Kontrola funkcji parzystości i nieparzystości. Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcje parzyste i nieparzyste są jedną z jego głównych właściwości, a parzystość zajmuje imponującą część szkolnego kursu matematyki. W dużej mierze determinuje to charakter zachowania się funkcji i znacznie ułatwia budowę odpowiedniego wykresu.

Zdefiniujmy parzystość funkcji. Ogólnie rzecz biorąc, badana funkcja jest rozważana nawet wtedy, gdy dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej (x) znajdującej się w jej dziedzinie odpowiednie wartości y (funkcji) są sobie równe.

Podajmy bardziej ścisłą definicję. Rozważmy pewną funkcję f(x), która jest zdefiniowana w dziedzinie D. Będzie nawet wtedy, gdy dla dowolnego punktu x znajdującego się w dziedzinie definicji:

• -x (przeciwna kropka) również leży w podanym zakresie,

• fa(-x) = fa(x).

Z powyższej definicji wynika warunek konieczny dla dziedziny definicji takiej funkcji, a mianowicie symetrii względem punktu O, który jest początkiem współrzędnych, gdyż jeśli jakiś punkt b mieści się w dziedzinie definicji funkcji parzystej, to odpowiedni punkt - b również leży w tej dziedzinie. Z powyższego wynika więc wniosek: funkcja parzysta ma postać symetryczną względem osi rzędnych (Oy).

Jak w praktyce wyznaczyć parzystość funkcji?

Niech będzie dane za pomocą wzoru h(x)=11^x+11^(-x). Postępując zgodnie z algorytmem, który wynika bezpośrednio z definicji, badamy przede wszystkim jego dziedzinę definicji. Oczywiście jest ona zdefiniowana dla wszystkich wartości argumentu, czyli pierwszy warunek jest spełniony.

Następnym krokiem jest zastąpienie argumentu (x) jego przeciwną wartością (-x).
Otrzymujemy:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Ponieważ dodawanie spełnia prawo przemienności (przemieszczenia), jest oczywiste, że h(-x) = h(x) i dana zależność funkcyjna jest parzysta.

Sprawdźmy parzystość funkcji h(x)=11^x-11^(-x). Postępując zgodnie z tym samym algorytmem, otrzymujemy h(-x) = 11^(-x) -11^x. Wyjmując minus, w rezultacie mamy
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stąd h(x) jest nieparzyste.

Nawiasem mówiąc, należy przypomnieć, że istnieją funkcje, których nie można sklasyfikować według tych kryteriów, nie są one nazywane ani parzystymi, ani nieparzystymi.

Funkcje parzyste mają wiele interesujących właściwości:

• w wyniku dodania podobnych funkcji otrzymuje się parzystą;
• w wyniku odjęcia takich funkcji otrzymuje się parzystą;
• nawet, również;
• w wyniku pomnożenia dwóch takich funkcji otrzymuje się parzystą;
• w wyniku mnożenia funkcji nieparzystych i parzystych otrzymuje się funkcję nieparzystą;
• w wyniku podzielenia funkcji nieparzystej i parzystej otrzymuje się funkcję nieparzystą;
• pochodna takiej funkcji jest nieparzysta;
• Jeśli podniesiemy do kwadratu funkcję nieparzystą, otrzymamy parzystą.

Parzystość funkcji można wykorzystać do rozwiązywania równań.

Aby rozwiązać równanie takie jak g(x) = 0, gdzie lewa strona równania jest funkcją parzystą, wystarczy znaleźć jego rozwiązanie dla nieujemnych wartości zmiennej. Otrzymane pierwiastki równania należy połączyć z liczbami przeciwnymi. Jeden z nich podlega weryfikacji.

To samo z powodzeniem stosuje się do rozwiązywania niestandardowych problemów z parametrem.

Na przykład, czy istnieje jakaś wartość parametru a, która sprawiłaby, że równanie 2x^6-x^4-ax^2=1 miałoby trzy pierwiastki?

