Nejednakost s količinom korijena. Rješenje iracionalnih nejednakosti

Ciljevi:

Opće obrazovanje: sistematizirati, sažeti, proširiti znanje i vještine učenika koji se odnose na korištenje metoda za rješavanje nejednakosti.
Razvijanje: Razviti studente s mogućnošću slušanja predavanja, kontaktirajte ga u prijenosnom računalu.
Obrazovanje: formirati kognitivnu motivaciju za proučavanje matematike.

Tijekom nastave

I. Uvodni razgovor:

Završili smo temu "odluka iracionalnih jednadžbi" i danas počinje učiti rješavati iracionalne nejednakosti.

Prvo, sjetimo li se koje vrste nejednakosti znate kako riješiti i koje metode?

Odgovor: Linearni, kvadratni, racionalni, trigonometrijski. Linearno rješavanje, na temelju svojstava nejednakosti, trigonometrija smanjujemo najjednostavniju trigonometrijsko, riješeno pomoću trigonometrijskog kruga, a ostatak, uglavnom metodom intervala.

Pitanje: Koja je izjava metoda intervala na temelju?

Odgovor: Na teoremu koji tvrdi da kontinuirana funkcija koja se ne okreće na nulu u nekom intervalu zadržava svoj trag na ovom intervalu.

Ii. Pogledajmo iracionalnu vrstu nejednakosti\u003e

Pitanje: Je li moguće primijeniti metodu intervala da ga riješi?

Odgovor: Da, od funkcije y \u003d.- kontinuirano D (y).

Riješimo takve nejednakosti metoda intervala .

Zaključak: Mi prilično lako riješili ovu iracionalnu nejednakost intervalima zapravo minimizirajući je za rješavanje iracionalne jednadžbe.

Pokušajmo riješiti ovu metodu drugu nejednakost.

3) f (x)kontinuirano D (f)

4) funkcija Zeros:

Dugotrajna D (f).
Teško je izračunati kontrolne točke.

Postavlja se pitanje: "Postoje li drugi načini rješavanja ove nejednakosti?".

Očito, postoji, a sada ćemo se upoznati s njima.

Iii. Tako, predmet današnji lekcija: "Metode za rješavanje iracionalnih nejednakosti."

Lekcija će se održati u obliku predavanja, budući da ne postoji detaljna analiza svih metoda u udžbeniku. Stoga je naš važan zadatak: izraditi detaljan sažetak ovog predavanja.

Iv. Već smo razgovarali s prvom metodom rješavanja iracionalnih nejednakosti.

To - metoda intervala , univerzalna metoda rješavanja svih vrsta nejednakosti. Ali ne dovodi uvijek do kratkog i jednostavno.

VlanPrilikom rješavanja iracionalnih nejednakosti, moguće je koristiti iste ideje kao u rješavanju iracionalnih jednadžbi, ali budući da je jednostavna provjera rješenja nemoguća (nakon svega, rješenja nejednakosti su najčešće cijeli brojčani intervali), potrebno je koristiti činitelja.

Predstavljamo sheme rješavanja glavnih vrsta iracionalnih nejednakosti metoda ekvivalentnih prijelaza od jedne nejednakosti do sustava nejednakosti.

2. Slično tome, to se dokazuje

Ove sheme pišemo na potpornjoj ploči. Kroz dokaze od 3 i 4 vrste, mislim kod kuće, u sljedećoj lekciji ćemo raspravljati o njima.

Vi. Odlučujem na novu nejednakost.

Početna nejednakost je ekvivalentna ukupnosti sustava.

VII. A postoji još jedna treća metoda, koja često pomaže u rješavanju složenih iracionalnih nejednakosti. Već smo razgovarali o njemu u odnosu na nejednakosti s modulom. to metoda za zamjenu funkcija (zamjena multiplikatora), Dopustite mi da vas podsjetim da je suština zamjene metode je da se razlika između vrijednosti monotonih funkcija može zamijeniti razlikom između njihovih argumenata.

Razmotrite iracionalnu nejednakost tipa<,

i.e -< 0.

Po teoremu ako p (x) povećava se za neki interval kojem pripada a. i b.i a.>b., Nejednakost p (a) - p (b)\u003e 0 i a - B.\u003e 0 su ekvivalentni D (p), i.e

Viii.Odlučujem metodu zamjene nejednakosti multiplikatora.

