Wykres funkcji. Funkcje i ich wykresy Wykres 3 x 1 2

1. Liniowa funkcja ułamkowa i jej wykres

Funkcję postaci y = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, nazywamy ułamkową funkcją wymierną.

Prawdopodobnie znasz już pojęcie liczb wymiernych. podobnie funkcje wymierne są funkcjami, które można przedstawić jako iloraz dwóch wielomianów.

Jeśli ułamkowa funkcja wymierna jest ilorazem dwóch funkcji liniowych - wielomianów pierwszego stopnia, tj. funkcja podglądu

y = (ax + b) / (cx + d), wtedy nazywa się to ułamkową liniową.

Zauważ, że w funkcji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (w przeciwnym razie funkcja staje się liniowa y = ax/d + b/d) oraz że a/c ≠ b/d (w przeciwnym razie funkcja jest stała). Funkcja liniowo-ułamkowa jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem x = -d/c. Wykresy funkcji liniowo-ułamkowych nie różnią się formą od znanego ci wykresu y = 1/x. Nazywa się krzywą będącą wykresem funkcji y = 1/x hiperbola. Przy nieograniczonym wzroście wartości bezwzględnej x funkcja y = 1/x maleje w wartości bezwzględnej w nieskończoność i obie gałęzie wykresu zbliżają się do osi odciętych: prawa zbliża się od góry, a lewa od dołu. Linie, do których zbliżają się gałęzie hiperboli, nazywane są jej asymptoty.

Przykład 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Rozwiązanie.

Wybierzmy część całkowitą: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Teraz łatwo zauważyć, że wykres tej funkcji otrzymujemy z wykresu funkcji y = 1/x przez następujące przekształcenia: przesunięcie o 3 segmenty jednostkowe w prawo, rozciągnięcie wzdłuż osi Oy 7 razy i przesunięcie o 2 segmenty jednostek w górę.

Dowolny ułamek y = (ax + b) / (cx + d) można zapisać w ten sam sposób, podkreślając „całą część”. W konsekwencji wykresy wszystkich funkcji liniowo-ułamkowych są hiperbolami przesuniętymi wzdłuż osi współrzędnych na różne sposoby i rozciągniętymi wzdłuż osi Oy.

Aby wykreślić wykres dowolnej funkcji liniowo-ułamkowej, wcale nie jest konieczne przekształcanie ułamka, który definiuje tę funkcję. Ponieważ wiemy, że graf jest hiperbolą, wystarczy znaleźć proste, do których zbliżają się jego gałęzie - asymptoty hiperboli x = -d/c i y = a/c.

Przykład 2

Znajdź asymptoty wykresu funkcji y = (3x + 5)/(2x + 2).

Rozwiązanie.

Funkcja nie jest zdefiniowana, dla x = -1. Stąd linia x = -1 służy jako asymptota pionowa. Aby znaleźć asymptotę poziomą, dowiedzmy się, jakie wartości funkcji y(x) zbliżają się, gdy argument x wzrasta w wartości bezwzględnej.

Aby to zrobić, dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ponieważ x → ∞ ułamek dąży do 3/2. Stąd asymptota pozioma jest linią prostą y = 3/2.

Przykład 3

Narysuj funkcję y = (2x + 1)/(x + 1).

Rozwiązanie.

Wybieramy „całą część” ułamka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Teraz łatwo zauważyć, że wykres tej funkcji otrzymujemy z wykresu funkcji y = 1/x przez następujące przekształcenia: przesunięcie o 1 jednostkę w lewo, symetryczny obraz względem Ox oraz przesunięcie o 2 jednostki w górę wzdłuż osi Oy.

Dziedzina definicji D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Zakres wartości E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Punkty przecięcia z osiami: c Oy: (0; 1); c Wół: (-1/2; 0). Funkcja rośnie w każdym z przedziałów dziedziny definicji.

Odpowiedź: rysunek 1.

2. Funkcja ułamkowo-wymierna

Rozważmy ułamkową funkcję wymierną postaci y = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami stopnia wyższego niż pierwszy.

Przykłady takich funkcji wymiernych:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) lub y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jeśli funkcja y = P(x) / Q(x) jest ilorazem dwóch wielomianów stopnia wyższego niż pierwszy, to jej wykres będzie z reguły bardziej skomplikowany i czasami może być trudno zbudować go dokładnie , ze wszystkimi szczegółami. Jednak często wystarczy zastosować techniki podobne do tych, z którymi spotkaliśmy się już powyżej.