Jeśli weźmiemy pod uwagę, że zmienna wchodzi do równania w parzystych potęgach, to jasne jest, że zastąpienie x przez -x nie zmieni podanego równania. Wynika z tego, że jeśli pewna liczba jest jej pierwiastkiem, to jest też liczbą przeciwną. Wniosek jest oczywisty: pierwiastki równania, różne od zera, zawarte są w zbiorze jego rozwiązań w „parach”.

Oczywiste jest, że sama liczba 0 nie jest, to znaczy liczba pierwiastków takiego równania może być tylko parzysta i oczywiście dla dowolnej wartości parametru nie może mieć trzech pierwiastków.

Ale liczba pierwiastków równania 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 może być nieparzysta i to dla dowolnej wartości parametru. Rzeczywiście, łatwo sprawdzić, że zbiór pierwiastków danego równania zawiera rozwiązania w „parach”. Sprawdźmy, czy 0 jest pierwiastkiem. Podstawiając go do równania, otrzymujemy 2=2. Zatem oprócz „sparowanych” 0 jest również pierwiastkiem, co świadczy o ich nieparzystej liczbie.

- (Math.) Funkcja y \u003d f (x) jest wywoływana, nawet jeśli nie zmienia się, gdy zmienna niezależna zmienia tylko znak, to znaczy, jeśli f (x) \u003d f (x). Jeśli f (x) = f (x), to funkcja f (x) nazywana jest nieparzystą. Na przykład y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcja spełniająca równość f (x) = f (x). Zobacz funkcje parzyste i nieparzyste ... Wielka radziecka encyklopedia

F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcje specjalne wprowadzone przez francuskiego matematyka E. Mathieu w 1868 r. przy rozwiązywaniu problemów dotyczących oscylacji membrany eliptycznej. M.f. są również wykorzystywane w badaniu propagacji fal elektromagnetycznych w eliptycznym cylindrze ... Wielka sowiecka encyklopedia

Żądanie „grzechu” jest przekierowywane tutaj; zobacz także inne znaczenia. Żądanie „sec” jest przekierowywane tutaj; zobacz także inne znaczenia. „Sinus” przekierowuje tutaj; zobacz też inne znaczenia... Wikipedia

Tył do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele:

• kształtować pojęcie funkcji parzystych i nieparzystych, uczyć umiejętności wyznaczania i wykorzystywania tych właściwości w badaniu funkcji, kreślenia;
• rozwijanie aktywności twórczej uczniów, logicznego myślenia, umiejętności porównywania, uogólniania;
• pielęgnować pracowitość, kulturę matematyczną; rozwijać umiejętności komunikacyjne .

Wyposażenie: instalacja multimedialna, tablica interaktywna, materiały informacyjne.

Formy pracy: frontalna i grupowa z elementami poszukiwań i działań badawczych.

Źródła informacji:

1. Algebra klasa 9 A.G. Mordkovich. Podręcznik.
2. Algebra klasa 9 AG Mordkovich. Książka zadań.
3. Algebra klasa 9. Zadania dla nauki i rozwoju uczniów. Belenkova E.Yu. Lebedincewa E.A.

PODCZAS ZAJĘĆ

1. Moment organizacyjny

Ustalenie celów i zadań lekcji.

2. Sprawdzanie pracy domowej

Nr 10.17 (Książka problemowa 9. klasa A.G. Mordkovich).

A) Na = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 dla X ~ 0,4
4. F(X) > 0 godz X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcja rośnie z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcja jest ograniczona od dołu.
7. Na wynajem = - 3, Na naib nie istnieje
8. Funkcja jest ciągła.

(Czy użyłeś algorytmu eksploracji cech?) Slajd.

2. Sprawdźmy tabelę, o którą poproszono Cię na slajdzie.

Wypełnij tabelę
	Domena	Zera funkcji	Przedziały stałości		Współrzędne punktów przecięcia wykresu z Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizowanie wiedzy

– Funkcje są podane.
– Określ dziedzinę definicji dla każdej funkcji.
– Porównaj wartość każdej funkcji dla każdej pary wartości argumentów: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Dla których z podanych funkcji w dziedzinie definicji są równości F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (wprowadź otrzymane dane do tabeli) Przesuń

		F(1) i F(– 1)	F(2) i F(– 2)	wykresy	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		i nie określono.