To znači da je ta nejednakost jednaka sustavu

Tako smo vidjeli da korištenje metode zamjene množitelja za otopinu nejednakosti u intervalnu metodu značajno smanjuje količinu posla.

Ix.Sada, kada smo rastavili tri osnovne metode rješavanja jednadžbi, izvršavamo neovisni rad S samopouzdanjem.

Morate izvršiti sljedeće brojeve (prema udžbeniku AM MORDKOVICH): 1790 (a) - odlučiti o metodi (a) metodu_, za rješavanje metode zamjene množitelja. Za otopine iracionalnih nejednakosti, predlaže se metode upotrebe prethodno rastavljeni u rješavanju iracionalnih jednadžbi:

zamjena varijabli;
koristeći OTZ;
koristite svojstva monotonije funkcija.

Završetak proučavanja teme je test.

Analiza test rad Prikazuje:

tipične pogreške slabih studenata osim aritmetičkih i algebarskih - netočnih ekvivalentnih prijelaza na sustav nejednakosti;
metoda zamjene množitelja uspješno se koristi samo jaki studenti.

Itd Ivanov

Metode za rješavanje iracionalnih nejednakosti

CDO i Nit SRPLL

UDC 511 (o75.3)

BBK 22. 1st72.

Kompajler itd. Ivanova

Recenzent: baisheva m.i.- Kandidat pedagoških znanosti, izvanredni profesor

matematička analiza matematičkog fakulteta

Institut za matematiku i informatiku Yakutsk

državno sveučilište

Metode za rješavanje iracionalnih nejednakosti: Metodološki priručnik

M 34 za studente ocjena 9-11 / SOST. Ivanova td iz Santara Santara Ulusa

RS (i): Tsdu Nit SRPL, 2007, - 56 str.

Priručnik se upućuje srednjoškolcima srednje škole, kao i ulazak u sveučilišta kao metodološki vodič za rješavanje iracionalnih nejednakosti. Prednosti su detaljno rastavili glavne metode za rješavanje iracionalnih nejednakosti, postoje primjeri rješavanja iracionalnih nejednakosti s parametrima, a predlaže se primjeri za neovisno rješenje. Nastavnici mogu koristiti koristi kao didaktički materijal Za samostalan rad, s pregledom ponavljanja teme "iracionalnih nejednakosti".

Priručnik odražava iskustvo rada nastavnika na studiranju sa studentima temu "iracionalne nejednakosti".

Zadaci se uzimaju iz materijala prijemni ispit, metodične novine i časopisi, udžbenici, popis koji se prikazuje na kraju priručnika

UDC 511 (o75.3)

BBK 22. 1st72.

 itd. Ivanova, SOST., 2006.

 TsDu Nit SRPL, 2007.

Predgovor 5.

Uvod 6.

Odjeljak I. Primjeri rješavanja najjednostavnijih iracionalnih nejednakosti 7

Odjeljak II. Novi tipa
\u003e G (x), g (x), g (x) 9

Odjeljak III. Pogledajte nejednakosti
;
;

;
13

Odjeljak IV. Nejednakosti sadrže nekoliko korijena stupnja

Odjeljak V. Zamjenska metoda (uvođenje nove varijable) 20

Odjeljak VI. Nejednakosti obrasca F (x)
0; f (x) 0;

Odjeljak VII. Pogledajte nejednakosti
25

Odjeljak VIII. Koristeći konverzije izraza za hranjenje

u iracionalnim nejednakostima 26

Odjeljak IX. Grafička otopina iracionalnih nejednakosti 27

Odjeljak X. Mješovita vrsta nejednakosti 31

Odjeljak XI. Koristeći svojstva monotonije funkcije 41

Odjeljak XII. Metoda zamjene funkcije 43

Odjeljak XIII. Primjeri nejednakosti rješenja izravno

intervali 45.

Odjeljak XIV. Primjeri rješavanja iracionalnih nejednakosti s parametrima 46

Literatura 56.

PREGLED

Ovaj metodološki priručnik namijenjen je studentima od 10-11. Kao praksa pokazuje, učenici, podnositelji zahtjeva doživljavaju posebne poteškoće u rješavanju iracionalnih nejednakosti. To je zbog činjenice da se u školskoj matematici ovaj odjeljak ne smatra dovoljno, ne smatraju se, više proširene, različite metode za rješavanje takvih nejednakosti. Također, školski učitelji osjećaju nedostatak metodološke literature, koji se manifestira u ograničenom broju zadatka koji ukazuje na različite pristupe, metode rješenja.