Niech ułamek będzie właściwy (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d ZA 1 / (x - K 1) m1 + ZA 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + ZA m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – Ks) ms + L 2 /(x – Ks) ms-1 + … + L ms /(x – Ks) + …+

+ (B 1 x + do 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + do m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + … +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Oczywiście wykres ułamkowej funkcji wymiernej można otrzymać jako sumę wykresów ułamków elementarnych.

Wykreślanie ułamkowych funkcji wymiernych

Rozważ kilka sposobów wykreślenia funkcji ułamkowo-wymiernej.

Przykład 4

Narysuj funkcję y = 1/x 2 .

Rozwiązanie.

Używamy wykresu funkcji y \u003d x 2 do wykreślenia wykresu y \u003d 1 / x 2 i stosujemy metodę „dzielenia” wykresów.

Dziedzina D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Zakres wartości E(y) = (0; +∞).

Nie ma punktów przecięcia z osiami. Funkcja jest parzysta. Rośnie dla wszystkich x z przedziału (-∞; 0), maleje dla x od 0 do +∞.

Odpowiedź: rysunek 2.

Przykład 5

Narysuj funkcję y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Rozwiązanie.

Dziedzina D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Tutaj zastosowaliśmy technikę faktoryzacji, redukcji i redukcji do funkcji liniowej.

Odpowiedź: rysunek 3.

Przykład 6

Narysuj funkcję y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Rozwiązanie.

Dziedziną definicji jest D(y) = R. Ponieważ funkcja jest parzysta, wykres jest symetryczny względem osi y. Przed wykreśleniem ponownie przekształcamy wyrażenie, podświetlając część całkowitą:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Zauważ, że wybór części całkowitej we wzorze funkcji ułamkowo-wymiernej jest jednym z głównych podczas kreślenia wykresów.

Jeśli x → ±∞, to y → 1, tj. linia y = 1 jest asymptotą poziomą.

Odpowiedź: rysunek 4.

Przykład 7

Rozważmy funkcję y = x/(x 2 + 1) i spróbujmy znaleźć dokładnie jej największą wartość, tj. najwyższy punkt w prawej połowie wykresu. Aby dokładnie zbudować ten wykres, dzisiejsza wiedza nie wystarczy. Jest oczywiste, że nasza krzywa nie może „wspinać się” bardzo wysoko, ponieważ mianownik szybko zaczyna „wyprzedzać” licznik. Zobaczmy, czy wartość funkcji może być równa 1. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. To równanie nie ma prawdziwych pierwiastków. Więc nasze założenie jest błędne. Aby znaleźć największą wartość funkcji, musisz dowiedzieć się, dla którego największego A równanie A \u003d x / (x 2 + 1) będzie miało rozwiązanie. Zamieńmy oryginalne równanie na kwadratowe: Ax 2 - x + A \u003d 0. To równanie ma rozwiązanie, gdy 1 - 4A 2 ≥ 0. Stąd znajdujemy największą wartość A \u003d 1/2.

Odpowiedź: Rysunek 5, maks. y(x) = ½.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak budować wykresy funkcyjne?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Funkcja y=x^2 nazywana jest funkcją kwadratową. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Ogólny widok paraboli pokazano na poniższym rysunku.

funkcja kwadratowa

Rys. 1. Widok ogólny paraboli

Jak widać na wykresie, jest on symetryczny względem osi Oy. Oś Oy nazywana jest osią symetrii paraboli. Oznacza to, że jeśli narysujesz linię prostą równoległą do osi Ox powyżej tej osi na wykresie. Następnie przecina parabolę w dwóch punktach. Odległość od tych punktów do osi y będzie taka sama.

Oś symetrii dzieli wykres paraboli niejako na dwie części. Części te nazywane są gałęziami paraboli. A punkt paraboli leżący na osi symetrii nazywany jest wierzchołkiem paraboli. Oznacza to, że oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli. Współrzędne tego punktu to (0;0).

Podstawowe własności funkcji kwadratowej

1. Dla x=0, y=0 i y>0 dla x0

2. Funkcja kwadratowa osiąga swoją minimalną wartość w wierzchołku. Ymin przy x=0; Należy również zauważyć, że maksymalna wartość funkcji nie istnieje.

3. Funkcja maleje na przedziale (-∞; 0] i rośnie na przedziale )