4. Nowy materiał

- Wykonując tę ​​pracę, chłopaki, ujawniliśmy jeszcze jedną właściwość funkcji, nieznaną wam, ale nie mniej ważną niż inne - jest to parzystość i nieparzystość funkcji. Zapisz temat lekcji: „Funkcje parzyste i nieparzyste”, naszym zadaniem jest nauczyć się wyznaczać funkcje parzyste i nieparzyste, poznać znaczenie tej właściwości w badaniu funkcji i kreśleniu.
Znajdźmy więc definicje w podręczniku i przeczytajmy (s. 110) . Slajd

pok. 1 funkcja Na = F (X) zdefiniowana na zbiorze X nazywa się nawet, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X w toku równość f (–x) = f (x). Daj przykłady.

pok. 2 funkcje y = f(x), zdefiniowany na zbiorze X nazywa się dziwne, jeśli dla dowolnej wartości X X równość f(–х)= –f(х) jest spełniona. Daj przykłady.

Gdzie spotkaliśmy się z terminami „parzysty” i „nieparzysty”?
Jak myślisz, która z tych funkcji będzie parzysta? Dlaczego? Które są dziwne? Dlaczego?
Dla dowolnej funkcji formularza Na= x rz, Gdzie N jest liczbą całkowitą, można argumentować, że funkcja jest nieparzysta dla N jest nieparzysta, a funkcja jest parzysta N- nawet.
– Zobacz funkcje Na= i Na = 2X– 3 nie jest ani parzyste, ani nieparzyste, ponieważ równości nie są spełnione F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Badanie kwestii, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się badaniem funkcji pod kątem parzystości. Slajd

Definicje 1 i 2 dotyczyły wartości funkcji przy x i -x, stąd przyjmuje się, że funkcja jest również zdefiniowana przy wartości X i o - X.

Definicja 3. Jeżeli zbiór liczbowy, wraz z każdym ze swoich elementów x, zawiera również element przeciwny -x, to zbiór X nazywamy zbiorem symetrycznym.

Przykłady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są niesymetryczne.

- Czy parzyste funkcje mają dziedzinę definicji - zbiór symetryczny? Dziwne?
- Jeśli D( F) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Zatem, jeśli funkcja Na = F(X) jest parzysta lub nieparzysta, to jej dziedziną definicji jest D( F) jest zbiorem symetrycznym. Ale czy jest odwrotnie, jeśli dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny, to jest on parzysty czy nieparzysty?
- Tak więc obecność symetrycznego zbioru dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak więc możemy zbadać funkcję parzystości? Spróbujmy napisać algorytm.

Slajd

Algorytm badania funkcji pod kątem parzystości

1. Określ, czy dziedzina funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.

2. Napisz wyrażenie dla F(–X).

3. Porównaj F(–X).I F(X):

• Jeśli F(–X).= F(X), to funkcja jest parzysta;
• Jeśli F(–X).= – F(X), to funkcja jest nieparzysta;
• Jeśli F(–X) ≠ F(X) I F(–X) ≠ –F(X), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Przykłady:

Zbadaj funkcję parzystości a) Na= x 5 +; B) Na=; V) Na= .

Rozwiązanie.

za) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcja h (x) \u003d x 5 + nieparzyste.

b) y =,

Na = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

V) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcja 2

1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Zbadaj funkcję pod kątem parzystości:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na ryc. wykreślone Na = F(X), dla wszystkich X, spełniając warunek X? 0.
Wykreśl funkcję Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją parzystą.

3. Na ryc. wykreślone Na = F(X), dla wszystkich x spełniających x? 0.
Wykreśl funkcję Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją nieparzystą.

Kontrola slajdów.

6. Praca domowa: nr 11.11, 11.21, 11.22;

Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.

*** (Przypisanie opcji USE).

1. Funkcja nieparzysta y \u003d f (x) jest zdefiniowana na całej linii rzeczywistej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Znajdź wartość funkcji h( X) = o godz X = 3.

