Pochodna funkcji y x c jest równa. Pochodna funkcji zespolonej

Na której przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry z pochodnymi funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastawić się na poważny nastrój – materiał nie jest łatwy, ale nadal postaram się przedstawić go prosto i przejrzyście.

W praktyce bardzo często masz do czynienia z pochodną funkcji złożonej, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy w tabeli na regułę (nr 5) różnicowania funkcji złożonej:

Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej bezpośrednio z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tu zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:

W tym przykładzie, już z moich wyjaśnień, intuicyjnie widać, że funkcja jest funkcją złożoną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzanie) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok, które należy wykonać, gdy wyznaczamy pochodną funkcji zespolonej to zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli to nie jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna).

Co najpierw obliczamy? Po pierwsze będziesz musiał wykonać następującą akcję: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie musisz znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my ROZUMIESZ z funkcjami wewnętrznymi i zewnętrznymi nadszedł czas na zastosowanie reguły różnicowania funkcji złożonych .

Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - ujmujemy wyrażenie w nawiasy i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Pierwszy znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), patrzymy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważamy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Zauważ, że wewnętrzna funkcja się nie zmieniła, nie dotykamy tego.

Cóż, to dość oczywiste

Wynik zastosowania formuły czysty wygląda tak:

Współczynnik stały jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:

Jeśli jest jakieś nieporozumienie, zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zawsze piszemy:

Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (mentalnie lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa:, co oznacza, że wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy następuje potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie ze wzorem , najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Poszukujemy pożądanej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej Następny:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmienia:

Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby skonsolidować rozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuję to rozgryźć samodzielnie, rozum, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy rdzeń i aby go odróżnić, należy go przedstawić jako stopień. W ten sposób najpierw sprowadzamy funkcję do odpowiedniej postaci do zróżnicowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej :

Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowe. Możesz również sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy uzyska się nieporęczne długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na nietypową perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z zasady różniczkowania ilorazu , ale o wiele bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej przez zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - wyjmujemy znak minus pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły :

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, cofamy cosinus w dół:

Gotowe. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Przy okazji spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji złożonej. W praktycznych zadaniach często można znaleźć pochodne, w których, jak zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżone są jednocześnie 3 lub nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy ocenić wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej . Jak moglibyśmy liczyć na kalkulator?

Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że łuk jest najgłębszym zagnieżdżeniem:

Ten arcus sinus jedności powinien być następnie podniesiony do kwadratu:

I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzna funkcja to arcus sinus, a najbardziej zewnętrzna funkcja to funkcja wykładnicza.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, które nie neguje ważności tego wzoru. Czyli wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej Następny.

Bardzo łatwo to zapamiętać.

Cóż, nie zajdziemy daleko, od razu rozważymy funkcję odwrotną. Jaka jest odwrotność funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywamy logarytmem „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Co jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wykładnik i logarytm naturalny są funkcjami wyjątkowo prostymi pod względem pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po przejrzeniu reguł różniczkowania.

Zasady różnicowania

Jakie zasady? Znowu nowy termin?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

Tylko i wszystko. Jakie jest inne słowo na ten proces? Not proizvodnovanie... Różniczka matematyki nazywana jest samym przyrostem funkcji przy. Termin ten pochodzi od łacińskiego różniczka - różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Potrzebne będą nam również formuły na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest pobierana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również na różnicę: .

Udowodnijmy to. Pozwól, albo łatwiej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w punkcie;
w punkcie;
w punkcie;
w punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobnie: wprowadzamy nową funkcję i znajdujemy jej przyrost:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz Twoja wiedza wystarczy, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładnika (zapomniałeś jeszcze, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy przenieść naszą funkcję do nowej bazy:

W tym celu stosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapomnij, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: tak jak było, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To tylko liczba, której nie można obliczyć bez kalkulatora, to znaczy nie można jej zapisać w prostszej formie. Dlatego w odpowiedzi pozostaje w tej formie.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, więc stosujemy odpowiednią zasadę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny z logarytmu o innej podstawie, na przykład :

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast napiszemy:

Mianownik okazał się po prostu stałą (liczba stała, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie występują na egzaminie, ale znajomość ich nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „złożona funkcja”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarytmy” i wszystko się ułoży), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Na przykład pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi wiąże go wstążką. Okazuje się, że taki złożony przedmiot: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, musisz wykonać odwrotne kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynik do kwadratu. Więc dają nam numer (czekolada), ja znajduję jego cosinus (opakowanie), a potem podbijasz to, co mam (wiążę wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: kiedy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co stało się w wyniku pierwszej.