Ručno ispituje metode rješavanja iracionalnih nejednakosti. Ivanova td Na početku svakog dijela uvodim studente s osnovnom idejom metode, zatim se primjeri prikazuju s objašnjenjima, kao i zadacima za neovisno rješenje.

Kompajler koristi najviše "spektakularnih" metoda za rješavanje iracionalnih nejednakosti, koji se nalaze pri ulasku u viši obrazovne ustanove S povećanim zahtjevima za znanje studenata.

Učenici, upoznati s ovim priručnikom, mogu steći neprocjenjivo iskustvo i vještinu rješavanja složenih iracionalnih nejednakosti. Vjerujem da će ovaj priručnik biti koristan i matematičkim nastavnicima koji rade u razredima profila, kao i programere izbornih tečajeva.

Kandidat pedagoških znanosti, izvanredni profesor Odjela za matematičku analizu matematike Fakulteta matematike i informatike državnog sveučilišta Yakut

Baisheva m.i.

Predgovor

Priručnik se upućuje srednjoškolcima srednje škole, kao i ulazak u sveučilišta kao metodološki vodič za rješavanje iracionalnih nejednakosti. Upute za ručne pojedinosti koje su osnovne metode rješavanja iracionalnih nejednakosti detaljno rastavljaju, daju se primjeri uzoraka otopine iracionalnih nejednakosti, primjeri rješavanja iracionalnih nejednakosti s parametrima, a primjeri se predlažu za neovisno rješenje, neki od njih su kratki Odgovori i upute.

Pri analizi primjeri, samopouzdanje nejednakosti, pretpostavlja se da učenik zna kako riješiti linearne, kvadratne i druge nejednakosti, posjeduje različite metode rješenja za nejednakosti, osobito intervalima. Predlaže se da riješi nejednakost na nekoliko načina.

Nastavnici mogu koristiti koristi kao didaktički materijal za samostalan rad, s pregledom teme "iracionalne nejednakosti".

Priručnik odražava iskustvo rada nastavnika na studiranju sa studentima temu "iracionalne nejednakosti".

Zadaci se biraju iz materijala prijemnih ispita na više obrazovnih ustanova, metodičkih novina i časopisa u matematici "Prvi od rujna", "Matematika u školi", "Kvant", Tutoriali, koji je prikazan na kraju priručnik.

Uvod

Iracionalno se naziva nejednakosti u kojima su varijable ili funkcija iz varijable uključene u znak korijena.

Glavna standardna metoda za rješavanje iracionalnih nejednakosti je dosljedna montaža oba dijela nejednakosti u stupanj kako bi se pojavio iz korijena. Ali ova operacija često dovodi do pojave stranih korijena ili, čak i na gubitak korijena, tj. dovodi do nejednakosti, neravnomjerne početne. Stoga je potrebno pažljivo pratiti jednakost transformacija i razmotriti samo one vrijednosti varijable u kojima nejednakost ima smisla:

ako korijen ravnomjerne studije, tada bi se hranjenja trebala biti ne-negativna i vrijednost korijena je također ne-negativni broj.

ako je korijen stupnjeva neparan broj, tada hranjenja izraz može uzeti bilo koji važeći broj i korijenski znak podudara se s znakom kondicioniranog izraza.

moguće je podići samo-stupanj i dijela nejednakosti, nakon što je prethodno uvjeren u njihovu ne-negativnost;

uspostava oba dijela nejednakosti u istom čestim stupnjem uvijek je ekvivalentna pretvorbi.

OdjeljakI., Primjeri rješavanja najjednostavnijih iracionalnih nejednakosti

Primjeri 1- 6:

Odluka:

1. a)
.

b
.

2. a)

3. a)
.

b
.

4. a)

5. a)
.

6. a)
.

b
.

8. a)
.

9. a)
.

11.

12. Pronađite najmanju cijelu pozitivnu vrijednost x zadovoljavajuću nejednakost

13. a) pronaći sredinu intervala nejednakosti

b) pronaći aritmetički prosjek svih cjelokupnih vrijednosti X, u kojima nejednakost ima rješenje 4

14. Pronađite najmanju negativnu odluku nejednakosti

15. a)
;

Odjeljak II. Nejednakosti obrasca\u003e g (x), g (x), G (x)

Slično tome, kao u rješavanju primjera 1-4, raspravljamo pri rješavanju nejednakosti određene vrste.

