko iracionalnih brojeva može biti i racionalan i iracionalan broj.
• Količina racionalnih i iracionalnih brojeva uvijek će biti iracionalan broj.
• Količina iracionalnih brojeva može biti racionalan broj. Na primjer, neka biti x. iracionalan, onda y \u003d x * (- 1) također iracionalan; x + y \u003d 0, Broj 0 Racionalno (ako, na primjer, presavijeni korijen bilo koje razine 7 i minus korijen istog stupnja od sedam, onda dobivamo racionalni broj 0).

Iracionalni brojevi, primjeri.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — Δs. — α — e. — π — δ