Innymi słowy, Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

W naszym przykładzie .

Równie dobrze możemy wykonać te same czynności w odwrotnej kolejności: najpierw do kwadratu, a potem szukam cosinusa otrzymanej liczby:. Łatwo zgadnąć, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Ostatnia akcja, którą wykonamy, zostanie nazwana funkcja „zewnętrzna”, a czynność wykonywana jako pierwsza - odpowiednio funkcja „wewnętrzna”(są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam ustalić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Rozdzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Jakie działania podejmiemy w pierwszej kolejności? Najpierw obliczamy sinus, a dopiero potem podnosimy go do sześcianu. Jest to więc funkcja wewnętrzna, a nie zewnętrzna.
A pierwotną funkcją jest ich skład: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .

zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

No to teraz wydobędziemy naszą czekoladę - poszukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, a następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W oryginalnym przykładzie wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(tylko nie próbuj teraz zmniejszać! Nic nie jest wyjęte spod cosinusa, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że istnieje tutaj trzypoziomowa funkcja złożona: w końcu jest to już złożona funkcja sama w sobie i nadal wydobywamy z niej korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma się czego bać: i tak tę funkcję „rozpakujemy” w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw rozróżniamy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasie. A potem to wszystko pomnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować akcje. To znaczy wyobraźmy sobie, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później zostanie wykonana akcja, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Kolejność czynności - jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest ogólnie 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalna ekspresja. .

2. Korzeń. .

3. Zatok. .

4. Kwadrat. .

5. Łącząc to wszystko w całość:

POCHODNA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest brana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Produkt pochodny:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji zespolonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Prawdopodobnie pojęcie pochodnej jest znane każdemu z nas ze szkoły. Zwykle uczniowie mają trudności ze zrozumieniem tego, bez wątpienia bardzo ważnej rzeczy. Jest aktywnie wykorzystywany w różnych dziedzinach życia ludzi, a wiele opracowań inżynieryjnych opierało się właśnie na obliczeniach matematycznych uzyskanych za pomocą pochodnej. Ale zanim przejdziemy do analizy, czym są pochodne liczb, jak je obliczać i gdzie będą nam przydatne, zanurzmy się trochę w historię.

Fabuła

Co jest podstawą analizy matematycznej, odkrył (a jeszcze lepiej powiedzieć „wynaleziony”, bo w naturze jako taki nie istniał) Izaak Newton, którego wszyscy znamy z odkrycia prawa powszechnego ciążenia. To on jako pierwszy zastosował tę koncepcję w fizyce, aby powiązać naturę prędkości i przyspieszenia ciał. I wielu naukowców wciąż chwali Newtona za ten wspaniały wynalazek, ponieważ w rzeczywistości wynalazł on podstawę rachunku różniczkowego i całkowego, w rzeczywistości podstawę całej dziedziny matematyki zwanej „rachunkiem różniczkowym”. Gdyby w tym czasie Nagrodę Nobla, Newton z dużym prawdopodobieństwem otrzymał ją kilka razy.

Były też inne wielkie umysły. Oprócz Newtona nad rozwojem pochodnej i całki pracowali tak wybitni geniusze matematyczni, jak Leonard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz. To dzięki nim otrzymaliśmy teorię w takiej formie, w jakiej istnieje do dziś. Nawiasem mówiąc, to Leibniz odkrył geometryczne znaczenie pochodnej, która okazała się niczym innym jak tangensem nachylenia stycznej do wykresu funkcji.

Czym są pochodne liczb? Podsumujmy, co robiliśmy w szkole.

Co to jest pochodna?

Pojęcie to można zdefiniować na kilka różnych sposobów. Najprostszym wyjaśnieniem jest to, że pochodna to szybkość zmian funkcji. Wyobraź sobie wykres jakiejś funkcji y od x. Jeśli nie jest prosty, to ma na wykresie pewne krzywe, okresy wzrostu i spadku. Jeśli weźmiemy jakiś nieskończenie mały przedział tego wykresu, będzie to odcinek linii prostej. Zatem stosunek wielkości tego nieskończenie małego odcinka wzdłuż współrzędnej y do wielkości wzdłuż współrzędnej x będzie pochodną tej funkcji w danym punkcie. Jeśli rozważymy funkcję jako całość, a nie w określonym punkcie, to otrzymamy funkcję pochodną, czyli pewną zależność y od x.