Primjer 7. : Riješiti nejednakost
> h. + 1

Odluka: OWZ nejednakost: h.-3. Za desnu stranu postoje dva moguća slučaja:

ali) h. + 10 (desna strana je ne-negativna) ili b) h. + 1

Razmotrite a) ako h. +10, tj. h. - 1, oba dijela nejednakosti su ne-negativni. Gradimo oba dijela po kvadratu: h. + 3 > H.+ 2h. + 1. Dobivamo kvadratnu nejednakost h.+ h. – 2 x. X - 1, Get -1

Razmotriti b) ako h. +1 x x -3

Kombiniranje otopina slučaja a) -1 i b) h.-3, napiši odgovor: h.
.

Sva obrazloženja pri rješavanju primjera 7 je prikladno za snimanje ovako:

Početna nejednakost je jednaka ukupnosti nejednakosti sustava
.

Odgovor: .

Obrazloženje pri rješavanju nejednakosti oblik

1.> g.(x.); 2. g.(x.); 3. g.(x.); 4. g.(x.) Možete ukratko zabilježiti kao sljedeće sheme:

I. > g.(x.)

2. g.(x.)

3. g.(x.)

4. g.(x.)
.

Primjer 8. :
x.

Odluka: Izvorna nejednakost je ekvivalentna sustavu

x\u003e 0.

Odgovor: H.
.

Zadaci za samo rješenja:

b
.

20. a)
X.

21. a)

U ova lekcija Razmotrit ćemo rješenje iracionalnih nejednakosti, dajemo razne primjere.

Predmet: jednadžbe i nejednakosti. Sustavi jednadžbi i nejednakosti

Lekcija:Iracionalne nejednakosti

Prilikom rješavanja iracionalnih nejednakosti, vrlo je često potrebno graditi i dijelove nejednakosti u određenoj mjeri, to je prilično odgovorna operacija. Značajke opoziva.

Oba dijela nejednakosti mogu se podići na kvadrat, ako su oboje ne-negativni, samo tada dobivamo vjernu nejednakost od vjerne nejednakosti.

Oba dijela nejednakosti mogu biti podignuta od strane kocke u svakom slučaju, ako je početna nejednakost bila ispravna, onda kada podižemo u kocki ćemo dobiti vjernu nejednakost.

Razmotrite nejednakost obrasca:

Prošli izraz bi trebao biti ne-negativan. Funkcija može imati bilo kakve vrijednosti, potrebno je razmotriti dva slučaja.

U prvom slučaju, oba dijela nejednakosti su ne-negativni, imamo pravo na izgradnju kvadrata. U drugom slučaju, desna strana je negativna i nemamo pravo podići na kvadrat. U tom slučaju, potrebno je pogledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivan izraz (kvadratni korijen) više negativniji izraz, to znači da se uvijek izvodi nejednakost.

Dakle, imamo sljedeću shemu rješenja:

U prvom sustavu ne štitimo zasebno vođeni izraz, jer kada obavljate drugu nejednakost sustava, vođeni izraz mora automatski biti pozitivno.

Primjer 1 - Riješite nejednakost:

Prema shemi, obraćamo se ekvivalentnom skupu dvije nejednakosti:

Ilustriramo:

Sl. 1 - Primjer otopina ilustracija 1

Kao što vidimo, kada dostavljamo od iracionalnosti, na primjer, kada se podiže na kvadrat, dobivamo skup sustava. Ponekad se ovaj složeni dizajn može pojednostaviti. U nastalom agregatu imamo pravo pojednostaviti prvi sustav i dobiti ekvivalentni skup:

Kao neovisna vježba, potrebno je dokazati ekvivalentnost tih agregata.

Razmotrite nejednakost obrasca:

Slično kao prethodnoj nejednakosti, smatramo dva slučaja:

U prvom slučaju, oba dijela nejednakosti su ne-negativni, imamo pravo na izgradnju kvadrata. U drugom slučaju, desna strana je negativna i nemamo pravo podići na kvadrat. U tom slučaju potrebno je pogledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivan izraz (kvadratni korijen) manji od negativnog izražavanja, što znači da je nejednakost kontradiktorna. Nemojte uzeti u obzir drugi sustav.

Imamo ekvivalentni sustav:

Ponekad se iracionalna nejednakost može riješiti grafičkom metodom. Ova metoda je primjenjiva kada se mogu jednostavno izgraditi odgovarajući grafikoni i pronaći njihove presječne točke.