7. Podsumowanie

W lipcu 2020 NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Statek kosmiczny dostarczy na Marsa nośnik elektroniczny z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych członków ekspedycji.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu Ci się spodobał, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu strony internetowej, najlepiej między tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Zgodnie z pierwszą opcją MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie śledzi i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wkleisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najprostszym sposobem połączenia MathJax jest Blogger lub WordPress: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję powyższego kodu ładowania i umieść widżet bliżej początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz osadzać formuły matematyczne na swoich stronach internetowych.

Kolejny Sylwester... mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie... Wszystko to skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach io tym, co Wolfram Alpha o nich wie. Z tej okazji pojawił się ciekawy artykuł, w którym znajdują się przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj rozważymy bardziej złożone przykłady trójwymiarowych fraktali.

Fraktal można wizualnie przedstawić (opisać) jako figurę geometryczną lub bryłę (co oznacza, że ​​oba są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), których szczegóły mają taki sam kształt jak sama figura oryginalna. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, biorąc pod uwagę szczegóły, których po powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku zwykłej figury geometrycznej (nie fraktala) po powiększeniu zobaczymy detale, które mają prostszy kształt niż sama figura oryginalna. Na przykład przy odpowiednio dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii prostej. Nie dzieje się tak w przypadku fraktali: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który przy każdym wzroście będzie się powtarzał.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, w swoim artykule Fractals and Art for Science napisał: „Fraktale to geometryczne kształty, które są tak samo złożone w szczegółach, jak iw ich ogólnej formie. Oznacza to, że jeśli część fraktala będzie powiększony do rozmiaru całości, będzie wyglądał jak całość, albo dokładnie, albo może z lekką deformacją.

. Aby to zrobić, użyj papieru milimetrowego lub kalkulatora graficznego. Wybierz dowolną liczbę dowolnych wartości liczbowych dla zmiennej niezależnej x (\displaystyle x) i wstaw je do funkcji, aby obliczyć wartości zmiennej zależnej y (\displaystyle y) . Umieść znalezione współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych, a następnie połącz te punkty, aby zbudować wykres funkcji.

• Zastąp dodatnie wartości liczbowe x (\displaystyle x) i odpowiadające im ujemne wartości liczbowe w funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję fa (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Zastąp w nim następujące wartości x (\displaystyle x):

Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem osi y. Symetria oznacza lustrzane odbicie wykresu względem osi y. Jeżeli część wykresu po prawej stronie osi y (wartości dodatnie zmiennej niezależnej) pokrywa się z częścią wykresu po lewej stronie osi y (wartości ujemne zmiennej niezależnej), to wykres jest symetryczny względem osi y. Jeśli funkcja jest symetryczna względem osi y, funkcja jest parzysta.

Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Początek to punkt o współrzędnych (0,0). Symetria pochodzenia oznacza, że ​​​​dodatnia wartość y (\ displaystyle y) (gdy x jest dodatnia (\ displaystyle x) ) odpowiada ujemnej wartości y ( \ displaystyle y) (gdy x jest ujemne ( \ displaystyle x) ) i nawzajem. Funkcje nieparzyste mają symetrię względem pochodzenia.

Sprawdź, czy wykres funkcji ma jakąkolwiek symetrię. Ostatni typ funkcji to funkcja, której wykres nie ma symetrii, to znaczy nie ma lustrzanego odbicia zarówno względem osi y, jak i względem początku układu współrzędnych. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję.

• Zastąp niektóre dodatnie i odpowiadające im ujemne wartości x (\ displaystyle x) w funkcji:
• Zgodnie z uzyskanymi wynikami nie ma symetrii. Wartości y (\ displaystyle y) dla przeciwnych wartości x (\ displaystyle x) nie pasują i nie są przeciwne. Zatem funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Zauważ, że funkcję f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) można zapisać w następujący sposób: f (x) = (x + 1) 2 (\ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ (2)) . Zapisana w tej formie funkcja wydaje się być parzysta, ponieważ istnieje parzysty wykładnik. Ale ten przykład dowodzi, że formy funkcji nie można szybko określić, jeśli zmienna niezależna jest ujęta w nawiasy. W takim przypadku musisz otworzyć nawiasy i przeanalizować wynikowe wykładniki.