Ponadto, oprócz szybkości zmian funkcji, istnieje również znaczenie geometryczne. Porozmawiamy o tym teraz.

zmysł geometryczny

Pochodne liczb same w sobie reprezentują pewną liczbę, która bez właściwego zrozumienia nie ma żadnego znaczenia. Okazuje się, że pochodna pokazuje nie tylko tempo wzrostu lub spadku funkcji, ale także styczną nachylenia stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie. Niezbyt jasna definicja. Przeanalizujmy to bardziej szczegółowo. Powiedzmy, że mamy wykres funkcji (dla zainteresowania weźmy krzywą). Ma nieskończoną liczbę punktów, ale są obszary, w których tylko jeden punkt ma maksimum lub minimum. Przez każdy taki punkt można narysować linię prostopadłą do wykresu funkcji w tym punkcie. Taka linia będzie nazywana styczną. Powiedzmy, że spędziliśmy go na przecięciu z osią OX. Zatem kąt uzyskany między styczną a osią OX będzie określony przez pochodną. Dokładniej, tangens tego kąta będzie mu równy.

Porozmawiajmy trochę o szczególnych przypadkach i przeanalizujmy pochodne liczb.

Przypadki specjalne

Jak już powiedzieliśmy, pochodne liczb to wartości pochodnej w określonym punkcie. Na przykład weźmy funkcję y=x 2 . Pochodna x jest liczbą, aw ogólnym przypadku funkcją równą 2*x. Jeśli musimy obliczyć pochodną, powiedzmy, w punkcie x 0 \u003d 1, otrzymujemy y ”(1) \u003d 2 * 1 \u003d 2. Wszystko jest bardzo proste. Ciekawym przypadkiem jest pochodna. nie wchodzić w szczegółowe wyjaśnienie czym jest liczba zespolona Powiedzmy po prostu, że jest to liczba zawierająca tak zwaną jednostkę urojoną - liczbę, której kwadrat wynosi 1. Obliczenie takiej pochodnej jest możliwe tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki obecny:

1) Muszą istnieć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu części rzeczywistej i urojonej względem Y i względem X.

2) Spełnione są warunki Cauchy'ego-Riemanna dotyczące równości pochodnych cząstkowych opisane w akapicie pierwszym.

Innym ciekawym przypadkiem, choć nie tak skomplikowanym jak poprzedni, jest pochodna liczby ujemnej. W rzeczywistości każdą liczbę ujemną można przedstawić jako liczbę dodatnią pomnożoną przez -1. Cóż, pochodna stałej i funkcji jest równa stałej pomnożonej przez pochodną funkcji.

Interesujące będzie poznanie roli pochodnej w życiu codziennym io tym teraz będziemy dyskutować.

Podanie

Prawdopodobnie każdy z nas przynajmniej raz w życiu przyłapie się na myśleniu, że matematyka jest mu mało przydatna. A tak skomplikowana rzecz, jak pochodna, prawdopodobnie w ogóle nie ma zastosowania. Tak naprawdę matematykę – i wszystkie jej owoce rozwijają głównie fizyka, chemia, astronomia, a nawet ekonomia. Pochodna położyła podwaliny pod które dała nam możliwość wyciągania wniosków z wykresów funkcji i dzięki niemu nauczyliśmy się interpretować prawa natury i obracać je na naszą korzyść.

Wniosek

Oczywiście nie każdy może potrzebować pochodnej w prawdziwym życiu. Ale matematyka rozwija logikę, która z pewnością będzie potrzebna. Nie bez powodu matematykę nazywa się królową nauk: stanowi podstawę rozumienia innych dziedzin wiedzy.

Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i geometryczne znaczenie, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podany w pewnym przedziale (a,b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Gdy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to napisać tak:

Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Fizyczne znaczenie pochodnej: pochodna czasu toru jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas T . Średnia prędkość w pewnym okresie czasu:

Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:

O derywatach dla manekinów staraliśmy się rozmawiać od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów prosimy o kontakt obsługa studencka. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejsze sterowanie i uporać się z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie zajmowałeś się obliczaniem pochodnych.