Primjer 2 - Grafički rješavanje nejednakosti:

ali)

Prva nejednakost koju smo već riješili i znamo odgovor.

Da biste grafički riješili nejednakosti, morate izgraditi grafikon funkcije na lijevoj strani i raspored funkcije koji stoji u pravom dijelu.

Sl. 2. Funkcija grafike i

Da biste izgradili grafikon funkcije, morate pretvoriti parabolu u parabolu (zrcaljenje u odnosu na osovinu y), dobivenu krivulju se mijenja s 7 jedinica udesno. Raspored potvrđuje da se ova funkcija monotono smanjuje na njegovom području definicije.

Graf funkcije je ravan, lako je izgraditi. Točka raskrižja s osi Y - (0; -1).

Prva funkcija monotono se smanjuje, drugi monotonično povećava. Ako jednadžba ima korijen, onda je to jedini, na rasporedu je lako pogoditi :.

Kada je vrijednost argumenta manja od korijena, parabola je iznad ravno. Kada je vrijednost argumenta u rasponu od tri do sedam, ravna crta prolazi iznad parabole.

Imamo odgovor:

Učinkovita metoda rješavanja iracionalnih nejednakosti je interval metoda.

Primjer 3 - Riješite nejednakosti po intervalima:

ali)

prema metodi intervala, potrebno je privremeno udaljiti od nejednakosti. Da biste to učinili, sve prenesite s lijeve strane u određenu nejednakost na lijevu stranu (da biste dobili pravu nulu) i unesite funkciju jednaku s lijeve strane:

sada je potrebno istražiti rezultirajuću funkciju.

Otz:

Grafički smo riješili ovu jednadžbu, tako da se ne zaustavljate na definiciji korijena.

Sada je potrebno istaknuti intervale poravnanja i odrediti funkciju funkcije u svakom intervalu:

Sl. 3. Razmetnite intervali na primjer 3

Sjetite se da biste definirali znakove na intervalu, morate uzeti testnu točku i zamijeniti ga funkciji, primljena funkcija će spremiti funkciju tijekom intervala.

Provjerite vrijednost na graničnoj točki:

Očigledan odgovor:

Razmotrite sljedeću vrstu nejednakosti:

Prvo napišite otz:

Korijeni postoje, oni su ne-negativni, oba dijela mogu se podići na kvadrat. Dobivamo:

Primio ekvivalentni sustav:

Rezultirajući sustav može se pojednostaviti. Prilikom izvršavanja druge i treće nejednakosti, prvi je pravi automatski. Imamo ::

Primjer 4 - Riješite nejednakost:

Djelujemo u skladu s shemom - primamo ekvivalentni sustav.

Sukladnost s vašom privatnost je važno za nas. Iz tog razloga, razvili smo politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i obavijestite nas ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Pod osobnim podacima podložno je podacima koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili komuniciranja s njom.

Možete se tražiti da pružite svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada se povežete s nama.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupiti i kako možemo koristiti takve informacije.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada ostavite aplikaciju na web-lokaciji, možemo prikupljati razne informacije, uključujući i vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Dok koristimo vaše osobne podatke:

Prikupljeni osobni podaci omogućuje nam da kontaktiramo i izvješćujemo o jedinstvenim prijedlozima, promocijama i drugim događajima i najbližim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i poruka.
Također možemo koristiti personalizirane informacije za unutarnje svrhe, kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bi se poboljšale usluge naših usluga i pružali vam preporuke za naše usluge.
Ako sudjelujete u nagradama, natjecanju ili sličnom stimulativnom događaju, možemo koristiti informacije koje pružaju upravljanje takvim programima.

Objavljivanje informacija trećim stranama

Ne otkrivamo informacije primljene od vas trećim osobama.

Iznimke:

Ako je potrebno, u skladu sa zakonom, sudskom nalogom u sudski postupaki / ili na temelju javnih upita ili zahtjeva od vladine agencije Na području Ruske Federacije - otkrivanje vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti informacije o vama ako definiramo da je takva objavljivanje potrebno ili prikladno u svrhu sigurnosti, održavanju zakona i naloga ili drugih društveno važnih slučajeva.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupljamo odgovarajući trećoj strani - nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Stvaramo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bi zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i beskrupulozne uporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, objavljivanja, promjena i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bi bili sigurni da su vaši osobni podaci sigurni, donosimo normu povjerljivosti i sigurnosti našim zaposlenicima, te strogo slijediti izvršenje mjera povjerljivosti.